（通信与信息系统专业论文）多元ldpc编码与调制联合优化设计研究.pdf

摘要 摘要 随着移动通信向着高速宽带发展，在传输速度的要求下，频率资源变得越来 越宝贵。未来的通信系统必须充分利用有限的频谱资源，频带有效性和功率有效 性的矛盾日益突出，而编码调制结合方案正是克服这一矛盾的主要方法。近年来， 随着新的纠错编码、m i m o 空时调制以及迭代译码方式的出现，联合编码调制方 案的设计正成为普遍关注的热点。 l d p c 码是目前所有信道编码方案中最逼近s h a n n o n 限的好码，并已经应用在 d v b t 、w i m a x 、u w b 和l t e 等无线通信系统中。多进制l d p c 码具有比二进 制l d p c 码更好的性能，因此，研究多进制l d p c 码的编码和译码，并与高阶调 制进行联合编码调制设计的研究称为一项非常有意义的工作。 除了编码调制技术以外，分集技术是又一种可以获得系统性能增益的技术。 与已经广泛研究的时间、频率和空间分集不同，信号空间分集( s i g n a ls p a c e d i v e r s i t y ，s s d ) 是一种功率和带宽有效的分集技术，不需要额外的资源。s s d 获得 性能改善是以增加接收机的计算复杂度为代价的，这是阻碍它广泛应用的主要因 素。 虽然，s s d 已经在一些编码调制方案中的到了应用，比如b i c m 以及b i c m i d 。 但是基于s s d 的高维映射空间的内在要求，将s s d 应用于多进制的编码调制系统 是编码调制方案的一个研究方向。 本文的研究内容和主要结论如下： 对多元l d p c 码的译码算法进行了详细的分析和总结，并考虑到以后硬件实 现的要求，对其中低复杂度的译码算法予以改进，带来了一定的性能补偿。 从最简单的多元l d p c 码和高阶调制结合出发，提出一种新的基于多元l d p c 码的置信传播联合编码调匍j ( q b p c m - i d ) 方案，并从内外迭代次数、交织器两个方 面，通过仿真的方法，分析了它们分别对系统性能的影响。 接着，将s s d 引入基于多元l d p c 码的置信传播联合编码调匍j ( q b p c m i d ) 方案，通过系统仿真结果证明，系统性能有了进一步的提升。 应用级联编码的思想，提出了一种编码s s d ，即在保持系统总码率不变的前 提下，将一部分的l d p c 码的编码码率转移到s s d 调制端，编码s s d 作为系统的 摘要 内码。根据不同总码率下的仿真结果，可以发现，在总码率一致的情况下，新的 级联编码调制方案性能更优。 关键词：多元l d p c 码，信号空间分集，编码调制，迭代 a b s t r a c t a b s t r a c t w i t ht h em o b i l ec o m m u n i c a t i o n st o w a r d st ot h ed e v e l o p m e n to fh i g h - s p e e d b r o a d b a n d , f r e q u e n c yr e s o u r c e sb e c o m ei n c r e a s i n g l yv a l u a b l e a tt h e r e q u e s to f t r a n s m i s s i o ns p e e d f u t u r ec o m m u n i c a t i o ns y s t e mm u s tm a k ef u l lu s eo fl i m i t e d s p e c t r u mr e s o u r c e s ，s ot h e e f f e c t i v e n e s so fp o w e ra n db 孤d 、) l ，i d mi s b e c o m i n g i n c r e a s i n g l yp r o m i n e n t t h ec o m b i n a t i o no fc o d ea n dm o d u l a t i o nc a no v e r c o m et h i s c o n t r a d i c t i o n i nr e c e n ty e a r s ，w i t l lt h en e we r r o rc o r r e c t i o nc o d i n g ，m i m os p a c e - t i m e m o d u l a t i o n , a sw e l la st h ee m e r g e n c eo fi t e r a t i v ed e c o d i n gm e t h o d s ，t h ej o i n tc o d i n g a n dm o d u l a t i o nd e s i g ni sb e c o m i n gah o ts p o to fc o m m o nc o n c e r l l l d p cc o d ei sac h a n n e lc o d i n gs c h e m ew h i c ha p p r o a c h e st h es h a n n o nl i m i t ，a n d i th a sb e e nu s e di nd v b t ，w i m a ) 【，u w ba n dl t ew i r e l e s sc o m m u n i c a t i o ns y s t e m ，e t c t h ep e r f o r m a n c eo fq a r yl d p cc o d ei sb e t t e rt h a nt h a to ft h eb i n a r yl d p cc o d e ，s o t h es t u d yo fq - a r yl d p cc o d ee n c o d i n ga n dd e c o d i n ga n dt h er e s e a r c ho f j o i n td e s i g n o fq - a r yl d p cc o d ea n dh i g h - l e v e lm o d u l a t i o na l ev e r ym e a n i n g f u lw o r k i na d d i t i o nt oc o d i n ga n dm o d u l a t i o nt e c h n o l o g i e s ，d i v e r s i t yi sa l s oat e c h n o l o g y f o ra c h i e v i n gg a i n d i f f e r e n tf r o mt i m ed i v e r s i t y , f r e q u e n c yd i v e r s i t ya n ds p a t i a ld i v e r s i t y w h i c hh a v e b e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e d ，s i g n a ls p a c ed i v e r s i t y ( s i g n a ls p a c ed i v e r s i t y , s s d ) i sap o w e ra n db a n d w i d t he f f i c i e n td i v e r s i t yt e c h n i q u em a td o e s tn e e da d d i t i o n a l r e s o u r c e s s s di m p r o v et h es y s t e mp e r f o r m a n c eb yi n c r e a s i n gt h ec o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t yo f t h e r e c e i v e r t h i si st h em a i nf a c t o rt h a th i n d e r i n gi t sw i d e ru s e a l t h o u g h ，s s dh a sb e e nw i d e l yu s e di nan u m b e ro fc o d e dm o d u l a t i o ns c h e m e s ， s u c ha sb i c ma n db i c m i d ，s s dw i l lb eu s e di nt h eq a r yc o d e dm o d u l a t i o ns y s t e m b a s e do ft h ei n h e r e n tr e q u i r e m e n to fm a p p i n gh i g h - d i m e n s i o n a ls p a c eo fs s d 1 h em a i nw o r ka n dc o n c l u s i o n so ft h i sp a p e ra r ea sf o l l o w s ： w em a k ead e t a i l e da n a l y s i sa n ds u m m a r yf o rd e c o d i n ga l g o r i t h mo fq a r yl d p c c o d e , t a k i n gi n t oa c c o u n tt h er e q u i r e m e n t so ft h eh a r d w a r ei m p l e m e n t a t i o n ，w ei m p r o v e t h e d e c o d i n ga l g o r i t h mw h i c ho fl o w c o m p l e x i t y , a n dt h ei m p r o v e m e n tb r o u g h ta b o u ta c e r t a i na m o u n to fc o m p e n s a t i o nf o rt h ep e r f o r m a n c e i i i a b s t r a c t s t a r t i n gw i t ht h es i m p l e s tc o m b i n a t i o n o fq a r yl d p cc o d ea n dh i g h - l e v e l m o d u l a t i o n ，w ep r o p o s e dan e wq a r yl d p cc o d eb a s e do nb e l i e fp r o p a g a t i o nj o i n t c o d em o d u l a t i o n ( q b p c m t o ) s c h e m e t h r o u g ht h es i m u l a t i o n , w ea n a l y s et h ei m p a c t o ns y s t e mp e r f o r m a n c ef r o mt h en u m b e ro fi t e r a t i o n sa n dt h ei n t e r l e a v e r n e x t , w ei n t r o d u c et h es s dt ot h eq b p c m i ds c h e m e t h r o u g ht h er e s u l to ft h e s i m u l a t i o n ，t h es y s t e mp e r f o r m a n c et u m sb e t t e r a p p l i c a t i o no ft h ei d e ao fc o n c a t e n a t e dc o d m g ，w ep r o p o s e dac o d e ds s d t h a ti s ， t om a i n t a i nt h es a m ec o d er a t ea n dt r a n s f e rp a r to ft h ec o d er a t eo ft h eq - a r yl d p c c o d et ot h es s ds i d e w ec a l lo b s e r v et h a tt h en e ws c h e m ei sb e t t e rt h a nt h eo l do n e a e e o r d i n gt ot h er e s u l to fs i m u l a t i o nu n d e rd i f f e r e n tt o t a lc o d er a t e k e y w o r d s ：q - a r yl d p c ，s s d ，c o d e d - m o d u l a t i o n ，i t e r a t i v e i v 图目录 图目录 图1 1l d p c c o d e db i c m 系统模块图2 图1 2 基于l d p c 码的m l c 结构3 图2 1 二维两点f f t 运算的蝶形图1 0 图2 2 三维两点f f t 运算的蝶形图。1 1 图2 3l i l 函数取值分析13 图2 4 多元l d p c 码的一个校验节点的因子图结构1 6 图2 5 信道编译码器模型l8 图2 - 6q p s k 映射星座图l8 图2 74 l d p c 在a w g n 信道下不同译码算法性能比较2 2 图2 84 - l d p c 在独立瑞利衰落信道下不同译码算法性能比较2 3 图3 - 1 增加分集度：( o l = 1 ；( b ) 三= 2 2 4 图3 2 】，的概率密度函数2 7 图3 - 3 成对错误概率2 8 图3 - 4 二维情况下最小乘积距离分布3 0 图4 _ 1g f ( 4 ) l d p c 码与q p s k 调制映射的星座图3 7 图4 - 2g f ( 4 ) l d p c 码与q p s k 调制的性能仿真曲线3 7 图4 - 3g f o ) l d p c 码与1 6 q a m 调制映射的星座图3 8 图似g f ( 4 ) l d p c 码与1 6 q a m 调制的性能仿真曲线3 8 图禾5q b p c m i d 联合迭代译码3 9 图4 - 6 双重迭代算法流程图4 0 图4 - 7 总迭代次数不变时，内外迭代次数对q b p c m i d 系统误码率性能影响 曲线4 l 图4 8 内迭代次数对q b p c m i d 系统误码率性能影响的曲线4 2 图4 _ 9 外迭代次数对q b p c m i d 系统误码率性能影响的曲线4 3 图4 1 0 交织和未交织对q b p c m i d 系统误码率性能的影响4 4 图4 1 1q b p c m s s d i d 系统模型4 5 图4 _ 1 2 传统旋转g 矩阵对q b p c m s s d i d 系统的影响4 9 v h 图目录 图4 - 1 3 总码率r _ 1 3 时系统的误码率曲线比较5 0 图4 1 4 总码率r = l 4 时系统的误码率曲线比较5 1 v i i i 表目录 表目录 表2 1 二进制加法与乘法运算表7 表2 - 2 四进制加法与乘法运算表7 表2 3 不同译码算法的计算复杂度。2 1 i x 缩略语说明表 k n g 呔 b e r b p s k b i c m b i c m i d b p c d m a d e f f t l d p c m f s k m m o m l q a m q p s k 缩略语说明表 a d d i t i v ew i l i t eg a u s s i a nn o i s e b i te r r o rr a t e b i n a r yp h a s es h i rk e y i n g b i t - i n t e r l e a v e dc o d e dm o d u l a t i o n b i t i n t e r l e a v e dc o d e dm o d u l a t i o nw i t h i t e r a t i v ed e c o d i n g b e l i e fp r o p a g a t i o n c o d ed i v i s i o nm u l t i p l ea c c e s s d e n s i t ye v o l u t i o n f a s tf o u r i e rt r a n s f o r m l o wd e n s i t yp a r i t yc h e c k m - r a yf r e q u e n c ys l l i rk e y i n g m u l t i p l ei n p u tm u l t i p l eo u t p u t m a x i m u ml i k e l i h o o d q u a d r a t u r ea m p l i t u d em o d u l a t i o n q u a d r a t u r ep h a s es l l i rk e y i n g x 加性高斯白噪声 误码率 二进制相移键控 比特交织编码调制 比特交织编码调制 迭代译码 置信传播 码分多址 密度进化 快速傅立叶变换 低密度奇偶校验 m 进制频移键控 多输入多输出 最大似然 正交幅度调制 正交相移键控 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特另j j 3 n 以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：望_ 羁毕 日期：弘刁年f 月砧日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名： 霆拯丛1 导师签名： 刭： 日期：1 年f 月日 第一章绪论 1 1 联合编码调制 第一章绪论 1 9 7 4 年，m a s s e y 提出了将编码和调制看作一个联合的信号处理实体的关键概 念【l 】，那就是协同设计编码和调制方案。 如此以来，在编码和调制的合并中，出现了两个基本问题： 1 如何构造一个比特到符号的映射 2 如何将编码比特序列安排到编码符号序列中 2 0 世纪7 0 年代提出了两种设计编码调制系统的基本方法。 1 网格编码调制( t r e l l i sc o d e dm o d u l a t i o n , t c m ) 2 】 经过集分割，应用比特到符号的自然映射。给定一个有限状态机，将符号 序列安排到网格路径中。在接收端采用v i t e r b i 译码。 2 多级编码调带l j ( m u l t i l e v e lc o d e dm o d u l a t i o n m c m ) 4 】 通过二进制分割，应用码字到比特位置的映射。对于2 相调制，采用t 个 纠错编码，每个对应标注中的一个比特。在接收端采用多级译码。 在t c m 和m c m 中，基本的思想都是通过扩展星座图来获得纠错编码需 要的冗余，然后应用编码来增加调制信号序列间的最小欧氏距离。 u n g e r b o e c k 在19 7 6 年提出了t c m ，t c m 的主要思想是通过集分割实现映射。 选择一个与有限状态机的状态转移关联的基本网格结构，然后将信号子集映射到 网格分支中。对于那些需要高频谱效率的系统，可以将未编码比特安排到网格中 的平行分支上去。 文献 4 中的m c m 方案思想是对2 相调制信号集进行t 级二进制分割。f 个二 进制成员码g ，1 f t 的码字元素用来索引每级分割的陪集。m c m 的一个好处 是可以通过调整每级分割的集内欧氏距离，酽，f = 1 ，2 ，t ，和成员码的最小汉 明距离，灵活设计编码调制方案。w a c h s m a n n 等人已经提出了几条基于容量( 通过 应用互信息的链规则) 观点的设计准则【5 】。而且，可以证明，采用长二进制成员码， 比如t u r b o 码或者l d p c 码，多级编码可以达到信道容量【5 】- 【6 1 。 电子科技大学硕士学位论文 虽然通常选择二进制码作为成员码，即分割是二进制，一般而言，成员码可 以从任何与信号集分割匹配的有限域g f ( g ) 上选择。多级编码另外一个重要的优 点是( 二进制) 译码可以在每级分别进行。与整个码的m l d 相比，这种多级译码的 复杂度要低得多。 1 2 基于l d p c 码的编码调制方案的研究现状 l d p c 码本身具备很多优点：( 1 ) l d p c 码的译码性能可与t u r b o 编码相媲美， 但译码复杂度较低。其特有的稀疏校验矩阵具有低密度性，使得译码复杂度与码 长呈线性关系，并且可实现并行译码，大大减小了译码时延。( 2 ) 二进制l d p c 码 的最小码距以概率l 随码长线性增加。( 3 ) 很容易设计一个任意码长和码率的性能 优异的l d p c 码，这使得编码随不同系统的需要能更容易地调整。( 4 ) 具有较多简 化的译码算法，可进一步降低译码复杂度和译码时延。并且，l d p c 码具有广泛的 应用性，可被广泛应用于光通信、卫星通信、深空通信、第四代移动通信系统等 方面。相对于其它类型的编码，l d p c 码无疑是b i c m 分量码的一种比较好的选择。 l d p c 码的优越性也必将给使用l d p c b i c m 技术的系统带来更大的性能改善。目 前，关于l d p c b i c m 技术的研究引起了不少学者和专家的注意，一些研究表明： 只要适当设计l d p c b i c m 结构就能够获得接近s h a n n o n 限的性能【s 】。并且，利用 l d p c 码良好的性能可以大大简化系统的复杂度。 比特交织编码调制与多级编码( m l c ) 不同，b i c m 只有一级的编码器和一个理 想交织器，所用分量码可以是卷积码或分组码。在传统的b i c m 方案中，经过编 码器后码字c 通过理想交织器万得到万( c 1 ，然后将万( c 1 根据调制方式进行分组， 每组映射为信号星座集合z f 训= 2 ”1 中的一个点。 用二进制l d p c 的编码调制方式主要有b i c m 和m l c 。 图1 - 1l d p c - c o d c db i c m 系统模块图 2 第一章绪论 l d p c 码编码比特交织编码调制( b i c m ) 系统框图如图1 1 所示，由于采用了 l d p c 码，可以不再需要比特交织器【9 1 ，m 进制调制器每次取m = l o g ，m 比特，将 其映射为一个复数符号并传输出去。a w g n 信道给每个传输符号加上复数噪声 以= 以。+ 加q ，其中跨。和拧q 是独立的均值为零方差为的高斯随机变量。解调器是 一个最大后验概率( m a p ) 符号到比特尺度计算器，解调器的输出传给解码器，解码 器采用置信传播( b p ) 解码。 相比于b i c m 结构，m l c 结构需要使用多个l d p c 子码( 见图1 2 ) 。在参考文 献【l l 】中，作者通过密度进化对每一级的码字进行单独优化来达到对整个码字的优 化。其实l d p c 码编码的m l c 结构可以看作是l d p c 码编码的b i c m 结构的一个 特例。 二进制信 ll 。陀编码器卜 a w g n 刀 1r il 。p c 编码器p - 映射器 x 一厂 、 ly 。 一l il 。陀编码器p 图1 - 2 基于l d p c 码的m l c 结构 对于多进制l d p c 与多进制调制的结合，一般是g f ( q ) 域上的l d p c 码与g 进 制的q a m 或p s k 进行一一映射。由文献【1 0 】可知，在高斯白噪声信道、独立和相 关瑞利哀落信道三种信道环境下，1 6 元l d p c 码的性能均明显优于二元l d p c 码。 当误码率为1 0 弓时，g f ( 1 6 1 l d p c 码在高斯信道、独立和相关哀落信道中相比于 g f ( 2 ) l d p c 码，信噪比分别有约1 8 d b ，3 d b 和3 5 d b 的性能增益。 分集技术是另一种用于对抗衰落信道的重要技术。常用的分集包括：时间分 集，频率分集和空间分集。所有这些分集技术都相应地要求时间域，频域和空间 域的冗余，也就是消耗一定的功率或带宽资源。与这些分集技术相比，信号空间 分集技术( s s d ) ( 或称为调制分集) 是功率、带宽有效的【1 2 h 1 7 1 。 由于信号空间分集技术( s s d ) 可以通过增加系统的分集度来改善衰落信道的 性能，n g l l ih t r a i l 【1 8 】等人提出并分析了使用s s d 的b i c m i d ( b i c m i d s s d ) 的性 能，同时指出：随着星座维数的增加，接收机的复杂度很高，而使用球形译码以 电子科技大学硕士学位论文 及软干扰消除的方法，可以降低接收机的复杂度。与此同时，n a u m a nf 【1 9 】等人也 进行了类似的研究，并进一步把分量码换成二元l d p c 码，发现l d p c s s d 系统 有着更好的抗衰落信道的能力。 1 3 论文结构及内容安排 本文主要介绍了多元l d p c 码在编码调制系统中的应用，并对目前主要的多 元l d p c 码的译码算法做了比较详细的介绍、总结和改进。此外，详细介绍了一 种功率和带宽有效性的分集技术信号空间分集( s s d ) 。结合s s d 技术，作者提 出了一种基于多元l d p c 码的迭代译码，进一步地，作者提出了一种编码s s d 的 思想，设计并挑选了一种编码s s d 的旋转矩阵，将l d p c 码的一部分冗余度转移 到调制器部分，并保持系统整体的码率不变，并使用仿真软件m a t l a b 对其进行了 仿真，目前国内外还无此编码s s d 的设计方法。 本文的结构主要分为一下四个部分： 本章节首先对工作的研究背景进行了阐述，回顾了编码调制技术的发展以及 基于l d p c 码的编码调制方案的研究现状，并对目前信号空间分集技术的应用做 了总结。 第二章介绍了l d p c 码，从二元l d p c 码入手，引入多元l d p c 码，并对多 元l d p c 码的译码算法进行了总结和改进。 第三章，论文对信号空间分集技术进行了详细的介绍，特别对信号空间分集 的最优旋转矩阵的设计原则进行了详细的比较和总结。 在第四章中，主要论述的l d p c 码在编码调制系统中的应用。介绍了l d p c 码在编码调制中的简单应用，并创新性提出了一种使用信号空间分集的基于多元 l d p c 码的迭代译码系统，更进一步提出一种编码s s d 的思想，大大改善了该多 元l d p c 码系统的性能。 最后，第五章总结全文，给出了本文的研究结论，并提出了后续的研究工作 方向。 其中，前三章本论文主要是总结前人的工作，介绍已有的多元l d p c 码的译 码技术和信号空间分集技术。而第二章的最后、第四章内有作者的创新，有很大 部分是作者自己完成的工作。 4 第二章多元l d p c 码的编码和译码 第二章多元l d p c 码的编码和译码 本章主要介绍了多元l d p c 码的标准b p 译码、基于f f t 的快速译码、对数 域上的和积算法以及扩展最小和译码算法，并对它们的复杂度和性能进行了比较 和分析。 2 1l d p c 的基本概念 1 9 6 2 年，g a u a g c r 在文献【2 0 】- 2 2 1 中给出了一类称为低密度奇偶校验( l o w d e n s i t yp a r i t yc h e c k ，l d p c ) 码的线性码，和两种迭代概率译码算法。随后，t a n n e r 2 3 】 将g a l l a g e r 的概率译码算法扩展到更一般的情况，用子码代替简单的单奇偶校验 方程组来定义奇偶校验。更早的时候，已经证明l d p c 码的最小距离随码长线性 增长，纠错能力和最小距离相当，并且译码算法的复杂度几乎是线性的【2 4 l 。 文献 2 5 】- 2 6 】中表明，l d p c 码能够像t u r b o 码那样接近s h a n n o n 限。稍后在 文献 2 7 】中，表明当分组长度很大时，非规则l d p c 码的性能要好于具有近似长度 和码率的t u r b o 码。 规则l d p c 码是个线性f 咒，k 1 码，检验矩阵h 的列和行重量分别是，和k ，j 和 k 的长度均远远小于码长以。这样，l d p c 码具有非常稀疏的校验矩阵。如果按照 某种不均匀分布选择h 中列和行的h a m m i n g 重量，便可以得到非规则的l d p c 码。 m a c k a y 提出了几种通过计算机搜索构造l d p c 码校验矩阵的方法【2 6 】。 对于每个线性( 甩，k ) 码c ，存在一个具有关联校验矩阵h 的双向图。这个图称 为t a n n e r 图【2 3 】，【2 8 1 。通过引入状态节点，将t a n n e r 图推广到因子图【2 9 】- 【3 0 1 。t a n n e r 图的节点与两类变量及它们的l l r 值关联。 一个线性( ，z ，k ) 码c 的t a n n e r 图具有理个变量节点或称为编码节点而与码符号 关联，至少甩一k 个校验节点z 。与校验方程组关联。对规则l d p c 码来说，编码节 点的度都等于，校验节点的度都等于k 。 举例说明一个码的t a n n e r 图，考虑h a m m i n g ( 7 ，4 ，3 ) 码，它的校验矩阵是 电子科技大学硕士学位论文 f ，l 1 1010o 、 日= io ll1olo i 1 , 1 l0l0 0 1 j 对应的t a n n e r 图如图所示，编码节点与校验节点的连接方式由校验矩阵的行 规定。 第一行给出了校验方程，m + 吃+ 屹+ = o 。如前面说到的，变量而和z 朋分别 被指派给每个码符号和每个校验方程。因此，可以得到羡慕的校验方程组： z i2 五+ x 2 + x 3 + x s 乞= 屯+ 而+ 毛+ z 32 五+ x 2 + x 4 + x v 在最上面的方程中，编码节点五，x 2 ，毛和而连接到校验节点z l 。类似的，当把 h 的列看作关联矢量时，表明了码符号出现或参与了哪些校验方程。上面h 的最 左边的列( 10 1 ) 1 ，表示五连接到了校验节点乙和毛。 2 2 多元l d p c 多元l d p c 码是由d a v e y 和m a c k a y 在1 9 9 8 年首次提出【3 l 】，多元l d p c 码是 将二元l d p c 码一般化到有限域钮( g ) ，其校验矩阵元素不再是( o ，1 ) ，而是集合 ( o ，l ，q 1 ) 。 s h ul i n 等人提出的基于有限域构造多元准循环( q c l d p c ) 码具有较低的错误 平层，且其编码增益超过采用代数译码算法下相同码长和码率的r s 码。同时，多 元l d p c 码还有以下优点：具有消除小环( 特别是4 环) 的潜力，可以获得更好的纠 错性能。 目前国内外的科研成果均表明二元l d p c 码具有很好的纠错性能。通过将二 元l d p c 码随处的二元域扩展到多元域上，可以很容易的引入多元l d p c 码的概 念。目前国际上的研究结果表明，具有特定列重的低码率多元l d p c 码，在a w g n 信道下的性能甚至优于二元l d p c 码，并且多元l d p c 码的抗突发错误性能要明 显优于二元l d p c 码。 为了理解多元l d p c 码的编译码原理，有必要深入到有限域中。对于任何素 数p ，存在一个有限域，表示为g f ( p ) ，其中包含p 个元素。可以将g f ( p ) 延伸 为一个含有p ”个元素的域，这称为g f ( p ) 的扩域，记为g f ( p ”) ，朋是一个自然 6 第二章多元l d p c 码的编码和译码 数。本文基于扩域舒( 2 ”) 中的码元构造多元l d p c 码。 二元域g f ( 2 ) 是扩域g f ( 2 ”) 的一个子域，它由两个元素( o 1 ) 构成，其加法 与乘法运算规则如表2 1 所示。 表2 1 二进制加法与乘法运算表 ool ool 11o oo1 0 ol 1 1o 本文采用的多元域为四元域g f ( 4 ) ，由四个元素( o ，1 ，2 ，3 ) 构成，其对应的加 法与乘法运算规则如表2 2 所示。 表2 2 四进制加法与乘法运算表 ool23 0o123 11032 22301 332 l0 o1 2 3 oo 0 0 o 1o 1 23 2o 2 31 30312 关于有限域的更深入的知识可以参看其他教材【3 2 1 ，本文限于篇幅，不再做更 详细的叙述。 代数方法构造的多元l d p c 码在性能上完全可以超过二元l d p c 码，特别是 在相关衰落信道下，无论采用高阶调制方式还是二进制调制，多元l d p c 码的性 能总是好于二元l d p c 码，且其纠突发错误的能力大大超过二元码，同时它与高 阶调制技术相结合可以得到更高的谱效率和传输效率。 在磁盘存储系统、深空通信等数字通信系统中，信道产生的错误往往是突发 的，多元l d p c 码由于可以将多个突发比特错误合并成较少的多元符号错误，因 此抗突发错误能力比二元l d p c 码强；多元l d p c 码是基于高阶有限域设计的， 因此非常适宜与高阶调制方案结合从而提供更高的数据传输速率和频谱效率；二 元l d p c 码与多元调制相结合时存在比特概率和符号概率间的相互转换，导致信 息损失，而多元l d p c 码结合高阶调制可采用基于符号的后验概率译码算法从而 避免这样的问题。 7 电子科技大学硕士学位论文 例如在独立瑞利衰落信道中采用b p s k 传输方式时，多元l d p c 码的性能优 于二元l d p c 码。在误码率为1 0 5 时，性能相差约0 4 d b 左右。由此结果可以看出， 在信道环境很差的情况下，即使调制方式与多元l d p c 码不匹配( 即存在概率转换 问题) ，多元l d p c 码的性能仍然比二元l d p c 码好【3 3 】。 又例如在独立瑞利衰落信道情况下1 6 q a m 与g f ( 1 6 1 l d p c 码的性能明显 好于g f ( 2 ) l d p c 码的性能，这与在高斯信道下得出的结论相同，但在衰落信道中 多元l d p c 码的优越性表现得更加突出。当误码率在1 0 5 时，两种码性能分别相差 3 d b 、3 5 d b 左右【3 3 1 。 2 3 多元l d p c 码的译码算法及性能分析 2 3 1 多元l d p c 码的标准b p 译码 标准b p 算法也称概率域上的b p 译码，其消息是用概率形式表示。下面是关 于多元l d p c 码在g f ( q 1 上的译码方法。 定义x 为接收到的码字矢量，即双边图上的变量点，z 为校验点元素集合。 译码的问题是寻找最可能的码字矢量x 满足h x = z ，x 的似然值由信道模型决 定。定义所使用的符号：( m ) = 以：巩。0 ) 为参加第m 个校验方程的变量节点 集合，即是校验矩阵巩。中第朋行的非零元素的集合。( 刀) - m ：矾。0 为第 刀个变量节点所参加的校验方程的集合，即是校验方程巩。中第以列的非零元素 的集合。 对于校验矩阵中的每个非零元素a = 0 ，l ，g 一1 ，定义两类概率值：群。是在h 矩阵的第m 行的第, 1 个非零元为a 的条件下，第m 个校验方程成立的概率；线则 是该非零元在满足除第m 个校验方程的其他所有校验方程的条件下，该非零元为a 的后验概率。注意所有域元素参与的乘、加运算均是多元有限域中的运算。 迭代译码步骤如下【3 4 】： 1 ) 解调与初始化 设多元有限域的阶数与调制的阶数相同，解调器接收符号的g 个似然概率密度 为 p ( x = 丽1 唧i _ 警| ，a = 0 , 1 , - , q - 1 第二章多元l d p c 码的编码和译码 式中，五表示星座图上第口个点，五= 如，吒口) ；匕表示解调器接收的第疗个符 号，= 饥，只口) ；d r , ，以= ( 一白) 2 + ( 儿口一吒q ) 2 是接收符号艺到t 的欧氏距 离。 按照公式( 2 1 ) 计算各个码元符号的g 个初始后验概率，记为彰，其中 a = 0 ，l ，q - 1 。 ：p c x oi e ) ：善址生： p ( i 五 2 ) 逐行更新群。 ( 2 - 1 ) 群。= 万l 以以= 乙ln 璐 ( 2 - 2 ) x ：x r = ah e r ( m )j j e n ( m ) n 3 ) 更新媛。 既= 。彰兀麟 ( 2 3 ) ，e 脚( 月) 、” 归一化因子。的选择使得蛾。= 1 。再将鳞。作为下次迭代的后验概率用来计算 下次的蟛。 ”o 4 ) 码元符号的判决 每次迭代后，计算个码元符号的g 个伪后验概率，选取最大的伪后验概率值所 对应的a 值作为该符号的判决输出，用公式可表示为： 毫= 彰兀碟(2-4)argmax 以=l j “； 4 ，e 肘( n ) 如果礅= 0 ，则迭代结束，译码器将量作为译出的码字输出。否则，回到步骤 2 进行下次迭代。如果超过程序设定的最大迭代次数仍找不到满足i - 1 3 ：= 0 的圣，则 认为译码失败。 2 3 2 基于f f t 的f f t - b p 译码 快速b p 译码对标准b p 译码的第2 步骤进行了改进，其他步骤与标准b p 译 码完全相同。由( 2 2 ) 式可见，对于巩。中的每个非零符号，如果要计算某个 9 电子科技大学硕士学位论文 ( a o ，1 q - l ) 值所对应的群。，需( 吃一2 ) xq d c 。2 次乘法和严一1 次加法运算。 当域的阶数g 和行重以较大时，则所需的计算量呈指数增长。故d a v e y l 3 4 】提出了 一种求群。的f f t 简化算法，依据是将( 2 2 ) 式看作是各鸱的卷积，需要注意的是， 该概率序列的卷积求解的下标运算属g f ( q 1 的运算，故作f f t 运算时，可简化为 p ( 此时2 p = q ) 维两点的f f t 的运算【3 5 1 。 已知概率密度函数f = p ( 薯) ，f = l ，n ，其中毛可以是任意的z g f ( q ) ， f = o ，g - 1 ，求f = f f t ( p m f ( x ，) ) 。在g f ( 2 ) _ 删x f 的傅立叶变换公式，即两 点f f t 运算公式为 f o = f o - 4 - f f - ：歹。一歹- ( 2 5 在g f ( 4 ) 上的f f t 运算可以转换为二维两点f f t 运算，图2 1 给出q = 4 时的 f f t 运算过程。 。p m f ( x ) f2p m f ( 0 0 ) l f2p r n f ( 0 1 ) 2 f = p m f ( 1 0 ) 3 f2 p m f ( 1 1 ) 图2 1 二维两点f f r 运算的蝶形图 公式表达为： f o = 尸+ 厂1 】+ 厂2 + 厂3 】 f ，z = i f ：裂i 幺f 易 弘6 ， 2 o + 厂1 卜2 + 3 】 ”1 f 3 = 尸一厂1 卜 厂2 一厂3 】 图2 - 2 给出g = 8 时的f f t 运算过程，也即是三维两点f f t 运算。 1 0 第二章多元l d p c 码的编码和译码