（基础数学专业论文）半线性椭圆方程解的分歧结构.pdf

论文题目：半线性椭圆方程解的分歧结构 学科专业：基础数学 学位申请人：王中亮 指导老师：徐本龙教授 摘要 本文主要研究如下二阶半线性椭圆偏微分方程的d i r i c h l e t 边值问题 a u + a ，( u ) = 0 在b 中，t = 0 在o b n 上， 以及当非线性项，出现扰动时相应的摄动方程 a u + a f ( u + e ) = 0 在b n 中，t = 0 在o b n 上 的经典正解，其中b n 是舻中的单位开球，n 1 ，a 0 为一分歧参数，e 0 为一小 常数 上述类型的方程来源于许多不同的物理、化学和生物学领域，例如气体的热燃理论， 量子场论和人口动力学等渗见 5 0 1 ) ，其中比较著名的有g e l f a n d 方程( 经变量替换， f ( u ) = e x p ( - 1 u ) ，见【2 9 】) ，自动催化化学反应模型( f ( u ) = 矿, u q ，1 1 ，见【3 5 】) 本文利用分歧理论，上下解方法和连续方法，研究了其中类方程，其非线性项，具 有定的光滑性，并且都是凹凸的，通过对于不同维数上的，具有不同线性性，的该类 方程进行具体分析，从而确定这一类方程正解的确切个数和分歧结构，以期适用于更广 泛的实际应用 关键词：半线性椭圆方程；摄动方程；分歧理论；上下解方法；连续方法；正解 t i t l e ：b i f u r c a t i o ns t r u c t u r eo fs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s m a j o r ：b a s i cm a t h e m a t i c s d e g r e ea p p l i c a n t ：w a n gz h o n g l i a n g t u t o r ：p r o f e s s o rx ub e n l o n g a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d ya l lr e g u l a r i t yp o s i t i v es o l u t i o n so fd i r i c h l e tp r o b l e m f o rt h e s e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n a u + a f ( u ) = 0 i nb n ， t = 0o no b n ， a n dc o r r e s p o n d i n gp e r t u r b e de q u a t i o n a u + a f ( u + e ) = 0 i nb n ， “= 0o no b n ， w h e nap e r t u r b a t i o na r i s e si nv a r i a b l eo fn o n l i n e a r i t yf ，w h e r eb ni st h eo p e nu n i tb a l l i n p , w i t h 礼1 ，a 0i sab i f u r c a t i o np a r a m e t e r ，a n de 0i sas m a l lc o n s t a n t t h ep r o b l e m sm e n t i o n e da b o v ea r i s ei nm a n yd i f f e r e n tp h y s i c a l ，c h e m i c a la n db i - o l o g i cs i t u a t i o n s ，f o ri n s t a n c e ，i nt h ec o m b u s t i o nt h e o r y , i nt h eq u a n t u mf i l e dt h e o r y , i nt h ep o p u l a t i o nd y n a m i c sa n ds oo n ( s e e 【5 0 】a n dt h er e f e r e n c e st h e r e i n ) ，w h e r et h e w e l l - k n o w ne q u a t i o n ss u c ha st h eg e l f a n de q u a t i o n ( b yr e s c a l i n ga r g u m e n t ，f ( u ) = e x p ( 一1 让) ，s e ef 2 9 】) ，ar e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o nm o d e l i n ga l la u t o c a t a l y t i cc h e m i c a lr e a c t i o n ( ，( u ) = u p 一俨，l 1 ，s e e 【3 5 】) b ym a k i n gu b eo fb i f u r c a t i o nt h e o r y , t h em e t h o do fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s 缸d c o n t i n u a t i o nm e t h o d ，w ed i s c u s sac l a s so ft h e s ep r o b l e m s ，w h e r efh a s c e r t a i nr e g u l a r - i t y , a n da l ln o n l i n e a r i t i e sa r ec o n c a v ea n dc o n v e x f o rw i l d e ra p p l i c a t i o ni np r a c t i c e w e 谢ug e tt h er e s u l t so fe x a c tm u l t i p l i c i t ya n db i f u r c a t i o ns t r u c t u r eo fp o s i t i v es o l u t i o n s f o rt h ee q u a t i o n sm e n t i o n e da b o v e ，t h r o u g hp r e c i s ea n a l y s i so nd i f f e r e n td i m e n s i o na n d d i f f e r e n tl i n e a r i t yo fn o n l i n e a r i t yf k e yw o r d s ：s e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n ；p e r t u r b e de q u a t i o n ；b i f u r c a t i o nt h e o r y ； t h em e t h o do fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ；c o n t i n u a t i o nm e t h o d ；p o s i t i v es o l u t i o n 主要符号表 r ：实数集 r + ：区间【0 ，o o ) 酽：n 维e u c l i d e a n 空间 q ：个带光滑边界的连通开集 豆：q 的闭包 a q ：n f l 的边界 b n ：n 维单位开球， z ：h o g ( u ) ：n c ( u ) = n f ( u ) 一罕，( u ) 竹一9 z y ：n h i l b e r t 空间酽中的内积，z y = z 舭 v u ：函数u 的梯度，v 仳= ( 巩u ( z ) ，磊u ( z ) ) a u ：礼函数u 的l a p l a c i a n ，让( z ) = 如u ( z ) n ( l ) ：算子l 的零空间 r ( l ) ：算子l 的值域 d i m ( x ) ：钆线性空间x 的维数 c o d i m ( x ) ：n x 在一更大空间y ( 3x ) 中补集的维数 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人 或机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发 和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意。 作者签名丑辛疡日期：，之纩搿牟厂周_ 多团 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅； 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其 它手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此规定。 1 q 中细虢f 粥吼俐车卿7 囝 上海师范大学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 简介 本文主要研究如下二阶半线性椭圆偏微分方程的d i r i c h l e t 边值问题 i a u + a f ( u ) = 0 ，在b ”中， t i 0 ，在伊中， ( 1 1 1 ) i 牡= 0 ， 在o b n 上， 以及当非线性项，出现扰动时相应的摄动方程 u + a f ( u + e ) = 0 ，在伊中， t 0 ，在b n 中， ( 1 1 2 ) t = 0 ，在o b 上 的经典解，即若t | 是方程( 1 1 1 ) 或方程( 1 1 2 ) 的解，则t 铹a ( b n ) ，上述方程中b n 是俨中的单位开球，n 1 ，a 是正分歧参数，是一给定实值非线性函数，根据不同 的实际需要，具有不同的形式 众所周知上述方程来源于许多不同的物理、化学和生物学领域，例如气体的热燃理 论，量子场论和人口动力学等( 参见 5 0 】) ，其中比较著名的有g e l f a n d 方程( 经变量替 换，i ( u ) = e x p c - 1 u ) ，参见【2 9 】) ，自动催化化学反应模型( f ( u ) = 矿一u 口，1 1 ，参见【3 5 】) ，另 外还包括( 参见【6 3 】) ： ( 1 ) ，( u ) = t 一矿，p 1 ( 1 0 9 i s t i c ) ， ( 2 ) f ( u ) = ( t 一o ) ( t 一6 ) ( c 一钍) ，a 1 ( e m d e n - f o w l e r ) ， ( 5 ) ( u ) = ( 1 + p ) p ，p 1 ( e m d e n f o w l e r ，b u c k i n go fm e m b r a n c e s ) ， ( 6 ) ( u ) = t 一矿一 ( t ) ，p 1 ， ( t i ) 0 ( 1 0 9 i s t i cw i t hh a r v e s t i n g ) 1 第一章绪论 上海师范大学硕士学位论文 带有上述非线性项的方程( 1 1 1 ) 在过去的数十年中得到了众多数学家广泛而深入的研 充这些非线性项，大致可分为三类： ( 1 ) 非线性项厂在所限区域上是凸函数， ( 2 ) 非线性项，在所限区域上是凹函数， ( 3 ) 非线性项，在所限区域上是凹凸( c o n c a v ea n dc o n v e x ) 函数， 其中第三类方程是由a 。a m b r o s e t t i ，h b r e z i s 和g c e r a m i 在【4 】中首先提出的，这类 方程将成为本文研究的重点 方程( 1 1 1 ) 的首要问题是解的存在性从上世纪七十年代开始，该问题逐渐引起人 们的兴趣，进而一套普适的存在性理论被建立了起来( 参见 2 j 和 5 0 】) ，此后，人们关注 的问题主要集中在诸如；解的唯性或确切个数，区域结构和解的存在性( 或多解性) 之 间的关系等一系列问题上上世纪八十年代中期，解的唯性以及当a 很大时解的确切 个数问题开始被广泛的研究，因而成为以上提及的问题中两个较为成熟的分支，其中关 于解的唯性，大致可分为两部分( 1 ) 当( o ) 0 时 这一部分最早可追溯到p i c a r d 关于，是次线性时解唯性问题的研究，之后我们可以分别参考【6 】，【12 】，f 1 3 ，【1 7 ，【3 1 】， 【3 8 - 4 1 ，【4 4 ，【4 9 】，【5 1 - 5 4 ，【5 s 1 - 6 2 ，【6 4 一 6 6 1 ，【7 1 1 和【7 2 】，这些参考文献代表了各个 时期这分支有代表性的研究成果，其中非常值得注意的是k o l o d n e r 3 9 ，c o f f m a n 1 2 】 和f 1 3 l 中对于相应线性化方程的研究，g i d a s ，n i 和n i r e n b e r g 在( 3 1 1 中的结论以及 k w o n g 在【4 0 和【4 1 1 中的s t u r m 比较理论，这些结论对于如今开展方程解的确切个数 研究依然有着十分重要的意义，而s m o u e r 和w a s s e r m a n 在【6 4 】，【6 5 】和【6 6 】中所使 用的t i m e - m a p 方法对于维数是一的情况非常奏效；( 2 ) 当f ( o ) 0 足够的小时，( 1 1 3 ) 的解曲线 ( a ，让) ) 是凸型的，即存在两个正常数a l ( e ) 0 ，存在a 1 ( e ) 石( ) 0 ，使得当e ( 0 ，t 0 ) 时，存在个常数k ( ) 0 ，使得当a ( a o ，a 2 ( ) ) 时，( 1 1 3 ) 有三个解，当入= a 2 ( e ) 时( 1 1 3 ) 有两个解，当a a 2 ( e ) 时，( 1 1 3 ) 有唯一正解1 9 8 5 年，s p h a s t i n g s 和j b m c l e o d 3 7 】运用q u a d r a t u r e s 方法证明了当n = 1 时猜想是 正确的，到了1 9 9 4 年s h w a n g 6 8 1 再次运用这一方法证明了当礼= 1 时猜想是正确 的并且得到了估计1 4 。4 9 6 7 ，而p k o r m a n 和y l i 结合t i m e - m a p 和局部分歧的 方法，又将e 的上界扩大至1 4 3 5 ，最终在2 0 0 1 年y d u 和y l o u 运用分歧方法将这 一猜想彻底解决 1 2 概述 方程( 1 1 2 ) 是方程( 1 1 1 ) 的摄动方程，而方程( 1 1 1 ) 可被视为著名非线性扩散 问题t i t = 让+ a ， ) 的稳态形式，是二阶椭圆偏微分方程领域中的重要研究对象之 本文中非线性项，总是满足如下条件： ( a 1 ) ，俨( 【o ，o o ) ) ，f ( o ) = o ； ( a 2 ) 存在万 0 ，使得当0 石时，缸) 0 ，存在至多一个沁 0 ，使得当入= 沁且u ( 0 ) = d 时，( 1 1 1 ) 有唯一正 解t i ( ) 令t = d 0 ：( 1 1 1 ) 有一个正解让且t ( o ) = d ) ，那么t 是开的，并且 a ( d ) = k 是从t 到r + 的连续映射 回顾第一章中的条件( a 1 ) ，由引理2 1 1 的( 1 ) 可知( 1 1 1 ) 具有径向对称的解，实 际上，本文正是通过引理2 1 1 的( 1 ) 和( 2 ) ，把偏微分方程转化为常微分方程，在此基础 上来加以研究的由引理2 1 1 的( 3 ) ，称矿xr + = ( a ，d ) ：a 0 ，d o ) 为向平面， 5 第二章分歧理论简介 上海师范大学硕士学位论文 ( a ( d ) ，回：d t ) 为分歧图像称方程( 2 1 2 ) 是方程( 1 1 1 ) 的线性化方程，同样方程 ( 1 1 2 ) 的线性化方程为 仁。一0 套三：， 仁， 假设伽是方程( 2 1 2 ) 的个解，如果加0 ，则称w 是方程( 2 1 2 ) 的个非平凡解 假设( 入，让) 是方程( 1 1 1 ) 的一组解，如果相应的线性化方程( 2 1 2 ) 有非平凡解，则称 ( a ，t ) 是方程( 1 1 1 ) 的组退化解对于方程( 1 1 2 ) 和( 2 1 4 ) 我们也有相同的定义 2 2 局部分歧理论u 一，- r n - o - r v 本节我们来回顾部分局部分歧理论中的结论 引理2 2 1 ( c r a n d a l l r a b i n o w i t z 2 i ) 假设x 和y 是实b a n a c h 空间假设( 入，孟) 冗x 且f 是( a ，牙) 的一个开领域到y 的连续可微映射假设零空间( b ( a ，牙) ) = 印口嘶z o ) 是一维的且c o d i mr ( r ( a ，孟) ) = 1 并且只( a ，牙) gr ( r ( a ，牙) ) 若z 是哪n z o ) 在x 中的补集，那么f ( a ，z ) = f ( a ，牙) 在( 入，牙) 附近的解是一条曲线 ( 入( s ) ，z ( s ) ) = ( a + r ( s ) ，牙+ 8 x o + z ( s ) ) ，其中8h ( 下( s ) ，z ( s ) ) 冗z 是s = 0 附近 的一个连续可微函数且r ( o ) = 7 - p ( o ) = 0 ，z ( o ) = z f ( 0 ) = 0 引理2 2 2 若x = w 2 ，2 ( q ) n 附2 ( q ) 且y = l 2 ( q ) 定义f ( a ，t ) = a u + a ，( t ) ， f ：n r xh y 则凡( a ，让) 是指标为0 的n e d h o l m 算子 引理2 2 3 ( i m p l i c i tf u c t i o nt h e o r e m ) 假设x 和y 是实b a n a c h 空间假设( 知，u o ) r x 且f 是( a o ，u o )- 4 - s $ i 域y 到y 的连续可微映射假设f ( , x o ，u o ) = 0 且 r ( 知，t o ) 是一个线性同胚则f c a ，u ) = 0 在( a o ，t o ) 附近的解是一条曲线( a ，u ( 入) ) ， t ( 入) = u o + ( a a o ) u , o + z ( a ) ，其中w 0 = - 【r ( k ，u o ) 】_ 1 ( 足( 知，u o ) ) 且入hz ( 入) x 在8 = 0 附近是连续可微函数并有z ( o ) = s ( o ) = 0 注意到这里若仅假设f 关于t 是连续可微的且关于入是连续的，则结果仍成立，但 t ( a ) 也仅仅只是连续的同样的，若f 是c 七的，则u ( x ) 也是c 詹的在很多著作中都能 找到如同引理2 2 3 的隐函数定理，这版本更接近于a m b r o s e t t i 和p r o d i t l ，c r a n d a u 和r a b i n o w i t z 2 0 】和d e i m l i n g 2 7 中的叙述 6 上海师范大学硕士学位论文 第二章分歧理论简介 引理2 2 3 的证明仅概述大意 关于t 求解方程f ( a ，钍) = 0 ，运用t a y l o r 展开式得到： f ( a ，钆) = f ( a o ，u 0 ) + r ( 知，让o ) ( a a o ) + r ( a o ，t o ) ( u u o ) - i - r ( a ，让) ，( 2 2 1 ) 其中r ( a ，u ) 是余项由于r ( 知，t o ) 是可逆的，那么f ( a ，缸) = 0 等价于 u = u o 一( 入一) 【凡( a o ，蜘) 1 _ 1 以( 知，u o ) 一阮( 入o ，d ) 】- 1 冗( 入，锃) 兰皿( 入，让) ，( 2 2 2 ) 因此求解方程等价于求映射皿( a ，u ) 的不动点取i 入一a o i 和i i 钍一咖i l 都足够的小，只 要证明t h 皿( a ，让) 是压缩映射，则由压缩映射原理可知乱( 入) 有唯一的不动点，即所要 求的解( 也可运用s c h a u d e r 不动点定理代替压缩映射原理) 证毕 引理2 2 3 说明如果线性化是可逆的，则不存在分歧，那么川牡近局部解唯一对方 程( 1 1 1 ) 运用该引理，得到如下结论： 定理2 2 4 若( 入o ，u o ) 是方程( 1 1 1 ) 的一组解且使得相应的线性化方程( 2 1 2 ) 只有 平凡解，则对久( a o e ，久+ e ) ，方程( 1 1 1 ) 在( x o ，u o ) 附近有唯一解( 入，t ( 入) ) 证明运用【6 3 】的s e c t i o n3 1 ( c ) 中列出的抽象公式引理2 2 2 说明r ( a ，珏) 是指 标为0 的f r e d h o l m 算子因为( 2 1 2 ) 只有平凡解，所以由引理2 2 2 可知( r ) = o ) 且c o d i m ( r ( f , , ) ) = 0 因此凡( 入o ，u o ) 是双射，并且由开映射定理，咒( a o ，u o ) 存在有界 逆证毕 记a 1 为方程 - - a u = a u 在b n 中，t = 0 在o b n 上 的主特征值，并且我们还要定义两个数和入如下： 知= , x l 臻拦 仁2 渤 k ： 。0 耕7 ( o o ) o ， ( 2 - 2 4 )k 1a x f 佃) ；三焉 ， ( 2 2 4 ) i 7 ( o 。) 若o 0 ，当8 ( 0 ，6 ) 时，方程( 1 1 1 ) 在( a o ，0 ) 附近的解可被参数化 为( a ( s ) ，s 彬+ z ( s ) ) ，i f ) 是方程 a w + ，枷扎主三0 的一个正解，并且还有入( o ) = a o ，z ( o ) = 7 ( o ) = 0 ( 2 2 5 ) 引理2 2 6 ( b i f u r c a t i o nf r o mi n f i n i t y ) 假设，7 ( o o ) = l i k 。( u ) u ( 0 ，) ，并且 入= 入l ，7 ( o o ) 则对某个6 0 ，当8 ( 6 ，。) 时，方程( 1 1 1 ) 在( a ，c o ) 附近的解 可被参数化为( a ( s ) ，8 w + z ( s ) ) ，其中t 1 7 是方程( 2 2 5 ) 的一个正解，l i m 。a ( s ) = a ， 并且当s 一时，i l z ( s ) l l o a ( 廓) = d ( s ) 引理2 2 5 和引理2 2 6 的证明可参见【2 】和【2 7 】 2 3 分歧方法 我们知道，若( a o ，铭o ) 是方程( 1 1 1 ) ( 或方程( 1 1 2 ) ) 的非退化解，即相应的线性化 方程( 2 1 2 ) ( 或( 2 1 4 ) ) 无非平凡解，则运用引理2 2 3 ，可知方程的解在( a o ，u 0 ) 的某个 范围内关于入可以向左右两个方向延拓，而如果让是方程( 1 1 1 ) ( 或方程( 1 1 2 ) ) 的退化 解，即相应的线性化方程存在非平凡的解，则在( 知，t 0 ) 的附近解的结构可能非常复杂 不过，如果相应的线性化方程存在正解，则问题将变得比较容易处理现在我们以方程 ( 1 1 1 ) 为例进行讨论( 对方程( 1 1 2 ) 的讨论完全类似) 设x = 诺d ( 至_ ) ，y = c a ( 2 - ) 以及f ( a ，t ) = a u + a ，( t i ) ，那么显然f 是矿x 到y 的光滑映射，并且f 关 于让的f r e c h e t 微分在( a o ，仳o ) 处可以表示为凡( a o ，咖) 硼= a w + 入o ，7 ( u o ) w 如果 冗( ，u o ) w = 0 存在非平凡的解( 此时t 1 0 成为退化解) ，并且叫在所定义的区域内不 变号( 即可以取t l ，为正函数) ，那么由著名的k r e i n - r u t m a n 定理( 参见【2 7 t h e o r e m 1 9 2 和e x 1 2 ) ，可知。是r ( 知，咖) 的主特征值，并且是单的，即讹r 凡( ，t 1 0 ) 是一维空 间，并且讹以( a 0 ，u 0 ) = 印口竹( 伽) ，进而再由f r e d _ h o l m 择性定理( 参见【3 0 a p p e n d i x d 5t h e o r e m5 ) 可知c o d i m f , , ( a o ，t t 0 ) = 1 另外，显然有r ( a o ，t l o ) = f ( u o ) 若存在 1 1 0 ，使得凡( 知，咖) = f ( u o ) ，则将该式两边同乘以叫，并将r ( a o ，u o ) w = 0 两边同 8 上海师范大学硕士学位论文第二章分歧理论简介 乘以u ，然后将两式相减，并在口n 上积分，得到( 结合后文中的定义，易知本文涉及的非 线性项，都有，( 咖) 0 ) 0 = f ( u o ) w d x 0 ， d s 矛盾，从而我们可以看到b ( 知，让o ) 岩r ( r ( 入o ，缸o ) ) 由引理2 2 1 ，在退化解( ，咖) 的 附近，方程( 1 1 1 ) 的解可表示为： ( a ( s ) ，u ( s ) ) = ( + r ( s ) ，u o + 8 w + z ( s ) ) ，( 2 3 1 ) 其中sh ( a ( 8 ) ，u ( s ) ) r z 是在8 = 0 的邻域( 一6 ，j ) 内光滑函数，z 是置妒n 伽 在x 中的补集，并且还有r ( o ) = ，( 0 ) = 0 和z ( o ) = 名7 ( 0 ) = 0 现在我们把( 2 3 1 ) 代入方程( 1 1 1 ) 中并关于8 微分两次，然后取8 = 0 得到： u 。+ 入，( u ) t a + 2 入，( u ) t | + 入，”( t ) 砖+ 入 ，( u ) = o ， ( 2 3 2 ) a u 。+ a o f ( u ) u 。+ 知厂，( t ) 伽2 + ，( o ) ，( 让) = 0 在上式两边同乘以伽，同时在( 2 1 2 ) 两边同乘以t 鲫将两式相减，并且在b n 上积分， 再经过移项就得到 以o ) 以。嚣 ( 2 3 3 ) 现进一步考察( 2 3 1 ) 式中的丁( s ) 由7 ( s ) 在s = 0 的t a y l o r 展开式，并注意到 丁( o ) = 一( o ) = 0 ，易知7 - ( s ) 在s = 0 点附近的符号与，( 0 ) 的符号完全一致于是方程 在( 知，u 0 ) 附近的解曲线，当丁( o ) 0 时是向右转的，当，( o ) 0 为参数，e 0 为一小常数，f ( u ) 除了 满足f a l l 和f a 2 1 之外还要满足以下条件： ( b 1 ) 存在0 0 ，且对于m 7 7 , 时， f ( u ) o ； ( b 2 ) 厂( u ) f c u ) 在( 0 ，m ) 上单调递减 容易验证第一章中提到的g e l f a n d 方程( 经变量替换，m ) = e x p ( - 1 u ) ，见【2 9 】) ， 自动催化化学反应模型( f ( u ) = 矿一札口，1 1 ，见【3 5 ) 中的非线性项f ( u ) 都满足条件( b 1 ) 和( b 2 ) 从第一章中我们已经了解到虽然分歧方法比t i m e - m a p 方法占有定的优势，尤其 是用它可以讨论高维空间中的方程解的确切个数问题，但当解的最大个数不少于三个时， 分歧方法往往会遇到难以克服的困难也正是因为这个原因，p k o r m a n 和y l i 在研究 维空间中一类具有最多三个解的方程时，在运用分歧方法的同时，还要借助t i m e - m a p 方法( 【4 3 】) ，因此，【4 3 】中的方法不能应用到二维或更高维空间中去 本章主要在r 2 中考虑问题在更高维空间j p 3 ) 中，方程( 3 1 1 ) 解的结 构和本章的结果相似，不过要加一些条件；而摄动方程( 3 1 2 ) 解的结构在更高维空间 ( ，l 3 ) 中可能会变得异常复杂，比如可能存在无穷多个解( 参见【2 2 】和【2 3 】) 我们将 在在第四章和第五章中来讨论一般n 维空间的类似问题对于冗1 中的常微分方程，此 1 0 上海师范大学硕士学位论文 第三章圆域上次线性椭圆方程的解 前已有部分结果( 参见【3 7 】、 4 3 】、【6 7 1 以及【6 8 】) ，本章的方法也可以很容易的被运用于 r 1 中去，并且证明将变的更简单一些 本章以下分两部分在第二节中，将详细讨论基本方程( 3 1 1 ) 解的确切个数和分歧 结构，得到在一定的条件下，方程( 3 1 1 ) 正好有个解或两个解这部分内容和以往相 近的工作相比，去掉了许多繁琐的条件，从而包含更多的函数类我们可以注意到，以往 的工作般是把单位球( 圆) 上的偏微分方程转化成常微分方程，然后主要借用常微分 方程的工具进行研究，比如有时要用到十分复杂的打靶法( s h o o t i n gm e t h o d ) ( 5 5 ，【5 6 】) 本节在分歧方法的基础上，充分利用偏微分方程的正则性理论，上下解方法等理论工具， 使问题的讨论简洁且突出了问题的本质在第三节中，以第二节的结果为基础，讨论摄动 方程( 3 1 2 ) 解的确切个数和分歧结构，证明了当e 0 且充分小的时候，方程( 3 1 2 ) 可 以有三个解，且分歧图象是g 型的，本节所用的方法主要是分歧理论和连续方法 3 2 基本方程的解 方程( 3 1 1 ) 和方程( 3 1 2 ) 相应的线性化方程分别为 a w ( x ) + a f ( u ( x ) ) w = 0 ，z b ，w l a a = 0 ， ( 3 2 1 ) 和 a w ( x ) + a f ( u ( x ) + e ) 硼= 0 ，z b ，w l o b = 0 ( 3 2 2 ) 通过第二章第三节中的讨论，知下面的引理3 2 1 将在本章的讨论中起关键作用为 了能统一处理方程( 3 1 1 ) 和它的摄动方程( 3 1 2 ) ，我们在此处允许e = 0 引理3 2 1 设f 满足条件似砂，似剀，俾砂和伊砂，e 0 是一个常数设咖是方程 a u ( x ) + 厂( t ( z ) + e ) = 0 ，。b ，u l o n = 0 ，( 3 2 3 ) 的一个退化解，而加是方程 a w ( x ) + a o 7 ( 乱o ( z ) + e ) 伽= 0 ，z b ，w l a n = 0 ，( 3 2 4 ) 的一个非平凡解，则伽在b 中不变号，从而可假设在b 中叫 0 1 1 第三章圆域上次线性椭圆方程的解上海师范大学硕士学位论文 证明由极大值原理，方程( 3 2 3 ) 的任意非平凡解u o 都是正解且i l u o l l 0 取p = 一7 1 嵋( r 1 ) ，因为t ，= - 入o r f ( u o + e ) v ( r 1 ) = 0 ，当7 ( r l ，1 】时，v ( r ) 0 ，取r 2 ( o ，1 ) 是叫( r ) = 0 的最后个根，那么当r ( r 2 ，1 ) 时， w ( r ) 0 ，假设当r ( r 2 ，1 ) 时，w ( r ) o ( 否则取一伽( r ) ) ，则忆) 0 ( 1 ) ， 并且在【r 2 ，1 】上9 ( 7 ) 0 ，v ( r ) 0 ，从而我们得到 0 0 ，方 程 u + 入，( u ) = 0 ，在b 内，t l 阳= 0 至多存在一个解( 入，t i ) 满足入 0 ，u 0 以及t ( o ) = c 由引理3 2 3 ，方程( 3 1 1 ) ( 或( 3 1 2 ) ) 的解( a ，u ) 可以由r 2 中的曲线( a ，缸( o ) ) 来描述 本节的以下部分将研究方程( 3 1 1 ) 解的确切个数和分歧结构方程( 3 1 1 ) 的线性 化方程为( 3 2 1 ) 引理3 2 4 设，满足阻砂，似剀和p f j ，( a o ，t 0 ) 是方程p i 砂的解，如果u o 是退 化解，则由p 2 刀确定的，( o ) 0 1 3 第三章圆域上次线性椭圆方程的解上海师范大学硕士学位论文 证明在( 3 2 7 ) 式中( 此时e = 0 ) ，显然分母大于o ，故我们只需证明它的分子小于 o 将( 3 2 5 ) 式关于r 求导后两边同乘以r 伽( r ) ，再对( 3 2 6 ) 式关于7 求导后两边同 乘以r t 6 ( r ) ，然后将两式相减，并在【o ，1 】上积分就得到 ，1 ( r 叫 ( r ) 札：( r ) 一r ( r ) 仳：( r ) ) 1 5 + 沁r f ”( t 幻) ( u 7 ( r ) ) 2 w ( r ) d r = 0 ， ，0 注意到( 1 ) 4 - t u ( 1 ) = - a o f ( u o ) 埘( 1 ) = 0 ，并且由( a 1 ) 还有u g ( 1 ) 4 - t ；( 1 ) = - a o f ( u ( 1 ) ) = 0 ，所以由上式可知 z 1 ( u 0 ) ( u ，( r ) ) 2 嘶) d r = o 现在来证明一u ：( r ) 和w ( r ) 在( 0 ，1 ) 中只相交一次因为一t l ：( o ) = 0 ，一t 6 ( 1 ) 0 ， w ( o ) 0 以及w ( z ) = 0 ，所以- u 6 ( r ) 和w ( r ) 在( 0 ，1 ) 中至少相交一次假设命题不真， 则存在0 t 1 t 2 1 ，使得( 伽+ t ；i ) ( r 1 ) = 仲+ t 6 ) ( r 2 ) = 0 ，并且当r ( r l ，r 2 ) 时， + t | 6 ) ( r ) 西，这里瓦来自条件( a 2 ) 因为u 0 是方程( 3 1 1 ) 的退化解，由引理 3 2 1 ，存在钮 0 ，满足 a