（基础数学专业论文）用移动平面法研究两类方程正解的结构和性质.pdf

对于肽n ，n 3 中方程 摘要 ( 一) 们u = u p( 木) 其中o t 2 ，当p = ( n + q ) ( 几一q ) 时通常称为临界情况，当1 3 a n d u ( z ) ：厂 r 牡z 一箩l n qu ( 可) p d y u n d e rs o m ec o n d i t i o n sb yt h em e t h o do fm o v i n gp l a n e sr e s p e c t i v e l y k e yw o r d s ：m a x i m u mp r i n c i p l e ，m e t h o do fm o v i n gp l a n e s ，s u p e r c r i t i c a lc a s e ，r a d i a l s y m m e t r y i v 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书所使用 过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 签名： 紊裂驴 关于论文使用授权的说明 日期：矽。许钥艿日 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：有权保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权河南师范大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 签名：缅导师签名：二丕车越 j 4 5 第一章引言 在本章中，我们主要介绍了移动平面法的研究背景和与相关的基本知识，接下来我们 会用一个简单的例子来说明怎么用移动平面法来解决问题 在2 0 世纪5 0 年代早期，前苏联数学家a l e x a n d e r o f f 创立了移动平面法接下来的 几十年里，s e r r i n ，h b e r e s t y c k i ，l f r a e n k e l ，g i d a s ，n i ，l n i r e n b e r g ，c a f f a r e l l i ，g i d a s ， s p r u c k ，y l i ，w c h e n ，c l i ，c h a n g ，y a n g ，j w e i 和x x u 等学者在 1 ，5 ，8 ，9 ，1 3 ，1 7 ， 1 8 ，2 1 ，2 2 ，2 6 ，3 4 】等文中又进一步发展完善了这种方法现在这种方法已经应用到自由边 界问题，半线性偏微分方程以及其它许多问题中特别地，对半线性偏微分方程它有着许 多重要的贡献有兴趣的读者可参阅文 2 6 】以获取更多关于此法的阐述 移动平面法及类似的移动球面法已成为证明偏微分方程解的对称性和单调性的有力 工具它们还可以用来作解的先验估计，推导有关解的不等式，以及证明解的不存在性 若u 是某方程的正解，且方程具有某种对称性便会猜想，u 是否也对称( 关于原 点) ? 如何来证? 用移动平面法一维时，平面成为一点，记平面t x = a ，平面( 点) 五左 端的区域记为a = ( 一1 ，a ) ，对z a ，其关于死的对称点记为z a 即： z a ：2 入一z 比较u ( x ) 与1 2 ( x a ) 的值，希望当a = 0 时 u ( x a ) = u ( z ) ，v x 。 ( 即“( z ) 关于原点对称) 为此，比较札( z ) 与u ( x a ) 的值，令 伽a ( z ) = u ( x ) 一1 2 ( x ) 第一步：希望当a 接近1 时， ( 一般用极值原理证) 叫a ( z ) 0 ，v z a 1 用移动平面法研究两类方程正解的结构和性质 第二步：向右移动平面乃至极限位置 记 a d = s u p aj 伽a ( z ) 0 ，忱e a ) ( 对下面这个特例，k 必为o ) 想证：入d 为其极限位置设已证，则叫k ( z ) 三0 即 u ( z a ) 乱( z ) 再从最右端向左移动平面，得到 u ( x a ) “( z ) 结合上面两个不等式就得到 u ( - x ) = 札( z ) 即u 关于原点对称 下面证明一维形式的极值原理( 此时u = 札) 定理1 1( 最简单形式：q = ( a ，b ) ) 那么 与 2 则 z q x 0 q u ( z ) 0 ，x q 证明：( 反证法) 如若不然，存在x o q ，使 乱( z d ) = i n f u 0 札( z 。) 0 u ( z o ) = 也州 ，_j(1【 第一章引言 矛盾证毕 定理1 2 ( 更一般形式q = ( a ，6 ) ) 则 u - 。u z ，+ c 。( z ，) u 。；兰三? z q u 0 ，z q 证明：( 反证法) 如若不然，存在q ，使 u ( x d ) = i n f u 0 由定理1 2 ，可知 砌 ( z ) 20 ，v ：r ， 这对任意的as 三都成立取a = 詈，则 加 ( z ) 20 ，v z 三 再从右端开始移动平面，同理可得 加a ( z ) 0 ，v x 暑 由此可知： a ( z ) 三0 ，v z 1 2 所以移( z ) 关于礓对称，进而u ( z ) 关于礓对称 定理证明完毕 为简要说明什么是移动平面法，我们再以全空间时为例要证明某方程的正解关 于某一方向的对称性和单调性，我们取该方向为x l 轴对任意实数a ，令 乃= z = ( z 1 ，x 2 ，z 。) 已“i2 ：1 = a 】- ， 这是我们将要移动的平面，显然它与x l 轴垂直记平面左端的区域为a ，即 = z 酞“ix l a 。，使( 1 8 ) 成立，这便与a 。的定义矛盾 综上述可见，移动平面法的关键是证明( 1 8 ) 对于偏微分方程，极值原理是证明该 不等式的有力工具因此在本文中，我们首先阐述并证明椭圆型方程的各种极值原理及积 分不等式的极值原理及其推论 6 、l ，n z 2 z l z 一 入口二 ，fl i i 一( z 己，l 第二章预备知识 在本章中，我们介绍并证明应用移动平面法时需要用到的几个引理及各种形式的极值 原理：弱极值原理，强极值原理，基于比较的极值原理，无穷远处退化原理，积分不等式 的极值原理及其推论这些极值原理保证了移动平面可以开始 2 1弱极值原理 那么 那么 定理2 1 ( 关于一的弱极值原理) i ) 如果 - a u ( z ) 0 ，x q ， i i ) 如果 m i nu m i nu q o f t - a u ( z ) s0 ，x q ， m a xu 0 对z b ，。( z 。) 有- a u ( z ) ( = ) 0 ，那么对任意r ，r 。 r 0 ，有 ( z 。) ( = 1 _ 万南z 且，。z 。j u ( z ) d s 由此可推得，若x d 是u 在q 中的极小值点，那么必有 一a u ( x 。) 茎0 ( 2 - 5 ) ( 2 - 6 ) 7 用移动平面法研究两类方程正解的结构和性质 i i ) 若存在r 。 0 对z b ，。( z 。) 有一a u ( x ) r 0 ，有 礼( ) 丽1 ，l u ( z ) d s ( 2 - 7 ) 由此可知，若z 。是u 在q 中的极大值点，那么必有 一a u ( x 。) 0 引理2 1 的证明：我们利用散度定理来证明 f b ，( = o ) a u c z ，d z = z b ，。，d o u d s = r r l - iz 。一。暑署c z 。+ r u ，d 5 。， 其中d 咒是n 一1 维单位球面s 肛1 = pi 川= 1 ) 的面积元素 如果a u 0 ，那么由( 2 - 9 ) 可得， 岳叱u ( ：c o + r c o ) 剐 0 成立那么由乱的连续性可知，存 在6 0 ，使 - a u ( z ) 0 ，v z 玩( z d ) 因此，对任意0 0 ，则u 在球b r ( ) 中心 的函数值大于其在边界o b , ( x 。) 上的积分平均值粗略地讲， t t 的图像在某种程度上是 局部凹的为了证明定理，我们首先考虑扰动函数u 。( z ) = u ( z ) 一e 2 显然， 一a u e = 一a u + 2 e n 0 ( 2 一1 2 ) 由此推得， r a n i nu e m a q i n u ( 2 1 3 ) 如若不然，则在q 内部必有u 。的极小值点z d ，而由引理2 1 ，我们有- a u 。( z 。) 0 这 和( 2 1 2 ) 相矛盾在( 2 1 3 ) 中，令e o ，我们就得到结论( 2 - 2 ) 证毕 从定理2 1 的证明，我们能够看出当c ( z ) 0 时，用一+ c ( z ) 代替一，定理2 1 的结论稍加修改后仍然成立而且，我们可以用一致椭圆算子来代替算子一令 耻蠢m = 彘 用移动平面法研究两类方程正解的结构和性质 定义 l = 一。i 3 ( x ) d 巧+ b i ( x ) d i + c ( z ) ( 2 - 1 4 ) 巧 t 这里我们通常设( z ) ，b i ( x ) 和c ( z ) 是q 中的有界连续函数如果存在6 0 ，使得 o o ( z ) & 6 j 2 ，v z q ，比r ”则我们称l 是一致椭圆的 定理2 2 ( c ( z ) 三0 时关于l 的弱极值原理) 设l 是如上定义的一致椭圆算子，且 假定c ( z ) 三0 i ) 如果在q 中l u 0 ，那么 i i ) 如果在q 中l us0 ，那么 r a i n u m i n ( 2 1 5 ) n a n 、 7 m a x u 0 且存在q 中的一个球b 及一点z 。a qno b 满足 u ( x ) “( z 。) ，v 2 b 那么对于点处的任意外法向导数都有 掣 r a i n u d 一0 d ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 然后我们证明 在0 d 上的极小值实际上是在点达到，即 v ( z ) 芝v ( x 。) 比0 d ( 2 2 4 ) 显然，由( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) 便能推得( 2 2 0 ) 为证( 2 2 2 ) ，我们直接计算 n 几 l w = e 咄4 q 2 乜u ( zx t 巧一2 q a i i ( z ) 一玩( 咖i 】_ c ( z ) r + c ( z ) e 一2 i , j = li = 1 n 扎 e 咄吧4 q 2 。巧( 咖t 巧一2 q 【( z i i ( z ) 一b ( z ) z 。】- c ( z ) ) ( 2 - 2 5 ) 由l 是一致椭圆算子的假设可知在d 中： 。巧( z ) z t 巧唰2 6 ( 三) 2 0 l ，= 1 ( 2 2 6 ) 因此我们可选择足够大的q ，使l 叫0 结合假设中的l u 0 就可推出l v 0 ，再由 弱极值原理就可得到( 2 2 3 ) 为证明( 2 2 4 ) ，我们把o d 分两部分进行论证 ( i ) 在a dnb 上，因为u ( z ) l z ( x 。) ，存在一个c 。 o ，使得u ( z ) u ( x 。) + c 。取e 足够小，使得在a dnb 上有e i 叫l c 。，从而 v ( x ) u ( x 。) = v ( x 。) ，比0 dn 1 3 ( i i ) 在a dn0 b 上，因加( z ) = 0 ，同时由假设u ( z ) 2u ( x 。) ，可得u ( z ) v ( x 。) 证 明完毕 1 2 第二章预备知识 定理2 4 ( c ( z ) 三0 时关于l 的强极值原理) 设q 为r 凡中一有界连通的开区域， 其边界a q 光滑假设函数u c 2 ( q ) nc ( a ) ，且在q 中c ( z ) 兰0 ( i ) 如果 l u ( x ) 0 ，z q ，( 2 2 7 ) 那么除非u 是常数，否则u 只能在在a q 上达到其极小值 ( i i ) 如果 l u ( x ) 0 ，z q ， ( 2 2 8 ) 那么除非札是常数，否则扎只能在a q 上达到其极大值 证明：我们只证明命题( i ) ，命题( i i ) 同理可得设“在q 中的极小值是m 记e = z qi 札( z ) = m ) 它在q 中是相对闭的我们证明要么是空集要么就是q 本身 用反证法假设是q 的非空真子集我们能够找到一开球bcq e ，其边界上一 点属于实际上，在q 中能找一点p 使得d ( p ，e ) u ( z 。) 这样我们可用h o p f 引理推出外法向导数 豢( x o ) 、 o z - z g 一) 瓦【 o ) ，函 数u ( x ，y ) = x n 显然，u = 0 ，但让不满足极值原理： m a xu m a x u q a q 同等重要的是系数c ( x ) 的非负性例如，在集合q = ( z ，y ) r 2l i i t x 詈，一号 y 吾) 上，函数u = c o s xc o sy 满足 l - k u 一2 u = 0 ，在q 中 iu = 0 ， 在a q 上 但是，在q 中某些点上u 。，在彩( 。) 其第一个正特征值是更准 确地，若设砂( z ) = 矽( ：) ，那么 砂-。az，o：=。，砂(z)zzab6a。o。)。， c 2 3 4 ， 证明过程比较容易，这里就不再证明 定理2 6 的证明：先证明定理的第一部分 i ) 假设在q 中某点u = 0 ，但在q 中u 声0 令 q 十= x qu ( x ) o ) 则由u 的正则性知，q + 是具有c 2 边界的开集显然， 让( z ) = 0 ，vz a q + 设z 。是a q + 上一点，但不在a q 上取p 0 充分小，可使某一个以z 。为边界点的 球b p 3 ( 牙) cq + 考虑b p ( ) 上的特征值问题( 2 3 4 ) 设砂是相应于其第一个正特征 值歹) k i 的正特征函数显然， b ( z 。) 完全覆盖了b p 3 ( 牙) 且在b o 3 ( 牙) 上，有砂( z ) 。 令u = 石u 则由( 2 - 3 2 ) ，不难得到 f 也匈u 孚+ 妻渊b i ( x ) d i v + ( 孚+ 喜半州z ，卜 一 + 茂( z ) d t 可+ 己( z ) 设驴是在b l 上关于特征值问题( 2 3 3 ) 的正特征函数那么 如) = 等+ 1 妻i = 1 警+ c ( n 现取足够小的p ，使5 ( x ) 0 这样我们便由h c ，引理推得：在球b p 2 ( x , ) 的边界点z 。 处，其外法向导数 o v ( z 。) 0 ，( 一2 - 3 5 一) u z 。) 。比助3 ( 孟) ， ( ) = 而u ( x o ) = 。 另一方面，因为是v 在q 内部的极小值点，则有 9 ( z 口) = 0 这与( 2 3 5 ) 相矛盾，从而证明了定理的命题i ) i i ) 的证明与命题j ) 相似只是我们考虑的点是在a q 上，而球b p 3 ( x , ) 含于q 中，且z d o b p 3 ( 孟) 那么对u 的外法向导数，有 考( 训= 舅( 砂( + ( 筹( = 舅( x o ) 砂( x o ) o 此处我们用了一个熟知的事实，即：特征函数砂在球b ( z 。) 上关于中心是径向对称 的，因此v 砂( z d ) = 0 定理证明完毕 2 3基于比较的极值原理 在上一节中，我们看到如果( 一- 4 - c ( z ) ) u 0 ，那么极值原理，即( 2 1 6 ) 成立其中 需要c ( x ) 0 我们可以将一看成是正算子，而对任意的正算子极值原理成立对 于c ( x ) 0 ，一a + c ( z ) 仍然是正算子那么是否一定要求c ( x ) 0 7 为了探讨这个问 题，我们先来考虑一的d i r i c h l e t 特征值问题： 一咖一a 咖( z ) = o z q ( 2 - 3 6 ) i 移( z ) = 0 ， z 0 9 t 我们注意到，对应第一个正特征值a 1 的特征函数咖在q 中不是正的就是负的即当a = 入1 时( 2 3 6 ) 的解符合极值原理，即的极值只能在边界a q 上达到这表明，为保证极值原 理成立，c ( z ) 并不需要是非负的，可以允许它像- a 1 一样负更精确地，我们能够证明 下面更一般的基于比较的极值原理 定理2 7 设q 是有界区域，正函数在q 上满足 矽- i - a ( z ) 20 ( 2 3 7 ) 1 6 第二章预备知识 假设u 是问题 的一个解 如果 a ( z ) ，v x q ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) 爿b 么在sz 中必有“0 证明：用反证法假设在q 中有一点，使 o ，可 知在q 中一定有可( z ) 0 的点设q 是u ( z ) 的一极小值点且u ( z 。) 0 由直接计 算可得 一a v = 2 v 秽，孚+ 石1 ( 也+ 等吵( 2 - 4 0 ) 口dd 一方面因为z 。是极小值点则 - a v ( z 。) 0 且v v ( x 。) = 0 但另一方面，由( 2 - 3 7 ) ，( 2 3 8 ) ，( 2 - 3 9 ) ，以及u ( x 。) 一a u ( x 。) + c ( z 。) u ( z 。) 0 ( 2 4 1 ) 这显然与( 2 4 0 ) 和( 2 4 1 ) 矛盾 定理证明完毕 注2 2 从证明中可以看出，只有在u 达到其极小值点，或者u 取负值的点才需要条 件( 2 3 7 ) 和( 2 - 3 9 ) 如果t 在无穷远处非负，该定理对无界区域也成立 定理2 8 如果q 是一无界区域，除了条件( 2 - 3 7 ) ，( 2 3 8 ) 和( 2 3 9 ) ，我们还假设 l i 田i n f u ( z ) 0 ( 2 - 4 2 ) h 。 那么在q 中u20 1 7 用移动平面法研究两类方程正解的结构和性质 证明：仍然引进和定理2 7 证明中相同的函数u ( z ) 条件( 2 4 2 ) 保证了v ( x ) 的极小 值点不会”漏到”在无穷远去，即v 仍在q 中的某点取到极小其余的证明和定理2 7 相同证毕 为了应用方便，我们提供两种特殊情形，其中存在函数和c ( z ) ，满足条件( 2 3 7 ) 和( 2 - 3 9 ) 从而使我们可以应用基于比较的极值原理 i ) 狭窄区域， i i ) 在o o 处c ( z ) 退化得足够快 力狭窄区域当 q = zl0 一与裂，v 川 r ( 2 - 4 3 ) 且设 ”l i m 。u ( z ) = o 1 8 第二章预备知识 对于无界区域d ，我们考虑 如果u 在q 中满足( 2 - 3 8 ) ，那么 q = d b r ( 0 ) u ( z ) 0 对所有x q 注2 3 从注解2 2 可以看出，事实上，只有在u 取负值的点才需要条件( 2 - 4 3 ) 注2 4 尽管定理2 7 和它的推论是针对线性形式，它们也可应用到非线性方程，例 如： 一饥一i “i p - 1 u = 0 ，x r 几( 2 4 4 ) 1 假设当s o 一1 ) 2 b , - t ，方程的解u 在无穷远处以速度赤退化令c ( z ) = 一l u ( x ) l p 则取兄充分大，c ( x ) 在q = i i 跫n b r ( 0 ) 中满足( 2 - 4 3 ) 进一步假设 ul a n 0 ， 那么我们可以从推论2 2 导出在整个区域q 中u 0 2 4积分不等式的极值原理 这一节，我t t 弓i 进了积分方程的极值原理设q 是r n 中一区域，不必是有界的假 设 k ( z ，y ) 芝0 ，v ( x ，y ) eq xq 定义下面积分算子t ( t f ) ( x ) = k ( z ，y ) f ( y ) d y ，q 设”i i 为b a n a c h 空间中的范数，满足 只要在q 中0 ，( z ) g ( z ) ，就有i i l l i l i g l i ( 2 4 5 ) 实际中，有很多满足( 2 4 5 ) 的范数，比如( q ) 范数，l o 。( q ) 范数，c ( a ) 范数 1 9 用移动平面法研究两类方程正解的结构和性质 定理2 9 假设 如果 那么对所有z q 证明：定义 丁夕l iso l l g l i 对某些0 p o ) ， ( 2 4 7 ) ，+ ( z ) = m a x 0 ，( z ) ) ，厂一( z ) = m i n 0 ，( z ) ) 则对任意的z q + ，有 0 厂+ ( 2 7 ) ( t f ) ( x ) = ( t f ) + ( z ) + ( t f ) 一( z ) ( t f ) + ( z ) ( 2 4 9 ) 在区域q 的其它部分，则由定义知，+ ( z ) = 0 ，( 丁厂) + ( z ) 0 因此对任意的z q ，( 2 4 9 ) 都成立由( 2 4 9 ) 可得 f i ，+ i i l i ( t f ) + i | o l l f + 因为p 1 ， 3s t1( 2 5 0 ) i i z f l l l ，( n ) c i i c ( y ) i i l r ( n ) l l ，( n ) ， ( 2 5 1 ) 如果c ( y ) 有适当的可积性，那么由定理2 9 我们可将极值原理运用到狭窄区域和无 穷远点附近更精确地，有下面推论： 推论2 3 设c ( y ) 0 且c ( y ) l 7 。( 融) 令厂z e ( e n ) 是满足( 2 5 0 ) 和( 2 5 1 ) 的非 负函数则存在只依赖于c ( y ) 的正数，使得 如果p ( qnb r o ( o ) ) e 。，那么在q 中，+ 三0 其中z ( d ) 是集合d 的测度 证明：因为c ) 三r ( r 佗) ，由l e b e s g u e 积分定理，当q 和b n 。( o ) 交集的测度充分 小时，我们可以使积分矗i c ( 可) 1 7 d y 要多小有多小，从而 c i i c ( y ) i i l r ( n ) 1 。 现在由定理2 9 知 ，+ ( z ) 兰0 ，v z q 推论证明完毕 注2 5 可以看到，推论中的条件p ( qf qb r 。( o ) ) e 。在下面两种情况下满足： i ) 狭窄区域：q 在某个方向上宽度很小 i i ) 无穷远点附近：例如，q = b 磊( o ) ，即球b r ( 0 ) 的余集，则当只充分大时，推论中 的条件显然成立 2 5h a r d y l i t t l e w o o d s o b o l e v 不等式及等价形式 这一节中，我们引进了h a r d y - l i t t l e w o o d s o b o l e v 不等式以及它的一种等价形式我 们先给出经典的h a r d y l i t t l e w o o d s o b o l e v 不等式至于更多的证明细节，我们可以查阅 参考文献 4 或 5 】 2 1 用移动平面法研究两类方程正解的结构和性质 定理2 1 0 ( h a r d y - l i t t l e w o o d s o b o l e v 不等式) 设0 a 几，1 s ，r 。，i l f l l p 表示函数，的口( 瓞”) 范数，且有等式 ! + 兰+ 垒：2+ 一+ 一= r s几 成立那么若，l 7 ( 舻) ，g l 5 ( ) 则 上。上。雠d x d y c ( s 枷) l l f l l 川夕i i 。 其中 州川= 糕( ( 尚) v ”+ ( 羔) v “) ( 2 5 2 ) b ni 表示r n 中单位球的体积 由上面经典的h a r d y l i t t l e w o o d s o b o l e v 不等式，我们可以得到它的一种等价形式 推论2 4 ( h a r d y - l i t t l e w o o d s o b o l e v 的一种等价形式) 设g p ( 黔) ，其中击 p 。和对某些z 。r n 后来，c a f f a r e l l i ，g i d a s 和s p r u c k 在文献 2 1 】中证明了在去掉退化假设u = o ( i x l 2 川) 后仍然有相同的结论在次临界情形1 p 。和某些z 。砭几 i i ) 当p 老，q 2 下解的对称性，即： 定理3 3 设p 几n + 一n a ，q 2 ，若u 是方程( 3 - 1 ) 的正解，且在无穷远处满足 一o ( 南) ，胗寿 则u 必关于某点是径向对称且单调递减 证明：定义 a = z = ( x l ，z n ) r nix l 入) ，7 叉= 0 e x 设z a 是x 关于平面乃的对称点即 x a = ( 2 入一z 1 ，z 2 ，x n ) 证明过程分两步，第一步，我们从区域瞅的几乎最左端( 即x l = 一附近) 开始 我们证明，当a 足够负时，有 w x ( x ) 0 ，v x a ( 3 - 3 ) 这里，我们用了“无穷远处退化的原理” 第二步，我们开始沿着x l 的正方向向右移动平面a ，只要( 3 3 ) 成立就一直向右移 动这样，平面将会在某个极限位置停下来，假设它在a = k 处停下我们要证明 叫k ( z ) 三0 ，v x a 。 这就说明解u 是关于平面死。对称且单调递减的又因为z - 轴的方向是任意的，我们就 推得解u 必定关于某点径向对称且单调减 下面给出详细证明 第一步准备在一o o 附近开始移动平面 ( 1 ) 先证q = 2 时的情形 2 6 、l ， z ，l u一 、l ， z ， u = z ，l 叫 、l ， zu = 、l ， z 一( u 令 第三章r n 中一“= 让p 正解的结构 为证明( 3 - 3 ) ，对充分负的入成立，我们对叫a ( z ) 运用极值原理由让a 的定义易知， u a 和u 满足相同的方程即 2 时的情形 仅仅验证退化率，其余的证明与( 1 ) 完全一样，由解的退化性假设 一d ( 南) ，胗奇 2 7 用移动平面法研究两类方程正解的结构和性质 知存在e 0 ，使p = 与+ e ，即 一。( 赤) ， 直接得到 吠。1 ( 非洲赤) p 1 】划雨杀) 这里高的幂比2 大，这正是我们期望得到的因此，运用“基于比较的极值原理”可得： i z i 当a 充分负( 吲充分大) 时，就有( 3 3 ) 成立这就完成了移动平面的准备工作 第二步移动平面直至极限位置得到对称性 现在我们开始增加a 的值向右移动平面乃，只要不等式( 3 - 3 ) 成立就一直向右移动 定义 a 。= s u p ai 训a ( z ) 0 ，v x a ) 由乱在x 1 = + 附近的渐近性，易知a 。 0 ( 3 - 6 ) 这时我们将推得平面瓦。仍能向右移动- d , 段距离更确切的说，存在5 0 0 ，使对所有 的0 6 0 为了克服这个困难，我们引入一个新的函数 酬= 掰， 其中 州= 即1 ，o q 0 ( 不依赖于a ) ，使得如果x 。是仍a 的一个极小点且满足面a ( z d ) 0 ，那么妒i 0 ，( 3 - 7 ) 式都不成立这就存在一列趋 于0 的数 以) ，以及对应的面a 。托的负极小值点一已知x a 。+ 瓯，则x 。芝忑 由引理3 1 ，我们有 i x 。i r d ，v i = 1 ，2 ， 从而存在一个收敛到扩的子列( 仍然用( 一 表示) 由此推得， v 西a 。( 矿) = 1 i m 、v 面a 。+ 民( ) = 0 l _ ，。 和 仍a 。( z 。) = 1 i 口面a 。+ 民( ) 0 t o o 然而，我们已知面k 0 ，因此就有矾。( z 。) = 0 因而 ( 3 - 9 ) v 训a 。( z 。) = v 面a 。( z d ) ( z 。) + 西a 。( z 。) r e = 0 + 0 = 0 ( 3 - 1 0 ) 另一方面，因为w 2 。 。) =