（基础数学专业论文）算子代数的效应.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 算子代数的效应 摘要 本文主要研究可分h i l b c j r t 空间日上的效应代数e ( h ) 及某些c + 一代数的效应代数 问的映射问题，涉及局部映射、2 一局部映射，态射等全文共分三章 第一章主要刻画效应代数e ( h ) 上满的2 局部序列自同构和2 局部e 一自同构在 本章中我们借助于可分h i l b e r t 空间日上的投影全体p ( 日) 的2 局部序列自同构的刻 画，证明了当h i l b c r t 空间日的维数大于等于3 时，效应代数e ( h ) 上每个满的2 局部 序列自同构妒都形如妒( a ) = u a u + ，其中u 是酉算子或反酉算子；证明了e ( h ) 上每个 满的2 局部e 自同构是e 一自同构，并由此得到，实向量空间b ( h ) 上每个线性满的2 一 局部e 自同构是j o r d a n 自同构，并且妒形如妒( a ) = u a u ，其中是酉算子或反酉算 子此外，对于因子v o nn c u m a n n 代数4 的效应代数e ( 么) ，本章还证明了e ( 4 ) 上每个 e 一自同构都可以延拓为整个因子上的木一自同构或木一反自同构 第二章主要研究效应代数e ( h ) 和e ( 4 ) 的同态的结构和延拓问题，在本章中，我们- 证明了维数大于等于3 的可分h i l b c r t 空间h 的效应代数e ( h ) 上的每个满的盯一正交 完备的强同态妒形如妒( a ) = u a u ，其中u 是酉算子或反酉算子；证明了若效应代数 e ( 么) 到e ( h ) 内的个同态满足齐次性和单边保序性，则妒可以延拓为v o nn c u m a n n 代数a 到b ( h ) 的有界的j o r d a n 率一同态，特别地，当么是交换v o nn c u m a n n 代数时， 则妒可以延拓为一个有界车一同态 第三章研究c + 标准算子代数4 的效应代数e ( 4 ) 的序列自同构和自同构，推广了 m o l n h r 在e ( h ) 上的相关结果，但本文的证明方法与其略有不同在本章中我们借助于 可分h i l b c r t 空间日上的有限秩投影的刻画，证明了效应代数e ( 4 ) 上的序列自同构和 自同构妒都形如妒( a ) = u a u 。，其中u 为酉算子或反酉算子；同时本章证明了效应代数 e ( 么) 上的双射，当满足保j o r d a n 积的情况下也具有形式妒( a ) = u a u ，其中u 为酉算 子或反酉算子 关键词效应代数，c 标准算子代数，序列自同构，同构，e 自同构，2 局部 序列自同构，2 局部e 一自同构，同态 e f f e c t so no p e r a t o ra l g e b r a s a b s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l ys t u d yt h em a p so ne f f e c ta l g e b r a se ( h ) o fh i l b c t ts p a c ch a n d e f f e c ta l g e b r a se ( a ) o fs o m ec a l g e b r a s ，c o n c e r n i n g l o c a lm a p ，t w ol o c a lm a p ，m ) 印h i s m a n ds oo n t h i st h e s i sc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e ro n c ，w ec h a r a c t e r i z eo n c s u r j e c t i v et w ol o c a ls e q u e n t i a la n t o m o r p h i s ma n d t w ol o c a le - a u t o m o r p h i s mo ne f f e c ta l g e b r a se ( 日) r e l yo n c h a r a c t e r i z i n gt h cp r o j e c t i o n s o nt h eh i l b e r ts p a c eh ，w h e nd i m e n s i o no fh i se q u a lt oo rm o r et h a nt h r c c ，w c p r 0 、r ct h a t e a c hs u r j e c t i v et w ol o c a ls e q u e n t i a la u t o m o r p h i s mo ne f f e c ta l g e b r a se ( h 1h a st h cf o m 妒( a ) = u a u ，w h e r eui su n i t a r yo ra n t i - u n i t a r yo p e r a t o r w cp r o v et h a te a c hs u r j c c t i v c t w ol o c a le 。a u t o m o r p h i s mo ne f f e c ta l g e b r a se ( h ) i s e - a u t o m o r p h i s m ，t h c r e f o r c ，w eg e t e a c hs u r j c c t i v ca n dl i n e a rt w ol o c a le - a u t o m o r p h i s mo nr e a ls p a c eb ( ) i sn o to n l ya j o r d a na u t o m o r p h i s mb u ta l s oh a st h ef o r m 妒( a ) = u a u ，w h e r eu i su n i t a r yo ra n t i - u n i t a r yo p e r a t o r i na d d i t i o n ，f o rt h ee f f e c ta l g e b r ae ( 4 ) o ff a c t o ry o nn c u m a n n a l g e b r a a ，w ep r o v et h a te a c he - a u t o m o r p h i s mo ne f f e c ta l g e b r a se ( 4 ) c a nb cc x t c n d c dt oa 车 a u t o m o r p h i s mo r 木一a n t i - a u t o m o r p h i s mo nt h ew h o l ef a c t o ra l g e b r a s i nc h a p t e rt w o ，w es t u d yt h es t r u c t u r ea n de x t e n s i o no fm o r p h i s ma n dh o r n o m o r - p h i s mo ne f f e c ta l g e b r a se ( h ) a n de ( a ) w h e nd i m e n s i o no fhi se q u a lt oo rm o r ct h a n t h r e e ，w ep r o v et h a te a c hs u r j c c t i v ea n ds t r o n g 仃一o r t h c o m p l e t ch o m o m o r p h i s mh a st h c f o r m 妒( a ) = u a u + ，w h e r eui su n i t a r yo ra n t iu n i t a r yo p e r a t o r ；w ea l s op r o v et h a th o - m o m o r p h i s mf r o me ( 4 ) i n t oe ( h ) s a t i s f yh o m o g e n e i t ya n d p r e s e r v eo r d e ri no n cs i d cc a n b ee x t e n d e dt oab o u n d e dj o r d a n 奉一h o m o m o r p h i s mf r o my o nn c u m a n na l g e b r a4 i n t o b ( 日) ，c s p e d a l l y , w h e nai sc o m m u t a t i v ey o nn e u m a n na l g e b r a ，t h eh o m o m o r p h i s mc a n b ce x t e n d e dt oa b o u n d e d 木一h o m o m o r p h i s mf r o mv o nn e u m a n na l g e b r aai n t oa l g e b r a j e 7 ( 口) i nc h a p t e rt h r e e ，w es t u d ys e q u e n t i a la u t o m o r p h i s ma n da u t o m o r p h i s mo ne 腩c t a l g e b r a se ( 4 ) o fc s t a n d a r do p e r a t o ra l g e b r a ，w cg e n e r a l i z es o m er e l a t c dr 髑u l t so n e f f e c ta l g e b r a se ( h ) o fm o l n 吞r ，b u tt h em e t h o di sd i f f e r e n tf r o mm o l n 盏r ，s r t d yo n c h a r a c t e r i z i n gt h ef i n i t er a n kp r o j e c t i o n so nt h eh i l b e r ts p a c ehw h i c hd i m c n s i o ni sc q u a l 曲阜师范大学硕士学位论文 t oo rm o r et h a nt h r e e ，w ep r o v et h a tb o t hs c q u c n t i a la u t o m o r p h i s ma n da u t o m o r p h i s m o ne f f e c ta l g e b r a se ( 4 ) h a v et h ef o r m sq ( a ) = u a u ，w h e r eui su n i t a r yo ra n t iu n i t a r y o p e r a t o r w ea l s op r o v et h a tt h eb i j e c t i v em a p o ne f f e c ta l g e b r a sau n d e rt h ec o n d i t i o n s o fp r c s e r v i n gj o r d a np r o d u c th a st h ef o r m 妒( a ) = u a u + ，w h e r eu i su n i t a r yo ra n t i u n i t a r yo p e r a t o r k e y w o r d s ：e f f e c ta l g e b r a ，c * - s t a n d a r do p e r a t o ra l g e b r a ，s e q u e n t i a la u t o m o r - p h i s m ，a u t o m o r p h i s m ，e a u t o m o r p h i s m ，2 - l o c a ls e q u e n t i a la u t o m o r p h i s m ，2 - l o c a le a l l - t o m o r p h i s m ，h o m o m o r p h i s m 1 1 1 符号说明 本文所用符号，除文中特殊说明外，均按如下规定： 1 日表示h i l b c r t 空间： 2 4 表示v o nn c u m a n n 代数； 3 m 。( c ) 表示n 阶矩阵代数； 4 e ( h ) 表示日上所有大于等于0 小于等于，的有界线性算子； 5 c 表示复数域： 6 b ( h ) 表示日上的所有有界线性算子全体，尸( h ) 表示日上的所有投影的全体，鼠( 日) 表示日上的自伴的有界线性算子的全体f ( 日) 表示日上的所有有限秩算子 7 e ( 4 ) 表示v o nn c u m a n n 代数4 中所有大于等于o 、又小于等于，的元 曲阜师范大学博士硕士学位论文原创性说明 ( 在口划“4 ) 本人郑重声明：此处所提交的博士口硕士口算子代数的效应，是本 人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读博士口硕士口学位期间独立进行研 究工作所取得的成果。论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研 究成果。对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确 的方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名： 涨埒蓼 日期。多厂 曲阜师范大学博士硕士学位论文使用授权书 ( 在口划“ ) 算子代数的效应系本人在曲阜师范大学攻读博士口硕士口学位期间， 在导师指导下完成的博士口硕士口学位论文。本论文的研究成果归曲阜师 范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表。本人完全了解 曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门 送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权曲阜师范 大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或 部分内容。 作害签名：孤滔教 导师签名： 日期：p 留 日期： 第一章效应代数的局部映射 1 1 引言及定义 设日为可分h i l b c r t 空间，b ( h ) 为日上所有有界线性算子的全体我们称算子 a b ( h ) 为日上的一个效应，如果0 a i 令e ( h ) 为h 上所有效应的全体，并称 之为h i l b c t t 空间效应，或称为日上的效应代数效应代数是算子代数中的重要研究对象 之一，它与量子物理联系非常密切我们不仅可以通过量子物理的一些性质得出与之相对 应的数学结果，也可以通过数学中的一些结论来反映某些物理特性( 1 in ) 作为实偏序向量空间( b ( 日) ，) 的子集，e ( h ) 本身是个偏序集回忆一下，若a 和b 为两个自伴算子，则a b 当且仅当，对每个向量h ，有( a ，) ( b ，) 与 此同时，我们可以在e ( h ) 上定义各种运算： ( 1 ) 正交补运算上：a j a ( 2 ) 序列积：令a ，b e ( 日) ，称 一 aob ：a 1 2 b a l 2 为a 和b 的序列积，其中a 1 2 表示a 的正的平方根 ( 3 ) 偏二元运算o ：设a ，b e ( a ) ，若a + b e ( a ) ，则称a 和j e 7 正交，记为4 上b ； 此时令aob = a + j e 7 ；特别地，称a = i a 为a 的正交补 ( 4 ) 结合运算：对任意a ，b e ( h ) ，入【0 ，1 】，有a a + ( 1 一a ) b e ( 日) 对应于上述运算，我们可以得到e ( h ) 上的不同结构，从而得到e ( h ) 上的各种映射 ( i ) 正交序自同构：设妒是e ( h ) 上的一个双射，如果对任意a ，b e ( 日) ，有妒( j a ) = ，一妒( a ) ，以及妒( a ) 妒( b ) ，当且仅当a b ，则称妒为e ( h ) 上的正交序自同构 ( i i ) 序列自同构：设妒是e ( h ) 上的个双射，如果对任意a ，b e ( h ) ，有妒( a ob ) = 1 1 9 ( a ) 0 妒( b ) ，则称妒为e ( h ) 上的序列自同构 ( i i i ) b 自同构：设妒是e ( h ) 上的个双射，如果对任意e ，f e ( 日) ，有e + f e ( 日) ， 当且仅当妒( e ) + 妒( f ) e ( 日) ，且此时妒( e + f ) = 妒( e ) + 妒( f ) 成立，则称妒为e - 自同构 ( i v ) 结合自同构：设妒：e ( h ) _ e ( h ) 是双射，若对任意a ，b e ( 日) ，入【0 ，1 1 ，有 妒( a a + ( 1 一a ) b ) = a v ( a ) + ( 1 一a ) 妒( j e 7 ) ，则称妒是结合自同构 在 3 】和【4 】中，l a j o sm o l n h r 研究了效应代数的自同构和序列自同构l u d w i g 在【6 】 中刻画了可分h i l b c ”r t 空间日上的效应代数e ( u ) 上的正交序自同构，证明了当h i l b c r t 空间日的维数大于等于3 时，e ( h ) 上的每个正交序自同构都具有妒( a ) = u a u + 的形 1 第一章效应代数的局部映射 式，其中u 是酉算子或反酉算子在【8 】中，l a j o sm o l n 缸证明了可分h i l b c w t 空间日上 的效应代数e ( h ) 上的序列自同构妒形如妒( a ) = u a u ，其中u 为酉算子或反酉算子关 于效应代数的其它结果，我们参见【9 】【1 0 】【11 1 2 1 3 对于局部映射问题的研究一直是算子代数理论研究的热点之一该问题主要是算子代 数间的映射在每一点的局部性质( 如局部导子，局部自同构，局部等距等) 能否决定该映射 的某种整体性质局部映射问题最早是由k a d i s o n l a x s o n 和s o u r o u r 等人在1 9 9 0 年独立 开始研究的为研究v o nn c u m a n n 代数的上同调问题，k a d i s o n 在【1 4 】中提出了局部导子 的概念随后s c m r l 在1 5 1 中引入了2 局部导子和2 局部自同构的概念设m 为算子 集合，妒为m 到m 的映射，如果对于任意a ，b m ，总存在个( 木) 一自同构( 导子) 妒， 使得妒6 ( 口) = 妒( n ) ，妒。，b ( b ) = 妒( 6 ) ，则称妒为2 一局部( 木) 一自同构( 导子) 他证明了对于 可分无限h i l b c r t 空间h ，b ( h ) 上的每个2 局部自同构( 导子) 是自同构( 导子) 2 局部自同构是个非常重要的问题，它可以在不同的集合和结构上定义，而不是仅 仅在代数上l a j o sm o l n 矗x 在量子系统的局部自同构方面做了许多工作，他在【7 】中证明 了b ( h ) 中所有幂等元组成的集合s p ( 日) 上的连续2 局部自同构是自同构孟庆在其 结果的基础上做了进一步的发展，证明了对于可分h i l b c r t 空间日的维数大于等于3 时， p ( h ) ，b s ( 日) 和e ( h ) 上的近似2 局部正交序自同构是正交序自同构受其启发，我们 研究了效应代数e ( h ) 以及j o r d a n 代数鼠( 日) 上的2 局部e 一自同构，证明了e ( h ) 上 的每个满的2 局部e 一自同构是b 自同构以及j o r d a n 代数b ( 日) 上线性满的2 一局部 e 自同构是j o r d a n 自同构，并且都具有妒( a ) = u a u + 的形式，其中是酉算子或反酉 算子此外，本章还研究了效应代数e ( h ) 上的2 一局部序列自同构情况，我们借助于可分 h i l b c t t 空间日上的投影全体p ( 日) 的2 局部序列自同构的刻画，证明了当可分h i l b c r t 空间日的维数大于等于3 时，效应代数e ( h ) 上每个满的2 一局部序列自同构妒都形如 妒( a ) = u a u + ，其中u 是酉算子或反酉算子 本章总假设可分h i l b c r t 空间日的维数是大于等于3 的 1 22 局部序列自同构 定义：设m = e ( 日) ，p ( 日) 或b ( h ) 妒：是m m 的映射，如果对于任意 4 ，b m ，都存在m 的个序列自同构蛳b ，使得妒( a ) = 丑( a ) ，妒( j e 7 ) = 蛳日( b ) 我们则称妒为2 一局部序列自同构 引理1 2 1 【27 】对任意a ，b e ( 日) ，若aob = 0 ，则当且仅当a b = 0 2 曲阜师范大学硕士学位论文 引理1 2 2 【27 】设p e ( 日) ，则p 是投影，当且仅当p op = p ；p ，q 是投影，若 p q ，则当且仅当q 0p = p 定理1 2 3 设妒：p ( 日) _ p ( ) 是满的2 _ 局部序列自同构，则存在日上的酉算子或 反酉算子u ，使得对任意a p ( h ) ，有妒( a ) = a u + 成立 证明：( i ) 妒是单射如果妒( p ) = 妒( q ) ，则存在p ( h ) 的序列自同构( _ p p q ，使得 c p ( p ) = 妒p 口( p ) ，妒( q ) = 妒p q ( q ) 所以( _ p p q ( q ) = 妒p q ( p ) ，因为妒只q 是单射，所以 p = q ，因此妒是单射 ( i i ) 妒保投影如果p 是投影，由引理1 2 2 知，p op = 尸，因为妒是2 局部序列自 同构，所以存在p ( 日) 的个序列自同构l ，o p p ，使得妒( p ) = 妒p p ( p ) ， 妒( 尸) 0 妒( 尸) = 妒只户( p ) 0t a t - , p ( p ) = 妒只p ( pop ) = t a p p ( p ) = 妒( 尸) ， 即妒( 尸) 是投影反之，如果c p ( p ) o 妒( p ) = 妒( p ) ，则同样可得 l i o p v ( p ) 0c p p p ( p ) = p p p ( p0p ) = c p p , p ( p ) ， 因为妒只p 是单射，所以p op = p ( i i i ) 妒对投影双边保序如果p q ，由【5 】中定理5 1 知，存在c p ( h ) ，使得 p = q oc ，则可得qop = p 又存在p ( 日) 的个序列自同构q o r - , q ，使得 妒( p ) = 妒p q ( p ) ，妒( q ) = 妒p q ( q ) 所以 妒( q ) 0 妒( 尸) = 妒只q ( q ) 0 妒p o ( p ) = 妒p 口( q op ) = 妒p q ( p ) = 妒( 尸) 由引理1 2 2 知，妒( p ) 妒( q ) 反之，如果i o ( p ) 妒( q ) ，则 妒( q ) 0 妒( p ) = 妒( p ) 又存在p ( h ) 的个序列自同构妒只q ，使得 妒( q ) o 妒( 尸) = 妒p q ( q ) o 妒p q ( p ) = o i - , q ( p ) = 妒( 尸) ， 即妒p q ( qop ) = 妒p q ( p ) 因为c p p q 是单射，所以qop = p ，由引理1 2 2 知，p q 综上妒保投影，进而可得妒( ，) = i ，妒( o ) = 0 3 第一章效应代数的局部映射 ( i v ) 妒对投影双边保正交性如果尸q = 0 ，由引理1 2 1 知，p oq = 0 ，则 妒( 尸) o 妒( q ) = t o p q ( p ) o , p p q ( q ) = 妒p q ( p oq ) = 妒p q ( o ) = 0 ， 进而可得妒( p ) 妒( q ) = 0 反之，如果妒( p ) 妒( q ) = 0 ，则可得妒( p ) o 妒( q ) = 0 ，进而可得 0 = 妒( p ) 0 妒( q ) = 妒只q ( p ) 0 _ 【p p q ( q ) = _ p p q ( poq ) 因为妒只口是单射，所以p oq = 0 ，进而可得p q = 0 ( v ) 妒保正交补对任意只q p ( 日) ，尸q = q p = 0 ，则f + q ，妒( p + q ) ，妒( 尸) + 妒( q ) 都是投影又妒对投影是双边保序的，所以妒( p ) ，妒( q ) 妒( p + q ) ，则妒( p ) + 妒( q ) 妒( p + q ) 设妒( 尸) + 妒( q ) = m ，因为妒是满射，所以存在r p ( 日) ，使得妒( 月) = 妒( p ) + 妒( q ) ，则妒( p ) ，妒( q ) 妒( 兄) 由妒双边保序可得，p ) q r ，进而可得p + q r ，因此 妒( p + q ) 妒( r ) 综上可知妒( p + q ) = 妒( 尸) + 妒( q ) 任意只p p ( 日) ，p + p = i ， 则可得 妒( p + p ) = v ( p ) + v ( p 。) = 妒( j ) 又易证妒( ，) = i ，所以 妒( 尸) = i v ( p ) = 妒( p ) 。 综上妒是正交序自同构，由l u d w i g 的结论【1 6 】知，存在酉算子或反酉算子u ，使得对任 意p 尸( 日) ，有妒( 尸) = u p u + 成立 引理1 2 4 设妒：e ( u ) _ e ( h ) 是序列自同构，则对任意入【0 ，1 】，a e ( 日) ，有 妒( a a ) = 入妒( a ) 证明：由l a j o sm o l n 5 r 结论【8 】中推论2 7 7 知，存在酉算子或反酉算子u ，使得对任 意a e ( h ) ，有妒( a ) = u a u + 成立所以对于任意 a 【0 ，l 】，a a e ( h ) ，妒( 入a ) = u a a u = ) u a u ， 进而可得妒( 入a ) = 入妒( a ) 推论1 2 5 设妒：e ( h ) 一e ( h ) 是满的2 局部序列自同构，则存在酉算子或反酉算 子u ，使得对任意a e ( h ) ，有妒( a ) = u a u + 成立 证明：由定理1 2 3 的证明知，妒是保投影的，则易证妒l p ( 日1 ：p ( u ) 一p ( 日) 是满的 2 一局部序列自同构由定理1 2 3 知，存在酉算子或反酉算子u ，使得对任意p p ( 日) ， 有妒( p ) = u p u + 成立不妨直接假设妒( p ) = p 只需证对任意a e ( 日) ，有妒( a ) = a 4 曲阜师范大学硕士学位论文 成立取任意单位向量x h ，则 大于等于0 小于等于1 ，xoz 是投影，则 v ( xoz ) = z x 也是投影 zo z = zo x l ，o ( a ) xoz = 妒 oz ) 妒( a ) 妒( z z ) 一i 妒( zoz ) 20 妒( a ) = 妒( zoz ) o 妒( a ) = o z a ( xox ) 0 固z a ( a ) = 妒z o 茁a ( oz ) 0a ) 一it o z 。z a ( ( zoz ) 2oa ) = 妒z o z ，a ( zox a r , z ) 一i 妒z o z 月( z z ) = q o z o 。a ( zqz ) = 妒 ox ) = zo x ， 所以可得妒( a ) i 1 _ a ，即结论成立 1 32 局部e 自同构 下面给出e ( 日) ，e ( a ) 上的e 自同构的定义 定义1 3 1 1 2 7 】设m = e ( h ) 或m = e ( a ) 设妒：m _ m 是双射，如果满足对任意e ，f m ， ( 1 ) 若e + f m ，贝0 当且仅当妒( e ) + 妒( j f l ) m ， ( 2 ) 妒( e + f ) = 妒( e ) + 妒( f ) ，则称妒为b 自同构 定义1 3 2 设m = e ( h ) ，或m = 鼠( 日) 妒：m _ m 的映射，对任意a ，b m ，都存在m 的一个e 自同构m 使得 妒( a ) = 妒 口( a ) ，v ( b ) = 妒a b ( b ) 我们称妒为2 一局部e 一自同构 定理1 3 3 设妒：e ( h ) _ e ( h ) 是满的2 - 局部e 一自同构，则妒为d 自同构 证明：( i ) 首先可证妒为单射如果妒( a ) = 妒( j e 7 ) ，则存在e ( h ) 的一个e 一自同构 妒a ，b ，使得妒( a ) = 日( 4 ) ，妒( 男) = 日( b ) 所以妒a 曰( a ) = 蛳日( 刎，因为蛳b 为单 射，所以a = b ( i i ) 妒为双边保序的如果a b ，只需证明妒( a ) 妒( b ) 因为妒( a ) = 日( a ) ，妒( b ) = 蛳b ( b ) ，又妒a b 是双边保序的，所以t 0 a ，且( a ) ，b ( j e 7 ) ，即妒( a ) v ( b ) 反之，如果妒( a ) 妒( b ) ，则 进而可得a b 妒a b ( a ) = v ( a ) v ( b ) = 妒a 日( j e i ) ， 5 第一章效应代数的局部映射 ( i i i ) 妒是保正交补的，对任意a ，a e ( 日) ，a + a = i ，则存在e ( h ) 的个e 一自 同构妒a ，使得 妒( a ) + 妒( a ) = 妒a ( a ) + 妒a ，( a ) = 妒a a ，( a + a ) = 妒 ( ，) = j 所以妒( a ) = i 一妒( a ) = 妒( a ) 综上可知妒是双边保序保正交补的双射，所以妒为正 交序自同构由l u d w i g 的结论【1 6 】可知，存在日上的酉算子或反酉算子u ，使得对任意 a e ( 日) ，有妒( a ) = u a u 成立 ( i v ) 下证妒为e 一自同构如果a + b e ( 日) ，则 妒( a + b ) = u ( a + b ) u + = u a u + + u b u + = 妒( a ) + 妒( b ) ， 所以妒( a ) + 妒( j e i ) e ( 日) 反之，如果妒( a ) + 妒( 曰) e ( 日) ，则妒( a ) ，妒( b ) e ( 日) ，又因为妒为满射，所以分 别存在c ，d e ( 日) ，使得妒( a ) = 妒( c ) ，妒( j e 7 ) = 妒( d ) 因为妒为单射，所以a = c ， b = d ，又妒( c ) = u c u * , 妒( d ) = u d u + ，因此 妒( c ) + v ( d ) = u c u + u d u = u ( c + d ) u = 妒( c + d ) 进而可得a + b = c + d e ( 日) ，且妒( a + b ) = 妒( a ) + 妒( b ) ，综上妒为e 一自同构 引理1 3 4 设妒：鼠( h ) _ b 。( 日) 是实线性映射，且妒为满的2 一局部e 一自同构，则 妒k 硼为满的2 局部e 一自同构 证明：a b 。( 日) ，0 a i ，则存在j e 7 。( 日) 的个e 一自同构妒a 使得妒a ，( a ) = 妒( a ) ，p a ，( ，) = 妒( j ) 又，j 是保序的，所以妒( a ) = 妒 j ( a ) 蛳i ( i ) = i ，同理可证 妒( a ) 0 反之，如果o 妒( a ) i ，则可得0 a i 综上可得妒i e ( 日) 为满的2 局部 e 自同构 定理1 3 5 设妒：b 。( 日) _ b ( 日) 是实线性映射，且妒为满的2 一局部e 自同构，则 存在h 上的酉算子或反酉算子，使得对任意a e ( 日) ，有妒( a ) = u a u 成立 证明：由引理1 3 4 可知，妒i e ( 聊为满的2 - 局部e 一自同构，又由定理1 3 3 证明可知， 存在酉算子或反酉算子u ，使得对任意a e ( 日) ，有妒( a ) = u a u + 成立 如果a b 。( h ) ，且a i ，则a i i a i i i ，所以 妒( a i i a i i ) = u ( a i i a i ) u 因为p 为实线性的，所以 1 i i a i i 妒( a ) = u ( a i i a i i ) u ， 6 曲阜师范大学硕士学位论文 即妒( a ) = u a u + ，综上对任意a 0 ，妒( a ) = u a u + 又对任意a b 。( 日) ，a = a + 一a 一， a + 和a 一都是正的妒( a + ) = u a + u + ，妒( a 一) = u a u ，所以有 妒( a ) = 妒( a + 一a 一) = u a + u + 一u a u = u ( a + 一4 一) u + = u a u + ， 综上结论成立 推论1 3 6 设妒：b 。( 日) 一鼠( 日) 是实线性映射，且妒为满的2 一局部e 一自同构， 则妒为j o r d a n 自同构 。 证明：由定理1 3 5 知，妒为双射，且存在酉算子或反酉算子c 厂，使得对任意a 玩( 日) ， 有( a ) = u a u 成立因为对任意a ，b 鼠( h ) ，有a b + b a 2 鼠( 日) ，所以 q a ( a b + b a 2 ) = u ( a b + b a 2 ) u = u a b u 2 u b a u + 2 = 1 2 ( u a u u b u + + u b u + u a u ) = 1 2 ( 妒( a ) 妒( j e 7 ) + 妒( b ) 妒( a ) ) ，综上可得妒为j o r d a n 自同构 推论1 3 7 设妒：e ( h ) _ e ( h ) 是满的2 一局部e 一自同构，则妒可以延拓到 矽：b ( h ) _ b ( h ) 的木自同构或章反自同构 证明：由定理1 3 3 知，妒是e 一自同构由【2 7 】中性质2 8 3 知，妒可以延拓到 矽：b ( h ) 一b ( h ) 上的j o r d a n 自同构，由h c r s t c i n 在【2 5 】中的结论可知，妒是木自 同构或丰一反自同构，且存在日上的酉算子或反酉算子u ，使得对任意a j e 7 ( 日) ，有 妒( a ) = u a u + 成立 下面给出仿射的定义 定义1 3 8 设x ，y 为复数域c 上的线性空间，zcx 为凸子集，则函数砂：z _ x ， 如果满足对任意z ，y z ，a 【0 ，1 】，有砂( a z + ( 1 一a ) 秒) = a 妒( z ) + ( 1 一a ) 矽( 1 1 ) 则称妒 为仿射 一 定义1 3 9 设妒：e ( a ) _ e ( a ) 是双射，4 为v o nn e u m a n n 代数，且4 为因子，如 果满足对任意a ，b a ，a 【0 ，1 】，有妒( 入a + ( 1 一a ) b ) = 入妒( a ) + ( 1 一入) 妒( a ) ，则称 妒为仿射自同构 推论1 3 1 0 设妒：e ( a ) _ e ( 4 ) 是e 一自同构，4 为y o nn c u m a n n 代数，且4 为 因子，则妒可以延拓到砂：4 _ 4 上的奉一自同构或木一反自同构 证明：( i ) 首先妒为双边保序的如果a b ，a ，b 4 ，则b = b a + a ，妒( j e 7 ) = 妒( b a ) + 妒( a ) 所以妒( a ) 妒( b ) 7 第一章效应代数的局部映射 反之，如果妒( a ) 妒( j e 7 ) ，则妒( b ) = 妒( j e 7 ) 一妒( a ) + 妒( a ) 因为妒- 1 也为可加的，所 以 妒一1 ( 妒( b ) ) = 妒一1 ( 妒( b ) 一妒( a ) ) + 妒一1 ( 妒( 4 ) ) 即b = 妒_ 1 ( 妒( j e 7 ) 一妒( a ) ) + a ，所以a b 综上可得妒为双边保序的 ( i i ) 下证对任意a 0 ，1 】，a a ，有p ( a a ) = a p ( a ) ，因为 妒( a ) = 妒( n ( 1 n a ) ) = 妒( ( 1 佗) a ) + 妒( ( 1 佗) a ) + + 妒( ( 1 n ) a ) = n q o ( c 1 n ) a ) ， 所以对任意n n ，有q o ( ( 1 n ) a ) = 1 n 妒( a ) 成立同理可证对任意n ，m n ，m n ，妒( m n a ) = m n 妒( a ) 成立因此对任意有理数p 【0 ，1 】，妒a ) = p 妒( a ) 成立 下证对于任意无理数a 【0 ，1 】，妒( a a ) = 却( a ) 成立取一列单调递增的有理数列 ) ，i a ，使得l i l v a _ ，儡= 入即s u p i aa i = a 所以对于任意a a ，va i a = a a 因 为v a i a 入a ，又妒为双边保序的，所以妒( v a i a ) s 妒( 入a ) 又v 妒( 锄a ) 妒( 国a ) ，因 为妒- 1 也保序的，所以 妒一1 ( v 妒( 锄a ) ) 妒一1 ( 妒( 锄a ) ) ， 即妒一1 ( vc p ( a , a ) ) ( 锄a ) ，任意i a 进而得妒一1 ( v 妒( 锄a ) ) v ( a t a ) ，即p 妒一1 ( v 妒( 口t a ) ) 兰 妒( vm a ) ，即( v 妒( 皿a ) ) 妒( v 锄a ) ，因此入妒( a ) 妒( a a ) ( i i i ) 综上可知，对任意a 【0 ，1 】，有妒( 入a ) = 入妒( a ) 所以对任意a ，b e ( a ) ，入 【0 ，1 j ，有_ c p ( a a + ( 1 一a ) b ) = a 妒( a ) + ( 1 一a ) 妒( j e 7 ) 因此综上p 为仿射自同构，由l a j o s m o l n d r 的结论【2 4 中定理1 可得，存在妒：a _ a 为木自同构或木一反自同构，并满足 妒( a ) = 矽( a ) ，或妒( a ) = 矽( j a ) 8 第二章效应代数的同态 2 1 引言及定义 p u l m a n n o v 磊s y l v i a 在【1 7 】中刻画了h i l b c t t 空间日的效应代数e ( h ) 上的张量积， 给出了e ( h ) 的张量积的具体形式同时给出了效应代数e ( h ) 上态射，同态以及同构的 定义本章主要研究v o l r ln c u m a n n 代数4 的效应代数e 似) 上的态射和同态等问题，证 明了当h i l b c r t 空间日的维数大于等于3 时，效应代数e ( h ) 上满的仃一正交完备强同态 以及效应代数e ( c n ) 到其自身的单态射都具有妒( a ) = u a u 的形式，其中u 是酉算子 或反酉算子与此同时，本章将研究效应代数e ( 4 ) 上的同态到整个y o nn c u m a n n 代数 上的延拓问题，我们采用l a j o sm o l n 五r 在 2 7 】中的证明方法，证明了当效应代数e ( 4 ) 到 e ( h ) 的个同态满足齐次性和单边保序时，可以延拓到v o nn c u m a n n 代数a 到b ( h ) 的有界的j o r d a n 丰一同态，特别地，当a 是交换y o nn c u m a n n 代数时，上述同态可以延拓 为4 到b ( h ) 的丰一同态 本章总假设可分h i l b c r t 空间日的维数是大于等于3 的 定义2 1 1 【1 7 1 设e 和f 为效应代数，如果映射妒：e 叶f 满足 ( 1 ) a _ l b 号l ，o ( a ) - 1 4 0 ( b ) ， ( 2 ) 妒( n0b ) = 妒( n ) o 妒( 6 ) ， ( 3 ) 1 1 0 ( 1 e ) = 1 f ， 则称妒为态射( 条件( 1 ) 和条件( 1 ) a b 号妒( n ) 妒( 6 ) ，是等价的) 定义2 1 2 1 1 7 l