（力学专业论文）梁的非线性振动内共振模态研究.pdf

摘要 传统的模态分析理论在工程实际中的广泛应用以及振动问题中普遍存在的非线性 因素，使线性模态理论向非线性模态理论发展成为必然。非线性模态分析不仅是结构 动态设计的需要，也是构造多自由度非线性系统近似解的方法之一。本文以内共振系 统为研究对象，给出了利用多尺度法构造此类系统非线性模态的全过程。 首先，对非线性模态理论的研究进展作了较全面的综述，并阐述了非线性模态的 特点以及内共振关系对构造非线性模态的影响。 其次，简要介绍了柔性多体动力学理论，将柔性多体动力学理论应用于一类刚柔 耦合系统的建模。该多柔体系统离散化后的简化模型为一个含有1 ：3 内共振关系的立 方非线性系统。然后，以上面得到的离散内共振系统为对象，用多尺度方法构造了其 非线性模态。研究发现，内共振模态可分为耦合内共振模态和非耦合内共振模态。模 态耦合是内共振关系存在的必然结果，因而是内共振非线性系统所特有的现象。 最后，将处理离散内共振系统的方法推广到连续系统，研究了悬臂梁的非线性模 态及其振型，并通过算例验证了本文理论的正确性和可行性。 关键词：非线性模态，内共振，模态耦合，多尺度法，等效线性化 a b s tr a c t 拍ee x t e n s i v ea p p l i c a t i o n so fl i n e a rm o d a la n a l y s i sa n dt h ee x i s t i n gn o n l i n e a rf a c t o r s i n v i b r a t o r ys y s t e m sm a k ei tn e c e s s a r yt h a tn o n l i n e a rm o d a la n a l y s i si sd e v e l o p e d n o n l i n e a rm o d a la n a l y s i sh a sag r e a ts i g n i f i c a n c ef o rs t r u c t u r a ld e s i g n sa n di 8a l s oam a i n a p p r o a c h f o ro n et oo b t a i n a p p r o x i m a t e s o l u t i o n sf o rn o n l i n e a r s y s t e m s w i t h m u l t i - d e g r e e o f - f r e e d o m i nt h i sp a p e r , t h em e t h o do fm u l t i p l es c a l e si ss u c c e s s i v e l yu s e d t oc o n s t r u c tn n m so fs y s t e m sw i t hi n t e r n a lr e s o n a n c ew h i c hh a sb e e nap u z z l ef o ral o n g t i m e a tf i r s t t h ea d v a n c ei nt h es t u d yo nn n m si sp r o p o s e dc o m p l e t e l y , w h i c hi n v o l v e st h e c h a r a c t e ro fn n m sa n dt h ee f f e c to fi n t e r n a lr e s o n a n c eo nc o n s t r u c t i n gn n m s s e c o n d l y , t h et h e o r yf o rm u l t i - f l e x i b l ed y n a m i c a ls y s t e m si si n t r o d u c e da n da p p l i e d ， a n dt h es i m p l i f i e ds y s t e mo b t a i n e di sc u b i cn o n l i n e a r w i t h1 ：3i n t e r n a lr e s o n a n c ef o r c e r t a i np a r a m e t e rc o n d i t i o n n e x t t h en n m so ft h es y s t e ms t u d i e da r ec o m p u t e db yu s i n g t h em e t h o do fm u l t i p l es c a l e s t h en n m sa s s o c i a t e dw i t hi n t e r n a lr e s o n a n c ec a nb e c l a s s i f i e di n t ot w ok i n d s ：c o u p l e da nu n c o u p l e d t h ec o u p l e dn o r m a lm o d e so n l ye x i s ti n n o n l i n e a rs y s t e m sw i t hi n t e r n a lr e s o n a n c e a tl a s t ，t h ei d e au s e df o rc o n s t r u c t i n gn n m so fd i s c r e t es y s t e m si sa l s ov a l i df o r c o n t i n u o u ss y s t e m s ，a n dt h i st o o t h e di ss u b s t a n t i a t e db yt w oe x a m p l e s k e y w o r d s ： n o n l i n e a rn o r m a lm o d e s ，i n t e r n a lr e s o n a n c e ，m o d ec o u p l i n g ，t h em e t h o d o fm u l t i p l es c a l e s ，e q u i v a l e n tl i n e a r i z a t i o n 国防科学技术大学研究生院学位论文 图目录 图2 1 相似模态与非相似模态6 图3 1 刚柔耦合系统的物理模型2 2 图3 2 运动学分析示意图2 2 图4 1 悬臂梁模型3 l 图4 2 不涉及内共振的振型对比图1 3 3 图4 3 不涉及内共振的振型对比图2 3 4 图4 4 耦合内共振的振型对比图1 3 5 图4 5 耦合内共振的振型对比图2 3 5 图4 6 耦合内共振的振型对比图3 3 6 图4 7 耦合内共振的振型对比图4 3 6 图4 8 菲耦合内共振的振型对比图1 3 7 图4 9 非耦台内共振的振型对比图2 3 8 图4 1 0 非耦合内共振的振型对比图3 3 8 图4 1 1 非耦合内共振的振型对比图4 3 9 图5 1 模态1 振型4 5 图5 2 模态2 振型4 5 图5 3 强迫振动的响应一频率曲线4 8 图5 4 悬臂梁振子系统模型一。5 3 图5 5 频率随振幅偏移图5 5 独创性声明 本入声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国盼科学技术大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文题目：墓曲韭缝挂蓝邈内基握搓查珏窥 学位论文作者签名：妞垄送日期：埘年，月f 日 学位论文版权使用授权书 本人完金了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定本人授权国 防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子文档， 允许论文被查阅和借阏；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印，缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文题目： 塞数韭缝性燕越内基燕搓盔叠窀 学位论文作者签名：蔓堑堂盗 作者指导教师签名 韬靼牛一 日期：口o r 年，月，日 日凝：p 。歹年f 茂| fb 第一章绪论 1 1 引言 作为经典的振动理论，线性振动理论已经发展得相当完善，并在工程实际中得到 了广泛应用。但是随着科学技术的不断发展，人们越来越认识到，虽然在解决许多工 程实际问题时用线性振动理论可以得到比较满意的结果，而在许多场合下，比如大振 幅振动，用线性振动理论分析就会带来很大的误差甚至是定性的错误。工程实践中根 据线性振动理论设计的系统出现故障的例子很多，所以非线性振动理论近几十年来的 到了非常迅速的发展。从数学的角度来看，描述系统非线性振动的非线性微分方程的 解比描述系统线性振动的线性微分方程的解要丰富的多，因而可以揭示许多非线性振 动系统所特有的现象，如跳跃、多解、固有频率的变化、极限环、亚谐共振、超谐共 振、概周期解、分岔、混沌等。从物理的角度看，由于振动系统本身的特性，某些问 题不能简单地进行线性化处理是显而易见的。所以非线性振动理论的产生与发展既是 科学理论发展的必然结果，也是工程实际问题不断向线性振动理论提出挑战的必然结 果。 长期以来，人们对于非线性系统动态行为的研究，无论从理论上，还是从数值计 算方面都做了大量的工作，但对超高自由度系统，以及连续介质系统的非线性分析仍 没有找到像线性系统模态分析那样有效的方法。因而人们直不断的努力寻找解决问 题的新方法，在这方面的努力中，非线性模态理论方法是最有效的。 非线性模态( n o n l i n e a rn o r m a lm o d e s ) 理论是非线性振动理论的一个重要研究分 支，它与线性模态( l i n e a r n o r m a lm o d e s ) 理论相对应，是线性模态理论的自然发展。 它的研究内容主要包括非线性模态的定义、求解方法( 构造方法) 、非线性模态的特性、 非线性模态的合成条件及合成精度即如何应用非线性模态理论处理非线性振动问题如 自由振动或强迫振动的响应等。 1 2 非线性模态理论的发展概况 非线性模态的研究始于5 0 年代末，当时线性模态理论已趋于成熟，但科学家和工 程师们已发现了许多用线性振动理论无法解释的现象，如内共振系统会出现除线性模 态以外的模态。非线性模态的概念最初由美国加州大学伯克利分校的r o s e n b e r 9 1 1 3 j 等 引入的，以研究离散、无阻尼、保守非线性系统的自由振动。他们认为非线性模态是 一种特殊的运动，并根据这种运动在系统构型空间中，是对应通过平衡位置处的直线 还是曲线，将非线性模态分为相似的( 对应直线) 和非相似的( 对应曲线) 。r o s e n b e r g 第1 页 等人的工作之后，很多学者都在这方面做了研究。v a k a k i s 2 5 】在一系列的研究中系统的 分析了一类双质量弹簧保守强非线性系统的非线性模态及模态上局部、全局动力学。 我国学者刘炼生、黄克累【2 9 】【3 0 】进一步拓展了非线性模态的概念，突破了国外研究的束 缚，将非线性系统模态的概念由保守系统推广到非保守自治系统和菲自治系统，由周 期运动推广到非周期运动。 r o s e n b e r g 关于非线性模态的理论，主导了该领域将近三十年的研究。前面提到的 工作大都属于这一系列，并且主要针对保守系统进行分析。然而这种理论有其局限性， 比如相似模态不是通有的，即是说相似模态实际存在的可能性很少，另外，r a n d 、p a r k 和v a k a k i s 3 1 l 的工作，证明了另一种周期运动的存在，这种运动在构型空间的投影为包 含原点的椭圆，因而既不是相似模态，也不是非相似模态。 直到1 9 9 1 年，s h a w 和p i e r r e l 3 2 】引用动力系统理论中不变流形的概念来定义非线 性模态，将非线性模态定义为系统相空问中二维不变流形上的运动。这一开创性的工 作，将该领域的研究带入了一个新的发展阶段。 吴志强、陈予恕【3 3 】将s h a w 和p i e r r e 的思想做了推广。他们认为非线性模态为系 统相空间中偶数维不变流形上的运动，并根据模态上的动力学方程，将非线性模态分 为：非耦合模态、耦合模态和内共振模态。提出耦合非线性模态的原因，是用s h a w 和p i e r r e 的方法构造的某些非内共振系统的二维非线性模态在一定条件下失效。他们 将提出的直接求解非线性动力系统正规形的方法用于非线性模态的构造，得到的模态 上的动力学方程( 即模态振子) 具有正规形式，这种形式最简单的方程，不仅能反映 系统在非线性模态上的动力学行为，而且还易于得到模态上运动的非线性频率、非线 性稳定性等信息。而s h a w 和p i e r r e 的方法得到的模态振子是普通的单自由度非线性 方程，要获得模态运动的非线性特征，如频率等，还须用摄动方法作进一步的分析。 连续系统的非线性模态的研究，近来也日趋活跃。k i n g 和v a k a k i s 3 6 】于1 9 9 3 年提 出了保守非线性系统基于能量的非线性模态的计算公式。s h a w 和p i e r r e 3 7 】于1 9 9 4 年 将他们构造非线性模态的方法推广到一维连续系统，他们用理论分析和数值计算方法， 考察了非线性模态的不变性及模态动力学近似，表明系统作纯非线性模态运动时，该 非线性模态的三阶近似即能精度很高的反应系统的真实响应，而要得到相同程度的近 似则要利用五个线性模态来分析，说明利用非线性模态分析系统的响应可以大大减少 工作量。n a y f e h 3 8 l 【3 9 谰多种方法分析了连续系统的非线性模态，并对多尺度法、正规 形法、s h a w 和p i e r r e 法、k i n g 和v a k a k i s 法作了比较。 1 3 非线性模态的特点 与线性模态相比，非线性模态具有以下几个显著特点： 第2 页 ( 1 ) 非线性系统除具有线性模态之外还具有非线性模态，典型的情况就是内共振 非线性系统。因而非线性模态的数目会超过自由度数，而线性模态的数目一定与系统 自由度数相等。 ( 2 ) n n m 不具叠加性。我们知道，对于线性系统可利用模态的叠加性得到系统 振动的通解，而对于非线性系统，由于叠加原理不成立运用模态分析方法只能得到 原系统振动的特解，至于如何根据非线性模态构造系统的响应则一直没有得到很好的 解决。 ( 3 ) 线性模态与初始条件无关，但n n m 却与初始条件有关。 ( 4 ) 非线性模态之间通常不存在正交关系，而线性模态之间是加权正交的。 ( 5 ) 非线性模态具有局部化、分叉及混沌性质。 关于这方面的研究一直吸引着大批力学工作者。r o s e n b e r g 3 】指出，对同样的系统 由相同的弹簧连接时可能存在多于两个的模态。文献【1 8 l 用数值方法研究了模态分岔， 指出非相似模态不仅其周期与系统的能量有关，而且其数目也依赖于系统的能量。 a n a n d 2 3 】分析非线性弹簧连接的两质量系统的自由振动时可能产生模态分岔。y e n 2 0 l 通过考虑势能函数展开式中控制大幅运动、小幅运动的项，分析了这种分岔的物理本 质。相似模态的轨道取决于势能函数中的参数，而与能量无关，因此给势能以摄动可 能导致相似模态轨道的出现或消失。s h a w 和p i e r r e 4 3 l 指出有阻尼双质量弹簧系统的模 态数目在一定条件下甚至能达到六个。n a y f e h 在文献f 4 1 l 【3 4 j 中分别用多尺度法和复不变 流形法研究了内共振的非线性模态，指出内共振情况下非线性模态的数目可能多于线 性模态的数目。v a k a k i s 分别用匹配法【2 5 l 和能量方法【3 6 1 对一类两自由度无阻尼强非线 性系统做了系统的研究，包括相似模态数日的变化、不同类型模态间的转化、分岔解 的局部稳定性，指出相似模态的分岔可导致系统的混沌运动。 1 4 非线性系统中的内共振现象m 内共振关系是指存在正或负的整数码，m ：，州，使得系统的若干个固有频率 玛，吡，之间存在如下关系 q + 珊2 鸭+ + - 0 ( 1 1 ) 存在内共振关系的振动系统是非常普遍的，依赖于系统中非线性的阶数，频率的 这些可公度关系可以使振动系统表现出特殊的动力学现象，这些现象即是线性振动系 统所没有的，也是不存在内共振关系的非线性系统所没有的。 在自由振动系统中，初始时给予涉及内共振的某一阶模态的能量，将在涉及内共 振的全部模态之间不断地变换，如果系统中有阻尼，那么能量在变换中将不断减少。 对保守的多自由度陀螺系统，假如存在内共振，非线性运动将有可能是无界的。 存在内共振的系统中，在某些条件下，系统的外共振可能涉及多个模态。例如对 于带平方非线性的系统，如果一2 q ，则当q 一屹时存在饱和现象，即当激励幅值k 是小量时，只有频率为他的第二阶模态被激发；当k 达到某一临界值时，此第二阶模 态达到饱和而第一阶模态开始增长；当k 再增大时，由于内共振，所有增大的能量都 进入第一模态( 即使有- 鸭) 。对于带立方非线性的系统，虽然存在一种趋势，即对 涉及内共振的模态，能量从较高阶模态流到较低阶模态，但不存在饱和现象。对于带 平方非线性的系统，如果q 一岫和一2 鸭，则在某些条件下，即使有阻尼，也不存在 稳态运动，这时能量在这两个模态之间不断地交换而不衰减。当涉及内共振的模态也 涉及受外激励的组合共振时，则根据非线性的阶数，在响应内可能存在两个或更多的 分数谐波。例如对带立方非线性的系统若存在内共振c - 0 2 一她及组合共振q 一+ q ， 则响应内可能出现分数谐波偶( 妻q ，詈q ) ；对带立方非线性的系统若存在内共振 jj 111o w 2 3 q 及组合共振q 一毡+ q 或q 一言( + q ) ，那么分数谐波偶暗q 乓q ) 或暗q 专q ) 之一可能存在。 如前所述，内共振关系的存在对构造非线性模态也会产生影响，这种影响的表现 就是通常对于非内共振系统有效的方法不再有效。内共振系统的存在对系统带来的这 些影响完全是由系统地非线性特性决定的，即不同自由度之间通过耦合形成的非线性 项引起的。而这些耦合非线性项是非线性系统中最一般的非线性形式。所以内共振非 线性系统的研究较之一般的非线性系统要复杂得多。 1 5 本文的主要工作介绍 第一章介绍了有关非线性模态的一些基本问题，包括非线性模态研究产生的背景、 目前的研究现状以及发展前景。比较了线性模态和非线性模态的区别，知道了非线性 模态的特点完全是由系统的非线性所决定的，这也正是研究非线性模态的意义所在。 第二章详细介绍了非线性模态的三种定义及构造非线性模态的各种方法。通过介 绍非线性模态的三种定义，我们可以更好的理解每一种定义的物理本质，而各种构造 非线性模态的方法，则具有很强的实用性。通过比较，我们会知道，对什么样的系统 采用哪一种方法更合适，是分析非线性模态的基础。 第三章给出了一个描述一类刚柔耦台系统的数学模型。这类系统可以作为大型航 天器的天线系统和机械臂系统的模型。它们的特点是局部非线性可导致整个动力学方 程的强烈非线性耦合，从而增加了求解难度。 第4 页 第四章系统介绍了内共振系统和连续系统的非线性模态的构造问题。因为内共振 关系的存在可使非线性系统的动力学现象变得十分丰富，以第三章的数学模型为研究 对象，采用多尺度方法，分别构造了系统的非内共振和内共振的非线性模态。连续系 统的振动问题在工程中广泛应用，用多尺度方法计算了悬臂梁的非线性模态。由于取 前三阶截断时，悬臂梁离散化后的系统含有1 ：3 内共振关系，跟内共振系统的非线性 模态是一致的。 第五章研究了非线性模态分析的简化方法：等效线性化方法。对实际工程闻题， 直接求解系统的模态往往需要复杂的计算，但在某些条件下，问题能得到简化。本章 利用谐波平衡法，对弱非线性系统进行等效线性化，将非线性系统等效成一系列线性 系统的组合，并利用线性模态分析方法来处理非线性模态分析问题，使问题得到了简 化。 论文最后对全文工作进行了总结，指出了目前研究中存在的问题，并对今后的研 究热点作了展望。 第二章非线性模态的定义与构造 2 1 1 非线性模态的三种定义 本节叙述的三种非线性模态的定义，在非线性模态理论中占有重要地位。 2 1 1r o s e n h e r g 定义 作为非线性模态理论的奠基人，r o s e n b e r g 关于n n m 的定义与线性模态的定义最 接近。在很大程度上是线性模态的推广。注意到线性系统处于模态运动时，各物理坐 标之间的比例为常数，即系统做同步振动，且同时经过平衡点，他定义非线性自治保 守系统 葛+ z ( 工) - 0( i l 2 ，) ( 2 1 ) 的n n m 是这样的一种确定性运动：所有质点都做同一时期( 但不必为简谐) 的 振动，且同时达到平衡位置和最大位移位置。根据这种定义，所有质点的位移置都可 以用任何一点( 不妨记为，显然而不能为振动系统的结点) 的位置确定。即 而一置( ) ( 2 2 ) 并且可将n n m 分为： 相似模态：蕾一q 为常数，i - 1 2 ，n ) ( 2 3 ) 非相似模态：鼍一墨)( ft 1 2 ，n ) ( 2 4 ) 上式t - 置) 中至少有个五为矗的非线性函数，这两种模态上的运动在系统 构型空间中的投影分别为直线和曲线。 图2 1 褶似模态与菲褶似模态 而非线性模态上的动力学方程则有下列单自由度保守系统确定 蒜+ f o ( x o ) 一0 r o s e n b e r g 关于n n m 的定义完全适用于线性模态，因而是线性模态的自然发展。 2 1 2s h o w 和p i e r r e 定义 s h o w 和p i e r r e 对非线性模态理论的重要贡献在于他们对n n m 的定义，完全打破 了线性模态的束缚。但又可以包容r o s e n b e r g 的定义。 n 自由度振动系统在原点处线性化后其方程为： m i + 十k x 一0( 2 5 ) 通常求解时总是设解的形式为x ( f ) - q e “，代入方程，化为特征值问题。除非特殊 情况下，不能解耦。若将( 2 5 ) 代入下列状态方程 m c 等 i 】+ 【言一! ：f 】【： 。 c z s ， 设解为z ( o - z e “，从而也可化为特征值问题。上述求解中由于假定了发生在一个 模态上的运动是同步的，才可限制模态运动是一维的。但阻尼或陀螺系统的模态运动 通常不是驻波而是行波，故不仅位移之间、速度之间也有确定的关系才使模态运动成 立。所以s h o w 和p i e r r e 认为，系统处于模态运动时，任意一点的状态( 速度、位移) 不仅是参考点位移的函数，更是参考点速度的函数。基于这种认识，对振动系统 葺+ 正0 ，- 0( i 1 ，2 ，) ( 2 7 ) 表示成一般动力学系统的形式为 薯l = y j 、 ( 2 8 ) 1 只一一正o ，) ，) 。 他们提出非线性模态为发生在系统相空间二维不变流形上的运动，且这种不变流 形通过系统稳定的平衡点，并在平衡点处与相空间线性化系统的二维特征子空间相切。 在这种定义下，所有质点的位移与速度都可以用任一非结点的位移和速度表示。若记 参考点的位移和速度分别为x t h 和只一毫，n - v ，则非线性模态可表示为 x a 1 薯v ) ( f 峨，) ( 2 9 ) 只一x 0 ，p ) 在确定形如上式的非线性模态时，通常是设置，￥为“，v 的幂级数形式。s h a w 和 p i e r r e 关于n n m 的这种定义不仅适用于保守系统，同样适用于非保守系统。该法的致 命弱点是：对存在内共振关系的非线性系统失效。虽然s h a w 和p i e r r e 提出了在这种 情形下可将n n m 定义在四维不变流形上，但是一个不容忽视的问题是，对于一个含 有四个变量的幂级数，即便只保留到三次项，其计算量也是很大的，所以到目前为止， 基于四维不变流形的这种原始方法尚无人采用。 在此基础上，n a y f g h 提出了构造n n m 的复不变流形法。但是系统存在内共振关 系时，仍需要提高不交流形的维数。 此外自然界中还存在着大量的系统， 其运动方程不能表示成k 薹b 式，而 其行为又经常表现出振动特性，如生命系统、化学反应系统、机电系统等。s h o w 和 p i e r r e 定义的非线性模态显然也不适合这类系统。 2 1 3 吴和陈的定义 吴和陈根据动力系统理论中的n o r m a lf o r m 理论，提出的n n m 定义不仅适用范 围更广，且又可包容s h a w 和p i e r r e 的定义。他们认为对如下一般形式的动力系统 圣i f o ) 茗f( 2 1 0 ) 非线性模态为发生在系统相空间中2 m 维不变流形 莺一z 0 ，习 ( 2 1 1 ) 上的运动，其中z - 也，z ：，如) ，而i 表示其共轭，即手= ( 亏，乏，磊) ，而该流形上 的运动方程具有如下n o r m a lf o r m 的形式 21 j z + c ( z ) ( 2 1 2 ) 其中j - d i a g ( i q ，i t 0 2 ，1 ) ，0 9 j ( j - 1 , 2 , ，肘) 表示相应线性系统的固有频率。而c 0 ) 由 满足下列p o i n c a r e 共振条件 m + 朋，i w 一i o j , - 0 ( 5 - 1 2 ， ，) ( 2 1 3 ) 的共振项z 。一_ 一，( m + ，r t l 。分别为z ，手的指数向量) 组成。根据模态上的动力学方程 ( 2 1 2 ) 的不同，可将n n m 分为 ( 一) 非耦合模态( m = 1 ) ， 2 。r o z + 荟q o ，z - - ) z ( 2 1 2 a ) ( 二) 耦合模态( m2 2 ) 之i i w , z , + 正瓴夏，z 2 乏，亏) o - 1 ，2 ，m ) ( 2 1 2 b ) ( 三) 内共振模态( m 2 ) ti 峨乙+ 正( z l 亏，z 2 乏，瓦) z ，+ 丘( z ，一)o1 1 , 2 ，m ) ( 2 1 2 e ) 其中丘由内共振项组成，内共振项满足内共振条件 致一胁+ 一卅一，埘 国防科学技术大学研究生院学位论文 其中m + 一m * e ，( e 。为第s 个元素不为0 的单位向量) 。 可见吴、陈是将n n m 定义在更广义的偶数维不交流形上。他们的定义不仅适合一般 的多自由度系统，还适合奇数维系统。 以上关于n n m 的三种定义，虽都是针对离散系统提出的，但应用于连续系统时 同样适用。有了n n m 的定义以后的关键问题便是非线性模态的构造问题，下面介绍 目前应用较多的几种主要构造方法。 2 2 非线性模态的主要构造方法 2 2 1 多尺度方法 n a y f e h 首先采用了多尺度方法构造n n m 。他是根据摄动方法的思想对线性模态 进行摄动，构造当系统的非线性消失时能退化为线性模态的非线性模态。 让我们来考虑如下系统 吼+ q 2 q j + q ( q ，圣，d - 0( j 一1 ，2 ，n ) ( 2 1 4 ) 显然其派生系统是线性解耦的，q ，是各阶模态坐标，m j 是相应线性系统的各阶频 率。一旦求得了用模态坐标表示的n n m ，就可根据模态坐标和物理坐标之间的关系得 到用物理坐标表示的n n m 。根据多尺度方法，设 q a t ) 一劬o ( t o ，互，互) + s g j l ( t o ，写，瓦) + ( 2 1 5 ) 其中1g r i t ，并注意到 丢d 0 d l + 。 ( 2 1 6 a ) 尘d t 2 - d 0 2 + 2 s o o d , 2 ( d 1 2 2 d o d 2 ) + ( 2 1 6 b ) 其中见t 告，将式( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 带入( 2 1 4 ) ，匹配同次项的系数可得 仃 d 0 2 + q 2 q 。- 0 ( 2 1 7 a ) d 0 2 q j l + q 2 q j l 2 d o d l q j o - g j ( q ，d o q ) ( 2 1 7 b ) 当构造第k 阶非线性模态，即当系统处于第k 阶模态运动时，可设( 2 1 7 a ) 的第一式 的解为 舔。- 4 伍弘岫+ q j o 一0( ，七) ( 2 1 8 a ) ( 2 1 8 b ) 国防科学技术大学研究生院学位论文 其中c c 表示前面各项的共轭。 将上式( 2 1 8 ) 带入( 2 1 7 b ) 中，可得 岛2吼1+魄2。-2黜q4e；-q峨r,。沁而一互一沁而的(219a)e-i*。ro, e q 似e 峨巧+ 4f q 0 i e ”“一41 即。) ) d 0 2 q 1 1 + q 勺l 。一q p 。4 毛+ 五p 一峨矗，f q p 沁5 一互p 沁5 ) ) ( 2 1 9 b ) ( ，七) 以系统仅含有三次几何非线性为例，即设g j - 既q k 3 + ，则( 2 1 9 ) 为 d 0 2 q k l + 2 吼1 _ 【2 f q 4 + 3 9 h 4 2 互p 她而一g a 4 3 e 挑而+ c c d 0 2 q j l + q 2 q n ，一3 9 n 4 魄e 咄毛一如4 3 e “矗+ c c ( ，- 七) 注意上式( 2 2 0 a ) 的可解性条件即消除永年项的条件为 2 f q 4 + 3 9 8 4 2 j - 0 则可得 q n 。釜, , 4 t 3 e a i 4 t * + c c 。螽张抖+ 爵蛹一 对4 表示为极坐标形式，即4 一j 1 佤) 班( m ，并带入( 2 2 1 ) ， 可得 - 0 嚷- 扣。3 撇呱为常量，嚷。卺叩2h 将( 2 1 8 ) 、( 2 2 2 ) 、( 2 2 3 ) 、( 2 2 4 ) 代入到( 2 1 5 ) 可得 吼。口ic o s 口+ s 菱3 s 卯+ 一 旷s 禹删南n 3 c o s 3 0 + - - 其中 “一啤 等”2 ( 2 2 0 a ) ( 2 2 0 b ) ( 2 2 1 ) 分离实部和虚部 ( 2 2 4 a ) ( 2 2 4 b ) ( 2 2 5 a ) ( 2 2 5 b ) 垦堕登堂垫垄盔堂堑茎生医堂垡笙苎 式( 2 2 5 ) 表明了当系统处于第k 阶模态运动时，模态坐标吼、g j ( ，七) 的运动 规律，由于其形式是确定的，所以它们的相对运动形式是唯一的。因而用物理坐标表 示的模态运动也是唯一的。此外，我们不难发现，模态运动解( 2 2 5 ) 具有如下几个 特点： ( 1 ) 该非线性模态解的o 阶近似即为线性模态。 ( 2 ) 此法构造的n n m 除含基频成份外，还含有该阶模态的倍频成份。 ( 3 ) 当啤一q ( 对应1 ：1 内共振) 或q 一3 峨( 对应1 ：3 内共振) 时，此法是不适 用的。 由以上过程可以看出，多尺度法构造非线性模态是在模态坐标上进行的，所以物 理概念非常清楚。此外，该法构造的非线性模态当不计系统的非线性时能够退化到线 性模态。 2 2 2s h a w 不变流形法 如前所述，根据s h a w 和p i e r r e 的定义，系统( 2 8 ) 的非线性模态可以用( 2 9 ) 表示，当将( 2 9 ) 中的x ；、x 表示为h 、v 的幂级数时，可设 置i a v u + ，a z v + 口x + a - a u ，v4 - 口5 l y 2 氓“3 ( 2 2 6 a ) + 口w 。v + 口时h v 2 + 口9 j v 3 + _ x o ，”) 。钆l ：+ 擘”+ h 2 ，+ 6 埘“! + 伊+ 蚝矿( 2 2 6 b ) + n 2 v + 蚝v 2 + 6 9 l v 3 + ( f 一2 , 3 ，) 面对( 2 9 ) 中的置、y l 两端微分后可得 毫粤“+ 粤t ( 2 2 7 a ) -oyili+警-(227a)yl v o = 2 , 3 ，) 故由( 2 8 ) 可得： 小掣掣讹矾吐x 肛吐( 2 22 i j a ) d d vl zj v ，e 0 ，v ) ，耳0 ，呦 正o ，盖： ，v ) ，x m 0 ，v ) ；v ，e 0 ，v ) ，k 似，y ) ) 。鼍字v + 鼍尝讹x 2 ( u , v ) ，x 吐 ( 2 2 8 b ) 抛却“” ” “。7 v ，e ，y ) ，y 0 ，v ) ) ( f - 2 ，3 ，) 若将( 2 2 6 ) 代入上式，并匹配方程两边各阶关于u 、v 的系数，则可得到关于( 2 2 6 ) 中各系数的代数方程组。由这些代数方程组确定了这些系数以后，相应的非线性模态 也就确定了。 但此方法对内共振系统仍是失效的。不过s h a w 和p i e r r e 指出，若系统的某两阶 固有频率之间存在内共振关系，可将不变流形的维数提高到四维。按照他们的观点， 若系统的某三阶固有频率之问存在内共振关系，则当将不变流形的维数提高到六维。 这无疑将极大地限制该方法的使用。 z 2 3 复不变流形法 此方法由n a y f e h 提出，用此法构造的n n m 当系统非线性消失时也能退化到线性 模态。对系统( 2 1 4 ) ，引入下列变换 q i 一i + i ，哇i i 0 1 1 ( 亭j + 冉 则可重新写为 岛。q 岛+ 去8 q “岛+ 旬) ，q ( 岛+ 岛)( 2 2 9 ) ( ，一1 ，2 ，) 由于第k 阶n n m 可用鼠及夏表示，即当系统处于第k 阶模态运动时 岛一 ，候，最) ( ，- k ) ( 2 3 0 ) 而 氢一q 最+ ：一s g i ( ( 磊+ 磊) ，f “k ( 最一轰) ) ( 2 3 1 ) “ 所以将( 3 0 ) 、( 3 1 ) 代入( 2 9 ) 后可得 q 面a h j 最一鲁嚣) _ o ) j h i - 去q ( 晦+ 瓢吲磊一美) ) ( 2 3 2 ) q 面最一蚩最) 一亩q ( 晦+ 最) ，姚( 磊一最) ) 2 。3 2 根据( 2 3 2 ) 可设定h ；关于最及匿的具体形式，代入到( 2 3 2 ) 后即可由系数匹 配确定诸待定系数，这一点与前面的不变流形法一致。 所以用原模态坐标表示的第k 阶n n m 也就确定了，因而用物理坐标表示的第k 阶n n m 也具有确定的形式。复不变流形法与s h a w 的不变流形法的主要区别在于其采 用特殊的交换后，选定的参考坐标是一对共轭变量，其它方面并无本质区别。但是该 方法仍未解决当系统存在内共振关系时需要提高不变流形维数的问题。 2 2 4 规范型法 前面已经介绍了吴、陈关于非线性模态的定义，这里详细地讨论基于其定义构造 第1 2 页 非线性模态的一些具体问题。 对一般的动力系统 圣- a x + f o ) ( 2 3 3 ) 其中x e r ，f ：一。假定a 有n 对纯虚根，在a 的约当标准型矩阵中，其对应 的子阵为对角阵，而其余特征根实部均不为零。根据n o r m a lf o r m 理论，在变换 x - l u + 日 ) 作用下( 其中互是由n 对纯虚特征根对应的特征向量组成的n x 2 n j 墓矩_ 阵，h ( ) 是u 的非线性函数向量) 。系统( 2 2 9 ) 在中心流形上的规范形为： “- j u + c ( ) ( 2 3 4 ) 其中m - ( ，h ：，h 。，1 一1 ，呒，霜) ，j - d i a g ( 2 1 ，五，不) 。对于某个变量虬来说， 其非线性项c , ( ) 是由非线性项“。组成的，而这些非线性项的指数向量m 均满足如下 p o i n c a r e 共振条件 ( m ，a ) 一九一0 若将向量脚的前半部分、后半部分分别记为墒，旃则有的p o i n c a r e 菇振项满足 旧一磊l 一1 ，这些项之所以成为共振项，是因为若干个特征值间存在特殊关系。对于前 者若仅食有“，瓦，则成为非耦合共振项( 或称自共振项) ，如m 。，唾) 3 h 。；若除h 。，瓦外 还含有其它变量或它们的共轭则称为耦合共振项，如( h ，5 t 1 。而后者则称为内 共振项，如当 - 2 x 时，非线性项“只。 系统( 2 3 4 ) 可能是由若干个相互独立的单元组成的，在这些单元内部，变量的 运动方程间是相互耦合的，而与其它单元内的变量的运动方程是不耦合的。根据所含 非线性种类的不同，这种单元可分为非耦合单元、耦合单元、内共振单元。 ( 1 ) 非耦合单元m ， n ，- i w , u , + c ，o ，吒如， 心m 1 ( 2 3 5 ) h ( 2 ) 耦合单元m 2 n ；- i w , u ，+ g ( m 2 ，m 2 )u ，m 2 ( 2 3 6 ) m ：中的元素或其共轭至少在( 2 3 6 ) 的耦合项中出现一次。 ( 3 ) 内共振单元m ， 吐- i t o u , + g ( 毛，厨3 )虬e m 3 ( 2 3 7 ) q 中的耦合项使上述方程问是耦合的，且所有e 中至少有一个内共振项。系统 ( 2 3 0 ) 中不论是同类单元之间，还是不同类单元之间都是解耦的，因而某个单元上 第1 3 页 运动不可能引起其它单元上的运动，该单元上所有可能的运动就构成一个不变形流， 而与此相对应的非线性变换即为非线性模态。 2 3 连续系统的非线性模态的构造 连续系统作为特殊的振动系统在工程上是广泛存在的。所以连续系统n n m 的研 究近年来也十分活跃。目前处理弱非线性连续系统非线性模态的方法可以简略地分为 以下两种。 2 3 i 直接方法 所谓的直接方法是指对下列用偏微分方程表示的连续系统的运动方程 + l ( 矿) + ( 形，) 0 ( 2 3 8 a ) 口( 渺) + e b n ( w ，矿，矿) - 0 ( 边界条件)( 2 3 8 b ) 其中上、b 为线性空间算子，n 、b n 为非线性时间空间算子。在构造其非线性模 态时，不对模态解做任何形式的假设，而是根据前面提到的n n m 定义直接求解。 ( a ) 多尺度方法 与分析离散非线性系统时相似，设( 2 3 8 ) 的解的形式为 0 ，t ) 一o ，t o ，互，) + f 嵋o ，t o ，王，) + _ ( 2 3 9 ) 而将( 2 3 9 ) 代入( 2 3 8 ) 后，匹配各次幂的系数可得下列关于，职，的 偏微分方程及相应的边界条件： 掰+ 三眠) 一0 ( 2 4 0 a ) b ( ) 一0 ( 2 4 0 b ) d 口+ 工( 嘶) 一一2 d o d , w o - n ( w o ，d o w o ，掰) ( 2 4 1 a ) b ( 暇) + 删( 噬) 一0 ( 2 4 1 b ) 而构造当非线性消失时退化为第k 阶线性模态的n n m 时，( 2 4 0 ) 的解可设为 - 晚0 ) e 4 ( 写弦”矗+ c c 】 ( 2 4 2 ) 其中九( x ) 为相应线性系统的第k 阶模态。将( 2 4 2 ) 代入( 2 4 1 a ) 后得 捌2 啊+ 三( 嘶) 一一2 i m k c j j ( x ) 4 e 慨五一五e 一畸】 - n 谚k ( x ) ( a k e 吨毛+ c c ) ，魄靠( x ) ( 魄p q 晶+ c c ) ， ( 2 4 3 ) 一群众o ) 。e 她+ c c ) 】 根据( 2 4 3 ) 右边所含谐波的阶数，可确定嵋的形式。例如当( 2 4 3 ) 右边含g 咄 以及e 挑“项时，可设 一g l 五弦“+ 譬2 0 ，f 弘咄+ c c ( 2 4 4 ) 将( 2 4 4 ) 代入( 2 4 3 ) 及相应边界条件( 2 4 1 b ) ，并匹配e i q ：r o 以及e 晶项的系数，可 得关于g 。、9 2 的微分方程及边界条件。一般地总可以通过逐阶确定解( 2 3 9 ) 中各项。 ( b ) k i n ga n dv a k a k