（基础数学专业论文）仿射weyl群e8的a5、6的左胞腔.pdf

摘要 本文主要研究的是仿射w 匆l 群舢值等于5 的双边胞腔墩5 ) 和a 广值等于6 的双边胞 腔哚) 中的左胞腔，找出了双边胞腔m 5 ) 和哚) 中的左胞腔代表元，画出了它 们的左胞腔图，并证明了1 瞰5 ) 和哚) 中的左胞腔的左连通性和得到了左胞腔的特 异对合元。 关键词：左胞腔、双边胞腔、舡函数、星作用、本原对、链、室形式、左连通性、 特异对合元。 a b s t r a c t i nt h ep a p e r ，w es t u d yc e r t a i nl e f tc e l l si nt h ea f l i n ew e y lg r o u p 岛m o r e p r e c i s e l y , w es t u d yt h el e f tc e l l si nt h et w o - s i d e dc e l lw c s ) w i t hn ( 嘶5 ) ) = 5 a n do n e o ft w ot w o - s i d e dc e l l sqw i t ha ( a ) = 6 ( w r i t t e n 哚、) w ef i n dar e p r e s e n t a t i v es e t o fl e f tc e l l si n 职5 ) a n dw 儒) ，a n dd r a wt h ec o r r e s p o n d i n gl e f tc e l l sg r a p h s w ep r o v e t h a ta l lt h el e f tc e l l si n 职5 ) a n dw 儡) a r el e f t - c o n n e c t e d ，v e r i f y i n gac o n j e c t u r eo f l n s z t i gi no u rc a s e f i n a l l y , w ef i n da l lt h ed i s t i n g u i s h e di n v o l u t i o n so fe si nw c s ) a n d 哚) k e yw o r d s ：l e f tc e l l ，t w o - s i d e dc e l l ，a - f u n c t i o n ，s t a r - o p e r a t i o n ，p r i m i t i v ep a i r ， s t r i n g ，a l c o v ef o r m ，l e f t - c o n n e c t e d ，d i s t i n g u i s h e di n v o l u t i o n 2 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：垂连 日期：丝堡：幺么 一 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文并向 国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少 量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 莩位论文作者签名：盔喜 导师签名： 日 期：2 垒至主。： 日期_ 丝星么： 第一章前言 1 1 研究背景 1 9 7 9 年，d k a z h d a n 和g l u s z t i g 在他们著名的文章1 2 1 中为了研究c o x e t e r 群、h e c k e 代数 和代数群表示，定义了c o x e t e r 群的左、右胞腔以及双边胞腔( 见本文2 2 1 ) ，并证明了 a 一型h e c k e 代数的每个胞腔表示都是不可约的，从此以后胞腔理论成为国内外许多数学家研究 的热点。 胞腔理论的主要问题之一是研究w e y l 群和仿射w e y l 群的左胞腔。找w e y l 群和仿射w e y l 群 的一个左胞腔代表系对于弄清左胞腔的结构至关重要。 l u s z t i g 在他的文章【1 5 】中定义了c o x e t e r 群上的一个扣函数，并证明- j w e y i 群和仿射w e y l 群 在每个双边胞腔上a r 值是常量，每个w e y l 群和仿射w e y l 群中所包含的左胞腔个数是有限的， 这样我们就可以通过逐个对w e y l 群和仿射w e y l 群的双边胞腔进行左胞腔分解，将w e y l 群和仿 射w e y l 群全部分解完毕。 一些数学家开始研究c o x e t e r 群的胞腔分解问题。对于a n 型的仿射w e y l 群的胞腔问 题，时俭益在文【2 0 ( 1 9 8 6 ) 中圆满地刻画了该族群所有左胞腔并且得到了非常好的组合结 果。这是至今为止唯一一族被完全解决了的左胞腔分解的仿射w e y l 群。对于秩等于3 的仿 射w e y l 群，r b e d a r d 在文【3 ( 1 9 8 6 ) h h 研究了群伤的双边胞腔和左胞腔。杜杰在文【1 0 ( 1 9 8 8 ) 中 研究了群玩双边胞腔和左胞腔，在文f 1 1 1 ( 1 9 9 0 ) 中研究了群d 4 的双边胞腔。 研究胞腔分解的另一做法就是考虑各个类给定的仿射w e y l 群的相应的口一值的双边胞 腔中的左胞腔分解。l u s z t i g 在文【1 4 ( 1 9 8 3 ) ，g l a w t o n 在文【1 3 ( 1 9 8 6 ) ，时俭益在文f 2 2 ( 1 9 8 7 ) ， 【2 3 ( 1 9 8 8 ) ，芮和兵在文【1 9 ( 1 9 9 5 ) 中对于d = 1 ，2 ，3 ，i 圣i 2 表示相应的w e y l 群的根系) ，分 别给出了相应的结果。陈承东利用元素的特殊简约表达式，在文【5 1 ，【6 】，| 7 】中分别完成了 点k ，c ，上k 型的a 一值等于4 的左胞腔分解。 由于w e y l 群和仿射w e y l 群的胞腔分解均涉及t k a z h d a n - l u s z t i g 多项式的计算，这是一个 非常复杂又繁琐的过程，因而也使得胞腔分解工作进展缓慢。时俭益为了克服这一困难， 在文【2 1 】中为w e y l 群和仿射w e y l 群中的每一个元素给出了相应的室形式，得出了一个重要的结 果( 见本文定理2 7 3 ) 。随后在文【3 l 】中，用窜形式描述了单反射对元素的左、右作用，在文 2 6 ( 1 9 9 4 ) 中设计了一种相对简易的算法( 见本文2 6 ) ，从而避开了繁难的k a z h d a n - l u s z t i g 多项 式的计算。这一算法在实际应用过程中，解决了一系列w e y l 群和仿射w e y l 群的左胞腔分解 问题，获得了极大地成功。例如：时俭益在文【2 6 1 ( 1 9 9 4 ) ，f 2 7 1 ( 1 9 9 8 ) ，【2 8 1 ( 1 9 9 8 ) 中完成了群 q 、上) 4 、乃的左胞腔分解，张新发在文f 3 4 ( 1 9 9 4 ) 中完成了群上h 的左胞腔分解。 对于一些含有特殊元素的左胞腔，如对于含有满交换元的双边胞腔的左胞腔，时俭益在文 3 0 1 ( 2 0 0 5 ) ，中也分别进行了研究。另外，l u s z t i g 和席南华在文【1 8 1 ( 1 9 8 8 ) 中给出了仿射w e y l 群 中的典范左胞腔【见本文2 3 2 1 ，这一结果对于检查所得到的左胞腔图具有很大的作用。 另外，对于非晶体型的有限c o x e t e r 群，d a l v i s 在文【2 1 中，通过计算k a z h d a n - l u s z t i g 多项 式，给出了c o x e t e r 群凰的左胞腔分解。 1 2 本文主要结果 本文对仿射w e y l 群岛的a 广值等于5 的双边胞腔暇5 ) 和和值等于6 的一个双边胞腔v 、的 左胞腔进行分解，主要结果概述如下： ( 1 ) 刻画了瞰5 ) 和v 吃、的所有左胞腔。 仿射w e y l 群岛的w e y l 群的正根个数是1 2 0 ，群中每个元素唯一对应于一个铲重数组的室 形式。仿射w e y l 群的生成元在室形式上的作用可以编写程序由计算机实现，故每个玩中的元素 的室形式皆可由计算机给出。对于找取左胞腔代表元也将根据文【2 2 ，【2 3 1 的算法，编写程序利 用m a t l a b 帮助找取，所需程序思想将在本文第三章介绍。 本文画出了w ( 5 ) 和吼、的左胞腔图( 见第三章、第四章) ，计算出墩5 ) 中左胞腔的个数 为1 0 1 0 个，瞰、中左胞腔的个数为1 7 1 0 个。 ( 2 ) 证明了w ( 5 ) 和吆、中左胞腔的左连通性( 见本文4 1 ) 。 l u s z t i g 在文f l l 中曾猜想：所有仿射w 匆l 群的左胞腔都是左连通的，这一猜想对已经进行 了左胞腔分解的仿射w e y l 群来说都被证明是正确的。 时俭益在文【2 9 l 中的定理a 、b 使得本文只需验证对毗5 ) 和吼、的左胞腔l ，都有 e ( l ) = e 嘶n ( l ) ，其中 e ( l ) = t ，l l a ( s w ) o ( ) ，s 2 ( 三) ) ； e , m n ( l ) = 加l l l ( w ) ：( z ) ，对所有的z l ) 则l 的左连通性可证。令e ( 5 ) = u l e ( l ) ，其中l 跑遍嘶5 ) 中所有左胞腔，e 1 ( 6 ) = u le 旺) ，其中l 跑遍畹、中所有左胞腔，本文得到了集合e ( 5 ) 和e 1 ( 6 ) ，证明了对于任意 的瞰5 ) 和v 吃、的左胞腔，e ( l ) = 日嘲( l ) ，由此瞰5 ) 和1 中左胞腔的左连通性得到了 证明，这就说明t l u s z t i g 的猜想在这一情形下是正确的，详细地解释将在本文第四章给出。 ( 3 ) 计算出晰5 ) 和v 曝、的双边胞腔中左胞腔的特异对合元( 见本文2 3 2 ) 。 我们将用勿( q ) 来表示双边胞腔q 中特异对合元的集合，9 ( q ) 中元素在仿射w e y l 群及 其h e c k 代数表示中有着很重要的地位。l u s z t i g i 正明了对于所有w e y l 群和仿射w e y l 群，每个左 胞腔和右胞腔只含有唯一的特异对合元，因此9 ( q ) 也是双边胞腔中左胞腔的一个代表元集 合。对于给定的左胞腔，要直接通过计算k a z h d a n - l u s z t i g 多项式找出它的特异对合元是很困难 的，但由于本文已经得到了集合e ( 5 ) 和e 1 ( 6 ) ，根据定理b 可以很容易得到嘶5 ) 和w 函中的 特异对合元。 本文是在时俭益教授的指导下完成的。 2 第二章预备知识 2 1b m h a t 序与k a z h d a n - l u s z t i g 多项式 2 1 1 设( 眠s ) 是一个c o x e t e r 群，s 是w 的c o x e t e r 牛_ 成元集合。对于任意的t l ，w ，令 彩( 伽) = 8 s i s w t l ，) ，舌寥( ) = 8 s 1 w s t l ，) 其中是形上的b r u h a t 序，即对于暑，w ， y t ，当且仅当存在t t ，的简约表达式 t t ，= 8 1 8 2 s k ，8 i s ，i = 1 ，2 ，k ，使得y = 8 i 1 8 i 2 以t ，其中i 1 ，i 2 ，i t 是1 ，2 ，k 的 一个子序列，y t l ，表示t k 。l ( w ) 表示w 的长度函数，这时l ( w ) = k 。 2 1 2 设a = z m 是以钍为不定元的整系数多项式环。对于每一有序对y ，加，存在唯一的多项 式岛， a ，叫做一个k a z h d 粕也璐z t i g 多项式，该多项式满足：当y 茹伽时，b ，叫= 0 ，j 乙，”= 1 ， 当y w 时，b ， 的次数不大于( 1 2 ) ( 1 ( w ) 一z ( ) 一1 ) 。这些多项式满足下而的递推公式。设 s 加 w 对于某个8 w 。那么我们有 岛， = t c 只玑删+ u 1 一。b ，删一f t ( z , s w ) u ( 1 2 ) ( ( ) 一( 名) 马声 ( 2 1 1 ) ，s ； 暑，时，c = l 当8 y y 时，c = 0 ( 见【1 2 1 ) 。 如果局， 或r ，f 的次数达到( 1 1 2 ) ( 1 i c w ) 一z ( y ) i 一1 ) 则记为旷1 l ，。如果y t t ，且 l ( y ) = t ( w ) 一1 ，那么一定有旷叫，。 2 2 左、右胞腔与双边胞腔 2 2 1 设z ，y w ，如果在中存在元素序列z = x o ，z 1 ，z n = y ，使得对任意的 i ，l i n ，都有甄一1 一翰和- 彩( x i 一1 ) 垡p ( 她) ，则记为z y ，其中是一个预序。如果有 z y z ，则记为z ? 矽。由等价关系? 决定的每一个等价类称为w 的一个左胞腔。 l l ll 相应地，如果在中存在元素序列z = z o ，z l ，x n = y ，使得对任意的i ，1 i n ，都 有甄一l 一翰和- 留( x i 一1 ) 垡劈( 甄) ，则记为z y ，其中依然是一个预序。如果有z y z ，则记为z 皇y 。由等价关系2 决定的每一个等价类称为的一个右胞腔。 如果在中存在元素序列z = x o ，x l ，x n = y ，使得对任意的i ，lsis 竹，或者 戤一1 - - ”净硼s 簧埘 2 3a - $ i 数 2 3 1 现在记w = 肌是一个不可约仿射w 匆l 群。l u s t i g 定义了一个函数a ：n ， 满足如下性质： ( s t ) 对于任意的z w a ，n ( 名) i # 1 2 ，这里圣是由矾确定的根系。 ( b ) z 净0 0 ) 口( 可) 。特别地，z 篇y 辛n ) = n ( 秒) 所以我们可以在w 二的一 个( 左，右或双边) 胞腔r 上定义n 值n ( r ) 为d ( z ) ，其中z r ( c ) o ( z ) = o ( ! ，) ，z 暑，( 或z ) = 争z7 暑，( 或z 公暑，) ( d ) 设6 ( z ) = r 的次数，对于z w 2 ，这里e 是群w 二的单位元。那么不等式 z ( 2 ) 一2 6 ( z ) 一n ( 名) 0 对任意的z 成立。集合 9 = 伽矾i l ( 加) 一2 5 ( w ) 一n ( 伽) = o ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 是一个由对合元组成的有限集。的每一个左( 或右) 胞腔都包含9 中唯一一个元素( 这个元 素被称为特异对合元) 【1 6 】。 ( e ) 当由jcs 生成的群有限时，令w j 为盯中的最长元，那么伽，9 和 口( 叫，) = z ( q ) 。 关于a 函数的定义和上述性质都i 圭t l u s z t i g 的论文f 1 5 】、【1 6 】给出。由性质( b ) ，( c ) ，( e ) 还可以 得到如下两个性质。 设w o o = 伽i n ( 伽) = i ) ，i 为任意的非负整数。那么i l ( b ) n - 7 得非空的w c o 是职的 某些双边胞腔的并。 ( f ) 如果w c o 中包含具有形式彬j 的一个元素，对某个t ，cs ，那么 t l ，墩 ) i 留( t l ，) = j ) 形成w r 口的一个左胞腔。 ( g ) 设z ，! ，z 矾满足z = y z 且z ( z ) = z ( s ) + f ( z ) ，那么z 摹z ，茁暑，因此 口( z ) o ( 耖) ，口( 名) 。特别地，如果j = 勿( z ) ( 或j = 乡( z ) ) ，那么口 ) z ( 伽j ) 。 2 3 2 对于s s ，令w s 一。是由s 一 s 生成的的予群，若w s 一。在 w s 一暑1 3 s ) 中具有最大阶，则称s 是一个特殊的生成元。令 l u s z t i g 与席南华证明了如下定理： k = 【w 7 i 寥( 叫) s ) 4 ( 2 3 3 ) 定理设s s 是一个特殊的生成元，那么对于w 中任意的双边胞腔q ，qn k 恰好是 的单个左胞腔( 典范左胞腔) 对于仿射w 匆l 群磊，只有s 0 是特殊生成元，因此每个双边胞腔中所有满足留( t l ，) = s o 的 加处于同一左胞腔，左胞腔图中必须出现标号为0 的项点且只出现一次。 2 3 3 设g 是复数域c 上的与圣的型对偶的连通的简约代数群下面的结果来源于l 璐z t i g 的 论文【1 7 l 。 定理存在从g 中的幂幺共轭类集合到w | 口中的双边胞腔集合( uhc ( u ) ) 的一个双射，满 足n ( c ( u ) ) = d 蛾。这里t 是u 中任一元素，d i m 百瓦是g 中包含的所有b o r e l 子群所组 成的簇的维数。 2 4 链和本原对 2 4 1 设( 彬s ) 是不可约的单边型仿射w e y l ：群，即对任意的s 中3 ，t ，s t 的阶不大于3 ，也 就是说是a 、d 或e 型的仿射w e y l j 群。 假定s t 的阶是3 。如果耖w 口，露( 可) n s ，t ) = d ，则称形式为( y s ，s t ) 或( 缈，矿s ) 的有 序对为右 s ，t 卜链。如果秒，t t ，是一个右 s ，t ) 一链，则称y 是通过叫的右s t 盯作用得到的。 现在给定两个右 8 ，t ) 一链 茁1 ，茁2 和 讥，抛) ，我们有如下结果： 定理【2 5 】：( a ) z 1 y l 兮z 2 伽； ( b ) x lz y l 营：r 2 z y 2 ； 2 4 2 两元素z ，y w 称为右本原对，如果存在w 中两列元素：t o = z ，：r l ，和 y o = 剪，耖l ，锄满足以下条件： ( a ) 对任意的i ，1s isn ，都存在s ，t i s ，8 也的阶为3 ，使得 z t 一1 ，瓤) 和 珑一1 ，犹) 是右 s i ，厶卜链； ( b ) 存在i ，0si 佗，瓤奶； ( c ) 要么历( z ) 垡纺( 秒) 和留( 珈) 垡勿( z n ) 成立，要么勿( y ) 碧刀( z ) 和历( z n ) 譬露( 鲰) 成 立。 如果伽，! ，) 是一个右本原对，那么z = y 。 2 5 图和广义卜不变量 2 5 1 定理( 【2 5 】) 设q 是矾的一个双边胞腔。假设一个非空集合mcq 满足如下条 件： ( a ) z 艺y 对于m 中任意的z 耖； ( b ) 对于任意的元素y 巩，如果存在元素z m 满足条件旷z ，留( y ) 譬叨( z ) 和 n ( 耖) = 。( z ) ，那么一定存在元素名m 有yzz ，则m 是q 中左胞腔中的代表元集合 集合9 ( q ) 就是w a 的一个左胞腔代表元集合。但通过计算k 眈h d 址l 璐z t i g 多项式找到 5 9 ( q ) 相当复杂，所以我们将采用其它方法找左胞腔代表元集合。 2 5 2 对于每一个元素z w a ，我们定义m ( x ) 为所有满足以下条件的元素秒组成的集 合：在肌中存在一列z o = z ，x l ，曲= y 对于某个r 0 ，对每个i ，1 isr ，满足 z 晶以s 和留( z 一1 ) 孝留( 戤) 假定e 是v 呢中左胞腔的集合，如果任意一个中左胞腔r ，有r n m o ，则称可 由集合m 所代表。下面是一个定理： 定理( 【2 q ) 如果在服中z7f ，那么m ( x ) 和m ( y ) 代表矾中同样的左胞腔集合。 我们定义一个图，( z ) ，图的顶点的集合是m ( z ) ，图的边的集合由m ( x ) 的两个元素的 子集 秒，z ) 组成，并且耖_ 1 z s 和刀( 可) 孚刀( z ) ，对于每一个顶点y m ( z ) ，都将表上一个 s 的子集留( ) ，对于( z ) 中每一条边 秒，z ) ，都将表上一个元素8 s ，其中s = y - i z 。 两个图( z ) 和( z ) 叫做拟同构的如果存在一个从m ( z ) 到m ( x ) 的双射霍满足下列 条件： ， ( a ) 对于t t ，m 0 ) ，劈( t u ) = 叨( 皿( 伽) ) 。 ( b ) 对于弘z m ( z ) ， ! ，z 是( z ) 的一条边当且仅当 v c v ) ，皿( z ) ) 是( z ) 的一条边。 2 5 3 图( z ) 的一条路定义为m ( z ) 中的一个顶点序列z 0 ，z l ，魂，使得对于任意的 i ，1 i t ， 忍一1 ，忍) 是( z ) 的一条边。对于给定的两个元素z ，z w a ，如果( z ) 中 任意一条路z o = z ，z l ，魂都有( z ) 中相应的一条路晶= z ，z ；，乏，使得对于每个 i ，0 i t 都有留( 2 ) = 毋( 荔) ，而且交换z 与z 的角色后条件仍然成立，则称z ，有相同 的广义r 一不变量。 下面是关于广义r 一不变量的一个定理： 定理( 【2 5 ) 中在同一左胞腔中的元素有相同的广义r 一不变量。 2 6 找出左胞腔代表元的算法与一些重要结论 2 6 1 矾的一个非空子集p 称为是独异的，如果对于任意的p 中元素z 可，都有 z z 。 假定p 是w a 的一个非空子集，下面是作用在集合p 上的三个步骤：( 【2 2 1 【2 3 】【2 6 】) ( a ) 从u 霉pm ) 找出尽可能大的子集q 使得q 是一个独异子集； ( b ) 对于每一个z p ，令五k = ! ，w l y - l x s ，劈( 耖) 刀( 刃) ，a ( y ) = 口( z ) ，和 b = p u ( u z p 岛) 。从b 中找出尽可能大的独异子集q ； ( c ) 对于每一个z p ，令g = 矽w l y z ，g 广嘧，留( ! ，) 刀( z ) ，o ( 可) = 口( z ) 和 c = p u ( u 霉pg ) 。从c 中找出尽可能大的独异子集q 。 2 6 2 如果用步骤( a ) ( 或( b ) ，( c ) ) 作用在pc 上不能得到满足对所有的z 只z 和lz 的新元素z ，则称p 是a 一饱和的( 或& 饱和的，c - 饱和的) a 显然，对于任意的k 肌，集合u 蚝km ( x ) 总是a - 饱和的。由定理2 5 1 可知：w a 中 6 的双边胞腔q 的一个左胞腔代表元集合是一个a - ，b 和d 饱和的独异子集为了得到这样一个 集合，我们可以应用下面的算法： 算法( 【2 6 1 ) ( a ) 在双边胞腔q 中选取一个非空子集p ( 通常尽可能地使得p 是独异的) 。 ( b ) 用步骤c a ) ，( b ) 和( c ) 依次作用在p 上，直到从中所得到的独异子集不能再扩大为 止。 由于步骤从( a ) ，( b ) 到( c ) 计算难度会逐渐增大，故我们采取以下方法： ( 1 ) 对于p 中元素采用步骤( a ) ，直到从中所得到的新的独异子集只不再扩大为止； ( 2 ) 对于马中元素采用步骤( b ) ，对得到的集合再采用步骤a ，然后再采用步骤b ，如此循环， 直到从中所得到的新的独异子集恳不再扩大为止； ( 3 ) 对于易中元素采用步骤( c ) ，然后对得到的集合依次循环采用步骤( 1 ) ，步骤( 2 ) ， 步骤( c ) ，直到从中所得到的新的独异子集恳不再扩大为止。 2 6 3 ( 【1 2 1 ) 下面的一些结果将对我们编写成程序实现步骤c a ) ，( b ) ，( c ) 大有裨益。 ( a ) 如果z ，y w 满足铲叫和冗( z ) 差冗( 可) ，那么x - l y s 。更精确地，我们有 z - l y 舅( z ) v 留( 耖) ，这里记号留( z ) v 留( 0 ) 代表集合x 和y 的对称差。 ( b ) 如果z ，y w 满足旷吨，劈( 可) 刃( z ) 和口( z ) = n ( 可) ，那么要么y - - l ：r s ，要么 ，根据2 4 2 知，p l ，! ，1 是右本原对( 见 图蚝2 a ) ，x l ，抛处于同一右胞腔，从而a ( y 1 ) = 6 ，由此知y l 晚、，m ( 耖1 ) 与m ( x 1 ) 所对 应的图有着不i 一的广义r 一不变量，所以m ( ! ，1 ) 中元素与m ( x 1 ) 中元素皆不在同一左胞腔， m ( 暑，1 ) 是本文所求的一个左胞腔代表元集合。1 3 1 5 7 0 4 2 3 4 5 4 3 1 5 4 6 5 4 3 2 3 8 7 6 5 4 3 4 1 4 6 4 1 7 5 2 也是进行b 步骤时通过m ( 1 3 1 5 7 0 1 中元素1 3 1 5 7 0 4 2 3 4 5 4 3 1 5 4 6 5 4 3 2 3 8 7 6 5 4 3 4 1 4 6 4 1 7 5 得 到的设x 2 = 1 3 1 5 7 0 4 2 3 4 5 4 3 1 5 4 6 5 4 3 2 3 8 7 6 5 4 3 4 1 4 6 4 1 7 5 ，y 2 = 1 3 1 5 7 0 4 2 3 4 5 4 3 1 5 4 6 5 4 3 2 3 8 7 6 5 4 3 4 1 4 6 4 1 7 5 2 ，x 2 和抛是右本原对，这是因为留( z 2 ) = 3 ，5 ，7 ) 留( 眈) 2 ，3 ，5 ，7 ) ， 留( x 2 s 4 ) = 4 ，5 ，7 垡曰( y 2 s 3 ) = 4 ，7 ) ( 见图f i g 2 b ) 。 1 3 1 5 7 0 4 3 5 3 2 4 6 5 4 3 4 1 4 5 4 1 2 7 8 5 同 样是进行b 步骤时通过m ( 1 3 1 5 7 f f ) 中元素1 3 1 5 7 0 4 3 53 2 4 6 5 4 3 4 1 4 5 4 1 2 7 8 得到的。设x 3 = 1 3 1 5 7 0 4 3 5 3 2 4 6 5 4 3 4 1 4 5 4 1 2 7 8 ，拈= 1 3 1 5 7 0 4 3 5 3 2 4 6 54 3 4 1 4 5 4 1 2 7 8 5 ，黝和蜘是右本原 对，这是因为刀( z 3 ) = 2 ，3 ，8 ) 劈( 蜘) 2 ，3 ，5 ，8 ) ，留( z 3 s 2 ) = 3 ，4 ，8 垡刀( y s s 4 ) = 4 ，8 ( 见 图f i g 2 c ) 。 记m 4 = m ( 1 3 1 5 7 0 ) ，尬= m ( y 1 ) ，慨= m ( y 2 ) ，m 7 = m c y 3 ) 记瑶( 6 ) = 【t ， s 1 w j p 1 ( 6 ) ) ，则 瑶( 6 ) = 1 ，2 ，3 ，5 ，7 ) ， 1 ，2 ，3 ，5 ，8 ) ， l ，2 ，3 ，5 ，o ) ， 1 ，2 ，3 ，6 ，8 ) ， 1 ，2 ， 3 ，6 ，o ) ， l ，2 ，3 ，7 ，o ) ， 1 ，3 ，5 ，7 ，o ) ， 1 ，3 ，5 ，6 ， 1 ，3 ，6 ，7 ) ， 1 ，3 ，7 ，8 ) ， l ，3 ，8 ，o ) ， l ，2 ，4 ，6 ，8 ， 1 ，2 ，4 ，6 ，o ， l ，2 ，4 ，7 ，o ) ， 2 ，4 ，6 ，7 ) ， 2 ，4 ， 7 ，8 ， 2 ，4 ，8 ，o ) ， 3 ，4 ，6 ，7 ， 3 ，4 ，7 ，8 ， 3 ，4 ，8 ，o ) ， 1 ，4 ，5 ，7 ，o ) ， 4 ，5 ， 7 ，8 ) ， 4 ，5 ，8 ，o ) ， 1 ，2 ，5 ，6 ，8 ， l ，2 ，5 ，6 ，