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中山大学硕士学位论文 连续双线性泛函与凸性理论 连续双线性泛函与凸性理论 基础数学 姓名：林洁珠 指导老师：黎永锦副教授 摘要 本文以经典b a n a c h 空间几何理论为基础，通过讨论b a n a c h 空间上连续双 线性泛函所成空间的凸性和光滑性，得到原b 8 n a c h 空间的凸性和光滑性。并 讨论b 8 n a c h h a h n 定理，r i e s 。表示定理在连续双线性泛函的推广。同时也讨 论了b a n a c h 空间的和空间的光滑性和凸性，和空间的对偶空间的光滑性等对 原b 8 n a c h 空间相应性质的影响，把经典b a n a c h 空间几何理论的结论在和空间 中做相应的推广。 关键词：双线性连续泛函，严格凸，一致凸，光滑，积空间，和空间，和范数。 中山大学硕士学位论文连续双线性泛函与凸性理论 b i l i n e a rc o n t i n u o u sf h n c t i o n a la n d c o n v e x i 钾t h e o r v vv f u n d a m e n t a ll 讧a t h e m a t i c s n a m e ：l i nj i e z h u s u p e r v i s o r ：】1 y p o n g j i n a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ， b yt h ec l a s s i cb a n a c hs p a c eg e o m e t r i ct h e o r y ， f h ea u t h o rs t u d i 皓 t h ec o n v e x i l ya ds m o o t l l l l e s so fb ( x ，y ) ， w h i c hc o n i a i n sa l l t h cb i l i i l e a f n t i n u o u sf u n c t i o m l so nb a n a c h s p a c ex a n dy s e c o n d l y ，t h ca u t h o fs t u d i e sm e b a n a c h - h a h nt h e o r e ma n dr i e s zt h e o r c mo nb ( x ，y ) a t l a s t ，t h es u m s p a c eo f xa n dyj si n t r o d u d ， d c n o t e db y 盖o y ， t h ea u t h o rc a r c sm a j i l l y 蚤竹t h e c 0 柚e c t j o n so f c o n v e x j t ya ds m o o t h l l e s s 嘲w e e n x o y 锄dx ， y k e y w o r d s ：c o m 扭u o u sb i b e a rf l l n c t i o n a bs t r i c t l yc o n v e x u n 渤r m l yc o n v e x ， s m o o t l i c o n d u c t 叩a c e ，s u ms p a c c ，s u mn o r i i l 中山大学硕士学位论文 连续双线性泛函与凸性理论 第1 章已有经典结果 第一章我们将给出b a n a c h 空间几何理论已知的经典结果 1 ，主要从 b a n a c h 空间的空间的凸性，光滑性及其各种联系出发，讨论各种性质之间的 关系，并给出各种对偶性质。 1 1 凸性、光滑性及范数可微性的定义 定义1 1 1b a n a c h 空间x 称为一致凸( u c ) 的，如果对任何任意的e o ， 存在6 o ，使得当x ，y s ( x ) ，( i i x + y | | ) 2 卜6 时，有l i x y l i o ， x s ( x ) ，存在6 = 6 ( ，x ) ，使得当y s ( x ) ，( i l x + y i i ) 2 卜6 时， 有 | | x yj i o ， x s ( x ) ，f s ( x + ) ，存在着6 = 6 ( ，x ，f ) o 使得当y s ( x ) ，( x + y | | ) 2 卜6 时，有 f ( x - y ) | o ，x s ( x ) ，存在6 = 6 ( ，x ) 0 使得当y ，z s ( x ) ，x 一兰笋畛卜6 时，有y z | l 0 ，使得当x s ( x ) ，o 0 ， 及数p ( ，y ) ，使得当f 九l o ，及实值函数p 0 ，) ，使得当l f 0 ，及实值函 数p ( ，y ) ，其中y s ( x ) ，使得当1 i o ，及二元实值函数p 0 ，y ) ，其中x ，y s ( x ) 。使得当i i ( 6 时，有 s u p i 旦兰墨；i 二业型一p o ，_ ) ，) i ；x s 何) ，) ，s ( 并) ) 。 1 2凸性、光滑性及范数可微性的各种联系 首先我们看关系图( 卜1 ) ： u c e d 空间 r 空间# w l u c 空间# l u c 空间 h i l b e r t 空闻 u u c 空间 m 。空间i 自反空间 图卜1 凸性的相互关系图 显然， 由定义局部一致凸空间是弱局部一致凸的，但是反之不然。 例1 2 1 对每个x 一( 袅岛，) f 2 ，令z 一( o ，岛，岛一f 2 ，并在上，2 上定义 下述等价范数： x i 卜m a x l 爵z 中山大学硕士学位论文连续双线性泛函与凸性理论 这里忆仉2 ( 妻i 毒1 2 ) 2 。设 q ) 是递减且趋于零的正实数列，定义由r 到f 2 的 丁皤，邑，) = 皖，a ：岛，岛) 对x f 2 ，令忙l = ( | | 并l p + ij a i e ) i ，这里b 表示f 2 上的通常范数。易见，川l 是f 2 上的等价范数，且是弱局部一致凸的。 同理显然一致凸空间是局部一致凸空间，反之不成立，下面给出反例。 例1 2 2 对每个h c 0 ( r ) ， ，r ：“p ) 一至多为可数集，记此可数集为 e ) - 口。) 。令 i i “_ s u p 群( ，) l 则c 。( r ) 在此范数下为b a n a c h 空间，定义映射d ：c a ( r ) 一f 2 ( r ) 如下： 蜘f 掣产听荆 l o ，硭e 0 ) 令i l i h 怍l i d “i k ，卜胁则是f 2 上局部一致凸的等价范数。 对xe 饭，岛，) z 2 令 。( 半毒话，蠢，) 并称u 是相伴于x 的元素，显然h c 0 ，在f 2 上定义的范数l 如下： 忆i “ 易见l 是产上的一个等价范数。 现在指出| i 1 k 是局部一致凸的，为此取x f 2 ，矗f 2 ，”= 1 ，2 ，使 | | z l l = 1 i l j l 一1 ，i | t + 茗i l 一2 4 中山大学硕士学位论文连续双线性泛函与凸性理论 并设u 与“分别是相伴于x 与瓦的元素，则易见 由于m 是局部一致凸的，故一“于是| | 矗f k 一i z i b 且对每一有静一亭；因此 纯 弱收敛于x ，从而再由_ m 叫l z 可知毛一工，即k 是局部一致凸的。 最后证明，l 不是各向一致凸的，从而也不是一致凸的，事实上，对每 n ，令一巳+ 3 乌，儿一3 岛，则l i i k 一1 ，l j 只i 卜+ l ，| | 吒一只l 一2 ，但是对每 个n 有吒一n ；岛，故k 不是各向一致凸。 定理1 2 1h i l b e r t 空间是一致凸的。 定理1 2 2 一致凸是各向一致凸“1 的。 定理1 2 3 各向一致凸是严格凸的。 定理1 2 4 局部一致凸是中点一致凸的。 定理1 2 5 中点局部局部一致凸是严格凸的。 定理1 2 6w 局部一致凸是严格凸的。 注：上面所讨论的每种凸性的包含关系都是不可逆的。具体的反例可参 考 2 。 下面我们先看看凸性和光滑性的一些性质。 x + 是严格凸的一x + 是w 局部一致凸的一x + 是局部一致凸的一x 是一致凸的 拈u驻 z 是光滑的一x 是非常光滑的一x 是强光滑的一x 是一致光滑的 x 是光漏的 扛 x 是严格凸的 x 是一致光滑的 8 x 是致凸的 中山大学硕士学位论文连续双线性泛函与凸性理论 图卜2 定理1 2 7 若x 是赋范空间，则 ( 1 ) 若r 是严格凸的。则x 是光滑的； ( 2 ) 若x + 是光滑的，则x 是严格凸的。 定理1 2 8 若x + 是w 局部一致凸的，则x 是非常光滑的。 定理1 2 9 若盖+ 是局部一致凸的，则z 是强光滑的。 定理1 2 1 0x 是一致凸的充要条件是x 是一致光滑的。 6 中山大学硕士学位论文 连续双线性泛函与凸性理论 第2 章连续双线性泛函与积空间 第一，二节内容选自参考文献【6 】 2 1 连续双线性泛函 设x ，y ，z 是b a n a c h 空间，妒：x y z 是双线性映射，若存在正常数 c 使得 i i 妒o ，口) s c | l 工 1 i l 口，x x ，口y 则称妒：z y z 为连续双线性算子。 若妒是连续双线性算予，规定 | l 妒佧垒s u p妒( x ，口) i i 其中x 石，4 y 。 类似的可以定义三重线性连续算子及其范数。 特别的，当z 是实数r 时我们称妒为连续双线性泛函。 更一般的，若映射舻：x x y r ，满足 慧蒜；器0 跚 沼， ，0 ，n + 6 ) ；，0 ，4 ) + ，0 ，6 ) l ，( 吐善，口) 一口厂o ，口) = ，0 ，吐) ( 2 2 ) 则称妒为双线性泛函，其中矗y x ；4 ，6 y 。 称只满足条件( 2 - 1 ) 的泛函妒为加性泛函，只满足条件( 砚) 的泛函妒为齐性 泛函。 对于x 上的加性和齐性泛函f 和y 上加性和齐性泛函g ，若令 f ，口) 一，0 ) 占0 ) ，x x ，口】， 7 中山大学硕士学位论文连续双线性泛函与凸性理论 便得到x ，y 上的加性和齐性泛函，我们称为f ，g 的积，记为据。换句话说 ( 唐) 0 ，n ) = ，0 ) 9 0 ) ( 2 3 ) 当给定了x ，y 上的加性和齐性双泛函f ，g 时，对于任意的口，卢，设 ( 口f + 芦g ) 0 ，4 ) = 口f o ，口) + 卢g 仁，口) 容易验证a f + 卢g 还是x ，y 的加性和齐性双泛函，所以所有连续双线性泛函构成 一个线性空间，记为口伍，l ，) 。 定理2 l 1 对于任意的，盖，g y ，恒有唐占瞄，y ) ，而且成立 j l 括h i ，。i i g 日 定理2 1 2 对于任意的x x ，及d 1 ，恒有 i i x r l j 口l l ts u pl ，p ，n ) l i i 川l ，e 日( z y ) 成立。 对于任意的，口( 石，y ) ，及z x ，令 ，“1 ( 口) 皇， ，日) ( 2 4 ) 即得y 上的泛函，显然，1 1 是线性的，又由于i ，瓴口) 酬， i l 石 1 | l 口，因 而 f i ，。1 旧l ，h i l 并 ( 2 5 ) 并且厂是y 上的连续线性泛函。关于，“，不难看出 厂“+ 鲫l 宣d ，+ ，1 ( 2 6 ) 是成立的，对于任意的厂占( z ，y ) 及4 y ，令 厂o ) 皇，o ，口) ，口y ( 2 7 ) 8 中山大学硕士学位论文连续双线性泛函与凸性理论 即得x 上的线性泛函，并且 ；，4 1 i 川i l 矗 i ( 2 8 ) ，岍川= o ，【d 1 + 广1 ( 2 9 ) 成立。 定理2 1 3 对于任意的，口( z ，y ) ，若 魑n ，2 0 ，或者! 魄屯= 石 时，必成立 婪翼，k 1 ；，或者l i m ，kj 一，川。 j 一 。 定理2 1 4 对于任意的，b ( z ，y ) ，若 上_ z ，口，4 或 扎+ z ，口v 上d 则有 鲤，瓴，吼) = ， ，4 ) ，蜘，也，气) = ， ，n ) 成立。 对于任意的，口( x ，y ) ，设 0 ) 皇，x z ( 2 1 0 ) 则我们得到从x 到】，的有界线性算子弓，显然弓是加性的和齐性的，又由( 2 5 ) 可见乃还是连续的，因此l 它是连续线性算子。又因为 l l 耳i i ；s u p l | 0 工l i “训l s u p l ，m l l 9 中山大学硕士学位论文连续双线性泛函与凸性理论 所以 除此之外还成立 2 船妊，训 = s u pi ，0 ，口) i = l i 川 lj | _ ， l f + b s a t f + p t s ，f ，g x 1 反之，对于任意的从x 到l r + 的任意线性算子k ，令 ，0 ，口) 皇r ) ，z z ，口y ， 因为 l ，0 ，口) i = l 救0 ) l s 0 k ”l i 工1 l d 所以，是x ，y 上的连续双线性泛函，同时显然有 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ，一缸，z x 从而置一0 ，于是我们有下面的定理： 定理2 1 5 从x 到y 的有界线性算子的全体构成一个赋范空间，记为 l ( 盖，y ) ，并且存在同构丁：b ( z ，l ，) 一工僻，y ) ，一l 其中0 0 ) 皇，扣1 ，丑( x ，y ) ，x j 。 则有 同理，对任意的，口( x ，y ) ，若定义 s ，口i ，陋 中山大学硕士学位论文 连续双线性泛函与凸性理论 f ，l l = s r ，b ( 盖，y ) 所以我们有下面定理： 定理2 1 6 从y 到x 的有界线性算子的全体构成一个赋范空间，记为 工彤，j ) ，并且存在同构s ：口( z ，l ，) 一，z + ) ，一s ， 其中s 一= ，丑( 盖，y ) ，口y 。 定理2 l 7 对与任意的，b ( x ，y ) 而言，s ，的共轭算子s ，是弓的扩张，并 且0 的共轭算子乃+ 是5 ，的扩张。 2 2 积空间 本节给出线性空间的积和赋范线性空间的积的定义。选自【6 。 定理2 2 1 对于线性空间x 与y ，存在线性空间z ，使得任意的x z ，口l ， 都有z 的元素x 0 4 z 与之对应，并且满足以下条件： 1 ) ( d x + 声y ) 9 廿摹口聋o 。+ 芦y 0 8 ，聋 ( a 口+ 芦6 ) = d x o 口+ _ ；8 z 多扫； 2 ) 若屯，毛x 和即口：，以y 是两个线性无关组，则必有善_ & # o ； 3 ) 对于任意的p ，必存在t ，屯，石，口1 ，口2 ，a 。y ，使得 p 。荟m v 。 并且这样的z 在同构意义下是唯的。 由上面定理，这个新的线性空间z 称为x 与y 的积或积空间，并用j ：j o l ， 表示，z o y 在同构意义下是唯一的。 定理2 2 2 对于线性空间x ，y 上的加性和齐性双线性泛函f ，存在z y 上 1 1 中山大学硕士学位论文连续双线性泛函与凸性理论 加性和齐性泛函，。”使得下式成立 ，。” 0 4 ) = ，0 ，口) ，x j ，d y 且这样的，。”是唯一存在的。 定理2 2 3 对于任意的p z o 】，若p o ，则对于适当的线性无关组 ，也，z 及口z ，y ，恒成立p 。善t t 。 对于赋范线性空间x 及y ，同样的可以定义积空间石o r ，后面总假设x ， 设y 是赋范线性空间，对任意的，z + ，g y ，令，g 口) a ， ) 9 0 ) ，其中 z z ，n y ，则居丑僻，y ) ，根据定理2 2 2 得到盖o y 上的加性和齐性泛函 ( 露) 。秽。 由定理2 。2 。2 我们可以定义舅o l ，上的一个范数为 i l p i i l l 。a s u p i ，。部( p ) i ， l ，o 啊朋 容易证明x o l ，在上范数i i p i i n 。意义下是一个赋范空间，且对任意的 工x ，口y 有n x 固口i l n 。= i i x i l l l d 。 2 3 连续双线性泛函的主要结果 设x ，y 为b a n a c h 空间，它们的范数分别记为| | x 和| | x y 为乘积 空间，在该空间上定义范数l il l = j im + l im 。 定义2 3 1 设x ，y ，z 为b a n a c h 空间，设f ：x y z 的双线性算子，即 中山大学硕士学位论文 连续双线性泛函与凸性理论 f ( x ， 1w + 2z ) = 1f ( x ， w ) + 2f ( x ，z ) 对任意的x ，y x ，w ，z y 成立。并且f 为x x y 上的连续算子，即当( x 。， y 。) 一( x ，y ) 时，f ( x 。，y 。) 一f ( x ，y ) 。则称f 为双线性连续算子。当 z 是实数时，称f 为连续双线性泛函。 例2 3 1 在c 。1 。上，定义f ( x ，y ) = x 。y t ，则f 为c o 1 ，上 的双线性连续函数。 记x y 上所有这样的双线性连续函数所成的集合为b ( x ，y ) ，在该集合中定 义加法和数乘如下： ( f + g ) ( x ，y ) = f ( x ，y ) + g ( x ，y ) ( 九f ) ( x ， y ) = f ( x ，y ) 显然f + g ，入f 仍为连续双线性泛函，显然b ( x ，y ) 构成线性空间，若在这个 空间上定义范数如下： i i fi f = s u p f ( x ， y ) ：f fxi l = | iy lj = 1 ，x x ，y y 则容易证得该空间为赋范线性空间，仍记该空间为b ( x ，y ) 。 下面给出例子说明( x x y ) 不同于b ( x ，y ) 。 例2 3 2 设中：r x r r ，( x ，y ) 一x y ，显然中b ( x ，y ) ，但是o ： ( x ，y ) ， 2 x y x y ，所以巾隹( x x y ) + 。 例2 3 3 设f ：r r r ，( x ，y ) 一x ，显然f ( x y ) + ，但是f ： ( x ， y ) = ( 九x ， y ) 一九x 九2 x ，所以f 盛b ( x ，y ) 。 命题2 3 1 若f ：x y r 的双线性函数，则f 连续等价于f 是范数有界 的， 即l lfi l m 。 证明：( 充分性) 若f 有界，则有实数m o ，使得咿f | m ，任给x 中的序 列 x 。 ，y 中的序列f y n j ，且当( x 。，y n ) 一( x ，y ) 时，因为x 。一x ，h y ，( 在 范数意义下) ，所以 【i x “) ，y 都有界。 l f ( x 。，y 。) 一f ( x ，y ) f 中山大学硕士学位论文 连续双线性泛函与凸性理论 m ( 1 j x 。| | i i h y 十| | x n x l i y 1 1 ) 一0 。 所以f 是连续的 ( 必要性) 假设f 无界，则对任意的n 。有x 。x ，h y ，使得 lx n l l r l l y 。l l = l ，l f ( 南，y n ) 1 n 2 即 i f ( x 。n ，y n ) f 1 但是 h x 。nl 1 l 乳ni = l n o 由f 的连续性，得 l i mi f ( x 。n ，y 。n ) l = 0 矛盾，由反证法原理可知f 有界。 容易证明，若复内积空间h h 上的双线性泛函，使得 s u p f ( x ，x ) ：i l x | i = l ，x x _ 荟_ n ，又令 x n ) ， h ) 2 荟2 也t ) ，：t 。一工：“_ ) ，z t ) ， 则f 是u 上的一个双线性泛函，但是f 不是有界的。事实上，只要证明不存在 常数m ，使得对一切f x 。) ，( y 。) u ，有 1 f ( f ) ， y 。) j m | j x 。) i ij i y 。) l | ( 2 一1 3 ) 为此取 1 4 中山大学硕士学位论文连续双线性泛函与凸性理论 x 。= o 当n 2 ( n 1 ) ：x 。= 1 ，n = 2 n l 者n = 2 n l ， y 。= o 当n = 2 n ；y 。= x 。，当n 2 n ， 此时f ( x 。 ， y 。) = 2 n 而| l x 。 i 饥= 2 ，可见不存在适合不等式( 2 1 3 ) 的常数m 。 注意：一般的，f 对两个变元都连续比对两个变元分别连续要求更强，但 是对双线性函数而言，分别对两个变元连续等价于对双变元连续的，下面给出 详细证明。 命题2 3 2 x ，y 是b a n a c h 空间，f 是x y 上的双线性泛函，则f 对双 个变元连续当且仅当f 对两个变元分别连续。 证明：必要性显然，只证明充分性。 令w = f ( x ，) x s ( x ) ) ，因为固定x ，f ( x ，) y + ，所以w c y + ，又因为 固定对变元y ，f ( y ) x 。 所以 s u p l f ( x ，y ) l ：f ( x ，) w ) = s u p j f ( x ，y ) i ：x s ( x ) ) = | l f ( 、y )l l o ，使得任给f ( x ，) w ，有 胆( x ，) l n 时，有 柏f n - f 1 l e 所以对任意x s ( x ) ，y s ( y ) ，有 r ( x ，y ) 一f i ( x ，y ) j e 令m 一。o ，得 f n ( x ，y ) 一f ( x ，y ) i e 即 1 6 中山大学硕士学位论文 连续双线性泛函与凸性理论 i l f n f f “ = h 同理可证t 关于第二个变量也是线性的e 最后证明t 是连续双线性算子，且t | | ；l 。由t ( x ，f ) i i 咿( x ，) f l l x f | f i f ，可知l l t l i 1 。又因为 中山大学硕士学位论文 连续双线性泛函与凸性理论 l f ( x tz ) i = l h l i l t ( x ，f ) i li l z l l 咿l li l x l l 归l l z 因此l l f “i l t l f 从而l i t l 卜1 。 几何理论的核心内容是对b a n a c h 空间的凸性和光滑性研究。下面主要讨论 b ( x ，y ) 和x ，y 和凸性和光滑性的相互联系。 定理2 3 6 ( 1 ) b ( x ，y ) 是严格凸，则x ，y 是光滑的； ( 2 ) b ( x ，y ) 是光滑的，则x ，y 是严格凸的。 证明：( 1 ) 若x 不光滑，由定义存在着x s ( x ) ，f ，g s ( x ) ，且f g 使得：f ( x ) = l = g ( x ) 。任给y y ，存在h s ( y + ) 。使得h ( y ) = l 。 令 峨皇跗，硝0 ，n ) 皇f ) h ( 口) 西2 皇g h ，g h ，口) 皇g 0 ) h 0 ) 显然中t ，mz 是双线性的。且任意的w x ，v y ，有 中- ( w ，v ) 卜i f ( w ) h ( v ) f l i f h w v l i 2 i l w v | i 即中，有界，且 l i m 。l l l 又因为巾t ( x ，y ) = f ( x ) h ( y ) = l ，所以i l 巾， i = 1 。 同理得 i i 巾zl i _ 1 1 9 中山大学硕士学位论文 连续双线性泛函与凸性理论 因为 1 中+ u 中：j | l ，九+ u = l ，o 卜( 1 n ) 但l l f 。一r z l l 。 任意取g 。s ( y 。) ，类似订定理2 3 6 的证明，定义 币。皇e ，g o ，中：皇e ：g o 易得 中。- b ( x ，y ) ， 中曲b ( x ，y ) l l 中。- l 卜j i 中n = 1 虽然 i f 巾n ，+ 中n ：| | 2 = i if - g 0 + f 。g oi i 2 = | | ( f n - + r z ) g 0 2 = l l r ，+ r 。| l 2 l 一1 n 但是 i i 中。一巾nf | _ f 。t g 0 一f 。：g o i f 2 fn l _ f nj j o 所以b ( x ，y ) 不是一致凸的。 ( 2 ) 类似( 1 ) ，不妨假设x + 不是致光滑的，则存在e 。，任给n ，存在f n s ( x ) ，g 。r ，虽然o l l g 。l l l n ，但 f 。崛”| | f n g 。们细g 。l i e 。 任取h s ( r ) ，则令中。= f n h ，v = g 。h ，显然中。，v 。b ( x ，y ) ， 中山大学硕士学位论文 连续职线性泛函与凸性理论 且 但 中。i | = 1 ，0 l 一1 n 但 i l 巾。一1 王，。| | = i if 0 一f n i | o 所以b ( x ，y ) 不是局部一致凸的。 定理2 3 9 若b ( x ，y ) 是弱局部一致凸的，则x ，y 是非常光滑的。 证明：要证明x 为非常光滑的，即任给x x 为证明x 是非常光滑点，只需 证明任给支撑范函o ：s ( x ) 一s ( x ) 在x 点处是( 范) 一( w ) 连续的。任意 中山大学硕士学位论文 连续双线性泛函与凸性理论 给x o ，x 。x ，j i x 。一x 。i i o ，f 0 ，f n 分别为x 。，x 对应的支撑范，因为 2 i l f 0 + f 。l | if 0 ( ) + f n ( x 。) | = i l + f o ( x 。) l 一2 所以，n 一一时，有 i if 0 + f ni f 一2 任意给y x ，z s ( y ) 取g s ( r ) 且g ( z ) = 1 ，则容易证明 r g b ( x ，y ) i 踊i f | | f n g i | _ l 注意到 l i f o g + f n g l j - i lf + f n i l 故，n 一一时，有 | | f 母+ f 。g | | 一2 由b ( x ，y ) 的弱局部一致凸性，得 r i ( f 。g r b ) 一o ，任给n ( b ( x ，y ) ) + 定义算子 ( y ，z ) ( o ) 皇中( y ，z ) ，任给中b ( x ，y ) 显然( y ，z ) 是b ( x ，y ) 到r 的线性算子， 又因为 i i ( y ，z ) i 户s u p i 中( y ，z ) ；心b ( x ，y ) ，l i 巾i i = l s u p | i 中| il i y i | | i zj | ：中b ( x ，y ) ，| i oi l = 1 = | | y h z | l 因此( y ，z ) ( b ( x ，y ) ) ，从而( y ，z ) ( f o g f 。g ) 一o ，当n 一一即： 任给y x ，当n 一一时，凡( y ) 一r ( y ) 一0 ，所以x 是非常光滑的，同理可证 y 也是非常光滑的。 中山大学硕士学位论文 连续双线性泛函与凸性理论 第3 章和空间 3 1 基本概念 6 这一章我们简单介绍两个b a n a c h 空间的和空间， 当赋予和范数之后得到 一个新的b a n a c h 空间， 通过这个新的b a n a c h 空间的几何性质可得到原来 b a n a c h 空间的一些几何性质。 定义3 1 1 设x ，y 是赋范线性空间，则它们的和定义为f ( x ，y ) jx x ， y y j ，记为盖o y 。 容易验证工o 】，也是线性空间，在上面定义范数，若该范数还满足以下两 个条件 ( x ，0 ) i i _ i f x i i ，j i ( o ，y ) i l = | l y i i ( x ，a ) | | = 0 ( x ，一a ) i 。 则称该范数为和范数，并称空间z o y 为x ，y 的和空间，仍记为x o y 。 一般来说，和范数不是唯一的，容易看出，设 | f ( x ，a ) i | 。= | i x ”i | a i | j i ( x ，a ) l | 一。= m a x f x 】i ，i f a ) 。 则两个都是和范数，并且有 i i ( x ，a ) l im s ( x ，a ) i i 柚” 对任意两个和范数( x ，a ) ，i l ( x ，a ) l l ：，若 l i ( x ，a ) | i i l i ( x ，a ) ” 则称和范数”( x ，a ) | l l 小于i ( x ，a ) 怯或者称l | ( x ，a ) 大于f ( x ，a ) 1 。 中山大学硕士学位论文连续双线性泛函与凸性理论 对任意的和范数f l ( x ，a ) 1 i ，根据定义我们有 ( x ，a ) l | = l l ( x ，o ) + ( 0 ，a ) 成立，因而得到| i ( x ，a ) i isi | ( x ，a ) 又由定义，有 i | ( x ，a ) l l = l l ( x ，一a ) | l = ； l i ( x ，a ) l l + l | ( x ，一a ) 1 1 ) 扣( 2 x ，i = j i x | | 成立，同理可证 l j ( x ，a ) i | 0 a 忆 从而知道 l l ( x ，a ) l i 芝l i ( x ，a ) l i 。，x x ，a y 于是，有如下定理成立。 定理3 1 2 对盖o y 而畜，i i ( x ，a ) i i 。是最大的和范数，i l ( x ，a ) 。 是最小的和范数。 定理3 1 3 工o y 上任意的和范数都是等价的。 定理3 1 4 当x 和y 是完备时，茗o l ，也是完备的。 下面开始讨论和空间的对偶空间。 对和空间的对偶空间的任意元素f ，当命f x ( x ) = f ( x ，o ) 时，显然是 x 上的线性泛函，且有 2 5 中山大学硕士学位论文连续双线性泛函与凸性理论 f x ( x ) l = f ( x ，o ) is2 刚| | ( x ，0 ) | | = 盯| | j | x 成立，所以f 】c 是x 上的有界线性泛函。同样的，当命f y ( a ) = f ( o ，a ) 时，f y 是y 上的有界线性泛函，而且显然有f ( x ，a ) = r ( x ) + r ( a ) 。 反之，对x 的对偶空间x + ，y 的对偶空间y + ，令 ( ；，i ) ( x ，a ) = ；( x ) + i ( a ) ，；x ，：y ，x x ，a y 时， 不难看出( ；，二) 是z o l ，上的线性泛函，且 l ( ；，：) ( x ，a ) isj ( x ) i + ：( a ) 1 hx 忙忖n | ii l a i | ( 1 lx l l + l l 口1 1 ) ( x ，a ) 忆n s ( i lx i i + 口i i ) l i ( x ，a ) l 成立，所以( ；，石) 是置o y 上面的有界线性泛函。容易验证( 盖o y ) 实际 上就是z 0 r + ，不仅如此，还有 i l ( ；，o ) l i = s u pi g ，o ) 0 ，口) l s u pi 毒o ) i i i “，_ i 1 恤，月i l 成立，又因为若| | ( x ，a ) i | s l ，则j i xj ls 1 ，所以有 ( ；，o ) 忙s u p l 砸) 孔 州阻 同时若i | x i i s l ，则i i ( x ，o ) l i s l ，所以 l i x 忙s u pi 工o ) 扛s u pl 工o ) l - l o ，o ) i 啪li l 扛，口w i l 成立。因此得出| | ( ；，0 ) i i = i i ；m 同理也可证明i l ( 0 ，i ) i | = i | ：由于 j i ( x ，a ) i = | | ( x ，一a ) 0 ， 因而 中山大学硕士学位论文 连续双线性泛函与凸性理论 ( ；，：) i | - s u pj ( ；，三) ，n ) i s u pl ( ，一_ ) o ，一n ) h f 6 ，一西 l l 扛，4 h ii ( r 一4 ) d 从而( ；，i ) i i 就是x o l ，上的和范数。于是我们得到下面定理。 定理3 1 5 卫0 l ，关于和范数i l ( x ，a ) | f 的对偶空间( 石o y ) + 与关于和 范数i i ( ；，i ) j i 的z + o y ，同构，且对应为 ( z o l ，) - 3f 一( f x ，f y ) j + o l ， 其中( x ) = f ( x ，o ，( a ) = f ( o ，a ) ，x x 。a y 。 定理3 1 6 盖o y 关于两个和范数i i ( x ，a ) i f 和i | ( x ，a ) | | ：的对偶空 间xt o y ，的两个范数之间，使得 i l ( x ，a ) lsl l ( x ，a ) m 。x x ，a y 成立的充分必要条件是 i f ( ；，：) l | - i f ( i ，i ) i i 。，；x + ，i y 成立。 驺2 和空间的主要结果 我们容易证明给定两个b a n a c h 空间：x = y = ( r ，i j ) ，其中 i 为绝对值。 若我们给这样的和范数 f i ( x ，a ) n = 石2 + 口2 则容易验证所得的和空间为h i l b e r t 空间。 设z o y 为和空间，h ( x 。a ) i f 为上面任意的和范数，则下列定理成立。 定理3 2 1 若盖o y 为严格凸空间，则x ，y 都为严格凸空问， 证明：如果x 不是严格凸的，则存在单位球上的两个点x ，x 。， 且x 。x 2 ， 中山大学硕士学位论文 连续双线性泛函与凸性理论 存在 ，使得 i i x l + ( 卜 ) x 2 l i = l 令p 1 = ( x 。，0 ) ，p ：= ( x o ) ，则p 。，p 。s ( z o l ，) ，且有 j l 九p + ( 1 一九) p 。l i = i l x t + ( 1 一九) x 2 | | = l ， 所以盖o l r 不是严格凸的，与假设矛盾，所以x 是严格凸的。同理可得y 也是 严格凸的。 定理3 2 2 盖o l ，为一致凸的，则x ，y 也是一致凸的。 证明：只要证明x 是一致凸的，任给x mx n s ( x ) ，且x 。+ x ：。| | 一2 ，欲 证l l x - 。一x z 。l l o 。 令p ，= ( x 。o ) ，p 。= ( x 2 。，0 ) ，则p 。，p 。s ( z o y ) 。因为z 0 y 是一致 凸的，所以有i 旧。+ p 2 日= x ，。+ x 。l l 一2 ，因而l 旧。一x ：。i pl | p 】。一p ：。i l 一0 ，从而x 是 致凸的。 定理3 2 3x o l ，是局部一致凸的，则x ，y 都是局部一致凸的。 证明：对任意的x 。s ( x ) ，如果i | x t 。+ x o i i 一2 ，欲证x l n - x n i l o 。 令p ，。= ( x 。，0