（基础数学专业论文）coincidence+point+theorems+in+ftype+topological+spaces.pdf

、 摘要 本文应用b a e 等给出的伪序原理【j k o r e a nm a t h s c o 3 1 ( 1 ) ( 1 9 9 4 ) ， 2 9 4 8 1 ，研究f 一型拓扑空间的重合点理论及其应用，主要内容如下： 第一章，作为预备知识，介绍f - 型拓扑空间的定义和它的特征刻画，给 出这类空间的几个例子。同时，介绍b a e - c h o - y e o m 伪序原理及其相关结果 第二章，在f - 型拓扑空间中引进一个自反关系q ，利用它定义q 一递 增序列、q 一不减( 不增) 函数、q 下半连续函数等概念在此基础上，利 用b a e - c h o - y e o m 伪序原理，在完备的f 一型拓扑空间上建立几个新的单值和 集值压缩映射的重合点定理，并给出若干重要的推论 第三章，作为本文主要结果的一个直接应用，我们在完备的模糊度量空间 中，得到了相应的几个单值与多值压缩映射的重合点定理和某些不动点定理 第四章，作为本文主要结果的另一个应用，我们在完备的m e n g e r 概率度 量空间中，建立了几个单值和集值压缩映射的重合点定理和某些不动点定理 本文得到的主要结果，统一并推广了c a r i s t i 不动点定理【5 】，d o w n i n g - k i r k 不动点定理【1 2 ，b a e - c h o - y e o m 不动点定理【1 】，c h a n g 等【8 】和j u n g 等【1 7 ，1 8 】的重合点定理，以及文献【2 , 4 ，6 ，7 ，1 5 ，1 6 ，2 4 ，2 5 】中的相应结果 关键词：伪序原理；f 型拓扑空间；模糊度量空间；m e n g e r 概率度量空间；重 合点；不动点 2 、 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ea p p l yap s e u d o - o r d e r i n gp r i n c i p l eg i v e nb yb a e e ta 1 ( j k o r e a nm a t h s c o 3 1 ( 1 ) ( 1 9 9 4 ) 2 9 - 4 8 t os t u d yt h ec o i n c i d e n c ep o i n tt h e o r y i nf - t y p et o p o l o g i c a ls p a c e s t h em a i nc o n t e n t sa r ea 8f o l l o w s ： ( 1 ) i nc h a p t e r1 ，a sp r e l i m i n a r i e s ，w er e c o m m e n dt h ed e f i n i t i o no ff - t y p e t o p o l o g i c a ls p a c ea n di t sc h a r a c t e r i z a t i o n ，s e v e r a le x a m p l e so fs u c hs p a c e sa r e p r e s e n t e d a n dt h e n ，w ei n t r o d u c et h eb a e - c h o - y e o mp s e u d o - o r d e r i n gp r i n c i p l e a n dt h er e l a t e dr e s u l t s ( 2 ) i nc h a p t e r2 ，w ef i r s ti n t r o d u c ear e f l e x i v er e l a t i o n 司o nf - t y p et o p o l o g i c a l s p a c e sa n dd e f i n et h ec o n c e p t so f 司- i n c r e a s i n gs e q u e n c e ，q n o n d e c r e a s i n g ( q n o n i n c r e a s i n g ) f u n c t i o na n dq l o w e rs e m i c o n t i n u o u sf u n c t i o ne t cb yu s i n gi t o nt h eb a i s e so ft h i s ，b yu s i n gt h eb a e - c h o - y e o mp s e u d o - o r d e r i n gp r i n c i p l e ，w e e s t a b l i s hs o m en e wc o i n c i d e n c ep o i n tt h e o r e m sf o rs i n g l e - v a l u e da n ds e t v a l u e d m a p p i n g si nf - t y p et o p o l o g i c a ls p a c e s ，a n dg i v es e v e r a li m p o r t a n tc o r o l l a r i e s ( 3 ) i nc h a p t e r3 ，a sad i r e c ta p p l i c a t i o no ft h em a i nr e s u l t si nc h a p t e r2 ， w eg e ts e v e r a lc o r r e s p o n d i n gc o i n c i d e n c ep o i n tt h e o r e m sf o r s i n g l e - v a l u e da n d s e t v a l u e dm a p p i n g si nc o m p l e t ef u z z ym e t r i cs p a c e s ( 4 ) i nc h a p t e r4 ，a sa n o t h e rd i r e c ta p p l i c a t i o no ft h em a i nr e s u l t si nc h a p - t e r2 ，w eg i v es o m ec o i n c i d e n c ep o i n tt h e o r e m sf o rs i n g l e - v a l u e da n ds e t v a l u e d m a p p i n g si ne o m p l e t em e n g e rp r o b a b i l i s t i cm e t r i cs p a c e s t h em a i nr e s u l t sp r e s e n t e di nt h i sp a p e r ，w h i c hu n i f ya n dg e n e r a l i z et h e c a r i s t if i x e dp o i n tt h e o r e m 【5 】 t h ed o w n i n g ：k i r kf i x e dp o i n tt h e o r e m 1 2 1 ，t h e b a e - c h o - y e o mf i x e dp o i n tt h e o r e m ，t h ec o i n c i d e n c ep o i n tt h e o r e m so fc h a n ge t a 1 【8 】j u n ge ta l 【1 7 ，1 8 ，a n dt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t si n 【2 , 4 ，6 ，7 ，1 5 ，1 6 ，2 4 ，2 5 k e yw o r d s ：t h ep s e u d o - o r d e r i n gp r i n c i p l e ；f - t y p et o p o l o g i c a ls p a c e ；f u z z y m e t r i cs p a c e ；p r o b a b i l i s t i cm e t r i cs p a c e ；c o i n c i d e n c ep o i n t ；f i x e dp o i n t 3 、 p r e f a c e i n1 9 7 6 ，c a r i s t i 5 】e s t a b l i s h e dac e l e b r a t e df i x e dp o i n tt h e o r e mi nac o r n p l e t em e t r i cs p a c e ，i e ，t h ef o l l o w i n g t h e o r e ma ( c a r i s t i 【5 】) l e txb eac o m p l e t es p a c ew i t hm e t r i cd l e t tb eam a p p i n gf r o mxi n t oi t s e l fa n dl e tfb eal o w e rs e m i c o n t i n u o u sf u n c t i o n f r o mxi n t o 【o ，o 。) a s s u m et h a t d ( z ，t ( z ) ) 墨，( 。) 一f ( t x ) ，( a ) f o ra l lz x t h e n th a sa f i x e dp o i n t i n x t h ec a r i s t i sf i x e dp o i n tt h e o r e mi so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tf i x e dp o i n t t h e o r e m si nc o m p l e t em e t r i cs p a c e sb e c a u s ei ti sag e n e r a l i z a t i o no ft h eb a n a c h c o n t r a c t i o np r i n c i p l e 【3 】a n di se q u i v a l e n tt ot h ew e l l k n o w ne k e l a n d sv a r i a t i o n a l p r i n c i p l e 1 0 ，1 1 1 c a r i s t i st h e o r e m i sv e r yu s e f u li nn o n l i n e a ra n a l y s i s ，c y b e r n e t i c s ，v a r i a t i o nt h e o r y , a n do p t i m i z a t i o nt h e o r y t h ev a r i o u se x t e n s i o n so ft h e t h e o r e mw e r eo b t a i n e db ym a n ya u t h o r s f o re x a m p l e s ，d o w n i n ga n dk i r k 【1 2 】 p r o v e dt h ef o l l o w i n gt h e o r e m ，w h i c hi st h eg e n e r a l i z a t i o no fc a r i s t i sr e s u l t t h e o r e mb ( d o w n i n ga n dk i r k 1 2 】) l e txa n dyb ec o m p l e t em e t r i c s p a c e sa n dl e tt ：x _ x b ea na r b i t r a r ym a p p i n g s u p p o s et h e r ee x i s tac l o s e d m a p p i n gff r o mxi n t oy ，al o w e rs e m i c o n t i n u o u sf u n c t i o n 妒f r o mf ( x ) i n t o 0 ，+ o 。) a n dac o n s t a n tc 0 s u c h t h a t f o re a c hz x ， m a x d x ( 茹，t x ) ，c d v ( f x ，( fot ) z ) ) 妒( ，( z ) ) 一妒( ( ，0t ) z ) ( b ) t h e n th a sa f i x e dp o i n t i n x p a r k 【2 5 】f u r t h e rg e n e r a l i z e dt h er e s u l to fd o w n i n ga n dk i r k t h em u l t i v a l u e d v e r s i o n so fc a r i s t i st h e o r e mw e r eo b t m n e db yc h a n ga n dl u o 6 】，m i z o g u c h ia n d t a k a h a s h i 2 4 ，i n d e p e n d e n t l y ，a n dt h ee x t e n s i o n so ft h et h e o r e mi np r o b a b i l i s t i c m e t r i cs p a c ea n df u z z ym e t r i cs p a c ew e r es t u d i e db yc h a n ge ta 1 7 ，9 】，h e 【1 5 ， 4 j u n ge ta 1 【1 7 ，1 8 】 i n1 9 9 3 ，f a n g 【1 3 】i n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fg e n e r a t i n gs p a c eo fq u a s i m e t r i c f a m i l ya n de x t e n d e dt h ec a r i s t i sf i x e dp o i n tt h e o r e mt og e n e r a t i n gs p a c e so f q u a s i m e t r i cf a m i l y l a t e r ，c h a n ge ta 1 【8 】g a v es o m ec o i n c i d e n c ep o i n tt h e o r e m s f o rs i n g l e - w l u e da n dm u l t i v a l u e dm a p p i n g si ng e n e r a t i n gs p a c e so fq u a s i m e t r i c f a m i l y a sa p p l i c a t i o n so ft h e s er e s u l t s ，t h e ya l s oo b t a i n e dt h ec o r r e s p o n d i n g c o i n c i d e n c ep o i n tt h e o r e m sa n df i x e dp o i n tt h e o r e m si nf u z z ym e t r i cs p a c e sa n d m e n g e rp r o b a b i l i s t i cm e t r i cs p a c e s a no r i g i n a lp r o o fo fc a r i s t i st h e o r e mi sb a s e do na ni t e r a t e du s eo ft r a n s - f i n i t ei n d u c t i o n s u b s e q u e n t l y , an u m b e ro fa u t h o r sf o u n ds i m p l e rp r o o f s ( c f ， e g 【4 , 2 0 ，2 6 ，3 0 i np a t i c u l a r ，b r 6 z i sa n db r o w d e r 【4 】g a v ea no r d e r i n gp r i n c i p l e w h i c hc a nb ea p p l i e dt op r o v et h ec a r i s t i sf i x e dp o i n tt h e o r e m l a t e r ，b a ee t a 1 【1 】e x t e n d e dt h ep r i n c i p l et oam o r es u i t a b l ef o r m ( i tc a l l e dt h ep s e u d o - o r d e r i n g p r i n c i p l e ) a n da p p l yi tt oo b t a i nag e n e r a l i z a t i o no ft h ec a r i s t i - k i r kf i x e dp o i n t t h e o r e m r e c e n t l y , j u n ge ta 1 【18 e s t a b l i s hs o m em o r eg e n e r a lv e r s i o n so fc o i n c i d e n c ep o i n tt h e o r e m sf o rs i n g l e - v u l u e da n dm u l t i v a l u e dm a p p i n g si ng e n e r a t i n g s p a c e so fq u a s i m e t r i cf a m i l yb yu s i n gt h ep s e u d o - o r d e r i n gp r i n c i p l eg i v e nb y b a e e t 出 i n1 9 9 6 ，f a n g 1 4 】i n t r o d u c e dt h ec o n c e p to ff - t y p et o p o l o g i c a ls p a c e ，w h i c h c o n t a i n st h eu s u a lm e t r i cs p a c e ，f u z z ym e t r i cs p a c e ，m e n g e rp r o b a b i l i s t i cm e t r i c s p a c e ，g e n e r a t i n gs p a c eo fq u a s i m e t r i cf a m i l ya n dh a u s d o r f ft o p o l o g i c a lv e c t o r s p a c ea si t ss p e c i a ic a s e s ，a n dg i v e nt h ef u r t h e rg e n e r a l i z a t i o n so fc a r i s t i st h e o r e m a n de k e l a n d sv a r i a t i o n a lp r i n c i p l ei nt h ek i n do fs p a c e s t h em a i np u r p o s eo ft h i sd i s s e r t a t i o ni st oe s t a b l i s hs o m en e wc o i n c i d e n c e p o i n tt h e o r e m si nf t y p et o p o l o g i c a ls p a c e sa n dg i v et h e i ra p p l i c a t i o n s w ef i r s t i n t r o d u c ear e f l e x i v er e l a t i o n 司o nf - t y p et o p o l o g i c a ls p a c ea n dd e f i n et h ec o n - c e p t so f 司一i n c r e a s i n gs e q u e n c ea n d 司一l o w e rs e m i - c o n t i n u o u sf u n c t i o ne t cb yu s i n g 5 t h er e l a t i o nq o nt h eb a s i s w ee s t a b l i s hs o m en e wc o i n c i d e n c ep o i n tt h e o - r e i n sf o rs i n g l e - v a l u e da n dm u l t i v a l u e dm a p p i n g si nc o m p l e t ef - t y p et o p o l o g i c a l s p a c e sb yu s i n gt h ep s e u d o - o r d e r i n gp r i n c i p l eg i v e nb yb a ee ta 1 【1 ，t h e o r e m 1 】f i n a l l y , w ea p p l yt h e s er e s u l t st os t u d yt h ee x i s t e n c ep r o b l e m so fc o i n c i d e n c e p o i n t sa n df i x e dp o i n t sf o rs i n g l e - v a l u e da n dm u l t i v a l u e dm a p p i n g si nf u z z ym e t r i cs p a c e sa n dm e n g e rp r o b a b i l i s t i cm e t r i cs p a c e s t h em a i nr e s u l t sp r e s e n t e di n t h i sl j a p e rn o to n l yc o n t a i nt h ec a r i s t i sf i x e dp o i n tt h e o r e m 【5 】 t h ed o w n i n g - k i r kf i x e dp o i n tt h e o r e m 【1 2 ，t h eb a e - c h o - y e o mf i x e dp o i n tt h e o r e m 【1 】a n dt h e c o i n c i d e n c ep o i n tt h e o r e mo fj u n ge ta 1 i s 】a st h e i rs p e c i a lc a s e sb u ta l s ou n i f y ， e x t e n da n di m p r o v et h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so f 2 , 4 ，6 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，2 4 ，2 5 6 c h a p t e r1 f t y p et o p o l o g i c a ls p a c e sa n d t h eb a e c h o y e o mp s e u d o o r d e r i n gp r i n c i p l e i nt h i sc h a p t e r ，w ef i r s ti n t r o d u c es o m ec o n c e p t sa n d p r o p e r i t i e so ff - t y p e t o p o l o g i c a ls p a c ea n dg i v es e v e r a le x a m p l e so ft h ek i n do fs p a c e s s e c o n d l y , w e i n t r o d u c et h eb a e - c h o - y e o mp s e u d o - o r d e r i n gp r i n c i p l e 【1 】a n dr e l a t e dr e s u l t s ，f o r t h eh e a do fd i s c u s s i o ni nt h ef o l l o w i n gt e x t 1 1 b a s i cc o n c e p t sa n dp r o p e r t i e so ff t y p et o p o l o g i c a l s p a c e s t h r o u g h o u tt h i sp a p e r ，l e tr + = 【0 ，+ o o ) nd e n o t e st h es e to fa l lp o s i t i v e i n t e g e r sa n da = ( a ! ) i s ad i r e c t e ds e t d e f i n i t i o n1 1 ( f a n g 【1 4 1 ) at o p o l o g i c a ls p a c ex i ss a i dt ob ef _ t y p e t o p o l o g i c a ls p a c e i fi ti sah a u s d o r f fs p a c ea n df o re a c hz x ，t h e r ee x i s t s an e i g h b o r h o o db a s ez 厶= 以( 口，t ) ：口a ，t o ) o f t h ep o i n tzw i t ht h e f o l l o w i n gp r o p e r t i e s ： ( f 一1 ) i fy ( 口，t ) ，t h e n $ ( 盘，t ) ； ( f - 2 ) 巩( p ，t ) c 以( 口，s ) f o ro ! 卢，t 8 ； ( f - 3 ) f o re v e r yq at h e r ee x i s t sp aw i t h 卢三o ls u c h t h a t y ( q ，t 1 + t 2 ) w h e n e v e r 以( 口，t 1 ) n ( 卢，t 2 ) o ； ( f - 4 ) x = u t o 以( 口，t ) f o r e a c hq a a n dz x - l e m m a1 1 ( f a n g 【1 4 】) l e td = d d ：o a ) b eaq u a s i m e t r i cf a m i l y o nx s a t i s f y i n gt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n ： ( q - 1 ) d 。( z ，y ) = 0 f o ra l l 口ai fa n do n l y i fz = 可； 7 ( q 一2 ) d 。( 。，y ) = d 。( ，z ) ； ( q - 3 ) a ! p = = d 。( 正，y ) d p ( 茹，y ) f o ra l lz ，y x ； ( q 4 ) f o re v e r yq a ，t h e r ee x i s t sa 卢a w i t h 卢三ds u c h t h a t d 。( z ，y ) 咖( 。，z ) + d e ( 掣，z ) ， v 留，y ，z x t h e nt h e r ee x i s t sat o p o l o g y 而o nx s u c ht h a t ( x ，) i saf - t y p et o p o l o g i c a l s p a c ea n df o re a c h 茹x t h ef a m i l yo fs e t s 玩= b 。( a ，t ) ：a a ，t 0 ) i san e i g h b o r h o o db a s eo ft h ep o i n tzf o r 而，w h e r e b 。( a ，t ) = 弘x ：d 。( 。，y ) 0i sag i v e nc o n s t a n ta n dqb ear e f l e x i v er e l a t i o no nxw h i c hi sd e f i n e db y zqy 寺m a x d a ( 。，) ，c 以( ，( z ) ，( ) ) ) m a x ( j i ( z ) ) ，( 妒( ) ) ) 西( 。) 一妒( 可) 】，v 口a ( 2 1 ) 1 1 i ft h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa r es a t i s f i e d ： ( 1 ) 毋i sq 一1 s e ； ( 2 ) ki su p p e rs e m i c o n t i n u o u sf r o mt h er i g h t ，o rn o n d e c r e a s i n g ； ( 3 ) f o re a c hz d ，i fg xgn 州& ( 。) ，t h e nt h e r ee x i s ta ni 0 ，a n da p o i n ty s i 。( 。) 一 夕( z ) ) s u c ht h a tg ( x ) q ； t h e nt h e r ee x i s t sac o i n c i d e n c ep o i n to fga n d s ) 州