（基础数学专业论文）包含smarandache函数及数列的恒等式和渐近公式.pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 众所周知，关于一些特殊序列及函数的算术性质的研究一直以来都在数论研 究中占有十分重要的位置，许多著名的数论难题都与之密切相关因而在这一领 域取得任何实质性进展都必将对初等数论及解析数论的发展起到重要的推动作 用! 美籍罗马尼亚著名数论专家f 1 0 r e n t i ns m a r a n d a c h e 教授曾提出了许多关于 特殊序列、算术函数的问题与猜想1 9 9 3 年，他在美国研究出版社出版了只 有问题，没有解答! 一书该书中，f s m a r a n d a c h e 教授提出了1 0 5 个关于特殊序 列、算术函数等未解决的数学问题及猜想，随着这些问题的提出，许多学者对此 进行了深入的研究，并获得了不少具有重要理论价值的研究成果；而另一位加拿 大数论专家r k g u y 所著的初等数论中未解决的问题一书中的诸多问题也 引起了数论爱好者的研究兴趣 本论文基于对以上所述问题的兴趣，利用初等方法及解析方法研究了一些新 的s m a r a n d a c h e 序列及函数的性质，从而给出了一些相关的恒等式和渐近公式以 及方程的解数，具体来说，本文的主要内容包括以下几方面： 1 研究了s m a r a n d a c h e 最小公倍数( l c m ) 序列和其他一些相关序列的性质， 给出了包含这些序列的有趣的恒等式和较好的渐近公式，以及一些重要的极限定 理 2 s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 和幂函数s 尸( 佗) 在初等数论的研究中具有很重要 的地位本文利用初等方法研究了关于s m a r a n d a c h e 函数的几个方程的可解性， 同时还提出了一个公开问题 3 对于无穷级数的研究是很有意义的本文主要利用初等方法来研究包 含s m a r a n d a c h e 函数e p ( 佗) 的无穷级数和无理根s i e v e 序列的性质，并给出一些有 趣的恒等式及渐近公式 关键词：s m a r a n d a c h e 最小公倍数( l c m ) 序列；s m a r a n d a c h e 函数；渐近公式； 正整数解；无穷级数 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：二鼋辫导教师签名：主峭 q 蹿8 年月产日 2 锣罗年z 月f 口日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：潘幻串 。澎年歹月o 日i 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1研究背景与课题意义 数论，从字面上解释就是数的理论在数学中，研究数的规律，特别是研究整 数性质的数学，叫数论数论与几何学一样，是数学中最古老的分支，它在现代基 础数学研究中占有非常重要而又特殊的地位，其重要性表王见在数论在现代科学技 术，特别是通讯领域中的广泛应用而特殊性则体现在它的高深理论使得不少大 数学家敬而远之，不敢涉入，反而有不少业余数学爱好者，由于他们对数论问题的 理解能力有限，只看到数论中某些问题的表面，仅从它们的叙述简单，容易理解这 一点就对数论问题产生了很大的兴趣，进而跃跃欲试，想创造奇迹! 这种奇特的 现象也只有在数论研究中表现得最为突出，因此说数论研究也有着广泛的群众基 础 当自变量n 在某个整数集合巾取值，因变量可取实数值或复数值的函数可= 厂( n ) ，这种函数称之为数论函数，由于很多情形下它们可以看成是特殊的序列，因 而关于数论函数的研究也非常重要尽管很多重要的数论函数的单个取值往往很 不规则，然而它们的均值厂( 佗) 却体现出很好的规律性，因而数论中对数论函 函。 数性质的研究经常是在均值意义下进行的【3 】【4 】【1 2 】 关于一些特殊序列及函数的算术性质的研究一直以来都在数论研究中占有 十分重要的位置，许多著名的数论难题都与之密切相关冈而在这一领域取得任 何实质性进展都必将对初等数论及解析数论的发展起到重要的推动作用! 罗马尼亚数论专家f s m a r a n d a c h e 【2 2 】教授提出了1 0 5 个关于特殊序列、算术 函数等未解决的数学问题及猜想，随着这些问题的提出，许多学者对此进行了深 入的研究，并获得了不少具有重要理论价值的研究成果；而另二位加拿大数论专 家r k g u v 所著的初等数论中未解决的问题一书中的诸多问题也引起了数 论爱好者的研究兴趣对其中的一些问题进行研究，并给以一定程度上的解决， 是有趣并有一定的理论意义的研究课题 基于以上的想法，我们应用初等数论，解析数论等知识对他们提出的几个数 论中未解决的问题进行研究，主要研究了数论中包含s m a r a n d a c h e x 第二章数论的历史与现状 峰的念头，以至于误入歧途! 就拿数论中的几个著名难题为例，足亦说明这一现 象数论中最著名的难题之一是“哥德巴赫猜想”，它是说，任何个大于4 的偶 数都可以表示成两个奇素数之和，即2 = r + 恳，其中3 为整数，p 1 ，p 2 为 奇素数，这一猜想让小学生都能看懂，但让当今最伟大的数学家也无法证明几 乎每年都有不少数学爱好者从事“哥德巴赫猜想”这一问题的研究工作，前几天 在西安的今早报上还刊登了“破烂王解决了世界著名数学难题”一文，说一 个在西安检破烂的山东藉青年，初中文化程度，经过数年钻研攻克了世界著名数 学难题我们先不谈他论证过程的正确与错误，但至少可以肯定这位“破烂王 确实理解了哥德巴赫所提出问题的含意数论中像这样提法简单的大问题非常之 多，如孪生素数问题：我们把相差为2 的一对素数称为孪生素数，如3 ，5 ；5 ，7 ；1 1 ， 1 3 ：1 7 ，1 9 ；2 9 ，3 1 ；问这样的素数对是否有无穷多? 完全数问题：设6 ( n ) 表 示n 的所有正冈数的和，问是否有无穷多个数满足6 ( 礼) = 2 佗佗= 6 就是最小的完 全数，因为6 ( 6 ) = 1 + 2 + 3 + 6 = 1 2 = 2 6 这些问题都最容易理解，而最难以解 决! 在国内外奥数竞赛巾，大家也常常看到数论题目占有很大的比例，这是因为 数论题目易在表面，难在本质这类题目更容易发挥参赛者的聪明才智，体现他 们的数学才华正如许多数学名家所说，“用以发现数学天才，在初等数学中再 也没有比数论更好的课程了 此外，在数学竞赛中，对那些让人看了难以 理解的数学题目学生很容易放弃，而对数论方而那些简捷易懂的问题，学生不会 轻易放过从这一方面讲，数论题目在数学竞赛中更具有挑战性! 正因为如此，大 数学家高斯把数论问题比喻为数学中的皇冠，而又将“哥德巴赫猜想 比喻为皇 冠上的明珠! 2 3 数论研究的活力 数论可以说是数学中最“古老而又“年轻”的学科，之所以说它“古老 是冈为自从有了人类文明，就有了数论，因而它是最“古老”的数学而“年轻” 则是解释为数论这一数学分支目前发展的还很不完善，很不成熟，其中未解决的 问题很多，因而显得太“年轻”加拿大数论专家r i c h a r dk g u y 教授曾编写了 一本数论中未解决的问题一书，该书在八一年首次出版时大约有一百五十 页，而一九九四年第二次再版时，将第一次出版后己解决了的问题删去，又将随 后提出的新数沦问题加入，这样一来，第二版书的页码增加到二百八十页所以 说数论中新问题出现的数量远远大于旧问题解决的数量正是由于这一原因，才 使得数千年来人们对数论问题的研究始终保持兴盛不衰的势头! 如果一个学科中 没有许多未解决的问题，那这个学科的发展很可能走到了尽头，平面几何就是一 个很好的例证人们对数论问题很感兴趣，这不仅仅是想要解决某一言简意明的 难题，而更看重在解决某一数论难题时所产生的数学方法，正如人们对“哥德巴 赫猜想”的研究一样，虽然几个世纪以来这个问题没有得到彻底解决，但是在这 一问题的研究中，人们创造了“圆法”、“筛法”、“密率 等许多重要的数学 方法这些方法不仅丰富了数学的内容，而且极大的推动了数学的发展：同样对 4 这里a = m a x o l ，a 2 ，q 竹) 于是 ( l ( n ) ，s l o s ( 2 佗一1 ) ) = ( 2 小，2 孚 - 1 ，【1 3 ，砌叫) ( 1 ，3 ，2 孚 _ 1 m ，s ，胁叫) 1 3 ，2 孚卜 彻s ( 2 字 - 1 ) ， 即( 3 2 ) 式成立再结合( 3 1 ) 与( 3 2 ) 式，我们立即可得恒等式 l ( 2 礼)2 s l 0 s ( 2 n 一1 ) l ( n ) s l o s ( 2 旦：笋 一1 ) 。 于是完成了定理3 1 的证明 我们利用初等方法也容易完成定理3 2 的证明 令 l ( n ) = 1 ，2 ，n 】= 硝1 鹾2 碟”， 其中肌是l ( n ) 不同的素因子，o i 是所有172 ，3 ，扎标准分解式中阢的最高次幂 因此 l n ( l ( 礼) )l n ( 硝1 理2 碟“) 口) l n p p n = l n p + ( q ( p ) 一1 ) 1 n p p np n = 伊( n ) + ( a ( p ) 一1 ) 1 n p + ( a ( p ) 一1 ) l n p ， p 、历何p n 当鼽 、，佤，我们有q t = 1 否则若q i 2 ，则谚 佗，从而露i n ，这与p n 矛盾， 即( q ( p ) 一1 ) 1 n p = o 所以 何p n 1 n ( l ( n ) ) = p ( n ) + ( a p ) 一1 ) l n p p 何 又露 礼，因此啦 1 时收敛，当q 1 时发散故由正项无穷级数的比较法 n = 2 “ ? 当q 1 时，薹丽也憾而当。1 时，该级数发靓于是完成了 推论3 1 的证明 3 2一个包含s m a r a n d a c h e 最小公倍数( l c m ) 序列的 新的极限定理 3 2 1引言 对任意正整数n ，s m a r a n d a c h e 最小公倍数序列是由： 9 、l、l-、-、l-、 3515 3515 哟一哟妨一彬 i i c n c n 二0 二0 p p 既 n n 第三章关于s m a r a n d a c h e 最小公倍数( l c m ) 序列问题 s l s 一( 1 ) ，三( 2 ) ，己( 3 ) ，l ( n ) ，来定义的 这个序列前几项的值是：1 2 6 1 2 6 0 6 0 ，4 2 0 8 4 0 2 5 2 0 2 5 2 0 关于l ( n ) 函数的一些简单的算术性质，初等数论课本中有许多结果例如，对 任意正整数n ，玩c 来说，我们有 h 6 = 尚a n a 【n 司= 高高络， 其中( n 1 ，n 2 ，吼) 表示n 1 ，0 2 ，o 七一l 与吼的最大公约数 但是有关l ( 礼) 的深刻的算术性质，以前很少有人研究过，但是在初等数论 中，它却是一个非常重要的函数本小节的主要目的是利用初等方法来研究包 含l ( n ) 函数的一个极限问题，并给出一个有趣的极限定理即，我们将要证明下 面的： 定理3 3 ：对任意正整数佗，我们有渐近公式 ，、击 蚓。( 唧( - c 蹀) ) p n 2 其中表示对所有满脚n 2 的素数p 求积 从这个定理，我们立即得到如下推论： 推论3 2 ：在前面的记号下，我们有 熙鼢e ， 3 2 2定理的证明 在这一节，我们将利用初等方法完成定理的证明 令 l ( 仃2 ) = 【1 ，2 ，佗2 】= 硝1 p 雪2 p ；。，( 3 3 ) 是l ( 礼2 ) 的标准分解式，那么令= a 慨) 表示1 ，2 ，3 ，n 2 的分解式中鼽的最高 次幂由于 ( 丢，叫哟岫壹协 = m 型 = 坐耐 西北大学硕士学位论文 并且 l nl ( n 2 ) 一l n p = p n 2 = q ( p ) l n p 一l n p p n 2p 礼2 = ( a ( p ) 一1 ) l n p p n 2 = ( q ( p ) 一1 ) l n p + ( 口p ) 一1 ) 1 n p p s n 亏 n p n oo + ( o ( p ) 一1 ) 1 n p ( 3 4 ) 在( 3 3 ) 式中，很显然，如果n 鼽佗2 ，则q 慨) = 1 如果n ； 佗这与耽礼矛盾) 如果鼽n ；， 那么q ( 仇) 3 因此，由上述结论及引理，我们有 ( q ( p ) 一1 ) 1 n p = ( 2 1 ) l n p = l n p ， ( 3 5 ) n p nn p s n礼吾 p n ( q ) 一1 ) l n p = ( 1 1 ) l n p = o ， ( 3 6 ) 礼 p n 2钆 p n 2 三c q 却= 。卜三1 ) p n 罟 p s 竹 结合( 3 4 ) 一( 3 7 ) 式，我们立即可以得到 = 。熹) _ 0 ( 崩n n ) 邱 o ( 稍h ) + 1 n p n 3 口 n o ( 佗；1 nn ) + 1 n p 一l n p ，二 p t 1 3 。( 而nn ) 。卜( 掣) ) 弗一。卜( 揣) ) 卜( 篙) ) 1 1 p h一 碟毗2p矸 n = = i i = p n nln 第三章关于s m a r a n d a c h e 最小公倍数( l c m ) 序列问题 即 l ( 佗2 ) p p n 2 l = 唧m 卜，n 娶0 ) = e x p = e x p 一唧* p ( 篙) ) = e 【1 + 0 ( 唧( 搿) ) 。篙) ) 这就完成了定理3 3 的证明 由定理3 3 ，当佗_ 时，我们立即可以得到推论3 2 的结果 3 3 3 3 1 一个包 引言 含s m a r a n d a c h el c m 比率数列的极限问题 对任意正整数佗，我们令( z l ，z 2 ，z 礼) 和k l ，z 2 ，z 竹】分别表示任意正整 数z 1 ，z 2 ，z n 的最大公约数和最小公倍数，7 为一正整数，再令 t ( r ，n ) =h 礼+ 1 ， ，n + r 一1 】 1 ，2 ，r 】 则称t ( r n ) 为r 阶s m a r a n d a c h el c m 比率数列( 参阅文献【5 】) 。显然t ( r ，诧) 和l ( 礼) 是 两个数论函数关于它们的算数性质，有不少人进行过研究，如乐茂华教授( 参阅 文献【6 】) 研究了t ( 3 ，佗) 和丁( 4 ，佗) 的计算问题，给出了计算公式 及 t ( 3 ，礼) = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ，n o ( m o d2 ) ； 矗n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ，n 三o ( m o d2 ) 1 2 3 ) ； 3 1 d d o o m m ，l， 0 0三 n n 、l，、l， 3 3+ + n 仃，j、l，、， 2 2 + + 佗 佗 j，、i，、l， 1 1 + + 佗 礼 ，、 n n ，1l = 、l ， n4 t 西北大学硕士学位论文 王挺( 参阅文献【7 】和文献【8 】) 给出了t ( 5 ，n ) 和丁( 6 ，n ) 的计算公式从理论上讲，对任 意止整数r ，我们都可以计算出丁( r ，n ) 的精确值但是当r 较大时计算很复杂因 而不好用数学公式表达出来! 然而t ( nn ) 的计算问题非常重要，因为它可以揭示 最小公倍数的许多性质本小节主要利用初等方法研究极限式l i mf 丁( 佗，礼) 1 去的 渐近性质，并给出一个有趣的渐近公式，从而推出一个包含s m a r a n d a c h el c m 数 列己( 礼) 的一个极限定理即就是证明下面的： 定理3 4 ：对任意给定的正整数佗，我们有渐近公式 t 帆稿一e + 。卜( 篙) ) ， 其中c 是一个正常数，e x p ( ) = e ! ， 从这个定理，我们立刻得到下面的： 推论3 3 ：在前面的记号下，我们有极限式 1 i m 【t ( n ，n ) 音= 1 i m l ( 佗) 】寺= e 3 3 2一个引理 为了完成定理的证明，我们需要下面一个引理 引理3 3 ：任意正整数n ，我们有恒等式 【1 ，2 ，2 佗一1 】= h ，n + l ，2 n 一1 】 证明：因为对任意正整数1 i 佗，在连续的佗个正整数n ，n + 1 ，2 他一1 中 至少有一个数能够被i 整除，所以我们有ii 佗，扎+ 1 ，2 n 一1 】所以正整数1 ， 2 ，钆的最小公倍数也整除h ，n + 1 ，2 佗一1 】，即就是【1 ，2 ，n 】ih ，佗+ 1 ，2 佗一1 】注意到对任意正整数。及6 有，n 6 = o ，6 】( n ，6 ) ( 参阅文献【5 】) 且当。整 除6 时有 o ，6 】= 6 ，( n ，6 ) = n ，以及 1 ，2 ，3 ，s ，s + 1 ，t 】= 【 1 ，2 ，s 】， s ，s + 1 ，钏， 从而我们有 1 ，2 ，3 ，2 礼一1 】= = 【1 ，2 ，几】，h ，n + 1 ， 【1 ，2 ，n 】 礼，礼+ l ， ，2 n 一1 】 ，2 n 一1 】 ，2 礼一1 】) ，2 n 一1 】 ( 1 ，2 ，礼】， 佗，礼+ 1 ， 1 ，2 ，佗】 佗，n + 1 ， 。1 啊i 厂 = 沁，礼+ 1 ，2 n 一1 】 于是证明了引理3 3 ，其中e x p ( 秒) = 1 3 第三章关于s m a r a n d a c h e 最小公倍数( l c m ) 序列问题 3 3 3 定理的证明 现在我们给出定理3 4 的证明显然对任意正整数n ，由引理3 3 ，我们有恒等 式 t 彬= 鼍料 言 = 钭 击 = 等r 8 ， 在( 3 8 ) 中令 l ( 2 佗一1 ) = 1 ，2 ，2 佗一1 1 = 群1 砖2 砰s 及 l ( 佗) = 【1 ，2 ，翻= 彳1 世谬毋 分别是l ( 2 n 一1 ) 与l ( 佗) 的标准分解式，且q i = o 慨) 和岛= p ( 功) 分别是1 ，2 ， 2 佗一l 的标准分解式中阢与1 ，2 ，n 的标准分解式中功的最高次方幂因为 ( 等) 丢= e x p ( 三一n 等) 一( 扣砌h n 酬) 而 l n ( 三( 2 佗一1 ) ) 一l n ( l ( n ) ) = l n ( 硝1 p 呈2 露碟8 ) 一l n 毋谬毋) = q ( p ) l n p 一p ( p ) l n p p s 2 n lp n = l n p + ( q ( p ) 一1 ) l n p p 2 n lp 2 n 一1 睡却+ 驴沪n 0 = l n p + ( 口) 一1 ) l n p + ( q ( p ) 一1 ) l n p p s 2 n 一1p 、夏i 而、夏i i ：了 p 2 仃一l 一1 n p 一( 仞) 一1 ) l n p 一( 卢( p ) 一1 ) l n p ( 3 1 0 ) p np 、历、历 2 礼一1 这与疗2 几一1 矛盾同理，当瓶 0 使得每一个奇数c 1 一定可表为 三个奇素数之和 这个引理被称为是著名的三素数定理 引理1 可扩展为下面的：存在一个绝对常数c 1 0 使得每一个奇数帆c 1 一 定可表为2 七+ 1 个奇素数之和 引理4 2 【1 2 】：存在一个绝对常数c 1 0 使得每一个足够大的偶数 c 1 一 定可表为一个素数和一个素因子个数不超过两个的数之和 这就是著名的陈氏定理 4 1 3定理的证明 现在，我们就用两个引理来证明定理4 1 当m 和后为奇数时，且七3 令m = p 宇1 p 呈2 赡s 是m 的标准分解式，则对 足够大的素数p ，由著名的三素数定理，存在素数口1 ，9 2 ，口。满足方程： 硝1 + 1 p 呈2 “碟8 + 1 尸= 口1 + 口2 + + 饥( 4 2 ) 在方程( 4 1 ) 中取吃= 吼( z = l ，2 ，角) ，由s p ( n ) 的性质和方程( 4 2 ) 我们立即 得到 s p ( q 1 ) + s p ( q 2 ) + + s 尸( 岱) = 口1 + q 2 + + 鲰= p 宇1 + 1 p 呈2 + 1 碟。+ 1 尸 = 硝1 p 呈2 瑶8 p 1 耽p 。尸= m p 1 沈仇p = m s p ( 硝1 + 1 理2 + 1 瑶s + 1 p ) = 仇s p ( 9 1 + 口2 + + 饥) 即就是，当m 和尼为奇数时，方程成立 当m 为奇数，尼为偶数时，我们分两种情况讨论： ( a ) 七= 2 令m = 省1 西2 p 岩。表示m 的标准分解式，则对足够大的素数p ， 由著名的陈氏定理有 或者 2 p 宇1 + 1 砖2 + 1 砖。+ 1 p = 9 1 + 9 2 蝣1 + 1 店2 + 1 砖8 + 1 尸= q l + q 2 q 3 1 8 西北大学硕士学位论文 4 2 2定理的证明 在本节中我们首先完成定理4 2 的证明设n = 硝1 砖2 碟是n 的标准素因 数分解式，那么就有 s ( 佗) 2 燃 s ( 鼽啦) ) = s 扩) ， 其中s ( 醒) = s ( 矿) ，1 i 七 对于方程 s ( 1 2 ) + s ( 2 2 ) + + s ( n 2 ) = s ( 兰鱼尘掣) ， 显然n = 1 是方程一个解若n 1 ，我们则分两利- 情况讨论： ( i ) 若n = 2 ，则s ( j 2 ) + s ( 2 2 ) = s ( 1 ) + s ( 4 ) = 5 并且s ( 兰鱼型掣) = s ( 5 ) = 5 ，所以n = 2 是方程的一个解 ( i i ) 如果n 3 ，那么s ( 礼2 ) 3 由s ( n ) 的性质可知 s ( 1 2 ) + s ( 2 2 ) + + s ( n 2 ) 1 + 4 + 3 ( 他一2 ) = 3 n 一1 又因为 ( n ，n + 1 ) = 1 ，( 钆，2 佗+ 1 ) = 1 ，( 2 佗+ 1 ，扎+ 1 ) = 1 所以我们有 s ( 兰尘三掣) m a x s ( n ) ，s ( 死+ 1 ) ，s ( 2 n + 1 ) ) 2 n + 1 由这个方程可得3 n 一1 2 扎+ 1 ，即n 2 在这种情况下，方程无解 结合这两种情况，立即可得方程s ( 1 2 ) + s ( 2 2 ) + + s ( n 2 ) = s ( 丛竺上等望旦) 有且仅有两个正整数解，它们分别是佗= 1 ，2 这就完成了定理4 2 的证明 接下来我们来证明定理4 3 对任意给定的正整数后，我们将分三种情况来讨 论方程 s ( m 1 ) + s ( m 2 ) + + s ( m 后) = s ( m 1 + m 2 + + m 七) ( i ) 如果尼= 1 ，那么显然方程有无穷多个正整数解 ( i i ) 如果后= p ，p 是一个素数，那么我们设m l = m 2 = = 仇知= 1 ，我们 有s ( 1 ) = 1 ，且s ( m 1 ) + s ( m 2 ) + + s ( m 七) = p = s ( p ) = s ( m 1 + m 2 + + m 后) 满足方程 ( i i i ) 若后 1 且后不是素数，则由初等数论中的结果可知必存在一素数p 使 得后p 2 七设p 一忍；f ，其中1 f 南若令m l = m 2 = = m l = 2 ， m z + 1 = m z + 2 = = m 知= 1 且s ( 1 ) = 1 ，s ( 2 ) = 2 ，则我们有 s ( m 1 ) + s ( m 2 ) + + s ( m 七) = 2 f + ( 七一f ) = f + 后= p 2 1 西北大学硕士学位论文 ( c ) 任意偶数后4 且任意正整数m ； 则方程 m s ( m 1 + m 2 + + m 七) = s ( m 1 ) + s ( m 2 ) + + s ( m 惫) 有无穷多组正整数解( m 1 ，m 2 ，m 七) 徐哲峰博士( 参阅文献【1 9 】) 研究了s ( n ) 值的分布性质，并且获得了一个深刻的 结果即，它证明了下面的定理： 令p ( 礼) 表示n 最大的素因子则对任意实数z 1 ，我们有渐近公式 似旷酬2 ：辔+ “熹i n 1 ，我们有渐近公式 ( ( n + 1 ) m 一叫咖) = 击鼎蚪d ( 扩击) 高楠在文献【2 5 】和文献【2 6 】中也研究了矿。( n ) 和矿。( 6 ( n ) ) 的均值性质，并且获得了 两个有趣的渐近公式： 驴，嚣譬离叫+ 学) 刑( 声篙 和 。 芝矿( b ( 蝴2 棼等z + 。( 步) 其中e 是任意固定的正数，7 是一个e u l e r 常数 吕川( 参阅文献【2 7 】) 利用初等和解析方法研究了e p ( n ) 垆( 佗) 的渐近性质并 n z 获得了一个有趣的渐近公式 三嘶川2 毒护+ o - ( 伊) 令几1 = 册2 ，则 因为 所以 即 因此 r 旦 ：一n s m ：1 ， 1 n i 0 0 西北大学硕士学位论文 r 旦 红妒s m = 1 1 1 o 歹垒 ( 1 一刍) 薹 o o r m 乙丽2 m ：1 ， 三另卜，一至 o 。 ， = 薹品( 似h 刍) ( ( s ) o o ( 1 一嘉) 薹 m + l p ( m + 1 ) s p ( m 十1 ) s 1o 一+ 矿一 m = l 虽土 z ，n s m ：1 ， m + 1 p ( 州1 ) s p ( m + 1 ) s 矿( 1 一 现在，结合( 5 1 ) 与( 5 2 ) 式，我们有下面的恒等式 n s o o 2 7 1 仡i 1 一 n 1 = 1 p i n l o o m 矿8 p ( 刑。1 ) s ( 5 2 ) 、ll， 一5 2泖 、iii， 1 一嵋 篙 渊 一一 + 1 一矿 = = 旦矿 瞄 一 + 1 一矿 l i 旦护 州 1 一矿 一 旦矿 悄 一| 矿 1 一矿 i i 土矿 一 l l 旦矿 、llli， 1 一嵋 槲 兰l 矿 一 脚 第五章无穷级数及其性质这就完成了定理5 1 的证明 刮s ，( 1 一刍) 薹芳刮s ) ( 1 - 刍) 南( ( s )= 一 p 8 15 1 3 推论的证明 注意到昂( n ) 的定义和性质，我们有薹南= 薹南三1 ， 昂(n)=mp 并且也有子型：尘型鲁n 8急( 唧) 3 因此，由e p ( n ) 的定义，容易推出( 53) 薹掣= 薹南三l ，c 5 卅昂( 几) = m p 这样就完成了羚薹薯。事争黜鬻。 婴i 誊! 一羹冀 裔薹霪 萋! 睡i 一鱼 耋蓍；菱羹奏耋羹蓁雾! 蒌墓堑熏蓁蓑羹曼 萋| 霎i 妻；矿雾 黼托蕊羹藁套薹爨萼j 对垡墓鬻矍弱潆羹i 刘拳i 豢；崭萼lg 薹：羹萎羹冀霉希一生 雾萋莩雾当旨? 赢掣；塞孺蓬彳磕芥照型誊覆蘩蒂宙； 意霉鹱萎碧萋荔薹但移姿冀= 一鬟雾妻薹冀盍墓| | 薹霎鍪霸i 、i 萎蓦蠢i ! 姜；耄i 霎萎j 差羹i 薹薹；一i i 一筮甜 研究无理根s i e v e 序列的性质关 第五章无穷级数及其性质 引理5 1 得证 2 乙肛( d ) l 1 蜓以 ，n 壶 2 三剐，( 嘉州) = t ( 薹警一妾警) + 。( 善| ) = z ( 善+ 。( 去) ) + 。( 叼 5 2 3定理的证明 在本节中，我们将利用引理5 1 来完成定理5 2 的证明由集合4 的定义及上述 引理有 1 o o o a = z 一1 = z 一f p ( 。) l z i ，z 一z 一”、o n j 。 2 七髓2 n 影互 l p 【n j i o 七2 o 2 = z 一忡) | _ 忡) i + d ( z 1 n z ) 2 凸历 2 口 z = z 一善红一昙z + o ( 矗nz ) 2z j 、z j z 3 十u iz 4 l nzj 7 r 7 r 4 这样就完成了定理5 2 的证明 5 2 4几点注释 如果我们对和式l p ( n ) i 使用更深刻的结果，则我们可以得到关于均 值1 的一1 个更强的渐近公式例如，假定r h ，则有( 参阅文献【3 】中的定理3 ) n 正 力二4 其中e 是任意固定的正数 i p ( n ) = 芸o ( z 蠢牝) ， n t 西北大学硕士学位论文 利用这个结果，我们立即可以推出，假定r h ，则我们有渐近公式 薹l 一鲁办一一一一+ o ( 痔) ， 其中e 是任意固定的正数 3 1 西北大学硕士学位论文 致谢 首先要感谢的是我的导师张文鹏教