（基础数学专业论文）拟恰当＃富足半群的断面.pdf

拟恰当一富足半群的断面 摘要 本文主要研究拟恰当i i 富足半群的拟理想恰当断面和乘性恰当断面全 文共分三章 第一章研究拟恰当l 一富足半群第一节是引言第二节是预备知识，给出 拟恰当4 富足半群的一些相关概念和预备知识第三节证明了拟恰当i 富足 半群的若干性质，并确定了它上面最小恰当良同余的存在往 第二章研究拟恰当i - 富足半群的拟理想恰当断面第一节是引言介绍了 断面研究的相关背景第二节是预备知识，给出了一些基本概念和结论第三 节刻画j 和a 的某些特性第四节证明了拟恰当# 一富足半群的两个拟理想恰 当断面同构第五节证明了两个拟理想恰当断面的乘积还是拟理想恰当断面 第六节给出了具有拟理想恰当断面的拟恰当i 一富足半群的一些性质 第三章研究拟恰当1 1 - 富足半群的乘性恰当断面第一节是预备知识，给出 一些相关概念和预备知识第二节刻画j 和a 的某些特性第三节给出一个 嵌入定理 关键词：拟恰当口，富足半群，恰当良同余，拟理想恰当断面，乘性恰当断面， 正规中间幂等元 曲阜师范大学硕士学位论文 o nt r a n s v e r s a l so fq u a s i o a d e q u a t ef l - a b u n d a n ts e m i g r o u p s a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d yq u a s i - i d e a la d e q u a t et r a n s v e r s a l sa n dm u l t i p l i c a t i v ea d e q u a t et r a n s v e r s a l so fq u a s i - a d e q u a t e # 一a b u n d a n ts e m i g r o u p s i t c a nb ed i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s c h a p t e r1 ，w es t u d yq u a s i - a d e q u a t e 1 f - a b u n d a n ts e m i g r o u p s s e c t i o n1 i sab r i e fi n t r o d u c t i o n i ns e c t i o n2 ，s o m eb a s i cc o n c e p t i o n sa n dp r e l i m i n a r i e s a b o u tq u a s i a d e q u a t e # 一a b u n d a n ts e m i g r o u p sa r ei n t r o d u c e d i ns e c t i o n3 ，w e o b t a i ns o m ep r o p e r t i e so fq u a s i - a d e q u a t el l - a b u n d a n ts e m i g r o u p s ，a n dc o n f i r m t h ee x i s t e n c eo ft h em i n i m u ma d e q u a t eg o o dc o n g r u e n c e i nc h a p t e r2 ，w es t u d yq u a s i - i d e a la d e q u a t et r a n s v e r s a l s i tc o n t a i n s s i xs e c t i o n s i ns e c t i o n1 ，s o m eb a c k g r o u n da b o u tt r a n s v e r s a l sa r ei n t r o d u c e d i ns e c t i o n2 ，s o m eb a s i cc o n c e p t i o n sa n dp r e l i m i n a r i e sa b o u tq u a s i a d e q u a t e a l ei n t r o d u c e d i ns e c t i o n3 , s o m ep r o p e r t i e so fia n daa r ec h a r a c t e r - i z e d i ns e c t i o n4 w ep r o v e dt h a ta n yt w oq u a s i - i d e a la d e q u a t et r a n s v e r s a l so f q u a s i a d e q u a t e # - a b u n d a n ts e m i g r o u p sa r ei s o m o r p h i c i ns e c t i o n5 , w ep r o v e d t h a tt h ep r o d u c to fa n yt w oq u a s i - i d e a la d e q u a t et r a n s v e r s a l si sa l s oaq u a s i - i d e a la d e q u a t et r a n s v e r s a l i ns e c t i o n6 , s o m ep r o p e r t i e so faq u a s i - a d e q u a t e n - a b u n d a n ts e m i g r o u pw i t haq u a s i - i d e a la d e q u a t et r a n s v e r s a la l ec h a r a c t e r - i z e d c h a p t e r3i sd e v o t e dt om u l t i p l i c a t i v ea d e q u a t et r a n s v e r s a l so faq u a s i - a d e q u a t e - a b u n d a n ts e m i g r o u p i tc a nb ed i v i d e di n t o3 s e c t i o n s i ns e c t i o n1 ， w ei n t r o d u c es o m eb a s i cp r e l i m i n a r i e sa b o u tm u t t i p l i c a t i v ea d e q u a t et r a n s v e r - i i 曲阜师范大学硕士学位论文 s a l sa n ds o m en e c e s s a r yp r e p a r a t i o n s i ns e c t i o n2 ，s o m ep r o p e r t i e so fia n d aa r ec h a r a c t e r i z e d i ns e c t i o n3 ，a ne m b e d d i n gt h e o r e mi sg i v e n k e y w o r d s ：q u a s i a d e q u a t el - a b u n d a n ts e m i g r o u p ，t h em i n i m u ma d e q u a t e g o o dc o n g r u e n c e ，q u a s i i d e a la d e q u a t et r a n s v e r s a l s ，m u l t i p l i c a t i v ea d e q u a t e t r a n s v e r s a l s ，n o r m a lm e d i a li d e m p o t e n t i i i 第一章拟恰当# 富足半群 1 1 引言 半群是对群的一种弱化，只要求二元运算满足结合律二十世纪六十年代 开始兴起对半群的研究，在某些方面半群理论类似于群论和环论最初期的重 要成果主要归功于r e e s ，c l i f f o r d 及d u b r e i l 的工作到七十年代半群理论迅速 发展并丰富起来。内容涉及同余，结构，簇等方面，还有专门的杂志 ，这期间c l i f f o r dah ，p r e t o n ，m ，h o w i ejb 等相继发表了许多重要 论文【1 ，2 ，3 】起初主要借助于格林关系【4 】研究一些特殊的半群如c l i f o r d 半 群，逆半群，纯正半群，正则半群，完全正则半群等1 9 8 2 年f o u n t a i n 在 文【5 】定义并研究了g r e e n 一+ 关系，并且提出了富足半群的概念在此基础上 f o u n t a i n ，m a r kl a w s o n 等相继取得了一系列成果，如m a r kl a w s o n 在文【6 】 研究了富足半群上的自然偏序，江西师大的郭晓江在文【7 1 研究了f 一富足半 群，等等后来e lq a l l a l i 推广了g r e e n - + 关系到g r e e n - 一关系，但因为弱化 得程度太大导致研究起来比较困难于是国内的郭聿琦教授和孔样智教授最近 在g r e e n - + 和g r e e n - 一之间又发现了g r e e n - 一关系，并且通过具体例子说明 了c c zcc 并提出了1 富足半群的概念孔祥智教授还在 上比较详尽的探讨了n o r m a lc r y p t o 亭- _ a b u n d a n ts e m i g r o u p s 并且取 得了很好的结果 1 9 8 1 年e l ，q a l l a l i 在文【8 】中提出并研究了拟恰当半群，这是一类其幂等 元集形成子半群的富足半群本章则提出并研究了拟恰当i - 富足半群，证明了 它具有的若干性质，肯定了在其上存在着最小的恰当良同余 1 第一章拟恰当i i 富足半群 1 2预备知识 在文【9 】中定义了g r e e n - 一关系如下， z = ( o ，6 ) s s ：( v e ，e ( s 1 ) ) o e = 口，仁辛b e = b f 瓦= ( 口，6 ) esxs ：( r e ，e ( s 1 ) ) e n = f a 错e b = f b ) 死= z n 瓦，万= z v 瓦 易证z 和瓦均是等价关系，但z 不一定右相容，瓦不一定左相容我们 把包含元素n 的z 一类记作己类似地包含元素a 的夏一类记作瓦易证在 任一半群上有c c c c z 以及冗c 冗c 宠，在正则半群s 上，有c = z ，冗= 瓦 下面我们将引用文【l o ，1 1 】的定义 定义2 1一个半群s 叫做口一富足半群，如果s 的每一个z 类及每一个 冗类都至少包含一个幂等元 定义2 2 # 富足半群s 叫做拟恰当口富足半群，如果它的所有幂等元构 成s 的子半群 很明显，纯正半群是拟恰当# 富足半群在i 富足半群s 中，如果n s ，e 是幂等元且口z e ，那么易证= 口 定义2 3 ( 1 1 1 ) 一个半群同态妒：s t 叫做良同态，如果对于s 中 任意两个元素口，b ，由矗z ( s ) 6 可得n 毋乙( t ) 6 ，由。瓦( s ) 6 可得a & 瓦( t ) b d p 定义2 4 一个同余p 叫做良同余，如果从s 到s i p 上的自然同态是良 同态 1 3 拟恰当# 一富足半群的若干性质 下面谈到的半群如无特别声明均指1 富足半群 2 曲阜师范大学硬士学位论文 引理3 1 咖：s 丁是半群同态，那么下列条件等价一 ( 1 ) 咖是良同态； ( 2 ) 对任意元素o s ，存在幂等元e 己，f 瓦满足n 西z ( r ) e 西，a 厩( t ) f d p 证明；( 1 ) = 亭( 2 ) 显然 下证( 2 ) = 号( 1 ) ，设对于s 中的每一个元素。，存在幂等元e - l 满足 a c z e ，如果a ，b s ，且a z b 则有a 咖c e 咖c g c z b 西，其中幂等元g l 同理 可证。妒冗，咖 由引理3 1 立得下面的定理： 定理3 2 设p 是s 上的一个同余，那么下列条件等价； ( 1 ) p 是良同余， ( 2 ) s 存在e 2 = e l ，2 = ，- d 满足对于所有的g ，h e ( s ) 有 ( a ) ( n g ，a h ) ep = 专( e g ，e h ) p ( b ) ( g a ，h a ) p = 净( g f ，h y ) p 引理3 3 设s 是拟恰当4 一富足半群，p 是s 上的良同余，如果印是 s p 中的幂等元，那么在s 中必存在幂等元g 使得a p = g p 证明；设e ，是s 中的幂等元且a c e ，o 瓦，既然p 是良同余，则有 a p - e p ，n 4 瓦，p 现在n p ，e p ，p 都是幂等元，从而a p c e p ，a p r f p 因此( e p ) ( o p ) = e p ，( 口p ) ( e 力= a p ，( a p ) ( f p ) = f p , ( f p ) ( a p ) = a p ，利用上述第二，三个关系式及 e ，是幂等元可得 ( f p ) ( e p ) ( f p ) = ( a p ) ( f p ) ( e p ) ( f p ) = ( a p ) ( e p ) ( f p ) ( e p ) ( y p ) = ( a p ) ( e p ) ( ，p ) = ( a p ) ( f p ) 再利用第一，四个关系式可得 a p = ( f p ) ( a p ) = ( f p ) ( e p ) ( f p ) ( a p ) = ( f p ) ( e p ) ( a p ) = ( f p ) ( e p ) = ( f e ) p 3 第一章拟恰当_ 富足半群 既然，e 是幂等元，故可取g = l e 命题3 4 如果s 是拟恰当# 一富足半群，p 是s 上的良同余，那么s p 是拟恰当i - 富足半群 证明； 易见s p 是t 一富足半群，由引理3 3 知s p 的幂等元集为 e p ： e 2 = e ，e s ) ，很明显它是s p 的子半群 现在考虑拟恰当日富足半群的良同态像 设：s 丁是良同态，s 是拟恰当口- 富足半群，那么s 西是拟恰当# 一 富足半群，并且如果，是s 妒中的一个幂等元，那么在s 中必有一个幂等元e 使得e 曲= ， 定义3 5 一个口富足半群s 叫做是恰当的，如果它的幂等元集是一个半 格 由定义知s 的每一个z 类及每一个瓦类都恰好包含一个幂等元 定义3 64 富足半群s 上的同余p 叫做恰当良同余，如果p 是良同余并 且s p 是恰当_ 富足半群 因为一族良同余的交还是良同余，而全关系u 必是恰当良同余，所以定 义，y 就是所有恰当良同余的交下面的定理揭示了在一个拟恰当i - 富足半群 s 上存在最小的恰当良同余 定理3 71 是拟恰当1 富足半群s 上的最小的恰当良同余 证明：只需证明纠，y 中的幂等元可交换，由命题3 4 知剐7 的幂等元集 为 e 7 ：e 2 = e ，e 研，既然对于s 上的任一恰当良同余p ，都有e f p f e ，其中 e ，为任意的幂等元那么当然也有e f t f e 结论得证 正如【1 1 】中，如果o s ，我们用o 表示_ o n b 的元素，用n + 表示瓦n b 的元素，其中b 是s 的幂等元带沿用( 【4 】) 的记法，把日中含元素e 的乒类 记做e ( e ) ，现在定义关系r l 如下，a r l b 当且仅当e ( a + ) a e ( a ) = e ( 6 + ) 6 e 缈) 对某一口+ ，a ，6 + ，6 成立很明显，这一定义与o + ，o ，6 + ，6 的选取无关，而 4 曲阜师范大学硕士学位论文 且町是一等价关系下面给出几条引理 引理3 8 如果n ，b s 且b = e e l ，其中e e ( a + ) ，e ( a ) ，那么 e t i b ，f 一b 证明：注意到e b = b ，现设z ，y e ( s 1 ) ，且曲= y b ，即x e a f = y e a r 既 然，e ( a 。) ，则有幂等元k 使得口c k n f 因此x e a k = y e a k ，从而t e a = y e a ， 进一步有x e a + = y e a + ，两边右乘以e 得z e = y e ，这是因为e e ( a + ) ，所以 i g 口+ e = e ，故e _ 6 ，同理可证y z b 引理3 9 条件同引理3 8 ，则有 ( 1 ) e ( a + ) = e ( b + ) ； ( 2 ) e ( a ) = e ( b ) ； ( 3 ) e ( a + ) a e ( a ) = e ( b + ) b e ( b ) 证明：( 1 ) ，( 2 ) 以及e ( a + ) 口f ( 矿) e ( 矿) 6 e ( 6 ) 成立都可直接推得选 取幂等元9 ，k ，使得8 + t 己g c e ，o 七7 v ，我们有口= g a k = g e a f k = g b k 而 且g e ( a + ) = e ( b + ) ，k e ( a ) = e ( b ) ，( 3 ) 便可得出 由上述引理可以直接得到下面的推论， 推论3 1 0 设a ，b s ，那么 ( 1 ) a y = e ( a + ) a e ( a ) ； ( 2 ) a o b 当且仅当b = e a f 对某一e e ( a + ，e ( n ) 成立 引理3 1 1 7 包含于任一恰当良同余p 证明；既然s p 的幂等元可交换，我们看到p n ( b b ) 是口上的半 格同余，因此日中了相关的元素也是p 相关的如果a y b ，那么对于某一 e e ( a + ) ，e ( a ) 有b = e a r ，因此e p a + ，舶从而e a f p a + 口n + 即b p a 所以p ，7 下面再给出p 是同余的充要条件 定理3 1 2 卵是同余关系当且仅当对于所有的n ，b s ，有 a e ( a ) e ( 6 + ) 6 e ( ( 曲) + ) a b e ( ( a b ) ) 5 第一章拟恰当1 富足半群 证明；如果7 是个同余关系，那么明显地有 a e ( a ) e ( 6 + ) 6 e ( a + ) a e ( a ) e ( 6 + ) b e ( b ) 从而由推论3 1 0 即得所要证的关系式反过来，假设给定的关系式成立，既 然口+ a b = 口6 ，则有d + ( 口6 ) + = ( a b ) + ，从而e ( ( n ) + ) e ( ( 6 ) + ) e ( ( n 6 ) + ) ，同理 e ( ( n 6 ) ) e ( ( 6 ) ) e ( ( 0 6 ) + ) ，由引理3 1 0 得( 鲫) ( ( 8 即证 推论3 1 3 如果日是正规带，那么7 7 是一个同余 证明：设8 a e ( a 。) e ( 6 + ) 6 ，其中a ，b s ，那么对于某一e e ( a ) ， e ( 6 + ) ，则有 8 = a e f b = a a a + e f b + b + b = a a e a b + f b + b = o , a 。b + b = a b e ( ( 0 6 ) + ) a b e ( ( a b ) ) 6 第二章拟恰当# 富足半群的拟理想恰当断面 2 1引言 自1 9 8 2 年b l y t h 和m c f a d d e n 在1 12 】引入逆断面以来，对半群的各种断 面的研究，如逆断面，纯正断面，正则 一断面等的研究，已成为半群代数理论 研究领域的一个较为活跃的课题【1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 由于半群的断面是该 半群豹一个子半群，因此这一课题的思路就是通过半群的某性质比较好的子 半群去把握整个半群，从而达到由局部把握整体的目的 设s 为正则半群，s 。为s 的子半群称s 。为s 的逆断面，如果s 。含 有s 的每个元素的唯一逆元即对于任意z s ，在s 。中的唯一逆元记作$ 。， 其中v ( z ) 表示孑的逆元的集合具有逆断面的正则半群类比较广泛。它包括 逆半群，逆半群的基本矩形带，可分纯正半群等二十多年来具有逆断面的正 则半群理论已碍到充分发展 2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 1 m c a l i s t e r 和m c f a d d e n 在1 2 4 1 给出 了具有拟理想逆断面的正则半群的结构定理1 9 8 9 年s a i t o 2 5 1 在一般情况 下给出了这类半群的构造b l y t h 和s a i t o 研究了正则半群的几种特殊类型 的逆断面 1 9 9 3 年e 1 - q a l l a l i 在文1 2 6 1 中提出并研究了富足半群的型a 乘 性断面陈建飞1 9 9 9 年在【2 7 】首次提出并研究了富足半群的恰当断面郭晓 江于2 0 0 2 年在【2 8 】研究了具有乘性恰当断面的富足半群罗敏霞在【2 9 】中证 明了一如果，和a 都是富足半群s 的子带，那么s 的所有拟理想恰当断面 都同构设p ，p 都是富足半群s 的拟理想恰当断面，罗敏霞还证明了如果 e ( s s o ) 的每个元素和e ( s ) 的每个元素可交换，则扩_ s 。仍是富足半群s 的 拟理想恰当断面本章主要目的是推广她的一些结论并加以证明第二节，我 们引入一些基本概念和结果第三节，讨论了含拟理想恰当断面的拟恰当l 一富 足半群的元素的性质，在本节最后我们给出了，和a 分别作成s 的左正规带 和右正规带的等价刻画在第四节，我们证明了如果拟恰当_ 富足半群s 含 有拟理想恰当断面伊，且所有的j 和a 都是s 的子带，那么所有的拟理想恰 7 第二章拟恰当1 富足半群的拟理想恰当断面 当断面s 。均同构第五节，设p ，s 。均是s 的拟理想恰当断面，可以证明如 果e ( s s 。) 的每个元素与e ( s ) 的每个元素可交换，那么p s 。仍是拟理想恰 当断面第六节，讨论了含有拟理想恰当断面的拟恰当。一富足半群的一系列性 质，证明了铲是l 。和见的共同的拟理想恰当断面 2 2预备知识 设s 是富足半群，是s 的一个一富足子半群 下面仿照文【1 8 1 引入一些基本概念和结果 子半群u 叫做s 的+ 一子半群，如果对于任意q u 存在着一个幂等元 e l 。( s ) nu 及一个幂等元f 兄( s ) n u 设s 是l 一富足半群，s 。是s 的一个恰当+ 一子半群s 。叫做s 的恰当 断面，如果对于每一个z s 在s 。中存在唯一的元素孑及幂等元e ，f e ( s ) 使得z = e _ ，其中e c z + ，冗矿 引理2 1 设s 是4 富足半群，d s 且e 2 = e s ，那么下列条件等 价t ( 1 ) a e e ( a r e ) ； ( 2 ) 0 e = a ( e a = 口) 且对比，y e ( s 1 ) 由= a y ( z a = y a ) 可得e z = e y ( x e = y e ) 注t 引理2 1 的证明参照文【5 】 引理2 2 ( 【1 8 】) 令s 是一个幂等元集为e 的富足半群。z ，s 如果存 在e ，f e 满足z = e l ，且e l y + ，f n y * 对某一y + ，旷成立，那么e t z * z ，f z + z 引理2 3 设s 是拟恰当o 富足半群，s 。是s 的恰当一子半群。f 是 s 的幂等元集。z 只如果存在e ，f e ，虿酽满足z = e 玎且e c 矿，冗 矿，那么e _ ，z 0 8 曲阜师范大学硕士学位论文 证明；显然有凹= 毛设s ，t e ( s 1 ) ，那么 8 = t x = 寄s e z ，矿= e 虿，矿 = 号s e = t e - ( ，船，面= z ) = 辛s e j 寸= r e x - + = 专8 e = f e ( e c - + ) 由引理2 1 可得e 醌，同理可证，乙 这里需要指出的是e 和，由z 唯一决定。因为如果有e l 虿 = z = e 2 i f 2 其中e 。c 矿，l 冗矿( 。= 1 ，2 ) ，那么。e l c 矿c e 2 ，e 1 醌7 2 ，因此e l t i e 2 ，所以 e l = e 2 类似地可证明 = ，2 从而我们就以e 。代替e ，厶代替，这样对于 任意z s ，有e 。瓦z z 以如果n s 。易于验证：e 。= a + , f a = a 。，- d = a ，进 一步可得，如果a e 。，那么瓦= e 。= ，d = n 定义2 4 半群s 的一个子半群s 。叫做s 的拟理想，如果s 。s 9 酽 设s 。是拟恰当1 富足半群s 的一个恰当断面 我们记 ，( s s 。) = e 。：z s ) ，a ( s ，s 。) = 厶：z s ) 这一节先初步给出，和a 的一些性质，因为，和a 在构建具有逆断面的 正则半群时发挥了很重要的作用既然对于涉及到j r 的每一结论，a 也有对 偶的结论故我们只证明关于，的结论 引理2 5 设s 具有恰当断面铲的拟恰当口一富足半群，那么有 ( 1 ) i n a = e 。； ( 2 ) i = t e e ：( j z 。e 产) z c e ，a - - ee ：( 3 h 酽) 7 玎) ； ( 3 ) i e 。j ，e 6 a a 9 第二章拟恰当i 富足半群的拟理想恰当断面 证明。( 1 ) 对于每一个o e 。，有厶= e x = 虿= z ，所以z i n a 反 过来，如果鲈ei n a ，那么在s 中存在z ， t o 使得磐= e ：= 丸，从恰当断面的 定义推得可c 矿及分缅因此有 = 鲈矿矿= 矿矿 所以掣= 铲= 矿e 。 ( 2 ) 如果e j ，那么s 中存在z 使得e ：= e 且e c 矿；其中矿e 。；反过 来，如果e e 且驴中存在2 满足l c e ，那么e = e e f ，这表明e = e 。j ( 3 ) 令ee ，e 。由( 2 ) 得在e 。存在f 使得f e ，因此，e ，c f ，既然 e i e f = e l ! ei = e t - e = e f l f ：e z f y = e f 因此e f e 由( 2 ) e f l l f ( f ，e 。) 推得e ，i 注t 既然s 。是s 的恰当一子半群，我们推得( 2 ) 中的2 和h 分别由e ， 唯一确定，不妨以e 妒替换z ，妒替换h ，这样可以得到一个从，到e 。的映射 妒：i e 。和一个从a 到f 的映射妒：a e 。，此时很明显有e e l p = e ， ，妒，= ，而且显然具有性质， 妒l e = 妒l e = 1 e 。 定义2 6 一个恰当断面s 。叫做是具有乘性的，如果a ，e 。 命题2 7 设s o 是拟恰当i - 富足半群s 的恰当断面。那么 ( 1 ) 9 是s 的拟理想当且仅当a ，s 。 ( 2 ) 如果s 。是具有乘性的，那么s 。是s 的拟理想 证明t( 1 ) 若驴是s 的拟理想，a ，e j ，那么f e = ，妒r e e 妒铲， 即a ，s 。；反过来，如果a ，s 。，令口s ，c ，d s 。，那么我们有 c a d = c e 。兢d = c c * e d a f , d + d = c l e a y o e 1 d s 6 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 因此酽是s 的拟理想 ( 2 ) 如果s 。是具有乘性的，那么a j e 。由( 1 ) 即得s 。是s 的拟理想 命题2 8 设s o 是拟恰当口一富足半群s 的恰当断面，o ，y s ，那么 ( 1 ) x 瓦y 当且仅当= 勺； ( 2 ) x l ：y 当且仅当厶= 厶 证明t ( 1 ) 若岛= 勺由引理2 3 ，e 。氟，e ，瓦掣所以z 夏掣，反过来，如 果z j 勋，那么由引理2 3 得e 。7 _ e p 既然e v 妒c e v 可得e f 妒e 。c 勺e 。以及 勺妒，e z 冗8 v 妒8 v 记6 = e 。缈。：和盯= 局p 。：我们有 巧丽+ 压_ e p 妒e 。_ e p 妒 由于写1 尹和e 是e 。的元索由引理2 5 ，6 ina = e 。，注意到 s 。是恰当断面，因此有6 = 巧歹7 e = e ，同理得仃= 丐- i = b 妒，因 此e e 。= j 丐歹焉盯= 百万百s 。从而可以将e z 写成 e z = e e z 妒e z 妒，e z = e p ( e 掣妒。e z ) e ? 妒 这两种形式，以上两式蕴涵了e 。= e v 注，命题2 8 表明，对任意z s 有i 兄。n i l = l kn i i = 1 推论2 9 设s 是具有恰当断面s 。的拟恰当# - 富足半群，r e g ( s ) 表示 由s 中的正则元素组成的集合那么 ( 1 ) 对任意z r e 孽( s ) ，i v ( 茁) n s 。i 1 ( 2 ) 如果s 。是s 的拟理想，那么对于任意卫冗叼( s ) ，有f v ( x ) n p f = 1 证明t( 1 ) 设茁r e g ( s ) ，一，。”y ( z ) n s 。那么z c z 冗一z 由于 c 矿，7 列+ ，我们推得z z c 茹“，z z 7 之石件，所以z 一i , x z a 同理可得 i 以及z x a ，既然有z z 冗z 矿，一x x x 由命题2 8 有船7 = z x 和，z = z 因此一= 扩 第二章拟恰当o 富足半群的拟理想恰当断面 ( 2 ) 取zen e g ( s ) 由于x , 一t q e z ，痖丘，我们推得z 冗e 。，z c 厶因此存在 一矿( z ) 满足z 一= 岛= z x = 厶，易见z , z z - - + ，z 琵矿这表明一；矿一矿 s 。( 因为s 。是拟理想) 注。推论2 9 表明在正则的情形。具有拟理想恰当断面的拟恰当# 富足半 群的定义正好与具有拟理想逆断面的正则半群的定义是一致的 引理2 1 0 酽是拟恰当o - 富足半群s 的拟理想恰当断面，那么有 ( 1 ) ( v ，e 。，e 1 ) f e r e g ( s ) = 辛f e = ，e 妒； ( 2 ) ( r e p ，z ) f e r e g ( s ) 爿f e = ，妒e 证明；( 1 ) 令，e 。，e i ，由引理2 5 得e ，e ，从而r e e 很明显 有e f c f e f 因为p 是s 的拟理想，所以f e f e 。从e , g e c 2 推得e f f , e q o ， 因此( e 妒) c l e f 由于s 。是恰当断面，从而f e f = e q o f ，又o = r e r e g s 由推论2 9 知存在z 1 v ( 习ns 。可以验证e 妒x - i ，v ( z ) 1 3p 故 z 一1 = e q o z 一1 ，由于e t 一1 z e o 一1 = e z 一1 - ( ；r e ) z 一1 = ：e z 一1 z z 一1 = e x 一1 ， 同时z ( e x 一1 ) z = ( z e ) z 一z = z z _ z = z ，从而z v ( e x 1 ) 因为s 。是拟理 想，所以z = f e = ，e e 妒s 。，因此z 1 7 ( e x - 1 ) n s 。，但是又有 e z 一1 z z 一1 e y , 一1 = e z 一1 - e t 一1 = e z 一1 ，e z 一1 = e t 一1 z 。一1 = e x 一1 z z 一1 e t 一1 z z 一1 = z z 一1 ，e z 一1 。z 一1 = 。互一1 z 。一1 = z z 一1 从而黝一1 v ( e x 一1 ) f 3s 。那么由推论2 9 得z z 一1 = z ，这表明z 是幂 等元所以 f e = r e l e = r e r e q o r e = f e f e 妒e = f e f e q o ( 2 ) 证明类似于( 1 ) = r e e q o ，= f e l = e 妒，= ，e 妒 曲阜师范大学硕士学位论文 定义2 1 r 设s 是个半群，e 是它的幂等元集如果e 生成个正则 子半群，那么称s 满足正则性条件 命题2 1 2s 是一个具有拟理想恰当断面伊的拟恰当_ 。富足半群。如果 s 满足下列两条件之一，那么，是冗一幂单的左正规带，人是c 一幂单的右 正规带e 。是，和a 的共同的半格断面 ( 1 ) s 。是具有乘性的； ( 2 ) s 满足正则性条件 证明：从( 1 ) 和( 2 ) 均可推出a icr e g ( s ) 令e ，i ，则有 e ，= e e 妒，= e e 妒，妒= e ，妒i 因此，是半群( 带) 设e ，h i ，则有 e l h = e ， 妒= e ，妒 妒= e 妒，妒= e h f 所以j 是冗一幂单的左正规带同理可证a 是c 一幂单的右正规带 2 3a 和，的特性 为了迸一步研究同一个拟恰当1 富足半群s 的两个拟理想恰当断面。我 们先给出几个引理。然后再深入刻画j 和a 的特性在文【1 8 1 中指出，如果 s 是恰当半群且o ，b s ，那么( n 6 ) = ( a b ) + 和( 口6 + ) + = ( 0 6 ) + 都成立对于 恰当1 富足半群s ，我们有 引理3 1 对予恰当1 富足半群s ，若z 是右相容，瓦是左相容，贝 j 对于 任意口，b s ，有 ( 1 ) ( 口6 + ) + = ( 删+ ( 2 ) p 6 ) = ( 西) 1 3 第二章拟恰当l 一富足半群的拟理想恰当断面 引瑾3 2 在1 富足半群s 中，若z 是右相容，瓦是左相容，则有 口+ ( c 1 6 ) + = ( a b ) + ，( a b ) + 6 = ( a b ) 证明：因为a b 瓦( a b ) + 所以由0 + a b = a b 即得n + ( 口6 ) + = ( a b ) + 同理可 证( 口6 ) 6 = ( 曲) 注：以下的讨论都是在z 是右相容，瓦是左相容的前提下进行的 命题3 , 3 设s 是含有拟理想恰当断面扩的拟恰当i l 富足半群。则对 比，y s ，有 ( 1 ) 巧= 牙丘e ”可； ( 2 ) e z f = e z ( 让e p ) + ； ( 3 ) 厶。= ( 厶e ，可) 矗 证明：因为s 是含有拟理想恰当断面s o 的拟恰当a 富足半群，则对任 意。，分s ，我们有z = e 。耽，童= e f 可厶，从而 。管= e ：虿厶e 蚕厶= 岛拉厶f ) + i 厶e 痧( 厶e 口琴) 矗 由引理3 1 和命题2 7 知厶e ，s 。，( 虿厶e f 动+ = ( 虿丘e f 矿) + = ( _ 厶) + 7 蟊厶8 p 所以_ + ( z 厶e p ) + = ( 巩e v ) + 又因为e 。c 矿，所以( 吼勺) + c 矿( 弧e i ，) + ， 而- + ( 虿厶e p 虿) + = ( 旗勺- ) + ，因此有e ；( 珏e ，) + ( 让勺功+ 同理可证( 茸厶e 。勐冗( e v 可) 丘因为e 。矿，所以我们有 ( e | ，) 十岛( 勺) + = ( 矿彳厶e ) + e = ( 虿f x e f ) + = 矿( 勺) + e 。( 砒勺) + = ( i 厶e ) + 矿( _ ，士勺) 十= ( 虿厶勺) + 矿( 虿厶勺) + = ( 玑e l r ) + ( e f ) + = ( 让勺) + 因此( 砚勺) + 是一个幂等元，同理可证( 厶e f 动矗也是一个幂等元 又因为互厶e f 寥酽，故由巧，8 ，z 错的唯性可得 ( 1 ) i 可= 虿厶e f 玩 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 2 ) e 砷= 屯( 玎：e ，) + ； ( 3 ) 厶，= ( l e ，动厶 命题3 ，4 设9 拟恰当l 一富足半群s 的拟理想恰当断面，那么对任意 g e ，有 再= 奄 9 e 西、矿= 再 g e g ，虿= l 。e 西 证明。 对v g e ，由命题3 3 得可= 菇= 琴矗啊，由命题2 7 得厶白 s 。从而y f 9 s 。且有可丘e 口y f , e 9 = 玑白所以虿矗e 9 e 。同理可证 丘勺虿e 。因为s 。是拟理想恰当断面，由引理3 3 得 矿= ( 豇e ，虿) + = ( 弘e ，矿) + = ( 弘e ，) + = 矾勺 可= ( 虿厶白动+ = ( y - 矗白刃= ( 矗白刃+ = 矗白于 定理3 , 5 设p 拟恰当口富足半群s 的拟理想恰当断面，则下列五款等 价l ( 1 ) e 。i 冬e 。( a e 。e 。) ； ( 2 ) v h 扩，v g ，h 9 = h 9 妒( v g e o ，v h a ，h g = h e 夕) ； ( 3 ) e 。j r e g ( s 。) ( e 。r e g ( s 。) ) ； ( 4 ) ，是s 的子带( a 是s 的子带) ； ( 5 ) z 是s 的左正规带( 是s 的右正规带) ； 证明，( 1 ) = j ( 2 ) ，设v h 驴，v g i ，由引理2 5 知g h e ，从而 h g h e 并且9 h z h g h 因为p 是s 的拟理想恰当断面。所以h g h 驴又 因为口c 9 妒，则g h c g l ，o h ，因此h g h c 雪妒h 又由于酽是拟理想恰当断面，所 以h g h = 9 妒h 因此有蛔h g = 夕妒h g = h 孽妒g = h 9 仍又由于h g e 。， 所以h g = h g h g = h 孽妒 ( 2 ) = 争( 3 ) 显然 1 5 第二章拟恰当- 富足半群的拟理想恰当断面 ( 3 ) = 辛( 1 ) 设e 。j r e 9 ( s 。) v ，e 。，v e j ，我们记茁= ，e 船g ( | s 。) 由推论2 9 ，存在z d v ( x ) ns 。，e 妒z ，y ( z ) ns 。，因此z 一1 = e 妒z 一f ，又因为 e ? 一1 。z 一1 e z 一1 = e z 一1 e z 一1 = ：e $ 一1 ，e z 一1 = e z 一1 z 卫一1 = e x 一1 z z 一1 e x 一1 。z 一1 = a ：z 一1 e x 一1 = z z 一1 ，e z 一1 = z 。一1 茁z 一1 = z z 一1 因此z z 一1 v ( e x 一1 ) n s 。，由推论2 9 得= z z 所以。= ，e 是幂等 元f e e 。即e 。，e 。 ( 2 ) = = 争( 4 ) e ，f j ，由( 2 ) 及弓| 3 哩2 5 得e ，= e e 妒，= e e 妒，l p = e | 9 i 因此j 是s 的子带 ( 4 ) = 兮( 5 ) 设，是s 的子带，则e 。j ，因为s 。是拟理想恰当断面，由 命题2 7 知e 。j ，a ，s 。，从而驴，e 。，那么对任意e ，f ，h ，由( 4 ) 得 e f h = e f 妒= e ，妒 妒= e 妒，妒= e n f 故，是s 的左正规带 ( 5 ) = 净( 2 ) 设，是s 的左正规带，对于v h e o ，v g ，有 h g = h g g 妒= h g 妒g = h 9 妒 结论得证 2 4同构定理 设矿，酽分别是拟恰当i 一富足半群_ s 的拟理想恰当断面，e ( s ) ，e ( s 。) 分 别是伊，s 。的幂