（工程力学专业论文）连续体结构拓扑优化理论及其在座舱减振降噪中的应用.pdf

摘要 摘要 连续体结构的拓扑优化设计是继结构形状优化设计和尺寸优化设计以后，在 结构优化领域出现的一种全新的研究方向。结构拓扑优化设计属于概念设计，即 在进行形状优化和尺寸优化前，寻求结构的最优拓扑形式，这样可以避免了设计 过程中的盲目性。这在产品初始设计阶段具有重要意义。 论文研究了连续体结构的拓扑化模型及其材料插值方法、以及连续体结构拓 扑优化问题的数值求解算法；讨论了拓扑优化中数值不稳定现象，指出了一些解 决办法；研究了飞机座舱内的声环境，在连续体结构拓扑优化理论的基础上，将 拓扑优化技术应用于飞机座舱内的减振降噪方面，取得了较好的效果。论文的主 要研究工作： 1 研究了连续体结构的拓扑优化模型的描述方式及其材料插值模型，主要 讨论了均匀化法和密度法( s i m p ) 插值模型：研究了拓扑优化求解算法， 主要是优化准则算法( 0 c ) 和数学规划算法( | l p ) ，推导了基于s i 御模 型的优化准则算法和移动渐进线算法。 2 对优化结构中出现的棋盘格和网格依赖等数值不稳定现象进行了剖析 和讨论。介绍了一些常见解决方法，并指出了一条解决思路，即利用s i 肝 模型，通过控制惩罚因子，对中间密度材料和棋盘格式进行惩罚，再采 用敏度过滤技术，控制网格依赖问题。 3 研究了飞机座舱内的声环境，基于上述对连续体结构拓扑优化理论的研 究，将拓扑优化方法引入到飞机座舱内的噪声控制中，通过算例验证了 采用该方法进行减振降噪的可行性。 关键词：结构拓扑优化均匀化法优化准则法数值不稳定性振动噪声 西北工业大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h et o p o l o l o p t i m 妇i o nd e s i 呈皿f o rc o n 虹肌啪s t m c t i l r ei sab 船n d n e wr c s e 缸c h d i r e c 垃伽w l l i c ha l ，p e 躺i n 也e 丘e l do fs t n l c 慨o p l 血n i z a 吐o nd e s i 譬皿f o u o w i n 2 s t m c t l l s h a p eo p t i m i z a t i o n 觚ds i z eo p t i l l l i z a 缸o nd 鹤i g n - t h es m 尬t l l r et 叩o l o g y o p t i m i z a ：t i o nd 嚣i g 皿i sal 【i n do fc o n c e p t i l a ld e s i g 皿，锄di ti so ft h ep 1 邺s em 砒 e k i n gt l l eo p t i i n a lt o p o l o g yd i s i o nf o r 咖c t i l r eb e f o s h a p e 砒l ds i z eo p t i | n i z a 虹， w l l i c hc o u l da v o i d 咖i m a l t i i nl h ed c s i p 皿p 】吣c e d u r e t t l i sm e t l l o di so f 、，i t a l s i 霉“f i c 姐c ea tt h eb e g i n n i n go f t h ep f o d l l c td e s i 2 皿 t h et o p o l o 叠ym o d e lo ft h ec o 埘矾啪s 仇l c t t i 陀，n l a 硎a 1i n t e r p o l a t i o nm e t h o d 柚d 肌m e c a ls o l u d o nm c t h o df o rt h ec o n t i n 瑚s 咖t i i r et o p o l o g ：yo p t i l i l i z a t i 锄 i 1 1 仃0 d l l c c d 柚d ( i e s c r i b e di nt l l i sp a p e lt h en 啪e r i c a li n 鼬i l i t yp h e n 锄e n o nd l l 血g t o p o l o g o p 6 m i z a t i i sa 1 d i 邮骶d 觚d m ep o s s i b l cs o l u t i o n sa r ep r 岱a l t e d b 鹤e do n 丘i n d 锄锄t a lr 髓e a r c hf o rc o m i i i ms t r u c t l i r et o p o l o p o p t i m i z a 娃o n 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o i s e 西北工业大学 学位论文知识产权说明 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学 位期间论文工作的知识产权单位属于西北工业大学。学校有权保留并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。学校 可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时本人保证，毕业后结 合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北工业大学。 保密论文待解密后适用本声明。 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明：所呈交的学位论 文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已 经注明引用的内容和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公 开发表或撰写过的研究成果，不包含本人或他人已申请学位或其它用途使用过 的成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。 本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 学位论文作者签名： 细 年；月2 f 日 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 结构的优化设计按照设计变量的类型和求解问题的难易程度可分为尺寸优 化( 尺寸变量) 、形状优化( 形状变量) 和拓扑优化( 拓扑变量) 三个层次，分 别对应于三个不同的产品设计阶段，即概念设计、基本设计及详细设计三个阶段， 如图1 。拓扑优化设计是继尺寸优化设计和形状优化设计以后，在结构优化领域 出现的一种极富挑战性的研究方向。拓扑优化的目的是在设计空间寻求结构刚 度的最佳分布形式。或者结构最佳传力途经，以优化结构的某些性能或者减轻结 构的重量。拓扑优化按研究的结构对象可分为离散体结构拓扑优化( 如桁架、刚 架、加强筋板、膜等骨架结构及它们的组合) 和连续体结构拓扑优化( 如二维板 壳、三维实体) 两大类。离散结构拓扑优化的历史可以追溯到1 9 0 4 年由m i c h e l l 提出的桁架理论。1 ，m i c h e l l 的理论只能用于单工况并依赖于选择适当的应变场。 其后陆续提出了一些优化方法，其中最有代表性的是d o r n 、g o r y 和g r e e n b e r g 等提出的基结构方法( g r o u n ds t r u c t u r e a p p r o a c h ) 0 1 。基结构方法克服了m i c h e l l 桁架理论的不适应性，将数值方法引入结构优化领域，建立由结构节点、载荷作 用点和支撑点组成的节点集合，集合中的所有节点之间用杆件连接，形成所谓的 基结构，以基结构作为初始设计，以杆件面积作为设计变量，采用优化算法优化 秆件面积。z o 世纪6 0 年代初s c l l m i t 将结构优化问题表述为数学规划问题，并 采用数学规划算法求解，成为结构优化领域的一个重要里程碑“1 。离散结构拓扑 优化主要集中在桁架结构的优化设计，国内外已有很多深入的研究和文献“、”。 但由于离散结构优化的目标函数和约束函数是不连续的、不可微的和非凸的优化 模型，其难度远大于连续体结构优化问题，因此近年来连续体结构拓扑优化其理 论得到了较快发展n 1 。1 ”，已成为了结构优化研究领域的热点和难点“。嘲。 连续体结构拓扑优化是建立在拓扑学、计算机技术和优化方法基础上的结构 优化理论，涉及到应用数学、计算力学、优化策略等领域，并且不断融入遗传算 法、图像处理技术、科学计算可视化等新兴学科和技术。随着拓扑优化理论和工 程研究的逐步进展，拓扑优化将成为新产品设计和开发的有力工具。连续体结构 拓扑优化还是一个新兴的研究领域，其理论和应用研究中都还存在许多问题需要 解决。本文主要专注于连续体结构拓扑优化在减振降噪方面的应用研究。 西北工业大学硕士学位论文 1 2 国内外研究现状 图1 结构优化设计的三个阶段 从1 9 8 8 年b e n d e 和k u c h i 跚提出解决结构拓扑优化问题的均匀化方 法以来，连续体结构拓扑优化在理论上得到了迅速发展，引起了人们越来越多的 关注和兴趣。目前有关于拓扑优化的重要研究方向可以概述为以下几个方面： 连续体结构的拓扑优化模型的描述方式 拓扑优化求解数值算法，新型优化算法在拓扑优化中的应用。 去除拓扑优化中数值计算不稳定性的方法，优化计算结果的提取和重构。 拓扑优化的应用研究。 1 2 1 连续体结构的拓扑优化模型的描述方式 b e n d s o e 陆1 指出：结构拓扑优化设计实际上就是材料在设计空间的分布优化 问题，并提出将复合材料多孔介质模型引入到拓扑优化的材料插值模型中，进而 提出了基于均匀化理论的结构弹性张量计算方法和拓扑优化理论。拓扑优化中常 用的拓扑表达形式和材料插值模型方法有：均匀化方法( h o m o g e n i z a t i o n m e t h o d ) ”“；密度法“铆1 ( 如各向正交惩罚材料密度法，即s i m p ( s o l i di s o t r o p i c 舱t e r i a lw i t hp e n a l i z a t i o nm o d e l ) 方法) ；变厚度法汹1 等，其中最具有代 表性的两种材料插值模型是均匀化方法和密度法。 2 第一章绪论 1 ) 均匀化法 目前均匀化方法是连续体结构拓扑优化中应用最广泛的方法，其基本思想是 通过在连续介质中人为的引入某种形式的微结构，例如周期性分布的微孔，然后 利用数学中以扰动理论为基础的均匀化方法建立材料的宏观弹性特性与微孔尺 寸间的关系，进而将连续体的拓扑优化转化为决定微结构的尺寸优化问题，从而 可以利用现存的尺寸优化算法得到结构最优的宏观拓扑分布。 图2 结构域中的微结构 在优化过程中，我们假设结构设计域q 由微结构组成的复合材料构成，微结 构如图2 所示，是一个中空的矩形，有三个设计变量口，6 和口。( 1 一口) 和( 1 6 ) 代 表了中间微孔的尺寸，口表示这个矩形孔的方向。由设计变量口，6 可以决定微结 构是空还是实体，当口= 6 = o 时，微结构就完全为空，当口= 6 = l 时，微结构则 为实体。口控制矩形的旋转方向。因此，如果材料的总数一定，那么在优化过程 中，材料将会从设计域中的某一部分移动到另一部分形成新的材料分布，以目标 函数为指引，达到最佳的材料分布方式。 g u e d e s 和k i k u c h i 嗍用均匀化方法处理二维、三维连续体结构拓扑优化问题。 s u z u k i 和k i k u c h i ”1 采用均匀化方法同时处理结构形状和拓扑优化问题。d i a z 和b e n d s o e 研究了在多工况情况下的均匀化法在形状优化中的应用。国内学者 刘书田和程耿东啪1 研究了复合材料应力分析的均匀化方法。吴长春和袁振啪1 研究 了均匀化法在复合材料设计中的应用。以上研究均是基于静力刚度优化问题，z d m a ，nk i k u c h i 已经开始将均匀化方法应用于振动结构的动力学问题m 1 ，如单特 西北工业大学硕士学位论文 征值优化问题，多特征值优化问题，和频响优化问题。h a s s a n i 和h i n t o n 1 对基 于均匀化理论的拓扑优化理论和算法进行了全面系统的总结。 结构拓扑优化求解中常采用的策略是将拓扑优化变量转换为容易处理的尺 寸优化问题，将拓扑变量挂靠在结构低层次尺寸变量优化问题上来求解，均匀化 方法中也采用了这种原理。这种降阶的办法在优化过程中易产生奇异最优解问 题，国内学者程耿东对此进行了深入研究，并指出应力函数的不连续性是导致 桁架结构拓扑优化奇异最优解的原因，提出了搜索奇异最优解的e 一放松算法。 2 ) 密度法材料插值模型 密度法是结构拓扑优化中另一常用方法，这种方法最早用于工程实际是在处 理材料分布和形状设计上1 ，设计是基于各向同性材料的，用该方法不需要引入 微结构和附加均匀化过程，以每个单元的相对密度作为设计变量，人为假定相对 密度和材料弹性模量之间的某种对应关系。在此基础上s i 鲫u n d 和b e n d s o e 等时刎 对密度法材料插值模型进行了深入研究，提出了密度法中常见的插值模型：固体 各向同性惩罚材料模型( s 0 1 i di s o t r o p i c 眦t e r i a lw i t hp e n a l i z a t i o n ，s i m p ) ， 通过引入惩罚因子对中间密度进行惩罚，使中间密度值向o 1 两端聚集，使连续 变量的拓扑优化模型能很好的逼近o - 1 离散变量优化模型，这时中间密度单元对 应一个很小的弹性模量，对结构刚度矩阵的影响将变得很小。 密度法材料插值模型是工程上最有应用前景的一种拓扑优化插值方法。使用 该方法虽然不能从理论上证明得到的拓扑优化结果是全局最优解，但其理论简单 明了，算法易于实现，具有很高的实用价值，目前已用于解决宏观线弹性结构拓 扑优化问题，如复杂的二维和三维拓扑优化设计问题、m 酬s 设计问题等；也可 用于材料微观结构构成及性能设计，压电材料结构设计等。 3 ) 其他拓扑优化描述方式 变厚度法是较早采用的拓扑优化方法，属几何描述方式，其基本思想是以基 结构中单元厚度为拓扑设计变量，将连续体拓扑优化问题转化为广义尺寸优化问 题，通过删除厚度为尺寸下限的单元实现结构拓扑的变更。该方法突出的特点是 简单，适用于平面结构( 如膜、板、壳等) ，推广到三维问题有一定的难度。王健研 究了应力约束下薄板结构的拓扑优化哺1 。程耿东和张东旭基于变厚度法，研究了 平面膜结构的拓扑优化，对离散体和连续体在局部应力约束下的拓扑优化进行了 深入研究。 国内学者隋允康等1 提出了一种独立、连续映射模型方法( i n d e p e n d e n t c o n t i n u o u si i l a p p i n g ，i c m ) ，建立了离散变量和连续变量的拓扑优化统一模型。 4 第一章绪论 1 2 2 拓扑优化求解的数值算法 为了将结构拓扑优化技术付诸实用，除了建立可靠的优化模型外，还需要 选择收敛速度快且计算不是很复杂的优化算法。目前连续体结构研究的主要方法 是数值解法。一般都是将拓扑优化问题转化为参数优化问题，再借鉴目前较为成 熟的参数优化方法求解。主要的数值方法有优化准则法、数学规划法、渐进优化 法和遗传算法等。 优化准则法“1 嘲( 0 p t i 腿1 i t yc r i t e r i a 0 c ) ：根据物理条件及工程要求， 来建立结构在一系列约束条件下( 应力、位移、频率等) 需满足的最佳准则，从 可行的设计中找出最佳的设计方案，以充分发挥材料的强度、剐度和稳定性的潜 力，找出最佳传力路径。1 9 6 8 年，p r a g e r m 等针对简单连续体问题提出了分析 形式的优化准则，后经一系列发展，形成了所谓的连续型准则( c o c c o n t i n u m t y p e0 p t i 腿1 i t yc r i t e r i a ) ，这种准则往往难于应用于实际。实际结构多离散 化，即以有限元进行分析，因此，实用的方法应是以离散化结构为研究对象的 优化准则，即离散型优化准则( d o c d i s c r e t i z e d0 p t i 眦1 i t yc r i t e r i a ) 。，多 数情况下，优化准则就指离散型优化准则。7 0 年代。人们把数学中最优解应满 足的k u h n t u c k e r 条件，引入到了最优结构应满足的优化准则中删。使准则 法通用性得到提高，理论性得到加强。 优化准则法最突出的特点是迭代次数少，且迭代次数对设计变量的增加不 敏感，因而具有很高的计算效率。优化准则也易于编程。特别适合于工程实际应 用。但是优化准则法需要建立准则和相应的迭代公式，而建立准则和迭代公式的 理论依据尚欠充分，而且与研究问题的特点有关，缺乏通用性；优化准则法不能 保证收敛到最优解，甚至不能收敛到局部最优解，或者不收敛。 1 9 6 0 年，s c h n l i tm 首先引入数学规划方法和有限元法相结合的求解多种载 荷情况下弹性结构设计的数学表达式，开始了现代结构优化的新时代。数学规划 方法( 1 l a t h e 脑t i c sp r o g r 猢i n g ，l i p ) 就是采用一定的数值分析方法搜索最快 下降方向和最优极值点。结构优化设计成为在诸如应力、位移、频率等性态函数 约束条件下，在设计变量空间中寻求目标函数的数学极值问题，再由数学规划方 法来搜索极值。目前适合连续体结构拓扑优化的数学规划法是序列规划法。序列 规划方法旷删是用一系列简单的优化问题来逐步逼迸复杂的优化问题，把一个非 线性程度较高的优化问题通过变换或近似，转换为一个较低阶次( 线性或两次) 函数构成的优化问题来渐进求解，适用于复杂结构的优化计算。这类方法主要有： 序列线性规划法( s e q u e n t i a l1 i n e a rp r o g r a 姗i n g ，s l p ) ，序列二次规划法 ( s e q u e n t i 8 1q u a d r a t i cp r o g r 猢i n g ，s q p ) 和序列凸规划算法( s e q u e n t i a l 5 西北工业大学硕士学位论文 c o n v e xp r o g r a 岫i n g ，s c p ) 等。移动渐近线法( m e t h o do fm o v i n ga s y m p t o t e s ， 姗a ) 呻剐属于s c p 方法中的一种，它是求解数学规划类问题的常见方法，目前 m m a 方法已大量应用于结构拓扑优化中，并且对复杂拓扑优化问题，m 姒法具有 更好的适应性，因而m m a 法更适用于处理多约束和复杂目标函数的优化问题。 渐进结构优化法( e v 0 1 u t i o n a r ys t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o n ，e s 0 ) 哪。剐是近 年来兴起的一种解决各类结构优化问题的数值方法。e s o 的基本概念很简单，即 通过将无效的或者低效的材料一步步删除，剩下的结构就趋于优化。在优化迭代 过程中，该方法采用了固定的有限元网格，对存在的材料单元，其材料编号为非 零的数，而对不存在的单元，其材料编号为零，当计算结构刚度矩阵等特性时， 不计材料编号为零的单元。通过这种零和非零的模式实现结构拓扑优化。该方法 可采用通用有限元分析软件，在计算机上实现。该算法通用性好，可用于解决各 类结构优化问题，并且可以处理大规模单元。尽管该方法在收敛性证明方面缺乏 足够的理论支持，然而e s o 方法已经成功地运用到了实际问题中，得到了工程界 的肯定。 e s o 法的另一大突破是双向渐进结构优化法( b i d i r e c t i o n a le v 0 1 u t i o n a r y s t r u c t u r a l0 p t i m i z a t i o n ，b e s 0 ) 叫它改变了传统e s o 法因删除单元而在后继 迭代中不能恢复的缺点。 除了上述常用方法，目前国内外很多学者开始研究遗传算法( g e n e t i c a l g o r i t h m ) 嘣一，这种算法是一种借鉴生物进化原理产生的人工智能算法。模 拟退化算法( s i 聊1 a t e da n n e a l i n ga l g o r i t l i l l ) 和人工神经网络算法( n e u r a l n e t w o r k sa l g o r i t l 】m ) 也属于这类算法。这些算法更适于寻找全局最优解，且 可以同时找到几个局部最优解，不需要目标函数的导数信息，具有理论模型简单 等优点。这是其他算法无法比拟的，具有良好的发展前景。尤其对离散变量的寻 优，更有独到之处。目前遗传算法在结构优化中主要应用于桁架等离散结构的拓 扑优化方面。但它的计算效率还有待进一步提高。其他算法：泡泡法( b u b b l e m e t h o d ) “1 3 ：水平集法( 1 e v e ls e t 鹏t h o d ) 嗡；软杀法( s o f tk i l lm e t h o d ) 和硬杀法( h a r dk i l lm e t h o d ) 。 1 2 3 连续体结构拓扑优化中的数值不稳定现象及其处理方法 拓扑优化过程中常常会出现一些数值计算问题洲：多孔材料( p o r o u s ) 、棋 盘格( c h e c k e r b o a r dp 8 t t e r n s ) 、网格依赖性( m e s hd e p e n d e n c y ) 和局部极值 问题( l o c a lm i n i m a ) 。多孔材料和棋盘格的出现使得结构形状的提取和制造变 得困难，而且所得到的并不是最优解。网格依赖性将导致数值求解不稳定。局部 极值问题可能导致无法寻求全局最优解。 6 第一章绪论 棋盘格现象的出现与优化问题解的存在性和有限元近似的收敛性密切相关， 是连续问题的解以“若收敛”方式逼近原离散问题的真实解时出现的一种现象。 d i a z 和s i 鲫u n d ”1 提出了采用高阶单元减弱棋盘格现象。袁振和吴长春删将非协 调元和杂交元应用于结构拓扑优化中，在一定程度上克服了等参元难于避免的棋 盘格现象。 其他解决棋盘格和网格依赖性的方法：如p e t e r s s o n 和s i g 眦n d 彻提出的局 部密度梯度控制法( 1 0 c a ld e n s i t ys l o p ec o n t r 0 1 ) ，这是一种局部约束方法l h a b e r 等嘲提出了周长控制法( p e r i 咐t e rc o n t r o l 鹏t h o d ) ，这是一种全局约 束法；这两种方法都是加入额外约束，增加了计算的时间，并且优化参数的选择 需要人员的经验，这样影响了算法的准确性。s i g 叫n d 提出了一种过滤法 ( f i l t e r 啦t h o d ) 是一种简单实用的启发式算法，能有效消除棋盘格现象，并 使结构体现出网格无关性。而且不需要加入额外约束，程序实现简单。 拓扑优化的结果并不是光滑的边界，一般必须通过边界光滑技术进行参数化 处理后才能变成c a d 系统可识别的模型，然后在c a d 系统下对光滑处理后的模型 进行模型重构，为下一步的尺寸优化和形状优化做准备。其处理流程如图3 图3 拓扑优化结果的后处理流程 1 2 4 拓扑优化的应用 随着拓扑优化理论的逐步发展和完善，拓扑优化已经成功应用到了航空、航 天、船舶和汽车等多个领域。利用拓扑优化技术可以最大程度的减轻设计重量、 改善结构性能和缩短设计周期，这正是结构设计师所追求的，因此拓扑优化的应 用已引起了广大工程设计人员的密切关注。目前在航空领域中，拓扑优化最成功 的应用于空客a 3 8 0 机翼上重要部件的设计中，该飞机是世界上最大的客机，它 的机翼很大而且有着非常复杂的边界条件和载荷条件，同时需要考虑它的稳定 性，因此在设计方法的选择上需要非常慎重。空客的供应商b a e s y s t e m s 将拓 扑优化与尺寸优化和形状优化很好的结合起来，成功的完成了设计目标。 目前拓扑优化法可以解决：线弹性静态结构的最小柔度问题【7 0 】；结构动力学 7 西北工业大学硕士学位论文 的特征值优化问题及其频率响应问题【7 l 】；复杂的非线性结构优化问题7 2 】。目前 拓扑优化的应用研究主要还是集中在空间桁架结构和弹性体结构的静、动力学方 面的研究，而且大都只考虑单目标函数单约束情况，对于多目标、多物理场的应 用研究相对较少。最新的研究关于微机电系统m e m s 设计问题，实际就是柔性 机构在多物理耦合场中的模拟和优化设计过程。多物理场的拓扑优化问题涉及多 个不同物理场之间的耦合影响，因此所需建立的数学模型会很复杂，计算也很复 杂。 本文将主要考虑拓扑优化在控制飞机座舱噪声中的应用。采用拓扑优化方法 来进行减振降噪设计是一种新的方法和思路。它的主要思想是从改变结构拓扑角 度，对结构的质量和刚度特性进行优化配置，同时使结构的固有频率避开外激励 频率，即避免共振发生。 在飞机设计及使用中，座舱内部的噪声是一个非常重要的考虑因素。注意到 向舱内传播的声源及其传播途径很多，因此降低噪声源、控制传播途径很重要， 通常采用降低噪声的方法是在机身处采用隔声结构和在舱内贴敷吸声材料而本 文将机身作为整体来考虑的，通过改变机身材料的分布来达到避开固有频率的目 的。同时可以根据材料的分布情况，再选择加隔声结构和粘贴吸声材料，这样减 振降噪的效果将更佳。 这里我们只做理论研究，因此为了简化问题只考虑单目标函数问题，例如只 考虑以动态频率最大化为目标函数，而实际工程应用时，往往需要同时考虑多个 目标和多个约束的情况，如想要结构柔度最小同时频率最大，这本身就是矛盾的， 所以两者之间难以同时达到最优，常常需要寻求其有效解。这也将成为我们下一 步所需要解决的问题。 1 3 本文研究内容 综上所述，随着国内外学者的不断探讨和研究，拓扑优化在理论和应用方面 都得到了逐步发展和完善。尽管如此，目前无论从理论上还是应用上，拓扑优化 的研究过程中仍存在许多问题和不足之处。本文在总结国内外最新研究成果的基 础上，针对现存问题，对连续体结构拓扑优化的理论体系、相关算法和应用进行 系统分析和研究。对连续体结构拓扑优化中的材料插值理论进行探讨；建立基于 s m 伊插值模型的频率最大化拓扑优化问题的优化准则算法( o c ) ；研究拓扑优 化中去除数值计算不稳定性的方法；对连续体结构拓扑优化在减振降噪方面的应 用进行研究，主要是研究声场和结构耦合系统中的拓扑优化设计及其在减振降噪 设计方面的应用；研究工作将主要体现在以下几个方面： 8 研究适用于连续体结构拓扑优化的模型及其求解算法，推导基于s 皿理 论的优化准则算法，并应用于频率最大化的动力学拓扑优化计算过程中在算法 上进行实现。 分析了拓扑优化中常出现的一些数值不稳定现象( 多孔材料、棋盘格、网 格依赖性、局部极值等) 的原因，并找出了一些有效解决方法。 声固耦合系统的拓扑优化研究，应用本文陈述的拓扑优化方法对声场和结构 耦合系统进行了减振降噪研究，并通过数值模拟验证了拓扑优化在减振降噪方面 的有效性。 西北工业大学硕士学位论文 第二章连续体结构拓扑优化的材料插值方法和优化模型 本章研究了均匀化和密度法材料插值方法；研究了材料插值法在拓扑优化中 的应用。建立了基于s m 心材料插值方法的频率最大化的拓扑优化模型，为本 文后续章节的理论和应用研究奠定了基础。 2 1 引言 结构拓扑优化就是使结构材料在空间最佳组合与分布，结构拓扑表达方式和 材料插值方法在解决拓扑优化问题时非常重要，将决定着材料的拓扑分布方式。 材料插值方法决定着结构的单元属性( 如弹性模量等参数) 与结构单元的材料构 成间的数学关系，这对结构最终的拓扑分布起着关键作用，不同材料插值方法会 导致不同的拓扑分布，也导致不同的求解过程。材料插值方法是拓扑优化理论和 应用研究的基础。 从上个世纪末期以来，产生了许多拓扑材料插值理论和拓扑结构描述方法， 其中均匀化方法和密度法材料插值模型最具有代表性。均匀化方法是由础1 c i l c h 和b c n d e 引入到拓扑优化中，基于均匀化理论的拓扑优化算法是一种经典优化 方法，它在数学和力学理论上最为严密，但其均匀化弹性张量的求解非常复杂， 并且微单元的最佳形状和方向难以确定。另外其计算结果中产生的棋盘格式 ( c h c c k b o a r d ) 和网格依赖( m e s hd 印锄d c y ) ) 等数值不稳定现象难以消除，优化 结果的工程可制造性较差。因此均匀化方法目前主要应用于拓扑优化的理论研究 方面。密度法材料插值模型因其算法简单易于实现而在工程研究中得到了广泛重 视，是最具应用前景的一种拓扑结构描述方法。、 2 2 均匀化理论及插值方法 均匀化方法最早被应用于复合材料的性能计算中。1 9 8 8 年b e n d s o e 和 k i k u c h i 将均匀化理论引入到拓扑优化研究领域，这使得拓扑优化研究进入了新 的时代，从此关于拓扑优化问题的研究得到了迅速发展。 复合材料模型通常可以看作微结构胞元在空间的组合与重复，微观胞元结构 如图2 1 所示。每个胞元结构( b a s ec e l l ) 由不同的材料构成，这种带空洞的 第二章连续体结构拓扑优化的材料插值方法和优化模型 胞元在空间的重复造成了材料宏观特性的各向异性特征( h e t e r o g e n e i t y ) 。 在均匀化方法中，通过在材料中引入带空洞的胞元模型来求解材料的宏观特 性参数，寻求一种用宏观量来表达材料微观量变化特征的方法。如图2 2 所示复 合材料结构，在宏观某一位置x 处可认为是由单胞在空间中周期性重复堆积而 成的。单胞的尺度相对于结构的宏观几何尺度来讲，是个很小的量，设为 占( o f 1 ) 量级。因此结构的非均质性是最高层次的( 细观层次) 不同空间位 置的单胞形状及其排列方式可能是变化的但是，在某点的单胞尺度邻域内，这 种变化可认为是极其微小的，因此，从宏观上的一点来观察，材料仍然具有周期性 分布的特点结构的周期性和单胞如图2 1 ( b ) 和( c ) 所示由于非均质性的 存在，在体积力f 和表面力t 作用下的应力和位移在宏观位置x 的非常小的邻域 ( 邻域) 内也有很大的变化因此，可以认为所有的量均依赖于宏观和细观两 种尺度坐标x 和y = x e 。对于复合材料微观胞元可用y 来度量，设微元体受 体力，面力群，外部作用力“ 0 7 卣 圈 ( b ) 图2 1 具有细观结构的复合材料( a ) 宏观结构( b ) 细观结构( c ) 单腮 微元体在平衡条件下满足虚功方程： i r 等等纶埘忡+ “打+ i v f 嘏 ( 2 - 1 ) 应力应变关系为= 瑶，应变位移关系为= ( 雠锄+ 钟钆) 2 。由 弹性常量对称性有= = 啄= 。矿依赖于宏观度量x 和微观变量 y = x ，因此可将矿展开为s 的渐进式： 甜( x ) = 甜o ( x ，y ) + 占1 ( x ，y ) + 占2 甜2 ( 工，y ) + ( 2 2 ) 两北工业大学硕十学位论文 翌f 三：塑：竺+ 三丝( 2 3 ) 瓠e瓠ls 印i 将上两式代入( 2 1 ) 式，并按口的权值可分解为： j l f ( 筹+ 筹 考+ 筹刳擒= l 咖豳 c 2 哪 l ( 筹+ 筹) 考+ 筹+ 翻刳搬2 j r 肌d q + i t v 盯c z 嘞 对于一个y 周期函数甲( j ，) 有下面的两式存在： 姆j l f y 舟q = 南上工吣脚 悟6 ) 姆s l 妒i 卜= 南l 吣脚 ( 2 7 ) 式中| y f 代表胞元体积。 利用( 2 6 ) ，( 2 0 ) 可以得到： f i 摘f 卜+ 筹 考+ 筹考h 加= 上陆只一谘卜c 2 嘞 上式对任意v 均成立，不妨取v = v ( ) ，) ，则可得下式： 卜( 筹+ 筹 考+ 筹考卜= i a 咖，您 c z 哪 这就是微观平衡方程。 同样令v = v ( x ) ，可以得到宏观平衡方程： l 脚( 等+ 刳卅掣船l 晰z 胛卜胁m 小r ( 2 1 0 ) 注意到式( 2 9 ) 是醒，只的线性关系式，则可表示为： 卅= 公( 训) 掣一( w ) + 霉 ( 2 - 第二章连续体结构拓扑优化的材料插值方法和优化模型 1 表征材料微观特性，羁( x ) 为余项。 将上式代入( 2 1 0 ) 可得材料单元弹性模量： 鼬) = 剐一筹卜； 可由下式求出特征变形量z “ f 篆掣订= i 掣订 浯 均化理论在复合材料领域应用包含三个互不耦合的问题【7 3 】：两个微观 ( m m 锨) p i cl c v e l ) 上的问题和一个宏观 i a c 抛o p j cl 钾c 1 ) 上的阿题。微观上 主要是计算均匀化系数饵啪o g 锄i z c dc o e m c i 姐忸) 和残余应力( i d u a l s 仃c s s 嚣) ；宏观问题主要是计算全局位移和应力场。这三个问题求解用的数值方 法都是有限单元法，通过一种自适应的有限元法来提高求解的精度。 图2 2 均匀化结构中的微结构 对于连续体结构中的线弹性拓扑优化问题，采用均匀化法进行求解。设连续 体在设计域q 内受到体力f ，外部作用力t 作用。为了计算方便，在拓扑优化过 程中，将连续体离散为带方形孔洞的正方形单元结构。如图2 3 所示，单元外边长 为1 ，长方形孔洞边长为口，6 ，其取值范围为口，6 【o ，l 】这样就可以将困 难的拓扑优化问题转换为相对简单的尺寸优化问题。而这种单元结构可看作为复 合材料的一种微观结构形式，其均匀化弹性张量等材料特性参数可由上述复合材 西北工业大学硕士学位论文 料的均匀化求解方法求得。用最小柔度表达为 廊。( ”) ； s j ： 口( ，v ) = ，( v ) ； ( 1 一口扩p q s q ( 2 1 3 ) 式中矿，矿，伊为单位设计变量，p = 1 ，2 ，为有限单元的数目。 定义结构柔度： 砸) = l 倒q + l 触 弹性体的内虚功： ( 2 一1 4 ) 口( ) = ( x ) 毛( “) 钿( v ) m ( 2 - 1 5 ) 其中，“表示实际位移，1 ，表示虚位移，线性应变： 咖，= 精+ 割 图2 3 带方孔的正方形单元 由上面方法求得单元均匀化弹性张量后，进一步可求得结构整体位移场和应 力场，完成拓扑优化问题的一个迭代步计算。拓扑优化还需要一个优化迭代过程， 即采用什么样的寻优方法进行设计变量更新。优化方法应能保证在满足约束条件 情况下使目标函数值达到最优解，并保证计算的收敛性和稳定性。优化准则法是 拓扑优化常采用的一种寻优方法。通常由目标和约束构成的拉格朗日函数取极值 时应满足k u l l l l t u c k e r 条件推得。 优化问题的通用形式可以写成： 1 4 第二章连续体结构拓扑优化的材料插值方法和优化模型 m i n i m i z e ，( x ) s u c ht h a t j ( x ) = o ， _ ，= l ，2 ，栉。 ( x ) o ，七= l 2 。j l l ( 2 1 6 ) 这里x = ( 毛，而，毛) 是设计变量，和分别是等式和不等式的数目 利用k u h n _ t u c k e r 优化条件建立优化问题的通用形式： 著+ 姜乃鲁+ 粪喀一o ，棚 _ = o乃o ，= l ， & 0屹= oo 七= l ， ( 2 一1 7 ) 式中， 和圪是拉格朗日乘子。 最小柔度问题等价予最大总势能问题，令总势能为( 甜) ，通过利用l a g r a n g e 乘子和k t 条件，可以得到总势能最大化条件。应用有限元分析方法，我们可以 得到最大化总势能的离散形式： m 秀乎c n ( ) 兰( 1 一矿扩p 一趸o 矿- 1 s o 叫。o( 2 一1 8 ) 6 一l o 一6 s o g = l ， q ，为固体材料体积的上限值。 结构总的势能： n ( ”) ：丢口( ，) 一三( “) ：一昙三( “) 即：n ( “) ：丢艺p t ( “皿占( 甜) d q 一量“t q 一量f t 胛 ( 2 1 9 ) 口”1 rl 对应于设计变量约束和体积约束，分别引入拉格朗日乘子纭，咒，纭， 西北工业大学硕七学位论文 蜀0 = l ，) 和a ，拉格朗日函数： 工：n ( ) 一a l 兰( 1 一口咿p 一盈i 一兰磊( 矿) 一堂砺( 矿一1 ) 一艺磊( 巧) l 。1j “ “1 ( 2 2 0 ) 差筋p 1 ) 由拉格朗日函数工对设计变量矿的偏导数： 昙：掣+ 肋c 饼+ 砭一砭，吼， 加 1 同理拉格朗日函数工分别对设计变量矿和矿的偏导数： 昙：罢掣+ 加c 甜+ 磕一硝一= i 二+ a 4 r + 二一屯 。 ”1 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 旦：里盟 ( 2 2 3 ) d 6 ra 6 l 现在利用k - t 条件，得到如