（应用数学专业论文）copula理论及其在投资组合中的应用.pdf

摘要 c o p u l a 函数的应用，主要表现在两个方面：、度量资产的相关性；二、 其得出的资产间非线性相关性在投资组合中的应用。 针对以上两个问题，本文首先对c o p u l a 函数及其参数估计、模型检验方法 进行了系统总结。在此基础上，结合小波理论，分析中国沪深两市高频交易序 列的相关性。在此基础上，进一步探讨c o p u l a 函数在投资组合中的应用，在假 设投资者具有常相对风险效用函数的前提下，分析二维投资组合在不同的边缘 分布及联合分布为不同的c o p u l a 函数情况下，投资组合系数的变化情况。 本文的主要工作及创新点如下： 1 对现有的c o p u l a 理论进行了总结，重点归纳了几类不同的c o p u l a ，并 给出了相应的性质；并对c o p u l a 建模过程中的参数估计、拟合检验问题进行了 系统地总结。 2 借鉴了以往c o p u l a 函数研究低频金融数据的经验，将c o p u l a 的应用扩展 到高频金融数据的相关性之中。结合小波理论，采用极大重叠离散小波变换， 将上证指数和深圳成指高频收益率分解在不同的交易周期上，利用s e m i g p d 模 型分别对各个周期收益率拟合边缘分布，在此基础上采用c o p u l a 函数方法建立 同周期的联合分布，度量了沪深两市同周期交易的相关性。实证表明，不同交 易周期所表现出的相关性存在明显差异，并且随着交易期的增长，沪深两市非 对称结构逐步明显。有效得揭示沪深股市不同交易周期股票交易的相关性。 3 考虑二元投资组合，将联合分布描述为c o p u l a 结构，在假设投资者具有 常相对风险效用函数的条件下，通过蒙特卡洛模拟的方法，得到最优投资组合 系数。分析不同c o p u l a 结构对最优投资组合系数的影响。实证表明，在同样的 风险厌恶系数下，资产联合分布采用f r a n k 、 g u m b e l 、 c l a y t o n 、b b lc o p u l a 时，投资在高风险高收益资产上的权重表现为：枷 眦， w 如” 叭。 关键词：c o p u l a ，小波分析，投资组合 a b s t r a c t c o p u l at h e o r y sa p p l i c a t i o nf o c u so nt h ef o l l o w i n g ：f i r s t ，m e a s u r et h ed e p e n d e n c e b e t w e e nd i f f e r e n tc a p i t a l ；s e c o n d ，t h en o n l i n e a rd e p e n d e n c ei nc a p i t a li n v e s t m e n t a i m e da tt h ea b o v ep r o b l e m s ，p a r a m e t r i ce s t i m a t i o nm e t h o d s ，g o o d n e s sf i t t i n gt e s t o fc o p u l aa r es u m m a r i z e d b a s e do na b o v e t h ed e p e n d e n c eb e t w e e nc h i n as t o c k m a r k e th i g hf r e q u e n c yd a t ai sa n a l y z e du t i l i z e dw a v e l e tt h e o r y t h ea p p l i c a t i o no f c o p u l at h e o r yo nc a p i t a li n v e s t m e n ti ss t u d i e d s u p p o s et h ei n v e s t o rh a v et h e c o n s t a n tr e l a t i v er i s ka v e r s i o np o w e ru t i l i t yf u n c t i o n ，t h eo p t i m a lp o r t f o l i oc h o i c e s a r ea n a l y z e du n d e rd i f f e r e n tc o p u l a s t h ek e yp o i n t sa n dm a i na c h i e v e m e n t so ft h i sw o r ka r el i m e da sf o l l o w i n g ： w ep r e s e n ta no v e ri n t r o d u c t i o no fc o p u l at h e o r y , s p e c i a lo l lt h ec l a s s i f i c a t i o na n d t h e i rp r o p e r t i e s t h ep a r a m e t r i ce s t i m a t i o na n dg o o d n e s so ff i t t i n gt e s ta r es u m m e d u p t o o u t i l i t i e st h ee x p e r i e n c eo fa n a l y s i so nl o wf r e q u e n c yd a t a , w ee x t e n dc o p u l a t h e o r yt oh i g hf r e q u e n c yt r a d i n gd a t a t oe f f i c i e n t l ym e a s u r et h ec o r r e l a t i o nb e t w e e n d i f f e r e n tt r a d i n gp e r i o d so fs ha n ds zs t o c km a r k e t ，b a s e do nd e c o m p o s i n gt h eh i 曲 矗e q u e n c yr e t u r n so ft w os t o c km a r k e t si n t od i f f e r e n tt r a d i n gp e r i o d sb ym o d w t , c o p u l a sa r es t u d i e db ym o d i f y i n gt h ej o i n td i s t r i b u t i o n so ft h es a m ep e r i o d sw h o s e m a r g i n sd i s t r i b u t i o n sa r ef i t t e db ys e m i g p dm o d e l e v i d e n c e ss h o w st h a to b v i o u s d i s t i n c t n e s sb e t w e e ne a c ht r a d i n gp e r i o d si si ne x i s t e n c ea n dt h ea s y m m e t r ys t r u c t u r e o ft w om a r k e t si sm o r ee s c a l a t ea l o n gw i t ht h ei n c r e a s i n go f t r a d i n gp e r i o d s b yu s i n gc o p u l a st om o d e lt h ec o - m o v e m e n tb e t w e e na s s e tr e t u r n s ，t h eo p t i m a l p o r t f o l i oc h o i c e sw h i c hm a x i m i z et h ec o n s t a n tr e l a t i v er i s ka v e r s i o np o w e ru t i l i t y f u n c t i o na r eg m n e d ，a n dt h ei n f l u e n c e so fd i f f e r e n tc o p u l a so np o r t f o l i oc h o i c e sa r e a n a l y z e d e v i d e n c es h o w st h a tw h e nu n d e rd i f f e r e n tr e l a t i v er i s ka v e r s i o n sa n dt h e c o 。m o v e m e n ti sm o d e l e db yf r a n k ，g u m b e l ，c l a y t o na n db bl c o p u l a s ，t h eo p t i m a l p o r t f o l i o c h o i c e swo n h i g h r i s k h i 曲 r e t u r n sa s s e tf o l l o w s ： w f r a n k w g u m b e l 。，r = l - e - a , 生成元妒( f ) = 一l n ( 享等) 。f r a n k c o p u l a 没有上下尾 相关性。 ( 2 ) c l a y t o nc o p u l a ( k i m e l d o r fa n ds a m p s o n19 7 5 ) c l a y t o nc o p u l a 的函数形式如下： c ( u ，v ) = m a x ( u 一“+ _ l ，一1 ) - i a , 0 】 ( 2 1 3 ) 其中：妒( ，) = t - 8 _ 1 ，k e n d a l l st a u ：f = 了笔，下尾相依系数：屯= 2 _ 1 坩。 ( 3 ) j o ec o p u l a ( j o e19 9 3 ) j o ec o p u l a 的形式为： c ( u ，v ) = 1 一( ( 1 一“) “+ ( 1 一v ) a 一( 1 一“) 。( 1 一v ) a ) “a ( 2 1 4 ) 其中：a 1 ， 妒( f ) = - l n ( 1 一( 1 一f ) 。) 。 ( 4 ) b b lc o p u l a ( j o e19 9 7 ) b b lc o p u l a 的形式为： c ( u ，1 ，) = 1 + ( 甜一9 1 ) 6 + ( v 一。一1 ) 6 口 ( 2 1 5 ) 其中：0 0 ，6 1 ，妒( f ) = 一。一1 ) 5 。 ( 5 ) b b 2c o p u l a ( j o e19 9 7 ) b b 2c o p u l a 形式为： c ( u ，v ) = 1 + 5 1l n ( e 6 “+ p 6 v 一一1 ) 1 7 8 ( 2 1 6 ) 其中：t p ( t ) = e ( t - o - 1 ) 一1 。 ( 6 ) b b 3c o p u l a ( j o el9 9 7 ) 第二章c o p u l a 理论 b b 3c o p u l a 形式为： c ( u ，v ) = e x p 一 6 1l n ( e 6 “一+ p 6 v 一一1 ) 1 坩) 其中：0 l ，6 0 ，“= 一l n u ，1 ，= 一l n v 。9 ( f ) = e x p 6 ( 一t n t ) 口 - 1 。 ( 7 ) b b 6c o p u l a ( j o e19 9 7 ) b b 6c o p u l a 形式为： c ( u ，v ) = 1 ( 1 一e x p 一 ( 一l n ( 1 一( 1 一“) 9 ) ) 5 + ( 一l n ( 1 一( 1 1 ，) 9 ) ) 6 】6 ) ) 。 其中：0 1 ，6 o ，妒( r ) = 卜l n ( 1 一( 1 一f ) 。) r 。 ( 8 ) b b 7c o p u l a ( j o e19 9 7 ) b b 7c o p u l a 形式为： c ( u ，v ) = 1 一( 1 一 ( 1 一( 1 一“) 8 ) ) 一6 + ( 1 一( 1 一v ) 9 ) ) 一5 1 。7 6 ) u 。 其中：0 1 ，6 o ，妒( f ) = ( 1 一( 1 一f ) 9 ) 】一6 1 。 ( 2 - 1 7 ) ( 2 - 1 8 ) ( 2 - 1 9 ) 3 二元极值c o p u l a ， 一个c o p u l a 是极值c o p u l a ，如果对于任意( “，1 ，) ，2 ，f 0 ，有： c ( u tv 7 ) = ( c ( u ，v ) ) ( 2 2 0 ) 令( 五，巧) ，( 置，e ) ，( ，艺) 为来自一个极值c o p u l a 函数c 的独立随机数组，定 义鸠= m a x ( x i ，以) ，m = m a x ( 鬈，e ) ，则c 仍然为关于( m 。，m ) 的c o p u l a 函数。这个性质称为极大稳定性( m a x - - s t a b i l i t y ) 。e vc o p u l a 可以表示为如下 形式： c ( ”，1 ，) ：e x p l n ( “v ) 4 ( 芒些) ) ( 2 2 1 ) l n u y 其中彳( ) ： o ，1 】- - ) 【二1 ，1 】是一个凸函数，满足： m a x ( t ，一1 ) 彳o ) 1 ，t 0 ，1 】 函数彳( f ) 称为相依函数( d e p e n d e n c ef u n c t i o n ) 。下面介绍几种极值c o p u l a ： ( 1 ) g u m b e lc o p u l a ( g u m b e l ，19 6 0 ；h o u g a a r d ，19 8 6 ；h u t c h i n s o na n dl a i ，19 9 0 ) 一 墨三兰! 竺旦竺! 兰墨笙 g u m b e lc o p u l a 是一个最常用的极值c o p u l a ( e vc o p u l a ) ，它的函数形式如 下： c ( u i , u 2 ；a ) = e x p ( 一 ( 一l i l “。) 8 + ( 一l i l “：) “ 。) ，a 1 ( 2 - 2 2 ) 其中：参数a 表示相依程度，当口= 1 时，墨和x ：相互独立：当aj 时，相 依程度趋向于完全相依。进一步，g u m b e lc o p u l a 捕获上尾相依系数， 砧= 2 2 “口。 ( 2 ) g a l a m b o sc o p u l a ( g a l a m b o s19 7 5 ) c ( “，“：；口) = u t u 2e x p ( ( 一h l “。) 一“+ ( 一h 1 甜：) 一a 一1 7 “) ，a o ( 2 - 2 3 ) 相依函数为：a ( t ) = 1 一( ，+ ( 1 一f ) 可) 占。 ( 3 ) h u s l e ra n dr e i s sc o p u l a ( h u s l e r 和r e i s sc o p u l a ，19 8 8 ) c ( 甜，y ) = e x p 一万斜! + = 1ai n ( 圣) 一矿 ! + 昙al n ( 圣) 】 ( 2 - 2 4 ) 仅2va zu 其中：a 0 ，万：一i n u ，矿= 一l n v ，是标准正态分布函数。相依函数为： 么( ，) = r 【吉+ 三6h 1 ( 击) 】+ ( 1 一，) 吉+ 1 2 a i n ( 1 - 三7 ) 。 ( 4 ) b b 5c o p u l a ( j o e19 9 7 ) c ( u ，v ) = e x p 一【舀8 + 哥。一( 历一+ 移一筋) - 1 7 6 “8 ) ( 2 2 5 ) 其中：6 0 ，0 1 ，五= 一t n ( u ) ，帚彳一l n ( 帚) 。其相依函数为： 彳o ) = p 口+ ( 1 一f ) 9 一( f 一筋+ ( 1 一r ) 一) 一1 7 6 】1 坩。 2 3 c o p u l a 参数估计 ( 1 ) 极大似然估计d 6 j s j 设随机向量x = ( x n ，彳：f ，一，x 刖) 2 。为随机变量抽样矩阵，假定用c o p u l a 表示联 合分布函数和密度函数分别为 f ( x ；o l ，0 2 ，9 。，0 。) = c ( e ( x l ；9 1 ) ，c ( x 。；9 。) ；p 。) 1 2 第二章c o p u l a 理论 f ( x ；o 。，0 ：，o n , 0 。) = c ( e ( x 。；b ) ，c ( x 。；d 。) ；e 。) 兀乃( x ；臼，) 害1 其中：( x ，；口) 表示x j 的连续分布函数，有密度函数乃，c 表示参数为吼的 c o p u l a 函数。c 的密度函数c 为 c ( e ( x l ；o i ) ，一讹蛾) ) _ 篙滁蒜措 那么，对数似然函数为 邶；x ) - - z l n c ( f l ( x l ，；吣，c ( x 州；臼。) ；9 。) + l n f j ( x ；p ，) 其中：0 = ( q ，0 。；p 。) 为边缘分布函数和c o p u l a 函数的所有参数集。 因此，给定确定的边缘分布密度函数以及一个c o p u l a 函数，那么它的对数 似然函数就可得，由此，极大似然估计为： 吼越= a r g m a x p l ( o ；x ) ( 2 - 2 6 ) ( 2 ) i f m 方法( 两步极大似然估计法) 在实际问题中，由于复杂模型中未知参数太多，尤其是在高维的情况下， 需要同时估计边缘分布的参数和相关结构的参数，极大似然估计方法应用很困 难。但是，仔细观察上述对数似然函数可以发现，似然函数由两部分构成：一 部分为c o p u l a 密度函数及其参数；另一部分为边缘分布密度函数。因此，j o e 和 x u ( 1 9 9 6 ) 提出可以将参数估计分为两部分： a ) 首先，估计单变量边缘分布中的参数0 ，。边缘对数似然函数为： 7 l j ( a ) = l n f j ( x ；p ) ， = 1 ，刀 t = l 则单变量边缘分布的参数极大似然估计为： t = a r g m a x o , ，_ ，；x = 1 ，刀 b ) 给定矿，= 1 ，疗，估计相依参数口。，其极大似然估计为： 1 3 第二苹c o p u l a 理论 坑= 彳馏m 缸以l n c ( e ( x 。，；反) ，e 州；反) ；9 。) t = 1 这个方法称之为推断函数法，即i f m 方法( i n f e r e n c ef u n c t i o n sf o r m a r g i n s ) 。那 么i m f 法参数估计为： 8 z 懈= ( 8 l ，巳，0 。) ( 2 2 7 ) 2 4c o p u l a 的拟合检验 c o p u l a 模型的检验分为两部分：边缘分布的检验与c o p u l a 函数部分的拟 合优度评价。下面介绍几种常用的边缘分布检验与c o p u l a 检验的方法。当然， 边缘分布模型的检验相对成熟，方法较多，包括概率图纸法，皮尔逊卡方检验， 柯尔莫哥洛夫一斯米尔洛夫检验等。但本文的研究着重点不在于检验方法的改 进，故采用目前研究中最为广泛采用的两种检验方法。 2 4 1 边缘分布模型的z 2 检验 设总体x 的分布函数为f ( x ) ，且未知，五，置，以为其样本，我们的目 的是要检验f ( x ) 是否与预先给定的分布函数坑( x ) 相同，即假设检验为： h o ：，( x ) = v o ( x ) ，q ：f ( x ) f o ( x ) 其检验步骤为： ( 1 ) 根据样本的情况，将整个直线分成s 个区间( 娟，呸】， a l ，a ： ， a s 书0 0 ) ，用k 表示样本落在这些区间的频数，一般希望矿5 ( i = 1 ，2 ，s ) ，若不满足这个 条件，可将相邻的区间适当合并； ( 2 ) 若磊( x ) 中有m ( 0 m s ) 个未知参数，则用样本估计它们，并估计值代入 分布函数之中； ( 3 ) 在风下极端理论概率：b = 尸( 口一。 x a 1 ) = f o ( a , ) - f o ( a , 一。) ，以及计算理 论频率：n p ，。( 江l ，2 ，j ) ； 1 4 第二章c o p u l a 理论 ( 4 ) 计算统计量：z 2 = 喜垒专芋z ，其自由度为s 一掰一l 。 2 4 2c o p u l a 函数的z 2 检验 对于c o p u l a 检验问题，我们的检验应为： i 1 0 = c ( u ，v ) = c ( u ，v ；日) ，v o o 【q = c ( u ，v ) c ( u ，v ；9 ) ，v 日o 为此，我们假设观测值为独立同分布函数，否则，z 2 检验不成立。如果已知边 缘分布的参数估计模型，标准z 2 检验成且- - - i 矧。 将区域【0 ，1 】【o ，1 】划分成七七个单元格，记第f 行，列的单元格为e ( i ，) ， i y = 1 ，2 ，k ，端点为 哆_ l ，e x e ，- 1 ，e j ，0 = e o q e k = 1 ，q 为实数。对于任 意一个点( ”，v ) ，如果巳一l “， 巳且p “v “u f ( x ) = f ( x )甜x “【， ( 3 - 2 ) i 1 - p ( - u ) ) 1 + 专( x + “l ) 仃 - i l 工 “l 翌三量竺竺竺! 兰塞墨至堑奎囹塑塑鲞堡 其中：，u 分别表示上尾阈值和下尾阈值，白，彘分别表示上尾状参 数和下尾形状参数，q ，仃，表示上尾尺度参数与下尾尺度参数。 在对边缘分布中的参数进行估计时，阂值的选取对拟合结果影响较大。阈 值过大，导致尾部点太少，不能准确刻画尾部情况；阈值过小，则会导致数据 特征不明显。因此本文采用文 2 7 介绍的选取阂值的方法，计算采用s - p l u s 软 件【1 3 】。 3 4 实证分析 3 4 1 各个尺度边缘分布的拟合结果 在建立c o p u l a 模型之前，首先对边缘分布中的参数进行估计，得到各个交 易周期的边缘分布模型，计算结果见表3 4 与表3 5 。 表3 4 上证s e m i g p d 参数估计 u u u lo uo l乞乞 尺度1 0 0 0 3 50 0 0 2 5o 11 2 3 3 0 8 0 1 2 5 8 2 2 l0 0 014 3 4 7 6 90 0 012 3 6 4 5 9 尺度2 0 0 0 20 0 0 20 0 7 0 2 2 4 2 0 0 3 7 3 9 3 20 0 0 0 8 9 3 6 8 60 0 0 0 9 3 8 6 6 8 尺度3 0 0 0 3 40 0 0 3o 1 6 8 9 3 3 5 。0 0 4 9 l1 1 90 0 0 1 4 3 7 3 8 80 0 0l2 7 3 9 0 2 尺度4 0 0 0 1一o 0 0 1 50 0 3 2 0 6 7 8 3 0 1 7 9 9 6 6 30 0 0 0 4 6 5 4 0 20 0 0 0 4 0 3 7 4 8 尺度5 o 。0 0 1 40 。0 0 1 4o 。6 1 6 1 0 2 7 0 5 7 6 0 5 30 。0 0 0 4 6 4 4 2 20 0 0 0 6 6 7 3 2 2 尺度6 0 0 0 0 4- 0 0 0 0 60 0 58 5 6 6 3 4 1 2 7 0 2 7 40 0 0 0 2 3 6 6 2 70 0 0 0 4 3l3 3 7 尺度7 o 0 0 10 0 0 0 8 0 8 9 2 0 2 50 1 2 8 8 2 18 0 0 0 0 6 0 0 0 2 2 0 0 0 018 0 7 5 4 表3 5 深证s e m i g p d 参数估计 u u叱o u o l毛 乞 尺度l 0 0 0 3 5 0 0 0 6 50 37 6 8 6 8 3 0 4 6 9 7 7 8 3 0 0 0l7 2 2 4 2 50 0 0l8 4 3 5 7 8 尺度20 0 0 80 。0 0 6 0 4 3 2 5 5 20 5 6 31 8 5 70 。0 1 5 11 6 5 30 。0 0 1 2 4 5 7 1 8 尺度3 0 0 0 20 0 0 2 o 3 2 1 5 5 20 3 3 1 4 3 30 0 0 0 6 2 3 0 7 10 0 0 0 6 0 9 7 0 6 尺度4 o 0 0 1 50 0 0 1 8 0 3 0 0 2 8 6 40 4 1 4 8 8 4 40 0 0 0 5 2 6 4 2 0 0 0 0 4 9 6 5 0 2 尺度5 0 0 0 1 0 1o 0 0 1 6 0 0 7 4 5 31 7 0 1 5 1 2 9 2 2 0 0 0 0 3 5 9 6 4 6 0 0 0 0 3 0 5 3 5 2 尺度6 0 0 0 0 60 0 0 0 15 0 1 6 6 8 4 6 0 18 9 6 3 7 4 0 0 0 0 2 8 2 9160 0 0 0 1 2 1 2 4 6 尺度7o 0 0 1 5o 0 0 l 0 9 6 1 3 8 6一o 1 0 5 8 0 40 0 0 0 4 5 6 4 30 0 0 0 1 2 2 4 1 1 9 第三章c o p u l a 度量市场之间的相关性 3 4 2 各尺度经验分析 在计算各c o p u l a 参数之前，计算各尺度的k e n d a l l t a u ，计算结果见表3 6 ： 表3 6k e n d a l l st a u s z w is z w 2s z w 3s z w 4s z w bs z w 6s z v 6 s h w l0 6 7 5 4 80 0 0 1 0 40 0 0 0 7 5 1 - 0 0 0 2 9 9 - 0 0 0 1 7 90 0 0 1 7 2 60 0 0 1 4 8 1 s h w 20 0 0 1 80 6 9 8 9 4 9o 0 1 6 8 7 7 70 0 0 3 7 6 50 0 0 3 0 1 90 0 0 1 7 20 0 0 0 5 6 s h w 3- 0 0 0 0 9o 0 1 3 2 2 80 7 0 5 5 3 l0 0 2 0 7 6 3- 0 0 0 5 9 80 0 0 0 4 5 80 0 0 3 2 0 7 s h w 40 0 0 4 50 0 0 5 3 6 50 0 1 2 7 1 3 70 6 8 8 2 4 7- 0 0 2 2 7 40 0 0 4 8 3 10 0 0 0 4 9 5 s h w 50 0 0 1 2 0 0 0 1 4 50 0 0 4 3 1 9- 0 0 2 5 5 l0 7 2 8 2 8 6 0 0 0 4 0 4 8- 0 0 0 3 7 2 s h w 6- 0 0 0 0 8- 0 0 0 2 4 - 0 0 0 2 4 3 20 0 1 0 1 2 4 0 0 0 6 2 50 6 6 6 1 6 90 0 1 9 4 9 s h v 6o 0 0 1 8 5- 0 0 0 1 3 10 0 0 3 4 9 40 0 0 2 0 1 2- 0 0 0 2 6 60 0 3 0 1 5 20 7 3 2 9 从上表计算的结果可以看出： ( 1 ) 沪市和深市各交易周期之间，同周期的相关度均远远强于不同周期的相 关度。由此可以看出，不同交易周期的交易者只关心同周期的交易情况，几乎 不受其他周期交易的影响。 ( 2 ) 我们将交易周期1 3 看成短期交易，周期4 5 看成中期交易，周期6 7 看成长期交易，我们可以看出，在三种不同的交易周期内，随着交易时间的相 对增加，两市的相关性均有所增强。 ( 3 ) 对于不同周期间交界出发生的相关性减弱的问题，我们可以理解为，由 于交易周期不同，关注股市的内容发生了本质的变化，短期交易者仅仅希望通 过“股市择机”即投机性地买入和卖出，不断评估现有资产价值并以较高的频 率进行交易，风险较大。而长期交易者更希望通过资金，获取固定的利益，风 险较小。而中期交易则介于两者之间，风险一般。从而导致了不同周期段之间， 两市之间的相关度的调整。 3 4 3c o p u l a 的建模与分析 由于不同的c o p u l a 可以刻画不同的相关结构，为了全方位考察不同尺度下 2 0 兰三皇竺! 旦竺! 苎堡墨亘塑查旦塑塑茎丝 上证指数与深证成指的相关度，本章采用c o p u l a 如下： ( 1 ) 极值c o p u l a ：g u m b e lc o p u l a - 捕捉到上尾的相关性即牛市的变化规律； c l a y t o nc o p u l a 捕捉到下尾的相关性即熊市的变化规律； ( 2 ) 对称c o p u l a ：f r a n kc o p u l a ；n o r m a lc o p u l a 以及n o r m a lm i x t u r ec o p u l a ： ( 3 ) 兼顾上下尾的c o p u l a ：b b lc o p u l a 、b b 4c o p u l a 能同时刻画上尾下尾的 情况。 其中：c o p u l a 的参数估计采用第二章介绍的i m f 法，检验采用卡方检验。 在以上建立的边缘分布基础上，由( 3 1 ) 式的变换就可以得出7 组新的序 y g ( u ，v ) ，f = 1 ，2 ，7 ，分别对应与7 个不同的周期。c o p u l a 的参数估计计算 结果见表3 7 。 表3 7 各尺度c o p u l a 参数估计结果 尺度1尺度2尺度3尺度4尺度5尺度6尺度7 n o r m a l60 8 4 9 20 8 6 7 20 8 6 6 10 8 5 8 7 o 8 9 1 00 8 4 4 20 8 9 1 0 p 0 8 8 7 60 0 8 0 90 0 8 8 5o 1 2 4 30 5 0 0 00 0 5 0 20 5 0 0 0 g 0 9 1 2 90 3 1 6 40 3 4 1 5o 4 5 1 30 8 9 l o0 1 4 8 7o 8 9 1 0 n o r m a l m i x 乏 0 3 6 8 0o 9 1 9 70 9 2 4 50 9 2 0 20 8 9 1 00 8 8 4 50 8 9 1 0 f r a n k61 0 4 2 21 1 4 4 31 1 7 3 31 0 9 2 31 2 7 4 21 0 0 4 01 2 9 7 2 g u m b e l62 8 3 4 03 0 4 7 73 0 8 9 52 9 1 2 13 3 3 3 32 。7 0 0 93 3 3 3 3 c l a y t o n 62 5 4 9 52 7 8 8 02 8 0 1 12 6 1 1 3 2 9 9 1 92 2 8 1 5 3 1 5 6 6 po 5 7 1 7 90 5 4 6 9o 5 1 5 20 5 3 6 70 5 1 5 70 4 7 1 3o 5 1 5 7 b b l 占2 2 8 4 22 4 7 5 32 5 3 5 12 3 7 3 22 6 52 2 5 3 72 6 5 臼0 5 6 0 00 5 3 4 00 5 0 0 90 5 2 6 11 3 0 0 00 4 6 4 91 3 0 0 0 b b 4 61 5 8 1 81 7 7 5 81 8 3 8 41 6 7 0 61 3 0 5 21 5 4 7 91 3 0 5 2 由g u m b e lc o p u l a 及c l a y t o nc o p u l a 参数计算得出的上尾及下尾相关性， 计算结果见表3 8 ： 2 1 第三章c o p u l a 度量市场之间的相关性 表3 8 各尺度上尾及下尾相关性 尺度1尺度2 尺度3尺度4尺度5尺度6尺度7 九 0 7 2 2 9 1 20 7 4 4 6 2 70 7 4 8 4 8 40 7 3 1 2 6 l0 7 6 8 8 5 30 7 0 7 4 2 60 7 6 8 8 5 3 九 0 7 6 1 9 4 90 7 7 9 8 7 80 7 8 0 7 8 5 0 7 6 6 8 6 70 7 9 3 2 0 4o 7 38 4 3 40 8 0 2 8 51 从上表计算的结果可以看出： ( 1 ) 总体上来看，各尺度的下尾相关性均强于下尾相关性，这也证实了人们 对利空消息的敏感度要大于利好消息的敏感程度。当市场发生暴跌时，人们会 感到紧张，就会立即采取行动；相反，市场出现上涨趋势时，人们关心的程度 并不像下跌情况时那样立即跟进。 ( 2 ) 从g u m b e lc o p u l a 及c l a y t o nc o p u l a 捕捉的上下尾相关信息可以看出， 在短期，中期以及长期交易中，均有着随交易期相对增加而的增加的情况。这 与我们前面从样本得出的k e n d a l l st a u 分析结果一致。 表3 9c o p u l a 检验 尺度1 尺度2尺度3尺度4 尺度5尺度6尺度7 n o r m a l3 8 94 8 66 0 44 4 86 1 2 4 4 73 4 8 n o r m a l m i x1 1 2 1 4 61 6 41 7 0 6 1 23 3 53 4 8 f r a n k 4 4 96 2 35 5 04 6 91 9 7 1 9 07 6 7 g u m b e l6 5 88 3 87 3 77 1 65 2 16 2 61 0 1 0 c 1 a y t o n 2 6 1 32 5 6 43 1 7 82 0 3 82 7 0 01 8 6 91 2 8 6 b b l2 7 92 8 63 5 93 6 04 6 16 9 54 4 l b b 4 3 2 03 5 83 9 93 9 94 7 52 7 02 0 4 自由度 1 0 01 7 71 3 61 4 11 2 09 79 2 9 5 1 2 4 3 4 22 0 9 0 41 6 4 2 1 61 6 9 7 1 l 1 4 6 5 6 7 1 2 9 9 11 1 5 3 8 从计算结果可以看出： ( 1 ) 从检验结果可以看出，在短期交易中，即尺度1 3 ， n o r m a lm i x t u r e 笙三雯竺竺竺! 兰塞量塑堑奎旦塑塑叁堡 c o p u l a 均能通过9 5 的卡方检验，说明，在短期交易时，存在对称结构。可以 看出，在短期交易中，人们更将目光投在高频波动的部分，对大盘的关注远远 低于中期和长期交易者。对利空与利好消息的敏感度远不如中期与长期交易者 敏感。 ( 2 ) 对中期以及长期交易，即尺度4 7 ，对称c o p u l a 不再适合，主要由于中 长期交易的非对称结构渐渐清晰，非对称c o p u l a 更适合描述市场的相关性。 3 s 本章小结 本章利用极大重叠离散小波变换，将沪市和深市的高频收益率分解在7 尺 度上，对不同尺度，即对应于7 个交易周期，分别采用s e m i g p d 模型拟合边缘 分布，在此基础上，拟合沪市和深市同周期收益率的c o p u l a 函数，运用多个 c o p u l a 来综合捕捉其上尾及下尾相关性。 实证表明： ( 1 ) 通过计算沪深市7 个交易周期收益率序列的k e n d a l l t a u 发现，沪深两市 同周期交易的相关度远远大于不同周期交易的相关度。并且，总体上，同周期 的相关度随交易周期变长而变强。 ( 2 ) 利用建立沪深市相同周期收益率序列的c o p u l a 函数，捕捉到的上尾与下 尾相关性表明，首先，沪深两市7 个交易周期的下尾相关度均大于上尾相关度。 其次，总体上，上尾及下尾相关度随交易周期变长而增强。 ( 3 ) 通过c o p u l a 的检验结果可以看出，随着交易周期的增长，沪深两市同周 期收益率序列的非对称结构逐渐增强。 第四章c o p u l a 的应用最