（工程力学专业论文）基于时域精细算法与扩展有限元技术的粘弹性位移场分析.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 对实际问题中的许多粘弹性材料，如混凝土，聚合物，复合材料等，必需计及由细 微的裂纹缺陷引起的断裂问题。由于粘弹性材料的时效特性，在载荷低于弹性临界载荷 时，它也会由于位移随时问的不断增长而产生断裂，此时粘弹性位移场的分析显得尤为 重要。 由于粘弹性问题本身、边界条件形状及裂纹等的复杂性，粘弹性位移场的解析分析 一般较为困难，发展行之有效的数值求解技术十分必要。本文利用一种基于展开技术的 时域精细算法，将各变量在每个离散时段上作幂级数展开，以更精确地描述它们随时间 的变化，同时将一个时空耦合的初边值问题转化为一系列的空间边值问题，并采用扩展 有限元技术进行求解。文中对所提算法，进行了初步的数值验证，与解析解相比，结果 令人满意。 本文的研究工作有望为粘弹性断裂问题的位移场分析提供一种新的途径，但本文的 工作仅仅是一个开端，许多工作有待于着力深化与展开，经进一步完善改进，有望在实 际问题中得到初步应用。 关键词：时域精细算法；扩展有限元法；粘弹性；位移场分析 基于时域精细算法与扩展有限元技术的粘弹性位移场分析 e x t e n d e df i n i t ee l e m e n tm e t h o db a s e do np r e c i s ea l g o r i t h mi n t i m e d o m a i na n di t sa p p l i c a t i o ni nv i s c o e l a s t i cd i s p l a c e m e n tf i e l d a n a l y s i s a b s t r a c t f o rv a r i o u sv i s c o e l a s t i cm a t e r i a l su s e di ne n g i n e e r i n g , t a k ec o n c r e t e , p o l y m e ra n d c o m p o s i t em a t e r i a l sf o ri n s t a n e e ，t h ef r a c t u r ep r o b l e mc a u s e db ye r i ec r a c k se x i s t e di nt h e s t r u c t u r e ss h o u l db eh i g h l yc o n s i d e r e d b e c a u s eo ft h ea g i n gp r o p e r t yo fv i s c o e l a s t i em a t e r i a l ， t h ec r a c kc o u l db eg e n e r a t e db yi n c r e a s eo fd i s p l a c e m e n tg r o w i n g t h r o u g ht h ep e r i o d ，w h e nt h e l o a d i n gi sl o w e rt h a nt h ec r i t i c a lv a l u eo fe l a s t i c i t y t h u s ，t h ea n a l y s i so fd i s p l a c e m e n tf i e l di s s i g n i f i c a n tf o rv i s c o e l a s t i cm a t e r i a l s i t sd i f f i c u l tt oo b t a i na n a l y t i c a ls o l u t i o nd u et ot h ec o m p l e x i t yo f s p a c e - t i m ec o u p l i n gf o r v i s c o e l a s t i cm a t e r i a lw h i c hh a sac r a c k ；t h e r e f o r e ，e f f e c t i v en u m e r i c a lm e t h o d sa r ei ng r e a t n e e dw h e nt h ep r o b l e mi sb e i n gs o l v e d t h ep r e c i s ea l g o r i t h mi nt i m e - d o m a i ni sc o n d u c t e di n t h ep a p e r f o ram o r ea c c u r a t ed e s c r i p t i o no ft h ev a r i a b l e sw h i c hc h a n g eo v e rt i m e ，m e ya r e e x p a n d e dt op o w e rs e r i e si nd i s c r e t i z e dt i m ei n t e r v a l s ，a n da l li n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m 、析1t i m ea n ds p a c ec o u p l e di sc o n v e r t e di n t oas e r i e so fs p a t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s e x t e n d e df i n i t ee l e m e n tm e t h o di su s e di nt h i sp a p e r t h r o u g ht h ec o n t r o lo ft h ee x p a n s i o n p o w e r , t h ea d a p t i v ec a l c u l a t i o ni nt i m e d o m a i nc a l lb ea c h i e v e d a c c o r d i n gt ot h ep r o p o s e d m e t h o di nt h ep a p e r , an u m e r i c a lv a l i d a t i o ni ss h o w n c o m p a r e dw i t ht h ea n a l y t i cs o l u t i o n ， n u m e r i c a le x a m p l e ss h o ws a t i s f a c t o r yr e s u l t s t h i sp a p e ri se x p e c t e dt op r o v i d ean e wn u m e r i c a la p p r o a c ht od i s p l a c e m e n tf i e l da n a l y s i s o f v i s c o e l a s t i cf r a c t u r ep r o b l e m s ，b u ti ti sj u s ta b e g i n n i n g , a n dt h e r ea r es t i l lal o to f w o r k st od o i t sa p p l i c a t i o ni np r a c t i c ei sl o o k e df o r w a r dt oa f t e rf u l t h e rr e s e a r c ha n di n v e s t i g a t i o n k e yw o r d s ：p r e c i s ea l g o r i t h mi nt i m e - d o m a i n ；e x t e n d e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ； v i s c o e l a s t i c i t y ；d i s p l a c e m e n tf i e l d i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：基王吐邀萱绁簋洼生拄屋盔腿丞垫苤的糙登性焦整垣金堑 作者签名：劐互盎一日期：乒年互月二日 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目：一基王盟垫撞绳篡洼皇芷匮盔匮丞堇盎数糙登性焦整扬佥盘 作者签名：型超基日期： 鳗年生月二日 导师签名： 年丘月乎 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 粘弹性裂纹体位移场分析的研究概况 1 1 1 问题的提出 对实际问题中的粘弹性材料，如混凝土，聚合物，复合材料等，必需计及由细微的裂 纹缺陷引起的断裂问题。研究粘弹性材料中的裂纹问题的最终目的是从生产工艺与分子设 计等方面来保证该粘弹性材料在使用条件下不出现裂纹或内在缺陷不会发展到引起断裂， 至少在规定使用寿命期间不出现这类灾难性事故【i 】。 一般的构件发生断裂，常常不是在施加载荷时立即发生，而是在不变荷载作用下经历 一段时间后才突然断裂。断裂力学的解释是，由于构件在制作过程中不可避免地存在微裂 纹或缺陷，当载荷达到或超过一定数值时，超过构件的剩余强度，微裂纹出现失稳扩展， 引发突然断裂。对于周期性荷载，这个现象很容易解释，但对于构件受恒定载荷的情况， 无论是线弹性断裂力学或弹塑性断裂力学都无法解释这种与时间相关的断裂现象【2 】。 构件从加载到发生断裂不是一个瞬时现象，而是一个历史过程。比如，混凝土坝墩裂 纹在蓄水瞬时安全却可因长期的水压作用发生延迟失稳，涡轮机叶片的延迟断裂等都说明 了这种现象。由于破坏的延迟性和突然性，延迟失稳常常带来灾难性事故【2 】，目前国内对 于用裂纹的研究主要限于线弹性及弹塑性范围，国外关于粘弹性断裂的工作则着重计算裂 纹扩展速度，均不能处理延迟失稳的问题。 张淳源教授扬弃了线弹性假设，将裂纹体视为线粘弹体以便计及时间效应【3 】，提出了 线粘弹性断裂力学的基本理论及裂纹延迟失稳的新概念，它实际上是关于线弹性裂纹体的 g r i f f i t h i r w i n 方法的推广，把裂纹体抽象为理想线粘弹性体，认为裂纹体中每一点，包括裂 纹尖端附近均是线粘弹性的，失稳的起始可以在加载后某时刻f ，发生，在0 f t 时段内， 裂纹初始长度保持不变，即，( f ) = l o 。但由于材料的蠕变，裂纹面张开位移随时间而逐渐增 长，当扩展力达到临界值时，裂纹体的平衡成为不稳定，据此可确定临界荷载或临界裂纹 尺寸。对于理想线粘弹性裂纹体，而不包括时间相依的边界区域，则经典“粘弹对应性原 理 仍适用，利用这个原理可求出线粘弹性裂纹体裂纹前缘的应力、位移场【4 】。 在常见的粘弹性模型中，与m a x w e l l 体和b u r g e r s 体不同的是，遵循标准线性固体模型 规律的裂纹体存在这样一个载荷值，低于它时裂纹将不随时间扩展，从而永不会出现临界 状态。对于这种裂纹体，还没达到亚临界状态时，临界状态在加载后某时刻才会发生。裂 纹初始长度保持不变，但由于材料的蠕变，裂纹面张开位移随时间逐渐增长，此时，经典 粘弹对应性原理也适用【2 】。不同粘弹性裂纹体裂纹前缘的应力分量和位移分量可以表示为 一个含时间因子的一般表达式，并且各种材料的时间因子具有不同的形式。 基于时域精细算法与扩展有限元技术的粘弹性位移场分析 由于粘弹性材料的时效特性，在载荷低于弹性临界载荷时，它也会由于位移随时间的 不断增长而产生断裂，带裂纹的粘弹性材料的破坏显示出明显的时间效应。在一定条件， 甚至恒载下真实材料中的裂纹也会随时间扩展。对于理想线弹性体裂纹尖端邻近的位移场， 很多学者曾作过详尽的分析。粘弹性裂纹体的位移场的分析方法和线弹性裂纹体相似，理 论上，结构的裂纹问题的求解、分析，数学上要归结为边值问题的建立和求解。但是在研 究粘弹性材料的断裂问题时【3 】，用线弹性断裂力学或弹塑性断裂力学都无法解释这类材料 所表现出的与时间相关的现象，导致了裂纹尖端位移场的研究又是一个十分复杂的问题。 此时，粘弹性裂纹体位移场的数值分析显得尤为重要。 数值求解粘弹性裂纹体的位移场主要涉及时域与空间两个方面，时域上目前主要采用 数值积分或差分技术，这类方法可能存在的一个问题是，对变量随时间的变化描述不够精 确，特别是当合适的计算步长无法预先确定时。粘弹性结构由于其复杂的本构关系和记忆 特性与松弛特性，分析起来比较困难工程上常按弹性理论进行简化分析，然后在局部加以 粘弹性修正，因而精度较差【5 】。 空间上，目前主要有有限元法，边界元法，无网格法等。有限元法从最初的用于结构 和固体力学的计算分析不断向其他领域扩展，成为分析断裂力学问题的首选数值方法。有 限元法的不足之处在于随着计算精度要求的提高，有限元网格的划分十分困难，计算工作 量十分庞大，在输入数据的准备上很费事。边界元法是继有限元法之后发展起来的一种求 解力学问题的数值方法。其优点是应用g a u s s 定理使问题降阶，需要处理的空间维数少，使 得输入数据的准备上大为简化，因此能够大大缩短计算时间和减少计算工作量。边界元法 的缺点是必须求问题的基本解，尤其对于非线性问题，基本解的求出十分困难。在f e m 遇 到重大挑战的领域，如连续非连续、大变形、高梯度场等问题时，无网格类方法受到学者 们越来越多的重视。虽然无网格法的研究取得了相当进展，但总体来说，无网格法无论是 在理论体系的完善程度还是在实际复杂问题的应用上仍然需要进一步的研究和探索【6 j 。扩 展有限元法( x f e m ) 是由美国西北大学b e l y t s c h k o 教授为代表的研究组在1 9 9 9 年首先提出 的，是一种在常规有限元框架内求解不连续问题的新型数值方法，其基本思想是在常规有 限元位移模式中加进一些特殊函数，即跳跃函数和裂尖函数，从而反映裂纹的存在。其使 用的网格与结构内部的几何或物理界面无关，从而克服了在诸如裂纹尖端等高应力和变形 集中区进行高密度网格剖分带来的困难【6 】。 同时，在粘弹性材料裂纹特性的研究中，依然存在很多问题有待我们解决，由于粘弹 性问题本身、边界条件形状及裂纹等的复杂性，粘弹性位移场的解析分析一般较为困难， 因此，发展行之有效的数值求解技术十分必要。 1 1 2 粘弹性裂纹体位移场分析的研究 关于裂纹边值问题，s c h a p e r y 较早探讨过粘弹性裂纹边值问题若干对应原理，讨论非 大连理工大学硕士学位论文 线性粘弹物体准静态变形和断裂分析，研究裂纹问题【6 】。l i n k o v i 仑述粘弹性裂纹体的边值问 题，考虑过程区材料呈线性软化，给出过程区位移和应力关系，以及应力在裂尖有界和连 续的条件，然后求解裂纹扩展尺寸，得出有关的数值计算结果 7 1 。对于静态粘弹性裂纹尖 端场问题，r i e d e lh 的研究结果表明，仍可用j 积分作裂纹尖端应力应变场奇异性的强度度 量【引。 李成，常向前，郑艳平研究了针对含裂纹的粘弹性材料结构，根据粘弹性断裂理论分 析裂纹增长的条件，建立基于裂纹周围小范围滑动的计算模型，采用l a p l a c e 转换关系，将 粘弹性边界值问题变为弹性边界值问题处理【9 1 ，即在弹性解上取l a p l a c e 变换，化为一个求 解在新外力作用下，具有新的弹性常数的弹性体问题，然后对此问题的解经过l a p l a c e 逆变 换就可得到所需粘弹性问题的解。 王启宏，毛起熔研究粘弹性裂纹体在裂纹面上受集中力作用时裂纹前缘的应力场和位 移【l 们。张淳源在粘弹性断裂力学一书中提出了粘弹性断裂的基本理论及断裂准则，为粘弹 性断裂力学作出了巨大贡献。张为民，张淳源用弹性对应原理对粘弹性裂纹尖端场进行了 分析【1 1 1 。近年来开始有学者用流变学的观点来研究粘弹性材料的断裂问题，张淳源导出过 一些粘弹性贯穿裂纹体在远处受均匀双向拉伸情况下的应力场和位移场的计算公式【4 】。张 淳源，袁龙蔚在研究各种线粘弹体的能量断裂判据时提出的方法使得可以利用绝大部分线 弹性体裂纹问题的已知解，来求解相应的粘弹性裂纹问题【1 2 】。把粘弹性对应原理推广到线 性粘弹性裂纹体，便得到单轴受力情况下线粘弹性体裂纹尖端的位移，应力场，其特点一 般是线弹性裂纹体的解答乘以相应的时间因子。 同时，从张淳源推导的线粘弹性裂纹体尖端的位移场的表达式可以看出，粘弹性裂纹 体的位移场与弹性体位移场不同，它是与时间变量及材料流变常数有关的函数。位移分量 明显地分成两部分，第一部分反映弹性滞后效应的影响，第二部分反映粘性流的影响。对 于m a x w e l l 体和b u r g e r s 体来说，位移分量包括瞬时位移、弹性后效位移及由于粘性流 产生的位移，后者是位移的不可逆部分。由于粘性流的存在，常载荷作用下，这类裂纹体 的位移分量将随时间而不断增长。对三参数固体，即标准线性固体来说，位移分量只包括 瞬时位移及弹性后效部分，而不包括粘性流部分，所以在常载荷下，随时间增长的位移分 量将趋于某极限值【4 】。 1 2 本文求解的问题 本文数值求解了含有i 型裂纹的粘弹性位移场问题。为了精确描述粘弹性问题基本方 程中各变量随时间的变化，本文利用一种基于展开技术的时域精细算法，它是杨海天教授 于1 9 9 9 年提出的。将与时间相关的各个变量在每个离散时段上作幂级数展开，然后代入粘 弹性静力问题基本方程中，从而将一个时空耦合的初边值问题转化为一系列的空间边值问 题，即将时空耦合方程在离散的时间步内转化为一组递推形式的空间方程【”】，得到了粘弹 基于时域精细算法与扩展有限元技术的粘弹性位移场分析 性静力问题递推格式的本构方程，然后在时间上逐步求解。 对于经过时域精细算法递推后的空间相关的数值模型，由于裂纹的存在，需合理有效 地描述裂纹及其影响，对于求解此类不连续位移场问题，近些年发展起来的扩展有限元技 术已被证明是一个很好的选择【1 3 】。本文采用扩展有限元法对经过时域精细算法转化后具有 递推形式的一系列空间问题进行处理。根据扩展有限元法对裂纹的位移插值函数的建立， 推导基于时域精细算法的扩展有限元法离散方程，得到了粘弹性静力问题递推形式的位移 场数值求解格式。 为了验证文中所提方法的有效性，本文通过带i 型中心裂纹和边裂纹的粘弹性平面薄 板的算例，对所提方法进行初步验证，求解了裂纹尖端附近的位移场，跟相关文献中的解 析解进行了比较，数值计算结果令人满意。 1 3 本文所做的主要工作 本文采用三参数固体模型，用四节点等参单元，基于时域精细算法的扩展有限元技术， 建立了含i 型裂纹的粘弹性位移场的数值求解格式。针对文中所使用的两种算法，本文主 要做了以下工作： 一给出了粘弹性静力问题的基本方程，介绍了时域精细算法的基本思想及实施过程。 基于时域精细算法，给出了粘弹性静力问题递推格式的控制方程。 二简单介绍了扩展有限元法的基本原理，位移插值模式，及其实施过程。 三基于时域精细算法，推导了扩展有限元法的离散方程，得到最终的带i 裂纹的粘 弹性静力问题的扩展有限元法位移求解格式，并给出收敛准则。 四最后给出两个数值算例，分析了带i 型裂纹的粘弹性平面薄板的位移场，并与解 析解进行了比较，数值计算结果令人满意。 五在以上工作中，分别编写了相应的m a t l a b 程序。 本文初步开展这方面的研究，只是一个开端工作，有望为粘弹性断裂问题的位移场分 析提供一种新的途径。 大连理工大学硕士学位论文 2 时域精细算法介绍 2 1时域精细算法简介 时域精细算法是杨海天教授于1 9 9 9 年提出的一种时域算法，通过将时间相关变量在离 散时间短内的展开，将时空耦合问题转化为一系列递推形式的空间问题进行求解。 时域精细算法主要具有以下特点： 1 在离散时段内将变量展开为幂级数形式，然后对展开系数进行递推求解，从而能将 时空耦合问题转化为一系列空间问题。 2 变量在每个离散时间段内的变化可被精确的描述。 时域精细算法已经成功应用于热传导问题，非线性动力分析等方面的研究。刘岩，杨 海天将时域精细算法与e f g 结合，通过离散时间段上的变量展开，将时空耦合的初边值问 题转化为一系列递推形式的边值问题，此文献中的数值算例给出满意的结果【1 4 】。赵潇，杨 海天，高强采用一种时域精细算法来求解二维双曲热传导正问题【1 5 1 ，在离散时间段内将各 变量展开，能够对各变量更精确地进行描述，给出了数值验证，并与其它算法进行了比较。 薛齐文，杨海天，高强应用时域精细算法求解对流传热问题【l6 1 。杨海天，刘岩，邬瑞锋运 用时域精细算法求解二维非线性湿热耦合问题 1 刀。通过以上数值验证，证明其精度有效。 2 2 粘弹性静力问题 2 2 1粘弹性问题模型介绍 工程中有许多粘弹性材料，如塑料、橡胶、树脂、油漆、玻璃、陶瓷、金属等工业材 料；岩石、土壤、沥青、混凝土、石油和矿物等地质材料：肌肉、肌腱、骨骼、血液等生 物体：纺织纤维、纸浆、化妆品；油料、食品等轻工和日用原料。这些粘弹性材料在一定 的条件下，往往同时具有弹性固体和黏性流体两者的特征，综合呈现弹性和黏性两种不同 机理的形变【l 引。随着聚合物、复合材料、智能材料、生物体、地质材料、高温下金属以及 它们的结构的日益发展与广泛应用，粘弹性理论与应用研究日益拓展。 粘弹性物质分为线性和非线性两大类。线性粘弹性模型中，以k e l v i n 模型、m a x w e l l 模型最为基本或传统，其它模型则均是在上述模型的基础上派生组合而成的【19 1 。因而，通 过对传统粘弹性模型的讨论，可以得到粘弹性模型比较一般性的特点。 本文采用三参数固体模型，又称为标准线性固体，如图2 1 ，由一个k d v i n 模型和一 个弹簧串联而成。通过分析三参数固体模型中的应力松弛过程和蠕变过程，以及反映弹性 和粘性相结合的松弛时间和推迟时间，发现这两种过程与实际高聚物的粘弹性行为是定性 符合的，而松弛时间和推迟时间则反映了材料粘弹性的内部时间尺度，利用这种模型可以 很好的理解高聚物的粘弹性【2 们。 基于时域精细算法与扩展有限元技术的粘弹性位移场分析 图2 1 三参数固体模型 f i g2 1t h r e e - p a r a m e t e rs o l i dm o d e l 对三参数固体模型，其蠕变表达式为【2 1 l s ( f ) 。瓦( t o + - 量丘- 9 。- ( 1 - e - t , , ) ( 2 1 ) 从蠕变表达式( 2 1 ) 可以看到，三参数固体模型具有瞬时弹性和稳态的渐进值。 g ( o + ) ：擘 e 2 ( 2 2 ) 一紫 线粘弹性材料在应力仃( r ) = 仃。日( ，) 作用下，随时间而变化的应变响应可表示为 占( ) = ( t o d ( t ) ( 2 4 ) 其中，( f ) 为蠕变柔量，表示在单位应力作用下随时间变化的应变值，表示为 删= p g 。le _ t r l + 1 h 砒妒击+ 竿 亿5 ， g lg o也2也l 伫s 、 肌旷矗；q o2 器；q l = 器m 删拗粘性 系数和弹簧的弹性模量。 如图2 2 所示，在恒定应力盯( r ) = c r 0 日( f ) 作用下，观察试样应变随时间的变化。从图 中可以看出，在蠕变的情况下，实验开始的一瞬间，在外力作用下，模型几乎是瞬时被拉 长到固定值。弹簧立即做出响应，而k e l v i n 元件来不及运动，全部起始应变都产生于弹簧 上，所以呈现胡克弹性行为。若维持这应变所对应的应力不变，则这应力将迫使k e l v i n 元 件中粘壶的活塞上移，粘壶被拉开，在这段时间呈现明显的粘弹性。而总应变为二者应变 之和，则总应变增加，也可以知道应变逐渐增加，说明为维持这应力所需要的应变逐渐增 大连理工大学硕士学位论文 加，从而产生蠕变【2 1 1 。 图2 2 三参数固体的蠕变和回复 f i g2 2c r e e pa n dr e c o v e ro ft h r e e - p a r a m e t e rs o l i dm o d e l 粘弹性材料的本构关系比较复杂，粘弹性固体本构方程数学表达式一般有微分型和积 分型本构关系，其表达分别是式( 2 1 1 ) ，( 2 1 3 ) 。对于积分型，微分型本构方程来说，其数 值求解主要是时域上的离散计算。对积分型的粘弹性体本构方程而言，若直接采用数值积 分，则为求算由整个应力历史所描述的积分项，一般必须保存每个离散时刻的应力等大量 信息，如果在空间也做大规模的数值离散，将给计算带来很大困难。对于微分型的粘弹性 体本构方程，可以通过有限差分而离散为多步递推公式，但如微分方程的阶数较高，则也 会出现信息贮存量过大的问题。对于某些积分型的本构方程，可将其化为阶数不高的微分 方程再行求解，以避免直接求解积分方程带来的困难5 1 。 2 2 2 粘弹性静力问题基本方程 设有一粘弹性体y ，其边界为r ，边界分为两部分，即给定位移的边界r 。和给定面力 的边界r 。此粘弹性体静力学问题基本方程为【2 2 】 平衡方程 v 仃( r ) ) + ( ，) ) = o ( 2 6 ) 几何方程 s ( f ) = v7 “( f ) ) ( 2 7 ) 边界条件( 包括位移边界条件和力的边界条件) 基于时域精细算法与扩展有限元技术的粘弹性位移场分析 其中，v 为微分算子。 对于二维问题，v 表示为 p ( f ) = p ( r ) ，x ，y e f p “( f ) = 厅( f ) ，x ，y i 。 v = ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 式( 2 6 ) 到( 2 9 ) q a ， 仃( 力) ， 占( f ) ) 分别为应力，应变： 厂( f ) ) 为体力，仞( f ) ) 为面力， 砧( 力) 为位移， 面( f ) ) ， 声( f ) 分别为 即( d ) 和毛p ( d 在边界r 。和r p 的给定值，f = f 。+ r p 代表整个 问题的边界。 选用三参数固体模型，二维粘弹性问题的积分型本构方程可写为2 3 】 敝讲- 【k 枷) 肿l ) 矧叫舢 其中，f 代表时间。蠕变柔量，( f ) 可表示为 ，= 瓦1 + 去c 一p 百tn ，= 詈 与式( 2 11 ) 等价的微分型本构方程为阱1 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ) = 圭刚俐 ，= 0 ( 2 1 3 ) 删h 掣锏m + a 掣 伽 湫f ) 撼牝喇扑：丧；吼：器舻袅 扣o 2 矧叶。好2 晰胪煮2 精确2 希嘲一心 积分型本构关系式( 2 11 ) 和微分型本构关系式( 2 1 3 ) 是一致的，对于同一种材料，两者 a一砂a一知 o a 一砂 a 一苏 。 大连理工大学硕士学位论文 式( 2 1 3 ) 中 一翰1 1 2 三 , s y m mk 骆) 对于平面应力问题 墨l = 蠡岛- - - 1 ；k 3 3 = 2 ( 1 + y ) ；k 2 = 一y ( 2 1 5 ) 对于平面应变问题 k l = 如= i - v 2 ；墨3 = 2 ( 1 + l ，) ；k 2 = - v ( 1 + v ) ( 2 1 6 ) 其中，y 为泊松比。文中研究的是平面应力问题，采用( 2 1 5 ) 式。 2 2 3 时域精细算法实施 时域精细算法的基本思想是，将定义在r | | - 1st t k - l + r k _ l z l 拘变量，如应力 t r ( 0 ，应 变 占( d ) ，关于s - 尘进行展开【1 4 1 。 ( 2 1 7 ) 上七 其中，t k - , 和瓦分别代表第七个时段的起始时刻和时段长。s ：尘为无量纲变量， 七 任意s 【o ，1 1 可表征在r i 1 f t t 4 + 瓦时段内的某一时刻。 将整个时域划分为一系列离散时段，各时段的起点与大小分别为岛，乞以一和 互，乏五一在每个离散时段，将各时间相关的变量展开为变量s 的级数形式。 仃( f ) = ) s ” ( 2 1 8 ) 占( f ) ) = ) s 麻 ( 2 1 9 ) ，( f ) = 厶 s ” ( 2 2 0 ) 甜( f ) ) = l t m 8 ” ( 2 2 1 ) i f ( t ) ) = 吒) s m ( 2 2 2 ) m - - 0 p ( f ) = p m s ” m = o ( 2 2 3 ) 基于时域精细算法与扩展有限元技术的粘弹性位移场分析 t 3 ( 0 = 丸炒 m f f i o 。一t t k ls = 盟 瓦 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 其中， 和 是待求参数，分别表示变量 盯( f ) ) 和 ( f ) ) 在离散时段瓦内的展开系 数， 吆) ， 几 ， 玩 ， 丸 也是待求参数，分别表示 ( 力) ，伽( 力) ， 面( f ) ， p ( f ) ) 在离 散时段瓦内的展开系数。 若当前时段内的展开系数已知，则在该时段内的任意时刻砸= t k 一。+ 五j ) ，该变量可被 精确描述。 瓦与s 之间求导的转换关系为4 】 旦d t = 丢丢善d t = 毒嘉 c 2 舶， 一= 一= 一一 i ，n l 互出 2 互2 凼2 、7 以( d ) 对时间导数的展开式通过复合求导法则得到，如其对时间的一阶导数为 趔：丁m + l s m (227)ot 怠瓦肼+ ” 、 7 将式( 2 1 8 ) - ( 2 2 5 ) 代入( 2 6 ) - ( 2 9 ) ，由给定的粘弹性静力问题基本方程，可得递推形式的 基本方程。 当肌= 0 时，粘弹性静力问题基本方程可表示为 v ) + 石) = o ( 2 2 8 ) = v r ( 2 2 9 ) = ( 2 3 0 ) p o = 磊 ( 2 3 1 ) 当聊 0 时，粘弹性静力问题基本方程可表示为 v ) + 厶) = 0 ( 2 3 2 ) ) = v r , 。 ( 2 3 3 ) u m ) = 砧) ( 2 3 4 ) 堑堡三奎堂堡主兰垡笙奎 _ 一 p 肼) = 丸) ( 2 3 5 ) 在第一时段 c r o 一【d 】 岛 ( 2 3 6 ) 若已知第七个时段f 【- l ，t k l + 瓦】内的展开系数，则可知第七+ 1 时段的0 阶系数为 气 ( = 岛 。 ( 2 3 7 ) k ) = 艺 q 。 ( 2 3 8 ) 从式( 2 3 7 ) ，( 2 3 8 ) 可以看出，第七+ 1 个时段的0 阶系数为第七个时段各阶展开系数之 和。 将式( 2 1 8 ) ，( 2 1 9 ) 代入( 2 1 3 ) ，并比较等式两边变量s 的同次幂系数相同，可得粘弹性 静力问题递推格式的本构方程2 2 1 ) = 【d 】 + 巳 m o( 2 3 9 ) 其中，应力向量，应变向量，及弹性阵分别表示为 = f 2 珑o ( 2 4 0 ) 气) = m o( 2 4 1 ) f ，q ，d i ：0 、 【d 】= l d 2 ：o l ( 2 4 2 ) l 册md 3 s j 对于平面应力问题 q 。= + 丢；d 2 ：= 石1 ；b ，2 石1 ；d 1 ：2 乏 ( 2 4 3 ) 式( 2 4 3 ) q b ， ，如，乃分别表示为 = 缶，如_ ( 1 叫2 ) 鲁，如- 2 ( 1 + u ) p g 。l ( 2 4 4 ) 将( 2 4 3 ) ，( 2 4 4 ) 代入( 2 4 2 ) ，得弹性阵【d 】的表达式 基于时域精细算法与扩展有限元技术的粘弹性位移场分析 【d 】= 鱼鱼! ( 1 - v 2 ) a ( i - v 2 ) p l g l y儡 ( 1 一v 2 ) p l ( 1 - v 2 ) p l 0o 坼彘舻器舻器脚4 5 脚嘲 式( 2 3 9 ) 中， q ) 表示为 吲5 南l 三 = 愕+ m 其中，w i ，w 2 ，w 3 分别表示为 一罢一翁 五五j 叩v 历t 崩1 川) + _ _ ra q o , 一m o - y (，一豪， m 2 历“肼- 1 ) + 聊n ( 肼1 ) 一而吒( 川) = w 32 ( 1 - v 2 ) 丁 2 ( 1 + v ) r 去，一鲁川一嚣铀， 上一。一三堡一一一l 一一= 。1 q l m q l 将( 2 4 4 ) 、( 2 4 9 ) 代入( 2 4 8 ) ，得到 g 的表达式 c 卅) = 2 v t ( 1 - v 2 ) q ( 。一1 ) - 2 v 2 r q o e x ( ，一1 ) 一r y 吼0 ( 。一1 ) + 殉o q ( 。一1 ) m p l ( 1 一y 2 ) t ( i y 2 ) q ( 册一1 ) - v t q ：x ( 。一1 ) 一7 q 0 0 ( 脚一1 ) m p l ( 1 一l ，2 ) 2 ( 1 + y ) 丁i 。一1 ) 一r q o 跟脚一1 ) 2 r a p l ( 1 + y ) ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) ( 2 5 0 ) 由式( 2 5 0 ) 可以看出，m 阶的信息可由m 一1 阶获得，从而得到递推格式的控制方程。 一1 2 一 一a 一、j o o 盟w 一狮 o o 三l 2 y 1 0 大连理工大学硕士学位论文 另外，对于平面应变问题，须将( 2 4 5 ) 中的e ，e 2 , v 分别换作f ，f ，芒了。 经过时域算法递推，由式( 2 6 ) 至l j 式( 2 5 0 ) ，已将原初边值问题已经转化为递推形式的边 值问题，同时也得到了递推格式的粘弹性静力问题控制方程。 基于时域精细算法的粘弹性静力问题的有限元离散形式推导见附录b 。 2 3 本章小结 首先给出了粘弹性静力问题基本方程，采用三参数固体模型，即标准线性固体模型， 并采用其微分型本构方程，通过时域展开技术，将各时间相关的变量展开为变量s 的幂级 数形式，得到了粘弹性静力问题递推格式的基本方程。 然后将经过时域算法展开后的各变量代入三参数固体模型的微分型本构方程中，比较 s 的同次幂系数，根据方程两边同次幂系数相同，得到了递推格式的本构方程，并详细介 绍了时域精细算法的实现过程。从展开的表达式可以看出，若当前时段内的展开系数已知， 则在该时段内的任意时n t ( t = t k 一。+ 瓦s ) ，该变量可被精确描述。同时，由递推格式的控制 方程中 c 的表达式可以看出，历阶的信息由m j 阶的信息获得。 根据虚功原理，推导了基于时域精细算法的粘弹性静力问题的有限元离散形式，得到 了粘弹性静力问题位移求解格式，附录b 里有详细的推导过程，并给出了刚度阵f k l ，向量 q 及右端项【】的具体表达式，为下面进一步的粘弹性位移场的分析做基础，并给出了 收敛准则。 基于时域精细算法与扩展有限元技术的粘弹性位移场分析 3基于时域精细算法的扩展有限元离散形式 3 1 扩展有限元法不连续位移场的建立 3 1 1单位分解法简介 1 9 9 6 年m e l e n k 和b a b u s k a 及d u a r t e 和o d e n 先后提出了单位分解法( p u m - p a r t i t i o no f u n i t ym e t h o d ) ，基本思想是任意函数缈( x ) 都可以用域内一组局部函数m ( x ) 伊( x ) 表剥2 6 1 ，即 缈( x ) = 【m ( x ) 伊( x ) 】 ( 3 1 ) ， 其中，m ( x ) 为有限元形函数，它形成一个单位分解2 5 1 ，( z ) = 1 ( 3 2 ) ， 单位分解函数从构造方法上看，其着眼点在于先分片尽可能精确的将局部函数逼近真 实函数，再将各片“粘合 ，从而形成对函数的全局逼近。单位分解联系局部到整体分析， 不存在非协调问题，即不像传统有限元模拟裂纹时单元之间存在不协调性【2 5 1 。单位分解理 论的出现将众多无网格法以及有限元法纳入到统一的体系中来，为发展计算力学数值方法 提供了新的思路。扩展有限元法( ：e m ) 正是基于单位分解理论对传统有限元法的扩剧2 6 1 。 3 1 2 扩展有限元法位移插值形式介绍 扩展有限元法( x f e m ) 基于单位分解的思想，在常规有限元位移模式中加进一些特殊函 数，即跳跃函数和裂尖函数，从而反映裂纹的存在。扩展有限单元法将结点位移分为常规 位移和加强位移两部分，加强位移是由于裂纹的存在而产生的，采用跳跃函数和渐近裂尖 位移函数来模拟。在x f e m 中，不连续裂纹面与计算网格是相互独立的，划分单元时不依 赖于裂纹的几何界面，因此能方便地分析不连续力学问题【2 7 】。 计算区域内有一裂纹，如图3 1 所示，位移的逼近形式可用下式表示 以加渺十+ 警+ 攀 ( 3 3 ) 式( 3 3 ) 表明：若单元中没有裂纹经过，则该单元的位移场为等式右边第一项。若单元 被裂纹贯穿，则该单元的位移场为等式右边前两项；若单元是裂尖所在单元，则该单元的 位移场为等式右边第一项和第三项的和。 大连理工大学硕士学位论文 图3 1 含有一任意裂纹的网格图 f i 9 3 1 g r i dw i t ho n ea r b i t r a r yc r a c k 式( 3 3 ) 中，k 是网格中所有结点的集合，k r 是被裂纹面切割的单元内结点的集合，k a 是裂尖所在单元内的集合，为节点，的形函数；”，为结点位移向量的连续部分；a ，是与 h e a 析s i d e 函数相关的结点附加自由度，b ，口是与弹性渐进裂尖函数有关的结点附加自由度。 f i g 3 2 t w od i f f e r e n tn o d a le n r i c h e df o r m s 其中，x = ( x ，y ) r ，k 是网格中所有结点的集合，k r 是被裂纹面切割的单元内结点的 集合，k 是裂尖所在单元内的集合，日( x ) 为h e a s i d e 函数，表示为 日c x ，= 二。 妻二妻3 ：乏三3 c 3 4 ， x 为考察点，x 为裂纹上最靠近彳的一点。e 。为x 处裂纹的单位外法线向量，在裂 纹上端，取1 ，在裂纹下端，取1 。 纯( x ) 为用来模拟裂纹尖端的裂尖函数，对各向同性体，裂尖函数表示为 基于时域精细算法与扩展有限元技术的粘弹性位移场分析 ( x ) ：【7 s i i l 昙，4 7 c o s 罢- ，4 7 s i n 乡s i i l 昙，4 7 s i n o c 。s 昙】 ( 3 5 ) 其中，和口为裂尖处局部极坐标参数，如图3 3 所示。 引入裂尖函数有两个目的，一是，如果裂纹在单元内部终止，用h e a v i s i d e 函数改进裂 尖单元将不再准确，因为这样做，裂尖就被模拟为好像延伸到了单元的边上。裂尖函数就 是用来保证裂纹精确地终止在单元内部。二是，使用线弹性渐近裂尖场作为改进函数是恰 当地，一方面由于它具有正确地裂尖性态，另一方面它的使用可在相对粗糙的二维有限元 网格上获得较好的精度【2 8 】。 扩展有限元法的发展及应用概况在附录c 里有详细的介绍。 3 2 基于时域精细算法的扩展有限元离散形式的建立 将经过时域算法转化后的具有递推形式的空间问题，通过扩展有限元技术进行离散， 得到最终的带裂纹的粘弹性问题的递推形式的位移场求解格式。 由虚功原理，平衡方程，几何方程及力的边界条件的等效积分弱形式的矩阵形式为【2 9 】 f s s ) r 泗= l 万 “) r 厶) 咖+ l 万 甜) r ) 订 ( 3 6 ) 其中，万 8 j ，万 以 为虚应变与虚位移。y 表示求解域，r 表示求解域边界，式( 3 6 ) 中 的各变量 ) ， 厶 ， 儿 是经过时域精细算法递推后的。 基于时域精细算法的扩展有限元法位移插值模式为 ”。( x ) = ，( x ) i 甜，。+ ，( x ) 口，吧+ ( x ) 6 ，。口 几k l 了fg 三! ， ( 3 7 ) 将经过时域算法递推后的几何方程( 2 3 3 ) ，控制方程( 2 3 6 ) ，( 2 3 9 ) 代入式(