（基础数学专业论文）二重传递群与4vk2设计.pdf

r ：；1 、。i r 。 u (二。i ， 原创性声明 舳rr l fi r pii rr !lr l i riif y 1717 9 5 9 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均己在论文中作了明确的说明。 作者签名：受_ 过算 日期：牛年刨上e ? 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：趄豆憎啦导师签名立驴车西日期：耳年卫月上日 摘要 本文主要研究二重传递置换群与非平凡4 一( v ，k ，2 ) 设计，运用分类 讨论的方法，寻找其中能旗传递作用的设计及其相对应的群在2 0 0 1 年至2 0 0 5 年间m i c h a e lh u b e r 运用0 n a n s c o t t 定理、有限单群分 类定理、二重传递置换群分类定理和组合设计的相关理论，完成了 s t e i n e r 一3 设计和s t e i n e r 一4 设计的分类工作本文在m i c h a e lh u b e r 研究成果的基础上，进一步考虑了二重传递置换群旗传递作用下的非 平凡4 一( v ，七，2 ) 设计的分类，且得出了一些新的结果 主要定理1 ：设d 是一个非平凡的4 一( ，k ，2 ) 设计，g a u t ( d ) 若 g 是旗传递的仿射型群，则g ( 或g o ) 和v 不能是下面三种情况： ( i ) g o 龇( 翌，p 口) ，d 2 口，v = p d ； ( i i ) g a f l ( 1 ，v ) ，v = p d ； 一 ( i i i ) g o 垒g 2 ( 2 口) ，d = 6 a ，v = 2 d 主要定理2 ：设d = ( x ，1 3 ) 是一个非平凡的4 一( v ，k ，2 ) 设计， g a u t ( d ) 若g 是旗传递的几乎单型群则和v 不能是下列情况： ( a ) 4 ，2 5 ； ( b ) s z ( q ) ，1 ，= q 2 + l ，q = 2 2 抖1 2 ； ( c ) r e ( q ) ，v = q 3 + l ，q = 3 2 “1 3 ； ( d ) e s l ( 2 ，1 1 ) ，v = 1 1 ，k 6 ； ( e ) m y ，v = 1 2 ，2 2 ，2 3 ，2 4 关键词4 一( v ，后，2 ) 设计，几乎单群，基柱，仿射型群，旗传递 a b s t r a c t t h i sp a p e rm a i n l ys t u d y2 - t r a n s i t i v ep e r m u t a t i o ng r o u p sa n dt h e n o n t r i v i a ld e s i g n sb yt h ec l a s s i f i c a lm e t h o d s w ew a n tt of i n do u tt h e f l a g t r a n s i t i v ed e s i g n s f r o m 2 0 01t o2 0 0 5 ，m i c h a e lh u b e rh a d c h a r a c t e r i z e da llf l a g t r a n s i t i v es t e i n e r 一3d e s i g n sa n ds t e i n e r 一4d e s i g n s ， m a i n l yb yt h eu s eo f t h eo n a n s c o rt h e o r e m 、t h ec l a s s i f i c a t i o no ff i n i t e s i m p l eg r o u p s 、t h e c l a s s i f i c a t i o no ft h ef i n i t e d o u b l y t r a n s i t i v e p e r m u t a t i o ng r o u p sa n ds o m er e l e v a n td e s i g nt h e o r i e s t h i sp a p e rm a i n l y b a s eo nt h ew o r ko fm i c h a e lh u b e ra n df u r t h e rc o n s i d et h en o n t r i v i a l 4 一( v ，k ，2 ) d e s i g n s ，a n do b t a i n e das e r i e so f n e wr e s u l t s m a i nt h e o r e m1 ：l e td = ( x ，b ) b ean o n t r i v i a l4 一( v ，k ，2 ) d e s i g n ， g au t ( d ) i fgi saf l a g t r a n s i t i v ea f f i n et y p eg r o u p ，t h e ng ( o rg o ) a n dvi sn e i t h e ro f ： ( i ) g o 蝉( 翌，p 口) ， d 2 a ，= p d ： ( i i ) g a v l o ，d ， ，= p d ； ( i i i ) g o 堡g 2 ( 2 口) ，d = 6 a ，= 2 d m a i nt h e o r e m2 ：l e td = ( x ，b ) b ean o n t r i v i a l4 一( v ，k ，2 ) d e s i g n ， g a u t ( d 、) i fgi saf l a g t r a n s i t i v ea l m o s ts i m p l et y p eg r o u p ，t h e n n a n d ，i sn e i t h e ro f ： ( a ) 4 ，v 5 ； ( b ) s z ( q ) ，y = 9 2 + 1 ，q = 2 2 8 + 1 2 ； i i ( c ) r e ( q ) ，1 ，= 9 3 + 1 ，g = 3 2 川 3 ； ( d ) e s l ( 2 ，11 ) ，vz 11 ，k 6 ； ( e ) p s l ( 2 ，8 ) ，= 2 8 ； ( f ) 名，v t 1 5 ； ( g ) m 。，y = 1 2 ，2 2 ，2 3 ，2 4 k e yw o r d s 4 - ( v ，七，2 ) d e s i g n s ， a f f i n et y p eg r o u p s ， i i i a l m o s ts i m p l eg r o u p s ，s o c l e ， f l a g t r a n s i t i v e 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第一章绪论t l 。l 问题提出的背景1 1 2 研究现状州，1 1 3 论文的主要内容和结构4 第二章基础知识5 2 1 有限群论的基本知识5 2 2 组合设计的基本知识9 2 3 有限群与设计的关系1 2 第三章2 重传递群与4 一( 1 ，七，2 ) 设计15 3 i 仿射型群与4 一( v ，k ，2 ) 设计1 5 3 2 几乎单型群与4 一( 1 ，k ，2 ) 设计2 0 参考文献4 2 致谢4 6 攻读学位期间主要研究成果4 7 1 v 硕+ 。何论文 第一章绪沦 1 1 问题提出的背景 第一章绪论弟一早珀1 = 七= 随着群论和组合设计的不断发展，人们发现群和组合设计之间存在着紧密的 联系并且对于一些很复杂的群，我们还可以通过构造一些设计，使得这些设计 上的自同构群恰好是所要考虑的群这比我们只从群论的角度来考虑群的结构简 单具体m a t h i e u 群就是一个典型的例子反过来，对设计自同构群的研究又可 以帮助我们发现新的设计所以群与组合设计相互作用的问题受到人们的格外关 注 旗传递设计的分类就是一个群与组合相互作用的典型问题，也是当今有限群 论和组合设计的前沿课题，经过许多数学家的刻苦研究，近几十年来已经取得了 很大成就1 9 9 0 年，b u e k e n h o u t ，d e l a n d ts h e e r ，d o y e n ，k l e i d m a n ，l i e b e c k ， s a x l 完成了旗传递线性空间的分类；1 9 9 3 年c a m e r o n 和p r a e g e r 完成了f 7 时 旗传递s t e i n e rt 一设计的分类而，= 3 ，4 ，5 ，6 是遗留了近四十多年的公开问题直 到2 0 0 7 年，布鲁塞尔数学家m i c h a e lh u b e r 解决了这个问题( 引自 1 ) 故旗传 递s t e i n e rt 一设计的分类已经基本完成可参看文献 6 7 1 3 1 7 2 1 2 6 2 8 2 9 4 2 4 3 但当兄 1 时的旗传递t 一设计分类工作还远远没有解决如果直接去考虑 五 1 时的旗传递t 一设计分类，难度非常大，所以本文考虑了兄= 2 时的4 一( ，k ，2 ) 设计，设计的自同构群是有限二重传递群在论证过程中，定理的证明主要依赖 于有限单群分类问题的解决和二重传递群的完全分类，且得出了一些新的结果 1 2 研究现状 因为区传递是旗传递的必要条件，所以目前国内外有许多数学家在做关于区 传递设计的工作，并且得出了很好的结论，比如在1 9 9 3 年c a m e r o n 和p r e a g e r 就做出了非常有意义的工作，得出了这样的结论：当t 8 时，不存在非平凡区传 硕十学位论文 第一章绪论 递，一设计；当t 7 时，不存在非平凡的旗传递f _ 设计他们还猜想不存在非平 凡的区传递6 一设计这就大大缩小了设计的范围，为后人的研究指明了道路 线性群作用下的区传递2 设计、3 设计、4 设计、5 一设计和岳设计都已经取 得了很多成果，可参看文献 4 1 4 4 】【4 5 】【4 8 】【4 9 】【5 1 】【5 2 】【5 5 】【5 7 】【5 8 儿5 9 】【6 0 】 下面简要介绍一下已经得到的重要结论 定理1 2 11 1 1 令d 是一个非平凡的s t e i n e rt 一设计，其中，3 若 g a u t ( d ) 旗传递地作用在d 上，则当且仅当下列四种情况之一成立： ( 1 ) 仿射空间：一类3 一( 2 dr 4 ，1 ) 设计， 点：n g ( a ，2 牛的点； 区组：a g ( d ，- 2 ) 中的平面，且 ( i ) d 3 时，g 釜a g l ( a ，2 ) ； ( i i ) d = 3 时，g 兰a g l ( 1 ，8 ) 或g 兰a f l ( 1 ，8 ) ； ( i i i ) d = 4 时，g o 兰a 7 ； ( i v ) d = 5 时，g 兰么1 1 ( 1 ，3 2 ) ( 2 ) 圆几何：一类3 一( 9 8 + 1 ，q + l ，1 ) 设计，q 3 是素数幂，e 2 ， 点：g f ( q 8 ) u ) 中的射影线； n - 0 t ：g f ( q 8 ) u o o 在p g l ( 2 ，q 8 ) 下的象，且 p s l ( 2 ，q 。) g p f l ( 2 ，q 8 ) ( 3 ) 扩充的n e t t o 系：一类3 - ( q + l ，4 ，1 ) 设计，q 三7 ( m o d l 2 ) ，是素数幂， 点：g f ( q 8 ) w o o 中的射影线， 区组： 0 r l ，s ，) 在p s l ( 2 ，q ) - f 的象，且 p s l ( 2 ，q ) g p e l ( 2 ，g ) ( 4 ) m a t h i e u w i t t 设计， ( i ) 3 - ( 2 2 ，6 ，1 ) 设计，g 塑m 2 2 ； 2 硕十学位论文 第一章绪论 ( ii ) 4 - ( 1l ，5 ，1 ) 设计，g 兰m l l ； ( iii ) 4 - ( 2 3 ，7 ，1 ) 设计，g 兰m 2 3 ； ( i v ) 5 - ( 1 2 ，6 ，1 ) 设汁，g 兰m 1 2 ； ( v ) 5 - ( 2 4 ，8 ，1 ) 设计，g 兰m 2 4 或g 兰p s l ( 2 ，2 3 ) 下面两个引理在旗传递的分类j 。 作中起着非常重要的作用 引理1 2 2 【1 t ( b u e k e n h o u t1 9 6 8 ；h b b e r2 0 0 5 ) 设d 是一个s t e i n e rt 一设 计，3 ，g a u t ( d ) 若g 旗传递地作用在d 上，则g 也是二重传递的 本文借鉴和运用了m i c h a e lt l u b e r 酶很多方法和结论，进一多考辔了二重传 递群旗传递作用下的非平h l 4 一( v ，七，2 ) 设计的分类二重传递群分类的完成给旗 传递：| 乍平凡4 + ( 坟k ，2 ) 没计的分类工作带来了极大的便利下面蛤 b 二垂儒递群 的分类结果，( 引自 3 ) 具体情况如下： ( a ) 仿射型：设g 是仿射型群，则g 含有一个p d 阶的初等交换的正则正规 子群r ，p 为素数，v = i t l = p d ，令口l d 我们定义的g 是由下列映射组成： x i - - ) ，+ u 其中x ，“v ( d ，p ) ，g g o ( 0 表示零向量) 则g 分为以下几种情况： ( 1 ) g a f l ( 1 ，p ，) ； ( 2 ) g o 皂s l ( d ，) ，d 2 日； ( 3 ) g o 皂印( 型，p a ) ，d 2 口； ( 4 ) 6 0 堡g 2 ( 2 。) ：d = 6 a ； ( 5 ) g o 兰以瓤，v = 2 4 ； ( 6 ) g o 皂s l ( 2 ，3 ) 或s l ( 2 ，5 ) ，v = p 2p = 5 ，7 ，1 1 ，1 9 ，2 3 ，2 9 ，5 9 ，或v = 3 4 ； ( 7 ) g o 有2 5 阶超特殊的正规子群e ，g o e 同构于墨的一个子群，l p - - - - - 3 4 ； ( 8 ) g 0 兰s l ( 2 ，1 3 ) ，1 ，= 3 6 硕十学位论文 第一章绪论 ( b ) 几乎单型：设g 是几乎单型群，那么g 含有一个正规单群，且满足 n g s a u t ( n ) 令，- - j x l 则和v 是以下情形之一： ( 1 ) a 。，v 5j 。 ( 2 ) p s l ( d , q ) ，d 2 ，y 兰粤，( 如) ( 2 ，2 ) ，( 2 ，3 ) ： 口一i ( 3 ) p s u ( 3 ，q 2 ) ，2 碍3 + l ，g 2 。 ( 4 ) s z ( q ) ，1 ，= 9 2 + l ，9 = 2 2 2 ，( s u z u k i 群) ； ( 5 ) r e ( q ) ，1 l ，= q 3 + l ，q = 3 2 川 3 ，( r e e 群) ； ( 6 ) s p ( 2 d ，2 ) ，d 3 ，1 ，= 2 2 2 扣； ( 7 ) p s l ( 2 ，1 1 ) ，v = 1 1 ； ( 8 ) p s l ( 2 ，8 ) ，v = 2 8 ，( n 不是2 传递的) ： ( 9 ) m ，v = 1l ，1 2 ，2 2 ，2 3 ，2 4 ( m a t h i e u 群) ； ( 1 0 ) 4 ，v = 1 5 ； ( 11 ) h s ，v = 1 7 6 ，( h i g m a n - s i m s 群) ； ( 1 2 ) c 0 3 ，v = 2 7 6 ，( 最小的c o n w a y 群) 1 3 论文的主要内容和结构 论文的主要内容是在二重传递群分类定理的基础上，逐一讨论了二重传递群 中的几种情况，讨论的前提条件都是旗传递作用，代数结构为非平凡4 一( ，k ，2 ) 设计首先讨论了仿射型群中的g _ 2 口和 g o 垒g 2 ( 2 口) 三种情况，得出的结论是：在这三种群的作用下没有旗传递的非平 凡4 一( v ，k ，2 ) 设计存在然后讨论了几乎单型群中的4 ，v - 5 、 p s l ( d ，g ) ，d 2 ，：皇二j 三、s z ( g ) ， ，：9 2 + 1 ，g ：2 2 抖l 2 、r e ( g ) ，1 ，：9 3 + 1 ，g = 3 2 “l 、 口一1 p s l ( 2 ，11 ) ，= 1l 和m ，( ，= 11 ，1 2 ，2 2 ，2 3 ，2 4 ) 共六种情况，并且只有在群p s l ( d ，g ) 的作用下才有可能存在旗传递的非平凡4 一( v ，k ，2 ) 设计 论文的主要结构为： 第一章绪论部分，主要介绍问题提出的背景和研究现状，以及本文所做的工 作 第二章基础知识，介绍与本论文中定理证明有关的有限群论哼组合设计的基 本定义和性质 第三章是论文的主要结果 硕十学侮论文 第二章基础知识 第二章基础知识 弟一早莶们函刘识 本章给出了一些有限群论和组合设计的基础知识，为文章中主要定理的证明 提供理论依据 2 1 有限群论的基本知识 群有多种定义方式，下面我们给出其中的一种 定义2 1 1 【3 1 称非空集合g 为一个群，如果在g 中定义了一个二元运算，叫 做乘法，它满足 ( 1 ) 结合律：( a b ) c ；a ( b c ) ，口，b ，c g ； ( 2 ) 存在单位元素：存在l g ，使对任意的口g ，恒有 l a = a l = 口： ( 3 ) 存在逆元素：对任意的a g ，存在口一1 g ，使得 a a 一= 口一l 口：1 定义2 1 2 【3 】称群g 的非空子集h 为g 的子群，如果h 2 冬h ，日一1 厅这 时记作日g 对于有限群，只要满足胃2 h ，即可证明日g 定义2 1 3 【3 】设日g ，口g 称形如胡( 胁) 的子集为的一个左( 右) 陪 集容易验证a h ：b h 口一1 b h 定义2 1 4 【3 】设g 为群，1 2 , g g ，我们规定 口g = g a g ， 并称矿为口在g 之下的共轭变形对于g 的子群或子集日，我们同样规定 h g = g - l h g ， 也叫做h 在g 之下的共轭变形称g 中的元素口，6 ( 或子集，k ) 在g 中共轭， 若存在元素g g ，使得口g = b ( h g = k ) s 硕 ：学位论文 第一二章基础矢l l 汉 定义2 5 【3 1 设g 为群，是g 的子集，g g 若2 = h ，则称元素g 正 规化h ，而称g 中所有正规化h 的元素的集合 ( 日) = g g l 8 = h ) 为h 在g 中的正规化子又若元素g 满足对所有h h 恒有h 嚣= h ，则称元素g 中 心化日，而称g 中所有中心化h 的元素集合 g ( - ) = g g 畛= 办，v j l eh ) 为日在g 中的中心化子 规定z ( g ) = 巳( g ) ，称之为群g 的中心 定义2 1 6 【3 】我们称映射口：g g l 为群g 的一个同态映射，如果 ( 曲) 口= a 口6 口，v a ，6 芒g 如果口是满( 单) 射，则称为满( 单) 同态；而如果口是 双射，即一一映射，则称口为g 到g i 的同构映射，这时称g 和g l 同构，记作 g 兰g 1 群g 到自身的同态及同构，称之为群g 的自同念和自同构 定义2 1 7 【3 】称群g 的子群为g 的正规子群，如果g n ，v g g 记 作n 旦g 定义2 1 8 【3 】集合m 的全体变换依映射的乘法组成一个群s m 我们称s m 的任一子群为集合m 的一个变换群我们称有限集合的变换为置换，有限集合 上的变换群为置换群 定理2 1 9 1 3 】任意群g 都同构于一个变换群 定义2 1 1 0 3j 设矿是数域f 上门维线性空间，则v 的所有可逆线性变换对 乘法组成一个群，它同构于f 上全体刀阶可逆方阵组成的乘法群这个群记作 g l ( n ，n ，叫做域f 上的玎级全线性群+ s l ( n ，d 为所有行列式为1 的刀阶方 阵组成的集合，贝js l ( n , f ) 是g l ( n ，f ) 的子群，叫做f 上的聆级特殊线性群我 们称 p g l ( n , d = g l ( n ，d z 6 堂位论文第二章基础知识 一一： ：= ：= = ： 为f 上门阶射影线性群又 p s l ( n , f ) = s l ( n , f ) ( zl qs l ( & 即) 为，上刀阶特殊射影线性群 假定f = g f ( q ) ，是包含q 个元素的有限域，则上述各群分尉记作 g l ( n ，g ) ，s l ( n ，g ) ，p g l ( n ，g ) ，p s l ( n ，q ) 定义2 1 1 1t 3 t i 受g 为任意群， a , b g 我们规定 【口，b 1 _ a - l b a b ， 叫做元素口和6 的换位子再令 g = ( 口，6 枷b e g ) ， 称为g 的换位子群或导群 定义2 1 12 1 3 1 设q = 口，7 ，) 是一个非空集合，其元素称为点& 表示 q 上的对称群# - g 在q 上的作用缈指的是g ) us o 内的一个同态映射，即对每 个元素x g ，对应q 上的一个变换伊( x ) ：口h 口。，并且满足： ( 口) y = 口叫，x ，y g ，口q 或者 缈( 习，) = 妒( x ) 矽( y ) ，x ，y g 如果k e r ( 妒k ) = l ，则称g 忠实地作用在q 上，这时g 看作q 上的变换群如 果r ( 矽) = g ，则称g 平凡地作用茬q 上 定义2 1 13 1 3 】设群g 作用在q 上，则对每个口q ， 瓯= x e g l a = a 。) 是g 的子群，称之为点口的稳定子群并且对于任意的j ，g ，都有吒，= y 一1 嚷y 定义2 1 1 4 3 1 设群g 作用在集合q 上，称二元素口，q 为等价的，记作 口，如果存在x g ，使得口。= 易验证“关系是q 上的等价关系q 7 一一一一 硕十：学f 节论文第二章基础知识 对“铮”的一个等价类叫做g 在q 上的一个轨道( 传递集) 一个轨道所包含元 素的个数叫做该轨道的长 对于a q ，令 o g g = h x g 则口6 是g 的包含点口的轨道其中f g 口f l 口g l - i g f 定义2 1 15 3 】如果群g 在q 上只有一个轨道，即q 本身，则称g 在q 上的 作用是传递的 定义2 1 16 1 4 1 设群g 是q 上的一个置换群，我们称q 的子集沙为一个区， 如果对每个g g ，象集合g 与缈或者相等或者没有公共元素 整集q ，空集，以及单点集都是q 上任一个群g 的区，我们称这些为平凡 区如果群g 只有平凡区，就称g 是本原的 定理2 1 17 【4 】本原群的每一个不为1 的正规子群都是传递的 定理2 1 18 【4 】设群g 在q 上是传递的，并且口q 那么g 在q 上是七十1 重 传递的当且仅当g 口在q 一口上是七重传递的，并且q ，i i = j 亟生尘阶群及其子群，的s y l 明p 一子群q 为初等交换群，9 要片， 珂 且商群q 为蛐阶循环群： n ( 3 ) 4 ，s 4 或a 5 5 ( 4 ) p s l ( 2 ，p 所) 或p g ( 2 ，p 册) ，其中m l 下面简要介绍一下s y l o w 定理，首先s y l o w 定理告诉我们，对于任一群g ， 如果d i | g l ，d 是素数的方幂，则6 中必有d 阶子群存在我们把s y l o , 定理总 结成以下三个定理： 第一s y t o w 定理t 若g 是有限群- p 是素数设少l 秘 ，则g 中必存在矿 阶子群，叫做g 的s y l o wp 一子群 第二s y l o w 定理；g 的任意两个s y l q wp 一子群皆在gr | - l 共轭 第三s y l o w 定理：g 中s y l o wp 一子群的个数是l g i 的因子，并且 三l ( m o d p ) 若pe s y t p ( g ) ，且尸旦g ，则力p ( g ) = l ，即p 是g 的唯一的s y l o wp 一子 群( 引自 3 ) 2 2 组合设计的基本知识 定义2 2 11 3 1 设k k ，五，为j 下整数，且2 ， k v 设x 为一个1 ，元集合， 其中x 中的元素称为点，是由x 的若干特定的七元子集( 称为区组) 所组成 的集合，并且对x 中的任意一个，元子集，恰好有中的五个成员包含，则 称体系d = ( x ，) 为一个，一( 1 ，k ，见) 设计，简称，一设计若z x ，b ，x b ， 则称( x ，b ) 为一个旗 定理2 2 2 【3 】一个，一设计d 也是一个j 一设计( 1 s ，) 如果d 作为，一设 计的参数是t - ( v ，k ，旯) ，则它作为s 一设计的参数是s 一( v ，k ，以) ，且 9 硕十学位论文 第一二章基础知识 ，fv-sxi,-$一nfv一，4-1x ,、 1- 以州面面瓦i 可刁j 面。 5 ( 七一s ) ( 七一童一1 ) ( 七一f + 1 ) 定理2 2 3 f 5 ( f i s h e r 不等式) 对任一f 一( v ，k ，五) 设计来说，若，2 ，总有 b v 引理2 2 4 【6 1 若d = ( x ，) 为一个f 一( v ，七，五) 设计，则有下i 斫的式子成立 1 ) b k = w ； 僻份 似州叫m “圈 ( 2 1 ) ( 2 ，2 ) ( 2 - 3 ) ( 4 ) 特别地，当，= 4 时，( 七一2 ) ( 七一3 ) l 旯( v 一2 ) ( y 一3 ) ( 2 4 ) 引理2 2 5 若d = ( x ，) 是一个非平凡的t 一( v ，七，力) 设计，则 2 ( v - t + 1 ) ( 七- t 4 - 2 ) ( 七一f + 1 ) 证明 若d = ( x ，) 是一个f 一( ，k ，兄) 设计，则它也是一个 2 一( v t + 2 ，k t + 2 ，旯) 设计对于设计2 - ( v - t + 2 ，k - t + 2 ，兄) ，有 又 则 即 b y 一，+ 2 ， 6 ：2 ( v - t + 2 ) ( v - t + - 1 ) ， ( 七一，+ 2 ) ( 后- t + 1 ) 2 ( v - t + 2 ) ( v - t + 1 ) v 一，+ 2 ， ( k - t 4 - 2 ) ( 七一，+ 1 ) a ( v - t + 1 ) ( k - t 4 - 2 ) ( 七- t + 1 ) 当，= 4 ，旯= 2 时，2 ( v - 3 ) 2 ( k - 2 ) ( k 一3 ) 引理2 2 6 若d = ( x ，) 是一个非平凡的4 一( ，k ，2 ) 设计，则 ( 2 5 ) 2 ( v 一1 ) ( v 一2 ) ( ，一3 ) k ( k 1 ) ( 七- 2 ) ( k - 3 ) ( 2 6 ) 证明若d - ( x ，) 是一个非平凡的4 一( v ，是，2 ) 设计，则它也是一个2 - ( v ，k ，五) l o 硕十学位论文 第二：章基础知识 设计，其中 ，2 ( v 一2 ) ( l ，一3 ) 厶= 一 ( 七一2 ) ( 七一3 ) 对于2 一( v ，詹，如) 设计，有62 v ，又因6 = 毒杀兰孚之y ，所以 即 五( 9 一1 ) k ( k - 1 ) ， 孳呈2 烈( ，一1 ) 七( 七一1 ) ， ( 七一2 ) ( 七- 3 ) 、 7、7 2 ( v 一1 ) ( v ，一2 ) ( ，- 3 ) 足 2 口； ( 4 ) g o 堡g 2 ( 2 。) ，d = 6 a ； ( 5 ) g o 兰4 瓤，v = 2 4 ； ( 6 ) g o 堡观( 2 ，3 ) 或s l ( 2 ，5 ) ，v = p 2 , p = 5 ，7 ，ii ，1 9 ，2 3 ，2 9 ，5 9 ，或v = 3 4 ； ( 7 ) g o 有2 5 阶超特殊的正规子群e ，g o e 同构于是的一个子群，= 3 4 ( 8 ) g o 兰s l 2 ，1 3 ) ，v = 3 6 定理3 1 1 设d 是一个非平凡的4 一( 1 ，k 。, 2 ) i 妣- i ，g a u t ( d ) 若g 是旗 传递的仿射型群，则g 和v 不能是下面三种情况之一： ( i ) g o e s l ( d ，p 口) ，d 2 a ，v = p d ； 口 ( i i ) g a v l ( 1 ，) ，1 ，= p d ； ( i i i ) g o 堡g 2 ( 2 a ) ，d = 6 a ，v = 2 d 证明我们对上面的三种情况运用反证法逐一进行否定 情况( i ) 假设g 。出( 鱼，p 口) ，d 2 口，v = p d 一一一一_ _ - 硕十学何论文 第三章2 重传递群与4 一( ，七，2 ) 设计 令p i 是向量空问y = 矿( 要，p 口) 的第i 个基向量，( 白) 是由巳生成的一维向量 口 。 子空l u j 下面对p 口的大小进行讨论： ( 1 ) p 。= 2 ，则p = 2 ，口= l ，= 2 d 若d = 3 ，则v = 8 ，由不等式( 2 5 ) 得后4 ， 与七 4 矛盾所以d 3 ，当d 3 时，任意三个相异的点在空问a g ( d ，2 ) 中都是 不共线的，由此可定义一个仿射平面令= ( q ，p 2 ) 是由基向量p l ，p 2 生成的二维 向量空阍 么s l ( d ，2 ) 和g o ，z 点传递地作用在y 上，令s = o ，e 1 ，e 2 ，e l + p 2 ， b t ，b 2 为包含s 的两个不同的区组，若b lu b 2 含有之外的点，d j g o 的传递 性知，b ju 岛包含了叭中的所有点，那么尼竺+ 4 ，即七 2 d - l + 2 ，又 由( 2 - l1 ) 式得七连5 + 伊m 矗 3 的慨这样的七是不存在的，故区组獬 中的元素全在中因群g 是旗传递的，所以任意一个区都能构成一个仿射平面， 这与k 4 矛盾 同理可证p 口= 3 时不成立 ( 2 ) p 口 3 若d = 2 口，则= v ( 2 ，p 口) ，g o t _ s l ( 2 ，p 口) ，v = p 2 口令u = u ( ( p 1 ) ) g o ， p l = ( o ，1 ) u 是一个由平延组成的群，所有平延以( p 1 ) 为轴那么u 包含了所有 具有以下形式的元素： ( 三? ) ，c 是g f c p 口，中的任意元素 令( 口，夕) 为v 中的任意一个二维向量，那么 ( 三? ) ( 荔) = c 口，唧+ ，= c 口， 则口= o ，任意，所以u 只稳定( p 1 ) 中的元素，因而矿( p 1 ) 中的元素在u 作用下的轨道长不小于p 口因u g o ，所以矿( p 1 ) 中的元素在g o 作用下的轨道 1 6 硕十学位论文 第三章2 重传递群与4 一( ，七，2 ) 设计 长也是不小于p 口的令s = o ，e l ，x ，y 是一个四元子集，工，y 是( q ) 中的两个不相 同的元素显然u 稳定s ，所以在中存在两个区组马，易，使得焉和b 2 都包 含s ，且，b 2 ) u = 涵，b 2 假设蜀u 岛中含有一个元素z l ，使得z l 芒( p i ) ，且z l 在 ( 其中m u ) 作用下的轨道为 z l ，z 2 ，z 0 ，l p 口( 若， 3 时，( 华+ 4 ) 【j 5 + 矿】，故矛盾所以区 组b i 和b 2 中的元素全在( p 1 ) 中，由前面的证明知这是不可能的 情况( i i ) 假设g a f l ( i ，) ，v = p d 由群a f l o ，y ) 的定义和性质知群g 在点集合上是二重传递的；g 工在除去x 的点集合上也是传递的，所以l g i = a v ( v - 1 ) ，i g x l = a ( v - 1 ) ，r ad 若群g 是旗传递的，则，1 l g x i 对于非平凡的4 一( ，后，2 ) 设计， 2 ( ，一1 ) ( ，一2 ) ( ，一3 ) r = 二二- 二二二 ( 七一o ( k 一2 ) ( 七一3 ) r l g x ，所以 1 7 硕十学何论文 第z 章2 重传递群与4 ( v k 。2 ) 设计 y a l d ，故 由此得 由( 2 5 ) 式得 故 a ( v 1 1 ， 2 ( v - 2 ) o , - 3 ) l a ( k - 1 ) ( k 一2 ) ( 七- 3 ) ， 2 ( v 一2 ) ( v 一3 ) l d ( 七一1 ) ( 七一2 ) ( 七一3 ) ， 2 ( v 一2 ) ( v - 3 ) d ( k 1 ) ( 七一2 ) ( 七一3 ) 2 ( k 一2 ) ( 后- 3 ) ( v 一2 ) 2 ( v 一2 ) ( v 一3 ) d ( k 一0 ( k 一2 ) ( 七一3 ) ， 又由( 2 1 1 ) 式得 2 ( v 一2 ) d ( k 1 ) ， 2 ( v 一2 ) d ( 2 + 万