（基础数学专业论文）广义bernoullieuler多项式及其研究.pdf

河南大学硕士学位 摘要 b e r n o u l l i 多项式和e u l e r 多项式在组合数学、数论、逼近论、计算方法 等许多领域有着重要的应用本文主要分以下内容： 第一章，简要介绍广义b e r n o u l l i 多项式和广义e u l e r 多项式的定义以 及相关的知识 第二章，应用生成函数，得到若干关于广义a p o s t o l b e r n o u l l i 多项式的 对称恒等式，这些结果推广了一些已知的恒等式 第三章，利用广义退化的b e r n o u l l i 多项式以及广义阶乘求和的生成 函数，证明了两个对称恒等式，推广了一些已知的结论，并得到广义退化的 b e r n o u l l i 多项式的一个闭形式 第四章，给出广义的b e r n o u l l i 多项式风( z ；a ，b ，c ) 和广义的e u l e r 多 项式鼠( z ；a ，b ，c ) 的一些递推公式和闭形式 关键词：b e r n o u l l i 多项式，广义b e r n o u l l i 多项式，广义a p o s t o l b e r n o u l l i 多项式，广义退化的b e r n o u l l i 多项式，e u l e r 多项式，生成函数 河南大学硕士学位论文 a b s tr a c t t h eb e r n o u l l ip o l y n o m i a l sa n de u l e rp o l y n o m i a l sh a v ei m p o r t a n t 印一 p l i c a t i o n si nc o m b i n a t o r i c s ，n u m b e rt h e o r y , t h e o r yo fa p p r o x i m a t i o n ，c o m - p u t a t i o n a lm e t h o d ，a n ds oo n i nt h i sa r t i c l e ，w es t u d ym a i n l yt h ef o l l o w i n g c h a p t e r s ： i n t h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c es i m p l yd e f i n i t i o n so ft h eg e n e r a l i z a t i o n o f b e r n o u l l ip o l y n o m i a l sa n de u l e rp o l y n o m i a l s ，a n ds o m er e l a t e dk n o w l e d g e i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w eg i v es e v e r a ls y m m e t r i ci d e n t i t i e so nt h eg e n e r a l i z e da p o s t o l b e r n o u l l ip o l y n o m i a l sb ya p p l y i n gt h eg e n e r a t i n gf u n c t i o n s t h e s er e s u l t se x t e n ds o m ek n o w ni d e n t i t i e s i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ep r o v et w og e n e r a ls y m m e t r i ci d e n t i t i e si n v o l v i n g t h eg e n e r a l i z e dd e g e n e r a t eb e r n o u l hp o l y n o m i a l sa n ds u i n so fg e n e r a l i z e d f a l l i n gf a c t o r i a l sb ya p p l y i n gt h e i rg e n e r a t i n gf u n c t i o n s ，t h e s er e s u l t se x t e n d s o m ek n o w ni d e n t i t i e s ，a n dg i v ea nr e l a t i o n s h i po ft h eg e n e r a l i z e dd e g e n e r a t e b e r n o u l l ip o l y n o m i a l s i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w eg i v es o m er e c u r r e n c er e l a t i o n sa n dc l o s e df o r - m u l a so fg e n e r a l i z e db e r n o u l l ip o l y n o m i a l s 鼠( z ；a ，b ，c ) ，g e n e r a l i z e de u l e r p o l y n o m i a l se k ( z ；a ，b ，c ) k e y w o r d s ：b e r n o u l l ip o l y n o m i a l s ，t h eg e n e r a l i z e db e r n o u l l ip o l y n o m i a l s ，t h eg e n e r a h z e da p o s t o l - b e r n o u l l ip o l y n o m i a l s ，t h eg e n e r a l i z e dd e g e n e r - a t eb e r n o u l l ip o l y n o m i a l s ，e u l e rp o l y n o m i a l s ，g e n e r a t i n gf u n c t i o n i i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南大学提出硕士学位中请。本人郑重声明：所呈交酌学位论文是 本人在导师的指导下独立完成的，对所研究西勺课题有新的见解。据我所知，除 文中特别加以说明、标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包括其他人为获得任何教育、科研机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。i秀。，| ? 。_ ，：她， ，7 一 j ，“j ， 一，钆 学位申喜r 人? 学位喜二靠者，毒二：7 查药主圣蠢 学位申请人，j ( 学位论文作者) ，签名：! 2 j 三苎目 ：ji 、。i 。j t 。j 、j ：ij ? 。j _ ! 。j | ，j j 。i 。：i ：j i 一，? ，一- j ，z ；。，? ? 。i 。r ，_ j ，锄oo9 1 年多躬b 日 ，一 。” j “， ! 。i 、， ：， 量一“妻i i 藿 0 。关于学位论文著作权使用授权书。喜 。i o 沁。：。! ? 蠢蠢：；- 。? 羹l 7 7 | ， 本人经河南大学审核批准授子硕士学位。作为学位论文的作者，本人完全 了解并同意河南太学有关保留、使用学位论克的要求，即河南大学有权向国家 图书馆、科研信息机构、数据收集机构和本校图书馆等提供学位论文( 纸质文 本和电子文本) 以供公众检索、奎闳 本人授权河南大学出于宣扬、展览学校 学术发展和进行学术交流等目的竹可以采取影印、缩印、扫描和拷贝等复制手 段保存、汇编学位论文( 纸质文本和电子文本) 。 ( 涉及保密内容的学位论文在解密后适用本授权书) 学位获得者( 学位论文作者) 签名：登三圣责 2 0o 年彳月弘曰 学位论文指导教师签名： ：礁皇尘 2 0o _ 年5 a 弓0b 第一章引言 b e r n o u l l i 数是由著名数学家j a k o bb e r n o u l l i 在研究正整数幂的求和时 引入的重要数列 1 】，而e u l e r 数是由著名数学家l e o n h a r de u l e r 在研究交 错的整数幂和时发现的另一类重要的数列2 1 b e r n o u l l i 数和e u l e r 数后来 被分别推广到b e r n o u l l i 多项式和e u l e r 多项式此两类数及其多项式发展 至今，已经成为组合数学研究内容的重要组成部分，并且在数论、逼近论、计 算方法等领域有着广泛的应用，部分应用可见3 ，4 ，5 1 b e r n o u l l i 数和b e r n o u l l i 多项式分别定义为 j _ n 去= 玩磊( i t l 2 丌) ； ( 南) 扩= 壹n - - - - - 0 眦) 五t n m i 2 n 另外，e u l e r 数和e u l e r 多项式分别定义为( 6 ，p 5 3 8 ，第一章】) 而2 = 薹o o 既而t n m i 础 ( 南) 扩= 薹肺焉 ( 7 r ) 后来，b e r n o u l l i 多项式、e u l e r 多项式被分别推广到高阶b e r n o u l l i 多 项式醋( z ) 和高阶e u l e r 多项式醋( z ) ，其定义分别为 ( 击) 口扩= 薹醐五t n ( 南) a 扩= 薹o o 黜z 焉 ( 0 ，n 0 ，m 1 ，入c ，则 砉( 扩渺+ 1 黜噻 ( 妒飞m 雅a ) ( ：) 跏- 1 a ) 雅 ( b - 1 ；h ) 历( f _ i - 1 ) ( ) ( 2 1 ) i i e r f l ：令g ( t ) = t 2 m - 1 e 曲疵( a e a 6 一1 ) e 咖( 入e 耐一1 ) 仇( a e 觇一1 ) m ，注意 到夕( 亡) 关于a 和b 对称，我们用两种方法把g ( t ) 展开成级数的形式 酢，= 篙哥嘉等 o m 6 m 一1 1 o m 6 m 一1 h e a t 1、m e a b x t a e 口m 一1 、，6 亡 a e 觇一1 h e b t 一1 溪e q g ( m 惭( b x ) 竽) (；a ) 等) n = 0 。 lm - 1 ) e a b y t ( 薹咒c 。吐a ，警) ( 薹卯_ 1 ) 可( b t ) n ) a r a l b t me 薹。薹( ：) a n - k b k + l 黜峨入， i = o( ：) 跏1 入) 雄筹， 5 铷n 脚 河南大学硕士学位论文 类似的 g ( t 1 = ( z ) 一扩1 班蛔a ) 善k ( 淞戮( m - - 1 ) ( ，筹， 比较两个等式右边( 俨n ! ) 的系数即得( 2 1 ) 证毕 如果令a = 1 代人定理2 1 1 ，可得y a n g 2 2 ，e q s ( 9 ) 的下列结果 推论2 1 2 设a ，b z ，a 0 ，b 0 ，佗0 ，m l ，则 妻( n k ) a n - k b k + 班k = 塞( z ) b n - k a k + l 堪k ( 淞一峭( m - 1 ) ( 训 ( 淞6 _ 1 峭( m - 1 ) ( 叭( 2 2 ) 令y = 0 ，m = 1 ，代人定理2 1 1 中，得 推论2 1 3 设a ，b z ，a 0 ，6 0 ，礼0 ，a c ，则 骞( ：) n 扣1 扩一玩c 6 z ；入，只一a - 1 ；a ， ( 扩一孙m 陬i ( b - 1 ；a ) 在( 2 3 ) 中，当z = 0 时，得 推论2 1 4 设a ，b z ，a 0 ，b 0 ，佗0 ，入c ，则 妻k = o ( z ) 玩c a ，a k - l b n - k 只一a - 1 ；a ， ( z ) 卿) b k - l a n - k ( b - 1 ；a ) 6 ( 2 3 ) ( 2 4 ) n 脚脚 上咿 一0 竹铷 = 河南大学硕士学位论文 当( 2 4 ) 中入= 1 时，得到t u e n t e r 2 0 】关于整数幂和的多项式与 b e r n o u l l i 多项式之间的一个对称关系 壹k = o ( 扩1 矿m 。叫= 砉( z ) b k - l b k a n - k 蝴叫心 令b = 1 并代人( 2 3 ) ，得 玩( 蚴；a ) 5 。( ：) 玩( z ；入) 只一口- 1 ；叭 ( 2 6 ) 一方面，令a = 1 并代人( 2 6 ) ，得 晰垆扩1 ( ：) 脚m 如一) ， ( 2 7 ) 这也是y a n g 的一个结果 2 2 ，e q s ( 1 1 ) 】； 另一方面，令z = 0 并代人( 2 6 ) ，得到a p o s t o l - b e r n o u l l i 多项式的一个 递归关系 推论2 1 5 设入c ，佗n o ，则a p o s t o l - b e r n o u u i 数玩( 入) 满足 级( a ) = 壹i = og ) 扩1 彩( a ) 只一。一1 ；叭 ( 2 8 ) 推论2 1 6 设佗z + ，a 1 ，a c ，则 玩( a ) 2 币刁酾1善n - 1 ( 垆卿陬t ( a - 1 ；& ) ( 2 9 ) 证明：因为蜀( o 一1 ；a ) = a 七：- j ”，关系式( 2 8 ) 经过简单计算即得此 递归关系 证毕 在推论2 1 6 中令入= 1 ，得 玩= 厕1 挲, n l ( ? ) 鼠( n - 1 ) ， ( 2 1 0 ) 此递归关系( 2 1 0 ) 已在d e e b a 和r o d r i g u e z 的论文 1 9 】以及g e s s e l 的论 文 3 0 】中被分别证明 7 1 ) m + 设a 6 1 河南大学硕士学位论文 b z + ，n z ，n 0 ，入c ，m l ，则 a 件j a k b n 以砧 一一 仲 j = o a t ) _ e a t 1 a - - 1 ， ( i = 0 ( k + 知) 雄2 + ) m 产争阮( 入e 口t 一1 a e b t ) m 扣停净萎 鲫 n = o ( 6 z + 剐 砑( 。y + - 芸j ；a ) n = o ) m f ；入) ( 2 1 ) m + 1 ( 入e 沈 的形式 ”e 砒一1 ) _ e a t 1 6 1 e 咖f e a t j j 二- j j = o ) e b t 1、m e ( d 川j ) 觇 a - 1 善b - 1a扩七砧，(+石bi+jakbxi姒) = 0 a 6 加七砧( + 二姒) j = o 、 ：( n 秒+ 筹) 类似的 亡2 m e 。6 耐( a 。e 枷一1 ) ( ”e 出一1 ) e 。吼 ( 入e 毗1 ) m + 1 ( a e 耽 ：( b 。j ；入) 嘉) 8 1 ) m + 1 ( q 蚪轸) 1 ) 7 o 一，一卸_ 铷 1 乞力里，0 王 ，l 触n 脚 配 1 、l n 一 以一n ，f一 “瑚 1 一渺 1 一渺 1 一渺 、l n 一 、i，一f 沈一n ，f一 伽 加b n 脚脚 赤 = 砧 扩缈舻 “舢 铷 、 加b n 脚脚 河南大学硕士学位论文 比较两个等式右边( t n 礼) ! 的系数即得( 2 1 1 ) 在定理2 1 7 中令a = 1 ，得 推论2 1 8 设a ，b z ，a 0 ，b 0 ，n 0 ，m 1 ，则 n k = o( z ) o 一1b 一1 n 知扩“b ：仇 i = 0j = o 亿+ 皇0 a ，班：( n y + b i ) 证毕 = 妻g 、) 芝i 萎 ：m ( 口z + 石t ) b ( 幻+ 兰歹) ( 2 胞)、 = oj = o b k a n - k b a n-kk=o 、 7 在定理2 1 7 中，当y = 0 ，m = 1 时，得 推论2 1 9 设a ，b z ，a 0 ，b 0 ，n 0 ，a c ，则 n 一。伊七巩( k + ) 玩一) = 妻k = o ( z ) 芝i = o 萎j = o 卅矿矿七鼠( n z + 否a ) 级一五b m ) 在( 2 1 3 ) 中，当b = 1 时，得 胤七玩( 蚪i ) 玩一入) = 壹k = o ( z ) 萎j = o 粕m 玩c 。z ；入，玩一芝；u 把a = 1 代入( 2 1 4 ) ，得 妻k - - o ( z ) 量i = 0 。七风( z + 兰) 玩一七= 壹k = o ) 量j = o 口“鼠c n z ，玩一七 9 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 1 5 1 伽 “! l 、n 七 脚 “铷 、 仡七 n 脚 河南大学硕士学位论文 定理2 1 1 0 设a ，b z + ，n z ，n 0 ，a c ，仇1 ，则 n k = o a - 1 b - 1 ai+jak扩南砧，(k+m)雅入)i a扩南砧( k + 兰t a ) 雅蛔；入) = 0j = o 、7 6 1 口一1 + k a n - k 勿i m ( 。蚪詈i + 歹；入) 雅：( 的；a ) ( 2 1 6 ) i - - 0j = o 证明：类似定理2 1 7 的证明，但需要改变级数的求和次序，一方面 酢，= 筹斋糌斋娑 入e a t 1 ) - e a t 1 m e a b x t ( 入a e a b t 1 a e b t 1 ) m 卢争捌( 一f 入件f 1 a t a e a t 1 a e m 一1 a e b t 1 m e a b y t ( a b e o b t 1 a e a t 1 ) m 沙。霎脚巧 ) me 诤卅耐( o 一16 1 ( 义钾砑 ii = 0j = o n = o ( 壹砑) 等、) l n = o ( k a e b t 1 + 鱼a ；0 、m 弘眦 = 赤薹喜( z ) 萎萎a i + j a k b n - k 卵( p b 歹； a ，筹) ， 另一方面 ，= 警蔫警挲 a ) 赤薹砉( z ) 蒌萎a i + j b k a n - k 砧恤护a m ) ：( ) 筹) ， 1 0 ) 小砂 亿姑c ( m | 篷 示 1 一渺 1 一渺 间 “础 一m 土嘞一0 、l - 、 n 一 疵一亿 ，一 河南大学硕士学位论文 比较两个等式右边( t n n ! ) 的系数即得( 2 1 6 ) 在定理2 1 1 0 中，当a = 1 时，得 推论2 1 1 1 设a ，b z ，a 0 ，b 0 ，n 0 ，m 1 ，则 量霎扩七b。(m，(k+石bak i + j ) b 墨( m ) 6 加七。( k + ：) 。一：( n 可 i = 0j = 0 、7 6 k u _ n - - k 。d 七( m ( 。z + 詈i + j ) b c m 七) ( 的) i = 0j = o 在定理2 1 1 0 中，令y = 0 ，m = 1 时，得 推论2 1 1 2 设a ，b z ，a 0 ，b 0 ，n 0 ，a c ，则 舻磁扩七玩( k + m ) 玩一a ) 舻k a n - k 玩( n z + 詈i + j ；入) 玩一七( 入) ，2 u 在( 2 1 8 ) 中，取b = 1 时，得 把a = 1 代人( 2 1 9 ) ，得 量i舶七玩(z+石；a、)玩一a)=0 i n 一1 o m 玩a z + 歹；a ) 玩一七( a ) ， j = o 萎n ( z + 差) = i = 0 ” 1 1 证毕 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 口一1 o 知b “( o z + 歹) b k ( 2 2 0 ) j = o )叭，v 矿砂 饶一 v n 脚 住脚 伽 “铷 、 n u n 脚 铷 、， n 七 、-、 一、一、 n 七 佗七 一 竹脚 n 脚 一、， n 七 竹脚 、， 他七 n 脚 河南大学硕士学位论文 2 2 评论 对任意的实参数或者复参数q 和a ，广义a p o s t o l e u l e r 多项式铡刚( z ；入) 通过生成函数定义为【1 3 ，1 4 ，1 6 ：( 击) qe 耐= 墨。穰叫( z ，a j l 尝n ! 我们同 样可以对广义a p o s t o l - e u l e r 多项式建立类似的对称关系，但是条件要加强 到a 和b 同为偶数或者同为奇数例如，对正偶数a 和b ，或者正奇数a 和 b ，任意整数n 0 ，入c ，m 1 ，完全类似于定理2 1 1 的证明，可以在广 义a p o s t o l - e u l e r 多项式和定义1 0 3 之间建立如下关系 冬o ( ：) o 肛七b k + l 碟乏( 6 z ；入) 仁ko ( ：) 磁( o 一1 ；a ) 车u ( n 可；a ) = ；：o ( ；) 铲“n k + l 乏( 口z ；入) 警o ( ：) 兹( 6 1 ；a ) 罐了u ( 幻；a ) 1 2 第三章广义退化的b e r n o u l l i 多项式与广义阶乘求 和的两个恒等式 本章运用广义退化的b e r n o u l l i 多项式与广义阶乘求和的生成函数得到 它们的两个对称恒等式，并推广了在 2 5 ，2 2 ，2 0 ，2 1 】里的部分结论 3 1两个广义退化的b e r n o u l l i 多项式与广义阶乘求 和的对称一噎等式 则 定理3 1 1 设a ，b z ，a 0 ，b 0 ，礼0 ，q 1 ，入c ，入肛= 1 ， 壹k = o ( 扩憎吲小 ；妇，妻( 淞b - l a ；a - 1 嶙( o t - 1 ) ( b - l a ；a y ， =妻(抄”+1蚴b-la；ax)壹(轴a-a；b-1)biq_：1)(a-la；byk)(31)=0i=0 、 i i e n ：令夕( t ) = t 2 a - 1 ( 1 + a t ) 曲肛( ( 1 + a t ) 曲p 一1 ) ( 1 + 入t ) 口6 删 ( ( 1 + 沁) 口p 一1 ) 口( ( 1 + a t ) b 一1 ) a ，注意到夕( t ) 关于。和b 是对称的，从两 方面把夕( 亡) 扩展成级数的形式 鲍，= 塑嵩希等筹簿 = 熹ab ( 口a l 南1 a t ) n( +仙一1 ，c ，w 咖( 踹) ( i 南) a 一1 c l + a t ，。6 弘 = 矗三薹酚( a - l a ；b x ) 警薹( 6 1 加一1 ) 可( b t ) n 匡一枷可，警) 河南大学硕士学位论文 类似的 上a a b a 子n = o 产k = og ) u a n - k u l k + l u r z 础( a ) c 。 徊z ，壹i = 0 ( ：) 吼c b - 1 ) 、；a - 1 ， ( 啦! ) ( 一扣可) 荔) ， 鲍，= 去薹砉g ) 扩“。1 犁觯。a ；。z ，壹i = 0 ( ：) 州a - 1 a ；b - 1 ， ( 召譬”( n _ 1 a ；的) 翥) ， 比较最后两个等式右边( 亡n n ! ) 的系数即得( 3 1 ) 证毕 令入_ 0 代入定理3 1 1 ，得到y a l l g 在文献【2 2 ，e q s ( 9 ) 】中的结果 推论3 1 2 设a ，b z ，a 0 ，b 0 ，礼 0 ，q 1 ，则 ( 妒嘞m 黜委k ( 淞n - 1 ) 搿k 可) = 壹k = 0 ( 扩付+ 1 啦，k ( 淞6 叫剌( o ! - - c 幻， 利用定义1 0 4 并经过简单计算，得 壹醪b 两t k ：( 1 + m 肛：壹( 警) a k k 。1 t 笔“，醪( a ，z 两= ( 1 + a ) 肛= ( 警p 、l ， k=o“ k = o 。 比较等式两边( 护尼! ) 的系数，得 烈如) = ( 沙肚 令q = 1 ，代人定理3 1 1 中，得 七一1 n ( z - j ：9 = ( z 胁 j = o 推论3 1 3 设a ，b z ，a 0 ，b 0 ，佗0 ，入c ，入p = 1 ，则 砉( 护飞m 旷妇，k ( n k ) b n - k a k + l 旷k ( 耋) 仃i ( b - 1 a ；a - 1 ) ( n j 6 1 入) 七一t 1 4 ( 3 2 ) ( 耋) 盯t ( a - l , , 入；b - 1 ) ( 6 可i 。一1 a ) 七一t ( 3 3 ) n 脚 n 脚 河南大学硕士学位论文 在( 3 3 ) 中令y = 0 ，得 推论3 1 4 设a ，b z ，a 0 ，b 0 ，礼0 ，a c ，入p = 1 ，则 ( n k ) a n - k b k + l 玩一南a - a , k ) 吼( b - l a ；a - 1 ) ( k ) b n - k a k + l 既一七( b - l a , a x ) 叫a - l a ；b - 1 ) ( 3 4 ) 在( 3 4 ) 中当a 一0 ，z = 0 时，可得t u e n t e r 【2 0 关于整数幂的求和多 项式和b e r n o u l l i 多项式之间的一个对称关系 ( 垆。鼠一( n - 1 ) =( k ) b k - 1 b k a , l - k & 一6 _ 1 ) ( 3 5 ) 在等式( 3 4 ) 中分别用a b a 替换a ，用n k 替换k ，可得y o u n g 在文 献 2 5 ，e q s ( 1 5 ) 】中的结果 推论3 1 5 设a ，b z + ，礼z ，a p = 1 ，则 n f z - k = o n ：r 厶 k = o ( n k ) a n - k b k - 1 玩( 口扣z ) 一七( b a ；b - 1 ) ( n k ) b n k a k1 玩( 6 枷z ) 一七( a a ；a - 1 ) 定理3 1 6 设a ，b z + ，n z ，礼0 ，a c ，a p = 1 ，q 1 ，则 f t r j ，一 k = 0 n ：f j ：， k = o( z ) n 咿m 酵( a - l a ；妇+ 兰i ) 螂( b - l a ；a y ) ；如心“b b - l a ；a x + 石a ( a - ：”( 0 _ 叭 1 5 ( 3 6 ) n 脚n 脚 “铷 、 n 南 河南大学硕士学位论文 证明：令刺= 一t 2 - 1 ( ( 1 ( + 1 坩a t ) a b u z ( ( 1 呻+ , k t ) 删a b - - l ) ( 1 + ) a , k t ) a b l y ，则 酢，= 塑拱幕等筹舻 另一方面 = 嘉( 南) a ( 1 + a t ，批黼 ( 南) 沪1 c 1 坩咖 嘉( 而籍) ac 1 坩6 肛萎c 1 坩 f l 矸a t ) b # 1 o t w l )( 1 + 她) 曲p ：嘉量( 南) q ( 1 洲阱纠叩 口口6 沪1 台( 1 + a ) n p 一1 r 一“7 ( 南) 沪1 c 1 州产 = 矗刍萎薹砖( a - l a ；b x + 云b i ) 等 。匡剌61扣可)可(bt)nn=o) = 去薹喜( z ) 薹a k b n - k + l 掣( a - 1 ) 、；b x + 云b i ) 陋- - 1 k ( 6 ；。y ) 而t n ) ， 酢，= 型等豢等筹掣 = 上a a b a 子n = o k = o 礼、曼i = 0b k a n - k + l 酵b - 1 ) 、；a x + 石a z ) ( 班1 ) ( 。 ；的) 筹) ， 比较两个等式右边( t n ! ) 的系数即得( 3 6 ) 证毕 河南大学硕士学位论文 果 令入一0 代人定理3 1 6 ，可得 f a n g 在文献 2 2 ，e q s ( 1 2 ) 】中的如下结 推论3 1 7 设a ，b z ，a 0 ，b 0 ，佗0 ，q 1 ，则 妻k = o ( z ) 萎i = 0a k b n - k + l 酵( k + 五bt ) 啦! ) ( 口可) = 妻k = 0 ( 萎i = 0b k a n - 七+ l 酵( 。z + 石a i ) 啦! ) ( 叻) ( 3 7 ) 在定理3 1 6 中令y = 0 ，q = 1 ，得 推论3 1 8 设a ，b z ，a 0 ，b 0 ，礼0 ，入c ，a p = 1 ，则 ( 口 ；k + 轳m a i ) 把b = 1 代人( 3 8 ) ，得 鲫；a x a x 细薹玩( 。 ；z + 兰) ， 玩( a ；) = n 舻1 玩( o 。1 入；z + 三) ， l = u 、 ( 3 8 ) ( 3 9 ) 把a _ o 代人( 3 9 ) ，得到r a a b e 在文献 2 1 】中关于b e r n o u l l i 多项式的连 乘理论 晰垆扩1 善a - 1 玩( z + 石i ) ( 3 1 0 ) 3 2 广义退化的b e r n o u l l i 多项式的一个简明递推公式 这一部分通过退化的第二类s t i r l i n g 数得到一个广义退化的b e r n o u l l i 多项式的简明递推公式 定理3 2 1 设几，k z ，n 0 ，k 0 ，入c ，入p = 1 ，a k ，则 礼 ! r t 、 嘴“( a ，z ) = 高峨( a ，z ) s ( 佗一m + 七，尼) ( 3 1 1 ) m = o k， 玩 卜 矿 “铷 河南大学硕士学位论文 证明：由定义1 0 4 和定义1 0 5 ，得 妻b 口嘉 n = o t + a t t + a t 比较等式两边砉的系数即得( 3 1 1 ) p 一1 1 七 证毕 m 下 肛 坠 功 膳 + 址 q + 俨一州 竺州 一 动 泸 动 s k罾哪 俨丽 一勺笳l干七 0 石 b r ，、 加 p 芝一 第四章广义的b e r n o u l l i 数和e u l e r 数的一些闭 形式 本章给出有关广义的b e r n o u l l i 多项式鼠( z ；o ，b ，c ) 和广义的e u l e r 多 项式风( z ；a ，b ，c ) 的一些闭形式 义为 4 1 介绍 定义4 1 1 设a ，b 0 ，a b ，广义的b e r n o u l l i 数玩( o ，b ) p f ，s 2 定 6 亡一o o：妻掣只i 亡i 0 ，口b ，n z + ，广义的b e r n o u l l i 多项式 玩( z ；a ，b ，c ) 定义为 矿 6 t n t 鼠( z ；a ， 佗! b ，c ) 。n 一6 t i 0 ，a b ，z r ，n 0 ，则 玩( x ；a , b , c ) = 妻k ( 加圹吼啪矽_ = 0 鼠( x ；a , b , c ) = 妻k = o ( 加圹 i n b - i n a r l 鼠( 1 na i na l nb x ：r - k ； b k c z ；口，6 ，c ，= 砉塞c 一1 ，七一( z ) ( 多) nc n 一七c n 。，七一 1 n 兰 一1 马z z 一七； 鼠( 叩) 6 jc ) = ( 1 nb - i n a ) 铲1 玩( i na xi ne i na i nb 4 2 主要结果 定理4 2 1 设a ，b ，c 0 ，a b ，z r ，佗0 ，则 鼠c x ；a , b , c ，= 砉( 弘6 岫矿。1 剐x l nc - l n a 广七 证明：应用定义( 4 1 2 ) ，得 o o 玩( 叩，6 ，c 甭t n = n = o t e x t i n c e t i n b e t i n 口 t e ：r t i n c 亡矿。 护一口 e 1 n n ( e t ( 1 曲一1 n 。) 一1 ) 1 t ( 1 nb i na ) i n b l n ae t ( 1 n b i n a ) 一1 l nb l na i nb l na e ：r l n c i n a ) t 妻剐l n b - l na ) n 筹壹掣矿 玩( ) n 嘉竺专坐矿 n = on = 0 ( k ) ( 1 n b - i n a ) k b k ( z i n c - l n a ) 础币t n ， 2 0 ( 4 5 ) n 脚脚 河南大学硕士学位论文 比较二项式系数暑即得定理4 2 1 定理4 2 2 设a ，b ，c 0 ，a b ，z 酞，礼0 ，则 鼠( x ；a , b , c ) ：壹( 叫吲( 1 n b - l n a 广坐s 害掣 m = 0 一 证明：应用定义( 4 1 2 ) ，得 o o 玩( z ；口，6 ，c 两t , 1 = n = 0 t c z t 6 t n o 1e t o n b i n a ) ( 黼) ( i nb i na ) e t ( 1 n6 _ 1 “。) 一1 1e t ( 1 n b i n a ) ( 黼) ( i n b l n a ) 1 一e t ( h 6 h 口) 0 0 m = o( i n b i na ) t ( 1 n b l n o ) 】 一i n ( 1 一( 1 一e t ( i n b - l n a ) ) ) e t ( i n b i n 口) ( 黼) ( - i ) m m ! ( i nb i no ) ( m + 1 ) ( 1 一e t ( 1 n 6 山口) m e ( i n b - i n a ) ( 黼等) ( e t ( 1 nb - - h 。) 一1 ) m 妻sb ， 佗= 竹。 l i ln l n 比较二项式系数等即得定理4 2 2 m ! zi nc 一1 1 1a i nb i na 证毕 ( 4 6 ) ) ( 1 n b - i n a ) n 两t n 一。s ( n ，m ，枯) t n m + 1 定理4 2 3 设a ，b ，c 0 ，a b ，z r ，礼0 ，则 鼠( z ；a ，b ，c ) ( 1 n b - i n a 广1 妻k = o ( 扩1 鼠( 卷嵩) 2 1 证毕 品一( 可一1 ) m 学 丽 一 | 八 卜 生 恤 严一曲 、l n m 上 面n 删一脚 河南大学硕士学位论文 i i n ：应用定义( 4 1 2 ) ，得 壹脚n ，6 j c 焉= n = o 。 e ( x i n c - i n a ) t i nb 1 1 9 a e ( z i n c i n a ) t i nb l na 1 t ，o 扩一o t t ( 1 nb i na ) 孤丽五面 t ( 1 nb i na ) 面面西而 y ( 1 nb i n a ) 1 y ( 1 n b i na ) e 可t ( 1 nb - i n a ) 1 e t ( 1 n b i n a ) 1 亟! 里! 二竺竺! e 渊州- n e y t ( 1 n b - l n a ) 一1 。 6 1 n n le y 舢6 一l n 口) 一1 e t ( 1 n b - i n a ) 一1 薹b ( 者嵩) 学 ( k 壹o & ( y - i ，掣) = 妻n = o 壹k = 0 ( 扩慨( 志高( 1 n b - i n a 广1 c 可 比较二项式系数砉即得定理4 2 3 定理4 2 4 设n ，b ，c 0 ，口b ，z r ，礼0 令a = 鼍精群， 如果 0 ，a b ，z r ，k 0 ，则 b ( 叩) 6 j c ) = 玩( zi nc i na i nb i na ( i n b i n a ) 七； ( 护( 2 x i n c - i n a - l n b ) ( 1 n b - i n a 隅； 玩( x ；a , b , c ) = 妻( _ 1 ) m m 12-m(1nb-lna)七s(叩，m=0 z1 nc i na i nb 一1 1 2a 定理4 2 6 设o ，b ，c 0 ，口b ，z r ，尼0 令a = 鼍舞封， 如果 吾，则 ( 一1 ) 七 意) 2 k = i c o s ( 2 a z ) 2 3 脚 0 一 茎i 易一 脚 河南大学硕士学位论文 和 2 z i nb i na 2 4 2 k + 1 1 ： ) s i n ( 2 ) z ) c o sz 参考文献 1 】j a c o b ib e r n o u l l i ，a r sc o n j e c t a n d i ，o p u sp o s t h u m u m b a s e l ，( 1 7 1 3 ) r e p r i n t e d i nd i ew e r k ey o nj a k o bb e r n o u l l i ，v o l u m e3 ，1 0 7 - 2 8 6 2 】l e o n h a r de u l e r ，m e t h o d u sg e n e r a l i ss u m m a n d ip r o g r e s s i o n e s jc o m m e n t a r i i a c a d e m i e ，s c i e n t i a r u mp e t r o p o l i t a n e6 ( 17 3 2 ) ，6 8 9 7 r e p r i n t e di nh i so p e r a o m i a ，s e r i e s1 ，v o l u m e1 4 ，4 2 7 2 3 】k i m ，t a e k y u n ，e u l e rn u m b e r sa n dp o l y n o m i a l sa s s o c i a t e dw i t hz e t af u n c t i o n s ，a b s t r a c ta n da p p l i e da n a l y s i s ，( 2 0 0 8 ) ，a r t i c l ei d5 8 1 5 8 2 ，1 1p a g e s d o i ：1 0 1 1 5 5 2 0 0 8 5 8 1 5 8 2 4 k i m ，w a e k y a n ，t h em o d i f i e dq - e u l e rn u m b e r sa n dp o l y n o m i a l s a d v s t u d c o n t e m p m a t h 1 6 ：2 ( 2 0 0 8 ) ，1 6 1 1 7 0 5 】k i m ，t q - b e r n o u l l in u m b e r sa n dp o l y n o m i a l sa s s o c i a t e dw i t hg a u s s i a nb i n o - m i a lc o e f f i c i e n t s r u s s j m a t h p h y s 1 5 ：1 ( 2 0 0 8 ) ，5 1 5 7 6 a e r d d l y i ，w m a g n u s ，f o b e r h e t t i n g e r ，f g t r i c o m i ，h i g h e rt r a n s c e n d e d t a l f u n