（基础数学专业论文）一个具有scalar旗曲率和非迷向s曲率的randers度量.pdf

摘要 摘要 本文给出了3 维流形上的一个具有s c a l a r 旗曲率和非迷向s 曲率的r a n d e r s 度量的例子首先，通过研究具有s c a l a r 旗瞳率和迷向s 曲率的r a n d e r s 度量 所满足的等价条件，即通过z e r m e l o 航海问题确定该度量的r i e m a n n i a n 度量h 和一个扰动向量场w 必须满足的形式，我们发现只要适当变换具有s c a l a r 旗 曲率和迷向s 曲率的r a n d e r s 度量所对应的r i e m a v m i a n 度量h 和扰动向量场 w ，那么，利用r i e m a n n 流形上的z e r m e l o 航海问题，我们就可以由h 和新的 w 来确定一个r 2 n d e r s 度量，而且该r a n d e r s 度量是具有非迷向s 曲率的且保 持了s c a l a r 旗曲率 本文中，我们保持p a e m a n n i a n 度量h 不变，变换向量场w ，得到的r a n d e r s 度量f ( x ，y ) 具有非迷向s 曲率，但是该r a n d e r s 度量f ( x ，y ) 是并不一定具有 s c a l a r 旗曲率的，所以我们还要验证该r a n d e r s 度量f ( x ，) 是否具有s c a l a r 旗 曲率，即验证r a n d e r s 度量具有s c a l a r 旗曲率所要满足的等价条件本文中我们 所使用的h ，w ，以及得到的具有s c a l a r 旗曲率和非迷向s 衄率的r a n d e r s 度量 f ( x ，y ) 如下； 其中 h ：= 川，w ：= d 蚓2 脚，= 迹书铲一辫糌 口为三维菲零常向量 z t口正m 北京工业大学理学硕士学位论文 关键词s c a l a r 旗曲率，r a n d e r s 度量，迷向s 曲率，航海问题 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw eg i v ear & u d e r sm e t r i co fs c a l a r 丑a gc u r v a t u r ea n do fn o n - i s o t r o p i cs c u r v a t u r eo i lm a n i f o l dm o ft h r e ed i m e n s i o n f i r s t l y , b ys t u d y i n gt h e e q u i v a l e n c ec o n d i t i o n o f r a n d e r s m e t r i c i s o f s c a l a r f l a gc u r v a t u r e a n d o f i s o t r o p i c s c u r v a t t t r e ，i no t h e rw o r d s ，b ys t u d y i n gt h ef o r mo far i e m a n n i a nm e t r i cha n d av e c t o rs p a c eww h i c hc r e a t e dt h er a n d e r sm e t r i cw i t ht h ez e r m e l on a v i g a t i o n p r o b l e m ，w ed i s c o v e ra sl o n ga sw ec h a n g et h e r i e m a n n i a nm e t r i ca n dv e c t o rs p a c e ww h i c hc r e a t e dt h er a n d e r sm e t r i co fs c a l a rf l a gc u r v a t u r ea n do fi s o t r o p i c s c l k r v a t t t l e w ec a l l , c 咒武ak a n d e r sm e t r i co fn o n - i s o t r o p i = cs - - c u r v a t u r ew i t hh a n dw b yt h ez e r m e l on a v i g a t i o np r o b l e m ，a n dt h i sr a n d e r sm e t r i ci so fs c a l a r f l a gc u r v a t u r e i nt h i sp a p e rw ek e e pp d e m a n n i a nm e t r i chi n v a r i a b l e ，a n dc h a n g et h ev e c t o r s p a c e ，i n t h i s w a y , w e g e t a r a n d e r s m e t r i c f p ，彩o f n o n - i s o t r o p i c s c u r v a t u r e ，b u t t h i s r a n d e r s m e t r i c n o t a l w a y s o f s c a l a r f l a g c u r v a t u r e ，s o w es h o u l d v e r i y w h e t h e r f ( z ，y ) i so fs c a l a rf l a gc u r v a t r eo rn o t ，w ec a a l s ov e r i 与，t h ee q u i v a l e n c ec o n - d i t i o nt h a tr & n d e r sm e t r i co fs c a l a rf l a gc u r v a t u r es a t i s f i e s i nt h i sp a p e r ，h ，w a n dr a n d e r sm e t r i cf ( 。，y ) o fs c a l a rf l a ga n do fn o n - i s o t r o p i cs c u r v a t u r ew e g e t & r e8 sf o l l o w s ： h ：= y w ：= 8 酬2 i w h e r e 北京工业大学理学硕士学位论文 啪) = 近丑1 - 1 圈a 1 2 l x l 4 一揣 z m ，g 瓦m di san o n - z e r oc o n s t a n tv e c t o ri nt h r e ed i m e n s i o n k e y w o r d s ：s c a l a rf l a gc u r v a t u r e ，g a n d e r sm e t r i c ，i s o t r o p i cs - - c u r v a t u r e n a v i g a t i o np r o b l e m i v 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得 北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 签名：1 勉日期：竺21 曼。 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留，使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以 公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：王凯 导师签名：，= 乌f 鸳厦日期：缚：2 女 引言 引言 f i n s l e r 度量可以说是没有二次型限制的r i e m a n n 度量，在f i n s l e r 度量中， 类非常有意义的度量是r a n d e r s 度量研究r a n d e r s 度量的分类特别是研究 具有s c a l a r 旗曲率的r a u d e r s 度量的分类已经成为f i n s l e r 几何研究中的熟点问 题 关于具有s c a l a r 旗曲率的r a n d e r s 度量的分类，2 0 0 5 年，程新跃和沈忠民 已经给出了具有s c a l a r 旗曲率和迷向s 曲率的r a n d e r s 度量的分类( 见【3 1 】) ，即 给出了具有s c a l a r 旗曲率和迷向s 曲率的r a n d e r s 度量所满足的等价条件，并 给出了一些具体的例子，然而，具有s c a l a r 旗曲率和非迷向s 煎率的r a n d e r s 度量的例子目前还未有人给出，我们试图构造具有s c a l a r 旗曲率和非迷向s 曲 率的r a n d e r s 度量的例子，这对研究具有s c a l a r 旗盐率的r a u d e r s 度量的分类 有重要意义 本文利用策梅洛航海问题，构造了一个具有s c a l a r 旗曲率和非迷向s 曲率 的r a n d e r s 度量的实例文章第二部分给出了具体构造过程，第三部分验证了该 r a n d e r s 度量确实具有s c a l a r 旗曲率 v 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 本文背景 f i n s l e r 空间的最初概念可以追溯到r i e m a n n 的著名论文u b e rd i eh y - p o t h e s e n ，w e l c h e l e rg e o m e t r i ez u g r n d el i e g e n 1 8 5 4 年，p d e n m a n 在他的演 讲中提出了微分几何的度量可以用二次形式的平方根来定义，或用四次微分形式 的四次方根来定义后来，他更进一步引进了基本弧长微元d s = f ( z ，d x ) 为其 度量函数这就奠定了r i e m a n n 几何的基础 后来。b r a s s ，l a n d s b e r g 和b l a s c h k e 注意到了徼分几何与变分学某些方面的 特殊反射变换关系，并且b l i s s 和l a n d s b e r g 在不是欧式背景下得到了他们的几 何理论1 9 1 8 年，p f i n s l e r 在他的博士论文中也讨论了基本变分定义度量的 般原则，并由此讨论了这类空间中的曲线和曲面的性质特征f i n s l e r 几何从 此得以命名( 见1 2 1 ) ， 1 9 3 4 年，e c a f t a n 发表了关于f i n s l e r 几何论文，他定义了c s n a n 联络并 且引进了曲率的概念，这使得f i n s l e r 几何发生了历史性的变化1 9 4 8 年，s s c h e r n 引进了c h e m 联络，这更加引导着f i n s l e r 几何向着更广的方向发展( 见 1 1 4 1 2 锡1 2 5 11 2 7 】) ，自此以后，国内外许多凡何学家都投入到了f i n s l e r 凡何的研 究中，如：d b a o ，沈忠民莫小欢，程新跃等 与r i e m a n n 度量最为接近的f i n s l e r 度量是r a n d e r s 度量，这一直是f i n s l e r 几何学家们研究的热点9 0 年代以前，以日本人t y a m a d a 等人为代表主要采用 张量分析的方法研究( 口，多) 一度量，主要得到了关于r a n d e r s 度量，m a t s u m o t o 北京工业大学理学硕士学位论文 度量等的一些性质，但几何的本质往往被复杂的张量计算所掩盖，所以这方面 的进展缓慢( 见【1 5 一 1 8 ) 9 0 年代以后，z s h e n 引入新的运算模式并大量应用 m a p l e 程序运算，为( a ，p ) 一度量的研究注入了新的活力( 见f 8 j 【3 7 【3 8 】1 2 9 【3 0 】 3 9 【3 5 】) 到目前为止，许多人对r a n d e r s 度量做了很多的研究，得到许多很好 的结果 在r a n d e m 度量的研究中，对r a n d e r s 度量的分类是其中非常重要的内容， 特别是对具有s c a l a r 旗曲率的r a n d e r s 度量的分类的研究越来越深入t 2 0 0 3 年，沈忠民给出了具有常旗曲率的射影平坦的r a n d e r s 度量的分类( 见 f 3 7 j ) 2 0 0 3 年，b a o - r o b l e - s h e n 通过研究策梅洛航海问题，给出了具有常旗曲率 的r a n d e r s 度量的分类( 见【9 j ) 2 0 0 3 年，程新跃，莫小欢和沈忠民给出了具有迷向s 曲率的射影平坦的 b a n d e r s 度量的分类( 见【3 2 】) 2 0 0 5 年，沈忠民和程新跃给出了具有迷向s 曲率和s c a l a r 旗曲率的r a n d e r s 度量的分类( 见【3 1 】) 目前，对具有s c a l a r 旗曲率r a n d e r s 度量的分类还未完全解决，我们想通过 研究具有$ c a l a r 旗曲率和迷向s 曲率的r a n d e r s 度量的等价条件。给出一个具 有非迷向s 曲率和s c a l a r 旗曲率的r 3 , n d c r s 度量的例子，进而能进一步完善具 有s c a l a r 旗曲率的l h n d e r s 度量的分类 本文从个r i e m a n n 度量h 和向量场w 出发，利用航海同题构造了一个 具有非迷向s 曲率的r a n d e r s 度量的例子，并对它是否具有s c a l a r 旗曲率做了 第1 章绪论 验证 1 2 概念与记号 定义1 2 1 f “j 光滑流形肘上的f i n s l e r 度量是指切丛t m 上的一个函 数f ：t m 【0 ，+ o 。) ，满足 ( 1 ) 正则性，f 在t m o ) 上光滑； ( 2 ) 一阶正齐次性：f ( z ，a y ) = a f ( z ，) ，v o ； ( 3 ) 强凸性；矩阵( ) ：= ( 睦f 2 矿矿) 在t m o ) 上处处正定。其中 矿是由m 上局部坐标函数诱导的t m 的局部坐标函数p ，口) 的分量， f 2 】矿一：= 若嚣 定义1 2 2 n 光滑流形m 上的r i e m a n n 度量是关于m 上任一点z 的切空 间t m 上的一族内积 啦) 。e m ，满足函数( 功：= 如( 刍，刍) 是光滑的 因为每一个如是一个内积，从而矩阵( ) 是正定的记 g = 肋( z ) 如o 舻 则g 通过以下方式做成一个f i n s l e r 度量 f ( z ，y ) ：= 如( ，y ) 从而每一个p 4 e m a a a 流形( m ，g ) 都是f i n s l e r 流形 定义1 2 3 1 4 3 4 4 设a ：= 鬲石i 石驴是微分流形m 上的r i e m a n n 度量， p - k ( z ) 矿是m 上的1 - 形式，则当怕忆：= i 虿i 再 “其中( ) = ( ) 。) 时，f ：= q + 口是m 上的f i n s l e r 度量，称为r a n d e r s 度量 3 北京工业大学理学硕士学位论文 这类度量不仅在物理上有深刻的背景，而且在构造具有各种衄率性质的f i n s l e r 度量时十分有用，是f i n s l e r 几何研究的重要内容 其中 其中 定义1 2 4 嗍设( m ，f ) 为n 维f i n s l e r 流形，定义其h i e m a n n 曲率为 日：= 磁出k 圆刍t = m t = m 磁= z 篆一器矿+ z 筹一筹雾 = 耖胪 z , , 矿y k - - 【f 2 一) 称为f 的测地系数 定义1 2 5 同设f i n s l e r 流形( m ，f ) 上的r i e m a n n 曲率为 r = 磁如。刍t = m t = m vy ( 0 ) 咒m 及与y 线性无关的“e m ，定义旗曲率为 脚m 小= 而焉黪等丽 在e d e m a t a l 流形的情形，鲫即为r i e m a n n 度量，即为通常的r i e m a n n 曲率张量，并且k ( z ，y ，t ) 即为关于 玑“) 张成平面的截面曲率所以说，f i n s l e r 几何中的旗曲率是r i e m a n n 几何中截面曲率的推广( 见 2 2 j ) 称流形m 上的一个f i n s l e r 度量f 具有常旗曲率，如果k ( z ，y ，u ) 为常数； 称f 具有迷向旗曲率，如果耳( z ，y ，“) = k ( z ) 为m 上的标量函数；称f 具有 s c a l a r 旗曲率，如果k ( x ，y ，u ) = ( $ ，y ) 为丁m o ) 上的标量函数 4 第1 章绪论 定义1 2 6 1 2 6 设( m ，f ) 为n 维f i n s l e r 流形。岛为其r i e m a n n 曲率，令 r i c ：= 9 ( 局( e ；) ，吼 ；= l 其中 岛 为疋m 的一组基，鲥：= 跏慨，e j ) ，( ) = ( ) 一，则r i c 是 t m o ) 上整体定义的数量函数，称为r i c c i 曲率 注：由定义1 2 4 可知k i c c i 曲率实际上就是r i e m a n n 曲率的迹 定义1 2 7 ucr “上的f i n s t e r 度量f = f ( 。，y ) 称为射影平坦的，如 果矿中所有的测地线均为直线 定义1 2 8 设b “是舯上的单位球，设( m ，f ) 是f i n s l e r 流形定义 口：= m _ | + 为： 巾卜丽丽糕 其中 c o l 表示欧式体积再定义r ：丁m o 一r 为： r ( 毛) ：= l n v d e l t ( g ；j 厂( x , y ) ) 其中是m ，f 的基本张量的分量称r 为( m ，f ) 的d i s t o r t i o n ( 贝, 3 9 】【4 1 】) 设r 为( m ，f ) 的d i s t o r t i o a ，s ：t m o 一r ，s ：= 于f ，称s 为( m ，f ) 的s 曲 率s = 4 - 1 ) c ( z ) f ，其中c ( 动为m 上的光滑函数，则称( m ，d 具有迷向s 曲率特别地，若c ( z ) = 常数，则称( m ，f ) 具有常s 曲率 记号1 2 9 6 j j _ 堍一一酞喃 北京工业大学理学硕士学位论文 其中 = ；+ 啪，：= j 1 一咐 s ：= b k a j s i j ，e l i ：2 + b i 8 i + b i s l 噶：= 互1 “k el , 一一，。- + 一) 注；下面用到的i j ，k ，l ，m 均为从1 到3 其他相关概念记号参考 s 1 ：6 4 1 】 1 3 相关定理及结论 定理1 3 1 9 1f i n s l e r 度量f 是r a n d e r s 度量的充要条件是f 满足r i e m a n n 浇形( m ，h ) 在扰动向量场彬 ( ww ) 1 下构成的z e r m e l o 航海问题，而且 此度量f 是r i e m a n n 度量的充要条件是w = 0 设f 是r a n d e r s 度量且f = f ( z ，y ) = a 扛，y ) + p ( ，) = 、石孑石j i 可+ 玩( o ) 矿，其中a 为r i e m a n n 度量，卢为1 形式，则定理1 3 1 具体可表示为 叼= 譬+ 等等，乜一妥， 其中 w = w 唔，眦= b ，a = 1 一i 1 2 正是借助z e r m e l o 航海问题，d b a o ，c r o b l e s 和沈忠民对常旗曲率的 r a z d e r s 度量进行了完全分类( 见 9 】) 此定理也为我们构造新的r a n d e r s 度量提供了一种很好的方法，在本文中我 们就是采用这种方式构造了一个具有s c a l a r 旗曲率和非迷向s 曲率的r a n d e r s 度量此部分的具体讨论可参考【7 】【2 2 3 3 等 第1 章绪论 定理1 3 2 嘲设f 是满足r i e m a n n 流形( 肘，九) 在扰动向量场彬危( 彬彬) 1 下构成的z e r m e l o 航海问题的r a n d e r s 度量，则( 尬f ) 具有常旗曲率k 的 充要条件是存在常数c r 使得 ( 1 ) h 具有常截面曲率k + 击口2 ； ( 2 ) w 是关于h 的相似向量场，即 l w h = 一a h ，( l w h ) o = 瞰b + w j h = 一f k 而且，若h 不是平坦的，则必有口= 0 定理1 3 3 a 1 令f = a + 卢为n 3 维流形m 上的一个由r i e m a n n i a n 度 量h 和向量场w 通过允( z ，善一w ；) = 1 生成的r a n d e r s 度量f 具有迷向s 曲率s = + 1 ) c f 和s c a l a r 旗曲率k = k ( 。，) ，当且仅当在m 上的任意一 点，存在一局部坐标系，在此坐标系下，h ，c 和w 的形式为； h = w = 一2 “j 、研+ ( 口，z ) 净一了熹 + 。q + 6 + p ( 6 ，z ) z 其中6 ，芦为常数，q = ( ) 为反对称矩阵， b ，b j p 为常向量在这种情形 下，旗曲率 k ：墼竺+ ， 其中口= p c 2 2 岛。w ” 此定理给出了具有s c a l a r 旗曲率和迷向s 曲率的r 自n d e r s 度量完全分类 北京工业大学理学硕士学位论文 本文就是从此定理出发，变化向量场w 得到具有非迷向s 曲率的r a n d e r s 度 量 例1 3 4 a 1 】在定理1 3 3 中，令p = 0 ，6 = 0 ，q = 0 ，b = 0 得到 h = i g i ，c = ( a ，z ) ，w = - 2 ( a ，z ) z + l z l 2 。 相应地r a n d e r s 度量f = 口+ 卢为 f = 巫地地邕端贮幽 一咝鱼：丑二! ! ! ! 生! 兰：鲤 1 一l a l 2 i z l 4 上面的r a n d e r s 度量f 具有迷向s 蓝率和$ c a l a l 旗曲率，即； s ：+ 1 ) ( 。，z ) f 耳；型等垃+ 3 ( 0 ，z ) 2 2 ：蚓2 定理1 3 5 令f = a + 卢为n 维流形m 上的r a n d e r s 度量f 具有 8 c 出口旗曲率当且仅当口的p d e m a n n 度量屈和卢的共变导数满足下面的方程 展= ( c 一击蠕) a 2 碓一弧) + a 2 畦 + t 0 0 磋一t 矿一瑶珊一3 s ；s 枷 s 训t2i 圭了 皿t 譬k 一t s ) 其中c = c ( z ) 为m 上的标量函数更多地，该r a n d e r s 度量旗曲率为； 耳= 1 3 ( r 耳o o - 丽2 s o 广a ) + 4 a ( q o o - t 可o a ) 石- 丽( r o o r l o - 一2 s o l o a ) ( a d 2 + t 0 0 ) + ( 2 q s 孙一a 2 蠕) ( 礼一1 ) 陋+ 卢) 2 & 第1 章绪论 此定理给出了具有s c a l a r 旗曲率地r a n d e r s 度量所满足地等价条件 定理1 3 6 【1 令f = d + 卢为n 维流形上的一个r a n d e r s 度量h 和 分别为f 通过航海问题对应的b i e m a n n i a n 度量和扰动向量场对m 上的 任意函数c = c ( z ) ，下面两式等价： ( ) s = + 1 ) c f ( 6 ) 职l ，+ h = 一4 c h t i 定理1 3 7 ( 9 】z e r m e l o 航海问题：令西= 、吩面驴为r i e m a m l i a n 度量， y = 未为流形m 上的一个向量场，其中由( z ，k ) 1 ，忱m 定义 f = f ( x ，y ) ：= 圣( 。，y f ( z ，) k ) 解上式可得 啪) = 正亚雩男孕坠业 f 的形式为f = a + z ，其中口= 、厄孑i 驴为r i e m a n n i a n 度量，卢= 风( ) 矿为 1 一形式，不难证明1 1 卢1 t 。= 五虿5 万= 、衙孑而= ( z ，k ) 1 ，因此，f 为一 个r a n d e r s 度量， 相反地，每一个r a n d e r s 度量f = 口+ 多都可以由个r i e m a n n i a n 度量和 流形上的一个向量场来构造构造方法如下； 毋“( z ) ：= ( 1 一l i 卢l l 。) o 町( z ) 一玩( z ) 如( z ) ) 驴= 一盟- 型l l # l l 堕, 北京工业大学理学硕士学位论文 其中a = 、，石石石伊，卢= 瓯( 。) 矿 那么，由式f = f ( 。，y ) ：= 西( 毛y f ( 。，可) k ) 给出的f 为由西= 、巧孑石可 和v = v 岳构造所得 定理1 3 7 给出了由r i e m a n n i a n 度量h 和向量场w 构造r a n d e r s 度量的 具体过程 定理1 3 3 及例1 3 4 为我们寻找具有非迷向s 曲率的r a n d e r s 度量提供了 保证，本文从例1 3 4 出发，变换该例中的w ，得到具有非迷向s 曲率的r a n d e r s 度量，然后我们利用定理1 3 5 又验证该度量是否具有s c a l a r 曲率 接下来我们就介绍一个具有非迷向s 曲率的r a n d e r s 度量的具体构造 1 0 - 第2 章个具有非迷向s 曲率的r a n d e r s 度量的构造 第2 章一个具有非迷向s 曲率的r a n d e r s 度量的构造 2 1 具有非迷向s 曲率的r a n d e r s 度量f ( x ，y ) 设m 为3 维流形， 为m 上的r i e m a n n i a n 度量 h = j 口 w = 2 a 为扰动向量场，其中口为3 维非零常向量令2 l a l 2 i x l 4 f 2 一a 2 一一i 一 ( n ，。) ( o ，可) 2 42 ( o ，z ) ( 口，可) 2 l o 2 i z l 8 ， 一1 r 一， = 坐学堂+ 坐掣 a a + 4 a ( x , y ) 1 ( a 广, y l a 1 2 1 x 1 6 一，兰壁垒! 盟( ! ，口) f 。m 1 6 。4 a ( n 口) ( z ，) i x l ”a i ( a ，z ) 坩l y l 2 。 aa 2 a a i ( 一a , z ) ( 。，) 2 f z l 6 2 a ( 口，。) ( n ，) 2 i n l 2 1 2 1 1 0 1 aa 2 o 2 萼= 一4 x i x k 厂lai21xla 1 7 - 北京工业大学理学硕士学位论文 8 a y 。( 。，) o f 2 l 6 6 4 一( z ，) ( o ，y ) l o f 4 i z l 8 a2” 4 x z 。i o l 2j 掣j 2 s z z * a 1 4 l z l 4 l 可1 23 2 x i x ( o ，) 2 i o l 2 i z l 4 a a 广一一1 r 一 3 2 x 4 矿( d ，) 2 i o l 4 l z l 88 g ( o ，y ) i o l 2 i z l 6 。一 3 一。一x 一 4 8 a z a ，) ( z ，g ) l o l 2 i zj 41 1 2 a 4 z ( o ，) ( z ，) i n l 4 l z 8 一了一一弋r 一 8 0 ( o ，) 1 0 1 4 i zj 1 06 4 a 。扩( o ，) ( z ，) l o l 6 i z l l 2 一万一一1 _ 一 2 a n l 1 2 l 。1 6 i 可1 2 1 2 a z 。( o ，z ) i o 2 f 士f 4 f 可f 2 2 a 凸a ，) | z 1 6 1 一。百一一一f 一1 一 8 a z a ，z ) f d | 4 f z 8 f f 2 8 a z ( o ，z ) ( o ，) 2 i d l 2 i 。1 8 。舻一一一页一 ；4 a ( d ，) 2 口1 2 i z l l o 4 0 x k ( a ，z ) n ，g ) 2 i o l 2 i z l 8 a 2f 一 ，3 2 x a ，功( n ，f ) 2 h 1 2 7 了r 一 壁：2 y 叫 l a 1 2 1 x 1 2 + 2 a * 矿 l a l 4 i 。j 1 0 一。了一五r 一一j 可一 + ! ! ：芝! ! ：生! ! 目! + ! ! ! ! ! ! ! ! 生鱼! 尘! 兰! ! + 4 a k aalxls!丝!j：! a o a z 一! 型翌芝蝉型幽3 2 a i x j a k l a l 6j x 1 2 + 2 a l a 。y k a 1 2 1 x j 6 4a o a 1 2 a x ：y k ( a , x ) a 2 x 4 s a x j y a l a l 4 1 x s 。2 a 4 a j a a ( a ，) 蚓6 aa 2 a + 1 2 a 4 x i a k ( a , x ) ( a , y i x 4 + ! ! ! 竺尘! ! ! 生! ! ：盟! ! 兰+ 4 a j a k ( a , y l a l 2 1 x l x o ，、 a oa o +!坚塑兰：生i竺：剑竺坠432xjak(a,x)ia,y)lal41x10 _ _ 翌皇：；2 a x c a k l x l 2 + ! ! ：! 兰! ! ! 罡+ 4 a i x j a 。l a l 2 1 x l e 妒咖。 a aa 2 4 a a j z i o l 2 h 62 x a j a 蚓2 4 x 2 a j a l a l 2 t x l 6 a 2 一a 一贾r 一 4 a , a j x f oj 2 i z 6 4 a 。x j a 。l a l 2 i z l 64 n 一o l a 4 f z f l o a 。一厂一一1 r 一 一! ! ：翌茎业咝! 。2 a a j a k ( a ，z ) 4 a j a ( n ，圳0 1 2 i z l ” a 2a a 2 然后我们可以计算， 忌= z 筹一矿筹+ z 印筹一雾雾 一1 9 下面我们计算方程组( 1 ) 的右边我们不妨令i 七，则蚝：o ，即计算 c - ；。：1 j 。m ) ( 一口) + c 。a t ；+ f k 。矿一j 女一3 站5 加 首先计算幻： 2 t 。s m 露= 8 i m a 州s 。 = ；( 继堕芦+ 坠亭坠h ( 一吲) ；( 幽等