（基础数学专业论文）几类z3等变近哈密尔顿多项式系统的极限环的个数.pdf

论文题目：几类磊等变近哈密尔顿多项式系统的极限环的个数 学科专业：基础数学 学位申请人：马红燕 指导老师：韩茂安教授 摘要 本文第一章为引言，主要内容是介绍所研究课题的来源，现状，以及本文的研究方法 和主要结论 第二章主要介绍了一些基本概念和引用一些已知结果来作为本文的引理，其中我们 给出了m e l n i k o v 函数的几种展式，这些展式在研究同宿环与异宿环在扰动下产生的极 限环个数问题时起到了重要的作用 第三章主要研究一类近哈密尔顿系统的同宿环分支所产生的极限环的个数和分布 问题我们利用对同宿环附近，中心附近的m e l n i k o v 函数的展开以及一些技巧获得极 限环的个数对于三次，四次及五次多项式系统，分别获得了4 个，1 0 个和1 5 个极限 环，并且也给出了他们的分布 在第四章主要研究了另一类三次近哈密尔顿系统极限环的个数我们证明到当它们 的扰动项分别是三次和四次时我们得到了5 个和6 个极限环对类似的三次多项式系 统我们得到了5 个极限环，这样的结果会比在【9 】中多个极限环 关键词：极限环；z 3 一等变；近哈密尔顿系统；m e l n i k o v 函数 t h e s i st o p i c ：l i m i tc y c l e so fs o m ez 3 - e q u i v a r i a n tn e a r - h a m i l t o n i a np o l y n o m i a ls y s t e m s s u b j e c t ：f u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s d e g r e ea p p l i c a n t ：m ah o n g y a n i n s t r u c t o r ：p r o f e s s o rh a nm a o a n a b s t r a c t a sa ni n t r o d u c t i o n ，i nt h ef i r s tc h a p t e rw ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fo u rr e s e a r c h a n dm a i nt o p i c st h a tw ew i l ls t u d yi nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r s w ea l s og i v ead e s c r i p t i o n o fo u rm e t h o d sa n dr e s u l t so b t a i n e di nt h i st h e s i si nt h ef i r s tc h a p t e r i nt h es e c o n dc h a p t e r ? w eg i v es o m eb a s i cd e f i n i t i o n sa n da l s oi n t r o d u c es o m e k n o w nr e s u l t sa sl e m m a s w eg i v es e v e r a le x p a n s i o n so fm e l n i k o vf u n c t i o n sw h i c hp l a y a ni m p o r t a n tr o l ei no u rs t u d y i nt h et h i r dc h a p t e r ，o u rm a i np u r p o s ei st os t u d yt h en u m b e ro fl i m i tc y c l e s a n dt h e i rd i s t r i b u t i o no fs o m en e a r - h a m i l t o n i a np o l y n o m i a ls y s t e m s w ed i s c u s st h e n u m b e ro fl i m i tc y c l e sf o r 磊- e q u i v a r i a n tp o l y n o m i a ls y s t e m sw i t hd e g r e e3 ，4a n d d e g r e e5b yp e r t u r b i n gac u b i cs y s t e m ，o b t a i n i n g4 ，1 0a n d1 5l i m i tc y c l e sr e s p e c t i v e l y i nt h ef o r t hc h a p t e r ，w es t u d yt h en u m b e ro fa n o t h e rk i n do fz 3 - e q u i v a r i a n t s y s t e m w ep r o v et h a t5a n d6l i m i tc y c l e sc a ne x i s tu n d e rp e r t u r b a t i o no fd e g r e e3 a n d4r e s p e c t i v e l y f o rt h ec u b i cc a s ew eo b t a i no n em o r el i m i tc y c l et h a n 【9 】9f o rt h e s a m ek i n do fs y s t e m s k e yw o r d s ：l i m i tc y c l e s ；磊- e q u i v a x i a n c e ；n e a r - h a m i l t o n i a ns y s t e m s ；m e l n i k o v f u n c t i o n 1 1 上海师范大学硕士学位论文学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果论文中除了特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成果其他同 志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意 论文作者签名；马知垃 日期：即彳年5 月片日 论文使用授权声明上海师范大学硕士学位论文 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其它手段保存论文保密的论文在解密后遵守此规定 论文作者签名t 弓红尘 日期；矽哆年芗月解e l 聊獬。吻 日年5 一月印日 心 上海师范大学硕士学位论文 第一章引言 第一章引言 1 9 0 1 年，h i l b e r t 1 1 提出了著名的2 3 个数学问题，其中第1 6 个问题的后半部分是 寻求佗次多项式系统 圣= f k ( z ，毫) ，雪= q 。( z ，y ) ， 极限环的最大个数及极限环的分布问题对一般的多项式或者特定的系统大量的工作都 是在寻找出现极限环的最大个数以及极限环的分布问题具体的介绍和相关的文献可参 阅【2 】- 【5 】 对二次和三次多项式系统( 见【6 】- 【1 l 】) 研究者们已经做过了大量的研究经过扰动 后出现的极限环会在中心，周期轨或者同宿轨附近m e l n i k o v 函数对极限环的研究起到 了重要的作用 考虑如下的解析系统 圣= f ( x ，秒) ，雪= 9 ( 。，芗) 设z = z + i y ，乏= z 一饥则( 1 1 ) 变成复方程组 童= f ( z ，乏) ，孛= f ( z ，牙) ， ( 1 1 ) ( 1 2 ) 其中f ( z ，乏) = ，( 雩，喾) + 匆( 字，兰茅) 如果( 1 2 ) 在旋转变换u = e 警名下是不变 的，则我们称( 1 1 ) 或者( 1 2 ) 是名等变的 根据【6 ，7 】，( 1 1 ) 或者( 1 2 ) 是磊等变当且仅当函数f 有下面的形式 f ( z ，孑) = 鲰( 妒_ 1 + h 南( i z l 2z 泖1 ， k l 七o 其中g k ( r ) 和h k ( r ) 是复函数同时当( 1 1 ) 中的，( z ，可) 和9 ( z ，y ) 满足 ，( z ，y ) = 玩，g ( x ，y ) = 一风， 我们则称( 1 1 ) 是有哈密尔顿函数日( z ，y ) 的名等变哈密尔顿系统 在参阅文献【9 1 ，【8 】8 ，【1 6 ，( 1 4 1 和【1 7 1 等等可以看到关于等变多项式系统极限环的 分布是项很有趣的研究工作在 8 】中，关于邑等变三次系统可以得到1 2 个充分小的 极限环而在f 9 】中，磊等变三次系统可以得到4 个极限环 三次磊等变系统具有形式 圣= a o x b o y + a 2 x 2 + 2 b 2 x y a 2 y 2 + a l x 3 一b t x 2 y + o l x y 2 一b l y 3 ， 雪= b o z + a o y + b 2 x 2 2 a 2 x y b 2 y 2 + b l x 3 + a l x 2 y + b l x y 2 + a t y 3 ( 1 3 ) l 第一章引言上海师范大学硕士学位论文 ( 1 3 ) 的发散量为 d i v ( 1 3 ) = 2 a o + 4 a l ( z 2 + y 2 ) 因此，当a o = a l = 0 时，( 1 3 ) 是磊等变哈密尔顿系统 从【7 】中，三次忍等变哈密尔顿系统有下面4 种情形： 情形1 a o = a l = a 2 = 0 ，b o b 2 0 ，0 4 b o b l 0 ，b 1 5 2 0 ，4 b o b l = 睦 情形4 a o = a 1 = a 2 = b o = 0 ，b l b 2 0 这四种情 情形1 情形3 情形2 情形4 图1 1 玩等变哈密尔顿系统的4 种相图 本文的第三章和第四章分别研究的是前面两种情形的历等变三次多项式系统在 第三章里，我们考虑情形1 ，这里取a o = 口l = a 2 = 0 ，b o = - 3 ，b l = - 1 ，b 2 = 4 ，则被 扰系统可以有下面的形式 圣l = 3 y 1 + 8 x l y l + z ；y 1 + y + 印( z 1 ，y 1 ) ， 雪l = 一3 x l 十4 z i 一4 一z 2 一x l y + 口( x l ，y 1 ) ， ( 1 4 ) 其中矿( z l ，y 1 ) ，矿( z 1 ，y 1 ) 是扰动项，当它们的次数是三次，四次，五次分别得到4 个，1 0 个和1 5 个极限环 2 上海师范大学硕士学位论文 第一章引言 在第四章里面，对情形2 我们取a o = a l = ( 1 2 = 0 ，b o = 2 ，b 1 = 一3 ，b 2 = 1 ，则被 扰系统有下面的形式 圣= 一2 耖+ 2 z y + 3 可3 + 3 x 2 y + e p ( z ，) ， ( 1 5 ) 1 7 = 2 x + z 2 一y 2 3 x 3 3 x y 2 + e q ( x ，可) ， 、。 这里当p ( z ，剪) ，q ( x ，y ) 的次数分别为三次和四次时，我们分别得到5 个和6 个极限环 3 第二章预备知识 上海师范大学硕士学位论文 第二章预备知识 在这一章里我们列出一些已知结果作为引理考虑如下形式的系统 圣= 风+ e p ( x ，y ，j ) ，! ) = 一也+ e q ( x ，秒，6 ) ， ( 2 1 ) 其中h ( x ，s ) ，p ( z ，y e ，j ) ，q ( x ，y ，j ) 是解析函数，0 1 ，6 dc 胪是个向量 参数，d 是紧的 当= 0 ，( 2 1 ) 为 圣= ， 多= 一也( 2 2 ) 对上面的方程我们假设存在一族周期轨 。l h ：h ( x ，y ) = h ，h ( o t ，3 ) ，口 卢 口= 日( c ) ，其中c ( 如，珑) 是中心，= 日( s ) ，s ( x 。，孤) 是双曲鞍点，使得h o l 时，趋于g ，当而h _ p ，不变曲线趋于s ，记为 取h = h o ( o z ，p ) 和a ( h o ) l f l o 设f 是方程( 2 2 ) 经过a ( ) 的一条截线则 当h 靠近h o 时周期轨“与z 有唯一的交点，记为a ( ) 也就是说，a ( h ) = “n2 考 虑方程( 2 1 ) 起始于a ( h ) 的正半轨7 + ( ，艿) 设b ( h ，e ，j ) 表示7 + ( ，j ) 与f 的第 一个交点因而我们有 h ( b ) 一h ( a ) = e m ( h ，匹) + d ( ) 】= e f ( h ，巧) ， 其中 m ( h ，6 ) = 手( 巩q + h , p ) d t ：珏h 栌纰纸蚴， q 。 称为一阶m e l n i k o v 函数 关于函数m ( h ) 在端点h = 卢附近的性质，我们有下面两个引理 引理2 1 ( 【1 0 】) 考虑( 2 。1 ) 。设 h ( x ，可) = 3 + - 会i y 一玑) 2 一 一如) 2 ) 】+ h i j ( x 一) ( 可一弘) 。，a o 假定 4 p ( x ，y ，0 ，6 ) = 。巧( z z 。) ( 可一蜘) ，q ( x ，y ，0 ，6 ) = b u ( x x s ) ( 可一玑) 。， 毒+ j 0i + j 0 上海师范大学硕士学位论文第二章预备知识 这里 ，y ) 在s 附近那么对h j 靠近于h = p 我们有 m ( h ，j ) = c 0 ( 6 ) + c l ( 6 ) ( 一p ) i ni 危一p i + c 2 ( 6 ) ( 一卢) + c 3 ( 6 ) ( 危一p ) 2i nl 忍一, 8 1 + o ( i h - , 臼1 2 ) ， ( 2 4 ) 其中 印( 6 ) = m ( o ，艿) = 9 6 口d z p d y ， ，l o c 1 ( 驴一膂， c 2 ( 6 ) = 拳( + q y 一口1 0 b 0 1 ) 出+ b c l ( 6 ) ， ( 2 5 ) j l o c 3 ( 6 ) 2 赤 ( 一3 a 3 。一5 2 l + a 1 2 + 3 b 0 3 ) 一如2 + 0 1 1 ) ( 3 h 0 3 一h 2 1 ) 一1 1 + ( 2 a 2 0 + 6 1 1 ) ( 3 h 3 0 一九1 2 ) 】) + b c l ( 5 ) ， b 和b 是某些常数系数c l ( 5 ) 和c 3 ( 艿) 分别称为系统( 2 。1 ) 在鞍点s ( ，热) 的第一阶 和第二阶局部m e l n i k o v 系数 引理2 2 1 0 】设( 2 1 ) ，( 2 4 ) 和( 2 5 ) 成立定义 面( 6 ) = c o ( 5 ) ，西( 6 ) = c l ( 6 ) ，c - 3 ( 6 ) = c 3 ( 6 ) i 。f 0 ， 酬) = z 。溉+ 劬- - a l o - - 6 0 1 ) 妣 如果存在如r ”和1 是3 使得 弓( 巧o ) = 0 ，歹= 0 ，尼一1 ，磊( 6 0 ) 0 ， r a n k 裂i 如地 那么对( 0 ，6 ) 附近的某些( e ，6 ) ，( 2 1 ) 在l o 附近可以有k 个极限环 关于m ( h ) 在h = a 附近的性质，我们有下面的引理 引理2 3 ( 【1 1 】) 假设 日( 删) = 口+ 扣咱) 2 十( 一乳) 2 】+ ( z 咱) ( 可一玑) j ， + j 3 m + 勖= fc 玎( z x c ) x c ) 一玑) jm + 勖2lc 玎( z 一 憎一玑) t 十j 0 5 第二章预备知识上海师范大学硕士学位论文 则对于0 o ( 或者 0 ) 时，( 2 1 ) 有k + 4 ( 或 者k + 3 ) 个极限环 进一步假设( 2 2 ) 有磊等变的3 元环r 3 ，由3 个双曲鞍点& ，岛，岛和3 个异宿 轨l 1 2 ，l 2 3 ，三3 1 组成并满足q ( l 巧) = & ，u ( “) = 岛，则我们可以将r 3 写成 f 3 = l 1 2ul 2 3ul 3 1u s l ，s 2 ，s 3 ) 我们也假定在f 3 外面存在3 个同宿轨l l ，l 2 ，l 3 使得a ( 厶) = u ( 厶) = & ，i = 1 ，2 ，3 则3 元环r 3 与三个同宿轨组成( 2 2 ) 的一个等变复合环，记为c f 引： 皤3 图像见图1 1 情形1 不失一般性，设对0 h 1 ，方程日( z ，可) = h 定义一族绕着复合环g f 3 的周期 轨p ，对0 _ 九1 ，方程h ( x ，y ) = h 定义4 族周期轨l 讥 = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，且 l i ml 讯= 厶，z = 1 ，2 ，3 ，l i r al 4 = r 。 ，0 一1 1 1 叶0 一 则我们有如下5 个m c l n i k o v 函数 m ( ，6 ) ：多q d z p d 剪，o 1 ， jl h ( ，6 ) = 9 6q d x p d y ，0 一h l ，i = l ，一，4 ( 2 ，8 ) j l 讥 7 乙 。u 斟 u c 乙 i i 筇 q 第二章预备知识 上海师范大学硕士学位论文 引入 c 0 1 c 0 2 = z 。础一姚 = f l a 2q d ? 一p d 可， d l ( 巧) = 缸+ 勖) ( s l ，d ) ， c 2 1 ( c 2 2 ( 6 ) 国霉+ 劬一d 1 ) d t ， 1 ( p 茁+ 一d 1 ) d t 1 2 ( 2 9 ) 则根据【1 3 】或应用引理2 4 1 0 】，我i f 有f 面的引理 引理2 5 1 3 】设( 2 1 ) 是磊等变的( 2 2 ) 有如上定义的复合环d 则对( 2 8 ) 中定义的函数m 和舰以及( 2 9 ) 中定义的变量c o l ，c 0 2 ，d l ，c 2 1 ，c 2 2 ，下面的展式成立 m ( h 埘= 3 + c 0 2 ) 一器地十【3 ( c 2 + c 2 2 ) + 磁t 1 是 + 6 c 3 ( t 兜，巧) 2 h a i h l + ，0 h 1 ， m d = c 0 1 - - 丙d l 叫卅( c e l + b i d l ) 九+ 溉驴l n 卅一， ( 2 1 。) 0 - h 1 ，i = 1 ，2 ，3 ， m 4 ( = 3 c 0 2 一两3 d x 叫”- ( 3 c 2 2 + b 2 d 1 ) h + 3 c 3 ( s 1 , 6 ) h 2 h al h i + ， 0 - h 1 ， 其中入1 表示系统( 2 2 ) 中s 1 的特征值，c 3 ( s l ，6 ) 表示( 2 1 ) 在鞍点s 1 处的第二阶局 部m e l n i k o v 系数，b ，b 1 和b 2 是某些常数 现假设在r 3 外面存在三个异宿轨l 1 2 l 2 3 如1 满足 a ( 三巧) = 最，u ( l 订) = 岛 则我们可以得到如下的另一种复合环嘎， 背= 三：- u 三3 z u l t s u r 3 除了3 元环p 3 外，我们在晓3 外还有三个2 元环 8 三l = l 1 2ul 2 1 ，己2 = 己2 3ul 3 2 ，三3 = l 3 1ul 1 3 ， 上海师范大学硕士学位论文第二章预备知识 和一个3 元环一= l 2 1ul 1 3ul 3 2 因此，不失一般性，设当0 一h 1 时，我f f l , - - l 以由h ( x ，y ) = h 定义出三族周期轨l l h ，l 2 h ，l z h ，且有 l i ml i b = 厶，i = 1 ，2 ，3 ， h + o 一 当0 h 1 时，由置( z ，y ) = h 得到两族周期轨玩和己4 ，则有 1 i ml = 于3 ，l i m l 4 = f 3 ，u t + o + 这里的趔3 的相图见图1 1 情形2 现设( 2 1 ) 在e = 0 时的图像为嘎3 1 ，则它的m e l n i k o v 函数我们定义为 m 舰 h ，6 h ，6 0 h 1 ， 0 一h 1 ，i = 1 ，2 ，3 ，( 2 1 1 ) m 4 ( h ，6 ) = 9 6 ( g 如一p d y ) ，0 h 1 ， l 4 h 其中m ( ，6 ) = 尬( 忍，6 ) = m 3 ( h ，6 ) ，对上述的m e l n i k o v 函数我们有如下的展式： 引理2 6 【1 2 】设( 2 1 ) 是z 3 等变的且有如上定义的复合环c 2 3 则对( 2 3 ) 定义 的函数m 和尬下列展式成立： m ( ) = 3 c 0 ，一器i i + ( 3 c 2 1 - - 6 d - ) h + 3 c 3 ( 岛，啪2 l ni i + ，。 1 ， 坛( ) = 1 i - c 0 2 ) 一器i 卅( c 2 - + c 2 2 + 6 1 d ，) h + 2 c 3 ( 鼠啪2 l n i i + ， 0 - h 1 ，i = 1 ，2 ，3 ， 地( ) = 3 c o z 一斋i i + ( 3 c 2 2 - i - ) h + 3 c 3 ( s i 卿脚n i i + ， 0 - h 1 r 2 】2 1 9 、l ，吼 训 础 p z 妇 如 廊 弘 “u ( h ：暑 互蔓 第二章预备知识 上海师范大学硕士学位论文 其中a l 是研的特征值，c 3 ( & ，j ) 表示( 2 1 ) 在鞍点岛第二阶局部m e l n i k o v $ ，b ，b l 和6 2 是某些常数，且 1 0 c o l ( 6 ) c 0 2 ( 6 ) q d x p d y ， q d x p d y ， d r ( 6 ) = + 劬) ( 研，0 ，6 ) ， c 2 1 ( j ) c 2 2 ( 6 ) z 乱 z 。 ( p + 一d 1 ) i 仁o d t ， 0 z + 勖一d 1 ) l 。：o d t ( 2 。1 3 ) 豇 = ： z z 上海师范大学硕士学位论文第三章一类磊等变系统的极限环 第三章一类忍等变系统的极限环 在本章中，我们讨论 3 1 五次的主要结果 圣1 = 3 箩l + 8 x t y l + z 秒1 + y + e p l ( z 1 ，芗1 ) ， 雪1 = 一3 z l + 4 x 一4 y 一z i x l y + e q l ( z 1 ，y 1 ) 设p 1 和9 1 是次数为5 的多项式，满足 p l = a o x l + ( x l y + z i ) n l + ( z ；一y 2 ) a 2 + ( 一y 十x ) a 3 + ( 一6 x 2 y + 秒 + x ) a 4 + ( - l o x 3 y + 。i + 5 x l y ) a 5 + ( z i + z 1 y + 2 z i y ) 一b o y l + ( - x i y l 一可 ) 6 l + 2 b 2 x l y l + ( 2 x ；y l + 2 z l 可 ) 6 3 + ( 4 2 1 y 一4 x 3 y 1 ) b 4 + ( 5 x y l l o x y + 可 ) 6 5 + ( 一z i 1 2 2 2 l 1 3 一y ) 6 6 ， q l = a o y l + ( y + z ；可1 ) 口1 2 a 2 x 1 y l + ( 一2 x ；y t 一2 x l ) 0 3 + ( 一4 x 1 秒 卜 4 x 3 y 1 ) a 4 + ( - y 一5 x y l + l o x e s ) a s + ( z 可l + y + 2 z ；y ) + b o x l + ( x x y + z i ) 6 l 十( z ；一可 ) 6 2 + ( 一秒 + z ) 6 3 十( 一6 z ；秒 + y + z ) 6 4 + ( 。2 一l o x y + 5 2 1 y ) 玩+ ( z i + z l y + 2 。 秒 ) k 则( 3 1 1 ) 是磊等变的 当e = 0 。( 3 1 1 ) 为 系统相图见图3 1 圣1 = 3 y l + 8 x l y l + z ；芗l + 秒 ， 1 7 l = 一3 x 1 + 4 x 一4 y 一z i x l 可 ， 在该系统中有三个鞍点s l ( 1 ，0 ) 阱妻学m c 一耋，一学， ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) s 2 ( 丢，参讣三，一雩) 和四忡( 3 ，o ) ， 和o ( o ，0 ) 其哈密尔顿函数是 日- ( 可- ) = 弘3 + y ；) 一扣+ 4 x - y 2 + 趔1 + 可；) + 斧1 可；一五5 ， g a = 日- ( g ) = 一兰，p = 口( s d = o ，日- ( d ) = 一西5 1 1 第三章一类磊等变系统的极限环上海师范大学硕士学位论文 图3 1 e = 0 时( 3 1 1 ) 的相图 ( 3 1 1 ) 的m e l n i k o v 函数是 引入变换 必 f = 咖 ，l h l = 谚 j l ( q l d x l p l d y l ) ，0 h o o ， ( q l d x l p l d y l ) ，0 - h 舰( 九) = z 。( g t 出一p - 咖) ，0 - h 0 上的一族周期轨l h 在h 一0 时l 的极限l o 是一个同宿轨在变换( 3 1 4 ) 下，s l ( 1 ，0 ) 和a ( 3 ，0 ) 分别移到了s i ( o ，0 ) 1 2 上海师范大学硕士学位论文 第三章一类磊等变系统的极限环 和e l ( 2 6 ，o ) ，同时有日( 研) = 0 ，日( q ) = 一；而厶与z 正半轴的交点是 ( 知，o ) ，x o = 百1 6 i + ；1 5 6 根据( 3 1 2 ) 和( 3 1 6 ) 我们有 其中 m + 劬= 2 a o + f l a t + ，2 a 3 + 4 f 2 a 4 + f 3 b 3 4 l a b 4 + a a 6 ， = 4 6 一十； 6 可2 + 8 6 考z + 4 ， 丘= 2 6 ；z 3 6 ，a 。2 + 6 v c d x 2 一娟可2 + 6 6 1 z + 2 ， f 3 = 6 6 i 1z 2 y 一百1 6 y 3 + 1 2 x y + 6 i y ， = 3 6 x 4 + 1 2 x 2 y 2 + y 4 + 2 4 6 i s 山3 + 4 6 ，s 山2 + 3 6 v f d x 2 + 2 v f 6 y 2 + 2 4 6 z + 6 设 g = g l a o + 9 2 a 2 + g s a s + 4 9 3 a 4 十9 4 b 3 4 9 4 b 4 + g s a s 。 其中 g l = 2 y ， 9 2 = 4 酝2 y + ； 砑3 + 8 6 x y + 4 可， 9 3 = 2 6 1 x 3 y 百1 6 i 3 z y 3 + 6 酪2 y 一 娟可3 + 6 ，6 1 x y + 2 可， 9 4 = 3 6 i l z 跏y 一矗6 y 4 + 6 x y 2 + 6 i 2 ， g s = 3 6 x 4 + 4 x 2 y 3 + y 5 + 2 4 6 2 3 。3 1 ，+ 6 i 3 z 可3 + 3 6 v r d x 2 + ；娟3 + 2 4 6 x y + 6 y 则鲰= 阮十劬因此，根据( 3 1 3 ) ，当he ( 一鲁o ) 时我们有 螂) = 正。( q d x - p 咖) = z 9 兆 引入 厶= z 。夕t 如，是= z 。现出，厶= z l o9 3 如，五= j ：l o9 4 如，厶= 五鳐如， = z 。( 一4 ) 妣以= 互。( ，2 2 ) 扰也= z 。，3 出，五= z 。( 一6 ) 抚 根据引理2 1 和引理2 2 得虱i 舰( ) = c 0 ( 6 ) + c l ( ( i ) h l ni h i + c 2 ( 6 ) + c 3 ( 6 ) 2i nh 十o ( h 2 ) ， 第三章一类磊等变系统的极限环上海师范大学硕士学位论文 其中 c 0 ( 6 ) = m i ( o ) = i t a o + 1 2 a l + j 1 3 a 3 十4 3 a 4 + 厶6 3 4 1 4 b 4 + 厶a 6 ， c 1 ( 6 ) = 一 场( 6 ) a l o + b m 2 a o + 4 a z + 2 a 3 + 8 a 4 + 6 a 6 = 五魄+ q v - - a z o - 出 = j 1 a l + j 2 a 3 + 4 j 2 a 4 + 以b 3 4 4 b 4 + 以a 6 ， 铅c j ，= 一笔n ，+ 誓。+ 譬n 4 + 警口。 考虑方程组 c 0 ( 6 ) = c l ( 6 ) = 砀( 6 ) = 0 ， ( 3 1 7 ) 有解 3 1 3 j l 一2 1 3 j 4 3 1 2 j 2 七1 2 j 4 一1 5 t 】l + 2 1 5 j 22 1 3 3 3 + 1 4 t ) i 一2 i t t ) 2 一1 2 j 3l 知2 瓦f 万面再i 万j 丽一铂一百i j 币再五万可阮 2 i s 以+ 1 4 j z 一2 厶也一厶如。 + 4 i 万了石万i 面i 瓦万钆 3 i l j 2 一i t j 4 七1 3 j 4 一1 5 j 2 吼2 币f 砑面再百i 刁： 厶五十厶以一厶以 。 一i f 忑币再五万了丽6 3 + i i t j 2 七i l j 3 一1 3 j 3 l 和面f 瓦面再i 万面6 4 a 3 = - 4 a 4 + 甍兰拦糟口e + 者兰糌杀b 一 1 4 j 1 十2 l l0 3 一1 2 j 3 幻i f 巧币再五万面 ( 3 1 8 ) 接下来，我们讨论在h = 一昙附近 矗( ) 的性质首先，我们做一个下面形式的变 量变换 u = 6 i l z 一2 ， = 6 i 1 可 在( 3 1 9 ) 这个变换下，( 3 1 5 ) 变成 其中 1 4 d u 出= 6 偷+ 吾佤卧1 v 佰u 2 v + 壶俪3 + 稚m ， 面d v = 一6 佤一5 佤2 一吾向2 一佩3 一丢佩“吲叩) ， 痧( u ， ) ：6 1 p ( 6 一 ( u + 2 ) ，6 一i v ) ， ( 3 1 9 ) ( 3 1 1 0 ) 上海师范大学硕士学位论文第三章一类z 3 等变系统的极限环 香( t ，t ，) = 6 1 q ( 6 一 ( t + 2 ) ，6 一i v ) 在= 0 时，( 3 1 1 0 ) 的哈密尔顿函数是 疗( 让m = 3 v 佰( u 2 + v 2 ) + 善佩3t 吾佤v 2 + t u 4 + 西v f 6 u 2 u 2 + 篓u 4 一善怕 = v 伍h ( 6 一 ( 让+ 2 ) ，6 一i v ) 并且l h ：h ( z ，y ) ：h ，h ( 一罢，0 ) 变为厶：豆( 铭，钞) ：h ，h ( 一罢以，o ) 。 并且 ： ，) = ，( 一罢，) 变为厶：青( 铭，钞) = ， ( 一詈垢，o ) 。 接下来再用尺标变换7 _ 6 怕，则( 3 1 1 0 ) 转换成 一d u = u + 两7u u + 去u 2 口+ 互菇1u3dr + 印2 ( u ，秒) ，一2 u + 两u u + 丽u 。口+ 互菇u + 印2 ( u ，秒) ， 石d y = 一u 一暑1 1 , 2 - - 丽7u 2 一石1 u 3 一蕊1u u 2 + e 9 2 ( u ，u ) ， ( 3 1 1 2 ) 其中 纯影) = 丽1 触，珐9 2 ( 链m = 熹融，吐 ( 3 1 1 3 ) 对e = 0 ，( 3 1 1 2 ) 的哈密尔顿函数是 凰( 札，u ) = 丢( 钆2 + 昀+ 鑫s u 3 + 丽7 ，“u 2 + 去让4 + 1 u 2 v 2 + 丽1 秒4 一言 = 6 v l f 吞h 。( 乱，口) 同时厶：j j r ( 让， ) = ，危( 一善怕，o ) 变成：仍( u ，秒) = ， ( 一鲁，0 ) 我们很容易得到( 3 1 1 2 ) 的m e l n i k o v 函数蛑( 允) 满足 嵋( 九) = $ 川： q 2 d u o h z ( up 2 咖。赤庇( 6 怕 ) ， ) = b 、b 其中矾( 九) = 节牙d u 一庐幽是( 3 1 1 0 ) 的m e l n i k o v 函数进一步的， j h ( u ，t ，) = 矗( ) = 百d u t i d y j 月f n ， ) = 】i ； = 6 。缸扎+ 2 ) 6 - ：击g ( ( i - i ( 2 ) 功1 ) d u - p ( 6 - i ( 蚪2 ) , 6 - 1 v = 怕击 q ( x ，y ) d x p ( z ，y ) d y j h ( z , 笋) = 丧 = 怕尬( 第三章一类z 3 等变系统的极限环上海师范大学硕士学位论文 因此， m ( ) = 击矾( 俪) = 6 嵋( 丢n 根据( 3 1 1 3 ) ，( 3 1 1 1 ) ，( 3 1 6 ) 和( 3 1 2 ) 可以直接得到 p 孙+ 锄= - 鬈( s 6 ( a o + 1 8 a l + 2 7 幻+ 1 0 8 a 4 + 2 4 3 a 6 ) + ：譬( 4 口。+ 9 。+ 3 6 。4 + 1 。8 口。) u + ( 兰6 3 6 6 4 ) 移+ 笔m 。+ 9 + 溉+ 1 6 2 a 6 ) u 2 + 慨一4 协蚪箍( 2 旷 9 。3 3 舰+ 5 4 0 6 ) u z + - 害8 6 ( a 3 + 4 a 4 + 9 a 6 ) u 3 + 丢( 6 3 4 6 4 ) u 2 v + 等( 咱一 4 。4 2 a 6 ) u v 2 + 1 - - ( _ b 。+ 3 6 4 ) v 3 - + 譬刚4 + 矿v 6u 2 u 2 + 集刚4 利用引理2 3 中的公式( 2 7 ) 和( 2 8 ) ，我们有 嵋( 允) = k ( + 石4 ) “( 允+ 百4 ) 2 “( + 吾) 3 + o ( i h + 轮o h + 鲁1 ， 其中 苈 瓦= 学7 r ( 咖+ 1 8 0 1 + 2 7 0 3 + 1 0 8 口4 + 2 4 3 a 6 ) ， 5 - = 一俪( _ 0 1 5 + 善口s + 兰n t + 9 a 6 ) ， ( 3 1 1 4 ) 瓦= 一俪( 器。+ 器。3 + 器n 4 + 鬻a 6 ) 在( 3 1 8 ) 成立的条件下，( 3 1 1 4 ) 可化简为 孔= 学丌( 地址逝幽型出葛拦老赣芒铉业出型止望必) 口6 + 丛7r垃k些丛型必i啦址型血(b34b91 2 j 2 - - 2 1 4 ) ，l j 2 + l l j l - 1 3 j 1 4 ， 5 t = 篝丌( 趔也幽必些弛气等糍胖聩等产咝必笪必地红厶) 0 6 一近丌丝必型篾巡些址型簪丝必(634b4)721，22 1 ” 也一1 j 2 + 1 1 j 1 - 1 3 j l 。j- 1 u 4 6 2 = 蒜7 r ( 雨乒西j b 鬲j 而) a 6 一j 1 5 8 生6 3 0 4 丌迦堂弘丝幽器1 2 笺2 1 型1 j 2 + 警l l 档i 堂s j l 螋幽必( 6 3 4 6 4 ) ， ” 止一j l 一 ”j1 ”4 ， 其中 ，y = 3 2 3 9 8 4 4 0 1 1 以+ 1 7 4 7 1 1 6 0 如j 1 1 2 7 8 9 6 0 9 3 1 l 一1 7 4 7 1 1 6 0 1 2 如一 1 5 6 1 6 8 9 5 j 1 2 2 7 5 4 1 8 1 1j t 七1 5 6 1 6 8 9 1 23 a 七8 4 7 9 6 0 1 s3 ，一8 4 7 9 6 0 l a3 l ， 1 6 上海师范大学硕士学位论文第三章一类忍等变系统的极限环 这里 q = 更明确的说，b o = 0 当且仅当 口6 = q ( b 3 4 b 4 ) ， 一8 厶以+ 1 3 厶 一1 3 尼也+ 1 8 j r l 也+ 8 3 j z ( 3 1 1 5 ) 1 2 0 s j l + 8 厶以+ 1 3 厶以一8 厶j 4 1 2 0 2 j 2 1 3 厶以一8 1 1 1 以一1 8 1 1 以+ 2 1 6 1 也 利用( 3 1 8 ) 和( 3 1 1 5 ) ，从( 3 1 7 ) 和( 3 1 1 4 ) 可以得到 其中 b l = n o ( b 3 4 6 4 ) ，5 2 = l b l ，c 3 ( 6 ) = 2 ( b 3 4 b 4 ) ， 奎丝丌! 互芝! = 丝出! 盎出! ! 丛五! ! 丑盘= 墨! 丘出= 墨丘如 9 ”- 1 3 1 5 j 1 8 1 3 j 4 1 2 0 2 - 1 2 + 1 2 0 1 3 j l + 8 1 5 j 2 + 1 3 1 2 j 4 - 8 1 1 1 j 1 1 8 i l j t + 2 1 6 1 1 j 2 一 22 墨q ! 厶出= 2 圣! q 丘出2 z 塑! 鱼出2 1 s z ! 互厶= 窒! 璺! z 厶五至垒墼! i ! 厶五= 丝墼q 出 1 9 8 2 8 8 8 1 4 j 1 - 2 4 1 3 j 3 + 8 1 5 j z + 2 4 j 4 j 2 + 1 6 2 1 t j 3 - 8 1 1 2 j 3 8 i j 4 1 近f ! ! ! ! 盎= ! 堡生! 生盘= ! ! ! ! 出= ! 型! 生! = ! 垒生! ! 垒坐= 兰! 丝矗丝垒! 1 2 9 61 2 0 1 3 j l + 8 1 5 j 2 + 1 3 1 2 0 4 8 1 3 0 一1 2 0 1 2 j 2 1 3 i s j l - 8 1 1 1 j 1 1 8 1 1 j 4 + 2 1 6 1 1 j 2 = g 纽出出! 厶l = ! 2 出! 墨l 出一j 歪厶五! ! ! l 出= 丘出= 2 出厶也 2 1 1 j 2 一1 2 j 2 - 1 1 j l + l a j l 9 6 2 1 1 h 一1 2 j 2 - i f j l + l a j l 我们求得 龇粼= 五 1 2 娟3 怕2 7 娟 毛 2 毛 1 磊 3 锕娟怕怕 0 j 13 23 i = 一9 9 2 4 1 8 5 3 接下来，我们考虑( 3 1 1 ) 中的m e l n i k o v 函数m ( h ) 在0 h 1 的展式 1 7 m 飓 怕一9 第三章一类磊等变系统的极限环上海师范大学硕士学位论文 其中 引入 8 = 一 1 1 = 1 2 = 厶= 厶= 厶= ( 可l x l 8 ) d x l ， ( 可；+ z ；一( x l y ；+ z ；) s ) d x l ， ( - 2 x i y l 一2 x l y ；一( z ：+ ；) s ) d x l ， ( ( 4 x i y l 一4 x t y ) 一( z 一6 z ；可 + ；) a ) d x l ， ( ( z 4 1 可1 + y 十2 2 2 l y l 3 ) 一( z ；+ x l y ：+ 2