（基础数学专业论文）一般射影线性群pgl2q和4q15λ设计.pdf

0 。! 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：缸丝 日期：肆年血月l 日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：拉导师签名巡日期：鱼牛年卫月上日 摘要 是现代代数最基本和最重要的概念之一它在数学本身以及现 技术的很多方面都有广泛的应用比如在理论物理、量子力学、 学、结晶学等方面的应用就是证明组合设计在数学和统计学 着广泛的用途，在这两种数学背景下，组合设计理论得到迅猛 着群论和组合设计的不断发展，人们发现群和组合设计之间存 密的联系对一些很复杂的群，我们可以通过构造一些设计，使 设计上的自同构群恰好是我们所要考虑的群这比我们仅从群 来考虑群的结构简单、具体 文旨在讨论一般射影线性群p g l ( 2 ，g ) 和特殊射影线性群 p s l ( 2 ，g ) 区传递作用下的4 一( g + 1 ，5 ，a ) 设计的存在性问题 第一章中，我们对群与组合设计的历史背景和研究现状进行了综 述并简单介绍了本文所做的主要工作 第二章中，我们给出了群论和组合设计的一些基本知识，为本文 的后续工作打下基础 第三章中，我们探讨一般射影线性群p g l ( 2 ，g ) 区传递作用下的 4 一( q + 1 ，5 ，五) 设计的存在性问题得到了以下结论： 定理1 ：设f = ( x ，d ) 是一个4 一( v ，5 ，五) 设计，g a u t ( f ) 区传递地作 用在，上如果x = g f ( q ) u o o ，且g = p g l ( 2 ，g ) ，则下列情形发生： ( 1 ) q = 1 7 ，f 是一个4 一( 1 8 ，5 ，4 ) 设计 ( 2 ) q = 3 2 ，f 是一个4 一( 3 3 ，5 ，4 ) 设计 第四章中，我们证明了特殊射影线性群p s t ( e ，g ) 区传递作用下的 4 一( g + l ，5 ，五) 设计只可能是4 一( 3 3 ，5 ，4 ) 设计 关键词4 一( g + l ，5 ，五) 设计，区传递，p g l ( 2 ，g ) ，p s l ( 2 ，g ) a bs t r a c t g r o u pi so n eo ft h em o s tb a s i ca n dt h em o s ti m p o r t a n tc o n c e p t si n m o d e ma l g e b r a i th a saw i d er a n g eo fa p p l i c a t i o n si nm a t h e m a t i c si t s e l f a n dm a n ya s p e c t so fm o d e ms c i e n c ea n dt e c h n o l o g y i ti sp r o v e db yt h e a p p l i c a t i o n s i nt h e o r e t i c a l p h y s i c s ，q u a n t u mm e c h a n i c s ，q u a n t u m c h e m i s t r y , c r y s t a l l o g r a p h y , a n ds oo n c o m b i n a t i o nd e s i g n a l s oh a sa w i d er a n g eo fu s e si nm a t h e m a t i c sa n ds t a t i s t i c s i nt h e s et w ok i n d so f m a t h e m a t i c a l b a c k g r o u n d ，t h e t h e o r i e so fc o m b i n a t i o nd e s i g na r e d e v e l o p e dr a p i d l y a st h ed e v e l o p m e n to ft h et h e o r yo fg r o u pa n dc o m b i n a t i o nd e s i g n ， p e o p l ef o u n d t h e r ea r ec l o s et i e sb e t w e e nt h eg r o u pa n dt h ec o m b i n a t i o n d e s i g n f o rs o m ev e r yc o m p l i c a t e dg r o u p ，w ec a nc o n s t r u c tan u m b e ro f d e s i g n sa n dl e tt h ea u t o m o r p h i s mg r o u p so nt h e s ed e s i g n sb ee x a c t l y w h a tw ea r ec o n s i d e r e d t h i si sm o r es i m p l ea n ds p e c if i ct h a no n l y c o n s i d e r e dt h eg r o u ps t r u c t u r ef r o mt h eg r o u pt h e o r y t h i sp a p e ra i m sa td i s c u s s i n gt h ee x is t e n c eo ft h e4 一( g + 1 ，5 ，旯) d e s i g na d m i t t i n gt h eb l o c k t r a n s i t i v ea u t o m o r p h i s mg r o u p sp g l ( 2 ，q ) a n d p s l ( 2 ，q ) t h i st h e s i sc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ew i l lg i v es o m ei n t r o d u c t i o na b o u tt h eh i s t o r ya n d c u r r e n tr e s e a r c hs i t u a t i o no ft h eg r o u pt h e o r ya n dd e s i g n ( 1 i n e a rs p a c e s ) t h e o r y a n dw eb r i e f l yd e s c r i b et h em a j o r w o r kd o n eb yt h i sa r t i c l e i n c h a p t e r 2 w ew i l li n t r o d u c et h ee l e m e n t a r yc o n c e p t sa n d c o n c l u s i o n st h a tw i l lb eu s e di nt h i st h e s i s c h a p t e r3i st h ef o c u so f t h i st h e s i s i nt h i sc h a p t e r , w ec o n s i d e rt h e e x i s t e n c eo ft h e 4 一( q + 1 ，5 ，五) d e s i g na d m i t t i n g t h eb l o c kt r a n s i t i v e a u t o m o r p h i s mg r o u p sp g l ( 2 ，g ) w eg e tt h em a i nt h e o r e m a sf o l l o w s ： t h e o r e m1 ：l e t f = ( x ，d ) i sa4 一( ，5 ，2 ) d e s i g n ，a n dg a u t ( f ) a c t s b l o c k t r a n s i t i v e l yo nf i fx = g f ( q ) i , j 。) a n dg = p g l ( 2 ，q ) ，t h e n ( 1 ) g = 17 ，fi sa4 一( 18 ，5 ，4 ) d e s i g n ( 2 ) q = 3 2 ，fi sa4 一( 3 3 ，5 ，4 ) d e s i g n i nc h a p t e r4 ，w ec a np r o v et h a ti ft h e r ea r e 4 一( g + l ，5 ，五) d e s i g n s a d m i t t i n gt h eb l o c kt r a n s i t i v ea u t o m o r p h i s mg r o u p sp s l ( 2 ，g ) ，i tm u s tb e a 4 一( 3 3 ，5 ，4 ) d e s i g n k e yw o r d s 4 一( g + 1 ，5 ，a ) d e s i g n s ，b l o c k - t r a n s i t i v e l y , p g l ( 2 ，q ) ， p s l ( 2 ，9 ) 目录 第一章绪论1 1 1 群与组合设计的历史背景1 1 2 研究现状一l 1 3 关于本文的工作2 第二章基础知识3 2 1 群论知识3 2 2 群在集合上的作用5 2 3 传递成分g 6 2 4 组合设计知识一7 2 5 本文所用符号1 0 第三章p g l ( 2 ，q ) 作用下的主要结果一1 2 3 1 引言1 2 3 2p g l ( 2 ，1 7 ) 区传递作用下4 一( 1 8 ，5 ，兄) 设计的存在性1 2 3 34 一( 3 3 ，5 ，元) 设计的存在性1 4 第四章p f l ( 2 ，q ) 作用下的主要结果2 4 4 1 引言2 4 4 2 p s l ( 2 ，q ) 区传递作用下4 一( g + l ，5 ，五) 设计的存在性2 4 4 3 p s l ( 2 ，q ) ： 区传递作用下4 一( g + 1 ，5 ，五) 设计的存在性2 6 4 4 p g l ( 2 ，q ) ： 区传递作用下4 一( g + 1 ，5 ，五) 设计的存在性2 6 参考文献2 8 附录l 3 2 程序1 3 2 程序2 3 3 程序3 3 3 程序4 一3 4 附录2 3 7 程序l 3 7 程序2 3 7 程序3 3 8 程序4 3 8 程序5 3 9 致谢4 0 攻读学位期i 日j 主要研究成果4 1 v 硕十学位论文 第一章绪论 第一章绪论弟一早珀了匕 1 1 群与组合设计的历史背景 置换群的理论是群论中具有悠久历史的一部分实际上，在很长一段时间内， 群总是被理解为置换群当然，这种理解不再正确了但是，随着群作用概念的 引入，置换群仍在抽象群的具体化表示中发挥极其重要的作用对于有限群，矩 阵表示和置换表示仍是将抽象群进行具体表示的重要途径而即使是对于矩阵 群，研究它的子群时仍常常需要考虑它在某个几何结构上的置换作用( 1 ) 用群论方法研究组合结构是近年来比较活跃的课题这个课题是来自于群 与组合结构理论的交互发展，一方面，几何结构是展现抽象群的性质或子群结构 的理想载体之一，而有限几何结构更多地表现为组合方面的性质；另一方面，研 究组合结构的自同构群对于了解相关组合结构具有根本的意义，也是对组合结构 进行分类的重要手段，而要发现新的组合结构，群理论又往往是最直接的切入口 组合设计的研究也许始于e u l e r 时代到十九世纪之间( 2 ) p l u c k e r 研究了 一类具有区长为3 的2 一设计( 3 4 ) ，后来s t e i n e r 也研究了这些设计和一些，一 设计( 现在称之为s t e i n e r 系) ( 5 8 ) 区组设计是一种常见的组合结构，而线 性空间是一个特殊的区组设计 随着研究的深入，我们发现群和组合设计之间存在着紧密的联系对一些很 复杂的群，我们可以通过构造一些设计，使得这些设计上的自同构群恰好是我们 所要考虑的群这比我们仅从群论角度来考虑群的结构简单、具体m a t h i e u 群 就是一个典型的例子反过来，对设计的自同构群的研究可以帮助我们发现新的 设计( 9 ) 因此，群论领域和组合设计领域互相渗透，互有贡献 1 2 研究现状 在群论的众多分支中，有限群论无论从理论本身还是从实际应用来说都占据 着更为突出的地位同时，它也是近年来研究最多，最活跃的一个数学分支最 近2 0 多年以来，经过很多数学家的努力，在有限群中取得了一连串的突破，并终 于在1 9 8 1 年解决了著名的有限单群的分类问题这项重大的科学成果的得来是很 不容易的如果从1 8 3 2 年g a l o i s i i e 明交错群丘是单群算起，整整经历了1 5 0 年参 加这项工作的数学家前后共达几百人为了证明单群分类定理，即有限单群共有 1 8 个无限族和2 6 个零散单群( 1 0 1 3 ) ，人们使用了抽象群论的，表示论的( 包 括常表示和模表示) ，几何的以及组合论和图论的方法，在杂志上发表了数千页 硕十学位论文第一章绪论 以至上万页的论文这些论文的总体就构成了单群分类定理的证明当然人们希 望能有一个完整的证明，但在今天看来，要写出这样的证明还需要一定的时问 ( 1 ) 由于这项重大的成果，在数学界中形成了“有限群热”，很多学数学甚至学 物理都想学一点关于有限群的知识( 1 ) t 一设计的构造是组合设计理论中的重要问题，有着重要的理论意义和实际 应用背景( 1 4 - 1 7 ) r 一设计的理论与方法在数理统计、运筹学、信息论和计 算机科学中都有着重要的地位 自从八十年代初有限单群分类问题解决以来，有限群的内容得到充实抽象 群论和置换群论以前未解决的一些重大问题也获得了解决用现有群论的科学成 果和方法去研究组合设计，为组合数学注入了新的思想，也成为现在群论界的一 个热点九十年代初，三位群论学家和三位组合学家合作完成的旗传递2 一设计的 分类定理，就是这方面的巨大成就同时，在这些过程中提出了一些新的群论问题， 也是对群论研究的挑战 群与组合设计联系中我们考虑的最多的是群p g l ( 2 ，q ) 和群p s l ( 2 ，q ) ( 1 8 - 1 9 ) 区传递( 2 0 - 2 4 ) 以及旗传递( 2 5 - 2 6 ) 作用下的设计，且在3 一 设计( 2 7 - 2 8 ) ，4 一设计( 2 9 3 5 ) 和5 一设计( 3 6 ) 方面都得到了一定的结 果 1 3 关于本文的工作 本文主要讨论一般射影线性群p g l ( 2 ，q ) 和特殊射影线性群p s l ( 2 ，q ) 区传递 作用下的4 一( q + 1 ，1 ，五) 设计的存在性由群p g l ( 2 ，q ) 与区传递的定义我们知道 这样的q 可分为七种情况，而由设计中的定理：若( x ，d ) 是一个t 一( v ，k ，旯) 设计， 那么西= x b i b d 也是一个设计，所以我们只要考虑k v 2 ，即只要讨论 q = 1 7 和q = 3 2 这两种情况 当q = 1 7 时，五 1 , 2 ，4 ，8 ，而本文已经证明了见的取值只能为4 ，且该 4 一( 1 8 ，5 ，4 ) 设计是唯一的，文献 7 已给出其存在性 当q = 3 2 时，五 1 , 2 ，4 本文已证明了五的取值只能为4 ，且已构造出了所 有可能的4 一( 3 3 ，5 ，4 ) 设计 在本文中我们同时也证明了特殊射影线性群p s l ( 2 ，q ) 区传递作用下的 4 一( q - i - l ，五) 设计只有4 一( 3 3 ，5 ，4 ) 设计 2 硕七学仲论文第二章基础知识 2 1 群论知识 第二章基础知识 弟一早荃佃函大u 以 定义2 1 1 设矿是数域k 上，2 维线性空间，则v 的所有可逆线性变换对乘 法组成一个群，它同构于k 上全体，z 阶可逆方阵组成的乘法群这个群记作 g l ( n ，k ) ，叫做域k 上的，z 级全线性群 定义2 1 2 令舡( 刀，k ) 为所有行列式为l 的胛阶方阵组成的集合，则 s l ( n ，k ) 是g l ( n ，k ) 的子群，叫做k 上的，? 级特殊线性群 容易验证，s l ( n ，1 0 睁g l ( n , 目，并且 g l ( n ，k ) s l ( n , k ) 兰( f ，) 又，由线性代数得知，g l ( n ，k ) 的中心z 由所有n 阶非零纯量阵组成 定义2 1 3 我们称 p g l ( n ，k ) = g l ( n ，k ) z 为k 上，z 阶射影线性群又 p s l ( n ，k ) = s l ( n ，k ) ( zns l ( n , k ) ) 为k 上n 阶特殊射影线性群 假定k = g f ( q ) ，是包含q 个元素的有限域，则上述各群分别记作g l ( n , q ) ， s l ( n ，g ) ，p g l ( n ，口) ，p s l ( n , q ) 定理2 1 1 ( 1 ) i g l ( n ，g ) i = ( q ”- 1 ) ( q ”- 2 ) ( 矿- q 川) ； ( 2 ) i s l ( n ，g ) l = p g l ( n ，9 ) i = i g l ( n ，q ) l ( q 1 ) ； ( 3 ) i p s l ( n ，g ) i = l s t ( n ，q ) l ( n ，q 一1 ) 证设v l ，v 2 ，是k 上n 维线性空问v 的一组基v 的可逆线性变换口把 v l ，v z ，仍变成y 的一组基，于是详，1 ，? 满足 详o ，v a ，诺 ，萑 这就推出了( 1 ) 扒i e n ( 2 ) ，只须注意到l k l = l z i = g 一1 ，由g l ( n ，q ) s l ( n ，q ) 兰( ，) 及 p g l ( n ，q ) 的定义立得结论 而( 3 ) 等价于l z n 配( 胛，g ) i = ( ，? ，q - 1 ) 由于z 由纯量阵组成，上式左边是 满足a ”= 1 ，a k ，的a 的个数，由于( k ，) 是循环群( 有限域的乘法群是循环 群) ，则该群中方程x 5 = 1 恰有( 5 ，f ) 个解，故我们可以得到( 3 ) 定义2 1 4q 上的一个置换就是q 到自身的一个一一映射如果我们根据 公式口用= ( a p ) q 来定义q 上置换p ，q 的乘积，那么q 上的全部置换对于上述运算 硕十学位论文第二章基础知识 构成一个群，称之为对称群，记为s y m ( q ) 并且s y m ( q ) 的子群称为置换群 定义2 1 5 设g 是q 上的一个置换群，k 是一个自然数，l s k ，z i q l 如 果对q 上任意两个有序k 点组q ，和届，羼( 对i ，有q 口，屈，) ， 都存在g g 将q 变成屈：群= 屈( f - l ，2 ，k ) ，我们就称g 是k 重传递的若 对q 上任意两个k 点组口= 口l ，吼) 和= 届，屏 ( 对i ，有钙口， 屈，) ，都存在g g 将口变成：口g = ，则称g 是k 重齐次的 推论2 1 1 每个k + l 重传递群也是k 重传递的 定义2 1 6 设g 为群，日是g 的子集，g g 若h g = h ，则称元素g 正规化 h ，而称g 中所有正规化日的元素的集合 g ( h ) = g g 1 日g = h 为日在g 中的正规化子 又若元素g 满足对所有h h 恒有h g = h ，则称g 元素中心化h ，而称g 中所 有中心化日的元素集合 c 0 ( h ) = g gj 办g = 办，v h 日 为日在g 中的中心化子 规定z ( g ) = g ( g ) ，称之为群g 的中心 定义2 1 7 设g 为群，口，g g ，规定：口耳= g a g ，称a g 为口在g 下的共轭变 形称g 中元以，b ( 或子集h ，k ) 在g 中共轭，若存在元g g ，使得 矿= b ( h g = k ) 共轭关系是等价关系于是群g 的所有元素依共轭关系可划分 若干等价类，称之为共轭类 定义2 1 8g 中元口所属的共轭类c 撇c l = l c ：c g 位) 1 因此，l c l 也是 i g i 的因子类似的，子群( 子集) h 的共轭子群( 子集) 的个数为l g ：n o ( h ) l 也是 i g i 的因子 定义2 1 9 群g 称为其子群日，k 的直积，如果下面的条件满足： ( 1 ) h 司g ，kqg ； ( 2 ) g = h k ： ( 3 ) 片nk = 1 此时记为g = h x k 定义2 1 1 0 设，为两个抽象群，口：f 专a u t ( n ) 是同态映射，则和 f 关于口的半直积g = n x 。f 规定为 g = n f = ( 订，x ) l a n ，z f ) ， 运算为 ( 口，x ) ( 6 ，y ) = ( a b 。，x y ) 和f 关于口的半直积g = n 。f ，也可记为n ：f ，即被f 的可裂扩张 4 硕士学位论文第二章基础知识 定义2 1 1 1 设g 为有限群，群g 的基柱( s o c l e ) 是指g 的所有极小正规 子群的直积，记为s o c ( g ) 有限群g 称为几乎单群，如果存在非交换单群丁使得 t = s o t ( g ) 司g a u t ( t ) 定义2 1 1 2 设p 是素数，z p 是p 阶循环群，z 是一正整数，称 g = z p z | f ，z p 、v - - n 为p ”阶初等交换p 群，它同构于g f ( p ) 上的聆一维向量空间的加法群 表1 - 1p s l ( 2 ，2 聆) 的置换特征( 【3 7 】) dl ( 2 甩一1 ) ， g 的阶 12 di ( 2 甩+ 1 ) d 1 g 的中心化子 6 2 以2 疗一12 甩+ 1 的阶 共轭类个数 ll 痧( d ) 2矽( d ) 2 g 的稳定点个 2 门+ 1 l2o 数 表卜2 尸g ( 2 ，g ) 作用下的轨道数目( 【3 8 】) q 模6 余数 口满足 i g 口il g b i = 4 的轨道数目 1 口z 一口+ 1 = 0 1 2 1 ( q 一7 ) 6 口 _ l ，2 ， 8 2( q 一2 ) 6 3 口= 21 2 ( q 一3 ) 6 4 口2 + 口+ 1 ：0 1 2 ( q 一4 ) 6 5 口 - ， ) 8 ( q 一5 ) 6 2 2 群在集合上的作用 定义2 2 1 设q = 口，7 ， 是一个有限集合，其元素称为点跏( q ) 表 硕十学位论文第二章基础知识 示q 上的对称群g 在q 上的作用矽指的是g 到s y m ( f 2 ) 内的一个同态，即对每 个元素x g ，对应q 上的一个置换 矽( x ) ：口b - - 口。， 并且满足： ( 口。) y = o g x yx ，y g ，口q 如果k e r ( 矽) = l ，则称g 忠实地作用在q 上，这时g 看作q 上的置换群如果 k e r ( ) = g ，则称g 平凡地作用在q 上 定义2 2 2 瓯= x g l 口= 口。) ，则嚷是g 的一个子群，称之为点口的稳定 子群对于任意的y g ，都有g ，= y - y 定义2 2 3 设群g 作用在集合q 上，称二元素口，q 为等价的，记作 口一，如果存在x g ，使得口。= 易验证“”关系是q 上的等价关系q 对 “ 的一个等价类叫做g 在q 上的一个轨道一个轨道所包含的元素的个数叫 做该轨道的长 对于口q ，令口g = 缸。l x g ) ，则口6 是包含口的轨道 定义2 2 4 如果g 在q 上只有一个轨道，即q 本身，则称g 在q 上的作用 是传递的 定义2 2 5 群g 传递地作用在q 上令互q ，如果对于任意的g g ，都 有譬= a 或a g 厂、= g ，则称是g 作用在q 上的一个区显然，q ，空集。以及 单点集缸 都是g 的区，则称它们是g 的平凡区如果g 仅有平凡区，就称g 作用 在q 上是本原的 2 3 传递成分g 定义2 3 1 设g 是q 上的一个置换群，简言之：g s y m ( q ) 如果q 的一个 子集满足= g ，我们就说是g 的一个不动区，或者说在g 下不动，这时， 每个g g 诱导出上的一个置换g 由所有g g 诱导出的g 的全体组成的集 合g 称为g 在上的成分g 是上的一个置换群显然，g 专g a 是一个同态 映射：g ；g 如果这个映射是一个同构映射，即l g i = l g i ，那么成分g 就称为 真实的 显然，g 的两个不动区的交与并还是不动区，对每一个子集r q ，g 的包含 1 1 的最小的不动区是严 q 上的每个群g 都有平凡不动区和q 如果g 没有其它不动区，g 称为传 递的否则就成为非传递的当( a ) 是一个极小不动区时，成分g 是传递 的在这种情形，称为g 的一个轨道或传递集 6 硕+ 学位论文第_ 二章基础知识 定义2 3 2 设g s y m ( f 2 ) ，a q g 中那些使中每个点都保持各自不动 的置换组成g 的一个子群g 。如果只包含一个点口，我们就记g a = 瓯 定理2 3 1 【3 9 】每个点口q 恰属于g 的一个传递集a = 口g 两个点口和属 于同一个传递集当且仅当对某个g g ，= 口譬 定理2 3 2 p 叫如果是g 的一个传递集并且s s y m ( q ) ，那么心是s _ 1 伍的 一个传递集 定理2 3 3 3 9 1 对每个g g 和a g q ，有g 一1 g g = g 酽特别地，0 1 1 果g 保持 不动，那么g g ，g g a 兰g 定理2 3 4 p 卅( 轨道长定理) i g a i l o f , “f = j g i 2 4 组合设计知识 设x = g f ( q ) u o o ，q 是一个素数幂，则x l j l = v x l l v i = o ；设 g = p g l ( 2 ，q ) ，则l g i = ( q + 1 ) g ( g - 1 ) 定义2 4 1 【4 0 】f 一( v ，k ，五) 设计定义为符合以下条件的一对符号( x ，d ) ： ( i ) x 是一个v 集合； ( i i ) d 是x 的一组k 子集； ( i i i ) x 的任意给定的f 子集都恰好含于d 的五个成员之中 x 的元素称为点，d 的成员称为区，区组个数设为b 若一个t 一( ，k ，五) 设 计不包含重复区组就叫做单纯的本文只考虑单纯的设计若x x ，b 刃，x b ， 则称( e b ) 为一个旗 定义2 4 2 令g 为x 的对称群s y m ( x ) 的一个子群g 以一种自然的方式作 用于x 的子集：若g g ，b x ，则g ( b ) = g ( x ) - x b 设s 冬x ，令 g ( s ) = g ( s ) ：g g ) 和g s = g g ：g ( s ) = s ， 我们称g ( s ) 和g 分别为s 在g 下的轨道和稳定子群易知j gj = g ( s ) l l c s 若g ( 矿) = g ( ) ，则称y 形 定义2 4 3 设f = ( x ，d ) 是一个r 一( v ，k ，兄) 设计，g s y m ( x ) ，若v g g ， b d ，有b g d ，则称g 是f 的一个自同构群设b d ，g ( b ) = d ，则称g 是区传递的若g 在集合侈上是本原的，则称g 是区本原的若g 在旗集合上 是传递的，则称g 是旗传递的若g 在集合x 上是传递的，则称g 是点传递的若 g 在集合x 上是本原的，则称g 是点本原的 由定义显然可知若f 是，( v ，后，五) 设计，且g 是旗传递的，则g 是点传递的， 也是区传递的 定义2 4 4 t 4 1 】令g 作用在x 上，g 把x i ，1 分成了m 个轨道q ，瓯若 堡堂垡垒茎 一 第二章基础知识 - 二一：= ：= ： ae x m ，f 七 ，一1 ，则称( ，材。) 为的f 一比例向量，其中，为q 中包含在 内的成员数目 引理2 4 1 【4 2 】f 一( v ，k ，五) 设计存在的必要条件是： 织) 三。( m o d 引理2 4 2 h 2 1 若( x ，d ) 是一个，一( 1 ，；七，五) 设计，那么西： x bb d ) 也是一 个设计 特别地，我们只要考虑k v 2 即可 定理2 4 1 h 3 1 - + t 一设计d t 提- + s 一设计( 1 s f ) 如果d 作为，一设 计的参数是f 一( v ，k ，a ) ，则它作为s 一设计的参数是j 一( v ，k ，丑) ，且 以：( v - s ) ( v - s - 1 ) - - - ( v - t + 1 ) 3 ( k s ) ( 七- - s - 1 ) ( j | 一t + 1 ) 。 推论2 4 1 记矗= 6 = i b i ，= 丑，则 ( 1 ) 6 ：五尘二! l ! ! 二! ! ! ： 庀【庀一1 ) 【七一r + 1 ) ( 2 ) b k = v r ： ( 3 ) r ( k - 1 ) = 如( v 1 ) 引理2 4 3 f 4 2 1 若( x ，d ) 是一个卜( 1 ，七，五) 设计，那么 6 = 磊= 五( ：，) ( 多) 州= 五脾) 且当t 2 时， 4 ( v 一1 ) = a ( k - 1 ) 当卜- ( v ，k ，a ) 设计存在时，对0 i t ，五都是整数，因此这可用来判断 t - ( v ，k ，a ) 设计是否存在的必要条件 引理2 4 4 3 7 1 i 发q = 2 ”，b 为x 的一个5 一子集，a2 1 1 g , l ，则4 | i 瓯i 引理2 4 5 设，= ( 彳，d ) 是- - + 4 - ( q + l ，5 ，五) 设计，x = g f ( q ) u o o 如果 g = p g l ( 2 ，g ) 区传递作用在，上，be d ，则兄f g 井( g 一2 ) = 1 2 0 证明 因为g 区传递作用在f 上，所以区组个数i 。i 一( q + 1 ) 5 q ( 4 q - 3 1 ) 2 ( q - 2 ) 2 ， 又f d f = 禺 故办阱( 一) _ 1 2 0 口 8 硕七学位论文第二章基础知识 由引理2 4 5 知，五i g 厅l ( q - 2 ) = 1 2 0 由于g 为素数幂，则经计算可得下表 表2 4 1 g 2 22 32 5357l 7 五i g 。j 6 02 041 2 04 02 48 由引理2 4 2 司知，只需考虑q 1 7 ，2 3 这两种情况 引理2 4 6 3 8 1 令b x i 引，则l q l = 1 或i g b l 为偶数若是后者，则存在某个口， 使得b 一 o ，1 ，0 0 ，口，口2 引理2 4 7 】若o ( g ) ：2 ，且g ：2 一，则g ( x ) ：a x + b ，其中口，b ，c g f ( q ) “十口 引理2 4 8 若q = 2 ”，n 为奇数，b = o ，1 ，o o ，口，) ，则l g 丹l = 1 或2 ，若是后者， 帅 ，击 口l 一口 证明 v g g ，若g 稳定b ，由表1 1 知o ( g ) 1 ，2 ) 若o ( g ) = 2 ，则g 稳定一个点，且有1 6 个2 轮换， 若g 稳定 0 ，分两种情况讨论： ( a ) ： ，1 ) ，缸， ， 0 是 作用在b 上的轨道，则g = 与， 即 ：旦 口一l ( b ) ：_ 棚， o 是 作用在b 上的轨道，则g = 端， 又 o ( g ) ：2 ，则由引理1 7 知，= 三 同理可知： 若g 稳定 0 0 ，则g 不存在 若g 稳定 1 ，则= 二 若g 稳定 口 ，则= 口2 故若l g b i ：2 ，b ： o ，1 ，o o ，口， ，则 土，口2 7 - 仃- - - 口 口1 一u 9 硕七学位论文第二章基础知识 定义2 4 5 x 的有序四元子集( x i ，x 2 ，x 3 ，_ ) 的交错比为( 五，x 2 ，而，_ ) ，且 ( ，x 2 ，x 3 ，确) = ( 一而) ( 一) ( 五一毛) ( 恐一x 3 ) 由定义可知：( 1 ) ( 五，x 2 ，x 3 ，x 4 ) x - o o ，0 ，1 ； ( 2 ) ( 而，x 2 ，x 3 ，x 4 ) = ( 乃，y 2 ，乃，y 4 ) 当且仅当存在g g ，使得 g x , = 只，( f = l ，2 ，3 ，4 ) ； 定义2 4 6i ：扛，三，l x ，_ l ，l 一土，去) 工l 一工xx l 定理2 4 2 m 令群h 作用在v 点集】，上，d i ，d 。是日作用在砂i 上的一些轨 道，0 l ，0 2 ，是日作用在叫上的所有轨道，那么( 】，0 q ) 是一个f 一( ，k ，五) 设计 当且仅当对所有眠有纠i 巩其中= 眇d f j ，色q 特别地，当群h 区传递作用于f 一( v ，k ，a ) 设计时，y 恤l 上有唯一的轨道d ， 此时u n = u ， 引理2 4 9 若g 旗传递地作用在t 一( ，k ，五) 设计上，则有下面的等式成立： ( 1 ) i g i = 俐妒i - - i q l v ； ( 2 ) i gj = i g 8 1 b g i = i 皖1 6 ； ( 3 ) l g i = i 1 1 ( 如) g 1 = g 妇l b k ，x b 由上面三个式子可推出： 6 ：蚓：坐丛 “i g b i 七j g 坩l 定理2 4 3 g 区传递且忌l v ，贝, i j g 旗传递 2 5 本文所用符号 本文所用的符号是标准和规范的： h g h 心g 日兰g k g f ( q ) g f ( n ，q ) 日是g 的子群： 是g 的正规子群： h 同构于g ： 域k 中的非零元： 包含q 个元素的有限域； 域g f ( q ) 上的n 维仿射空间： l o 硕士学位论文第二章基础知识 i g i o ( g ) ( 日) q ( h ) z ( g ) q q g ( 曰) s y m ( x ) x i i 矽( d ) ( 五，x 2 ，x 3 ，) s o c ( g ) n h n ：h z 或矿 g 的阶： g 的阶： 由元素g 生成的群： 日在g 中的正规化子； 日在g 中的中心化子： g 的中心： 点口的稳定子群： 区组b 的稳定子群： b 在g 下的轨道； x 上的对称群 x 的所有t 元子集的集合 欧拉函数 有序四元子集( 五，恐，毛，_ ) 的交错比 g 的基柱： 和h 的直积： 和日的半直积： 阶为p ”的初等交换p 一群： 硕士学位论文 第二章p g l ( 2 ，q ) 作用下的主要结果 3 1 引言 第三章p g l ( 2 ，g ) 作用f 主要结果 如果q 是一个素数幂，那么称x = g f ( q ) u o o 为射影线且形如厂的函数为 线性分式， f ：x h 掣，其中以6 ，c ，d g f ( g ) 其中我们定义1 o = 0 0 ，1 o o = o ，1 - - 0 0 = 0 0 1 = o o ，且o o 0 0 = 1 f 的行列式为 a d 一施所有行列式非零的线性分式所构成的集合构成了一个群，且该群同构 于p g l ( 2 ，q ) 且若q = 2 ”时，p g l ( 2 ，q ) 兰p s l ( 2 ，q ) 对于任意有序三元对( 彳，b ，c ) ，其中a ，b ，c g f ( q ) u o o ) ，存在唯一的线性 分式h 把( 彳，b ，c ) 映射到( o ，1 ，0 0 ) ，其中 办( x ) = 九，口，c ( x ) = 篇 因此g = p g l ( 2 ，g ) 是精确3 传递的，i f lg 0 ，1 ，o o ) 是唯一的三元子集的轨道( 【4 6 】) 3 2 p g l ( 2 ，1 7 ) 区传递作用下4 一( 1 8 ，5 ，五) 设计的存在性 定理3 2 1 设f = ( x ，d ) 是一个4 一( 1 8 ，5 ，旯) 设计，x = g f ( 1 7 ) u o o ，如果 g = p g l ( 2 ，1 7 ) 区传递作用在f 上，则见= 4 证明由表2 4 1 知，若g = 1 7 ，贝 j , c l g i - - s ，即2 1 ，2 ，4 ，8 ) ( i ) 旯1 在4 肿_ 批3 椰么文譬) ；0 ( m o d 卜 1 5 2 三0 ( m o d2 ) ，贝o2 1 , z ，故五1 ( 2 ) 五2 假设4 一( 1 8 ，5 ，2 ) 设计存在，贝, t j i g b l = 4 这时g 8 分两种情况讨论( 见 3 8 】) 令g 占= ，显然g 有一个不动点由于b = 0 ，1 ，o o ，口，) ，rg 为3 传 递的，不妨设g ( o 。) = 0 ，g ( o ) = 1 ，g ( 1 ) = 口( 所以g = _ ) ， g ( ) = ， 口+ lj 一口肪 1 2 硕十学位论文第二章p g l ( 2 ，q ) 作用卜的主要结果 g ) = 0 0 由计算知：口= 2 ，