（应用数学专业论文）cauchy及其相关结构矩阵性质的研究.pdf

摘要 结构矩阵是应用矩阵理论的一个重要研究领域，c a u c s y ( 也称广义h i l b e r t ) 矩阵又是结构矩阵中极为重要的矩阵，与位移结构和插值问题密切相关本文 主要研究c a u c h y 矩阵及其相关的一些结构矩阵的若干性质，并通过这些性 质来解决c a u c h y 线陛系统的有理插值问题同时在此基础上推广了一种新的 广义c a u c h y 矩阵即对c a u c h y - v a n d e m o n d e 矩阵，并对其相应的若干性质进 行讨论说明 本论文主要分为三部分： 第一章绪论，首先介绍结构矩阵的历史背景和位移结构理论发展进程， 以及结构矩阵与众多应用问题之间的紧密联系，阐述本文所讨论的主要问题 及得到的主要结论 第二章讨论说明c a u c h y 矩阵的相关性质，主要是位移结构性质。并在 深入探讨位移结构性质的基础上推广出相关的逆矩阵的性质与因式分解的性 质给出对c a u c h y 矩阵的一种基于l u 分解的递推算法，在h e i n i g 等人研 究的基础上构造l 一种新的更广义的对c a u c h y - v a n d e r m o n d e 矩阵，并刻画 其相关的性质 第三章讨论c a u c h y 矩阵以及其相关矩阵的插值问题，给出插值解释从 几个不同的角度刻画对c a u c h y - v a n d e m o n d e 矩阵的插值表达式以及相互之间 的联系 解释 关键词c a u c h y 矩阵； v a n d e r m o n d e 矩阵；位移结构；插值 a b s t r a c t t h es t r u c t u r e dm a t r i xi sa ni m p o r t a n tt o p i ci nt h ea r e ao fa p p l i e di d a - t r i c e s c a u c h y ( o rg e n e r a l i z e dh i l b e r t ) m a t r i xi sa ni m p o r t a n tm a t r i xa m o n g a l ls t r u c t u r e dm a t r i c e s ，a n dd i s p l a c e m e n ts t r u c t u r et h e o r ya n di n t e r p o l a t i o n p r o b l e m sa l er e l a t e dt oc a n c h ym a t r i x ，i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d yt h e s e p r o p e r t i e so fc a u c h ym a t r i xa n do t h e rr e l a t e dm a t r i c e s a n dd e s c r i b et h er a - t i o n a li n t e r p o l a t i o np r o b l e m so fc a u c h yl i n e a rs y s t e m i na d d i t i o n ，w ea l s o c h a r a c t e r i z ean e wt y p eg e n e r a l i e dm a t r i x 够p a i r e dc a u c h y - v a n d e r m o n d em a - t r i x ，a n dd i s c u s st h er e l a t i v ep r o p e r t i e so fc a n e h y - v a n d e r m o n d em a t r i x t h et h e s i si 8d i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s ， i nc h a p t e r1 ，f i r s t l y , i n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ft h es t r u c t u r e dm a t r i c e s a n dt h ed e v e l o p m e n to ft h et h e o r yo fd i s p l a c e m e n ts t r u c t u r e t h er a l a t i o n s b e t w e e ns t n m t u r e dm a t r i xa n ds o m ea p p l i c a t i o n so fs t r u c t u r e dm a t r i xa r e d i s s a u s s e d f i n a l l y , f o r m u l a t ep r o b l e m st oi n v e s t i g a t ea n dr e s l u t s i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h ep r o p e r t i e so fc a u c h ym a t r i x ，e s p e c i a l l yt h e p r o p e r t yo fd i s p l a c e m e n ts t r u t u r e b a s e do nt h ed i s c u s s i o no fd i s p l a c e m e n t s t r u t u r e ，w ed e s c r i b et h ep r o p e r t i e so fi n v e r s i o nf o r m u l a sa n dt h ef a c t o r i z a t i o n f o r m s ，a n dg i v e a nf a s ta l g o r i t h mf o rt h ep a i r e dc a u c h ym a t r i xb a s e do i l l uf a c t o r i z a t i o n o nt h eb a s i so fr e s e a r c h so fh e i n i g e t a 1 w ec o n s t r u c ta n e wd e f i n i t i o no fp a i r e dc a n c h y - v a n d e m o n d em a t r i x ，a n dd i s c u s st h er e l a t i v e p r o p e r t i e so fp a i r e dc a u e h y - v a n d e m o n d em a t r i x i nc h a p t e r3 ，w em a i n l ys t u d yt h ei n t e r p o l a t i o np r o b l e m so fc a u c h ym a - t r i xa n do t h e rr e l a t i v em a t r i c e s ，a n dg i v et h ei n t e r p o l a t i o ni n t e r p r e t a t i o n s w ew i l ld e s c r i b et h ei n t e r p o l a t i o nf o r m u l a so ft h ep a i r e dc a n c h y - v a n d e m o n d e m a t r i xf r o ms o m ed i f f e r e n tv e i w p o i n t s ，a n dt h er e l a t i o n sb e t w e e nt h e m k e yw o r d s ：c a u c h ym a t r i x ；v a n d e r m o n d em a t r i x ；d i s p l a c e m e n ts t r u c o t u r e ；i n t e r p o l a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得度徉女剞筝或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做曲任何贡献均 已在论文申作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：f 髫坩诩争签字日期：灿，7 年够月玎日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解廖铸美灼爹有关保留、使用学位论文的规定 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文嫠查阅和 借阅。本人授权凄箨塞齄以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在怨密后适用本授权书) 、 一 学位论文作者张廖竹对锄张芸钞磷 签字日期：西。7 年4 月叮日 签字日期： ，椰- 7 年q 月笤日 学位论文作者毕业去向：扇钨蝴1 划手孵0 工作单位：崖弘帮娃籀，z 业学防电话：侈? 6 f 坤p 7 6 二 通讯地址：廖铸蜓饩二业f 雾院耄之浮糸 邮编：2 ；。o 三五 第一章绪论 第一章绪论 本章简要介绍结构矩阵的发展背景及其位移结构的由来和主要研究角度 及其理论依据，其次介绍本文所研究的主要问题 1 1背景与意义 应用领域的矩阵常具有特殊的结构，这种结构可能是对称的，稀疏的，或 其他类型我们经常接触到的一些重要的结构矩阵如t o e p l i t z 矩阵，h a n k e l 矩阵，v a n d e r m o n d e 矩阵，c a u c h y 矩阵及它们的广义矩阵，还包括带状矩阵 和半分隔矩阵等它们具有个共同特点，就是含位移结构 很自然地，这些结构矩阵的特殊结构是否能有效的用来解决线性代数的 一些常见问题如求逆，求解线性系统，因式分解，求特征值及其逆问题等 位移结构矩阵最早是由k a i l a t h 在1 9 7 9 年的文献 2 5 ( 也见 2 3 】) 中提及， 源于对t o e p l i t z 和h a n k e l 矩阵的研究 在 6 1 中第一次提出研究矩阵a 时使用v ( a ) ：= a u v a 。这个式子具有 较小的秩这个变换v 称为个u v 位移算子，v ( a ) 的秩记作a 的u v - 位 移秩如果个矩阵的u v - 位移秩很小，即称此矩阵具有个u v 一位移结构 t k a i l a t h 认为t o e p l i t z 矩阵的本质特征在于它的位移结构例如，t o e p l i t z 矩 1 c a u e h y 及其相关结构矩阵性质的研究 宫珊珊 阵的逆，s & u r 余量以及两个同阶t o e p l i t z 矩阵的乘积等都不再是t o e p l i t z 矩 阵，但他们却与原t o e p l i t z 具有相同的特征秩( 不超过2 ) 且满足同类型的 位移结构方程，只是生成元不同类似的解释也适用于h a n k e l 矩阵，t o e p l i t z 与h a n k e l 矩阵的这些特征正是导致位移结构矩阵这些年来备受关注的原因之 一t k a i l a t h 学派更多的是从系统工程，控制理论等应用的角度来研究位移 结构矩阵 在结构矩阵二十多年的发展历程中，数学工作者从不同角度或各自的应 用背景对位移结构矩阵做了深入的研究如1 9 8 4 年，g ，h e i n i g 等写出了第一 本关于结构矩阵的著作【l4 】，首次将t o e p l i t z ，h a n k e l ，v a n d e r m a n d e ，c a u c h y 等 经典矩阵纳入结构矩阵方程的范畴，采用的是s y l v e z t e r 型方程，并称为”u v 约化”方法，并全面系统地给出了这些矩阵满足的矩阵方程，求逆公式和相关 线性方程组的递推算法等，主要是从纯矩阵理论的观点来讨论位移结构，较少 涉及具体的应用背景 在2 0 世纪九十年代。以色列学者1 g o h b e r g 与j a b a l l ，h d y m 等主要 用位移结构矩阵理论来讨论各种类型的插值问题，如带切与不带切的有理插 值，n e v a n l i m m a - p i c k ，c m t h e o d o r y 插值等问题，所用方法称为状态空间方法 ( 1 1 】) 这种求解插值问题的思想，是根据每个插值问题都对应着一个所谓的 信息矩阵，这个信息矩阵总是满足一类位移结构方程，在一定条件下，该插值 问题的解就可以用该信息矩阵的逆表达 许多结构矩阵类都有位移方程，可以找到相关的u 和y 矩阵使其构成 2 第一章绪论 u v 一位移结构这些位移结构对t o e p l i t z ，h a n k e l ，v a n d e r m o n d e ，c a u c h y 等矩阵都成立，不仅如此，t o e p l i t z + h a n k e 型矩阵，正交多项式中的矩阵， 与代数的h e s s e n b e r g 矩阵相关的广义矩阵( 如c a u c h y - v a n d e r m o n d e ，l s w n e r - v a n d e r m o n d e ) 矩阵也具有这样的位移结构 对于特殊结构矩阵的研究，一直为国内和国际学者所关注并有大量相关 论文问世特别是c a u c h y , v a n d e r m o n d e ，t o e p l i t z 这些具有位移结构的矩阵等 更是研究的热点这些特殊结构矩阵在数值分析，优化理论，图论，系统辨 识，工程计算等领域有重要的应用 具有位移结构的矩阵与有理插值问题紧密相关在【3 1 3 7 中结构矩阵已 经被用来解决插值问题，在( 3 5 j f l 和其他文献中这些插值解释用于矩阵的求 逆 h e i n i g 等在文献【1 7 1 4 1 1 8 】中最早用位移结构的方法研究广义c a u c h y 与 c a u c h y - v a n d e r m o n d e 矩阵，其它的相关结果可参看参考文献 6 】 3 5 】 3 3 】等应 用位移结构理论研究广义c a u c h y 与c a u c h y - v a n d e r m o n d e 块矩阵，利用这两类 块矩阵的位移结构方程，给出他们的可逆性准则和非奇异情形的逆表示式 这些结果在带切有理矩阵函数插值问题中有重要意义( 【1 j ) 1 2本文所做的工作 c a u c h y 矩阵具有特殊结构，其行列式，逆矩阵和其因式分解可写成v a n d e r m o n d e 和对角矩阵的乘积( 【1 2 m 9 m o 】) ，c a u c h y 矩阵最重要的应用是有理 3 c a u c h y 及其相关结构矩阵性质的研究 富珊珊 插值，个具有固定极点的有理插值问题可转换为一个c a u c h y 线性系统的求 解问题 c a u c h y 矩阵的另外个重要性质是它的计算优势；当把它的行列转置后仍 是一个c a u c h y 矩阵，故旋转法可应用于c a u c h y 线性系统；同时，注意到c a u c h y 矩阵的逆矩阵仍是c a u c h y 阵个c a u c h y 线性系统的解可以由。协b 矿n ) 步 求出，这是相当快的 c a u c h y 矩阵作为结构矩阵的一个代表，具有非常好的研究性质，同时与 c a u c h y 矩阵相关的其他矩阵也给我们的线性系统的求解提供了很好的应用 本文的主要内容就是致力于具有c a u c h y 结构的特殊矩阵的研究 本文的主要结论为；补充对c a u c h y 等结构矩阵的性质，给出对c a u c h y - v a n d e r m o n d e 矩阵的定义，并证明它满足的位移结构方程，由位移结构的思想 推出其逆矩阵，因式分解公式，最后给出相应的插值解释 。 4 第二章 c a u c h y 及相关矩阵的位移结构 第二章c a u c h y 及相关矩阵的位移结构 本章主要研究c a u c h y 及其相关矩阵的位移结构及应用首先给出c a u c h y 及其周边结构矩阵的位移公式；在此基础上给出位移结构的应用：求逆矩阵和 因式分解最后在h e i n i g 等人的研究基础上推广一种新的结构矩阵：对c a u c h y - v a n d e r m o n d e 矩阵，并给出它的位移结构等有关性质 2 1引言 首先我们给出经典的c a u c h y 矩阵与广义的c a u c h y 矩阵以及合流c a u c h y 矩阵的定义在整篇论文中，我们用c ，c p ，c ”“分别代表复数集，p 维复向 量和m n 复矩阵集 定义2 1 1 下列p ：矩阵称为经典c a u c h y 矩阵： g = c ( 叫) = f 上a l - w j l j “= 1 , j 。 其中d = ( o ) ：c p ，= ( 哟) i c 定义2 1 ，2 称与四元集= ( o ，z ，y ) 相关的一个p z 矩阵为广义 c a u c h y 矩阵； 鼬，= 去万协。 c a u c h y 殛其相关结构矩阵性质的研究 富疆珊 其中 z = c d f ( 万) 2 l ，y = c d f ( 蛎t d l ：1 z = ( 1 ，z f 2 ，) t ，珊= ( 鲫l ，蜥2 ，协，) r c 注意r 0 ，向量f = c o ，q ：+ 。m a + “是方程 g n ( k = 口 3 l c a u c h y 及萁相关结构矩阵性质的研究 宫珊珊 的解，当且仅当有理函数，( a ) 满足插值条件 ，( 啦) = 琅0 = 1 ，p ) 或矩阵形式：d 汹) ，( n ) = 1 其中q = “) 冬l 如果在合流c ”d l y 矩阵的基础上再增加一个v a n d e r m o n d e 部分，使之扩充 为两块的c c v 矩阵，贝上面的有理函数也需要补充一部分对应于v a n d e 抽o d e 部分的多项式函数。迸一步令 b 如+ m ( a ) = b n ：( a ) ，l ，a ，a ”。 f = c d j ( 白) ，q ：+ m 1 6 = c d f ( 白；) 翟i 10 = 1 ，- ，f ) 否则，白c 定义 m = b 竹2 + 仇啦= 玩。+ m 批( 掣k 凡= 荟蚤可南+ j = l 岛“旷1 其中l ( y ，k ) = d i a g ( l ( y ) ，k ) = 厶：h 命题3 1 ，6 ( 1 3 6 1 ) 向量f p ：”是线性系统c 赢( a u ) = 的解当且仅当 满足有理插值条件： 击，忙( 啦) 2 协 a = 1 ，。，p ，= o ，1 ，。，戊一1 ) 或矩阵形式：( z ) ，( n ) = 口，其中l ( z ) = ， 3 ，2对c a u c h y - v a n d e r m o n d e 的插值 最后我们在前面的基础上给出p c 和p c v 的插值解释根据前一章的 分析，我们发现p c 矩阵实质上是一种由上下两块g c 构成的位移秩为2 的 第三章c a u c h y 及其相关短阵的插值 广义c a u c h y 阵，而p c v 矩阵即是在p c 的两个块矩阵后面相应增加两个广 义v a n d e m o n d e 块所构成，事实上可以看成是上下两块的g c v 构成的广义的 c a u c h y - v a n d e m o n d e 矩阵 引入下面记号 g l ( a ) = 似一啦) 1 c 2 ( a ) = ( a 一岛) j = l 显然有： 朋，= 宴盎= 器慨)1 j = 。 这里为给定的常数，p ( a ) 是次数不超过f 一1 的多项式而且由常微分的 知识，有理函数，( a ) q = 觑( 壮粼 砌) = 圣1 篱 t = 1 。 其中r 表示留数 引理3 2 1 1 1 9 l 对给定的向量口= ( q l ，聃g ) ，f 是方程式= q 的解， 当且仅当有理函囊贮 满足下列插值条件； ，1 ( ) = a - l w k k = l ， f l ( ) = 叩 0 = 1 ，p ) ，2 ( 岛) = 计jd = 】，q ) 3 3 虮 一 协 。 1 i q 日 瓮 ； | | 砷以 c a u c h y 及其相关结构矩阵性质的研究 宫珊珊 且 。饥r e 钆。，l 一觑钆。丘= 0 ，( = 0 ，z ) 定理3 2 2 向量f ；( f t ，6 ，乳l ，“。) 是方程联= 口的解，其中 目= h ) ：押，当且仅当有理函数： 鼬) 。蚤悲+ k = l 扩1= l ” 满足插值条件： 刃g ( 啦) = 仇0 = 1 ，力 霉9 ( 岛) = p 钾u = 1 ，g ) 证明：由于p c c 上面的块矩阵由( 历，l ，) 所生成的g c v 矩阵，下面的块矩阵 是( 忍，) 生成的g c v 矩阵，分别运用g c v 的插值条件，结论成立 - 下面我们试图给出p c v 的其他插值解释 定理3 2 3 向量= ( 1 ，矗，“1 ，矗+ 。) 是方程 职= 目 的解，其中q = 妇) ：“，磊c 且满足矗= ( r e s 。f 1 ) l l ，0 = 1 ，f ) ，矗+ k = 趔l + k 删l + k c 2 ( k = 1 ，m ) 为2 维向量当且仅当有理函数 引护叁忐音n k - 1 = f l ( x ) k t l ( a ， 第_ - - t c a u c h y 及其相美矩阵的插值 且 9 2 ( a ) = 满足下列插值条件； m + 鼹a “= 2 ( ：9 + t 2 ( a ) k = l g l ( a ) = r l i ( i = 1 ，p ) 9 2 ( z i ) = 研0 = 1 ，q ) 讯r e s v k h r e s t a j 2 = 0 证明：若方程联= 口成立， n ，- - d 1 口尚 去1 0 d 】0 町。0 ii ： i! i 鬲1 1 0 吩0 哆一1 0 播0 1 0 所0 矸以 矛旨焉010 岛0 口4 将此方程展开有 已 矗+ i + m 手c z i 照- - - o j k + 妻k = i 跛舻一l = 州。，) = 讯t = t ，p m 十臻卢一1 = 啦( 岛) ；r j j = 1 ，q = 1 即得到插值方程反之亦然 兰 。随 蔫 。衄 c a u c h y 爰其相关结构矩阵性质的研究宫珊珊 参考文献 1 - j a b a l l ，i g o h b e r ga n dl ，r o d m a n ，i n t e r p o l a t i o no fr a t i o n a lm a t r i xf u n c t i o n s o t4 5 ，b i t k h a u s e r ，b o s t o n 1 9 9 0 2 s b a r n e t ta n dm g g o v e r ，s o m ee x t e n s i o n so fh a n k e la n dt o e p l i t zm a t r i c e s ， l i n e a ra n dm u l t i l i n e a ra l g e b r a ，1 9 8 3 ，1 4 ：4 5 。6 5 3 t b o 0 8 ，tk a l l a t ha n dv o i s h e v s k y , af a s tp a r a l l e lb j o r c k - p e r e y r a - t y p ea l g o - r i t h mf o rs o l v i n gc a u c h yl i n e a re q u a t i o n s ，l i n e a ra l g e b r aa p p l 1 9 9 9 ，3 0 2 3 0 3 ： 2 6 5 - 2 9 3 4 a b j i j d 【a n dv p e r e y r a ，s o l u t i o n so fv a n d e r m o n d es y s t e m so fl i n e a re q u a t i o n s m a t h c o m p u t ，1 9 7 0 ，2 4 ：8 9 3 - 9 0 3 5 j c h u na n dt k a i l a t h ，d 唧l a c e m e n ts t r u c t u r ef o rh a n k e l ，v a n d e r m o n d e ，a n d r e l a t e dm a t r i c e s ，l i n e a ra l g e b r aa p p l ，1 9 9 1 ，1 5 1 ：1 9 9 - 2 2 7 6 g n c h e n ，y j h u ，i n v e r s i o no fag e n e r a l i z e db l o c kl o w n e rm a t r i x ，t h em i n i m a l p a r t i a lr e a l i z a t i o n ，a n dm a t r i xr a t i o n a li n t e r p o l a t i o np r o b l e m ，l i n e a ra l g e b r a a p p l ，1 9 9 9 ，2 8 6 ：2 2 3 7 g n c h e n ，b ，z h a oa n dh p z h a n g ，t h eg e n e r a lr a t i o n a li n t e r p o l a t i o np r o b l e m i nt h es c a l a rc a a n di t sh a n k e lv e c t o r ，l i n e a ra l g e b r aa p p l ，1 9 9 6 ，2 4 4 ：1 6 5 - 2 0 1 8 t f i n e k ，g h e i n i ga n dk r o s t ，a ni n v e r s i o nf o r m u l aa n df a s ta l g o r i t h m sf o r c a u c h y - v a n d e r m o n d em a t r i c e s ，l i n e a ra l g e b r aa p p l ，1 9 9 3 ，1 8 3 ：1 7 9 - 1 9 1 、 参考文献 9 c f o i a sa n da e f r a z h o ，t h ec o m m u t a n tl i f t i n ga p p r o a c ht oi n t e r p o l a t i o n p r o b l e m s ，o t4 4 ，b i r k h i u s e r ，b a s e l ，1 9 9 9 1 0 w g a u t s c h i ，o ni n v e r s e so fy a n d e r m o n d ea n dc o n f l u e n tv a n d e r m o n d em a t 睡 c e s n u m e r m a t h ，1 9 7 8 ，2 9 ：4 4 5 - 4 5 0 1 1 m j g o v e ra n ds b a r n e t t g e n e r a t i n gp o l y m o m i a l sf o rm a t r i c e sw i t ht o e p l i t z o rc o n j u g a t et o e p l t zi n v e r s i o n ，l i n e a ra l g e b r ah p p l ，1 9 8 4 ，6 1 ：2 5 3 - 2 7 5 1 2 i g o h b e r g ，tr k a i l a t h ，v o l s h e v s k y , f a s tg a u s s i a ne l i m i l a t i o nw i t hp a t r i a lp 、i v - o t i n gf o rm a t r i c e sw i t hd i s p l a c e m e n ts t r u c t u r e ，m a t h c o m p ，1 9 9 5 ，6 4 ：1 5 5 7 - 1 5 7 6 1 3 m g a s c a ，j j m a r t i n e t za n dg m i i h l b a c h ，c o m p u t a t i o no fr a t i o n a li n t e r p o l a n t s w i t hp r e s c r i b e dp o l e s ，j c o m p u t a p p m a t h ，1 9 8 9 ，2 6 ：1 9 7 - 3 0 9 1 4 g h e i n i ga n dk r o s t a ni n v e r s i o nf o r m u l aa n df a s ta l g o r i t h m sf o rc a u c h y - v a n d e r m o n d em a t r i c e s ，l i n e a ra l g e b r aa p p l ，1 9 9 3 ，1 8 3 ：1 7 9 - 1 9 1 1 5 g ，h e i n i ga n dk r e s t a l g e b t a i cm e t h o d sf o rt o e p l i i t z l i k em a t r i c e sa n do p e r - a t o r s ，o t1 3 ，b i r k h i u s e r ，1 9 8 4 1 6 g h e i n i ga n dk r o s t ，r e c u r s i v es o l u t i o no fc a u c h y - v a n d e r m o n d es y s t e m s ，l i n e a ra l g e b r aa p p l ，1 9 9 5 ，2 1 8 ：5 9 - 7 2 1 7 g h e i n i g ，g e n e r a l i z e dc a u c h y - v a n d e r m o n d em a t r i c e s ，l i n e a ra l g e b r aa p p l 1 9 9 8 ，2 7 0 ：4 5 - 7 7 1 8 g h e i n i g ，p a i r e dc a u c h ym a t r i c e s ，l i n e a ra l g e b r aa p p l ，1 9 9 7 ，2 5 1 ：1 8 9 - 2 1 4 1 9 g h e i n i g i n v e r s i o no ft o e p h t zm a t r i c e sv i ag e n e r a l i z e dc a u c h ym a t r i c e sa n d r a t i o n a li n t e r p o l a t i o n s ，v 0 1 2 ，a k a d e m i ev e r l a g ，1 9 9 4 ：7 0 7 - 7 1 l c a n c h y 及其相关结构矩阵性质的研究 宫珊珊 2 0 g h e i n i g i n v e r s i o no fg e n e r a l i z e dc a n c h ym a t r i c e sa n do t h e rc l a s s e so fs t r u e - t u r e dm a t r i c e s ，i nl i n e a ra l g e b r af o rs i g n mp r o c e s s i n g i m av 0 1 i nm a t h ， a p p l ，6 9 ，1 9 9 4 ：9 5 - 1 1 4 2 l | g m i i h l b a c h o nh e r m i t ei n t e r p o l a t i o nb yc a u c h y - v a n d e r m o n d es y s t e m s ：t h e l a r g r a n g ef o r m u l a ，t h ea d j o i n ta n dt h ei n v e r s eo fc a u c h y - v a n d e r m o n d em a t r i x ， j c o m p u t a p p l m a t h ，1 9 9 6 ，6 7 ：1 4 7 - 1 5 9 2 2 n j a c o b s o n ，l e c t u r e si na l g e b r a , v o l l ，n o m t r a n d ，p r i n c e t o n ，n j ，1 9 9 3 2 3 t k a i l a t h s k u n ga n dm m o r f , d i s p l a c e m e n tr a n k so fm a t r i c e sa n dl i n e a r e q u a t i o n s ，j ，m a t h a n a l a p p l ，1 9 7 9 ，6 8 ：3 9 5 - 4 0 7 2 4 t k a i l a t h r e m a r k s o n t h e o r i g i n o f t h e d i s p l a c e m e n tr a n k c o n c e p t a p p l m a t h c - o m p u t ，1 9 9 1 ，4 5 ：1 9 3 - 2 0 6 2 5 t k a i l a t h 。s k u n ga n dm m o 吐d i s p l a c e m e n tr a n k so f m a t r i c e sa n dl i n e a re q u a - t i o n s ，j m a t ha n da p p l ，1 9 9 7 6 8 ：3 9 5 - 4 0 7 2 6 t k a i l a t ha n dv o i s h e v s k y , d i s p l a c e m e n ts t r u c t u r ea p p r o a c ht oc h e b 3 7 s h e v - v a n d e r m o n d ea n dr a l a t e dm a t r i c e s ，i n t e g e r a le q u a t i o n so p e r t h e o r y , 1 9 9 5 ，2 2 ：6 5 - 9 2 2 7 t k a i l a t ha n da h s a y e d ，d i s p l a c e m e n ts t r u c t u r e ：t h e o r ya n da p p l i c a t i o n s s i a m r e v ，1 9 9 5 ，3 7 ( 3 ) 2 9 7 - 3 8 6 2 8 s l a n g ，a l g e b r a ，a d d i s i o n w e s l e y , r e a d i n g ，m a s s ，1 9 7 1 2 9 p l a n d c a s t e ra n dm t i s m e n e t s k y , t h et h e o r y0 fm a t r i c e sw i t ha p p l i c a t i o n s ， 2 n de d i t i o n ，a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k ，1 9 8 5 3 0 t m u i r a t e a t i s eo ft h et h e o r yo fd e t e r m i n a n t s ，d o v e r ，n e wy o r k ，1 9 6 3 参考文献 3 1 ji s e h u r ，u b e rp o t e n z r e i b e nd i ei mi n n e r nd e se i n h e i t s k r e i s e sb e s c h r a n k ts i n d ， j o u r n a lf u rd i er e i n et m da n g e w a n d t em a t h e m a t i c ，1 9 1 7 ，1 4 7 ：2 0 5 - 2 3 2 3 2 a h s a y e da n dt k a i l a t h f a s ta l g o r i t h m sf o rg e n e r a l i z e dd i s p l a c e m e n ts t r u e - t u r ea n dl o s s l e e ss y s t e m ，l i n e a ra l g e b r aa p p l ，1 9 9 5 ，2 1 9 ：4 9 7 8 3 3 z v a v r i n ，c o n f l u e n tc a u c h ya n dc a u c h y - v a n d e r m o n d em a t r i c e s ，l i n e a ra l g e - b r aa p p l ，1 9 9 7 ，2 5 8 ：2 7 1 2 9 3 3 4 l v e r d e