（基础数学专业论文）关于数论函数的方程及均值估计.pdf

中文摘要 解析数论是数论中以解析方法作为研究工具的一个分支，对一些数论函数 性质的研究在数论研究中占有很重要的地位，许多著名的数论难题都与之密切 相关，因而研究它们的性质具有很大意义 罗马尼亚数论专家f s m a r a n d a c h e 1 教授在只有问题，没有解答! 和另 一位加拿大数论专家r k g u y 所著的数论中未解决的问题中都提出了未 解决的数论问题，许多学者对此进行了深入的研究，并获得了不少具有重要理 论价值的研究成果，但是还有一部分问题有待于我们进一步去研究解决 本论文基于以上想法，利用初等方法及解析方法研究了一些包含 s m a r a n d a c h e 函数的方程和混合均值，以及一些特殊函数的均值估计具体来 说，本文的主要成果包括以下几方面： 1 研究了f s m a r a n d a c h el c m 函数s l ( n ) 的相关知识，并分别对 p ( n ) s l ( n ) 和p ( n ) s l ( n ) 进行均值估计，得到两个较好的渐近公式： 三跏脚印3 善惫+ 。( 熹) ，l zl = l 、。7 薹砌脚陋3 k 丽b i + 。( 熹) n zl = l 、 2 利用初等方法研究了包含s m a r a n d a c h e 函数的方程求解问题，即s ( 霭) 2 + s ( n ) = k n ，给出了有限个形如扎= p n l 的正整数解，其中p = k n l 一1 是一个素 数 3 利用初等方法研究了关于n ! 的k 次补数函数，并得到一个有趣的渐近公 式 h = 佗卜薹高) + 0 卜p ( 尚) ) 这是关于扎的k 次补数函数的进一步升华 关键词 s m a r a n d a c h e 函数，渐近公式，方程，正整数解，均值 u a b s t r a c t ( 英文摘要) a n a l y t i cn u m b e rt h e o r yi sac o m p o n e n to fn u m b e rt h e o r y , i t ss t u d y i n g i m p l e m e n ti sa n a l y t i cm e t h o d m e a nv a l u ep r o b l e m so nt h ep r o p e r t yo fs o m e a r i t h m e t i c a lf u n c t i o n sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d yo fn u m b e rt h e o r y , a n dt h e yr e l a t ew i t hm a n yf a m o u sa r i t h m e t i c a lp r o b l e m s t h e r e f o r e ，i ti sv e r y s i g n i f i c a n tf o ru st os t u d yt h e i rp r o p e r t i e s a m e r i c a n - r o m a n i a nn u m b e rt h e o r i s tf l o r e n t i ns m a r a n d a c h ea n dr k g u y f r o mc a n a d a p r o p o u n d e ds o m eu n s o l v e dq u e s t i o n so nn u m b e rt h e o r y i n “o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ! ”a n d “u n s o l v e dp r o b l e mi nn u m b e rt 瞻 o r y ”r e s p e c t i v e l y m a n yr e s e a r c h e r sm a d ei n - d e p t hs t u d yo nt h e s eq u e s t i o n s ， a n dh a v eo b t a i n e ds o m ei m p o r t a n ta n dv a l u a b l ea c h i e v e m e n t s b u tt h e r ea r e s t i l lal o to fp r o b l e m st ob es o l v e d ，w h i c hr e q u i r ef u r t h e rs t u d y i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w eu s ee l e m e n t a r ym e t h o d sa n da n a l y t i cm e t h o d s t os t u d ys o m ep r o b l e m sw h i c hw e r e g i v e ni n “o n l yp r o b l e m s ，n o ts o i u - t i o n s ! ”a n d “u n s o l v e dp r o b l e mi nn u m b e rt h e o r y ”e s p e c i a l l yt os t u d ye q u a - t i o na n dt h em e a nv a l u ei n v o l v i n gs o m es m a r a n d a c h ef u n c t i o n s ，a n dt h em e a n v a l u eo fs o m es p e c i a lf u n c t i o n s i nd e t a i l s ，t h em a i na c h i e v e m e n t sc o n t a i n e di n t h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： 1 s t u d yt h ep r o p e r t i e so ff s m a r a n d a c h el c mf u n c t i o ns l ( n ) a n dt h e m e a nv a l u eo fp ( n ) s l ( n ) a n dp ( n ) s l ( n ) r e s p e c t i v e l y , a n dg e tt w oa s y m p t o t i c f o r m u l a sf o rt h e m ： 跏脚sln p ，i = 1 ，2 ，r 的正整数此外，文献 7 】还研究了s l ( 佗) 的均值问题， 证明了如下的结论： 定理3 1 ：对任意给定的正整数忍及任意大于2 的实数z ，我们有： = f _ 竺l n x + 妻蔫+ 。( 熹) ， 其q ，c ( i = 2 ，3 ，七) 为可计算的常数 定理3 2 ：设后2 为给定的整数，则对任意大于1 的实数z ，我们有： 驴m 丽7 r 4 未+ 鼍l n ix 2 + 。( 熹) ， 其中d ( n ) ) - g d i r i 如2 战除数函数，也就是所有正因数的个数d ( n ) = 1 ，q ( z = 2 ，3 ，纠均为可计算的常数 为了证明以上两个定理我们需要几个引理 3 1 2 引理 引理3 1 ：素数定理 巾，= 妻最+ 。( 赢) ， 其中q ( i = 2 ，七) 为常数且c 1 = 1 证明：见文献【2 】 引理3 2 ：a b e l 等式 对任一数论函数o ( 扎) ，4 a ( x ) = o ) ，其中，当z 1 时，a ( x ) = 0 假 n z 设，在区间阿，z 】有连续导数，其中o y z ，则有 y 三n 窭咖小n ) - 鲍小圹的小沪z 删净 o 。f 7 第三章包含f s m a r a n d a c h el c m 函数的混合均值 证明：见文献 2 】 3 1 3 定理的证明 下面我们证明定理3 1 事实上，对于任意大于1 的正整数n ，设n = p 口1 p 雪2 p 笋7 为佗的标准分解式，则由性质2 我们可知 现在来考虑和式 s l ( n ) = m a x p 芋1 ，p 呈2 ，霹7 ) ( 3 4 ) s l ( n ) = s l ( n ) + s l ( n ) ( 3 5 ) n zn e an e b 这里我们把区间f 1 ，瑚内的整数分成两个集合a 和b ，集合a 表示所有的正整 数他 1 ，叫，并且满足这样的条件：存在一个素数p 使御in ，并且何 p 。集 合b 表示区间 1 ，z 】内的所有正整数礼芒a ，从a 的定义和( 3 5 ) 式可得 s l ( n ) =s l ( n ) = s l ( n p ) n e an z 1 ：r n x p i n ，瓦 p n p = p = p ( 3 6 ) p n _ x n s 、，在n p 嚣 n p 利用引理3 2a b e l 等式和素数定理可得 住篆罟p 2 瓢) - n r ( n ) - l 嚣7 1 咖 = 三2 n 2i n x + 妻裟n 2l n + 。( 纛2 l n 七+ 1 ) ，慨7 ， 。 j 。z。、n z j “7 其中蚋可计算的撼同时注蒯三o o 茅1 = 萼且薹坐n 2 对于所祧= 2 ，3 ，4 ，蠡是收敛的，于是我们有 s l ( n ) n a = 磊x 2 再+ 萎k b i x 2i n n + 。( 纛) ) 8 西北大学硕士学位论文 = 西7 i 2 面x 2 + 萎k 而c x 2 l n + 。( 纛) ， ( 3 8 ) 1 2l i l z 鲁 z 一l n 蚪1z ， r 7 这里q = 2 ，3 ，七) 为可计算的常数 现在我们估计和式在集合b 中的情况，注意到对任意的正整数q ，级 数三寿是收敛的 于是从( 3 4 ) 式和集厶脚定义可知 s l ( n ) = p + 矿 n 6 b n x n z s l ( n ) = p , p l p + 矿 n z2 a _ l nzp zn p a z p l n , p v 氧 ；j ；o p + 矿 n z p m i n n ，嚣) 2 。_ i n x n z p ( 吾) 丢 墨垒 z 2z 3 - + - l i lz i nzl n z z ； ( 3 9 ) z i ( ) 结合( 3 5 ) ，( 3 8 ) ，( 3 9 ) 式, - - i p a 推出 晌z s l ( n ) = 西t f 2 面x 2 + 壹i = 2 垡l n i x + 。( 熹) ， 这里q ( i = 2 ，3 ，) 为可计算的常数这就证明了定理3 1 ，同时我们还可以从 定理3 1 推出下面一个结论： 推论3 1 ：对任意大于1 的实数z ，我们有 s l = 篙! i n x + 。( 熹) 下面我们给出定理3 2 的证明事实上在和式 s l ( n ) d ( n ) ( 3 1 0 ) 中我们利用定理3 1 的证明中所用的方法将所有1 佗冬z 分成两个集合c 和d ， 于是利用性质2 我们有 s l ( n ) d ( n ) =s l ( n ) d ( n ) = s l ( n p ) d ( n p ) n e cn z n p x p i n ，、元 p n p 9 第三章包含f s m a r a n d a c h el c m 函数的混合均值 = 2 p d ( n ) = 2 d ( n ) p ( 3 1 1 ) r 巾s 。n z n p 詈 n p 设丌o ) = 1 于是利用引理3 2 及素数定理我们得到下面的表达式： p o n 萎署p2 一x 2 + 萎k 丽b i x 2i n n + 。( 熹) 又蝴u ：薹嘉= 萼和薹警疆7 1 - 4 嗣3 m 脚婀得 三跚州c 几，2 爵x 2 急万d ( n ) + 磊k 丽2 a i x 2 i i n n + 。( 禹) = 芸熹+ k 蕊b i x 2 + 。( 熹) ， 慨 其中6 t 为可计算的常数 现在我们来讨论集合d 的情况，由( 3 2 ) 式及集合d 的定义知，对任意 的几d ，当他的标准分解式为佗= p 芋1 露2 霹r 时，我们有两种情况s l ) ： 肼何或者 s l ( 扎) 2 盟罅) = ， 这里啦2 于是由此分析我们得到 s l ( 礼) d ( 礼) d ( 扎) 俪+ ( q + 1 ) d ( n ) p a n 6 d n p 2 d ( 佗) 何i n n z ；i n 2 z 7 ( 3 1 4 ) n z 其中我们用到渐近公式 d ( n ) = x l n x + d ( z ) n o 由集合c 和d 的定义并结合( 3 1 1 ) ，( 3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) 式可以得到 s l ( n ) d ( n ) = 乩( 亿) d ( 佗) + s l ( 佗) d ( n ) n 1 ，我们有渐近公式 跏脚向3萎kn 1 ，我们有渐近公式 晌z p ( n ) s l ( n ) = x 3 z 七- - 扣- - i = 1。( 最) ，n 1 ，令钆= 硝1 p 尹露。为仃的素数幂分解式，我们有 现在我们考虑和式 s l ( n ) = m a x p q l ，p 呈2 ，砖。，( 3 1 6 ) p ( n ) s l ( n ) n z 1 1 ( 3 1 7 ) 第三章包含f s m a r a n d a c h el c m 函数的混合均值 我们首先把【1 ，z 】的所有整数n 分成如下a ，b ，c 和d 四个子集： a ：p ( n ) 办和佗= m p ( 佗) ，m p ( 扎) ； b ：n 尸( n ) 、元和n = m p 2 ( n ) ，m n ； c ：几否1 p 1 p ( 佗) v - a 和扎= m p 1 p ( 扎) ，其中p 1 是一个素数； d ：p ( n ) n 显然，如果孔a ，从( 3 1 6 ) 式可以推出s l ( 凡) = p ( 凡) 因此，由素数定理， 我们可以得到： p ( n ) s l ( n ) = p ( 妒= 矿= p 2 n e a n e a m 讧 m p x m 西r e p m p 融景) 一e2 州州舢c 叫 连i n + 。(2 景一 = 邶h 3 善 蕊b i + 。( m 3 1 n k + 1 里 仃l l n k + l z 其中( ( s ) 是m e m a n n ( 函数，6 1 = 三，以( i = 2 ，3 ，后) 是复常数 类似的，如果佗c ，我们也可以推出s 己( n ) = p ( 佗) ，因此 p ( n ) s l ( n ) = p 2 = 矿 m p l p _ x m p l p m z m p l 、，傈p 1 p 磊 m 臼m p l 据 其中鬼( i = 1 ，2 ，) 是复常数 品丌( 赤) 掣+ 0 i n 。景。 f + 0l l 1 2 i n k + 1 z ) ) ( 3 1 8 ) 一p 1 2 7 r ( p 1 ) _ ，m v - - 南m2 可丌c y ，d 刁 m 3 i n 七+ 1 景 ( 3 1 9 ) 七汹 兰舻 一 嘶 = 唧 西北大学硕士学位论文 现在我们估计集合b 中的项，用证明( 3 1 8 ) 式同样的方法，可以得到： p ( n ) s l ( n ) = p 3 = 矿 n 日 m 矿。 m s z r e p 1 ，p z 结合式( 3 1 7 ) ，( 3 1 8 ) ，( 3 1 9 ) ，( 3 2 0 ) ，( 3 2 1 ) ，我们立即得到渐近公式 p ( n ) s l ( n ) = p ( n ) s l ( n ) + p ( n ) s l ( n ) n z n e an 6 b + p ( n ) s l ( n ) + p ( n ) s l ( n ) “喜惫+ 。( 熹) - 一一l n 十、l n t 1m ， 其q a p ( n ) 是n 的最大素因子，e _ 4 ( i = 2 ，3 ，动是复常数 这就完成了定理3 3 的证明 下面我们利用类似方法也很容易完成定理3 4 的证明 首先把 1 ，z 】的所有整数礼分成如下互，b 一，c 一，d 一四个子集五几= 1 ；雪： 礼= 矿，o t 1 ；e ：佗= p 宇1 p 呈2 ，o t i 之1 ，( i = 1 ，2 ) ；1 9 ：佗= 硝1 绣2 赡，a t 1 ， 1 3 第三章包含f s m a r a n d a c h el c m 函数的混合均值 ( i = 1 ，2 ，s ) ，s 3 其中p ( 扎) 为n 的最小素因子，p ( 1 ) = 0 和s l ( 1 ) = 1 ，于是 p ( 几) s ( n ) = n 2 “巾，一z 2 y r ( y ) d y + 0 ( 2 曼 = z 2 丌( z ) 一正z2 y 丌( s ) d y + 0 ( z 1 ) 一互 妻i = 1 土 i l lx + 。( i n k + 1 z z p 9 丢产) 其中6 1 = j 1 ，玩。= 2 ，3 ，后) 是复常数 如果n 亏，于是佗= 硝1 理2 ，其中p l p 2 ，以及s l ( n ) 何，我们有 p ( n ) s l ( n ) =s l ( p 芋1 p 跏1 n 6 e 贫- 霹2 9 p 呈2 p t + 硝1 p x p ；1 扣劣2 孝 l l z i 露2 扣p ；1 孝 ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 最后，我们估计西中的项，即n = 衍t 砖。露，其中s 3 因此n s l ( n ) 何，以及p ( n ) n ，于是 p ( n ) s l ( n ) n n ；属1 1 n 6 d n 0 并且( 后，h ) = 1 ，则在数y u n k + h ，n = 0 ，1 ，2 ，中存在无限 多个素数 i z n l 月：见文献 2 】 引理4 2 ：设p 是素数，则对任意正整数k ，我们有s 渺) s 切当七p 时，则 有s ( p 七1 = k p 证明：见文献 1 2 】， 4 3 定理的证明 得 在本节中我们将完成定理的证明事实上，根据函数s ( n ) 的定义有p q l 扎，使 s ( n ) = s 扩) = m p ， 其中仇是正整数，由引理4 2 - 7 知m 口 设佗= p a n l ，其中，n 1 ) = 1 当o z 2 时，则有 m 2 p 2 + m p = k p 2 凡1 ， 于是p 2 i m 铲+ m p ，因蚴i m ，即就却m 口 以此类推，一定存在最大的正整数u ，使得矿l m ，则m 是有限大的正整数，事 实上是矛盾的 1 8 西北大学硕士学位论文 因此，o l = 1 ，m = 1 ， p 2 + p = k p n l ， 或p = k n l 一1 ，由引理4 1 ，存在无限多个这样的素郯，故该方程有无限多个正 整数解礼= 册1 = ( k n l 一1 ) 佗1 这就完成了定理的证明 1 9 第五章关于凡! 的七次补数函数 5 1 引言 第五章关于佗! 的k 次补数函数 设k 2 为任意的自然数r n 为任意的正整数，若b k ( n ) 是使得n b k ( n ) 为一完全k 次幂的最小正整数，则称b k ( n ) 为k 次幂补数函数特别地， 6 2 ( 佗) 、6 3 ( 他) 、6 4 ( 佗) 分别被称为平方补数函数、立方补数函数和四次补数 函数在文献 1 】中，f s m a r a n d a c h e 教授建议我们研究k 次幂补数函数的性质 关于这个函数的初等性质，许多学者已经研究过，并且得到了一些有用的结果 例如，张文鹏教授在文献 1 8 】中研究了序列值 弋- 4 - 0 、0 1 r： 惫( n 。( n ) ) 8 其中s 是复数h _ r e ( s ) 1 ，= 2 ，3 ，4 ，同时证明了 # 1 ( 2 ( 2 s ) f ：竺! 鲁( n 。6 2 ( 佗) ) 8 ( ( 4 s ) 其中( ( 5 ) 是r i e m a n n z e t a 函数 付瑞琴在文献【1 9 中讨论了l n6 ( 佗! ) 的渐近公式，得出 k 恻o 。卜唧( 器) ) ， 其中佗2 是一个正整数，且a o 是一个常数 目前，关于k 次补数函数的性质知之甚少在这一小节中，我们将利用初等 方法来研究6 七( n ! ) 的渐近性质，并获得l n b k ( n ! ) 的一个有趣的渐近公式即我们 将要证明下面的结论： 定理5 1 ：对于任意的自然数k 2 和任意的正整数n ，我们有渐近公式 n 删= 扎( k - z 薹d ( k d l + 1 ) ) + d 卜( 蒜) ) 其中a o 是一个常数，且e x p ( y ) = 纱 西北大学硕士学位论文 5 2 几个引理 为了完成定理的证明，需要下面两个简单的引理 引理5 1 ：令n ! = p 孑1 建2 赡s 为n ! 的素数幂分解式，因此我们有计算式 坛( n ! ) 其中阶函数被定义为： = k 浒1 ) b k 雠2 ) b k 眩8 ) = p ，) 谬d ( p 2 ) p 多d 慨) 凹d 慨，： 七kj - 2 l ，, t i f f q o e ；i = = 而k m m + + 2 1 ； 0 ， f f c t i = 尼沏+ 1 ) 其中m = 0 ，1 ，2 ， 证明：见文献 2 0 】 引理5 2 ：对任意的实数x 2 ，我们有渐近公式 卜匝l n p - x + o 卜( 啬, t l l i t , ) ) p 0 是一个常数，且e x p ( y ) = 矽 证明：见文献【4 ，2 1 】 瓯3 定理的证明 在本节中，我们将完成定理5 1 的证明首先根据引理5 1 我们有 i nb k ( n ! ) = i n ( k ? 1 ) 如雠2 ) k 蝣。) ) = o r d ( p ) i n p p s “ 埘o r d ( p ) 2 1 第五荤关于礼! 的良次补数函数 = ( 七一1 ) i n p + ( k - 2 ) h a p + + i n p p s n 詈 p 鸶 詈 0 是一个常数，j l e x p ( y ) = e v 这就完成了定理的证明 2 2 第五章关于住! 的k 次补数函数 总结与展望 数论中有许多尚未解决的问题，新问题的出现比老问题的解决更 快在( o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o i l s ! 一书中，罗马尼亚著名数论专 家f s m a r a n d a c h e 教授提出了1 0 5 个有待解决的数论问题；而另一位加拿大 数论专家r k g u y 所著的数论中未解决的问题一书中的诸多问题也引起 了数论爱好者的研究兴趣本论文主要研究了其中的几个问题，用初等方法和 解析方法得出了一些较好的结果然而还有许多问题期待我们去解决针对本 文还需要我们进一步研究的问题有： 1 ：求考的渐近公式，这是一个公开问题 2 ：求方程 s ( z ( n ) ) = z ( s ( n ) ) 的所有正整数解我们猜想此方程最多有有限个正整数解 这些是作者继续研究的对象，彻底解决或者做出实质性的进展都将是我们 最终的目标! 参考文献 参考文献 1 】s m a r a n d a c h ef o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s m c h i c a g o ：x i q u a np u b l h o u s e ，1 9 9 3 2 】a p o s t o lt m i n t r o d u c t i o nt oa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y m n e wy o r k ： s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 7 6 【3 】潘承洞，潘承彪初等数论f m 】北京：北京大学出版社，1 9 9 2 4 】潘承洞，潘承彪解析数论基础 m 】i 北京：科学出版社，1 9 9 9 【5 】m u r t h ya s o m en o t i o n so nl e a s tc o m m o nm u l t i p l e s j s m a r a n d a c h e n o t i o n sj o u r n a l ，2 0 0 1 ，v 1 2 ：3 0 7 - 3 0 9 6 】l em a o h u a a ne q u a t i o nc o n c e r n i n gt h es m a r a n d a c h el c mf u n c t i o n j s m a r a n d a c h en o t i o n sj o u r n a l ，2 0 0 4 ，v 1 4 ：1 8 6 - 1 8 8 【7 】l vz h o n g t i a n o nt h es m a r a n d a n c h el c mf u n c t i o na n di t sm e a nv a l u e j 】 s c i e n t i am a g n a ，2 0 0 7 ，v 3 ( 1 ) ：2 2 - 2 5 【8 】x uz h e f e n g s o m ea r i t h m e t i c a lp r o p e r t i e so fp r i m i t i v en u m b e r so fp o w e r p j 】s c i e n t i am a g n a ，2 0 0 6 ，v 2 ( 1 ) ：9 - 1 2 【9 】z h a oy u a n e a ne q u a t i o ni n v o l v i n gt h ef u n c t i o n 品( 佗) 【j 】s c i e n t i am a g n a ， 2 0 0 6 ，v 2 ( 2 ) ：1 0 5 - 1 0 7 【1 0 b a l a c e n o i ui ，s e l e a c uv h i s t o r yo ft h es m a r a n d 印h ef u n c t i o n j s m a r a n - d a c h en o t i o n sj o u r n a l ，1 9 9 9 ，v 1 0 ：1 9 2 2 0 1 【1 1 】吕国亮关于s m a r a n d a z h el c m 函数与除数函数的混合均值【j 】纯粹数学 与应用数学，2 0 0 7 ，v 2 3 ( 3 ) ：3 1 5 - 3 1 8 1 2 】m a r kf a r r i s ，p a t r i c km i t c h e u b o u n d i n gt h es m a x a n d a c h ef u n c t i o n j s m a r a n d a c h en o t i o n sj o u r n a l ，2 0 0 2 ，v 1 3 ：3 7 - 4 2 2 4 西北大学硕士学位论文 1 3 】l uy a r n i n g o nt h es o l u t i o n so fa l le q u a t i o ni n v o l v i n gt h es m 盯a n d a c h e f u n c t i o n j s c i e n t i am a g n a ，2 0 0 6 ，v 2 ( 1 ) ：7 6 - 7 9 【1 4 】s a n d o rj o z s e f o nc e r t a i ni n e q u a l i t i e si n v o l v i n gt h es m a r a i l d 犹h e 凡n c - t i o n j s c i e n t i am a g n a ，2 0 0 6 ，v ( 3 ) ：7 8 - 8 0 1 5 f uj i n g a ne q u a t i o ni n v o l v i n gt h es m a r a n d a e h ef u n c t i o n j s c i e n t i a m a g n a ，2 0 0 6 ，v 2 ( 4 ) ：8 3 - 8 6 【1 6 】c h e nr o n g j i o nt h ef u n c t i o n a le q u a t i o ns ( 几) r + s ( 死) r 一1 + + s ( 凡) ： n j 】s m a r a n d a c h en o t i o n sj o u r n a l ，2 0 0 0 ，v 2 ( 1 2 3 ) ：1 2 8 - 1 3 0 【17 c h a r l e sa s h b a c h e r u n s o l v e dp r o b l e m s j s m a r a n d a c h en o t i o n sj o u r n a l 1 9 9 8 ，v 9 ( 1 2 3 ) ：1 5 2 - 1 5 5 【1 8 】z h a n gw e n p e n g r e s e a r c ho ns m a r a n d a c h ep r o b l e m si i ln 啪b e rt h 争 o r y m 】u s a ：h e x i s ，2 0 0 4 ：6 0 - 6 4 1 9 】f ur u i q i n ，y a n gh a i r e s e a r c ho ns m a r a n d a c h ep r o b l e m si nn m n b e rt h 争 o r yi i m u s a ：h e x i s ，2 0 0 5 ：9 9 - 1 0 1 【2 0 】r n s s of e l i c e a ni n t r o d u c t i o nt ot h es m a r a n d a c h es q u a r ec o m p l e m e n t s j s m a r a n d a c h en o t i o n sj o u r n a l ，2 0 0 2 ，v 1 3 ：1 6 0 - 1 7 2 2 1 】r o s s e rj b ，s c h o e n f e l dl a p p r o x i m a t e sf o r m u l a sf o rs o m ef l m c t i o i l so f p r i m en u m b e r s j i u i o n sj m a t h ，1 9 6 2 ，v 6 ：6 4 9 4 2 2 z h a n gt i a n p i n g o nt h ec u b i cr e s i d u e sn u m b e r sa n dk - p o w e rc o m p l e m e n t n u m b e r s j s m a r a n d a c h en o t i o n sj o u r n a l ，2 0 0 4 ，v 1 4 ：1 4 7 - 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