（基础数学专业论文）一类奇异非线性多调和方程的正整体解.pdf

摘要 本文主要研究形如 ( ( “u ) 一1 ) = ( i x ，让，i v uj ，j v 2 uj ，i v 3 j ) u 一4 ，x 僻 的奇异非线性多调和方程在r 2 上的正整体解，其中p 1 ，卢0 是常数，n 是自然数，f 矿：= ”1 f ， 鸸 0 ，：r + 厦+ 瓦十霹_ 是连续函数我们证明了这种解“必 然无界并且其渐近阶( 当z - - + o 。时钍作为无穷大量的阶) 不低 于j x l 2 “( 1 0 9i x f ) 1 ( p _ 1 ) ，给出了该方程具有无穷多个其渐进阶刚好为 j x l 2 “( 1 0 9 h ) 1 ( p - 1 ) 的解的充分条件进一步，文末给出了两个例 子，用以说明定理的应用最后我们给出了右端项推广为高阶的方 法 关键词：非线性多调和方程，奇异的，径向对称的，正整体解，不 动点定理 k e y w o r d s ：n o n l i n e a rp o l y h a r m o n i ce q u a t i o n ，s i n g u l a re q u a t i o n ， r a d i a ls y m m e t r i c s o l u t i o n s ，p o s i t i v e e n t i r es o l u t i o n s ，f i x e dp o i n tt h e - o r e m a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h et w o - d i m e n s i o n a ls i n g u l a ra n dn o n l i n e a r p o l y h a r m o n i ce q u a t i o n so f t h ef o l l o w i n gf o r m ( ( “u ) p 叫) = ( i x l ，u ，i v u l ，i v 2 u l ，1 v 3 u i ) u ，石r 2 w h e r e p 1 ，卢0i sc o n s t a n t ，ni s ap o s i t i v ei n t e g e r ，o ：= i l o 一1 ， r ，o z 0 ，：r + r + r + r + r + _ r + i s ac o n t i n u o u sf u n c t i o n i t i ss h o w nt h a ta n yp o s i t i v er a d i a l l ys y m m e t r i ce n t i r es o l u t i o ng r o w sa tl e a s t a 8f a s ta st h ef u n c t i o n 2 “( 1 0 9l x l ) 1 ( p 一) m u l t i p l i n gb yap o s i t i v ec o n s t a n t ， a sl z l 一。a l s o ，s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e nf o rt h ee x i s t e n c eo f i n f i n i t e l ym a n yp o s i t i v es y m m e t r i ce n t i r es o l u t i o n sw h i c ha r ea s y m p t o t i ct o t h ef u n c t i o n 蚓2 “( 1 0 9 i x l ) 1 ( p - 1 ) m u l t i p l i n gb y ap o s i t i v ec o n s t a n t ，a s l x j _ o o f u r t h e r m o r e ，w eg i v et w oe x a m p l e st os h o wt h ea p p l i c a t i o no f o u rt h e o r e m s f i n a l l y w eo u t l i n et h em e t h o do f e x t e n d i n g t h es a m ep r o b l e mt ot h eo n ew i t h h i g h e ro r d e r s k e y w o r d s ：n o n l i n e a rp o l y - h a r m o n i ce q u a t i o n ，s i n g u l a re q u a t i o n ，r a d i a l s y m m e t r i cs o l u t i o n s ，p o s i t i v ee n t i r es o l u t i o n s ，f i x e dp o i n tt h e o r e m 致。谢 本文是在我的导师陈祖墀教授的悉心指导下完成的衷心感谢 陈老师三年来对我在学业上的启发和帮助，还有在生活上的的关心 和爱护陈老师渊博的学识和严谨的治学态度更为我们树立了良好 的榜样这三年来我取得的每一点成绩，都凝聚着陈老师的心血和 汗水论文能够顺利完成，陈老师的指导起到了至关重要的作用 同时感谢已经毕业的几位师兄和在读的几位师兄，师弟和师妹 们在跟他们的讨论中，我获得了很多有益的启发 在科大学习和生活了七年，感谢数学系的各位老师和同学，是 他们为我提供了一个良好的学习环境 特别感谢我的家人，多年来他们默默付出，全力支持我的求学 之路 第一章引言 关于调和方程的广泛的物理、化学及生物学的背景是众所周知的，特别 是考虑在实际问题中，正解是经常被关注的，如电位函数，稳态的生物平衡 状态包括人口分布等从上个世纪七十年代以来，大批方程论文致力于调和 方程，多调和方程和p 调和方程正解的研究，例如文 1 - 4 】研究了半线性调 和方程的正解( 包括正的径向解) 后来，文 5 , 6 先后把他们的结果推广到 p 调和方程( 拟线性的) ，得到在球体中正解的存在性和唯一性历史上与本 硕士论文有关的非线性问题正整体解的研究是下述的工作 较早的文章是研究形如a u = f ( x ，乱，v u ) 的非奇异情况 7 - 8 】k u s a n o 和u s a m i 9 j 曾讨论了半线性方程u = f ( x ，u ，v 让) ，z r 2 的正整解，并在 评注2 中得到了令人感兴趣的包括特殊方程a u = 庐( z ) u 1 知r 2 ，a 0 ) 方程的正整解 1 1 ，1 2 】研究了形如 a u = f ( 1 x l ，l v 训) u “及让= f ( 1 x ，i v u i ) 乱以扛e ，0 0 以下总是作此假定， 并设叩：= 击，p 1 称函数钍是方程( 1 0 1 ) 的正整体解，这里指的是u c 2 叶2 ( r 2 ) ，且( “u ) _ 1 c 2 ( r 2 ) 使得钍在r 2 的每一点均取正值且满足方 程( 1 0 1 ) ，称正整体解u 是径向对称的，如果让满足u ( o ) = u ( 蚓) ，z r 2 设l 卜：= ( 0 ，o o ) ，r + ：= 【0 ，o 。) ，那么，称一个径向对称的函数u ( 茹) = ( 蚓) 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文第2 页 是方程( 1 0 1 ) 的正整体解，如果可( ) c 2 “+ 2 ( 厦+ ) ，( l “g ) 9 - r c 2 ( 武+ ) 且满 足微分方程 l ( ( l “) ，一r ) = f ( t ，( t ) ，i 矿( t ) i ，l y ”( t ) i ，1 可”( t ) 1 ) b ( t ) ) 一9 ，t 0( 1 0 2 ) 及初始条件 y ( o ) = 伽r ，y ( o ) = 0 ，( l 口) ( o ) = r ，( ( l g ) 一r ) ( o ) = o ，i = 1 ，2 ，n ( 1 0 ，3 ) 此处l 表示2 维l a p l a c e 算子的极坐标形式，即 l = 象( t 爰却l ( 1 0 4 ) l “表示n 重l a p l a c e 算子“的极坐标形式；( d 可) ( o ) 表示l i m t _ + ( 叠) ( t ) 注意到当p = 2 的时候方程( 1 0 1 ) 变为多调和方程，所以本文研究的 方程比多调和更广泛同时，当，与v 4 札等更高阶梯度项有关时，可以用 同样的方法得到类似的结果，只是计算比较繁琐 第二章主要结果 本文中将要用到以下几个辅助函数 自c t ，：= m a x t l t ，2 ：妻； 。 ( 2 l o - s ) 证明令u ( z ) = ( n u ( 嚣) ) 9 二h ，由( 1 0 1 ) 得 a v ( z ) = = ( i 嚣l ，u ( 写) ，l v u ( z ) i ，i v 2 钍( 正) i ，l v 3 u ( 茁) i ) u ( z ) 一4 0 ，z 珉? 即 在r 2 是下调和的，于是由l i o u v i l l e 定理知， 铄x l - ，i n o o 端 o - i i o g l z l 此式说明当充分大的时候，口( z ) = i “钍( 。) i - 2 a u ( x ) 0 ，因此a u ( x ) 0 ，所以 ( z ) = ( a “( 。) ) 9 ，从而a “( 。) = ( ”( 霉) ) ”，q = 击于是，由上式 推出 a “u ( z ) 2c o ( 1 0 9 i z i ) ”，i 。l t o 0 ，c o 0 记t = 川，0 ) = u ( ) ，上式改写为 ( 三8 ) ( t ) c o ( 1 0 9 t ) ”，t t o 0 上式两边关于t 在亡】上积分得 ( 矿俅) 孚f s ( 1 0 酬t t o o , c t 0 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文第5 页 实际上 面do d ( l n - t y ) ) c 。( 1 0 9 t ) ” ；磊d 。d ( l - l y ) ) c 0 如g t ) ” 爿。甜d n n 1 沪。甜d n n 1 驯龇r 酬l 。g s ) ；d ( l - l y ) c 。o ，f 如 s ( 1 。g s ) 显然j ：s ( 1 0 9 s ) ”d s _ 0 ，当t _ + 0 0 ，故可取t 充分大，不妨记为t t l ，我们 有 s 警f s ( 1 唧s 所以我们得到 ( l - t y ) ， ( 一五c o + 孚) r s ( 1 0 9 妒d s = c 0 2 l f s ( 1 。g s ) 1 如 这里c 1 = 等，再次在i t l ，t 1 上积分得 ( l ”一1 口) ( t ) 2g ( t 1 ) + c l ( t ) ，t t l t o 0 其中g = l - 1 y 且 坤) = r ( 小o s r ) d s 由l h o s p i t a l 法则可以验证， 舰觜= l i m 州0 1 0 9 h ( t t ) f1 e l 所以存在正常数c 2 0 及t 2 t 1 使得 ( l ”1s ，) ( t ) c 2 t 2 ( 1 0 9 t ) n ，t t 2 用归纳法可以证明，对任意i ( 1 i 礼) ，存在常数c 2 ，t 2 i t 2 “ 0 ，使得 ( l ”p ) ( t ) c 2 i t 瓤( 1 0 9 t ) 1 ，t t 2 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文第6 页 特别存在常数c 2 。 0 ，c 2 。一l 0 ，t 2 。 0 ，t 2 n l 0 使得 叭蛇芋e 一。8 2 n - i ( 1 0 9 s s ，t _ t 2 , - 1 , y ( t ) c 2 。t 知( 1 0 9 t ) ”，t t 2 。 最后一式说明( 2 0 7 ) 成立，而对最后第二式用l h o s p i t a l 法则即可验证 ( 2 0 8 ) 成立 第三章积分算子及其性质 我们引入积分算子西：c ( 心) _ c 2 ( 贰+ ) 为 叫归( s l 。8 ；t ) 吣) d s t o ( 3 肌) 其中圣 ( o ) 可以理解为 觋圣 ( t ) 不难验证，算子圣是线性的，单调的 ( h h 7 = 争圣 圣 气而且关于极坐标形式的l a p l a c e 算子l 有 l ( o h ) ( t ) = ( t ) ，t 0 ，h c ( 耻) ( 3 0 2 ) 对任意取定的自然数n ，我们定义c ( 耻) 上的算子叼如下 那么可以验证 ( 西； ) ( t ) = 雪“( ( 圣 ) 矿) ( t ) ，t 0 ，h c ( 武+ ) ( 3 ，0 3 ) l ( ( l “( 圣； ) ) p - - l * ) ( t ) = ( t ) ，t 0 ，h c ( 厦+ ) ( 3 0 4 ) 因此，对任意h c ( 耻) ，u ：= ( 叼) ( ) 是如下方程的正整体解 ( ( “u ) - 1 + ) = a ( i z l ) ，z 孵 特别，当 ( t ) 0 时，“+ ”可以不用 引理3 0 1 如果 ( t ) 0 ，h 在_ + 上连续，则 。圣 ( t ) 2 ( t ) z t ( s ) 危( s ) d s 因此，如果h 同时满足条件 m o ：= k ( t ) h ( t ) d t o 。 ， j 0 则 0 o h ( t ) s m o t ( t ) ，t 0 ( 3 0 5 ) ( 3 0 6 ) 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文 第8 页 证明：由圣的定义，待证不等式变为 f o t s l o g ； ( s ) d s 5 f ( t ) z 。( s ) ( s ) d s 所以，要得到结论，我们只要证 s l 。g ；f ( t ) 南( s ) 下面分情况讨论： 当s 之l 时，( 3 0 7 ) 变为 s l 。g ；s l 。g ts f ( t ) 七( s ) ， 所证显然成立 当s o 所以，( s ) i ( 1 ) = t e 0 ，故在这种情况下( 3 o 8 ) 成立 若t e ，( 3 0 8 ) 变为s l o g ；l o g t ，整理得 三一t 0 令9 ( s ) = ；一t ，则 9 ( s ) = 一百t + t l o g t - 1 = 刍( t 1 0 9 t - - t ) o 注意到8 1 ，当8 _ 1 时，9 ( s ) 0 ，故此时( 3 0 8 ) 也成立 综上所述，引理的结论成立 ( 3 0 7 ) ( 3 0 8 ) 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文 第9 页 引理3 0 2 如果h l ，h 2 c ( r + ) 且0sh l h 2 ，则叼 1 曼唧h 2 证明：因为h 1 h 2 ，故圣 l 茎圣九2 且( 圣 1 ) 1 ( 圣圯) 1 ，从而 ( 叼h 1 ) ( t ) = 圣“( ( 垂危- ) ”) ( ) 圣“( ( 西 2 ) ”) 0 ) = ( q 2 ) ( t ) 引理3 0 3 如果h c ( 豇) ，h 0 且满足p 0 剀式，则 0 ( 西； ) ( t ) = 西”( ( 圣 ) 叩) 0 ) 嘲朋( t ) ) 2 “0 ) ) ”，t 0 ， ( 3 0 9 ) 其中m o ：= 铲k ( t ) h ( t ) d t ，m ：= 尬尬，每个慨：= m a x 1 ，帆) 都 是常数，这里 州= 哿黼小1 7 2 ，n ；( 3 0 1 。)帆。一哿赢耐一_ 1 ，2 ，川 p u l u j k ，f 是前面定义的函数 证明：先证明i = 1 的情况，由引理3 0 1 ， 0 ( 嘭 ) ( t ) = 圣( ( 圣 ) ”) ) v ( ( m o o ”) 0 ) ， 令m 1 ：= m a x 1 ，m 1 ) ，这里 州= s 幽u p 嵩猕 那么，只要证明尬是有限的，就可以由上面两式推出 ( 圣： ) ) = 圣( ( 西 ) ”) ( t ) 嘲 矗 0 ) ) 2 ( j ( t ) ) ”，t 0 ( 3 0 1 1 ) 为此，注意到 圣( 1 ”) ( t ) = 0 ( sl o g ；) f ( 8 ) 1 d s j o 当0 tse 时， ( s ) = 1 ，0 0 ，a o ：= ( 铲s g ( s ) d s ) ”( = 或。o ) 那么存在常数a n 0 使得 舰器= 呐 证明；我们还是用数学归纳法假定a o 。 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 1 页 。l。ira。萨(圣(1l。gg)”(t-)。=。l+ira。五基三生昙铲 = 怒箍鹅 = ；( z 。吲s ) d s 卜百a o 巾- 4 ) 一般地，假定i = n 一1 时成立，即 熙篙器一“ 则 县l i m 。器= 熙趔篙器坐t - + 。两研2 器赢落而 。( 垂；- 1 9 ) ( t ) = 【】m 一 黼z - 2 n - 2 ( 1 0 9 t ) n ( 4 n 2 + d ( 1 ) ) 1 2 五矛一1 凡 显然q n ：= 磊1 0 t n 一1 0 使得 ( t ) ，( t ，c a o ( t ) ，c a l ( t ) ，c a 2 ( t ) ，c a 3 ( t ) ) ( 凸0 ( t ) ) 一4d t o o jo 其中啦( t ) ( o i 3 ) 已经在前面定义过了由( 玛) 知，当2c 时， f o f ( t ，f 口o ( t ) ，f l ( ) ，f n 2 ( t ) ，f 0 3 p ) ) ( n o ( t ) ) 一p s c f ( t ，c a o ( t ) ，c o l ( t ) ，c n 2 ( t ) ，3 ( t ) ) ( n o ( t ) ) 邓 利用l e b e s g u e 控制收敛定理，由( 日3 ) 中的极限条件及上面两式得 j i mf 1 _ k ( t ) f ( t ，o o ( t ) ，和1 ( t ) ，f 0 2 ( t ) ，口3 ( t ) ) ( f o o ( t ) ) 邓d t _ + o 。 j 0 = j i m 一o k ( t ) f ( t ，f o o ( t ) ，f o l ( t ) ，f 口2 ( t ) ，f n 3 ( t ) ) ( o o ( t ) ) 一口d t 一一 j 0 2 上。( 。) 船1 巾，洲。) ，洲。) ，洲。) ，洲。) ) ( a 。( 。) ) 邓出 = 0 故司选取充分大的正数岛c ，便得当如时恒有 u o ；：”k ( t ) f ( t 翩( t ) 小心k 啪( t ) 删邓出 器， ：= ，f o o ( t ) ，口1 ( t ) ，凸2 ( t ) ，0 3 ( t ) ) ( 0 0 ( t ) ) 邮出 宁i i ， j0 h 这里m 1 是引理3 0 3 中的常数取定这样的一个，得到 ()1=(k(t)f(t，oo(t)，f01(t)，f02(t)，fd3(t)(00(t)一口dt)1j f o( 4 0 1 ) 峥u 。1 ， 亩 定义 y ：= y c 3 ( 霹) ：a ( t ) 可( f 玩( t ) ，i = 0 ，1 ，2 ，3 ，t o ( 4 0 2 ) 其中啦( t ) ，饥( t ) 如前文定义，y ( ) 表示9 ( t ) 的l 阶导函数 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 3 页 下面考虑c 3 ( _ + ) 中的通常拓扑，即c 3 ( 肆) 中的点列 协 器。收敛到 y 定义为毋在_ + 的任意紧子集上分别一致收敛于( “，i = 0 ，1 ，2 ，3 容易 验证，y 是c 3 ( 耻) 中的闭凸子集现在，我们定义l ，上的一个映射t ： t y ( t ) = a o ( t ) + 西：9 0 ) ，t 0( 4 0 3 ) 其中g ( t ) ：= f ( t ，口( t ) ，i g ) | ，i 圹( t ) i ，i y m ( t ) 1 ) ( g ( t ) ) ，叼由( 3 0 3 ) 式定义 显然，丁是从y 到c 3 ( - + ) 的非线性映射下面验证，按照c s ( _ + ) 中的 拓扑，t 把y 连续地映到y 的一个相对紧的子集中去 i ) t ( y ) c y 设y y ，显然有t y f o o ( t ) 由前面关于( 凰) 的假定，我们有 f ( t ，可( t ) ，l ( t ) l ，i ”( t ) l ，i ”( t ) 1 ) ( ( t ) ) 一9 ，( t ，f o o ( t ) ，f o - ( t ) ，n 2 ( t ) ，0 3 ( t ) i ) ( f o o ( t ) ) 由( 凰) 和( 4 0 1 ) 及引理3 0 2 和3 0 3 得 吣( ，( t ，口( t ) ，叭t ) i ，矿( 吼l y m ( 洲( g ( t ) ) 一4 ) 叼( ，( t ，f o o ( t ) ，f 口1 ( t ) ，0 2 ( t ) ，n 3 ( t ) 1 ) ( f n 0 ( t ) ) _ 卢) 瑁m ( ( 女( t ) ) 加( f ( t ) ) ” ( ( t ) ) “( f ( t ) ) 1 ， 这里 昭：= ( m o ) ”，m 是引理3 0 3 确定的常数从而 t y ( t ) = f 口o ( t ) + 叼( ，( t ，( t ) ，( 吼矿( 吼i y m ( t ) i ) ( ( t ) ) 一4 ) f ( i + t 2 ”一2 ) + f 0 ) ) 2 “( t ) ) 1 1 ，故有 叼- 1 9 ( s ) 西；_ 1 9 ( t ) 所以 同时 ( t 管) ”( t ) 2 ( t ) + q n - - 1 9 ( t ) 一哪n - - 1 9 ( t ) ：云d s = f 2 ( t ) + i l w p n 一1 荆 芝f 0 2 ( t ) ( t y ) ”( t ) f 口2 ( t ) + 圣；一1 9 ( 扪 ( 2 礼一2 ) ( 2 n 一3 ) t 鼽一4 + f ( t ) ) 2 n - - 2 ( f ( t ) ) 1 4 n 2 ( 1 + _ f ；2 n - - 2 ) ( f ( t ) p = 6 2 ( t ) 关于三阶导数，有 ( t y ) ”( t ) = n s ( t ) + z 。；圣，n - 2 9 ( s ) d s 一；圣，n - 1 9 ( t ) + _ _ 善，! 。s 西，n - l g ( s ) d s 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 5 页 z 。s 圣；一1 9 ( s ) d s = ：z s s 让- 。g 五8 西，n - 2 ，( u ) d u d s = ! 。z ts u 。s 石8 圣，n - 2 ，( u ) d s d u = 珂u 叼- 2 9 ( u ) 卜乩 = ；z 钍( t 2 l o g ：一；铲+ 百1 札2 ) 雪，n - 2 ，( 钍) d 钍 = 珂s ( t 2 l o g ；一扣却晖( s ) 抿 所以， ( 剐) = 鲰+ 1 o 。i 8 n - - 2 小) d s + i 1z 。竺f f 2 n - 2 9 ( s ) d s 显然有( t v ) ”协) 兰f 。3 ( t ) ，而 ( t 口) ( t ) 口3 ( t ) + 叼一2 9 ( s ) d s s ( 2 n 一2 ) ( 2 n 一3 ) ( 2 n 一4 ) t 2 ”一5 + 0 ( ( t ) ) 2 n - - 4 ( 1 ( t ) ) ” 茎8 n 3 ( 1 + $ 2 n - 3 ) ( f ( t ) ) ” = 6 3 ( t ) i i ) 是连续的 设 蜥 在y c c l ( 豇) 中收敛于y 0 - o o ) ，即 蜥) ， 彰) ， 彰) ， 矽) 在武+ 的任意紧子集上分别一致收敛于y ，y ，矿，y 令 9 j ( t ) ：= ，( t ，可( t ) ，i 珥( t ) i ，i 彰( t ) i ，i 谬( t ) i ) ( 协( t ) ) 一4 ，j = 1 ，2 ， 由，的连续性， 班 的收敛性和局部一致有界性： i y j ( t ) 一4 ls f ，可推出 仍( t ) 在砭+ 的任意紧子集上一致收敛于g 容易验证，当0 s t 时，s l o g ( ；) ；，则 广t+ i 垂珊( t ) 一圣g ( t ) l 上0 1 。g ；) 协( 8 ) 一口( 8 ) l 幽 j | 野( s ) 一9 ( s ) i d s 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 6 页 可见 西卯) 在恧+ 的任意紧子集上一致收敛于幻。从而 西；毋 及 t g j 在 丽+ 的任意紧子集上分别一致收敛于西扫和t g ( i = 1 ，2 ，n ) 我们来看一 阶导数， i 爰( 哪n 卯) ( t ) 一面d ( 圣；g ) ( 驯= l 丢z 。( s l 。g ；) ( 唧n - 1 毋( s ) 一嘟n - 1 口( s ) ) d s i = i ；( 西；一1 毋( s ) 一西；一1 9 ( s ) i d s fi 西；一1 毋o ) 一面；一1 9 ( 8 ) l d s 由上式知， ( 圣；卯) 在瓦+ 的任意紧子集上一致收敛于( 叼9 ) 关于二阶导数，有 i 历d 2 ( 西翔) ( t ) 一面d 2 w p n g ) ( t ) l 。 - 0 即( 4 0 4 ) 式确定的u = y ( i x l ) 是方程( 1 0 1 ) 在孵上的一个正整体解 由y 的定义和岛的选取的任意性可以得到上述形式的正整体解有 无穷多个 下面验证( 4 o 4 ) 式确定的正整体解满足定理要求的渐进条件( 2 o 5 ) ， ( 2 0 6 ) 实际上，由( 凰) ， 0 g ( t ) f ( t ，c 咖( t ) ，c o l ( t ) ，c 0 2 ( t ) ，c a 3 ( t ) ) ( o ( t ) ) 一 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 8 页 熙蒜斋= l i m 器= 础 o 。 下面验证( 2 0 6 ) 式， 舰高= 恕雩裂铲 刊t - 洫+ | o c 篙端t 播鞴o t 口0 匹l t j ( i z n l l + l l l l 由引理3 0 4 ， limj型l=丽1lim t u n - 2 ( 1 0 9 t ) n ( ( 2 n - 1 ) + o ( 1 ) ) - a 。 0 ，在区间( o ，c 1 上， 一( t ，f 咖，f u l ， 2 ，f 均) 关于f 单调不减且趋于o f f _ 0 ) 即可 例5 0 1 考虑如下方程在掣上的正整体解的存在性， ( ( “u ) p h ) = e 一i l i ( 1 + u ) 一舶( 1 + i v “1 ) 一m ( 1 + i v 2 u 1 ) 一( 1 4 - 1 v 3 札i ) 一t 一口 ( 5 0 1 ) 其中p 1 ，n 1 ，e 0 ，卢 0 ，m 0 ，i = 0 ，1 ，2 ，3 为实常数令 ( t ，珈，口l ，也，) = e 一川( 1 + 如) 一”( 1 + 1 ) 一饥( 1 + 地) 一”( 1 + 地) 一” 显然，满足( 日1 ) ，( 日2 ) ，( 1 - 1 3 ) ，而且对m 1 ，当t 1 时， 扩k ( t ) l ( t ，c a o ( t ) ，l ( t ) ，c 0 2 ( t ) ，c 0 3 ( t ) ) 伊+ 1 伊( 1 + c n o o ) ) 加( 1 + 1 ( 亡) ) 1 - ( 1 4 - c a 2 ( t ) ) ( 1 + 3 ( t ) ) 怕 + 0 t + 所以， p 。o k ( t ) f ( t ，c o o ( t ) ，1 ( t ) ，c 0 2 ( t ) ，c a 3 ( t ) ) d t 1 ，n i ，e 0 ，卢 0 ， 0 ，i = 0 ，1 ，2 ，3 为实常数，并且7 1 - 4 - 耽+ 竹 p 一1 - 4 - 卢令 ，( t ，珈，u l ，w 2 ，u 3 ) = e - t ( 1 + v o ) 一竹 r 喀好 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文第2 1 页 ，满足( 研) ，( 凰) ，并且“基本”满足( 凰) ，即对固定的( t ，v o ，v l ，v 2 ，v 3 ) 豇r + _ + 豇x 耻 f 一。f ( t ，u o ，口1 ，w 2 ，u 3 ) = 一o e d ( 1 + o ) 一1 0 ( 1 ) 1 1 ( 2 ) “( ”3 ) 1 3 关于f 在区间( 0 ，c 】上非减，这里c 是充分小的正数，且有 l i mf o ，( t ，f ，和1 ， 2 ，f u 3 ) = 0 ，其中a = p i + 卢 c u + 类似于例5 口j ，可验证对这个常数c 佚际上对任意的c o ，条件( 上乇) 满 足，故由定理2 0 2 及前面的说明，得到方程r 5 口纠有无穷多个满足渐进 性农( 2 0 5 ) 和( 2 o 6 ) 的正整体解 2 对于具体的n ，定理的讨论还可以推广到更一般的方程 ( ( ”u ) ，一1 + ) = y ( j x l ，钍，i w l ，i v 2 n - - 1 钍| ) u 一口，茁珉p 所用的方法是完全相同的，但是对于高阶导数计算比较烦琐本来我的初衷 是对任意的n ，得到上面这个方程的正整解的存在性结果，但是由于在计算 的过程中写出叱的k 阶导数通项很麻烦，而在思想和方法方面也无新颖之 处，故仅就右端项的最高阶导数为3 阶的情况证明实际上，当阶很大的时 候，我们可以考虑通过软件来计算，这就是后话了 3 本文考虑的仅限于r 2 上充分条件的证明，实际上我们还可以推广到 必要条件甚至是瞅，k 3 上的情况 参考文献 1 1m g c r a n d a l l ，p h r a b i n o w i t z ，l t a r t a r ，o nad i r i c h l e tp r o b l e mw i t ha s i n g u l a rn o n l i n e a r i t y , c o m m p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n2 ( 1 9 7 7 ) 1 9 3 2 2 2 【2 】s m g o m e s ，o nas i n g u l a rn o n l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m ，s i a mj m a t h a n a l 1 7 ( 1 9 8 6 ) 1 3 5 9 1 3 6 9 3 】w m n i ，o nt h ee l l i p t i ce q u a t i o na u + k ( x ) u ( 2 ) ( n - 2 ) = 0 ，i t sg e n e r a l i z a - t i o n sa n da p p l i c a t i o n si ng e o m e t r y , i n d i a n au n i v m a t h j 3 1 ( 1 9 8 2 ) 4 9 3 5 2 9 【4 】h u s a m i ，o nas i n g u l a re l l i p t i cb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mi nab a l l ，n o n l i n e a r a n a l t m a1 3 ( 1 0 ) ( 1 9 8 9 ) 1 1 6 3 1 1 7 0 【5 】5b e n j i nx u a n ，c h e nz u c h i ，o nt h ep o s i t i v e r a d i a ls o l u t i o no fp - l a p l a c i a n e q u a t i o nw i t hs i n g u l a rc o e f f i c i e n t s n o n l i n e a ra a 1 t m a3 2 ( 5 ) ( 1 9 9 8 ) 6 2 1 6 3 1 【6 】z u c h ic h e n ，y o n gz h o u ，o nas i n g u l a rq u a s i l i n e a re l l i p t i cb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m i na b a l l ，n o n l i n e a ra n a l y s i s4 5 (