（基础数学专业论文）左对称代数上的rotabaxter算子.pdf

摘要 摘要 r o t a b a x t e r 算子首先被用来解决某些解析与组合问题然后被应用到数学与 数学物理领域。这篇论文我们开始研究左对称代数上权为o 的r o t a - b a x t e r 算子， 这样的算子形式满足左对称代数上邻接李代数的经典1 9 _ b a x t e r 方程。这篇论 文我们给出r 。七a _ b a x t e r 算子的某些构造方法，研究左对称代数上的可逆r 砒a b a x t e r 算子，还给出所有2 维复左对称代数上的r o t a _ b a 妯e r 算子以及某些高维上 的例子。 这篇论文的组织结构是这样的：第一部分简单介绍r o t a b a x t e r 算子的历史： 第二部分给出r o t a b “t e r 算子与左对称代数的一些基本结果。第三部分提出了 构造左对称代数上r o t a - b a x t e r 算子的某些方法。第四部分研究左对称代数上的 可逆导子。第五部分给出低维复左对称代数上r o t a - b a x t e r 算子的具体形式。 关键词：r o t a b a x t e r 算子；左对称代数；李代数：导子 a b s t r a c t r o t a b a x t e ro p e r a t o r so rr e l a t i o l l sw e r ei n t r o d u c e dt os o l v ec e r t a i na n a l y t i c a n dc o m b i n a t o r i a lp r o b l e m sa n dt h e na p p h e dt om a n j 6 e l d si nm a t h e m a t i c sa n d m a t h e m a t i c a lp h y s i c si nt h i sp a p e r w ec o m m e n c et os t u d yt h er o t a - b a x t e r o p e r 乱o r so fw e i g h tz e r oo nl e f t s y m m e t r i ca l g e l ) r a s s u c ho p e r a t o r ss a t i s f y ( t h e o p e r a t o rf o r mo f ) t h ec l a s s i c a ly a n g b a x t e re q u a t i o no nt h es u b - a d j a c e n tl i e a l g e b r a so ft h el e f t s ) 咖m e t r i ca l g e b r a s w en o to n l y g i v es o m ei n t e r e s t i n gc o n s t r u c t i o no fr o t a - b a x t e ro p e r a t o r s b u ta l s os “l d yt h ei n v e r “b l er o t a - b a x t e r o p e r a t o r so n1 e 托一s y m m e 打i ca l g e b r a s f u r t h e l l n o r e ，w eg i v ea ur o t a b a x t e ro p - e r a t o r so n2 一d i m e n s i o n a lc o m p k xi e 托一s y m m e t r i ca l g e b r a sa n d s o m ee x a m p l e si n h i g h e rd i m e n s i o n s t h ep a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o 、s i ns e c t j o n1 ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r yo f r o t a - b a x t e ro p e r a t o r s 1 1 1s e c t i o n2 w eg i v es 0 1 n ef u n d a ，n l e n t a lr e s u l t so nb o t h r o t a b a x t e rr e l a t i o n sa n dl e f t s ) m m e tr i c 出g e b r a si ns e c t i o n3 ，w ep r o v i d es o m e a p p r o a c hf o rc o n s t r u c t i n gr ，o t 廿b a x t e ro p e r a t o r so nc e r t a i nl e f c s y m m e t r i ca l g e b r a s i ns e c t i o n4 】w es t u d yt h ei 、r e r t i b l er o t a b a x t e ro p e r a t o r so nl e f c s y m m e t r i c a l g e b r a s i ns e c t i o n5 ：w eg i v er o t a b a x t e ro p e r a t o r so nl o w d i m e n s i o n a lc o m p l e x l e r s y m m e t r i ca l g e b r a s k e y w o r d s ：r o t a - b a x t e ro p e r a t o r ；l e f t s ) 咖m e t r i ca l g e b r a l i ea l g e b r a ；d e r i v a _ t i o n u 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本：学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务：学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印什和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：存毳他 b 。6 年岁月日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下 内部5 年( 晟民5 年，町少于5 年) 秘密1 0 年( 最长1 0 年可少于l o 年) 机密2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：苍秀丁匆 2 ，口口6 年，月瑚日 s 1 i n t r o d u c t i o n 1 i n t r o d u c t i o n r o t a b a x t e ro p e r a t o ro ri t sc o r r e s p o n d i gr o t a - b c t e rr e l a t i o nw a si n t r o _ d u c e d1 玎gb a x t e rt os o l v ea na n a l ) r t i cp r o b l e m ( b a x ) l a t e ri tw a si n t e n s i v e l y s t u d i e di nm a n y 矗e l d si nm a t h e m a t i c s ( 【a t c a ， g k ， m 玑【r 1 4 】) i np a r t i c u l a r ， g cr o t a ( 【r 1 3 ) s h o w e di t si m p o r t a n c ei nc o m b i n a t o r s i nf a c t ：r o t a b a x t e r r e l a t i o nm a yb er e g a r d e da so n ep o s s i b l eg e n e r a l i z a t i o no ft h es t a n d a r ds h u f h e r e l a t j o n ( 【gk r 1 ) t h er o t a _ b a x t e rr e l a t i o ni sa l s oc l o s e l yr e l a t e dt om a n yt o p i c si nm a t h e m a t i c a lp 1 1 y s i c s f o re x a m p l e ，t h er o t a _ b a x t e ro p e r a t o ro na na s s o c i a t i v ea l g e b r a s a t i s 丘e st h ef a m o u s ( 。p e r a t o rf o r mo f ) c l a s s i c a l1 r a n g b a 吼e re q u a t i o no nt h el i e a l g e b r aw h i c hi st h ec o m m u t a t o ro ft h ea s s o c i a t i 、r ea l g e b r a ( a 翻， e 1 一e 2 ) t h u sj t p l a ，r sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h ei n t e g r a b l es y s t e m s ( b d ， s 】) r e c e n t l 弘r o t a _ b a x t e r r e l a t i o nw a sf o u n dt ob e 、e r yi m p o r t a n ti nq u a m u m 矗e l dt h e o r y ( 【c k ，【e g k ) u pt on o w m o s to fs t u d yo r o t a b a x t e ro p e r a t o r sw a so n 也ea s s o c i a t i 、r e a l g e b r a s i tw a sm e n t i o n e di n e gk t h a tt 1 1 er o t a _ b a x t e ro p e r a t o ra n dr e l a t i o n c a l lb ee x t e n d e dt ob eo nt h ec a s eo f “ea l g e b r a so r1 e f c s y m m e tr i ca l g e b r a si n t h ec a s eo fl i ea l g e b r a ，w h e nt h ew e i g h t 入= 0 ，t h eb j 0 t a b a x t e rr e l a t i o ni sj u s t t h eo p e r a t o rf o r mo fc l a s s i c a l1 y ，a n g b a x t e re q u a t i o na n dw h e nt h ew e i g h ta = 1 ，i t c o r r e s p o n d st ot h eo p e r a t o rf o r mo ft h em o d 徂e dc l a s s i c a ly a n 廿b a x t e re q u a t i o n f e gk 1 ) h o w e v e r ，t h e r ew a sv e r yf e ws t u d ya b o u tt h er d t a - b a x t e rr e l a t i o no t ll e f t s y i n m e t “ca l g e b r a s l e f t s y m m e t r i ca l g e b r a s ( a l s on a m e dp r e - l i ea l g e b r a s ) a r ea c l a s so fn o n a s s o c i a t i v ea l g e b r a sw h i c h 缸s th a v eb e e ns t u d i e di nt h et h e o r yo f a 伍n em a n i f o l d s ，a 伍n es t r u c t u r e so n “eg r o u p sa n dc 。n v e xh o m o g e n e o u sc o n e s ( 【a u 】：【k 叱【m e l ，【、厂】) a n dt h e na p p e 缸e di m a n ya e i d si nm a t h e m a t i c sa n dm a t h e u l a t i c a lp 1 1 y s j c s ，s u c ha sc o m p l e xa n ds y m p l e c t i cs t r u c t u r e so nl i eg r o u p sa 1 1 d l i ea l g e b r a s ( 【a s ， c ， s h ) ，i n t e g r a b 】es y s t e m s ( b o ， s s ) ，c l a s s i c 甜a n dq u a n t u m 、r a n 争b a x t e re q u a t i o i l s ( e s ： e s s 】： g s - 【k u l 2 ) ，p o i s s o nb r a c k e t sa n di f l n i t e d i m e n s i o n a ll i ea l g e b r a s ( ( b n j g d j 【z 1 ) ，q u a n t u mf i e l dt h e o r y ( 【c k n ，o p e r a d s ( 【c l ) a n ds oo n t h e r e f o r e ，i ts h o u l db eq u i t ei n t e r e s t i n ga n dn e c e s s a i yt os t u d y t l l er o t a b a x t e ro p e r a t o r so nl e f c s ) 吼m e t r i ca l g e b r a si n d e p e n d e n t l y 1 lrl ； l-， i nt h i sp a p e r ，w ec o m m e n c et os t u d yt h er o t a _ b a x t e rr e l a t i o ni nt h e1 e f c s y m m e t r i ca l g e b r a i cv e r s i o n ，t h a ti s ，t h er o t a b a x t e ro p e r a t o r so n1 e f t s y m m e t r i c a l g e b r a s 、km a i n l yc o n s i d e rt h er o t a b a x t e ro p e r a t o r so fw e i 9 1 1 tz e r o l i k e t h ec a 5 eo fa s s o c i a “v ea l g e b r a s ，ar o t a _ b a x t e ro p e r a t o ro fw e i g h tz e r oo nal e 允一 s y m m e t r i ca l g e b r aa l s os a t i s 矗e st h ec l a s s i c a ly a n 哥b a x t e re q u a t i o no ni t ss u b a d j a c e n tl i ea l g e b r at h ep a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s i ns e c “o n2 ，w eg i v es o m e f u n d a m e n t a lr e s u l t so nb o c hr o t a - b a x t e rr e l a t i o n sa n d1 e f t s 、m m e t “ca l g e b r a s i ns e c t i o n3 jw ep r o v i d es o m ea p p r o a c hf o rc o 工1 s t r u c t i r l gr d t a _ b a x t e ro p e r a t o r s0 n c e r t a i n1 e f t s y m m e t r i ca l g e b r a si ns e c t i o n4 ，w es t u d yt h ei n v e r t i b l er o t 加b a x t e r o p e r a t o r so n1 e f 七一s y m m e t r i ca l g e b r a si ns e c t i o n5 ，w eg i v er o t a b a x t e ro p e r a t o r s o n1 0 w d i m e n s i o n a jc o m p l e x1 e f t s y m l n e t r i ca i g e b r a s t h r o u g h o u tt h i sp a p e r ，w i t h o u ts p e c i a ls a 、r i n g ，a 1 1a l g e b r a sa r eo f f i n i t e d i - m e n s i o na n do v e rt h ec 。m p l e x 丘e l dca n d ) s t a n d sal i eo ral e f t s y m m e t r i c a l g e b r aw i t hab a s i sa n dn o n z e r op r o d u c t sa te a c hs i d eo f1 2 5 2 d e 丘l l i t i o n sa n db a s i cp r o p e r t i e s 2 d e f i n i t i o n sa n db a s i cp r o p e r t i e s 2 1 i n t r o d u c t i o nt o1 e f t s y m m e t r i ca l g e b r a s d e f l n i t i o n2 1 1l e t 4b ea 、r e c t o rs p a c eo 、屯raf i l e dfw i t hab i l i n e a r p r o d u c t ( z ：可) z 4i s c a l l e dal e r s 3 m m e t r i ca l g e b r a ( o rp r e - 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b a x t e ro p e r a t o ro nai fa n do n l vi f r ( z ) 月( y ) = 冗( 兄扛) + z r ) ) ，w h i c hi se q u j 、，a i e n tt o r 一1 ( u ) = u r 一1 ( u ) + r 一1 ( u ) u w h e r eu ：r ( z ) ：u = r ( 掣) t 1 1 e r e f o r e 曲ec o n c l u s i o nf o l l o w s 口 t h e o r e m4 1 2 l e t ( a ，) b ea1 e f t s y m m e t r i ca l g e b r ai ft h e r ee 妇s t sa n j 叭，e r t j b 】ed e r j 、r a t j o nd ，t h e nf b ra r l yz 4 ，上。i sn i l p o t e n t p r o o fl e ta = o 口n 4 ab et h ed e c o m p o s i t i o no fai r l t ot h ed i r e c ts u m o ft h ew e i 曲ts u b s p a c e so fda s s o c i a t e dt ot h ew e i 曲t ，w h e r ea a = f 。 4 i ( d o z d ) m o = o ， s o m em n 1 ，2 di s 曲ei d e n t i t yt r a n s f o r m a t i o na n dn i st h es e to ft h ew e i g h t so fd 0 b 、五o u s l yf 2i saf l n