（基础数学专业论文）纽结的arf不变量.pdf

纽结的a , f 不变量 摘要：在本文中我们将利用数值链环型不变量，f ) 和链环的a r f 不变量之间的关系，介 绍如何利用数值链环型不变量i ( l ) 计算出一个链环或纽结的4 移不变量，进而发现并 给出某些链环或纽结的a 矿不变量与它们自身特点之间所存在的关系式从而，我们便 可以不必通过计算出这些链环或纽结的多项式，得到它们的a r t 不变量，且相对于繁琐 复杂的多项式求解而言，我们所给出的这些关系式在应用上更加简单，方便 关键词：链环：纽结：多项式：a r f 不变量：数值链环型不变量，仁) 纽结的a r f 不变量 a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r w ew i l ls h o wh o wt oc a l c u l a t et h ea r fi n v a r i a n to fs o m el i n k so r k n o t sb yu s i n gt h en u m e r i c a ll i n kt y p ei n v a r i a n ti ( l ) ，a n dw ew i l lf i n ds o m en e wf o r m u l a s b yt h e s ef o r m u l a s ，w ec a ng e tt h ea r fi n v a r i a n t so fal i n k o rak n o te a s i l y , i n s t e a do f p o l y n o m i a l s a n dt h e nt h ec a l c u l a t i o nb e c o m e sn o tc o m p 1 i c a t e d k e y w o r d s ：l i n k ；k n o t ；p o l y n o m i a l ；t h ea r t i n v a r i a n t ；t h en u m e r i c a ll i n kt y p ei n v a r i a n t ， 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特 别加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其 他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示 谢意。 学位论文作者签名： 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：娉指导教师签名：- = 襄牡 鹕嗍：m 勺畸月 纽结的a r t 不变量 1 引言 在纽结理论【1 】研究中，分类是最为基本的一种思维方式而纽结的a r f 不变量【2 l 便 是用于链环或纽结分类的一种方式纽结的彳r 厂不变量早在上世纪6 0 年代便被提出【3 1 k m u r a s u g i 给出了s 3 中任意一个具有两个分支( 石，】，) 的本征链环，的彳矿不变量 与其亚历山大多项式之间的关系1 4 1 5 11 6 指出本征链环，的彳矿不变量彳矿( ，) 可由其亚 历山大多项式，( x ，y ) 决定，且有： 。训庐- - a r f ( m 训咖豇嘉a g 吐。( m o d 2 ) 从而对于具有两个分支的链环，我们只要求得其亚历山大多项式即可求得其彳矿不 变量 j i mh o s t e 给出了s 3 中任意一个具有两个分支( x ，y ) 的本征链环，的a r f 不变量与 其康韦多项式之间的关系【7 】i s 】【9 】： 彳矿( ，) 暑么矿( x ) + 彳矿( 】，) + 红( 1 ) ( m o d2 ) 暑办( x ) + 识( 】，) + 办( 1 ) ( m o d2 ) 其中磊( ，) 为 f 的康韦多项式系数a ，更进一步，j i mh o s t e 在此文中还给出了具有更多分支的链环的 彳矿不变量与其康韦多项式间的关系： a r f q ) 兰a ，f ( t ) + 旃( 1 ) ( m o d 2 ) 从而我们便可以通过研究任意链环或纽结的康韦多项式来得出它们的a 矿不变量 除此之外，h i t o s h il d u r a k a m i 1 0 l 又给出了如何利用屹( i ) ( 这里圪( t ) 是v f r 琼斯 迹不变量【1 2 1 【1 3 】f 1 4 】以及f - 4 = i ) 来定义任意给定链环的a r f 不变量，事实上又给出了 彳矿不变量的一种归纳计算方法 显然经过多年的研究，我们已经可以算得任意一个链环或纽结的a r f 不变量但通 过计算给定链环或纽结的多项式来得到其a r f 不变量，计算繁琐复杂，对于某些类型的 链环或纽结来说，我们可否能找到更简单直接的方式呢? 正是出于这一点考虑，我们写出 了这篇文章 本文的主要目的是放弃利用计算链环多项式来求得其a r f 不变量的方法，而是利用 数值链环类型不变量i ( l ) 来求得几族链环或纽结的a r f 不变量，进而发现并给出了所 计算的这几族纽结其本身与彳矿不变量之间的关系式这样一来，我们便可以直接从纽 结自身出来得到其彳矿不变量，而不必先算出多项式再求得a 矿不变量，计算量减少，并 且还可以利用纽结自身与a 矿不变量的关系式直接分类研究 纽结的爿矿不变量 本文主要分四部分第一部分为引言，介绍了有关本文的知识背景1 1 5 】：第二部分为预 备知识，介绍一下本文所需要的一些概念、引理：第三部分为本文主要的内容，介绍了如 何利用数值链环类型不变量，( ) 计算两种环上纽结以及排叉结的彳矿不变量并给出了 相应的关系式，以及关系式的基本应用：最后一部分为作者对此内容的些许展望 2 纽结的a 矿不变量 2 预备知识 首先令l = k 。，k 2 ，k ) 为s 3 中的一个具有n 个分支的定向链环 定义2 1 【l 】如果l 中任意一个分支与其余分支的环绕数为偶数，即l k ( k ，l k 1 为 偶数，则称为本征链环 特别地，当对于中任意两个分支来说，它们之间的环绕数均为偶数，即的每个 子链环均为本征链环，则称为全本征链环 定义2 2 如果在s 3x l 中存在平曲面，的一个光滑嵌入，使得，与s 3 f o ，1 1 分别 截得与k ( 即f n s 3 o ) = k ，f n s 3 1 ) = l ) ，则称l 与k 相关联 引理2 1 纽结k 的康韦多项式的二次项系数a ：( k ) 模2 是一个传递等价不变量 定义2 3 纽结k 的a 不变量定义为此纽结的康韦多项式的二次项系数模二的值 即a r f ( k ) = a ：( k ) ( m o d 2 ) 如果一个链环为本征链环，我们可以将的a 矿不变量定义为与它相关联的任 意纽结k 的a r t 不变量【3 。 定义2 3 【1 0 】对任意定向链环，如果不变量，( 三) 满足： ( i ) ，( o ) = 1 ，( 0 为平凡纽结) ： ( i i ) 对三个链环，三及，( 如图2 1 所示，注：未画出的其余部分均相同) 则有 ，( 三) + ，( ) = r 2 i ( 1 ) 则称i ( l 1 为的数值链环型不变量 e ( 图2 1 ) 3 纽结的爿矿不变量 o oo 矗 ( 图2 2 ) 根据定义我们可以很容易地得到如图2 2 所示的链环的数值链环型不变量，( ) ， 其满足：i c l ) = ( 压) 川证明很简单，我们只要将这里的，及，视为图2 3 所示的链 环，再利用数值链环型不变量定义中所给出的关系式即可得到，具体证明略 o o 一 矗 o oc o 矗 o oo o 矗+ l 4 纽结的a , - f 不变量 ，c，=,f-,f机2：二i ( 图2 3 ) 厶本征且彳矿( ) = 0 本征且彳矿( ) = 1 非本征 特别地，对纽结k 来说，我们有： ，( k ) = 二。彳a 矿, - f ( ( k x ) ) ：= 。o 下面我们就将利用定义2 3 计算出几族特殊纽结的数值链环型不变量，( ) ，从而利 用定理2 1 找到这几族纽结自身与a r f 不变量之间的关系 纽结的彳矿不变量 3 纽结的a r t 不变量 3 1 两种环面纽结的a r f 不变量 定义3 1 设p 是正整数，q 是非零整数，在空间中常规的环面( 即轮胎面) 上并列p 条平行线，在绕行一圈与原来先头相接以前分q 次每次向右错位一条线，这样得到的图 形成为环面结，记作乙如果q 为负的，则向左错位即可 特别地，当p ，q 互素时，则乃，为纽结；若d 为p ，q 的最大公因数，则链环乙，有d 个分支：墨，与乙，。均为平凡纽结：乃。一。是乙，的镜像 3 1 1 互。的a 矿不变量 当令p = 2 时我们便得到了环面纽结乃，( 图3 1 1 ) 并且知道当q 为奇数的时，互， 为纽结：当q 为偶数时，疋。为具有两个分支的链环 ( 图3 1 】) 定理3 1 1 对于环面纽结互我们有 f 3 ，土4 ( m o d8 1彳矿( 互，。) = l g 暑 + 1 o ( m o d 8 )a r f ( r ：，。) = o l + _ 2 ( m o d 8 ) 互，。为非本征链环 下面我们利用归纳法来证明此定理： 证明：当q = l 时，互，。为平凡纽结o ，所以，( 互，。) = l ，由引理2 1 知彳矿( 互，。) = o ，结论 成立： 当q = 2 时，令正：= l ，对其中一个交叉点进行分解处理( 如图3 1 2 ) 6 纽结的a 矿不变量 o o o 【图3 1 2 ) 由定义2 3 知： ，( ) + ，( ) = 4 芝t ( t ) ，( o ) = lt ( o o ) = 2 从而有，( 三) = 2 ，( ，) 一，( ) 即 ，( ) = 三1 一三= o ，由引理2 1 矢1 ：1l 非本征，结论成立： 类似当q = 3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 时，结论均成立 现假设当q = k 时定理成立，往证当q = k + l 时定理也成立 这里我们也令五+ l = l ，对上的一个交叉处进行分解( 如图3 1 3 ) 根据定义2 3 我们有，( 己) + ，( ) = 扬( ，) 即，( 疋舢。) = 豇( 正，。) - i ( t 2 扣。) 由假设我们知正。和正扣均 满足定理，故若七暑0 ( m o d 8 ) 时，互，。为链环，k - 1 兰1 ( m o d 8 ) 互扣。为纽结，由定理我们知 a r i ( v ：，。) - - o 则，( 正，。) = 芝，彳矿( 互扣。) = o 则，( 疋扣。) = l ， 从而有 ，( 正。) = 芝互一1 = 1 即当k + l = - - l ( m o d 8 ) 时么矿( 正“。) = o ：若k - 1 ( m o d 8 ) 时，正。 为纽结，k - 1 - - 2 ( m o d 8 ) 乃扣。为链环，由定理我们知彳矿( z ，。) = o 则，( e ，。) = 1 ，正扣，为 非本征链环，则，( 互扣。) - - 0 ，从而有，( 互舢，) = 虿l o = 虿即当k + l - o ( m o d 8 ) 时 彳矿( 五n 。) = 0 ：若七- - 1 ( m o d 8 ) 时，正，。为纽结，尼一1 暑0 ( m o d 8 ) 正扣。为链环，由定理我 们知么矿( 互，。) = o 则，( 互，。) = 1 ，彳矿( 疋加。) = o 则，( 互扣。) = 2 ，从而有 ，( 互“。) = 乏x l 一扼= o 即当k + l 量一2 ( m o d 8 ) 时互舢。为非本征链环：若k - 2 ( m o d 8 ) 时，五。为链环，k - 1 - 3 ( m o d 8 ) 互扣为纽结，由定理我们知乏，。为非本征链环则 j ( 互。) - - o ，么矿( 正扣，) = i 则，( 疋卢。) = 一1 ，从而有i ( t z n 。) = 2 x0 一( 一1 ) = l 即当 7 纽结的彳矿不变量 k + 1 - 1 ( m o d 8 ) 时a , - s ( r ：n 。) - - o ：若k - - 2 ( m o d 8 ) 时，正。为链环，k - 1 - - - - 1 ( m o d 8 ) 互卜。为纽结，由定理我们知互，。为非本征链环则，( 正，。) - o ，彳矿( 五扣。) = o 贝i ji ( t 2 卜) = l ， 从而有，( 瓦“。) = 至o 一1 = 一1 即当七+ 1 鲁一3 ( m o d 引时彳矿( 互n 。) = l ： l 二 ( 图3 1 3 ) 若后- - 3 ( m o d 8 ) 时，正，。为纽结，七一1 - = 4 ( m o d 8 ) 正卜。为链环，由定理我们知彳矿( 正，。) = 1 则，( 正，。) = 一1 ，彳矿( 正卜，) - - i 则，( 互卜) = 一互，从而有，( 正舢。) = 三( 一1 ) 一( 一互) = o 即当k + l 暑2 ( m o d 8 ) 时疋“。为非本征链环：若k - - 3 ( m o d 8 ) 时，互，。为纽 结，k - 1 - - 2 ( m o d 8 ) 正扣为链环，由定理我们知彳矿( 疋。) - i 则，( 乏，。= - l ，乃卜。为非 本征链环则i ( t z 扣，) = o ，从而有，( 正舢。) = j ( 一1 ) 一o = 一互即当尼十1 羞- 4 ( m o d 8 ) 时 彳矿( 互船。) = 1 ：若尼m4 ( m o d 8 ) 时，互，。为链环，k - 1 - - 3 ( m o d 8 ) 互扣，为纽结，由定理我 们知彳矿( 正，。) = l 则，( 正，。) = 一至，a r y ( 五卜。) = 1 则，( 正扣。= - 1 ，从而有 ，( 巧舢。) = 应( 一压) 一( 一1 ) = - 1 即当k + 1 = 3 ( m o d 8 ) 时彳矿( 正舢。- - 1 ：若尼- 4 ( m o d 8 ) 8 纽结的彳矿不变量 时，易，t 为链环，七一1 毫一3 ( m o d 8 ) 乃扣，为纽结，由定理我们知彳j i = 厂( 互。) = 1 则 ，( 互，。) = 一至，彳矿( 互扣。) = l 则，( 正卜) = 一1 ，从而有，( 乏舢。) = 乏( 一互) 一( 一1 ) = 一1 即 当k + l - 3 ( m o d 8 ) 时彳矿( 乏n ) = 1 综上我们知当q = k + l 时定理也成立，从而证明完 成 除此之外，我们还可以通过定义2 3 中所给出的公式，对疋。进行类似图3 1 3 的分解 从而得 ，( 互，。) = 西( 正卜。) 一，( 正卜：) ( 3 1 1 1 ) i ( t 2 。一，) = 2 ，( 正，。一：) 一，( e 一，) ( 3 i 1 2 ) ，( 互，。一：) = 豇( 正扣，) 一，( z 扣。) ( 3 1 1 3 ) 将( 3 1 1 2 ) ，( 3 1 1 3 ) 两方程代入( 3 1 1 1 ) 可得，( 互，。) = 一，( 正扣。) 进一步有 j ( 正，。) = j ( 疋卢。) 像这样得到了数值链环型不变量间的关系式，根据引理2 1 便可以得 到彳矿不变量间关系了 这样我们可以用同样的为式给出互。的彳矿不变量 3 1 2 乃，。的彳i = 厂不变量 互。，是环面扭结乃当g = 3 时所得到的( 如图3 1 4 ) 触他册骊鳓删轧鲁删0 , + 1 ( m 删o d 6 ) 6 ) 彳铡孓， 证明：我们利用和定理3 1 1 完全一样的方法来得出，( 五，) = ，( 五矿。) ，从而得到结 ( 图3 1 4 ) 9 墨， 纽结的a r ，不变量 3 2 排叉结的a r f 不变量 定义3 2 1 设q ，c 2 ，是一串奇数，其个数m 也是奇数，作投影图如下图3 2 1 所 示，图中qo = l ，2 ，3 ，z ) 表示该位置的交叉点数目如果交叉方向与图上相反则c i 算作 负的由于肌与c l ，c 2 ，气全是奇数，因此它是个纽结，且因其样子像我国北方食品“排 叉，故得名排叉结，记作p l 巾， ( 图3 2 1 ) 显然，当q = 1 ( f = 1 ，2 ，3 ，聊) 时，即为彳 1 1 ，i ，其等价于正。( 如图3 2 2 ) 若q 中有一个是一l 时，其等价于疋朋圳若q 中有以个一l ( 明) 时，其等价于互，卅- z 。 ( 图3 2 2 ) i o 毛 纽结的a r f 不变量 定理3 2 1 3 + 4 k ( k = o ，1 ，2 ，) 其中 对任意排叉结巴西，若 型奇数，则我们有 c l ，c 2 ，c m这m 个奇数中含g 个 j ( e ，) = ( 一1 ) 2 压9 j ( e 叫) + ( 一0 3 a i 压p 1 ，( 乞刊) + ( 一1 ) 4 a 2 压旷2 j ( 艺叫：) + + ( 一1 ) 计1a q - i 扬( 已一，) + ( 一1 ) 计2 歹( 已) a o2l ，a l2g ，a 22 这里弓表示的排叉结为q ，g 中不 叮一r + l， o 一，q = 是l 就是一1 的情况即c i = l 或 当g 为偶数时：口2 口兰+ ：， 。2 + ，口。： 当鸟为奇数时：a g + l - - a g + 3 a q l = 口g + 5 ，a o = 口口 222 在给出此定理证明之前，我们先给出下面结论： 定理3 2 2 对任意排叉结乞m 白，我们有： 也，辄小 缘乏如。 ，l i j ， e i ； 扛l 一1 ( f = l ，2 ，s ) ：且 c i - - - l + 4 k ( k = o ，1 ，2 ，) c i = 3 + 4 k ( k = o ，1 ，2 ，) 证明：对于任意排叉结，m m ，现对其q 处交叉进行处理( 如图3 2 3 所示) 从而 我们得到如下式子 ，( o 一一小印钆，。，) = ，( 一卵帅靠) j ( o 一一小一帅 ) ，( 0 1 乍嘲靠) = 进而有当q = 4 k + 3 时 f f - 2 1 ( p c 。， = 西( = 西( ，( e ，。一，钆吼，。 ) 二 当q = 4 k + 1 时 嘲) 一，( e ，一m 即一小岛) 。，。一，。+ 。，。) - i ( p 。，q 一，q 一4 ，。，+ 。，c 。) 。，。卜。，。，+ 。，。) - i ( p , 。，。，一。，c ，一6 ，。，+ 。，c 。) ( p c i 而小瓴v 。) - i ( p , 一一，q ，。r 4 。一2 ，h ，c 。) ( 只，一小钆， ) 一，( ，一小川，“) ，( o 帅钆岛) = ，( o 一一小k ，+ ，岛) “ 定理成立 、汹 ，川 一硝 = 以 l 、=e 非州 纽结的爿，不变量 j 置。铀抽 ( 图3 2 3 ) 1 2 置。和栩 置。铀轴 纽结的爿矿不变量 定理3 2 1 的证明：对任意给定的排叉结乞伟，首先观察奇数c l ，q ，c 刖，根 据定理3 2 2 知，若q = 4 k + l ( k = o ，1 ，2 ，) ，则我们可以直接将c i 变成1 ，即 j ( 只h 靠一+ ， ) = ，( 只以i l 一+ 岛) ，这样一来，我们可以将q ，q ，这 些奇数中凡是符合4 k + l 型的则视为1 ，从而剩下的奇数均为4 k + 3 型 不妨设c l ，中含有g 个4 尼+ 3 型奇数，则有 ，、 ，( ，岛) = ，l 气二垒i 下面我们利用归纳法来讨论剩下的g 个4 七+ 3 型奇数 一口个1 若m 个奇数中只含有一个4 k + 3 型奇数时，即q = 1 时，则由定理3 2 2 直接得 ，( o v 。) = 西( 幺一- - ，( 己) ： 当g = 2 时，( e ，靠) = ，f 2 i ( p m 一：，。) 一，( 己_ l 。) ( 3 2 1 ) ( 注：这里的置，f 表示f + 个奇数中含有f 个l ，表示f + 个奇数含有个4 尼十3 型奇 数) ，( 已- 2 。) = 2 ，( 已一2 ) 一歹( 己一。) ( 3 2 2 ) z ( e m ，) = 西( 己一。) 一，( 巴) 将( 3 2 2 ) 、( 3 2 3 ) 代入( 3 2 1 ) 中得： ，( o v ，) = 升( 只吒，) 一，( 己吐。) = 虿 西( 匕一2 ) 一，( 只一，) 一西( 己一，) + ，( 巴) = 2 ，( 已一2 ) 一2 , , 2 - i ( 已一。) + ，( 己) 满足定理： 现假设当q = k 时，定理成立，下面我们讨论当q = k + l 时的情况通过定理3 2 2 我们 可得到下面式子： ，( 乞一n 。) = 五( 匕一，七) 一，( 匕叱。) ( 3 2 4 ) 由假设知名十。和己叱。均满足定理，所以我们有 j ( 只h ，。) ：( 一1 ) ：a o 2 j ( 己一。) + ( 一1 ) 3a i 压扣1 ，( 己一川) + ( 一1 ) 4a 2 压扣2 ，( 乞一m ) + + ( 一1 ) “1 鲰一。7 届( 匕一。) + ( 一1 ) “2 口。( 已) ( 32s ) 其中 纽结的a r t 不变量 k - it 一2 ， = 1 ，q = 七，口：= i ，q = i = 1 y = l 1 = 1 口喜鄙争z 争t 跏。跏t k - 35 s m i 卢i 七一，+ l， yy j r j ，一 i = 1j ( 这里不妨设k 为偶数则k + l 为奇数) ，( 艺一h ，。) = ( 一1 ) 2a o x 2 。，( p l 一) + ( 一1 ) sa | j 2 卜1 ( 圪一。) + ( 一1 ) 4a 2 x 2 扣2 ，( 乞一川) 其中 进而有 + + ( 一1 ) “1 口一历( 乞一：) + ( 一1 ) “2 吼t f ( 乞一) 盘，= l ，口i = k , a 2 。= 七一l正一2 噬2 噬+ ： 22 k - 35 j t lj = l 2 3 ，口0 2 2 ， k - l + l = l ( 3 2 6 ) lj e i ； 毒i = l 豇( “，。) = ( 一1 ) 2 ”尹+ 1 ，( h 一。) + ( 一1 ) s a l , 2 2 ，( 己一。) + ( 一1 ) 4 口2 w 压扣1 ，( “+ ，) 其中 + + ( 一1 ) “1 吼一，。应2 z ( p o 一：) + ( 一1 ) k + z 口k n 西( ) ”= 1 , a7 - - k d o a ic 1 2 ”= = = k - i k - 2 a k 2 2 口生+ 2 2 k - 3s s - - i = 一 2 露i ， ，口o2 口i 2 现将( 3 2 5 ) 、( 3 2 7 ) 代入( 3 2 4 ) 中得： 其中 k - i 4 - 1， y y - 厶 ，= l ( ，川) = ( 一1 ) 2 口。+ 1 ，( 名小，) + ( 一1 ) 3q 压j ( 已一。) + ( 一1 ) 4 口压扣1 ( c ) + - + ( 一1 ) k + 2a k 妇( 艺一，) + ( 一1 ) “3 + 。，( ，) a o = 口o 。= 1 ，q t一 口，2a ，一l + d r 2 k - t + 2 ， y y 厶厶 l = 1 事实上皤- - a i 。( i = 0 ，1 ，r ) ，所以 s m i 七一l l + k ，口2 = 口1 7 + 口2 。= 七十z i = z i ， 我们有 1 4 扭l 七一r + 2， y y j ，一j r i = ls = l ( 3 2 7 ) 巧 、两 i l ， r 口 ， b 、硝 ， 4 口 b 一一 一 r 口 ， ， 1 、瑚 妇 圭矧 同 i l 一 3 口 ， 渊 一 7 巧 ，渊 l l r 口 ， ， 、瑚 一 吼 b 、简 川 i l 一 3 口 ， 渊 七一2 口 ， 一 口 +口 = ：q 毹、鲥、瑚 + 、瑚 一 纽结的爿矿不变量 a 七+ 2 = a 七+ a 七+ 2 一= a 七+ 4 + 口七+ 2 - = a 上+ 4 一i - a 七+ 2 = a 量+ 4a 七= 口上+ 6 ，a o = a 七“ 丁jt下下丁丁下i了 结论成立，这样我们便得到了当q = k + l 时定理3 2 1 也成立，证明完毕 上面我们给出了排叉结的数值链环不变量，( 乞m ，c m ) 的计算定理接下来我们只要 借助一些已知的关系式：，( 乞) = ( 互，。) ( 注：若m 中畲有n + - i 则有，( 只) = ( 正埘：。) ) 便 可以非常容易地计算出，( 乞m ，) ，最后在利用引理2 1 种给出的数值链环不变量，( l ) 与a 矿之间的关系，从而得到任意排叉结的a 矿不变量这样我们便可以不通过计算排 叉结的多项式而从其自身出发来得到其a r f 不变量 3 3 应用 事实上，3 2 中所介绍的式子，当m 为偶数的时候也是成立的，只是当m 为偶数的时 候是链环 下面我们来看看，当m = 2 时( 如图3 3 1 ) ，排叉结如的彳矿不变量的情况 根据定理3 2 1 及引理奎1 ，我们知： ( 1 ) c l 和c 2 同号时有： 当q 和c ：均为船+ 1 型奇数，( 乞，q ) = ，( 日，。) = ，( 疋，：) = o ，即乞，晚为非本征链环： 当q 和q 均为4 七+ 3 型奇数，( 乞，勺) = ，( 墨，。) = ，( 正，：) = o ，即乞，q 为非本征链环： 当q 和c 2 一个为4 k + l 型奇数一个为4 k + 3 型奇数， ，( 乞，勺) = 豇( e ) 一( 曰，。) = i ，( 互，。) 一，( 正，：) = 虿一o = 虿，即彳矿( ，勺) = o 、， l r a 埒 置郾 纽结的彳，不变量 ( z ) c l 和c 2 异号时有： c i 和c 2 均为4 j | + l 型奇数，j ( 矗，q ) = ，( 露，一。) = ，( o o ) = 芝，即彳矿( q ) = o ： 当c 1 和c ：均为4 忌+ 3 型奇数，j ( 乞魄) = j ( 日，一。) = ，( o o ) = 芝，即么矿( 乞，q ) = o ： 当c t 和c ：一个为敏+ 1 型奇数一个为4 尼+ 3 型奇数，( 乞勺) - - 0 ，即乞龟为非本征链环 这样我们就完成了对排叉结乞，白的彳矿不变量的讨论很显然，通过3 2 所给出的结 论，我们对相关链环或纽结或链环的彳矿不变量的讨论变得更加直接简单，也大大缩减 了计算量 1 6 纽结的a 矿不变量 4 总结与展望 通过本文的介绍，我们可以了解到，对于链环或纽结的a r f 不变量的求解，我们完全 可以放弃对其多项式的计算研究而从其自身出发，利用链环型不变量，得到更加直接简 单的关系式 本文中只是对环上纽结中的两种类型以及排叉结这三种链环纽结做出了讨论研究， 也得出了一些关系式事实上，对于其他类型的链环或纽结，我们也可以用这样的方式 因此，我们还可以利用本文所采取的方式，获得更多链环与纽结的a 矿的相关关系式 1 7 纽结的a , - f 不变量 参考文献 【1 】姜伯驹绳圈的数学【m 】长沙，湖南教育出版社，1 9 9 1 2 周治修关于k ( 彳，b ) 与k ( 日，昱，) 的多项式不变量的几点注记浙江大学学 报( 理学版) ，2 0 0 5 ，3 2 ( 1 ) 【3 】r a r o b e r t e l l o a ni n v a r i a n to fk n o tc o b o r d i s m c o m m p u r ea p p l m a t h ，19 6 5 ， 18 ：5 4 3 5 5 5 4 】r h c r o w e l la n dr h f o x i n t r o d u c t i o nt ok n o tt h e o r y g i n n ，19 6 3 【5 】s k o j i m aa n dm y a m a s a k i s o m e n e wi n v a r i a n t so fl i n k s i n v e n t m a t h 19 7 9 ，5 4 ：213 2 2 8 6 w b r l i c k o r i s ha n dk c m i l l e r t o p o l o g i c a li n v a r i a n t so fk n o t sa n dl i n k s ，p r e p r i n t ， 1 9 8 4 7 】j i mh o s t e t h ea r f i n v a r i a n to fat o t a l l yp r o p e rl i n k ，t o p o l o g ya n di t sa p p l i c a t i o n s19 8 4 ， 1 8 ：1 6 3 1 7 7