（基础数学专业论文）几类特征标维数图的fitting高有界.pdf

西南大学硕士学位论文中文摘要 一几类特征标维数图的f i t t i n g 高有界 基础数学专业硕士研究生张先休 指导教师张广祥教授 摘要 m l l e w i s 在文【3 】中定义了f i t t i n g 高有界的特征标维数图( g ) 设g 是一 个群，如果所有特征标维数图与a ( a ) 同构的可解群的f i t t i n g 高存在共同的上界， 则称( g ) 为f i t t i n g 高有界的特征标维数图m l l e w i s 在文【3 】中证明了t 个 含n 个顶点的维数图的f i t t i n g 高有界当且仅当它至多含一个度数为n 一1 的顶点， m l l e w i s 在文【3 】中还证明了t 在维数图的f i t t i n g 高有界时，这个界是图顶点个 数的一个线性函数实际上，至今尚未发现维数图f i t t i n g 高有界时。f i t t i n g 高超 过4 的有限可解群由此m l l e w i s 提出一个猜想( 文1 5 c o n j e c t u r e5 5 ) - 设g 是 一个可解群，如果维数图a ( g ) 的f i t t i n g 高有界。那么g 的f i t t i n g 高不大于4 m l l e w i s 在文 3 】中证明了至少在下面两种情况下这个猜想成立 定理a 设g 是个可解群，p ( a ) = 。丌1 u d ) u 丌2 ，以是素数的有限集合， 1 7 r i i 1 ( i = 1 ，2 ) ，7 1 1 n7 f 2 = 口，且7 r 1 中顶点与丌2 中顶点都不相邻，那么g 的f i t t i n g 高最多是4 定理b 设g 是个可解群，( g ) 有四个顶点且每个顶点度数是2 ，那么g 的 f i t t i n g 高最多是4 本文证明了在另外几种情况下这个猜想也是成立的，主要结论有： 定理2 2 设g 是个可解群， l p ( g ) l 4 ，如果a ( g ) 每四个顶点的导出子图 的度数和都不超过8 ，那么g 的f i t t i n g 高最多是4 定理3 4 设g 是一个可解群。如果( g ) 含五阶圈，且每个五阶圈的导出子 图的度数和都是1 0 ，那么g 的f i t t i n g 高最多是4 定理4 1 设g 是个可解群，p ( a ) = 7 r 1ui r 2 7 1 1 ，1 1 2 分别是一些素因子的集 合，丌1n ? r 2 = 国，1 1 1 1 i 2 ，1 7 r 2 i 2 , p l ：q l 7 1 1 ：p 2 ，q 2 7 r 2 如果7 1 - 1 中的点和7 f 2 中的 西南大学硕士学位论文中文摘要 点只有p l 和p 2 相邻，9 1 和q 2 相邻，那么g 的f i t t i n g 高最多是4 关键词：f i t t i n g 高；特征标维数图；可解群表示 西南大学硕士学位论文英文摘要 b o u n d i n gf i t t i n gh e i g h t so fs e v e r a lc l a s s e so fc h a r a c t e rd e g r e eg r a p h s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s t u t o r ：p r o f g u a n g x i a n gz h a n g a u t h o r ：x i a n x i uz h a n g a b s t r a c t b yad e f i n i t i o no fl e w i si n 【3 】，ad e g r e eg r a p ha h a sb o u n d e df i t t i n gh e i g h t i ft h e r ei sab o u n do nt h ef i t t i n gh e i g h tf o rt h es o l v a b l eg r o u pg w i t h 。( g ) = a l e w i sp r o v e di n 【3 】= ad e g r e eg r a p h w i t h 佗v e r t i c e sh a sb o u n d e df i t t i n gh e i g h ti f a n do n l yi fah a sa tm o s to n ev e r t e xo fd e g r e en 一1 l e q i 8a l s oo b t a i n e di n 【3 】3t h a t i fah a sb o u n d e df i t t i n gh c i g h t ，t h eb o u n di sl i n e a ri nt h en u m b e ro fv e r t i c e so ft h e g r a p h h eo b s e r v e dt h a tn og r a p hw i t hb o u n d e df i t t i n gh e i g h ti sf o u n d f o ras o l v a b l e g r o u pw h e r et h eb o u n d i sb i g g e rt h a n4 t h u sm l l e w i sh a sac o n j e c t u r e ( c o n j e c t u r e 5 5o f 【5 】) t h a ti fgb eas o l v a b l eg r o u pw h e r ea ( a ) i sag r a p hw i t hb o u n d e df i t t i n g h e i g h t t h e ng h a sf i t t i n gh e i g h ta tm o s t4 l e w i sh a sp r o v e dt h a tt h ec o n j e c t u r e i sr i g h ta tl e a s ti nt h ef o l l o w i n gs i t u a t i o n s ： t h e o r e ma l e tgb eas o l v a b l eg r o u pa n ds u p p o s et h a tp ( c ) = 7 r 1ul r 2upi sa d i s j o i n tu n i o nw h e r e1 7 r i i lf o ri = 1 ，2 a s s u m et h a tn op r i m ei n7 1 1 i sa d j a c e n ti n ( g ) t oa n yp r i m ei n 丌2 t h e ng h a sf i t t i n gh e i g h ta tm o s t4 t h e o r e mb l e tgb eas o l v a b l eg r o u p s u p p o s et h a t ( g ) i st h eg r a p hh a v i n g f o u rv e r t i c e sw h e r ee v e r yv e r t e xh a sd e g r e e2 t h e nt h ef i t t i n gh e i g h to fg i sa tm o s t 4 i nt h i sp a p e r ，w ep r o v e dt h a tt h ec o n j e c t u r ei sr i g h ti no t h e rs i t u a t i o n s ，a n d s o m em a i nt h e o r e m sa sf o l l o w i n g t h e o r e m2 2 l e tgb eas o l v a b l eg r o u pw i t hi p ( g ) l 4 i ft h et o t a ls u mo f d e g r e e so fe a c hd e r i v e ds u b g r a p hw i t hf o u rv e r t i c e si na ( c ) i sn o tm o r et h a n8 ，t h e n t h ef i t t i n gh e i g h to fgi sa tm o s t4 i j i 西南大学硕士学位论文英文摘要 t h e o r e m3 4 l e tgb eas o l v a b l eg r o u p i ft h e r ei saf i r - o r d e rc i r c l ei n ( g ) ， a n dt h et o t a l5 u i no fd e g r e e so fe a c hd e r i v e ds u b g r a p hw i t haf i r - o r d e rc i r c l ei na ( c 1 i s1 0 t h e nt h ef i t t i n gh e i g h to fgi sa tm o s t4 t h e o r e m4 1 l e tgb eas o l v a b l eg r o u pa n ds u p p o s et h a tp ( a ) = f f lu 7 r 2i sa d i s j o i n tu n i o nw h e r e1 7 r i i 2 ，p l ，吼7 r i ，f o ri = 1 ，2 a s s u m et h a tn op r i m ei n7 r 1 i sa d j a c e n ti na ( a ) t oa n yp r i m ei n7 r 2 ，e x c e p tf o rp l p 2a n dq l q 2 t h e nt h ef i t t i n g h e i g h to f g i sa tm o s t4 k e yw o r d s ：f i t t i n gh e i g h t ；c h a r a c t e rd e g r e eg r a p h ；r e p r e s e n t a t i o n so f s o l v a b l eg r o u p s l v 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：张先( 木签字日期：。z o 口1 7 r 年夕月i o 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：囱不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：张倦休 导师签名：豸易膨寺 签字日期：z o o ( 7 年岁月o 日签字日期：纱年厂月扣日 西南大学硕士学位论文引言 1引言 有限群表示论是研究有限群结构的重要工具，例如著名的p r o b e n i u s 群结构定 理和p a q 6 定理，前者至今尚未找到纯群论证法，后者采用表示论证法比纯群论证法 简便得多从上世纪七十年代开始，i m i s s a c s 等人发现仅仅利用群的特征标维数 的算术性质就能刻画很多类型的有限群结构从上世纪八十年代开始，利用特征标 维数图的特征来刻画有限群的结构是有限群表示论的重要课题 1 9 8 5 年之后，b h u p p e r t ，w w i u e m s ，t r w o l f 等人提出应用特征标维数图a ( a ) 来研究可解群的结构特征标维数图( g ) 的顶点集是g 的不可约特征标维数的素 因子集，两个顶点p 与q 决定( g ) 的一条边当且仅当存在g 的不可约特征标x 使 p q l x ( 1 ) 1 9 8 9 年b h u p p e r t ，o m a n t z 及t r w o l f 等三人在文【6 】中共同证明可解 群g 的特征标维数图a ( a ) 每三个顶点至少存在一条边，由此可以推论可解群特征 标维数图最多有两个连通分支，每个连通分支直径不超过3 文【6 】6 利用有限单群分 类定理进步证明了任何有限群的特征标维数图最多含三个连通分支文【7 】中推论 1 8 8 又说明了有两个连通分支的可解群的每个连通分支是完全图文【7 】中定理1 9 6 ( 见本文引理) 证明；如果可解群g 的特征标维数图( g ) 不连通，则g 的f i t t i n g 高2 n ( g ) 4 ，导长d l ( a p ( g ) ) 4 m l l e w i s 在文 3 中定义了f i t t i n g 高有界的特征标维数图( g ) 设g 是一 个群，如果所有特征标维数图与( g ) 同构的可解群的f i t t i n g 高存在共同的上界， 则称a ( a ) 为f i t t i n g 高有界的特征标维数图m l l e w i s 在文【3 】中证明了：一个 含n 个顶点的维数图的f i t t i n g 高有界当且仅当它至多含一个度数为n 一1 的顶点 并且m l l e w i s 在文【3 】中还证明了t 在维数图的f i t t i n g 高有界时，这个界是图顶 点个数的个线性函数a m o r e t o 在文 8 中进一步证明了t 在维数图的f i t t i n g 高 有界时，这个界是3 1 ，并且若对应的可解群是奇阶的，则这个界是7 实际上，至今 尚未发现维数图f i t t i n g 高有界时，f i t t i n g 高超过4 的有限可解群由此m l l e w i s 提出一个猜想( 文【5 c o n j e c t u r e5 5 ) t 设g 是一个可解群，如果维数图( g ) 的 f i t t i n g 高有界，那么g 的f i t t i n g 高不大于4 m l l e w i s 在文 4 】中证明了在以下 两种情况下这个猜想是成立的： 1 西南大学硕士学位论文引言 定理a - 设g 是一个可解群，p ( c ) = 7 r 1u p 】u7 1 2 ，丌l 是素数的有限集合， 1 7 1 i i 1 ( i = 1 ，2 ) ，7 r ln 丌2 = 谚；且丌l 中顶点与7 r 2 中顶点都不相邻，那么g 的f i t t i n g 高最多是4 定理b 。设g 是一个可解群，( g ) 有四个顶点且每个顶点度数是2 ，那么g 的f i t t i n g 高最多是4 本文为证明猜想做了些工作，首先证明了， 定理2 2 设g 是个可解群，l 户( g ) i 4 ：如果( g ) 每四个顶点的导出子图 的度数和都不超过8 ，那么g 的f i t t i n g 高最多是4 接着，本文考虑了含五阶圈的特征标维数图，得到t 定理3 4 设g 是一个可解群，如果e x ( c ) 含五阶圈，且每个五阶圈的导出子 图的度数和都是1 0 ，那么g 的f i t t i n g 高最多是4 最后，类似于定理a ，本文证明了 定理4 1 设g 是一个可解群，p ( c ) = 7 r lu 砘1 1 1 ，7 r 2 分别是一些素因子的集 合，7 r 1n 丌2 = 谚，1 7 1 1 i 2 | 丌2 i 2 护1 ，q l 7 1 ，p 2 ，q 2 7 1 2 如果7 r l 中的点和砸中的 点只有p l 和见相邻，9 1 和口2 相邻，那么g 的f i t t i n g 高最多是4 我们先对一些符号和术语作下面的说明。 本文所讨论的群都是有限群字母g 总表示一个有限群 特征标总指复特征标 1 r r ( g ) 表示g 的所有复不可约特征标构成的集合 1 r r ( g o ) = x j r r ( g ) l 【x ，刎o 】其中n 璺g ，0 j r r ( ) c i ( g ) = x ( 1 ) l x i r r ( c ) ，p ( a ) = p l p l x ( 1 ) ，x ，r r ( g ) ) 本文的图都是简单图，它是由若干点及点的连线决定点称为图的顶点连结 两顶点的线段称为图的边顶点度数是指与这个顶点相连的边的条数 ( g ) 是g 的特征标维数图，简称维数图，它是一个顶点集为j d ( g ) ，两顶点p 与q 若同时整除某a c d ( o ) ，则p 和q 之间有边相连，又称p 和q 相邻 因此每个图r 由顶点集v ( r ) 与边的集合e ( r ) 组成，记为r = ( ve ) 设 t y ( r ) ，由丁以及t 在r 中的若干条边f 组成的r 的子集a = ( zf ) 称为r 的子图 2 西南大学硕士学位论文引言 设f = r ( ke ) 是图，有顶点集y 与边集e 缈y ，记r ( n ) 是由所决定 的r 的导出子图，如果r ( w ) 的边集包括所有中在r ( ve ) 中相邻的顶点所决 定的边 五阶圈的导出子图是指决定这个五阶圈的五个顶点的导出子图 7 r ，7 1 1 ，7 1 2 分别表示某个素数的集合n 是正整数，7 r ( 礼) 是7 , 的素因子的集合 7 r ( g ) = 7 r ( i g i ) h ( v ) 表示g 的f i t t i n g 高 3 西南大学硕士学位论文一类特征标维数图的f i t t i n g 高有界 2一类特征标维数图的f i t t i n g 高有界 首先给出几个引理 引理2 1( 文【7 】定理1 9 6 ) 如果g 是个可解群，它的特征标维数图恰好 有两个连通分支那么 ( i ) 2 n ( a ) 4 ， ( i i ) d l ( g f ( g ) ) 4 引理2 2( 文【9 】9 定理5 ) 不存在有限可解群g ，使得g 的特征标维数图同 构于图1 ， _ 图1 引理2 3( 文【1 】定理1 ) 令g 是可解群，且o ( a ) = 2 ，则l p ( g ) i 4 其中 盯( g ) = m a x b r ( x ( 1 ) ) l l xe i r r ( a ) 根据这个引理，若一个特征标维数图含有5 个或者5 个以上的顶点，则它至少 含有一个三阶圈 引理2 4( 文【2 定理6 9 ) 如果对每个x i r r ( g ) ，x 都是一个素数p 的 幂，那么g 有一个正规交换p 补 引理2 5( 文【2 】推论1 2 3 4 ) 设g 是一个可解群，如果g 的每个不可约特 征标维数都和p 互素，那么g 有一个正规交换s y l o wp - 子群 引理2 6( 文【2 】推论1 1 2 9 ) 设粤g 并且x l r r ( g ) ，0 l r r ( n ) 是x 的个成分，那么x ( 1 ) 0 ( 1 ) 整除i a l v l 引理2 7 ( 文【7 】定理1 2 9 ) 设n 璺g ，0 t r r ( n ) ，7 r 是一个素数集，对所有 x l r r ( g l o ) 有x ( 1 ) p ( 1 ) 是丌7 数如果g n 是可解的，那么g n 有一个交换 h a l l7 r - 子群特别地，a n 有7 r 一长最多1 引理2 8 ( 文【4 】引理3 ) 设g 是一个可解群，刀- ( 1 a 1 ) = 7 ru p ，p 是素数 如果g 有交换h a l l 7 i - - 子群，则h ( g ) 3 引理2 9( 文【7 引理1 8 1 ) 如果g f ( g ) 是交换的，那么存在x i r r ( a ) 使得x ( 1 ) = i c l p ( g ) i 4 西南大学硕士学位论文 一类特征标维数图的f i t t i n g 高有界 引理2 1 0 ( 文【4 】引理2 ) 设g 是一个可解群，只是g 的f i t t i n g 子群， r r 为g e 的f i t t i n g 子群假定日是p 群，如果满足：当r 是g 的极小正 规子群时，存在i g ：尼l 的一个素因子r 与j 而：n i 的某个素因子在a ( v ) 中不相 邻；当日不是g 的极小正规子群时，存在i g ：局i 的一个素因子r 与l r ：e 1 i 的 任何一个素因子在( g ) 中都不相邻则有 ( 1 ) e 日r ( p 。) ( p 个元素的域上的o l 维半线性群) ，口为正整数，或者 ( 2 ) r = p = 3 ，并且或者g f 1 笺s l y ( 3 ) 或者g 只竺g l 2 ( 3 ) 特别地，h ( e ) 4 引理2 1 1( 文【5 定理4 6 ) 如果g 是一个可解群，并且j p ( g ) i = 5 ，那么 ( g ) 的直径不超过2 定理2 1 设g 是个可解群， i p ( g ) l 4 ：如果( g ) 每四个顶点的导出子图 的度数和都不超过8 ，且a ( g ) 不同构于以下三种图，那么g 的f i t t i n g 高最多是4 图( a ) 证如果a ( e ) 有两个连通分支， 下面只需考虑( g ) 连通的情况 图( b ) 图( c ) 由引理2 1 可得g 的f i t t i n g 高最多是4 故 若l p ( g ) i = 4 ，由引理2 2 ，不存在直径为3 的4 个顶点的可解群的维数图， ( g ) 的顶点度数和不超过8 且又连通时，( g ) 只能为图1 或四阶圈且每个顶点 度数是2 而这时分别由文 4 】定理a ，b 都可得h ( g ) 冬4 图2 5 西南大学硕士学位论文 一类特征标维数图的f i t t i n g 高有界 若l p ( g ) i 5 ，由引理2 3 ，( g ) 存在一个三阶圈，由此存在一个子图3 由文 【7 j 定理1 8 7 得， a 1 ，4 4 ，a 5 三点至少存在一条边，若有边a 1 a 4 ，则j 4 1 ，a 2 ，a 3 ，a 决定的导出子图的度数和超过8 ，与假设矛盾因此有边a l a s 或4 4 a 5 若a 1 a s 是边，则4 2 ，a t ， 5 至少有一条边，只能4 4 a 是边，否则存在四点，它们决定的导 。d a ；a 图3图4 假如月5 度数为1 ，由文【4 】定理a 得，h ( g ) 4 假如a 5 度数大于1 ，则除 几外，a 5 至少还与另外一个顶点相邻，如可能与a 1 ，a z ，a 。或第六个顶点山相 邻若a 5 与月1 或a 2 相邻，则( g ) 同样含子图( a ) 若a 5 与a 3 相邻，则a ( g ) ：f f - - $ 图5 如果i p ( g ) i = 5 ，假如( g ) 就是图5 ，则由文【4 】定理a 得h ( a ) 4 ； 假如( g ) 含更多的边，则不难看出存在四点，它们决定的导出子图的度数和超过 8 ，与假设矛盾如果i p ( g ) l 6 ，注意到z ( g ) 已经含子图5 ，因此由文【7 】定 理1 8 7 不难得到a ( a ) 存在四点，它们决定的导出子图的度数和超过8 若月5 与 第六个顶点a 6 相邻，观察月1 ，4 4 ，a 6 三点，只能是4 l a 6 是边或也a 6 是边假如 a l a 6 是边，再观察a 2 ，a 4 ，a 6 三点，只能是a a a 6 是边，这样a ( a ) 含子图( b ) 假 如a 4 a 6 是边，如果l p ( g ) i = 6 ，a ( g ) 就是图6 ，则由文 4 】定理a 得h ( a ) 4 ， 要是a ( g ) 含更多的边，则( g ) 要么含子图( b ) ，要么存在四点，它们决定的导出 子图的度数和超过8 ；如果l p ( g ) i 7 ，由文【7 】定理1 8 7 不难得到( g ) 中存在四 点，它们决定的导出子图的度数和超过8 6 西南大学硕士学位论文一类特征标维数图的f i t t i n g 高有界 图5图6 综上各种情形，只需考虑a ( a ) 含子图( a ) 。因为子图( b ) 里也含子图( a ) 若i j d ( g ) l = 5 ，这时a ( c ) 恰为图( a ) ，因为如果a ( a ) 含更多的边，则不难看 出，a ( o ) 中存在四点，它们决定的导出子图的度数和超过8 若i p ( g ) i 6 ，记子图( a ) 为a 1 a 2 a s a 4 a 5 决定的五阶圈且4 2 a 是子图( a ) 的另一条边，a 6 是a ( g ) 的第六个顶点，如图7 观察a 2 ，a 5 ，a 6 三点，a 2 与 a 5 不相邻，否则a 1 ，a 2 ，a 4 ，a 5 决定的导出子图的度数和超过8 ，故a 5 a 6 或月2 a 6 是边如果a s a 6 是边，看a l ，a 4 ，a 6 三点，至少决定一条边，假如a 1 a 6 是边，则 a ( c ) 有子图( b ) ；假如a 1 a 4 是边，则a 1 ，a 2 ，月4 ，a 5 决定的导出子图的度数和超过 8 ；假如a 4 a 6 是边，再观察月l ，月3 ，a 6 三点，不管哪种情形a ( o ) 都存在四点，它们 决定的导出子图的度数和超过8 如果4 2 a 6 是边，再看月1 ，a 3 ，a 6 ，只能a 1 月6 是 边，最后看a 3 ，月5 ，a 6 ，不管哪种情形a ( c ) 都存在四点，它们决定的导出子图的度 数和超过8 。 a 2 a a l a 刀 ? i 图7图8 因此l p ( g ) i 6 时，只需考虑a ( a ) 含子图( b ) 的情形如果l j d ( g ) i = 6 ，则 a ( c ) 恰为图( b ) 或图( c ) ，因为若再含更多的边，则a ( a ) 中存在四点，它们决定的 7 西南大学硕士学位论文一类特征标维数图的f i t t i n g 高有界 导出子图的度数和超过8 如果i p ( g ) l 7 ，设子图( b ) 是六阶圈a 1 a 2 a 3 a 4 a s a 6 ， 加上两边j 4 1 月3 与a 4 a 6 ，a 7 是( g ) 的第七个顶点，如图8 现在看a 3 ，a 6 ，a t ， 至少决定一条边，但月3 a 6 不是边，故a 6 4 7 或月3 月7 是边假如月6 4 7 是边，观察 a l ，a 4 ，a 7 ，得a l 。4 7 也是边，再看a 2 ，4 5 ，a 7 ，只能a 2 a 5 是边，最后看a 2 ，a ，a 7 ，无 论怎样都存在四点，它们决定的导出子图的度数和超过8 ，与假设矛盾；假如a a a 7 是边，再看a 2 ，a 4 ，月7 ，只能a 4 a 7 是边，最后看a l ，月5 ，a 7 ，无论如何也都都存在四 点，它们决定的导出子图的度数和超过8 ，与假设矛盾定理得证 定理2 2 设g 是一个可解群， l p ( g ) i 4 ，如果a ( c ) 每四个顶点的导出子图 的度数和都不超过8 ，那么g 的f i t t i n g 高最多是4 证对i g i 进行归纳根据定理2 1 ，只要证明( g ) 如果是定理2 1 中的三个例 外情形的维数图( a ) ，( b ) ，( c ) 之一时，g 的f i t t i n g 高最多为4 即可设m 为g 的 非平凡正规子群，我们先证明a m 的f i t t i n g 高最多为4 由引理2 1 我们只考虑 ( g m ) 连通的情况显然( g 朋，) 为( g ) 的子图，p ( a m ) ，) ( g ) 若c m 交换，结论显然成立，再由引理2 4 可以假定a ( g m ) 至少含二个顶点 ( 1 1 ) 若i p ( c m ) i 4 由归纳可得h ( c m ) 4 ( 1 2 ) 若l p ( c m ) i = 3 a ( g m ) 只有两种情况- 有一个公共端点的两条线 段，或三阶圈 如果a ( c l m ) 是有一个公共端点的两条线段，由文 4 】定理a ，h ( g m ) 4 如果( g ，) 是一个三阶圈，则由引理2 5 ，c m 有正规交换p ( g m ) 一补 群h m 存在p l ，耽p ( c ；m ) ，由图( g ) 可知有口p ( c ) ，使q 与p l ，现 在a ( c ) 中均不相邻因此有xe i r r ( g ) ，使得q x ( 1 ) ，设0e i r r ( h ) 是x 胃的一 个不可约成分，则由引理2 6 得x ( 1 ) o ( 1 ) i i g h i ，知q l o ( 1 ) 由于g 与p 1 ： 2 不相 邻，故对任何砂i r r ( g i p ) 有矽( 1 ) 口( 1 ) 是 p l ，p 2 ) 7 数，由引理2 7 知g h 有交换 h a l l - p l ：p 2 】群而7 r ( c h i ) = 仞1 ，p 2 ，p 3 ，由引理2 8 ，g h 的f i t t i n g 高最多 为3 故e l m 的f i t t i n g 高最多为4 ( 1 3 ) 若l p ( c m ) l = 2 ( a m ) 只能为线段这一种情况由引理2 5 ，g m 有正规交换p ( g m ) - 补群h m 由图( g ) 可知对p l p ( c m ) ，存在q p ( c ) ， 使q 与p 1 在a ( a ) 中不相邻因此有xe i r r ( g ) ，使得q l x ( 1 ) ，设0e i r r ( h ) 是 8 西南大学硕士学位论文 一类特征标维数图的f i t t i n g 高有界 胎的一个不可约成分，则由引理2 6 得x ( 1 ) o ( 1 ) i i g i h i ，知q 0 0 ) 而口与p 1 不 相邻，故对任何妒e i r r ( g 0 ) 有妒( 1 ) p ( 1 ) 是 n ) 7 数，由引理2 7 知c h 有交换 s y l o w - p l 子群而7 r ( 1 g 1 ) = p l ，沈 ，由引理2 8 ，c h 的f i t t i n g 高最多为3 故g m 的f i t t i n g 高最多为4 综上各种情形，对g 的任何非平凡正规子群 ，。c m 的f i t t i n g 高最多为4 现在设垂( g ) 是g 的f r a t t i n i 子群如果圣( g ) 1 ，则a 圣( c ) 的f i t t i n g 高 最多为4 ，从而g 的f i t t i n g 高最多为4 因此我们可假定圣( g ) = 1 记f 1 是g 的 f i t t i n g 子群，r n 为g r 的f i t t i n g 子群假设只不是g 的极小正规子群， 由g a s c h u t z 定理( 文【7 】定理1 1 2 ) ，存在g 的非平凡正规子群 九和m 2 ，使 得只= ，l m 2 ，由前段断言知c m , 和c m , 的f i t t i n g 高都是最多为4 ，由 mnm 2 = 1 得，g = ( g ( m , n 九) ) ( g 矗c m , ) ，g 的f i t t i n g 高最多为4 下设只为g 的极小正规子群由引理2 5 ，p ( g ) 7 r ( g r ) ，我们选择口兄：r i ，则 存在r p ( c ) 且r 与g 在( g ) 中不相邻，由引理2 9 知r ti r ：只l ，故r i l e ：足i 由引理2 1 0 知g 的f i t t i n g 高最多为4 9 西南大学硕士学位论文一类含五阶圈的特征标维数图 3 一类含五阶圈的特征标维数图 由文 7 】定理1 8 7 ，引理2 2 和引理2 3 不难得到，对于不少于4 个顶点的维数 图，若不含四阶圈，则只能是图2 ，图5 ，图6 三种情况( 只考虑连通情况) ，显 然它们的f i t t i n g 高都不超过4 类似的，对于不少于5 个顶点的维数图，若不含 五阶圈，也只有有限的几种情况( 这里限于篇幅，不在赘述) ，也很容易得到它们的 f i t t i n g 高都不超过4 下面看含五阶圈的情况 定理3 1 设g 是个可解群，如果( g ) 含一个五阶圈，则a ( g ) 必含四个 顶点，这四个顶点决定的导出子图的度数和大于8 证由于a ( a ) 含个五阶圈，故p ( a ) 5 ，这样由引理2 3 ，a ( a ) 必含一 个三阶圈，因此p ( a ) 6 设五阶圈的顶点依次为a l ，a 2 。月3 ，月4 ，a 5 ，第六个顶点为 a ，如图9 由文【7 】定理1 8 7 得，屯，也，a 6 三点至少存在一条( g ) 的边，显然 a 2 a 4 不是( g ) 的边，故a 2 a 6 或a 4 a 6 是( g ) 的边如果a 2 a 6 是( g ) 的边， 观察月1 ，4 3 ，a 6 三点，只能是a 1 a 6 或a s a 6 是a ( g ) 的边若a 1 a 6 是边，再看 月3 ， 5 ，a 6 三点，只能是a s 。4 6 或a s a 6 是边，这样a 1 ，a 2 ，月3 ，a 6 或a l ，a 2 ，a 6 ，a 5 决定的导出子图的度数和大于8 ；若a 3 a 6 是边，再看a 1 ，也，a 6 三点，只能是a 1 a 6 或a 4 a 6 是边，这样也得到a ( g ) 中的4 1 ，月2 ，月3 ，4 6 或a 2 ；a s ，a 4 ，a 6 决定的导出子 图的度数和大于8 如果a 4 以s 是( g ) 的边，同理可得结论定理证毕 是4 图9 定理3 2 设g 是个可解群，若( g ) 同构于图9 ，则g 的f i t t i n g 高最多 证对 g i 进行归纳，设 彳为g 的非平凡正规子群，我们先证明g m 的f i t t i n g 1 0 西南大学硕士学位论文 一类含五阶圈的特征标维数图 高最多为4 由引理2 1 我们只考虑a ( g i ) 连通的情况不难看出a ( g m ) 为 a ( a ) 的子图，p ( a m ) p ( g ) 若a m 交换，结论显然成立，再由引理2 4 可以 假定a ( g m ) 至少含二个顶点分五种可能情形讨论： ( 1 ) 若i o ( a m ) i = l p ( g ) l = 6 由文【7 】定理1 8 7 ，a ( g m ) = a ( a ) ，由 归纳 ( g 朋，) 4 ( 2 ) 若l p ( a m ) l 三5 注意到a ( a m ) 是a ( a ) 的子图，由引理2 3 和文【7 】 定理1 8 7 ，a ( a m ) 为图4 或图1 0 再由引理2 1 1 ，这两种情况都不存在也就是 说这里i p ( a m ) i 不会是5 图1 0 ( 3 ) 若i p ( a m ) l = 4 由引理2 2j 则a ( g m ) 只能为四阶圈( 每个顶点度 数为2 ) ，或图2 ，或图1 1 图1 1 若a ( a m ) 为四阶圈( 每个顶点度数为2 ) ，由文【4 】定理b 得h ( a m ) 4 若a ( a m ) 为图2 ，由文【4 】定理a 得h ( a m ) 4 若a ( a m ) 为图1 1 ，则由引理2 5 ，g i m 有正规交换p c c m ) 一补群驯m 由图a ( a ) 可知，存在p l ，忱，p 3 p ( g ，) ，有q p ( a ) ，使口与p l 汐2 ，p 3 在a ( a ) 1 1 西南大学硕士学位论文一类含五阶圈的特征标维数图 中均不相邻因此有xe i r r ( g ) ，使得q l x ( 1 ) ，设0 i r r ( h ) 是x 厅的一个不可约 成分，则由引理2 6 得x ( 1 ) 6 i ( 1 ) i i g i ，知q 1 0 ( 1 ) 由于q 与尹1 ，耽，p 3 不相邻， 故对任何妒i r r ( g l o ) 有砂( 1 ) 口( 1 ) 是 p 1 ，见，p 3 7 数，由引理2 7 知g i h 有交换 h a l l - p i ，p 2 ，p s 群而7 i ( i c h i ) = p l ，9 2 ，p 3 ，肌) ，由引理2 8 ，g i h 的f i t t i n g 高最 多为3 故c m 的f i t t i n g 高最多为4 ( 4 ) 若i p ( a m ) i = 3 a ( c m ) 只有两种情况。有一个公共端点的两条线段， 或三阶圈 如果a ( g m ) 是有个公共端点的两条线段，由文【4 】定理a ，h ( c m ) 4 如果a ( a m ) 是一个三阶圈，则由引理2 5 ，a m 有正规交换p ( a m ) 一补 群驯m 由图a ( c ) 可知存在p 1 ，砌p ( c t ) ，有q ( g ) ，使q 与p l ，仡 在a ( g ) 中均不相邻因此有xe i n ( g ) ，使得q x ( 1 ) ，设0e l r r ( h ) 是柚的一个 不可约成分，则由引理2 6 得x o ) o ( 1 ) l l a h i ，知q 1 0 ( 1 ) 由于g 与p 1 、p 2 不相 邻，故对任何妒i = ( g i o ) 有妒( 1 ) 口( 1 ) 是 p l , p 2 7 数，由引理2 7 知c h 有交换 h a l l - p l ，p 2 群而7 r c i g h i ) = 伽1 ，p 2 ，p s i ，由引理2 8 ，g h 的f i t t i n g 高最多 为3 故g m 的f i t t i n g 高最多为4 ( 5 ) 若i p ( c m ) i = 2 a ( c m ) 只能为线段这一种情况由引理2 5 ，c m 有 正规交换p ( g i m ) 补群驯m 由图a ( a ) 可知对p l p ( g m ) ，存在q p ( c ) ， 使g 与p a 在( g ) 中不相邻因此有xe i r r ( g ) ，使得q l x ( 1 ) ，设0e l r r ( h ) 是 x 胃的一个不可约成分，则由引理2 6 得x ( 1 ) o ( 1 ) i i g h i ，知q 1 0 0 ) 而口与p 1 不 相邻，故对任何妒e i n ( c l o ) 有妒( 1 ) p ( 1 ) 是仞1 ) 7 数，由引理2 7 知a h 有交换 s y l o w - p l 子群而7 r ( i c h i ) = 仞l ，沈) ，由引理2 8 ，c h 的f i t t i n g 高最多为3 故g m 的f i t t i n g 高最多为4 综上各种情形，对g 的任何非平凡正规子群 ，g i m 的f i t t i n g 高最多为4 现在设西( g ) 是g 的f r a t t i n i 子群如果圣( g ) l ，则c 圣( c ) 的f i t t i n g 高 最多为4 ，从而g 的f i t t i n g 高最多为4 因此我们可假定圣( g ) = 1 记r 是g 的 f i t t i n g 子群， 足r 为g r 的f i t t i n g 子群假设只不是g 的极小正规子群， 由g a s c h u t z 定理( 文【7 】定理1 1 2 ) ，存在g 的非平凡正规子群 缸和m i ，使 得r = 矗m 2 ，由前段断言知g m 和a m 2 的f i t t i n g 高都是最多为4 ，由 】2 西南大学硕士学位论文 一类含五阶圈的特征标维数图 j i 五n i 毛= 1 得，g = ( g ( m , n ，2 ) ) s ( c m 1 g 厶) ，g 的f i t t i n g 高最多为4 下设r 为g 的极小正规子群由引理2 5 ，p ( a ) 7 r ( g r ) ，我们选择q l i 尼：只i ，由 图a ( a ) 可知存在r o ( a ) 且r