（基础数学专业论文）椭圆型微分方程解的区域振动性.pdf

论文题目： 专业： 硕士生 指导教师： 椭圆型微分方程解的区域振动性 基础数学 庄容坤 王其如 摘要 本篇硕士沧文讨沧了几类二阶非线性椭圆型微分方程的区域振动性本文所得结果 推广了已有文献中相应的结沦此外，还通过一些实例，说明了相应准则的应用全文 共四章 第一章为综述，简要回顾常微分方程与偏微分方程的振动理沦的发展与现状，同时 介绍了本文的主要工作 第二章利用偏r i c c a t i 技巧、积分平均技巧以及微分不等式理沦，讨论了一类二阶非 线性无阻尼项椭圆型微分方程的振动性，得到了若干新的振动准则 第三章通过利用新的偏r , i c c a t i 技巧，结合积分平均方法，讨论了一类含阻尼项的二 阶非线性椭圆型微分方程的振动性，得到了一些新的振动准则并讨沦了浚方程具有强 迫项时解的渐近陆态 第四章利用积分平均方法及不等式技巧对一类含p - l a p l a c i a n 算子的拟线性偏微分方 程建立了若干新的振动准则 关键词：二阶非线性椭圆型微分方程，零点，振动性，区域振动性，偏i z i c c a t i 变换 t i t l e ：d o l l l l i n ( ) s c i i t a l i o nc 1 i i 州i ；tf o rs e ( - ( 】i 】( 10 i d e r e l l i p t i cd i f f me n t i a le q u a t i o n s m a j o 】：p u r em a t , h e n i a t i c s n a m e ： z h u a n gh o n g k m t s u p e r v i s o l ：p l f e s s o l h 、j a n gq i r u a b s t r a c t t h i sn l a s t e r sd e g r e et h e s i si sn a i n l yc o l l c e r l l e dw i t ht h eo s c i l l a t o r ya n da s y n l p t o t i cb e h a v i ( ) l ) 1s e c o n d o r d e rn o n l i n e a re l l i p t i cd i f f e r e n t i a lc q u a t i o l l st h el e s u h so fth i sr e p o r t , i m p r o v e e x t e n dan l l m b e ro fe x i s t i n gr e s u l t s e n dt h ya l s oh a u d l e “i l t t l l l b c ro fc r i s e sn o tc o v e r e db y k n o w nc r i t e r i as o m ei n t e l c s t i n ge x ；i i t p l e sa l l ei n c h t 0 如果 阳( ) = 0 是方程( 1 1 ) 的解，则称咖( t ) 为方程( i1 ) 的平凡解方程( 1 1 ) 的一个非平凡 解称为振动的，如果，( f ) 的零点集合是无界的，否则称它为非振动的方程( 11 ) 称为振 动的，如果它的任何非平凡解都是振动的；方程( 11 1 称为非振动的，如果它的任何非平 凡解都是非振动的有关常微分方程的振动理沦清参阅专著m 1 8 ：1 6 年，s t u l - 在研究热传导方程时，提出二阶线性常微分方程 f “( ) q ( t ) z ( ，) = 0 ： = 0( 12 ) 的振动性问题，其中u ( f ) 是1 0 ，。c ) 上的连续函数进而对一般的二阶线性微分方程 j 7 t 印) 17 + g ( t ) z ( f ) = 0 f t o20 ，( 1 ，3 ) 其中，( ) ，口( ) 是【o ，o c ) 上的连续两数，建立起振动理论中最基本也是最重要的s u u r t - 比 较定理1 s l m 由sl u r m 比较定理可得到s t m l n 零点分离定理，即方程【13 ) 的任何两个 线性无关解的零点是彼此交错的因此方程( 13 ) 的任何非平凡解，或者全都振动，或种 全都非振动方程( 13 ) 的振动性态与l l ic ：c a f l 方程有着密切的关系，表现为如_ 卜的定理 i 3j ： 定理1 1 如果r q u ) 足【o 。c ) 匕的连续函数，且t ( ，j f 】那么方程( 1 ： ) 为非振 动的充分：凶要条件是r i c ( ：；l i i 方程 w _ ) 刊”裂= n ，佗o 在某一区问f t o ，。) 上存在连续可微的解”( f ) 对于二阶的线性微分方程，虽然有着重要的s u n m 比较定理，但它并没有明确地告 诉人们，方程在什么情况下会振动或非振动因此，人们开始寻找各种确保方程振动的 条件，发现许多重要的振动准则都涉及到系数函数o ( ) 的可积性这方面的具代表性的 工作可见f 8 1 一 1 0 1 ，其中作者分别得到了如下的确保方程( 12 ) 振动的条件： f t 魄小( s ) 如2 。， 6 t o o ，( 1 4 ) 。喙；“知) d r d s = o 。，吲删 ( 1 5 ) o o l i r a t 骢；( 咖) 打d s l i r a 2 曼；z 石咖) d r d s 2 ，且p ( t ) c 1 ( o 。) ，( 0 ，。o ) ) 如果 u i 1 1s u 。南f 乒叫小) r ( 一s 0 ，( ，s ) d ，且h ( f ，s ) 关于s 的偏导数非正又设 ( c ，s ) c ( d ，r ) ，满足 一掣( t ，s ) ：7 。( ，s ) 【( ，s ) 】1 2 ， ( f ，一) d 在2 0 0 1 年，w a n g 1 8 i ，1 2 0 1 引入了一类h ( ，s ) ( s ) 型函数去掉了大多数文献中( ，s ) 关于s 的偏导数非正的限制得到同样的结果随后，利用积分平均方法对k a l n e n o v 型条 件进行推广和改进的最新成果不断涌现，可参见 2 1 一 2 8 | _ 一般地，这些条件都涉及q ( ) 在整个o o ) 区间上的积分，从而需要口( ) 在整个 t o ，。) 的信息 2 产k高燮 n ，的动振是程 果 方 如 则 然而从s r - 零点分离定理，我们知道方程的振动性是一种区间性质，即如果存在 。) 的- - 歹r j 子区间【( l i ，b ，：当m 0 0 时，使得对每个t 方程( 12 ) 存在一个解在b 上至少有一个零点，则方程( i2 ) 的每一个解都是振动的 k w o a n g 和z e t t 在【2 9 】中部分地应用这利t 思想研究方程的区问振动性并建立了一个 所谓的“t d c s c o p i n g ”原理，即允许修捧积分f ：口r “的“麻烦”部分，进而应用已知的 准则于“好”的部分，不幸的使，这个准则对q 的“坏”的部分附加了额外的条件而限制 了它的应用 e i s a y e df 3 0j 将这种思想应用于研究如下强迫型方程 7 ( t ) z 7 ( ，) 7 + q ( ，) j ( ，) = p ( t ) t ! t n 0 ( 17 ) ：i ：建立了方程( 17 ) 振动的区问准则，但r h 干证明中用到常系数微分方程的比较定理，因 而其结果的应用受到限制 1 91 ) 9 年，w o t - g l a 2 1 将其发展为如下更一般的振动结果 定理1 4 假设对任意的t 1 1 存在1 1 s 1 f i 0 0 且对任意的y 11 u 存在，71 。】 c s ， 1 ，或者( i ) 下列两个不等式成立 n m s t l n 河1z 。( s - t 罂”嘉小_ s ) 1 小) 如 鼎 ( 1 1 2 ) 或者( i i ) ，下面不等式成立 ( 1 1 3 ) 则方程( 1 2 ) 的每个解是振动的 受e i s a y e d ，k o n g p h i l o s 等人的工作的启发，最近，不少学者建立了各种类型的 常微分方程的区问振动准则，所得结果可以应用于以前所不能处理的一些极端情形，如 此q ( s ) d s o o 有关这方面的内容可参见【2 9 】_ 4 1 1 及其所引用的资料 1 2 偏微分方程的振动性 对偏微分方程振动性的研究，是常微分方程振动性研究的自然发展实际上，由于 客观世界的复杂性，在连续体力学，种群生态学，电子学，经济学及现代最优控制理论 等领域中提出的大量的数学模型是以偏微分方程的形式出现，这使得对偏微分方程振动 性的研究更具有实际意义于是偏微分方程的振动性问题，一直受到广大数学工作者关 注并取得了大量的研究成果，s w a n s o n 在文献 4 2 】中精彩地总结了这一领域直到1 9 7 9 年 的研究成果 1 9 8 0 年，n o u s s a r 和s w a a s o n 4 3 1 首次引入n 一维向量型r i c c a l i 变换 帅) 一踹( 炳) ( 这里c 2 ( r + ，r + ) ，v y 表示的梯度) ，成功地将常微分方程中著名的w i n t n e r 定理推 广到椭圆型方程 d i a i j d j y + q ( z ) y = 0 f 1 1 4 1 其中z n n 是r “上外区域，d 。，为第i 个变元x 。的偏导算子 x i l 在文献阳】中利用了n o u s s a i r 和s w a n s o n 4 3 l 所给偏r i c c a l i 变换，结合积分平均 方法，获得了关于方程( 1 1 4 ) 振动的k a m e n e v 型准则其结果可表述如下： 定理1 6 设，7 ( 芦) k 0 记d o = “_ s ) ：r s 兰“o ，d = ( r ，5 ) ，s n o 若存在f i c ( o 代) h c ( d o ，r ) k ，p c 1 ( t o o 。) ( 0 ，o 。) ) 和( a 7 7 ) c 1 ( k o ，+ o 。) ，r ) 满足如下条件 ( i ) ( r ，r ) = 0 ，7 a 0 ；h ( 7 ，s ) 0 ( r ，s ) d ； ( i i ) h ( ns ) 关于s 连续旦垧导数非正； ， ( i i i ) 一罴【( r ，s ) x ( s ) 】+ 错+ 珂而i ；再 ( t ) 一( s ) 如果 唑发，未面( 小) 叫s ) h 2 ( 圳山= o 。 成立，则方程( i1 4 ) 是振动的k - 。p q ( r ) = p ( t ) 正，u ( ：r ) t ! 一+ 菩a ( r ) r j 2 ( r ) ，1 一( a ( t ) ，j ( ，1 ) ) 7 9 ( r ) = 等 ( p 【t ) r l 最近，x n 4 5 1 在n o l l s s aj t 和s w a l 5 0 d 工作的基础上，建立了如下新的偏h i c c a t , i 变 换， 叭扣志( 且v 州z ) + 丽1 口 ( 1 1 5 ) 这个变换非常重要，它使得积分平均方法得以推广到如下含阻尼项的椭圆型方程 n d ，【4 。( z ) d ，引+ b ，( x ) d i y + q ( z ) ，( ) = o j = l ? 一1 有关这方面的工作，可参见x u 在文献4 4 一f 4 6 的工作 正是由于n o t t s s a i r 和s 、v a i i s o i 所建立的n 一维向量型r i c c a t i 变换，使得在常微分方程 的振动理论的研究中占有重要位置的积分平均方法得以推广到椭圆型微分方程然而， 与常微分方程的振动性类似，大多数的振动准则都包含系数a ：，或q ( x ) 在整个无穷区域 f ! 的积分，从而需要了解方程在整个无穷区域的信息这使得这些准则难以应用于方程 在外区域! ! 的某个大的部分具有“坏”的性质的那些方程 1 3 本文的主要工作 这一节介绍本文的主要工作 第二章利用偏r i c c a t i 变换、积分平均技巧以及微分不等式理论，分别讨论了1 类无 阻尼项的二阶非线性椭圆型方程( 2i ) 的振动性以及一类含强迫项的无阻尼项椭圆型方 程( 22 4 ) 的振动性，得到若干新的振动准则 第三章利用偏1 i c c a t i 变换、积分平均技巧以及微分不等式理论，分别讨论了一类含 阻j e 项的二阶非线性椭圆型方程( 3 】) 的振动性以及一类含强迫项和阻尼项的f ；| i 圆型方 程( 3 7 0 ) 的振动性，得到若干新的振动准则；并讨沦了该方程具有强迫项时解的渐近性 态 第阳章利用积分平均方法及不等式技巧，讨论了一类含p - l n p l a c i a t 算子的拟线性偏 微分方程( 41 ) 的振动性，建立了若干新的振动准则 第二章无阻尼项的椭圆型微分方程的振动陛 本章通过利用偏r i c c a t i 技巧与积分平均技巧，讨沦了一类二阶无阻尼项非线性椭 圆型微分方程的振动性，所得结果推广了常微分方程的k a t r - e n e v 型准则 2 1 一类二阶非线性椭圆型微分方程的区域振动性 考虑如下二阶非线性椭圆型方程 d ：【a u 马圳+ q ( z ) ，( ) = 0 ( 21 ) 其中x n ：n 是r “上外区域设f 2 包含某n 维球体。点z = ( 。h ，z ，。) r n ，其e n c l i d e a n 模记为关于第t 个变元的偏导算子记为d 。，i = 1 ，r t 关于方程( 2 1 ) ，我们假设下列条件成立： ( g 1 ) a = ( a i j ) 。为实对称正定矩阵( 椭圆型条件) ，a i j c o ：”( n ) p ( o ：1 ) ，i ，j = 1 ，n 设矩阵a 的最大特征值为a 。( z ) 且存在函数a 0 ( r + ，r + ) ，使 ( 7 ) 1 m 。l i n ：x ， z ( 。) ，” o ( 国) q 咙。( n ，r ) ，pe ( 0 ，1 ) 且q ( z ) 对n o ( n o ( ) ) 不恒为零； ( 凸) ，e c l ( r r ) ，y f ( y ) 0 且，铀) k 0 对所有0 称个函数c 嚣”( n ，r ) ，“( 0 ，1 ) 为方程( 1 ) 的解，如果对所有。啦( 。) 满足 方程( 21 ) 关于方程( 21 ) 解的存在性，参见m 我们仅考虑方程( 1 ) 的非平凡解( 。) ，即 对所有。n 0 ，均有s u p l y ( x ) ：x f 2 ) 0 称方程( 1 ) 的非平凡解( z ) 是振动的， 如果( z ) 的零点集( z i 2 ：( x ) = o ) 无界；否则，称之为非振动的方程( 2 1 ) 称为是 振动的，如果方程( 21 ) 的所有非平凡解均是振动的 以下我们使用如下记号 d o = ( r ，s ) r 2 ：r s ( 6 0 ，d = ( ? 1 ，s ) r 2 ：? 2s a o ) 首先定义函数类皿，称h 皿如果1 1 c ( d ，r ) ，h 2 c ( d ，几) p c 1 ( 【n o ，+ o 。) ，r + ) 和( a ，f ) c 1 ( n o + 。) ，r ) 满足下列条件 ( h 1 ) ( 上，2 ) ( 地) h ( r ，r ) = o ，a o l h ( 7 ，s ) 0 ，对所有( ns ) d o ； 岳f ，( r 1s ) 】+ 【帮+ 警w ( t ) r 1 。“】( r s ) = h i ( ns ) 万丽； 岳【h ( r ，s ) 】+ 【错+ 警叼( s ) s 1 一“ h ( r ，s ) = 一h z r , s ) 、力丽 为方便起见，再引入下列记号，对任意给定p c 1 ( ；+ 。) ，凡+ ) ，( 柚) ec 1 ( f + 。) ，r ) = 州阪q ( 州a + 菩廿) 怖) r l - n _ _ ( 川咖) ) ， ， 9 ( 7 ) = g c ，b ) = z 咒“：c i x l 0 z ( ? hb ) 对任息t l 啦定 义 ， w ( z ) 2 志( a v 小c ) 蚯g ( 22 ) 和 i ，( 7 ) = 州 正( 咖( 州一+ 狮h p ) ， z t 卟吡【2 其中v 表示的梯度，1 ( r ) = 南，z ( 1 是单位外法向量，则下而不等式成立 j i i ；j ：ii bf f ( b 一) 。( s ) d s 0 ，。g ( 。，d 对任意h ，在 g ( “，d 上定义w ( z ) ，v ( ，) 同( 2 2 ) 和( 2 3 ) ，则下面不等式成立 j j 雨1f 。h ( s ，“) q ( s ) d s y ( c ) + i 万。砑1 ( “9 ( s ) h ( s ，“) d s ( 29 ) 证明类似于引理21 的让明，将( 2 7 ) 式的变量r 抉力s ，曲边同乘“7 ) ，外j a 7 到c 积分，得 z 。脚俐蜒，州s z 。紫出 + c 锱+ 等帕咐灿 一州一z 。掣州出 + f 6 掣+ 锱+ 釉小。卜r ，卜冲 = 圳 州一i f 。掣出+ ! o h l ( 一) 而吩) 如 一晰m 旷叫等忖；厕h br ) 卜+ 抬堵州s 一( r ，r ) v ( r ) + ；j ( 。g ( s ) ( s r ) d s ， 即 j ( 。耶，悃( s ) r s 一( c , r ) 帅) + ；，6 小沙2 ( s ，州s ( 21 。) 8 对( 21 0 ) 式令r n + ，井两边同除以，( 一。) 可得( 2 9 ) 式引理22 证毕口 由引理2l 和引理22 立即可得如下结沦 定理2 1 若存在c ( b ) 及1 1 田使得 丽1j ( f ，( s ，n ) q ( s ) r f s + j j i j ：i b 1 1 ( 一) q ( s ) r 7 s ，j ( 丽1 胁) ) m ，州丽1 厂小埽孙 成立，则方程( 21 ) 的非平凡解( z ) 在区域( ；( “， ) _ ，：r ”n ：。1 0 ，z g ( a ，6 ) ，则 由引理1 和引理2 知：( 2d ) 和( 2 9 ) 成立将( 2 a ) 和( 29 ) 两式相加得 百丽1m ，舶也一丽雨if 6 邮加如 ：( 志胁圳i 2 【舭一丽1 办圳极) 这与1 1 ) 式矛盾，从而( g ) 在( b ) 上至少有一个零点定理9i 证毕 巴 定理2 2 若对每个t ! n o ，存在皿及叽b c 冗使得t ! “ c b 时，( 21 【) 式成立，则方程( 21 ) 是振动的 证明选取序列f f c + 。) ，z 一一时巧一。由假设，对每个ze 、_ ，存 在b ：，_ fr 使一n 。 n 和 i ：型。川肌帆) 协小 。 成立，则方程( 2 1 ) 是振动的 证明对任意t ! m ，令：丁在( 21 3 ) 式中，取“= f ，则存在c n 使 ( ( s 、“) q ( s )：t ，( s ) ( sn ) d 一 。 在( 2 1 1 ) 式中，取c = f ：则存在n c 使得 1 6 即加孔 s ) 卜 n 由c 2 1 5 ) 币1 f j l 可得f 21 1 ) 式，据定理22 知方程( 21 ) 是振动协定理2 ； 钔 鼬 回 n 担 心 汜 怛 由以上振动准则，通过选择不同的h ( r ，s ) ，p ( s ) 和t 如) ，可以得到各剥t 更具体的振动 准则 在定理2 2 中，取v 小) e0 ，而1 1 ( t ，s ) = ( t 一一) ，易知! ! 軎= 一型止j s 丑，记为 h ( r s ) 则 h 垆湍高+ 甜瓜i ，b p ：扣篙禹一错瓜i 幽敢关山p ，侈那h p s ) 的幽毅伺成的子粟记为皿o 将定理2 2 _ 匝用于皿o ，口 得如 下结沦 定理2 4 若对每个t2n o ，存在h o 及( bc r 使得tsn ：f i b ( q ( 2 cs ) + 9 ( 2 c s ) 矧d s h 扣“) f o o ) +一s ) 】d s s ) + 9 ( 2 c s ) 笔 二等s j n t j i 5 一“j + ；脚s ，鬻叫。c 刊舞岩沁叫出 + 1 一弘，豁吲z ，麓哥卜训s 江 成豆，则万程( 2 1 ) 是振动的 证明取b = 2 c 一“，则h 一c ) = h ( c n ) = ( ( b a ) 2 ) ，且对任意的l a b 1 有 j 14 t 曲d s = f 、。t 2 c - s l a 1 d s j c 于是 b h ( d 叫) d s = r 耶刊。( 2 c - s ) 啦 上6 如m 孙叫一知“蒿高一鬻何习2 如 = 2 c - s ) 篙高一矧瓜i 卜 且 胁旧”州s = c g 篇啬+ 搿瓜习2 如 这样， ( 2 1 7 ) 式成立意味着( 21 1 ) 式成立由定理2 知方程( 21 ) 的每个非平凡解均振 动定理2 4 证毕，口 定义 川= 厶蒿咖。 且取 ( r s ) = a ( r ) 一a ( s l l ”，f ， 1 ) ， 77 ( s ) 三0 州s ) 三l ， l o 则可得如下| ( n l l l e l l ( ! v 型定理 定理2 5 设l i m 一，a ( ，) = 。若对每个b 存在” 1 ，使 a m 蜘，赢 a ( s ) ”( ? ( s ) r ! s 赢 ( 21 s ( 2 1 9 ) 成立，则方程( 2 【) 是振动的 证明由爿s ) ，v7 ( 一) 和p ( s ) 的取法，得 h p 沪叫a ( 叫圳孚熹忆”，泸) - 删字篙小) = 吴m ) ，” 于是有 胀郴矽2 圹侧等出 等小刈驯“篙如 百万dz j 二21 水( s ) 、( ”1 “啪孙州s = z 。羚1 小川“ = 警小p r2 篙山 2 斋) 一俐 注意到l i m ，。a ( r ) = 。cq 陇f r l , ( f 熙瓣知圳讯舶胁= 斋岛 翱 22 ( ，峻孤“州拍，州s = i 看岛 t 蛾品两肿邮r ) 懈劬) 卜 = ，! 巴南八m ) 一删r q ( s ) 出一，峻矿1 丽f j 1 小m ；如 世銎南门a f s ) 恻”s 蔫 。 南南 嬲 嬲 和 即( 21 3 ) 式成立同理，由( 21 9 ) 和( 2 2 1 ) 可推得( 2 1 4 ) 式成立于是由定理23 知：方 程( 2 1 ) 是振动的定理25 证毕口 注2 1 看条件( 国) 被替换为 趔2 k 0 0 ， 则本文所有定理仍然成立，但要求q ( z ) 在外区域ncr ”上不变号 例1 考虑如下二阶非线性椭圆型方程 暑 导碧 + 面0 箬差 + 击c v + 朔- o c z 。：， 其中，一虿虿，r 1 m = 2 ，。2p 0 显然 a ( r ) - = 暑，q ( 。) = 万1 ，m ) = + 沪 则 a ( r ) = ：7 而8 1 - n 出= 去( r 2 叫，) = 可2 7 r ，八) = 1 + 3 y 2 1 u = 2 ” 于是，对每个b 三1 ， 地器南小小邮矿删s = 韭罐 = 等3 器掣= # ( 2 。s ) 从而，当n 1 使鼎 帮与，即( 2 1 8 ) 式成立又 和a ( r ) 叫s ) 】叫a ( s ) 叫b ) 】”) 箬小嘶) - a ( 驯叫坤) 叫6 ) 1 s 扎 即 ， t 【a ( r ) 一a ( s ) 】”q ( s ) d s 【a ( s ) 一a ( 6 ) j ”q ( s ) d s 于是 l i r a 扩1 v j ：i 刈州吲s ) 如熙南和叫驯圳s = 可孑 从而对同样的” i ，当。 0 ) 不恒为零； ( o ) f c 1 ( 兄r ) ，y , f ( y ) 0 且掣 k ”“对所有y 0 ，其中，f 0 一1 称。个函数c l , t ”( 5 2 r ) ，( 0 ，1 ) 为方程( 1 ) 的解，如果对所有z 5 2 ( z ) 满足方 程( 22 1 ) 关于方程( 22 4 ) 解的存在性，参见我们仅考虑方程( 22 z i ) 的非平凡解( z ) 即对所有! n ! n m 均有s u p m * ”z f 2 ) 0 称方程( i ) 的非半凡解( x ) 是振动 的，如果( r 1 的零点集 zfn ( c ) = c 】 无界；否则，称之为非振动的方程( 1 ) 称为 是振动的，如果方程( 22 i ) 的所有非平凡解均是振动的 首先定义函数类m 。( b 。) 及中如下： 中6 ，) = 1 l c 1 枷( ，) 刈。) ，爿( m ) 一m 卜( ) ，c = 2 j i 丽1 一l2 记d = “ns ) 一。c s 兰n n ； ( 2 ) “在d 上分别对n 一的偏导数o i t & ，o h o s 且满足： 面o h = 2 h ( - s ) 丽和筹= 划州n 一) 扣i 可 其中h 1 h 2 l h ( d ，z ) 为方便起见，再引入如下记号： q ( ，) = 【q ( 圳l e ( 圳1 ：r 妇 口( 7 ) = ( ，) r “叫 其叫rs ，= z 。| = t ，d o - 是科中球面积分元，u 是r ”中单位球而积 定理2 6 若下列条件成立： 【 i j 对任意的i 1 肌j ，存在7 1 n 1 b lsr 了7 1 - n 阪帅m 珈f a 2 m ) 兰一z ，m z ) y u - 1 ( 矿器卜一焘嵋r ) ( 2 。) 下面分两种情形t 1 d ( i j p 1 ：由f 匮砹，oj 迓职“1 b l 三三1 i ( n i n 1 ) 幔得c ( 。) s0 z c ? l n i l j ，由1 1 6 1 d e r 不等式得： 一揣m 肛) , y u1 = 觥+ m 矿1 z ) 字1 + 舢h 一，) ” q ( 圳e ( z ) 1 1 一i( 23 0 ) 于是在区域o k , - ，b - 1 上，有 小) ! s ，酬z ) m z ) 一拈一而1 1 7 ：( ，) i s 。+ | r ) 即 、 m ) ! 一q ( 小高啪) ( 23 1 ) 取符合假发的t t ( t ) i j l ( n 1 ，b 1 ) 乘以上式的两端，再从。】到6 1 积分得 如! 一c 川加：l ) 高如 ( 2 。) 分部积分上式并利用h ( ( c 1 ) = i i ( d 1 】= ( ) 得 p 小) 厕v 池s 小州巾小小) 志出 皿3 触珈腓州一) 而吣卜等卜 = 小萨州删山肌 撕h ( qm ) - 历心，卜 一c 川搿吣卜历州小s 但净t 由于眦( ，) 【) 使得( 23 4 ) 式产生矛盾 用e ( z ) 0z g h ，b 2j 同佯可得出矛盾 ( z f ) v - = l 由假没，可选取“l ，b l ( 22 ) 式知在区域( 斗l ，b lj 上v ( ，1 ) 满足 若”( t ) 最终为负，则选取1 t ( ，) m - ( n 2 ，k ) ，乖 从而方程( 22 足振动的 五l ( “1 b 1 ) 使得e ( z ) s0 z g h l 6 1 1 ，贝由 类似于( 。) 的征明，可证得结论定理26 证毕 r f 23 5 1 州一 一扣 蛳 ， ，凡叭 引理2 3 设存在c 1 b l c 2 0 ，z g hb 1 ) ：( 叫 0 ，z g 【c ：l ，b i ) ( z ) 0 ，z g ( = 2 1b 2 ) 类似于定理2 6 的证明，可得( 23 1 ) 式，将( 2 3 1 ) 式的变量t 换为s 两边同乘h ( 吒s ) 并 对s 从c i 到r 积分( r f c i ，如) ，得 i ，h ( r ，s ) 。( s ) d s 一p ( r s 肌) ( 1 s 一晰) 高一s 叫m 小p 。( f ，s ) 扣而俐s p ( r s ) 高如 = ( t 、，q ) 矿( q ) + z l 。( s ) l ( r , s ) d s - f , i v u ( s ) 生p ( s ) + 莉d s 兰h ( r ，q ) v ( q ) + f i g ( s ) 7 。l ( r ，s ) d s ( 23 7 ) 对( 2 3 7 ) 式令r 一6 i ，井两边同除以h ( b i q ) 可得( 2 3 6 ) 式引理23 证毕e l 引理2 4 设存在a 1 c 1 ( t 2 0 ，z g ( a l ，c 1 ，g ( z ) o ，x o ( a 2 ，c 2 则对任意 的1 1 由，下面不等式成立 万蠢b 7 邮，) 如s 圳+ 万瓦b e 如m 孙，捉z 乩2 ( 23 8 ) 证明类似于引理2 3 的证法，将( 2 3 1 ) 式的变量r 换为s ，两边同乘h ( s ，r ) 并对s 从r 到q 积分( r ( a 。q 】) 得 f c - h ( s ，) q ( 引出 j 7 _ 弘缈k 胁一小ps ) 高d s = 叫州) + j ，i c 2 h i r ) 瓜丽( s ) d s - - f 6 耶r ) 志d s 1 6 = 一，( q ，t ) v ( 。) + “9 0 ) 7 i ( s ，r ) 一s 一，( 。，) l ，( c ，) t ，口( 。) 7 i ( 。，) “。 对( 2 ： o ) 式令，一，i 二两边同除以1 1 ( 岛，m ) 可得( 23 8 ) 式引珥24 证毕巴 由引理23 和引理2 4 立即可得如下结论 定理2 7 设存在“1 b 1 蔓啦 r t i t , 。) ( 7 i m - ) 由假设可选取f l ib i ! n ( 1 h i ) 使得r f t ) ! o _ g h ，b 1 1 ，则由r j l 理23 和引理2 ：【 知：( 236 ) 和( 23 s ) 在i = 【时成立将( 2o d ) 和( 23 s ) 两式柑加僻 lp h ( c l “1 ) i o h 【一) ( ：) ( s ) 一9 ( 一) 纸n ) d s f 1 1 ，( 。- 一) q ( s ) ( s ) ! ( b 1 s 1 r f 一o ( 2 ，i ，r 1 。 j 这与( 24 0 ) 式在 = l 时矛盾若( 叫最终为负， g d 2 1 ，同洋可推出矛盾从而( z ) 在g ( ，b 1 ) 证毕1 则由假i 殳可取r b 21 丁0 使c h ) 0 ，z 或g ( 如) 上至少有一个零点定理27 定理2 8 若下列条件成立： ( 4 1 ) 对任意的丁r o ，存在tsn l b 1 曼2 b 2 使得 和，f ；： ，g m l b l z g f b 冗q ( z ) 乏( ) ( 【) ) r g ( a lb 1 ) u ( ? ( “2 ，b 2 ) ( 4 2j 存在q ( q b 卜1 ，2 ，及函数h 小使得t 兰n 成立，则方程( 22 4 ) 是振动的 证明选取序列 乃) cm ，_ 。) ，使，一。时r 一。由假设，对每个n 存在 m b 1 r 。】n 2 ，虬，c2 h 使ls “l c i b l n 2 c 2 r 6 l 马，j n ，从而( z ) 的零点集( z n ：“( z ) = o 无界于是方程( 22 4 ) 是振 动的定理2 8 证毕口 推论2 1 若对任意的t2a o ，下列条件成立 ( a 1 ) 存在t “l b l 曼n 2 b 2 使得 z g ，b l z g o 2 ，b 2 且q ( z ) 0 ( 0 ) ，z g ( “i ，b j ) u g ( 0 2 ，b 2 ) ( a 2 ) 存在q ( 皿，吣i = 1 ，2 及函数1 f 中使得t o , 1 b l a 2 0 ( 2 4 2 ) 由以上振动准则，通过选择不同的( z - ，s ) ，可以得到各种更具体的振动准则 在定理2 8 中，取h = h ( ，一s ) 圣，易知型止o r 丑= 一! ! g ，记为h ( r s ) 函数类 m 中形如| 【，( r s ) 的函数构成的子集记为m o 将定理2 8 应用于4 o ，可得如下结论 推论2 2 若对任意的t a o ，下列条件成立： ( a 1 ) 存在t n 1 2 c l n lsn 2 如sb 2 2曲 9 一s q sbh 、的，止动振 是 科 2 程 方则 立 和 成 并令 ( n5 ) = 几( ，) 一州 ) h ，s 三i t ) ( 2 州) 其中n 1 是一个常数由上面结 仑i r 得如下k ；l l l o l l ( ! vs 型振动准妣 定理2 9 设l i m 凡( v ) = 。n 1 若对任意的tj 州j 下列条件成立： ( 。4 】) 存在tsn 1 6 l 曼“! d 2 使得 咖) ：c ( ? h 1 b l z g m 2 b 2 且q ( z ) 0 ( 0 ) 、c g ( “j ，6 1 ) ug ( t 。2 ，b 2 ) ( a 2 ) 存在- ( f l ，b i ) i = 1 ，2 ，使得丁r i 0 ，记r = z 胛：1 3 2 i = n ，g ( n ，0 0 ) = z 兄t l n 1 ，g ( n 1b ) = z r ”：n i z i b ) ，c l c ，b ) = r ”：c i z l 0 ，y 0 ，为常数 称一个函数皖( n ，r ) ，p ( 0 ，1 ) 为方程( 3 1 ) 的解，如果对所有z q ，( z ) 满足 方程( 3 1 ) 关于方程( 31 ) 解的存在性，参见【4 1 我们仅考虑方程( 3 1 ) 的非平凡解 ( 。) 即对所有i x i “a 0 ，均有s u p f l ( z ) l ：$ i 2 ) 0 称方程( 1 ) 的非平凡解y ( x ) 是振动 的，如果( z ) 的零点集( 。n ：，( z ) = o 无界；否则，称之为非振动的方程( 3 i ) 称为 是振动的，如果方程( 3 1 ) 的所有非平凡解均是振动的 首先定