（基础数学专业论文）一类不连续非线性椭圆方程正解的存在性.pdf

摘要 摘要 本文的主要目的是研究含有不连续非线性项的椭圆方程 一a 札+ 入u = f ( x ，u ) u ，z r 让研( 兄) ， 入 0 的正解的存在性其中r = h ，n 3 ，研( r ) = u h 1 ( r ) l 乱( z ) = 礼( ) ) ， 函数，( z ，u ) ：r r _ r 是局部有界的可测函数，且当乱一+ 时，f ( x ，u ) = f ( 1 z l ，u ) _ q ( ) 0 ，并且q ( x ) 恒为常数或口( z ) l o 。( r ) 由于非线性项 f ( x ，u ) u 不连续，所以相应的泛函不属于p r 6 c h e t 可微类因此，问题) 属于 d n d e ( d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd i s c o n t i n u o u sn o n l i n e a r i t i e s ) 问题而且非线 性项厂( z ，乱) “不再满足通常的( a r ) 条件，即对于某个0 0 ，m 0 ，有0 f ( x ，乱) 全譬f ( x ，s ) s d s 丽1f ( x ，乱) “2 ，v m 而该条件在山路引理的运用中 是重要的，这个条件一方面用于寻找使得相应泛函值非正的一个点，另一方面可以 保证利用山路引理找到的( e ) c 序列是有界的本文主要运用张恭庆院士1 9 8 1 年 发表在数学分析及应用期刊上的d n d e 理论，通过对，( z ，让) 添加适当的条件， 克服了，( z ，u ) 乱不满足( a r ) 条件的困难，利用吴鲜提出的山路引理，证明了问 题) 的正解的存在性本文的结论改进了1 9 9 8 年周焕松关于全空间月上半 线性椭圆方程的结果 关键词：d n d e 问题， ( a r ) 条件，( c ) 。条件，山路引理 北京工业大学理学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h ep r e s e n tp a p e r ，o u rm a i np u r p o s ei st os t u d yt h ee x i s t e n c eo fap o s i t i v e s o l u t i o nf o rac l a s so fe l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hd i s c o n t i n u o u sn o n l i n e a r i t i e s - ：! 麓咖，x 跏e r n w h e r er = i z i ，n 3 ，月? ( r ) = u h 1 ( r ) iu ( z ) = 乱( i z l ) ) ，( x ，乱) ：r r ri sa l o c a l l yb o u n d e dm e a s u r a b l ef u n c t i o n ，( x ，“) = ( i x l ，i t ) _ q ( x ) 0 ，a s 让_ 十o o ，q ( x ) 兰c o n s t a n to rq ( x ) l ( 冗) b e c a u s et h en o n l i n e a r t e r m ( x ，u ) ui sd i s c o n t i n u o u s ，s ot h ec o r r e s p o n d i n gf u n c t i o n a li s n o tf r 6 c h e t d i f f e r e n t i a b l e t h e r e f o r e ，t h ep r o b l e m ) i sb e l o n gt od n d e ( d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t hd i s c o n t i n u o u sn o n l i n e a r i t i e s ) m o r e o v e r ，t h en o n l i n e a rt e r m ( x ，“) “h e r en o l o n g e rs a t i s f i e st h eu s u a lc o n d i t i o n ( a r ) ，t h a ti s ，f o rs o m e0 0 ，m 0 ，0 f ( x ，u ) 垒片f ( x ，s ) s d s 而1 ( x ，u ) u 2 ，v l u l m t h ec o n d i t i o ni si m p o r t a n ti n u s i n gt h em o u n t a i np a s st h e o r e m o nt h eo n eh a n d ，t h i sc o n d i t i o ni su s e dt of i n d ap o i n ts u c ht h a tt h ec o r r e s p o n d i n gf u n c t i o n a li sn o n p o s i t i v ea tt h i sp o i n t ；o nt h e o t h e rh a n d ，t h i sc o n d i t i o ne n s u r et h e ( c ) cs e q u e n c eo b t a i n e db ym o u n t a i np a s s t h e o r e mi sb o u n d e d i nt h i sp a p e r ，w eu s et h ed n d et h e o r yw h i c hw a sp u b l i s h e d i nj m a t h a n a l b ya c a d e m i c i a nc h a n gi n1 9 8 1 i no r d e rt os o l v et h ep r o b l e m t h a tf ( x ，u ) ud o e sn o ts a t i s f i e st h eu s u a lc o n d i t i o n ( a r ) ，w el e t ( x ，u ) s a t i s f y s o m es u i t a b l ec o n d i t i o n s u s i n gt h em o u n t a i np a s sl e m m ao b t a i n e db yp r o f e s s o r w u ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fap o s i t i v es o l u t i o nf o rp r o b l e m0 ) t h i sp a p e r i i a b s t r a c t i m p r o v et h er e s u l t so fs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n si n 兄w h i c hw e r eo b t a i n e db y p r o f e s s o rz h o ui n1 9 9 8 k e y w o r d s ：d n d ep r o b l e m s ，c o n d i t i o n ( a r ) ，( c ) cc o n d i t i o n ，m o u n t a i n p a s st h e o r e m i i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得 北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 签名：垂擒煎日期：迦j 粤鱼窟垒旦 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：至捡熏垒导师签名： 蔓莹皇日期：龟坚堑6b 至鱼 第1 章绪论 1 1概念与符号 第l 章绪论 我们首先回顾一些概念和记号 定义1 1 1 设qc 冗是一个开集，用以下记号 沪= 秘像= 鑫 其中q = ( o z l ，q n ) ，f a i = a l4 - + 又设仇是一个正整数记 ( q ) = “：q _ r 1 l 矿u 0 ) 在q 连续，仇) 规定模为 删m = s u p o a u ( z ) 1 j a l m z t “ 称c 即( q ) 为仇次连续可微空间 定义1 1 2 设qcr 是一个开集，又设0 r 1 ，记 ( 耻肚唧) l 器号掣 0 ，b 譬i n 。ff ( u ) f ( o ) ，( e ) 则对任意的s 0 ，存在u x ，使 l l u l l 2 f 得l a ) c 一2 e ，( 乱) c + 2 ， b ) i i f 7 ( 乱) l l 0 的正解的存在性其中r = ，n 3 ，研( r ) = 牡h 1 ( r ) l 乱( z ) = 乱( ) ) ， ，c ( r n ，r ) ，当锰一+ 。时，( z ，锃) = ：( i x l ，锃) _ g ( z ) 0 ，并且q ( x ) 恒为常 数或q ( x ) l 。o ( r ) 并得到了下面的结论s 定理a 若，( z ，t ) 满足条件： ( c i ) 厂( z ，t ) c ( r r ) ，( z ，t ) 0 ，v t 0 ，z r ；j i m ，( z ，t ) = 0 ，v z r 一致成立；，( z ，t ) 兰0 ，v t 0 或者1 i m 掣= ； o ，比r 一致成立 t + o ot - - * - f - 0 0 。_ ( 岛) f ( z ，t ) ，( z ，t ) t 2 ，比r ，t 0 而且对给定的m 0 ，存在乡 0 ， 使得f ( x ，t ) 丽1f ( x ，) t 2 ，v t ( 0 ，m ) ( c 4 ) 存在q p n 可- 2 + 再2 n a ，1 】，这里盯( 0 ，斋) ，n 3 使得对于某个7 7 0 ， 1 1 玛血迹掣= q ( x ) 叼 0 一致成立 则当入( 0 ，粤) 时，问题( p ) 有一个正解 定理b 若( x ，t ) 满足条件： ( c 1 ) f ( x ，t ) c ( n r ) ，f ( x ，t ) 0 ，v t 0 ，z r ；i mf ( x ，t ) = 0 ，v z 第1 章绪论 r 一致成立；i ( x ，t ) 三0 ，y t 0 ，使得p ( z ) 之，比r ( c 3 ) f ( z ，t ) 厂( z ，t ) t 2 ，v x r ，t 0 而且对给定的m 0 ，存在口 0 ， 使得f ( x ，t ) 孺1 厂( z ，t ) t 2 , v t ( 0 ，m ) ( c ) ：i 对于x r ，t 0 充分大，( z ，t ) e 一致成立存在一个常数a 满 足：当n 3 时，q 【而n - 2 ，1 卜使得对于某个叩 0 ，1 i m 血盟缶警蚴= g ( z ) 一 c _ - l - 0 0 。 7 7 0 一致成立 则当a ( 0 ，z ) 时，问题( p ) 有一个正解 本文研究的是下述含有不连续非线性项的椭圆方程 一 t t + 入u = f ( x ，钆) 乱，z r 札月? ( 冗) ， 入 0 的正解的存在性其中r = ，n 3 ，研( r ) = u h 1 ( 冗) lu ( z ) = 秕( ) ) ，( z ，缸) ：r r r 是局部有界的可测函数，而且当m - - - 4 时， s ( i x l ， t t ) = f ( x ，u ) - - - - - - - 4 粤或者厂( z ，u ) 一q ( x ) l 。( 尺) 众所周知，当厂( z ，u ) 只是一个局部有界可测函数时，非线性项，( z ，乱) u 是不连续的，所以相应的泛函 不属于f r 6 c h e t 可微类在这种情况下，本文主要是运用不可微泛函的变分理论 和吴鲜提出的山路引理，证明了问题( p ) 的正解的存在性 我们需要下面的假设： ( c 1 ) ，( z ，t ) 0 ，v t 0 ，z r ；! i 骧厂( z ，t ) = 0 ，v x r 一致成立；厂( z ，t ) 三 0 y t o 或者。三甓乒= 5 o ，y x r 一致成立； ( c ) ：。1 i 翟，( z ，t ) = p ( z ) ，且存在粤 0 ，使得p ( z ) 粤，比r ； c 十o 。 ( g ) f ( z ，t ) 厂( z ，t ) t 2 , 比r y , t 0 而且对给定的m 0 ，存在p 0 ， 使得f ( x ，) 蘅1 ，( z ，t ) 亡2 ，y t ( o ，m ) 北京工业大学理学硕士学位论文 ( a ) 存在o l 【丛辨，1 】，这里o r ( o ，斋) ，n 3 使得对于某个叼 0 ， 乳盥盟铲= q ( z ) ? 7 0 一致成立； ( c ) ：i 对于z r ，t 0 充分大时，( x ，t ) z 一致成立存在一个常数q 满足：当3 时，q 【而n - 2 ，1 】，使得对于某个叩 0 ，有：。土血盟告喾幽= q ( x ) r 0 一致成立； ( g ) 函数，一和厂+ 是重叠可测的； ( g ) 存在一个集合q ，cr 。，且i q ，i = 0 ，使得i d f i = 0 其中集合 d = u t r i f ( z ，) 在点t 处是不连续的) ， x e r q ， 而且对于t 2 e z r nv t d f ，条件广( z ，t ) 入，+ ( 3 7 ，) 可以推出厂( z ，t ) = 入。 我们得出以下两个主要结果： 定理3 2 1 若f ( x ，t ) 满足条件( a ) ，( q ) ，( g ) ，( a ) ，( g ) ，( g ) ，则当a ( 0 ，z ) 时，问题( p ) 有一个正解 定理3 2 2 若( x ，t ) 满足条件( d ) ，( c 2 ) ，( g ) ，( q ) ，( g ) ，( g ) ，则当入( 0 ，粤) 时，问题( p ) 有一个正解 容易知道，若f ( x ，珏) c ( 冗xr ) ，则，( z ，u ) 一定是局部有界的可测函数， 且满足条件( g ) 和条件( g ) 所以，我们的结果推广和改进了1 9 9 8 年周焕松关 于全空间r 上半线性椭圆方程的结论，即上述的定理a 和定理b 把半线性椭 圆方程问题推广到了非光滑的情形，得到了一些新的存在性定理，即定理3 2 1 和 定理3 2 2 1 3本文结构及主要结论 本文是按如下方式组织的： 在第一章中，介绍了本文中所用到的一些基本符号和相关概念，并简要阐述 了半线性椭圆方程问题的发展背景和研究情况 第1 章绪论 在第二章中，阐述了本文中将要用到的一些必要的预备知识，包括一些基本 的定义和定理，并着重介绍了几个不同类型的山路引理。其中定理2 2 1 是使用最 为广泛的山路引理，定理2 2 4 是吴鲜提出的山路引理，它是证明本文主要结果 的依据 在第三章中，主要给出并证明了一类含有不连续非线性项的椭圆边值问题的 正解的存在性结果定理3 2 1 和定理3 2 2 它将周焕松在文献 2 8 】中的半 线性椭圆方程问题推广到了非光滑的情形，通过对f ( x ，u ) 添加适当的条件，利用 不可微泛函的变分理论研究了问题( p ) 的正解的存在性，得到了一些新的存在性 定理 北京工业大学理学硕士学位论文 2 1 基本定义 第2 章预备知识 我们先介绍一些有关的概念、性质和一些基本的定理 设x 是一个实的b a n a c h 空间，x 是x 的共轭空间，用( ，) 表示x 和 x 的对偶对 定义2 1 1 称函数f ：x _ 兄是局部l i p s c h i t z 的，如果对每个u x ，存在一 个让的邻域u 和常数l 至o ，使得 if ( v ) 一f ( w ) i l h v 一伽i i ，vu ， t v 阢 定义2 1 2 对任意的乱，u x ，f 在乱处沿着方向u 的广义方向导数，o ( u ；v ) 定 义为 ，o ( 乱；御) = l i m s u p ( ，( 乱+ h + 入u ) 一，( u + ) 1 _ + 0 ：a _ 0 定义2 1 3f 在处的广义梯度a ，( u ) 定义为 o f ( u ) = 伽x + ：( 伽，u ) f o ( u ；| u ) ，讹x ) 并记 = m i n 列叫1 1 w e o j ， ( 缸) 如果a ( u ) = 0 ，则称u 为厂的一个临界点 下面的引理2 1 1 和引理2 。1 。2 给出了广义方向导数和广义梯度的一些性质。 引理2 1 1 广义方向导数有如下性质； ( 1 ) 函数移_ ，o ( x o ，刁) 是次可加的、正齐次的、从而是凸的； ( 2 ) 存在常数k = k ( x o ) 及邻域u ( x o ) 使得 i ，o ( z o ，u ) i k i i i i ，v2 u ( z o ) ，v 钉x 1 0 - 第2 章预备知识 ( 3 ) 钞_ ，ox o ，v ) 是连续的l i p s c h i t z 函数； ( 4 ) 厂ox o ，一秽) = ( - f ) ( x o ，t ，) 引理2 1 2 广义梯度是通过广义方向导数定义的，它有如下性质； ( 1 ) vx o x ，o f ( x o ) 是一个非空，+ 弱紧凸子集； ( 2 ) s u p l l z + | | i z + a ，( z o ) ) k ； ( 3 ) vu x ，f ox o ，钉) = m a x ( z + ，u ) l z + a ，( z o ) ) ； ( 4 ) 设q 是x 事中的非空，+ 弱紧凸子集，则 o f ( x o ) cq 号ox o ，v ) m a x ( x 4 ，移) i z + q ) ，vu x ； ( 5 ) 设 厂在z o 的一个邻域内g a t e a u x 可微，并且g 一导数还是连续的， 则o f ) = 厂( z o ) ) ； ( 6 ) z _ 0 f ( x ) 是弱上半连续的，即vx 0 x ，v o ，v 口x ，存在 6 = 5 ( z o ，掣，g ) 0 ，使得当 茹一x o t l 5 时，vu o f ( z ) ，都有0 2 0 o f ( x o ) 满 足10 一， ) i o e t 0 ，1 】 ( 1 0 ) o ( f + g ) ( x o ) co ( z o ) + o g ( z o ) ； ( 1 1 ) 设z o 是厂的局部极小，则0 o f ( x o ) ； ( 1 2 ) 设 ，厶是局部l i p s c h i t z 函数，m ( x ) = m a x f t l i = l ，佗) ， 则o m ( z ) cc o a 五( z ，h ) l i m ( z ) ) ( g 表示凸包) ，其中m ( x ) 是那些在点z 使 得 ( z ) = m ( z ) 的指标集 北京工业大学理学硕士学位论文 定义2 1 4 ( c h a n g ， 3 0 ) 设x 是实的b a n a c h 空间，称局部l i p s c h i t z 泛函厂满 足( p s ) 条件，是指：对任意的 z n ) cx ，如果满足i ( z 付) i 有界且a ( z n ) = m a ，i ( n z 。) l l 伽i i x 一0 的每一个序列 z 竹) 有收敛子列如果这个条件只有当f q 0 时才满足，我们就称，满足( p s ) + 条件 定义2 1 5 ( x w u ，【4 7 ) 设x 是赋范线性空间，：x _ r 是局部l i p s c h i t z 泛 函 u n ) cx ，如果满足 f ( u n ) - c ， ( 1 + iu n | i ) a ( “住) 一0 _ 。) 的每一个序列 有收敛子列，则称泛函f 满足( c ) c 条件 2 2 相关的定理 极小极大原理在微分方程理论中有广泛的应用，是确定泛函临界值的基本手 段之一山路引理和它的推广是一类极小极大定理，也是极小极大原理的一种具 体化，因为这种形式在应用中比较方便近年来在微分方程的研究中起了很大的 作用 定理2 2 1 ( c h a n g ，【3 5 ) 山路引理( m o u n t a i np a s sl e m m a ) ：设x 是一个b a - n a c h 空间，q 是一个实数，又设厂c 1 ( x ，r 1 ) 在f - 1 ( 0 ，+ o 。) 上满足( p s ) 条 件；qcx 是0 的一个开区域，x ogq ；那么当 f ( x o ) ，f ( o ) 0 ， 厂l a q a 0 时，c a 是，的一个正临界值，其中 c = i n fs u p ，( 忽( t ) ) ， h e 0 2 t e o , 1 、。1 1 2 第2 章预备知识 霍= 九c ( 【o ，1 】，x ) l h ( o ) = 0 ，h ( 1 ) = x o 注2 2 1 定理2 2 1 是使用最为广泛的山路引理 定理2 2 2 ( x w u ，【3 3 】) ( 推广的极值临界点定理) 设x 是一个自反的b a n a c h 空 间，f 是定义在x 上的局部l i p s c h t z 泛函，k 是一个紧度量空间，k + c 是 不等于k 的非空闭子集令4 = 如c ( k ，x ) ：pl k - - - p + i 补) ，其中矿：k _ x 是一个固定的连续映射令c = j 月n fm 。a 托xf ( p ( t ) ) ，则c 罂嚣，0 + ( ) ) p 月t f k 假设坳a ，搿，( p ( 毒) ) 可以到达k k + 中的某一点，则 让n ) cx 使得 ( u n ) _ c ，且入( u n ) _ 0 如果f 还满足( p s ) 。条件，则c 是f 的一个临界值 定理2 2 3 ( m s c h e c h t e r ，f 1 6 】) ( 山路引理) 设x 是一个自反的b a n a c h 空间，g 是 定义在x 上的c 1 泛函假设存在一个有界开集vcx 满足：对于某个e o v g ( e o ) q = i n f g 假设存在一个妒x o ) 使得s l i ms u p g ( r 妒j 护“) 0 v _ - - - * o o 对于某个p 0 ，我们有 ( a ) 存在序列 u ) cx ，使得g ( u k ) _ c ，口sc o o ，g ( 钍知) 一o ；或者 ( b ) 存在序列 “奄) cx ，使得 g ( u k ) 一c ，口c o 。，知f | _ 。， g ( u ) | i u 七l p l 0 ， g 7u 惫) i | u 南酽_ o 下面的定理是本文将要用到的主要研究工具 定理2 2 4 ( x w i u ，【3 3 】) ( 山路引理) 设x 是一个自反的b a n a c h 空间，：x _ r 是一局部的l i p s c h i t z 泛函如果存在0 的邻域u 和点z o 岩u 以及常数p ，使得 ，( o ) ，( x o ) 0 u e d l ，2 ( n n ) l t , 1 2 - 1 ” 引理2 2 1 ( p l l i o n s ，1 9 8 4 ) 令r 0 和2 口 2 + 若 u n ) 在日1 ( r ) 中是有 界的，而且满足 s u p i u i 口_ 0 ，佗_ o o ， y e r b ( 可，r ) 则对于2 q 2 + ，在驴( r ) 中有：u n o 定理2 2 6 ( m w i u e m ，1 9 9 6 ) 设g 是o ( n ) 的子群，q 是r 的不变开子集， g 在空间础( q ) 上的作用由下式给出： g u ( x ) ：= u ( g 1 z ) 不变函数空间定义为 硪g ( q ) ：= u 硪( q ) ：g u = u ，v g g 若q 与g 是相容的，则下面的嵌入是紧的： 明g ( q ) c 驴( q ) ，2 p 2 + 1 垂 第2 章预备知识 推论2 2 i ( p l l i o n s ，1 9 8 2 ) 令n j 2 ，j = 1 k ，g j = n 且g ：= 0 ( 1 ) x j = l 0 ( n 2 ) x o ( 慨) ，则下面的嵌入是紧的： 磁( 冗) cl p ( r n ) ， 2 p 2 4 推论2 2 2 ( s t r a s s ，1 9 7 7 ) 令n 2 ，则下面的嵌入是紧的： 踢( ) ( ) c ( ) ， 2 0 ，有 ，乜1 o g ( 删) 全j 09 ( 叩) d s 南- i - 夕( 训) u ， -v v l u i m 这个条件一方面用于寻找使得相应泛函值非正的一个点，另一方面可以保证利用 山路引理找到的( p ) c 序列是有界的( 参照文献【1 】) d g c o s t a ，c a m a g m 五e s 在文献 7 】中介绍了当非线性项不满足( a r ) 条件时，寻找上述问题非平凡解的 方法，其中运用到了文献【2 】中的山路引理，但是这种方法在无界区域上是不可 用的 在这篇文章中，因为技术的需要，我们令夕( z ，u ) = f ( x ，u ) u 我们来考虑下 述含有不连续非线性项的椭圆方程问题： 一a 仳+ 入u = ，( z ，u ) u ， u 珥( r ) ， 的正解的存在性其中r = ，n 3 ，研( r ) = 扎h 1 ( r ) lu ( x ) = 让( ) ) ，厂( z ，札) ：r r r 是一个局部有界的可测函数，而且当l u l 一。 1 6 r o 眶 b 第3 章一类不连续非线性椭圆方程正解的存在性问题 时， ，( 1 正l ，u ) = ( z ，u ) 一2 或者f ( x ，u ) 一g ( z ) l o 。( f ) 这类问题一些典型模型的背景和结果可以在文献【1 8 】、【1 9 】、【2 1 】、【1 5 】、【1 0 】 等文献中找到 对于无界区域上的问题0 ) ，为了得到它的非平凡解，通常的方法有两种： ( a ) 约束变分方法，这时为了消去l a g r a n g e 乘子，我们假设( z ，u ) 兰，( “) 或者 ( z ，k u ) = k a f ( x ，u ) ，对某个a 0 若a 是固定的，我们可以参看文献【3 】； ( b ) 利用山路引理，这时我们需要非线性项满足条件( a r ) ，如文献【8 i 1 2 1 经过 简单的计算，我们发现当g ( x ，u ) = ，( z ，u ) u 时，g ( z ，u ) 满足( a r ) 条件蕴含着： 当让_ + o 。时，g 竺掣_ + 。 t 正。 另外，对于这种全空间兄上的问题( p ) ，个典型的困难是：全空间兄上的索 伯列夫嵌入不是紧的为了克服这个困难，在文献f 3 和【17 】中，作者引入了径 向对称的索伯列夫空间 对于我们现在考虑的问题( p ) ，当u 充分大时，( z ，乱) 乱是渐近线性的，也就 是在这种情况下条件( a r ) 不成立在l i 的文献 1 1 】中，作者研究了定义在r 上带有一般的非线性项的半线性椭圆方程问题，其中，非线性项需要满足f ( x ，u ) 关于h 是单增的在条件( a r ) 不满足的情况下，文献【1 6 】中关于问题( p ) 也有 一个存在性的结果，但是它是利用另一个山路引理得到的，在这一篇文章中，我 们不是用文献【1 6 】中的山路引理一定理2 2 3 ，而是利用文献【3 3 】中的山路引理 一定理2 2 4 ，得到关于问题( p ) 的一个非平凡正解因为在无穷远处f ( z ，乱) 乱 不是超线性的，这时我们在运用山路引理时需要克服两个困难： ( 1 ) 在研( r ) 中怎样找到一个远离原点的点，使它满足在这一点处相应泛 函的值是负的； ( 2 ) 怎样证明利用山路引理得到的( c ) 。序列是有界的 1 7 - 北京工业大学理学硕士学位论文 3 2 主要结果及证明 在这篇文章中，如无特别声明，我们假设x 是一个实的b a n a c h 空间， x 是x 的共轭空间，用( ，) 表示x 和x + 的对偶对 我们定义u h 1 ( 冗) 的范数如下 全h 1 ( r ) = ( ivu 1 2 + 入l u l 2 如) j r “ 定义乱护( r ) ( 1 p o ，比一致成立； t o 十t _ + o ( c ) ：t 羔，0 ，右) = p ) ，且存在z 0 ，f f 得p ( 舅) z ，v x r n ； ( g ) f ( 叫) 丢m ，t ) t 2 , 比r n , t o ( 3 - 1 ) 而且对给定的m 0 ，存在p 0 ，使得 f ( z ，t ) 南m ，t ) 以耽( o ，m ) ( 3 - 2 ) ( a ) 存在q n - 矿2 + 2 n a ，1 】，这里仃( 0 ，斋) ，n 3 。使得对于某个? 7 0 ， 。盟坚型幽：g ( z ) 叩 o ( 3 - 3 ) t l + a t _ + 1 、7 一。 一 一致成立； ( c ) ：对于z r n , t 0 充分大时，( z ，) z 一致成立存在一个常数口 满足：当n 3 时，q 【厕n - 2 ，1 】，使得对于某个叼 0 ，有： ，l ；磐= f 玉兰二竺生；裂：g ( z ) ，7 o t _ + o ot 十口 “7 一。 1 8 第3 章一类不连续非线性椭圆方程正解的存在性问题 一致成立； ( g ) 函数厂和，+ 是重叠可测的； ( 酝) 存在一个集合q ，cr ，且l q ，l = 0 ，使得l d i = 0 其中集合 d =u 亡r l ：( z ，) 在点t 处是不连续的 ， x e r 。h i 而且对于a e x r ，v t d ，条件广( z ，t ) a 厂+ ( 。，t ) 可以推出厂( z ，t ) = a 我们得出以下两个主要结果： 定理3 2 1 若，( z ，t ) 满足条件( a ) ，( q ) ，( g ) ，( q ) ，( 侥) ，( g ) ，则当a ( 0 ，z ) 时，问题( p ) 有一个正解 定理3 2 2 若厂( z ，t ) 满足条件( a ) ，( q ) ，( g ) ，( g ) 7 ，( g ) ，( c 6 ) ，则当a ( 0 ，之) 时，问题( p ) 有一个正解 设x = 研( r ) ，y = l 2 ( ) ，寻找问题( p ) 的弱解可以归结为求定义在 研( 冗) 上的下述泛函的临界点： m ) = 去上( iv u | 2 + w ) d x 一上砷，乱) 则，( u ) 定义良好且是x 中的局部的l i p s c h i t z 泛函 关于上述的泛函，( 让) ，我们有下面的引理： 引理3 2 1 如果条件( c 1 ) 和( q ) 满足，则存在p 0 ，p 0 ，使得对于所有的 锃o b p = u 月：( 冗) l l 锃 l = p ，有 j ( u ) p 0 证明：由条件( q ) 知：对于y a 0 ，则有 l i m 丝盟：o 1 9 sds 、l ， sz ，j ， u z = 、l ， 乱z ，l f 中其 北京工业大学理学硕士学位论文 又因为 鸳厂( z ，t ) = 0 ，所以对于固定的 0 和任意的 0 ，存在c 0 ，使得 f ( z ，t ) c + q 只( 3 4 ) 取盯( 0 ，志) ，n 3 ，则由( 3 4 ) 式可得： ，( 让) = 互1 上( i v u 1 2 + a l 饥1 2 ) 如一厶f ( z ，u ) 出 = 去i i 乱1 1 2 一上nf ( z ，钍) 如 到1u i l 2 一到g - 训l 一是上”i 扣如 三( 1 圳札1 1 2 一是忆i t 2 扣 令e ( 0 ，1 ) 固定，我们可以找到充分小的p 0 ， 0 ，使得对于任意的u a b 口， 有 ，( u ) p 0 引理3 2 2 若条件( a ) 和条件( q ) 或者条件( q ) 满足，且a ( 0 ，笆) 则对于 上述引理3 2 1 中的p ，存在eg 岛= u 研( r ) | | i 让| | p ，使得：，( e ) 0 ，我们令 仉，q ( z ) = ( d ( ) ) 一1 q 譬e aj 2 i ，z r 贝4 么( z ) 月：( r ) ，且 l | 眠( z ) i | 2 = 1 ，( 3 - 5 ) 第3 章一类不连续非线性椭圆方程正解的存在性问题 i i v w q ( x ) 1 1 2 _ 4 q 2 i x l 2 眈( x ) d x = a d ( n ) j 秽 若取q ( o ，揣) ，其中粤是条件( 岛) 中的z ，则有 i v ( z ) 孵 一a ) | ( z ) 幢 另一万回，由条件( ) 知- u 掣= u 骢0 0 掣= 丢 u + 乱五u 啐+ z uz 取u ( x ) = 亡眠( z ) ，则有t 对于比， 当t 一+ 。时，牡0 ) _ + o o 所以由( 3 7 ) 式得： 。蛾谢= 丢眦x er n 即： limf(x,twa(x)：兰眈(z)口ezrt- - _ q - o o t 22 o 、。7 。 ( 3 - - 6 ) ( 3 - 7 ) ( 3 - 8 ) ( 3 - 9 ) ( 3 1 0 ) 由藩郡引理h j 碍t 。掣掣= 狐扛) 1 1 2 - , 厶掣如 刘1 帅) 1 1 2 一厶。掣出 么 ，d c 十c = 扣( 珊一割吼( 堋 0 ，我们令e = t o w n ( z ) g 髟，满足：t ( e ) 0 北京工业大学理学硕士学位论文 另外，如果( x ，t ) 满足( q ) 7 ，则有 u姆掣=u粤掣=掣善(3-12)00 u0 0 2 u u 十 斗+99 取“ ) = t w o ( x ) ，则同样有 当_ + o o 时，u ( x ) _ + o 。 。鬻多纰x er n ( 枷) 即。 t-l-i,+moo掣t2 兰2 噬( z ) ，批z 冗 ( 3 - 1 4 ) z 一 q w ， 岫 山 l o 一上鼍j 类似地可以得到： 。里丝垃= 扣儿( 圳1 2 。当上n 塑掣如 刘1 咻) i f 2 - i i 厶。掣如 刘眠( z ) 2 一。h 玛型兰掣如 扣睨( 珊知( 圳鹰 0 ，存在e = t o w 口( x ) g 髟，满足：，( e ) 0 ，8 0 0 ，使得 q ( x ) ? 7 0 丝生生型 v s 8 1 +