（天体物理专业论文）广义相对论的brownyork与二次旋量场作用量的比较.pdf

论文题目：广义相对论的b r o w n y o r k 与二次旋量场作用量 的比较 学科专业：天体物理 学位申请人：闻晓枫 指导老师：童若轩 摘要 广义相对论希尔伯特作用量在类空无穷远发散。如果要在类空无穷远得到收 敛，则需要在希尔伯特作用量加上边界修正项。本文比较在类空无穷远收敛的 b r o w n y o r k 作用量，以及二次方旋量场( q u a d r a t i cs p i n o r ) 作用量。我们发现 当狄拉克旋量场在边界超曲面上满足w i t t e n 方程时，二次方旋量场作用量在渐 近类空无穷远等于b r o w n y o r k 作用量。本文并给出两个作用量在一般时空中的 差异项。 关键词：广义相对论，作用量，旋量场 论文类型：理论研究 t i t l e ： c o m p a r i s o no fb r o w n y o r ka n dq u a d r a t i cs p i n o r sa c t i o n m a j o r ：a s t r o p h y s i c s i ng e n e r a lr e l a t i v i t y d e g r e ea p p1ic a n t ： x ia o f e n gw e n t u t o r ：r o h s u a nt u n g a b s t i a c t h lt l l e 嬲严p t o t i c a l l ys p a t i a li n 丘n i 坝t h eh i l b e r ta c t i o nd i v e 略e s i i lo r d e rt o o b t a i l la 丘n i t ea c t i o l l i ti sn e c e 8 s a 巧t oa d j u s tb yab o u n d a l d rt e r m w bc o m p a r et w o 肌c ha c t i o n s ，o n ei sm eb r o w n y o r ka 以o n ，觚dt l l eo t l l e ri st h eq u a d 洲cs p i n o r a c t i o n w bf o u n dt h a t ，a ta s y m p t o t i c a l l ys p a t i a li n 行1 1 i t xw h e nt h es p i n o r sa tb o u n d a 巧 h y p e r s u l f a c es a t i s 6 e sn l ew i t t e ne q u a t i o n s ，t l l et 、7 i r oa c t i o n sa r et l l es 锄e t h et w o a c t i o n sd i 虢ri nf i i l i t er e 酉o i l s k e yw o r d s ：g e l l e r a lr e l a t i v i 戗a c t i o np 订n c i p l e ，s p i l l o rf i e l d s t h e s i st y p e ：t h e o r e t k a lr 嚣e a r c h 上海师范大学硕士学位论文 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其它手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 论文作者签名： 导师签名： f 虱，篷拇 f 砒眨哆 专菇钎 日期：阳，扩年 歹月1 日 1 日期：z p 口萝年 r 月7 日 3 7 上海师范大学硕士学位论文第一章引言 第一章引言 广义相对论希尔伯特作用量在类空无穷远发散。如果要在类空无穷远得到收 敛，则需要在希尔伯特作用量加上边界修正项。本文比较在类空无穷远收敛的 b r o w n y o r k 作用量 1 ，以及二次方旋量场( q u a d r a t i cs p i n o r ) 作用量 3 ，4 。 我们发现当狄拉克旋量场在边界超曲面上满足w i t t e n 方程时，二次方旋量场作 用量在渐近类空无穷远等于b r o w n y o r k 作用量。本文并给出两个作用量在一般 时空中的差异项。 b r o w n y o r k 作用量为希尔伯特作用量加上两个修正项，修正后的广义相对 论新作用量在渐近类空无穷远处避免了发散的问题。以便能在时空无穷远处讨论 更多的物理问题。例如，b r o w n y o r k 不仅把正则形式分析用在广义相对论中， 而且还把这方法应用在描述时空几何和物质的广义协变作用量中。他们定义能量 面密度，动量面密度，准局域能量和守恒荷。并导出有限的时空的广义相对论的 哈密顿量。b r o w n y o r k 还研究准局域能量不同性质的探索性研究，包括计算球 对称的理想流体星体和黑洞，这将显示球对称星体的准局域能量与牛顿极限下的 能量是一致的。除此之外，黑洞力学第一定律可以通过准局域能量变分直接获得。 第二章我回顾了广义相对论的希尔伯特作用量，变分给出爱因斯坦场方程。 接着介绍b f o w - 1 1 _ y o r k 作用量，对边界超曲面上作3 + l 解构。第三章我讨论作用 量在渐近类空无穷远处的发散和收敛性。第四章介绍二次方旋量场作用量，由变 分给出爱因斯坦场方程。在第五章中我比较二次方旋量场作用量与b r o w n y b d 【 作用量在渐近类空无穷远及一般准局域的比较。第六章我们将对上述问题的讨论 做出概述性的总结。在附录中，我列出了相关的物理量定义以及数学公式。 第二章广义相对论作用量 上海师范人学硕十学位论文 第二章广义相对论作用量 2 1爱因斯坦一希尔伯特作用量 在爱因斯坦广义相对论中j 引力是时空的曲率，时空的曲率可以由度规张量 场来决定。对于理论物理而言，一切重要原理都是以作用量出发进行研究和讨论。 那么对于爱因斯坦广义相对论而言，其理论原理的形成和出发点将离不开爱因斯 坦一希尔伯特作用量， s h l g 。o = 0 r d 4 x ， ( 2 1 1 ) 其中r 表示曲率标量见附录( a 1 ) 。 若从作用量出发，广义相对论爱因斯坦方程可以由希尔伯特( h i l b 叫作用量 给出。接下来，我们将从最小作用量原理出发得到场方程 鹋h = 0 r = g ”r 。，我们对( 2 1 1 ) 式进行变分， 2 ( 2 1 2 ) 6 0 r 丢d 4 x = 60 毛喾r 。v d 4 x = 0 f 毛喾6 r 阱4 x 七0 r 吖6 k 医学w 4 x ( 2 1 3 ) 首先在测地坐标系统中讨论r i c c i 张量r 。，的变分， 上海师范大学硕+ 学位论文 第二二章广义相对论作用量 叽，叫警一警q b 峨嘲 叫磐一等 、叙p叙” 一a ( 盯：，) a ( 订易) = = ：一一- - - - - - - - - 二二一 叙p 叙” = v 。( 田。一v ，( 盯：。) ( 2 1 4 ) 由于上式是张量方程，因此该方程不仅仅适用于测地坐标系统，而且适用于 所有坐标系统。 结果，( 2 1 3 ) 式第一项写成， = 魂”峨，= = ：琵声”p ( 盯：y ) 一v ，( 订名) ) = 二；p ( g ”贸：，) 一v ，( g 卢”口名) ) ( 2 1 5 ) = ； v 口( g 7 田：，) 一v 口( g 眦田0 ) ) 所以我们得到， 再寸6 r m v = 两一口， 其中v 口= g ”盯知一g 肛盯0 。 根据高斯定律和变分原理，见附录( a 2 ) ( 2 1 3 ) 式第一项积分项 工而彬k 工警4 x 一。 因为克里斯多夫记号在边界上积分为零。 对于( 2 1 3 ) 式第二项， ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 3 第二章广义相对论作用量上海师范大学硕士学位论文 n v 6 ( 掌v 协= 0 再r 。，6 分d 4 x + 饥v 寸v 6 d 4 x = 0 r 。v 6 曾v a 4 x + 0 r 6 d 4 x 我们通过对万二虿的变换见附录( a 3 ) ，( 2 1 9 ) 式可以表示为， ( 2 1 9 ) f 巳，艿( 而1 以= 厅( 心，一知，蹦g 4 x ， ( 2 1 1 0 ) 因此，式( 2 1 3 ) 最终表不成， 艿f r 厅4 x = 工；( 凡y 一专g ，r ) 万g d 4 x 。 ( 2 1 1 1 ) 根据最小作用量原理万品= o ， 艿s h = 万f 尺厢4 x = 工；( 巳，一吉g ，r ) 万g 儿= o ( 2 1 1 2 ) 可得到真空中的爱因斯坦场方程。 g y = 吃，一寺g y r - o ( 2 1 1 3 ) 在接下来的第四章中，我们将会进一步介绍由n e s t c r 与1 、1 1 1 9 提出的二次旋 量作用量模型同样能得到真空中的爱因斯坦场方程。 2 2b r o w n y o r k 作用量 前人为了能清楚地定义广义相对论准局域能量，已经采取了相当多的尝试。 一些早期的尝试则是使用伪张量的方法，而不足之处是其表达式并非与坐标选择 无关，且几何意义不明确。后来的一些尝试主要集中在引力的初值数学表达式， 它呈现出某些与能量有关的物理性质。虽然，这样已经取得了一些令人感兴趣的 数学结论，但是仍然无法明确定义准局域能量。在b r o w n y o r k 作用量 1 提出后， 他们从不同的角度提出准局域能量的问题。通过对引力和物质作用量的哈密顿分 析可以构写出新准局域能量的定义和一系列的性质。由于作用量与哈密顿量之问 4 上海师范大学硕十学位论文第二章厂“义相对论作用量 的密切联系，所以由此方法导出准局域能量也是水到渠成的。此外，这个准局域 能量同样也出现在热力学的研究中，并且对热动力学的内能问题也起到相当重要 的作用。 理论物理的精髓就是一切从作用量出发的作用量原理，对于爱因斯坦广义相 对论而言，其研究的出发点就是希尔伯特作用量，该拉氏量为曲率标量。但是我 们发现曲率标量本身含有度规的二阶导数，这将导致原有的作用量在类空无穷 远出出现发散的问题。其中一种方法是通过加入一个全微分项来消除度规二阶导 数的作用效果。 因此，为了避免爱因斯坦一希尔伯特作用量在类空无穷远处发散的问题以便 能够研究无穷远处的能量问题等，b r o w n 与y 0 r k 于1 9 9 3 年指出在原有的希尔 伯特作用量中必须要加上修正项，才能使作用量在类空无穷远处收敛【1 ，2 】。 他们提出修正后的广义相对论总作用量为： s b l r 暑l r d 4 x + 2l 霞也d 。x 一2i 霞。办矿x = s h + s b s o ( 2 2 1 、 ya ya y 其中霞是边界超曲面的外曲率( a 4 ) ，磊是边界超曲面嵌入在平直空间的外曲率， j j l d 3 工是超曲面上的体元。 当我们采用3 + 1 时空解构形式表示，则广义相对论总作用量为： 品y 暑ed t ，( 3 r + k 曲k 曲一k 2 ) n 砀3 y + 2 面( 霞一赢) 肠2 回= 品+ 品一& 。 z ls l ( 2 2 2 ) 经过b r 0 、m y o r k 修正后的作用量虽然解决了作用量类空无穷远发散的问 题，但是此时的作用量不再是协变的。并且由其构成的能量动量密度也是非协变 量，即伪张量。 2 3 3 + 1 时空解构 我们将要着手时空区域v 的物理讨论，符号表示嵌于四维时空v 中的一簇 类空曲面。s 。表示三维空间的边界与s 。垂直超曲面类时边界定义为笪。定义 三维边界的时间两端表示为t 。和t ：。s 。表示为二维球面，它是封闭曲线。四维 5 第二章广义相对论作用量 上海师范人学硕十学位论文 时空v 的三维边界由量和。：构成。当我们在讨论物理量时，先考虑在给定 边界上的物理性质，然后再研究边界扩展到无穷远处的情况。所以基于以上的考 虑我们将b r o w i 心r k 作用量放在三维超曲面a y 上讨论。 接下来介绍一下我们的符号约定，时空度规g 。，为与三维边界互正交的 类空单位矢量。巨的度规和外禀曲率分别记作乃k 和q k 。这些时空张量仅仅是定 义在量上，且满足，幸乃k = o 以及， q k = o 。此外，乃k 是四维张量在巨上的映 射张量。因此，和分别被视为在e 上的张量。其中j ，k 为巨上的坐标。 n 口为垂直于一簇类空超曲面的类时单位矢量，方向向上指向未来。超曲 面z 上的度规和外禀曲率各自为h 日，k u ，而h 为z 上的映射张量，记作h 日，且 h j = 晖。 可以看到拉丁字为j ，k ，l ，i ，j ，k 表示巨或上的坐标。当它们作为张 量指标时，这些拉丁字母的意义非常清楚。 在通篇分析中，我们假设超曲面正交于量，意味着在互上( r 事n ) i ：= o ，那 么n 球为中的矢量，且满足关系n j h ；i n = 1 。所以在四维时空中正交于的单位 矢量也就是在超曲面中正交于二维边界s 的单位矢量。这一限制大大简化了我们 分析中的技术细节。 在这里，我们将以3 + l 时空解构的形式表示出广义相对论作用量。我们可以 得到b r o 、硼y o r k 修正后的广义相对论总作用量， & 兰p 廊4 卅2 匝y 霞厢3 y ( 2 3 1 ) y 其中a y 表示四维时空v 的闭合超曲面边界，y 3 表示在a y 上的坐标，而h 心 则是超曲面的内禀度规，k 表示超f f 臼面外曲率，以及s = n 。n 。，此处n 口表示 边界超曲面a y 单位f 交矢量。在本节中，物理量n “，y 。，h 。和k 。都是定义在 6 上海师范大学硕士学位论文第二章广义相对论作用量 类空超曲面。上的( 各物理量见表1 ) ，所以我们必须更加注意符号的意义。由图 我们可以看出四维时空v 的边界山两个类空超曲面。：和一个类时超曲面三 组成。 a y = 。2u ( 一，1 ) u 三 v历、 - t 2 一、 一t 尸_ h r、7 一 、a 图2 3 其中类空超曲面h 前的负号表示。的单位正交矢量方向指向未来( 向上) 所以方向与t 2 ，a 矿的矢量方向相反。将以上的考虑放到b r o w n - y o r k 作用量中， 则其广义相对论总作用量的形式为： & 兰p 二：动4 x + 2 ，霞劢3 y 一2 ，磊痂3 y + 2 r 二为3 z ( 2 3 2 ) y 艺1 2 在四维时空v 中，r i c c i 标量由定义在类空超曲面上的物理量表示见附录 ( a 5 ) ， r = 3 r + k 曲k 。b k 2 2 ( n 易n 声一n 。n 易) ：。 ( 2 3 3 ) 7 第二章广义相对论作用量 上海师范人学硕十学位论文 其中3 r 为类空超曲面上的曲率标量。我们得到， f r 厨4 x = ， 3 r + k 曲k 曲一k 2 2 ( n 。n 轨) 向4 x = m f r + k a 6 k k 2 ) n 知3 y _ 2 膨n 卅n 卿口 ( 2 3 4 ) 从上式得到的一个新边界项2 可( n 易n p n 口n 参) d 窃可以表示成t l ，t 2 和一 w 个类时超曲面e 的积分。 在t i 上，d 口= n 口_ d 3 y ，那么对于超曲面h 这一项的积分为， _ 2 ，( n ；n ，一n 口n 参) d 口= _ 2 ，( n 磊n ，n 口一n 8 n 参n 口) d 3 夕= _ 2 ，n 易痂3 y e 。 瓦 其中n ；n 口= o ，n 8 n 口= 一1 ，n 磊= k 。 ( 2 3 5 ) 我们可以看出这项将与作用量中边界项的其中一部份相抵消。同样我们可以 得到， 8 2 ，( n 易n ，一n 。n 易) d = 2 ，( n 易n 声n 口一n 口n 易n 口) d 3 y = 2 ，n 刍面3 y 吐吐 2 因此，超曲面。：的积分项也与边界项中的一部分相抵消。 ( 2 3 6 ) 最后我们再来研究超曲面量项，其中d 。= k = 为3 z ，则 一2 ( n 易n 卢一n 口n 翕) d 。= 一2 卜易n 声毛动3 z = 2n ：卢m ，厅3 z ( 2 3 7 ) 三三三 其中( n “) ：声= b ：卢n 8 + n ；= o 上海师范大学硕十学位论文 第二章广义相对论作用量 综上所述，我们将得到3 + l 解构下的广义相对论作用量， s g - 州( 3 r + k 曲k a b _ k 2 ) n 知3 y + 2p 呐廓3 z q 3 8 由于类时超曲面曼，它是由封闭二维曲面s 。和一维时间表示，所以我们将用 厅3 z = n 佩t d 2 p 来替代，并且 r = ，o 蚝 = ( ；，e ? e ? ) = 毛：声( 厂4 ) = ；口( g 妒一 户) 因此， r + k ；夕n 口n 夕= ；尹( g 印一，+ n 口n ，) = ；，p a b e 支e ：) = 盯a b ( 毛；夕e ：e ：) = 仃a b k a b = k 最终引力作用量可以表示成， s g - i ：吵r + p vk 2 ) n 俯y + 2 旷k o ) n 面2 ( 2 3 9 ) ( 2 3 1 0 ) ( 2 3 1 1 ) 9 第三章作刚量在渐近类空无穷远的发散问题上海师范人学硕十学位论文 第三章作用量在渐近类空无穷远的发散问题 在第三章，我们将在渐近类空无穷远处研究作用量的发散问题。考虑到在类 空无穷远处时空度规近似于球对称解， d f ：【l 一些+ o ( ) 】d t 2 一【1 一坐+ o ( 与) 】- l d r ：一r ：d 口一r ，s i n ：口d 伊： r rr r 因此在讨论该类型问题时使用s c h w a r z s c h i l d 球对称解再适合不过。 所以，我们将使用施瓦西球对称解来对爱因斯坦一希尔伯特作用量在渐近类 空无穷远所具有的物理性质进行讨论。 3 1s c h w a r z s c h i1 d 球对称解 我们为了使问题更容易讨论，所以寻找一个特殊的爱因斯坦场方程解，施瓦 西球对称解，我们假设该场是静止的，球对称的，该时空是真空的而且是平坦的。 完整的度规可以表示成， d f 2 ：( 1 一坐) d t 2 一( 1 一坐) 一1 d r 2 一r z d 口一r 2s i n 2 醐缈2 ( 3 1 1 ) rr 即， g 声7 = 1 一垒ooo r o ( 1 一垒) 一1 oo i - 0or 20 000一r 2s i n2 臼 ( 3 1 2 ) 上式为施瓦西球对称解。 3 2 渐近类空无穷远 在爱因斯坦广义相对论中，引力是时空的曲率，时空的曲率可以由度规张量 场来决定。对于理论物理而言，一切重要原理都是以作用量出发进行研究和讨论。 那么对于爱因斯坦广义相对论而言，其理论原理的形成和出发点将离不_ 丌爱因斯 坦一希尔伯特作用量，若从作用量出发，广义相对论爱因斯坦方程可以由希尔伯 1 0 上海师范人学硕士学位论文第三章作用量在渐近类空无穷远的发散问题 特( h i l b e n ) 作用量给出， ( 邑，) = 工尺厅4 x ， ( 3 2 1 ) 其中r 是标量曲率。标量曲率包含着度规张量场的二阶导数，在渐近类空无穷远 处，时空渐近于施瓦西球对称解， g ”= 卜鱼+ o ( 与) ooo rr 。 o 0 o oo r 2o 0一r 2s i n 2 p ( 3 2 2 ) 根据前面所给出的时空度规并且考虑到g 一卜垒+ o ( 与我们由 m a t h e i i l a t i c a 可以得出曲率标量在类空无穷远渐近于尺_ d 口缈见附录( a 6 ) ，而 体元在类空无穷远渐近于= 和4 x 寸d ( ，2 ) ，因此根据广义相对论希尔伯特 ( h i l b 瞰) 作用量品( 乳，) = 工r 二劢4 x 给出， s h = r 厅4 x s h = 扣2s i n 础d r d 甜缈一o e 灿一o ( 埘j 斗鸭 f 3 3 ) 所以整个作用量渐进于s ( 邬，) 一o ( 1 n ，) 专。因此希尔伯特作用量在类空无 穷远处发散。 一， o+ 厂0 0 丝r 一 一 第四章二次旋量场作用量 上海师范人学硕十学位论文 第四章二次旋量场作用量 在本章，我们将对爱因斯坦引力理论呈现一个新的收敛的作用量，是由旋量 场协变导数的二次形式所表示的拉氏量。我们同时能够发现新的作用量形式与标 准爱因斯坦一希尔伯特作用量之间存在一个全微分项的差别。 引力场的变化通常是体现在其场源的能量和动量的变化中，因此物质和场源 由能量和动量密度张量来描述。但是引力场本身的能量动量密度并非在任何情况 下都能表示的，所以能否找到一个完美的数学公式来描述引力能量和动量密度将 会对爱因斯坦引力理论的发展起到不小的影响。所以，我们尝试通过引进一个辅 助旋量场来达到该目的。 在本章中，我们将从二次旋量场作用量出发，同时我们将展现由n e s t e t u n g 提出的作用量满足爱因斯坦场方程。我们想补充一下的就是，由此作用量可以得 到哈密顿量的协变表达式。 4 1 二次旋量场作用量 在爱因斯坦引力理论中，由于我们拉氏量是用一组共轭旋量场协变导数的外 积形式来表示，因此我们可以得到一个新的作用量，该作用量在类空无穷远得到 收敛，从而解决了无穷远处能量发散的问题。我们亦可以把新的二次作用量重写 成广义相对论作用量函数形式，即表示成由标准的爱因斯坦一希尔伯特作用量以 及一个旋量一曲率组成的全微分项的形式，这样将更加方便我们把二次旋量作用 量和b r o w n y o r k 作用量作比较。 n e s t e r 与t i l n g 于1 9 9 4 年给出一个新的广义相对论的作用量，并证明其在 类空无穷远处也是收敛的【3 】。新的作用量为 = 一1 2d 甲乃 d 甲， ( 4 1 1 ) 多 因为作用量为旋量场1 形式的协变微分二次方，因此称为“二次方旋量场作 用量( q u a d r a t i cs p i n o r a c t i o n ) ”。在这个新的作用量中，他们引入了一个辅助旋量 场y ，其中引力变量为一个旋量1 形式，甲= 秒y 。甲包含一个满足约束条件 1 2 上海师范大学硕十学位论文 第四章二次旋量场作用量 沙= 1 ，y 以y = o 的狄拉克旋量场沙， 及一个标架场矿， ( 秒= 以臼4 = 圪e 出) 。d y = d y + 圪6 国曲妙是狄拉克旋量场的协变微分， 缈曲是联络l - 形式。而度规张量可由旋量1 一形式甲来给出g ，= 甲( 甲y ) 。将 对孓作变分可以得到场方程： 一2 以d 2 甲= 0 ( 4 1 2 ) 这个简洁的场方程，经过简单的代数运算： 一2 乃d 2 、壬，= 一吾伊以 r 如沙= 吾俨乞柳儿 r 幻y = 皖6 幸俨广乃y = o ( 4 1 3 ) 其中r n 6 = d 缈幻+ 国甜人q 6 为曲率2 - 形式，即得到爱因斯坦场方程g 4 6 = 0 3 】。 与b r o w 1 1 二y o r k 作用量不同的，这个二次方旋量场作用量不须加上修正项函 与岛，而能在类空无穷远处收敛，且较b r o w n y o r k 作用量简洁。本文的目的即 是比较这两个广义相对论作用量在渐进类空无穷远的关系。 4 2 爱凼斯坦场万程 接下来，我们再进一步对这个物理量进行分析，首先我们对二次旋量作用量 作变分： 万= 2 【万( d 可) y 5 d 、壬，+ d 可5 万( d 、壬，) 】 ( 4 2 1 ) 其中万( d 甲) = 万( d 甲+ 丢缈曲甲) 11 筇( 柙h 专( 砌出) 甲+ 专以b 矿( 卯)( 4 2 2 ) = d ( 胖) + 去以。矿( 卿) + 丢圪。( 砌曲) 甲 = d ( 狎) + 岬 且缈2 者以s 矿 根据 和 删= 2 d 掣) + 蚴堡d 甲+ d d ! ) + 删】) 一 ( 4 2 3 ) = 2 d ( 万甲) 儿d 甲+ 2 甲砌纷d 甲+ 2 d y 蚝d ( 胛) + 2 d 甲纷删 d ( 占孓) 蚝d 甲= d ( 万觋，d 甲) 一( 一万觋，d 2 甲) d 吆d ( 卯) = 一d ( d 吆卯) + d 2 砚删 ( 4 2 4 ) ( 4 2 5 ) 进一步( 4 2 3 ) 式可以写成： 艿z = 2 d ( 万甲蚝d 甲) 一( 一万、王，以d 2 甲) + 甲) 儿d 甲一d ( d 甲乃御) + d 2 卯+ d 删】 ( 4 2 d = 2 d ( 艿d 甲一d 卯) + 万d 2 、王，+ d 2 凯卿 + 甲7 以d 甲+ d 、王，托巧兢产壬，) 我们把新的拉氏量对甲作变分： 黑：2 儿d 2 甲 _ = = = 二y f ut 艿甲 当尝试构写拉氏方程v 口熹一斋= 。时，我们得到 一祟：一2 乃d 2 甲：o a 甲 那么由二次作用量得到的拉格朗日方程究竟是一个怎样的运动方程呢? 由方程( 4 2 8 ) 的左边的等式，得： 其中 1 4 熹锄，d z 甲 = 2 二y 。ut a 甲 d 2 甲= d d ( 9 3 以y ) = d 【( d 毋8 ) y 。y 一8 8 7 。d 】 = 一d ( 秒3 儿d 沙) = 一d 秒8 以d y + 秒8 以d 2 y = 秒3 圪d 2 ( 4 2 7 ) ( 4 2 8 ) ( 4 2 9 ) 上海师范人学硕士学位论文第四章二次旋量场作用量 且 ( 4 2 1 0 ) d 2 y - d ( d 缈) + 去。矿n ( d ) = d ( d y + 专以。缈m + 去缈咖( d y + 去m = d 2 沙+ 丢以。d 国出y 一丢国曲d + 三。国”d 妙+ 去。缈”以。缈曲沙 = 丢d 缈出缈+ 去国咖以。扩y = 丢( d 扩+ 扩言彩“) y = 丢q 办缈 f 4 2 1 】) 以= 一圪+ + 。n b y b 乃 因此( 4 2 1 2 ) 可写成： 一斋= 圭口。( 一。九+ + 瓯啪7 6 纷) q “缈 由于挠率为零，方程( 4 2 1 3 ) 右边第一项，第二项分别为零，所以： 一蠢= 丢秒4 广以q 咖缈= g 曲咿儿y = 。 上式即是爱因斯坦场方程。 ( 4 2 1 2 ) ( 4 2 1 3 ) ( 4 2 1 4 ) 我们可以看出，通过从新的作用量对甲作变分，能够得到( 真空) 爱因斯 坦场方程的d i m a k i sa n dm u l l e r h o i s s e n s “c 1 i 仃。吼”表述【5 】。由此可见，通过 引入旋量场甲所构成的二次旋量拉氏量也是广义相对论的作用量函数。 1 5 为 p 变 畔 趔 归 三卯 以 一 旨 肋 腓 第五章二次旋量场作用量与b r o w n y o r k 作用量的比较上海师范人学硕十学位论文 第五章二次旋量场作用量与b r o w n y o r k 作用量的比较 5 1二次旋量场作用量的3 + 1 时空解构 在这章我将二次旋量场作用量与b r 0 w n y o r k 作比较。为了比较，首先将二 次旋量场作用量作3 + 1 时空解构。 由旋量一曲率恒等式【5 ，我们可以证明二次方旋量场作用量 s = 2 贞y 5 八嬲= r d 4 x a ， yra r 与希尔伯特作用项，只相差一个边界项， 甄= l 贞y s 八_ 再y s 八嬲， a 矿a y ( 5 1 1 ) ( 5 1 2 ) 因此并不改变爱因斯坦场方程。我们将比较这个边界项与b r o w n y 0 r k 的墨及岛 的差异。根据甲= 口沙，由于挠率为零d 矿= o ，( 5 1 2 ) 式可写成，见附录( a 7 ) ： 5 1 ) ： 1 6 j 2j d y 钆 口y 一缈钆 p 八d y 秒 8 ： 一一 ( 5 1 3 ) = i ( 谚y 圪儿虼少一y 儿九儿d c 沙) 酽八矿人俨 方 现考虑由两个类空超曲面t l z 口和一个类时超曲面曼组成的边界a 矿( 见图 a 矿= ，2u ( 一“) u 巨， 上海师范人学硕+ 学位论文第五章二次旋量场作用量与b r o w 1 1 y o r k 作用量的比较 v 一一万 、 厶t 2 、一一一 h 一一- _ 一 ，一一、 、 一r、 。 一一 图5 1 将邑在类空超曲面a y 上作投影，在类空超曲面，l 与，：上选取标架，f = j ，2 3 ， 而在类时超曲面巨上我们选取标架矿，户口z 3 ，则 b ，= 驭d 西y s y 一i ) ，i y s y j d 、) 一k 瓜& x a ， z ，一一 一 ( 5 1 4 ) + i ( d y 乃淼妙一乃以攻d l y ) 占肥一如d 3 x ， 其中= 口u ( 一) ，在类空超曲面“与，：上的体元为口7 口， 矿= 西驰d 3 x ， 而在类时超曲面巨上的体元为 矿= 再舭d 3 x 。式中狄拉克旋量的协 变微分对边界类空超曲面与，：进行投影可得， 。，y = a ，+ y 业缈弦，沙+ 丢厂。，0 ，y + 7 ，。国扣，杪 = a ，l 吵+ 厂肚缈拈，+ 丢y 。，缈。， c 5 5 ， = 南iv + 之y o j k j i 妒 同样我们可以得到， 1 7 第五章二次旋鼙场作用量与b r o w n y o r k 作用量的比较 上海师范人学硕十学位论文 南j 咿= 南i i f ，+ 妥y o j k ? vd t v = t v + 三y o i k v 我们为了比较k 。因此把关系式( 5 1 6 ) 代入式( 5 1 5 ) 中，得到 d f = 直沙+ 三一( 一 吵 ( 5 1 6 ) ( 5 1 7 ) 其中k 7 ，为超曲面“与，：的外曲率，( k ) ，边界超曲面，。与，：嵌入在平直空间 的外曲率。由( 5 1 7 ) 式可得， 厂d ，沙= 7 当，+ 丢厂。( 足一k 。) y ， 因此由附录( a 8 ) ， 且q 砂7 妒一河。矿q 缈) _ d 3 x z = 且疲彷。矿沙一彷。矿或y ) 撕- d 3 x + 2 ( k 一) 矗3 x zz ( 5 1 8 ) ( 5 1 9 ) 其中我们用了乃以一心乃= 2 岛班7 0 儿和约束条件w = 1 。而在类时超曲面巨上， 由( 5 1 9 ) 式可得 7 置d 置y = 7 置或沙+ 圭7 ( r 飞) y ， ( 5 1 1 0 ) 其中，置为超曲面e 的外曲率。( 。) j 置边界超曲面量嵌入在平直空间的外曲率。 因此 ( 哦劢1 y k y 一彷1 7 k 哦) 二硇3 石 三 = ( 反劢1 y 置沙一乃1 7 量或y ) 二硇3 x + 2 ( r 一) 二和3 x 暮巨 ( 5 1 3 ) 式成为 1 8 ，& = j ( 废河。7 。少一动。厂。应y ) 撕_ d 3 x + p ( k k ) 撕，3 工 a rz + ，( 反力量厂。y 一彷1 y x 或少) 二硇3 x + ，2 ( r 一砀) 二动3 工 ( 5 1 1 2 ) 我们可以看出，( 5 1 1 0 ) 式最后一项即是b r o w n y o r k 作用量中的一个修正 上海师范人学硕士学位论文第五章二次旋量场作用量与b r o w n y o r k 作用量的比较 项， 三b 厨4 x + 2 ，( 足一扁) 肋3 x ra r + 婶砂矿一砂矿直y ) 皿x + 脏砂y k 一砂广或) 二硇3 x = s h + s 8 一s q s 9 其中我们定义，( 霞一或) 而3 石= r k k ) 矗3 z + 且r 一) = 砀3 x a 矿z量 5 2 渐近类空无穷远 b r o 、7 l ，n y o r k 的作用量为( 2 2 2 ) ： s b y j s h + s b s o ， ( 5 1 1 3 ) ( 5 2 1 ) 与( 5 1 1 3 ) 式作比较，我们发现二次方旋量场作用量与b r o w n 呲作用量的主要 差别为。， 。暑( 占t 溉厂吵一觋，占ty ) 一d 3 x z + ，( 或沈y r 沙一砑7 置反y ) 周3 x 三 ( 5 2 2 ) 对于b r o 、- y o r k 作用量和二次旋量作用量全微分边界项之间的差别。， 我们将之放在渐近类空无穷远处来考虑时，可以有两种选择供我们讨论。 、，v 首先在渐进类空无穷远，可以取d i 沙= o ，即d 25 f ，= r y = o ，得到平直空间。 而此时旋量为常数。显然该条件过强。 其次一个较弱的条件是当狄拉克旋量场满足w i t t e n 方程 6 时，y p 少= 0 ， 厂kd = o ，此时 o = o ( 5 2 3 ) 1 9 第五章 二次旋量场作用量与b r o w n y o r k 作用量的比较 上篷炯整叁堂堡堂尘至! 垒塞 即s q s = s8 y 。 在二次旋量场作用量中我们加入了辅助旋量场甲，从、m t t e i l 方程可以看出， 对于甲的选择将不会影响物理性质。w i t t e n 方程相当于对标架的选取。 2 0 5 3 一般准局域边界 而在一般的时空，二次方旋量场作用量与b r o w n y o r k 作用量相差， s = s q s s b y = s q s o = s q s o ：p 。溉广 f ，一溉广西ty ) p x + f ( 皮溉y 置少一砑广疲y ) 二：0 3 x z 已 ( 5 3 1 ) 因此在一般时空中，对于不同的辅助旋量场甲，可以得到不同的值。 上海师范大学硕十学位论文第人章总结 第六章总结 本文比较了在类空无穷远收敛的b r o w n y o r k 作用量，以及二次方旋量场作 用量。当狄拉克旋量场在边界超曲面上满足w i t t e n 方程时，我们得到二次方旋 量作用量在渐近类空无穷远等于b r o w n y o r k 作用量。在一般时空边界下，两个 作用量相差一个边界项。 b r o w n y o r k 作用量为希尔伯特作用量加上两个修正项，其形式较为简洁。 二次旋量场作用量引进一个满足两个约束条件的辅助狄拉克旋量场，相当于引进 六个自由度。这六个自由度即是标架作洛仑兹转动的规范自由度。选择w i t t e n 方程相当于选择边界超曲面上的标架转动规范自由度。在这个规范自由度的选取 下，二次方旋量场作用量即给出b r o w n y o r k 作用量。 由于作用量与哈密顿量之间的密切联系，所以由此作用量导出准局域能量也 是水到渠成的。对于由n e s t e r t u n g 提出的二次旋量场作用量可以对准局域能量 的问题进行研究。在描述时空几何和物质的广义协变作用量中，通过对二次旋量 场作用量的哈密顿分析可以构写出新准局域能量的定义和一系列的性质，其中包 括定义能量面密度，动量面密度，准局域能量和守恒荷。b r o w n y o r k 还研究准 局域能量不同性质的探索性研究，包括计算球对称的理想流体星体和黑洞，这将 显示球对称星体的准局域能量与牛顿极限下的能量是一致的。除此之外，这个准 局域能量同样也出现在热力学的研究中，并且对热动力学的内能问题也起到相当 重要的作用，黑洞力学第一定律可以通过准局域能量变分直接获得。 2 l 上海师范人学硕+ 学位论文 致谢 我衷心地感谢我的导师童若轩教授三年来对我的悉心教诲和热心帮助。本文 是我在童老师的耐心指导下完成的，每一项工作都凝聚着童老师的心血和智慧。 章老师诈直的为人，渊博的学识，严谨的治学态度以及孜孜不倦的进取精神都使 我受益匪浅。无论是做人方面，还是治学方面，童老师永远是我的导师和楷模。 与此同时，天体物理中心导师们的高深精湛的造诣与严谨求实的治学精神也 将永远激励着我。在三年的研究生生涯里，还得到李新洲教授和孙珏岷老师的关 心支持和帮助。在此，谨向各位导师致以衷心的感谢和崇高的敬意! 祝愿天体物理中心百尺竿头更进一步，培养出越来越多的科学界的新星。 最后，我要向在百忙之中抽时间对本文进行审阅、评议和参加本人论文答辩 的各位老师表示感谢! 2 2 上海师范人学硕士学位论文 参考文献 1 b r o w njd ，y o r kjw ，“q u a s i 一1 0 c a le n e r g ya n dc o n s e r v e dc h a r g e sd e r i v e df r o m t h eg r a v i t a t i o n a la c t i o n ”，p h y s r e v d ，1 9 9 3 ，4 7 ：1 4 0 7 2 p o i s s o ne ， “ar e l a t i v i s t st 0 0 1 k i t ：t h em a t h e m a t i c so fb l a c k h 0 1 em e c h a n i c s ， c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ， 2 0 0 4 3 n e s t e rjm ，t u n grs ， “aq u a d r a t i cs p i n o r1 a n g r a n g i a nf o rg e n e r a lr e l a t i v i t y ， g e n e r a lr e l a t i v i t ya n dg r a v i t a t i o n ”， 1 9 9 5 ，2 7 ：1 1 5 4 】t u n grs ，j a c o b s o nt ， “s p i n o ro n ef o 瑚sa sg r a v i t a t i o n a lp o t e n t i a l s 一，c 1 a ss q u a n t 姗g r a v i t y ，1 9 9 5 ，1 2 ：l 5 1 5 】n e s t e rjm ，t u n grs ，z h y t n i k o vvv ，“s o m es p i n o r c u r v a t u r ei d e n t i t i e sj ，c 1 a s s q u a n t 岫g r a v ，1 9 9 4 ，1 1 ：9 8 3 6 w i t t e ne ， “an e wp r o o fo ft h ep o s i t i v ee n e r g yt h e o r e m ，c o m m u n m a t h p h y s ， 1 9 8 l ，8 0 ：3 8 1 7 a s h t e k a r a ，p h y s r e v d 3 6 ，1 5 8 7 ( 1 9 8 7 ) 8 p e n r o s e ra n dr i n d l e r 瓢“s p i n o r sa n ds p a c e t i m e ，c a m b r i d g eu n i v p r e s s ，1 9 8 6 9 d i m a l 【i s aa n dm u l l e r h o i s s e n - f ，cl a s s q u a n t 硼g r a v 8 2 0 9 3 ，1 9 9 4 1 0 n e s t e r j m ，p h y s l e t t a 8 3 ，2 4 1 “i na s y m p t o ti cb e h a v i o ro f m a s sa n ds p a c e ti m e g e o m e t r y ，e dff 1 a h e r t y 1 1 n e s t e r j m ，m o d ，p h y s l e t t a 62 6 5 5 “d i r e c t i o n si ng e n e r a lr e l a t i v i t y ，v 0 1 1 ， e d b l h u r y a n m pa n dv i s h v e s h w a r a c v 1 2 r e g g e ta n dt e i t e l b o i m c ，a n n p h y s 8 8 ，2 8 6 ，1 9 7 4 1 3 b e r g q v i s t j ma n dt u n g r s ，p h y s r e v d 4 9 ，3 9 5 8 ，1 9 9 4 1 4 d o u g a n a ja n dm a s o n l j ，p h y s r e v