（基础数学专业论文）一类解析函数的星形半径.pdf

摘要 假设d = z ：1 2 1 乙) 磊( q ) = ( ，：，( z ) = z + 。z 一+ 1 在d 内解析且， q ) n = ：上 本文主要研究解析函数族厶( a ) 在单位圆盘d 内的星形半径问题， 即对所有的f 矗( q ) ，找一公共的嚅( q ) ( 0 ，1 ) 满足，( z ) 映z ： 嚅( q ) ) 成为星形域，而且r ：( q ) 不能再扩大 本文由三章组成第一章我们介绍有关背景和我们所得到的主 要结论第二章我们引进了一类与矗( a ) 有紧密联系的解析函数族 ( 1 2 q ) ，给出其中的函数p ( 名) 的鼬搿的最佳下界估计，这为我们 的星形半径问题研究打下了基础第三章是利用( q ) 与( 1 2 q ) 的关系和第二章所得到的结果，给出了星形半径嚅( o ) 的准确值和 相联系的极值函数 关键词：星形函数；星形半径；单叶函数；从属原理 a b s t r a c t l e td = 2 ： q t h i st h e s i sf o c u s e so nt h er a d i u so fs t a r l i k e h e s sf o r 矗( 口) ，t h a ti s ，w ef i n da c o m m o m 嚅( q ) ( 0 ，1 ) s u c ht h a tf ( z ) m a p s 名： 嚅( q ) ) o n t ot h es t a r l i k e i m a g ef ( i z i 嚅( a ) ) f o ra n yf ( z ) 歹m ( q ) ，a n dt h a tt h e 嚅( a ) c a n tb ee n l a r g e d t h i st h e s i sc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e rl ，t h eb a c k g r o u n da n dt h eg a i n e d r e s u l t sa r ei n t r o d u c e da n ds u m m a r i z e d i nc h a p t e r2 ，an e wf u n c t i o nc l a s s ( 1 2 a ) w h i c hh a sc l o s er e l a t i o n s h i pw i t h 靠( 口) i ss t u d i e d t h eb e s tl o w e rb o u n d e s t i m a t i o no f r e 裂f o rp ( z ) ( 1 2 a ) i sg i v e n ，a n di t a l s of o r m sab a s i s f o r0 1 1 1 f u r t h e rs t u d y i n go ft h er a d i u so fs t a r l i k e n e s s i nc h a p t e r3 ，b yu s i n gt h e r e l a t i o n s h i po f 矗( q ) a n d ( 1 2 口) a sw e l la st h er e s u l t sg o ti nc h a p t e r2 ，w e g i v e st h ee x a c tv a l u e so f 嚅( q ) a n dt h er e l a t i o n a le x t e r n a lf n n t i o n s k e yw o r d s ：s t a r l i k ef u n c t i o n ；r a d i u so fs t a r l i k e n e s s ；u n i v a l e n tf u n c t i o n ；p r i n c i p l e o fs u b o r d i n a t i o n i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：立芬善扒 抄年占月，。日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密西 ( 请在以上相应方框内打 ”) 作者签名：参多砍日期；沙镌年月，口日 导师签名静认嗍游6 即日 一类解析函数的星形半径 1 引言 假设f ( z ) 在平面区域q 内解析，若对其中任意的不同的两点z ，z 2 q 有f ( z 。) f ( z 2 ) ，就称，在q 内是单叶的或共形的一个平面单连通区域如 果边界点多于两个点，则一定能通过一个解析函数保形映到单位圆内这 就是r i e m a n n 映射存在性定理这一定理的出现标志着复变函数几何理 论的诞生1 9 0 4 年h u r w i t z 就开始研究单叶函数( 即共形映射) ，但其研究 没有明确限定在单叶函数而在1 9 0 7 年k o e b e 就对单叶函数发现了k o e b e 偏差定理，其后1 9 1 6 年又有b i e b e r b a c h 猜测的提出，这些使得单叶函数的 研究逢勃发展百年研究的文献浩如姻海，其主要成果在g m g o l u z i n 1 ， p l d u r e n 2 ，c h p o m r e n k e 3 ，w k h a y m a n 4 ，刘书琴【5 】 龚升【6 】 胡克【7 】 等的专著中得到体现在这一理论的发展中，星形函数是一个重要的特 殊的函数，它具有好的分析性质和几何性质，单叶函数的有关问题的研 究往往是从星形函数开始，其方法和思想对一般又给予启示 一个解析函数，被称为是星形的( 或星形单叶的) 【2 ，p 4 0 ，如果，在区 域g 内是一对一的且它的像f ( g ) 关于原点是星形的，也就是说对任意的 伽，( g ) ，连接叫与原点叫= 0 的线段全在f ( g ) 内关于星形函数的研究 d j h a l l e n b e c k 和t h m a c g r e g o r 合写的专著【8 和a w g o o d m a n 的专著 【9 】介绍了丰富的研究成果 设f ( z ) = z + a 2 2 2 + 1 3 2 3 + 在d = 1 ) 内解析且当0 1 时f ( z ) 0 这样的假设就有z f 7 ( z ) f ( z ) 在d 内解析由【2 ，p 4 2 】知这样 的函数在 r 内星形当且仅当对所有的0 0 ， 0 ；( i i ) f 在 h r 内星形单叶；( i i i ) 若r + o ，在l z l 尺+ e 内不是星形的 关于星形半径研究也有许多方面例如：考虑开始多项式的星形半 径，叶森树证明【1 0 】；设，( z ) = 2 + 墨。a p n + l p ) z 咐1 在d 内单叶解析，。 则开始多项式 。 昂n ( z ) = z + o 州o ) z 州 在i z l ( i 南) ；内是星形的这方面的研究还有 1 1 1 3 还例如：文献【1 4 】 考虑了函数族 ： j 剐卸引三0 0 州，错咧邶) z ed ， 其中 砌曲= l + ) a n z k n , p q ) 文献 2 7 】考虑了咒( q ) 的星形半径问题令人遗憾的是，【2 7 】的结论是不 明确的，不能把握的令 “q ，仇) = ( 煎塑蛀专与等坐业竺) 去； ( 1 1 ) 以q ，m ，= ( 蔫舞揣) 去 2 ， 文献 27 】得到名( 口) 的星形半径为 r = 雠r 2 ( a 舞m 三竺1 ： m 3 ， i ， ) ，q o q ， 、 其中的伽是方程 坐譬1 型塑：( 型蒜竽) 2(14)r2m 1 一= - 一- i - 4 i 一 、l + r m r 7 一类解析函数的星形半径 的唯一解显然c t o = a o ( r ，m ) 是一个依赖于r ，m 的数，并不是一个绝对 常数当t 还没有确定时就假设0 qsq o ( r ) 来给出r 的表达式，这是 不明确的，无法界定的【2 7 】还宣称极值函数是： ，( z ) = z 1 一( 1 2 a ) z 仇 1 + z m 0 q 锄， ：名1 - 1 2 a = c o 孬s0 忑z n 历- 耳( 1 - j 2 f c t ) z 一2 m ，伽q 1 = z 一 ，y n 1 。 l 一2 c o s 曰z m + 孑2 m 一”一 上述相同问题也在这里出现同时【2 7 】并没有严格证明极值函数达到这 个星形半径r 本文就是试图重新证明这些【2 7 】结论，给出一个明晰的结果，消除 逻辑混乱假设d = z ：h q n = l t e s t 显然2 m ( a ) 是咒( n ) 的子集本文仅考虑这个子类矗( q ) 在单位圆盘d 内的星形半径问题，即对所有的f 矗( a ) ，找一公共的嚅( 口) ( 0 ，1 ) 满 足f ( z ) 映 z ：h 嚅( a ) ) 成为星形域，而且嚅( a ) 不能再扩大，即给出 相关极值函数文献【2 8 2 9 】研究了矗( ) 的星形半径问题，且给出了相 关极值函数，这也是 2 s - 2 9 1 结果的推广 本文引进了在单位圆盘d 内解析函数类： ( 1 2 a ) ：d ( z ) ：p ( 2 ) ：1 + 壹a n 且p ( z ) 吡1i 啡ii r ) 满足： ( 1 ) 如果m 煎篙学：删 彤训q ) = v ( ( 1 + m ) a - m ) 271-2a+(1+m)。e-m-2-a ” ， 一 ( 2 ) 如果m 蒜( 丁而+ 瓜丽) 2 删 彤洲= 砺2 v m 乖c y ( 1 - 可a ) - 而( m - 而1 ) ( 两1 - a ) 产 其中r = 舌和 1 石再f 再万笺厅雨( 0 7 1 ) 注1 定理3 2 1 是否对所有m 都已讨论? 这需要证明：当m 。是整数时， 是否有m l 一1 仇2 m l ；当仇l 不是整数时，是否有【m l 】 m 2 【仇1 】+ 1 这是我们一个尚待解决的问题 定理3 3 1 设，磊( q ) 且丢 q 0 ，i z l r ) 满足： 4 一类解析函数的星形半径 ( 1 ) 如果仇坐舞啬半：一，则 彤r ( q ) = ! 二= _ 坚1 2 1 生二j 复曼 三 竺竺业) “； ( 2 ) 如果m 丽1 - - k ( 丁雁+ 肛丽) 2 ：，则 彤芝嚅( q ) = 2 、，m a ( 1 - a ) - ( m - 1 ) ( i - a ) 一( 其中r = 、蒿和 七。= 1 + 2 熹c o s ( 2 j ：一百1 盯c t a n 志) 注2 和定理3 2 1 一样，定理3 3 1 是否对所有m 都已讨论? 还需要证 明：当m 3 是整数时，是否有m 3 1 m 4 m 3 ；当m 3 不是整数时，是否 有【m 3 】 m 4 【仇3 】+ 1 这是我们有待证明的问题， 定理3 4 1 在定理3 2 1 中当m m l 时和在定理3 3 1 中当m m 3 时， 得到的星形半径是精确的，即存在函数 胁一爿等娑矗( 口) 使得r ( f o ) = 嚅( q ) 注3 而对于定理3 4 1 的其余情况，即定理3 2 1 中当仇 仇2 时和定理 3 3 1 中当m m 4 时，所得到的星形半径嚅( q ) 是否是精确，还有待进一 步研究 5 硕士学位论文 2 主要引理 2 1 星形函数和相联系的函数类的定义 一个解析函数，称为是星形单叶的如果，在区域g 内是一对一的且 它的像( g ) 关于原点是星形的，也就是说对任意的w ，( g ) ，连接叫与 原点彬= 0 的线段全在f ( o ) 内 设( z ) = z + a 2 2 2 + a 3 2 3 + 在d = i z l 1 ) 内解析且当0 1 2 1 1 时( z ) 0 这样的假设就有z 7 ( z ) l f ( z ) 在d 内解析由【2 ，p 4 2 】知这样 的函数在1 2 r 内星形单叶当且仅当对所有的0 0 i i 水r 为函数f 的星形半径显然有：( i ) 因为，( 0 ) = 1 ，所以r 0 ；( i i ) f 在 r 内星形单叶；( i i i ) 若形 0 ，f 在 r + e 内不是星形单叶的 由调和函数的最小值原理【2 ，p 1 7 ，我们知道r ( o ，彤1 当且仅当 船鼬搿= 船r e 错 因此对任意的r ( 0 ，r 】，f 在h r 内星形单叶 定义：设，( z ) 和g ( z ) 在单位圆盘d = 化i 1 ) 内解析，如果存在一 个d 内的解析函数妒( z ) ( 不必单叶) ，满足妒( o ) = 0 且i 妒( z ) l 1 ，使得： f ( z ) = 9 ( 妒( z ) ) ，则称厂( z ) 从属于9 ( z ) 。记作： ，( z ) 口( z ) 6 一类解析函数的星形半径 s c h w a r z 引理如果函数，( z ) 在单位圆盘d = 名：h 1 ) 内解析，并且 满足条件，( o ) = 0 ，l ，( z ) i 1 ( z d ) ，则在单位圆d 内恒有 l 八z ) i ， 且有 i ，( 0 ) l 1 如果上式等号成立，或在圆d 内一点匈0 处前一式等号成立，当且仅 当，( z ) = e i a z ( z d ) ，其中q 为一实常数 s c h w a r z p i c k 定理 3 0 】f ：d _ d 解析，则对d 内任意两点z l ，勿，有 l糕1f ( z 1 ) f ( z 2i 蹴1 ， l 一 ) i 。i 一而勿i 和 坦趔 a ) ； 和 ( 1 2 q ) = p ： p ( z ) = 1 + 霎z 册在。内解析且p ( z ) 。，川 q 因为九( z ) ( 1 一( 1 2 q ) z ) ( 1 + z ) ，由s c h w a r z 引理 3 0 】知，存在解析函数妒：d d 使得i 妒( z ) l 且 ，= 号筠掣 设妒( z ) = 掣，则妒在d 内解析且l i p ( 圳1 ，所以 他) = 号警粉产名口 引理2 2 2 若p ( z ) ( 1 20 f ) ，则i p ( z ) 一口i d ， 1 ，其中 口= 等崭些，d = 芈等归亡啊互 扛寺带。 证明 由引理2 2 1 知p ( z ) = 生毛与并 ( 妒( z ) 解析且m 圳1 ) 可得 少比m ) _ 耩， 令 ( z ) = z 妒( z ) ，则，l ( z ) 满足s c h w a r z 引理条件，所以 i ( z ) isl z l 即得i ( z m ) i i z m l ， 因此 l ；赫i i z i ”丑p1 1 - p ( z ) i 1 2 m i i p ( 2 ) + 1 - 2 a 又令p ( z ) = 缸+ 地得( 1 1 1 ) 2 + 2 i z l 2 m ( ( t + 1 2 口) 2 + u 2 ) ，化简后用 p ：t 十v i 表示，我们有 m ( z ) 1 2 ( 1 一i z l 2 m ) 一r e p ( z ) ( 2 + 2 1 2 1 2 m ( 1 2 q ) ) i z l 2 m ( 1 2 q ) 2 1 8 一类解析函数的星形半径 配万成为卜式 m 圳2 一毗) 坐掣+ ( 等罂掣) 2 唑黾掣+ ( 等馨掣) 2 厂2 ( 1 一a ) i z l l 2 = i 一- 1 一吲2 m 所以 一等写掣i 芈筹口 引理2 2 3 若p ( z ) ( 1 2 a ) ，则对 1 我们有 r e 箸高 一些p ( z ) 、地 一盥嗜1 并2 坐m ) l p c z 扣) 巡) ( 2 2 1 ) ( 一i j p 一叫 证明 先令加( z ) = 严妒( 严) ，则p ( 孑) = l 毛掣通过简单计算我们 得到 梨：而i 黑兽 ( 2 2 2 ) 一= 。! 。- _ _ _ _ _ _ _ - _ = ? 。_ _ - _ _ _ - _ _ _ _ - _ _ _ _ - 。_ - - - 。一 7 ，- p ( z )( 1 + 叫( z ) ) ( 1 一( 1 2 n ) ( z ) ) 。 p “ 由s c h w a r z p i c k 3 0 定理可得 似) i 掣铲 ( 2 2 3 ) 因为伽( z ) = 少妒( ) ，所以名叫铴) = m z m 妒( z 仇) + m z 2 m ( 扩) ，由( 2 2 3 ) 式得 i z w ( z ) 一m z m 妒( 彳“) i = l m z 2 m 妒( z m ) l m i z l 2 m 样 ( 2 2 4 ) 在( 2 2 4 ) 式两边同时除以i ( 1 + 叫( z ) ) ( 1 一( 1 2 a ) 叫( z ) ) i 得 i z 叫( z ) 一m z m 妒( z m )i l ( 1 + 叫( z ) ) ( 1 一( 1 2 q ) 叫( z ) ) i 州m 酮莉番淼箐隔 = 仇l z l 2 m 矿评弧寿面紊可j 而酾， ( 2 2 5 ) 硕士学位论文 将叫( z ) = 瓦耥代入( 2 2 5 ) 式得 i z w ( z ) 一仇z m 妒( z m ) i i ( 1 + 叫( z ) ) ( 1 一( 1 2 q ) 叫( z ) ) i m 而而器擦 ：仇型竺唑2 ! 二! 竺! ! 二! ! 二型 4 ( 1 一q ) 2 ( 1 一l z 2 m ) l p ( z ) i 所以 & 耳厕斧 仇 & 万砑芒 i z l 2 m i p ( z ) + 1 2 q 1 2 一1 1 一v ( z ) 1 2 1 4 ( 1 一n ) 2 ( 1 一l z 2 m ) i p ( z ) i j = 一群 r e ( 出) 锗) 地 i z l 2 ”i p ( 2 ) - t - 1 2 乜1 2 一1 1 一p ( z ) 1 21 ( 1 一l z 2 m ) l p ( z ) i j 综合( 2 2 2 ) 和( 2 2 6 ) 式得 r e 箸高 弛( 比) 一旨) 也 i z l 2 m i p ( z ) 4 - 1 2 a 1 2 一1 1 一p ( z ) 1 2 1n ( 1 一i z l 2 m ) i p ( z ) i j 一 2 3 主要引理及证明 ( 2 2 6 ) 引理2 3 1 方程( 1 2 a ) x 3 3 ( 1 2 a ) x 2 + 3 x 一1 = 0 在( 0 ，1 ) 内有唯一实 根知，而且 ( 1 2 1 1 ) x 3 3 ( 1 2 a ) z 2 + 3 x 一1 0 ，0 z 0 ，x o z 1 1 0 一类解析函数的星形半径 证明因为 ，7 ( z ) = 3 ( 1 2 a ) x 2 6 ( 1 2 a ) x + 3 = 3 ( 1 2 q ) ( z 一1 ) 2 + 6 a ， 所以当0 q 时，m i n o 0 ，当； o l 0 因此对o l ( 0 ，1 ) ，总有f ( x ) 在( 0 ，1 ) 内严 格单调增加又因为 f ( o ) = - 1 0 ， 由零点定理可知，( z ) 在( 0 ，1 ) 内至少有一实根x o ，又因为f ( x ) 在( 0 ，1 ) 内 严格单调增加，所以函数，( z ) 在( 0 ，1 ) 内只有唯一实根x o ，且当0 z x o 时，有厂( z ) 0 ；当z o 0 口 弓l 理2 3 2 方程，( ，) = ( 1 2 a ) r 3 ”一3 ( 1 2 a ) r 2 m + 3 r m 一1 = 0 在( 0 ，1 ) 内 有唯一实根r o ，而且满足当r ( 0 ，r o ) 时，( r ) 0 r 0 的具体表示式是： 一 ( i ) 当q = 吉时，r o = ( 去) 击； ( i i ) 当0 q 鬲； ( i i i ) 当互1 口 0 时以 0 ，当名 0 时以= h m i ( i i ) 当0 q 时，由于= 孟每0 ，我们有 因此 2 0 r 2 l2 一而+ 2 口 z 22 一而一 瓶= 瓶= = 而2 a ( 一1 + 万杀) ； = i - 一2 二a “( + 万杀) 焉辱 歪尚 fv“v 一类解析函数的星形半径 因此方程( 2 3 2 ) 的三个根为 y l2 y 22 u 弱= u 2 一u 2 一u 因为珈，钠是复根，所以可是方程( 2 3 2 ) 在( 一1 ，0 ) 内的唯一实根因此 r o = ( z 1 ) 击= ( y l + 1 ) 击得 因此 r o 2 t 一压( 跨一i 1 1 ) 击 ( i i i ) 当三 口 1 时，由于= 阿4 a 2 o ，我们有 一2 a 2 12 而+ 一2 a 勿2 而一 z 22z i2 = 矗( 1 一南) e 一， p = a r c t a n 令u = e 2 = i 3 ，则( 2 3 2 ) 的三个根可以表示成为 3 l = 瓶+ 沥；抛= u 沥+ u 2 沥；y 3 = u 2 沥+ u 瓶 将( 2 3 3 ) 的结果代入得 可l 2 耽2 蜘= ( e 警+ e - 警) = 2 以 ( e i ( 警+ 口+ 一( 譬一9 ) = 2 以 ( e ( 警+ 口+ e ( 譬一9 ) = 2 以 臼 c o si ； j c o s ( 等卅 ( 2 3 3 ) 一c号一一一勉一一她一一 硕士学位论文 这其中有且只有一个在( 一1 ，0 ) 现在我们呆找这个根注恿到 叭沪未 0 ，因此排除而显然 珈 船2 讵 熹c o s ( 了2 r 一否7 1 ) - 0 由于已经知道在这三个根中有且只有一个根在( 一1 ，o ) ，我们必须有y 。 一1 y 3 0 所以这个根只能是 蜘= 2 矗c 。s ( 百2 7 r 一百0 ) ，0 = a r c t a n 南 所以得 吲瑚_ 川肛( + 2 压c o s ( 百2 r 一扩口 引理2 3 3 对任意给定的q 【0 ，1 ) ，设伯由7 1 理2 3 2 给出，则 ( i ) 当r ( 0 ，r o ) 时，有q n b 2 其中n = 崔等娑，6 = 爿等掣 证明将a ，b 代入不等式q 口b 2 得 q 崔等# ( 号等竽) 2 q 寸i 产s 【寸石：；产) _ 上式等价于 a ( 1 + ( 1 2 c ) r 2 ) ( 1 + r m ) ( 1 一( 1 2 a ) r m ) 2 ( 1 7 “) ( 2 3 5 ) 整理( 2 3 5 ) 式，并注意到n 【0 ，1 ) ，我们有 f ( r ) ：= ( 1 2 a ) r 3 m 一3 ( 1 2 a ) r 2 + 3 r m 一1 0 1 4 一类解析函数的星形半径 因此q o 0 由弓i 理2 3 2 ，f ( r o ) = 0 ，且当z ( o ，r o ) 时f ( x ) 0 因此 ( i ) 当r ( 0 ，r o ) 时，有口口 b 2 口 引理2 3 4 若p ( z ) ( 1 2 0 ) ，则p ( z ) 满足不等式 r 一2 m ( 1 一q ) l z i ” 群 受夔 l 1 一d 其中a = ( 1 + ( 1 2 0 ) i z l 2 m ) ( 1 一l z l 2 m ) 一1 r o d 对0 0 即可，令，( z ) = ( 1 2 q ) z 2 2 ( 1 一q ) z + 1 ，则，( z ) = 2 ( i 一2 a ) z 一2 ( 1 一o ) ，而 当0 z d 设p ( z ) = o + u + i v ，i p ( 2 ) i = p ，则由弓i 理2 2 3 得 r e z 北f ( z ，) 高 a + u - - 学嘞 f z l 2 ( 矿+ 2 ( i 一2 a ) ( o + 也) + ( 1 2 q ) 2 ) 一( 1 2 ( a + t ) + 矿) 1 一可习阡而一， 1 5 硕士学位论文 而 l z l 2 仇( p 2 + 2 ( 1 2 q ) ( 口+ t ) + ( 1 2 q ) 2 ) 一( i 一2 ( 凸+ 缸) + p 2 ) 一j d 2 ( 1 2 1 2 m 一1 ) + 2 ( a + t ) ( 1 + ( i 一2 q ) i z l 2 m ) + ( 1 2 q ) 2 l z l 2 m 一1 = - _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ 二- _ - - _ _ 二_ _ - _ _ _ - _ _ _ 二_ _ 二_ 二_ - _ _ _ - _ _ 一 ( i l z l 2 m ) p = 丢( 一矿+ 2 ( 。+ u ) 三半+ 鱼二二掣) ， 由口= 生墨警的定义， 上式 = 昙- p 2 + 2 a ( ，+ 号端p ) = 言( 一矿+ 2 。( n + 牡) + 二量l 二三竺2 = 止三 三与兰苫i 詈竺盟) = 昙( 一矿+ 2 。( 口+ u ) + 垦堑! 二! 型型二若三 譬谆嘉掣) 再由n 和d 的定义，上式 所以 = 刍( 一( a 2 + 2 a u + u 2 + v ) + 2 n ( 口+ 让) + 舻- a 2 ) c f 2 一t | 2 一口2 = 一， p 舶箸两m a a rl s - 半一些# 地) 全南 q ( 让，t ，) 嘞) 其中帅) = a + u - 半一些# ( 2 3 6 ) 现在我们来求q ( u ，可) 的最小值： a q 一2 v ( 1 2 q ) ( n + 1 1 , ) i2 v p + 口( 铲一札2 一t 7 2 ) j d 一1 下2 一十彳二一 矾 矿l萨 2 暑 2 ( 1 2 q ) ( n + t ) + 2 矿+ ( d 2 一矿一u 2 ) 力， 1 6 一类解析函数的星形半径 由口 d ，口+ u 0 可得d 2 一t 2 7 2 0 ，因此有 2 ( 1 2 q ) ( q + u ) + 2 p 3 + ( d 2 一u 2 一v 2 ) p 2 ( 1 _ 2 口) ( n + t ) + 2 p 3 2 ( ( 1 2 口) ( n + u ) + ( a + u ) ( n d ) 2 ) = 2 ( ) ( 1 - 2 c r - i - 与帮) = 4 ( 。川堕等铲 。 所以磐与 同号，因此在i p ( z ) 一- i d 内q ( u ，t ，) 的最小值在钐= 0 处取 得，此时p = 口+ t l ，将t ，= 0 代入( 0 0 1 ) 式得 q ( - ，0 ) = n + 让一 ( 1 2 q ) ( 口+ t ) d z 一札2 = p 一字一丢( ( 芈帮) 2 咄叫2 ) = 2 删口一皋鬻+ 1 - 2 c t - a 2 ) = 2 p 一2 q 一丢 史二= _ 墼堕k 竺二 警尝彳豸罢号 垒匕世一口2 ) 口ll 上一i z l m “j j = 2 p 一2 。一昙 堑l 上g 一= 塑君型；娶哥掣一。2 ) = 2 p 一2 n 一吕 生带一三兰 铲) = 2 坤。+ 款等) 这里口一d p 口+ d ，而h ) = 2 一( 2 0 q ) ( 矿) ，令h b ) = 0 得极值点 p o = 以石，故h ( p ) 的极小值在p o = 面处取得，即 s ( p o ) = 4 瓜一2 a ( 2 3 7 ) 容易看出p o 口+ d ，但j d 0 不总是大于 n 一崔错娑：函， 1 7 口2一 丝p + 力印肌 = 垒 硕士学位论文 当p o b 时，h ( p ) 的极小值在b 处取得，且 础) = 2 ( 。_ d ) + 兰砌， ( 2 3 8 ) 因此 ( i ) 当0 r o 时，由( 2 3 8 ) 式得 n 箸南( 2 ( 川) + 而2 a o l - 2 a - 2 a ) 2 丽m 【而2 a o r - 2 d - 2 a ) = 南( 2 q 等筛些禹拦赫一4 与辫嘞) 一 - 2 t o o q ) i z l m ( 1 + l z l “) ( 1 一( 1 2 q ) i z l ”) ( i i ) 当r o 1 时，由( 2 3 7 ) 式得 鼬搿耦( 4 何- 2 a - 2 a ) = 掣 其中r o 由引理2 3 2 给出 口 例子2 3 5 刖= 爿芝警砌地) 且 r e i z l c x ( i z l ) 2 2 m f l 一q ) l z l m (1+孥(同1-。(i-2a-m( 肿) 以一讧) 2 1 一a 其中n = ( 1 + ( 1 2 a ) l z l 2 仇) ( 1 一l z l 2 m ) 一1 注这个例子表明当0 r o 时，引理2 3 4 的下界由p l ( z ) 在名= l z 处达到，因此当0 q ，h 1 ，因此 p l ( z ) ( 1 2 a ) 容易验证 z 斫( z ) p l ( z ) 一2 r n ( 1 一o ) z 仇 ( 1 + z m ) ( 1 一( 1 2 a ) z m ) 1 8 一类解析函数的星形半径 因此 鼬黜=p l l l z l j - 2 m ( 1 一q ) ” ( 1 - i - l z l m ) c 1 一( 1 2 0 r ) l z l m ) 川 1 而引理2 3 4 给出 re鬻掣，ro 型趔，咱 0 ， r ) 满足： ( 1 ) 当m 4 时， 彤嚅( 三) = 击) 击； ( 2 ) 当1 m 3 时， 彤嚅( 三) _ 2 v - 而- m - kr 1 产 证明设，( z ) 矗( ；) ，则存在p ( z ) ( o ) 使得 错1 f ( z掣一= = - 一)p ( z ) 由引理2 3 4 得，当0 1 - 品 ( 3 u ) 现在，我们令( 3 1 1 ) 的右边0 来求出落在( 0 ，r o 内的最大t - 并注意到 其右边第二项是关于，- 的单调函数，所以只需令右边等于零解出r 且满 足r ( o ，r o 】即可容易得到 为了满足r ( o ，r o ，必需且仅需m 4 因此当m 4 时 吲三) = ( 击) 击 2 0 一类解析函数的星形半径 为了得到i m 3 的星形半径，考虑当i 0 = ( ) 击 r = 1 时引理 2 3 4 的不等式 & 搿1 2 m ( 以一砺1 ) 2 口= 南 ( 3 1 2 ) 同上理由，令( 3 i 2 ) 的右边等于零解出r 且满足r ( 7 0 ，1 ) 即可易解得 f ：f r m 、：, 2 j - 示i、磊12vm-m+i r = ， ( m ) = 、2 v 佩+ m + 1 ) 磊， t “r t - t ，。r - 工 容易验证( i i ，- - m * = 咱( ) 7 ( m ) 的充要条件是m = 1 ，2 ，3 因此 = r ( m ) - ( 矧) 击 即蜘所隶口 3 2 0 q 0 l z l r 满足： ( 1 ) 如果仇煎葛学：一，则 彤嚅( q ) = ( ( 1 + r n ) a - m ) 2 + 1 - 2 a + ( 1 + m ) a - m 击 ( 2 ) 如果仇 祷( 丁历+ 肛i 丽”一，则 彤洲= 2 v m e ( 、1 - a ) - ( m - 1 卅) ( i - 。0 0 ，产 其中r = 蒿和 = 1 一面习i 鬲紧习盂i 而( 0 01v1-2a ) 七1 = 一了：! 圣兰l ；：一f ，) 1 影石+ 影l q 十+ y 1 一口一、t 磊 、 硕士学位论文 证明设f ( z ) 磊( q ) ，则存在p ( z ) ( 1 2 a ) 便得 错搿 2 由弓i 理2 3 4 得，当0 r ：i z l 咱：七f 1 时 舭错小雨嚣高， ( 3 - 2 2 ) 令( 3 2 2 ) 式的右边等于零，通过简单的计算化为： ( 1 2 a ) r 2 m 一2 ( ( 1 + m ) q m ) r m 一1 = 0 ，r ( o ，t 0 】 ( 3 2 3 ) 由方程( 3 2 3 ) 解得t r = v ( ( 1 j rm ) a - ，n ) 2q - 1 - 2 aj r ( 1j rm ) o z - m 去( 3 2 4 ) 注意到( 1 + m ) 0 f m ( 1 - 4 - m ) 2 一m 0 ，因此根式前取“+ 号和上一 定理一样，同时需要满足0 孟：h 去，即： 。 v ( ( 1 + m ) a - r n ) 2 + i - 2 a + ( 1 + m ) 口- m 击睦 化简整理可得 2 k l ( 1 一口) ( 2 q 1 ) m 【七1 ( 1 2 口) 一q 】2 一( q 一1 ) 2 因此 m 地高嵩掣： 这样便得到，当m m 。时的星形半径是嚅( 乜) = r 由( 3 2 4 ) 给出 为了寻找剩余情形( 1 m m ) 的星形半径，我们考虑当r o r = 1 时的有关估计由引理2 3 4 和( 3 2 1 ) 式有 r e 错1 一击( 面一耐 ( 3 2 5 ) 一类解析函数的星形半径 令( 3 2 5 ) 的右边等于零，即化为： 【2 、石历孑啊+ ( m + 1 ) ( 1 一q ) ) r 2 m = 2 v m a ( 1 - c 1 ) 一( m 一1 ) ( 1 一o ) ) l 3 2 m ) 求方程( 3 2 6 ) 在( 1 ) 内的解，容易得到 蔫幕揣r 2 n 5 1 苟萧萨酉可再而， p _ 一 同时需要满足h 鬲1 r l 1 ，即： 小 2 。v v 器m a ( 1 - 0 0 - ( m - 1 ) ( 1 - o 五) ) 击“ 化简得 砰 麓黼“ 第二个不等式“ 1 ”是显然的，下面验证第一个不等式，从而求出合适 的m 令丁= 赝，于是可得 m ( 坐盟巫裂乒婴) 2 = 品( 丁而+ 厅丽) 2 汶样便得蛰i 当m m 。时的星形半径是r ：1 ( a ) ：n 由( 3 2 7 ) 给出 口 注1 这个定理是否对所有m 都已讨论? 还需要进一步证明：当m l 是 整数时，是否有仇。一1 m ：m l ；当m 。不是整数时，是否有【m l 】 仇。 【m 。】+ 1 这是我们一个尚待解决的问题 3 3 q 1 的情形 2 3 硕士学位论文 定理3 3 1 设，靠( 口) 且三 口 0 ，i z l ，) 满足： ( 1 ) 如果m 坐蒜啬逖：= 1 1 3 7 则 兄噱c q ) = ! 二! l 三! 兰竺- = = - 皇乏妻 兰 兰竺业) ”； ( 2 ) 如果m 0 ( 后面将证明) 和r 1 与上一定理证明一样，同时需要满足 0 丽 0 这样使得刽，当仇m 3 时的星彤半砼是嚅( q ) = f 由( 3 3 1 ) 给出 为了寻找剩余情形( 1 仇 m 3 ) 的星形半径，由方程( 3 2 6 ) 解得 ” 蔫释糍r 慨3 同时要求去 r 1 1 ，即 七z 去 2 v m a ( 1 - a ) - ( m - 1 ) ( 1 - a ) 1 击 1 同定理3 2 1 中( 2 ) 的方法可得 m ( 型啦罴耍翌) 2 = 祷( 丁雁+ 厄丽) 2 这样便得到，当m f 1 2 4 时的星形半径是r 二