（工程力学专业论文）斜拉桥拉索非线性振动的数值研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 斜拉桥是广泛采用的大跨度桥梁形式之一。做为斜拉桥的主要受力构件之一，斜拉 索的柔度比较大，极易在风、风雨或交通荷载的作用下发生大幅振动，影响桥的安全性 和耐久性，因此，对斜拉索的振动进行机理研究和数值分析是提高斜拉桥设计水平的重 要工作之一。 本文考虑了斜拉索的垂度及其面外振动，将桥面的弹性振动视为独立的自由度，对 拉索和桥面耦合系统的非线性振动建立了数学模型。在此基础上，采用g a l e r k i n 方法将 控制方程离散，并对其进行了数值积分求解。论文中针对一条实际的斜拉索，在不同的 初始条件下，对耦合的索一桥非线性振动进行了详细的计算。首先研究了斜拉索发生参 数共振的可能性，通过对计算结果的分析指出：当满足一定的条件时，桥面的微小扰动 会诱发斜拉索的大幅振动，同时，还有可能发生面外的大幅“摆振”可以观察到明显 的“拍”现象，能量在几个自由度间转移，此消彼长，但总能量保持不变。比较不同初 始条件下的计算结果还可以发现，斜拉索的振幅主要受桥面振幅的影响，而与其初始扰 动关系不大；其次，本文还研究了斜拉索可能发生的1 ：1 谐波共振。数值计算的结果表 明，满足一定的频率比时，拉索将发生1 ：l 谐波共振，并伴随面外的大幅“摆振”。最 后，本文研究了拉索处阻尼对拉索振动的影响。计算结果显示，对参数共振，拉索处阻 尼将引起振动的迅速衰减，衰减速率随阻尼的增加而增大，而对于l ：l 谐波共振，拉索 处阻尼则影响不大。 通过对斜拉桥拉索非线性振动的数值研究，可以加深对斜拉索非线性行为的理解， 为控制其振动提供理论基础。 关键词：斜拉索；非线性振动；参数共振；耦合 斜拉桥拉索非线性振动的数值研究 n u m e r i c a ls t u d yo nn o n l i n e a rv i b r a t i o no fc a b l e s i nc a b l e - s t a y e db r i d g e s a b s t r a c t t h ec a b l e - s t a y e db r i d g ei sw i d e l yu s e di nl a r g e - s p a nb r i d g e s ，a st h em a i np a r tt os u p p o r t t h ew e i g h to ft h eb r i d g e ，t h es t a y e dc a b l ei sp r o n et oe x h i b i tv i b m f i o no fl a r g ea m p l i t u d e u n d e rt h ew i n d , w i n d - r a i no rt r a f f i cl o a d sd u et oi t sf l e x i b i l i t y t h i so s c i l l a t i o nc a ng r e a t l y a f f e c tt h ep e r f o r m a n c eo ft h eb r i d g e s oi no r d e rt oi m p r o v et h ed e s i g nl e v e lo fc a b l e - s t a y e d b r i d g ei ti si m p o r t a n tt os t u d yt h em e c h a n i s mo f t h ev i b r a t i o na n dp e r f o r mn u m e r i c a la n a l y s i s c o n s i d e r i n gt h es a go ft h ec a b l e , o u t - o f - p l a nh b m t i o na n dt h eo s c i l l a t i o no ft h eb r i d g e d e c k , am o d e lo f c o u p l e dn o d i n e a rv i b r a t i o no f t h ec a b l ea n db r i d g ed e c ki se s t a b l i s h e d t h e n t h eg o v e r n i n ge q u a t i o n sa d i s c r e t i z e du s i n gg a l e r k i nm e t h o da n ds o l v e dt h r o u g hn u m e r i c a l i n t e g r a t i o n i nt h i sp a p e ra na c t u a lc a b l ei st a k e n 嬲a ne x a m p l ea n dd e t a i l e dc o m p u t a t i o ni s p e r f o r m e do nt h ec o u p l e d “b m t i o nu n d e rv a r i o u sc o n d i t i o n s f i r s t , t h ep o s s i b i l i t yo f o c c u r r i n gp a r a m e 仃i co s c i l l a t i o ni ss t u d i e d t h er e s u l t ss h o wt h a tu n d e rc e r t a i nc o n d i t i o u s l a r g ea m p l i t u d ev i b r a t i o nm a yo e 扭l rb e c a u s eo ft h eo s c i l l l a t i o no fb r i d g ed e c k , a tt h es a m e t i m e ，l a r g ea m p l i t u d eo u t - o f - p l a nv i b r a t i o nc a l l e ds w i n gm a ya l s oa p p e a r t h e b e a t p h e n o m e n ac a nb es e e no b v i o u s l ya n dt h ee n e r g yf f a n s f e r sf r o mo n ed o f t oa n o t h e rw h i l e t h et o t a li 印sc o n s t a n t i ta l s oc a nb es e 地nf r o mt h er e s u l t st h a tt h ea m p l i t u d eo ft h ec a b l ei s m a i n l yd e t e r m i n e db yt h ea m p l i t u d eo f t h eb r i d g ed e c k s e c o n d , t h ei ：1h a r m o m cr e s 咖c e i ss t u d i e di nt h i sp a p e r t h en u m e r i c a lr e s u l t si n d i c a t et h a tu n d e rc e r t a i nf r e q u e n c yr a t i o1 ：1 h a r m o m cr e s o i l a p c cm a yt a k ep l a c ew i t ht h eo c c u l t e n c eo fl a r g ea m p l i t u d eo u t - o f - p l a n v i b r a t i o n f i n a l l y , t h ed a m p i n ge f f e c ti si n v e s t i g a t e d t h er e s u l t ss h o wt h a tf o rp a r a m e t r i c r e s o n a n c e ，t h ea m p l i t u d eo fc a b l ed e c r e a s e sr a p i d l yb e c a u s eo ft h ed a m p i n ga n dt h e d e c r e a s i n gv e l o c i t yi n c r e a s e sw i t hr e s p e c tt ot h ei n e a s eo fd a m p i n gw h i l e1 ：1h a r m o m c r e s o n a n c ed o e sn o t t h r o u g ht h en u m e r i c a ls t u d yo ft h en o n l i n e a rv i b r a t i o no ft h es t a y e dc a b l e , m o r e i n f o r m a t i o na b o u tn o n - l i n e a rb e h a v i o ro f s t a y e dc a b l ei sg o t t e n k e yw o r d s ：s t a y e dc a b l e ；n o n - l i n e a rv i b m t i o mp a r a m e t r i cr e s o n a n c e ；c o u p l e i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 作者签名： 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名： 导师签名 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 研究背景及意义 斜拉桥是由索、塔和梁构成的组合体系桥梁结构，桥面体系以受压为主，支撑体系 以斜拉索受拉和桥塔受压为主。自1 9 5 6 年瑞典建成第一座现代斜拉桥( s t r o m s u n d 桥， 主跨1 8 3 米) 后，斜拉桥以其跨越能力大、整体刚度及抗风性能好、造型优美、建设相 对容易等特点而成为现代桥梁工程中发展最快、最具有竞争力的桥型之一。尤其是随着 计算分析水平的提高、正交异性桥面板制造工艺的成熟以及施工技术的进步，斜拉桥在 世界范围内得到广泛应用，目前，世界约建成3 0 0 多座斜拉桥，其中，日本的多多罗大 桥( t a t a r a b r i d g e ，主跨8 9 0 米，1 9 9 9 年建成) 和法国的诺曼底大桥( n o r m a n d i e b r i d g e ， 主跨8 5 6 米，1 9 9 4 年建成) 是斜拉桥建设史上的里程碑：它们首次使斜拉桥进入特大跨 度桥梁领域。我国斜拉桥建设起步较晚，但发展迅速，目前已建成约5 0 余座。第一座 斜拉桥为建于1 9 7 5 年的四川云阳桥，主跨7 6 米。随后，相继建成了上海杨浦大桥( 主 跨6 0 2 米，1 9 9 3 年建成) 、南京长江二桥( 主跨6 2 8 米，2 0 0 1 年建成) 、南京长江三 桥( 主跨6 4 8 米，2 0 0 5 年建成) 等一批大跨度桥梁，正在建设中的香港昂船洲大桥和苏 通长江大桥主跨则分别达到了1 0 1 8 米和1 0 8 8 米，使斜拉桥跨度首次突破千米大关。2 1 世纪初，我国公路建设将形成以高速公路为主的五纵七横国道主干网络，需要建设更多 的跨越大江河和海湾的大跨度桥梁，做为现代交通工程中广泛采用的桥梁体系，斜拉桥 必将发挥更大的作用，得到更大的发展。 随着斜拉桥跨度的增加，作为主要的受力构件，斜拉索的长度也相应增加，如杨浦 大桥的最长索为3 2 5 米，多多罗大桥达4 6 0 米，而建成后的昂船洲大桥最长索将超过5 0 0 米。由于本身具有大柔度、小质量、小阻尼的特点，随着长度的增加，斜拉索极易在风、 风雨、交通等荷载作用下发生大幅振动。1 9 8 8 年，比利时的b e n - a h i n 桥的九根索发生 了振幅高达1 米多的振动，同年，w a n d e r 桥也发生了类似的现象【l 】；1 9 9 5 年，美国的 f r e dh a r t m a n 桥由于斜拉索的风雨振动导致斜拉索的根部索套开裂田；1 9 9 6 年，荷兰的 e r a s m u s 桥开通不足两个月就因拉索的大幅振动被迫关闭【3 】。在我国，也有不少关于斜 拉桥拉索大幅振动的报告：杨浦大桥在1 9 9 4 年和1 9 9 5 年曾三次因拉索的振动而导致减 振器脱落；南京长江二桥的拉索也曾发生过大幅振动的现象。斜拉索这种大幅振动的危 害是显而易见的：不仅会造成巨大的经济损失，而且还可以引起索的疲劳，在索锚接合 处产生疲劳裂纹，破坏索的防腐系统，严重的甚至会引起索的失效，而任何一根索一旦 丧失承载能力，都会引起斜拉桥整体内力的重新分布，导致斜拉桥的整体失稳和破坏。 因此，斜拉索的振动问题引起了各国学者的广泛关注。1 9 8 8 年，日本建设工程委员会( t h e 斜拉桥拉索非线性振动的数值研究 l u s d m t eo f c o n s t r u c t o ne n g i n e e r i n g ) 组织了专门的研究小组，重点研究斜拉桥拉索的风 振特性；1 9 9 6 年，在美国联邦公路委员会的组织下，研究了拉索在轴力作用下的动力响 应，并建立了包括1 4 0 0 多根拉索在内的拉索数据库，为斜拉索的研究做了大量的工作【4 l 。 揭示斜拉桥拉索大幅振动的机理对于研究其振动抑止措施具有重要意义。而作为一 种综合性现象，斜拉索的大幅振动一直是桥梁工程界和力学界的研究热点和难点，国内 外学者分别从风雨激振 5 - h 、强迫振动睁1 0 】等不同角度研究斜拉索的振动，但对其振动机 理，学术界至今仍未有统一的认识。不过，近年来普遍认可的观点是，拉索在桥面振动 的激发下所发生的非线性振动行为是其发生大幅振动的主要机理之一。 本文在文献中已有工作的基础上，将桥面的弹性振动作为单独的自由度来处理，从 而有别于其他文献中将其指定为简谐振动的做法，得到了斜拉桥拉索一桥面耦合的非线 性振动方程组，通过数值积分方法，计算了不同频率比下斜拉索振幅随时间的交化历程， 进一步充实了对斜拉索大幅振动机理的研究。 1 2 斜拉桥拉索的振动及研究现状 1 2 1 斜拉索振动类型简介 在桥梁结构中，引起斜拉索振动的因素很多。而对其振动类型，不同学者有不同的 划分方法。文献【“】对斜拉索的振动进行了分类，文献【1 2 】则对斜拉索各种类型的振动 进行了简要介绍。迄今为止，已经发现的斜拉索可能的振动类型主要包括以下几类：l 、 涡激共振；2 、抖振；3 、尾流驰振；4 、空气动力失稳；5 、风雨激振；6 、参数振动。 涡激共振是指当气流通过物体时，交替在物体的上下部产生漩涡，激起与气流方向 垂直的力，引起物体的横风向振动。漩涡的脱落频率为；= c 程d ，u 为风速，d 为 索的直径，s 为s t r o u h a l 数，对圆截面而言，其值为0 1 8 。当漩涡的脱落频率与索的某 一阶横向固有振动频率相等时，就会产生横风向共振，称为涡激共振。涡激共振发生后， 继续增大风速，漩涡的脱落频率仍然保持不变，这种现象称为锁定共振。对索的第七阶 模态而言，产生涡激共振的临界风速为：【0 = d i ( o 1 s t o ，五为索第k 阶模态的振动周 期。实际上，由于索的直径较小，产生涡激共振的临界风速较低，涡激力并不大，因此 实际可观察到的涡激振动通常发生在索的高阶模态，并且振幅较小，不会产生严重的后 果。但由于激发振动的风速较低，故产生这种振动的机会较多，有可能在索端部产生疲 劳破坏。 抖振是由于风的风速脉动引起的结构随机振动。由于斜拉索的内力很大及空气动力 阻尼的作用，这种振动的幅值很小。然而，抖振会使斜拉桥产生一种特殊的空气动力失 稳【1 2 】：对斜拉桥的两平行索面，阵风击打上下两排索面的时间差为：b u ，b 为两索 一2 一 大连理工大学硕士学位论文 面间距离，u 为风速。如果该时间差恰好是桥面扭转振动周期( 霉) 的一半时，就会产 生不稳定的振动，临界风速为：【= 2 b t , 。 尾流驰振是风流过上风侧物体产生的尾流，使下风侧索产生沿椭圆形轨迹的较大振 动。试验表明【l 习，产生尾流驰振的条件是：l d = 3 5 口5 ，三为上下风侧两物体间的距 离，d 为上风侧物体的挡风宽度。对斜拉桥拉索而言，显然大于这个值，因此在斜拉桥 的两根拉索之间不会发生这种类型的振动。但对于靠近桥塔的短索，由于桥塔的尺寸较 大，很有可能发生这种类型的振动。产生尾流驰振的临界风速为：【= h ( s t a ，h 为 上风侧挡风物体的横向尺寸，s 为相应的s t r o u h a l 数，瓦为第k 阶模态的振动周期。 空气动力失稳包括横风向的驰振和顺风向的发散振动。当拉索的截面不是标准的圆 形截面时，其形状可能会导致拉索的横向驰振。这种振动是由于气流与结构物之间的相 互作用，空气动力阻尼的影响，使结构成为负阻尼振动，不断对振动输入能量，使振动 发散。由于斜拉索一般是标准的圆形截面，由d e n i - i a r t o g 判据可知，当风垂直流过斜拉 索时，不会产生横风向驰振。当索的表面形状改变，如冰霜附着在索表面时，则有可能 发生驰振。实际上，风的方向大多数时候与索轴线不垂直，而是有一个攻角，此时，不 稳定驰振也有可能发生。风与结构互相作用时，如果阻力系数c 与风速u 满足一定的 关系，气动力将使振动加剧，产生不稳定的顺风向振动。 风雨激振是指在风和雨的共同作用下，斜拉索发生的大幅振动，简称为“雨振”。 二十世纪八十年代，h i k a m i 等1 1 4 】首次在m e i k o n i s h i 桥上详细观察到了拉索的风雨激振 现象。随后，在其他国家的许多斜拉桥上也观察到了同样的现象。由于这种类型的振动 要求的风速较小，中、小雨时即可发生，且振幅值很大，严重影像了桥梁的正常使用， 因此，关于斜拉桥拉索风雨激振的研究很快得到了广泛的重视。总结起来【1 5 1 ，斜拉桥拉 索风雨激振的主要特点有：l 、大中小雨情况下均可发生；2 、振动频率约在0 6 - - 3 0 h z 之间，一般为单阶振动；3 、发生振动的风速范围约为6 - - 1 8 m s ；4 、振动主要为面内振 动，并呈现出“拍”现象。由于拉索风雨激振问题涉及气( 风) 、液( 雨) 和固( 拉索) 三态的耦合，影像因素较多，国内外学者虽然已经得到一些结论，但至今仍没有成熟的 理论计算模型，对其振动机制尚需近一步的研究。 在风或交通荷载作用下，使桥面或桥塔发生振动，如果桥面或桥塔的某一阶振动频 率接近于索的固有频率的两倍时，斜拉索将产生大幅振动，这种振动称为斜拉索的参数 共振。在一个振动系统中，激励作为参数出现，并且随时间变化，这样的激励称为参数 激励，在参数激励作用下的振动称为参数振动【1 6 1 。与外激励系统不同的是，在参数激励 系统中，当激励的频率接近系统某一阶固有频率的两倍时，小的激励也将产生大的系统 斜拉桥拉索非线性振动的数值研究 响应。对斜拉桥拉索参数振动的研究方法，按激励的形式可大致分为两大类：第一类是 理想激励系统，即认为桥面的质量远大于索的质量，其振动的频率和幅值不受拉索振动 的影响，只按指定的方式变化。第二类是非理想激励系统，即认为桥面的振动和拉索的 振动是相互耦合的，桥面振动的频率和幅值在响应过程中不断变化。建立索桥耦合振动 系统，比第一类方法多一个自由度。对斜拉索参数振动的研究【l “1 9 】表明，斜拉索的动态 响应主要与斜拉索与桥面的固有振动频率比、桥面的初始振动水平、斜拉索与桥面的质 量比值以及反映索的几何与弹性特性的i n i n e 数入等因素有关，与斜拉索的初始扰动基 本无关。 1 2 2 国内外研究进展 早在1 8 世纪上半叶，t a y l o r ，d a l e m b e r t ，e u l e r 和b e r n o u l l i 就对绷紧弦的振动进 行了研究，并提出了弦的基本振动理论。而对索的振动问题作出早期重要贡献的是 p o i s s o n ，他在1 8 2 0 年给出了索在一般力作用下的偏微分运动方程，对前人得到的悬索 和绷紧弦的振动解作了改进。1 8 5 1 年，r o h r s 和s t o k e s 合作得到了小垂跨比下均匀无伸 张悬索的面内对称振动近似解。1 9 4 0 年，美国的塔克马海峡桥( t a c o m a n a r r o w sb r i d g e ) 发生坍塌，激发了对地面索桥拉索的振动研究，并以此为契机，开始了桥梁的动态抗风 设计。1 9 4 1 年和1 9 7 3 年，k a r m a n 和r a l l n i e 分别给出了三跨索在非伸张条件下的面内 对称和反对称振型。1 9 5 0 年，b i e i c h 等考虑了索的弹性作用，对悬索桥进行了较全面的 研究。1 9 7 7 年，t a g a t a 【2 0 】研究了水平索( 忽略垂度影响) 在轴向力作用下的一阶参数振 动问题，导出了无量纲的m a t h i e u 方程，然后利用谐波平衡法求解了该方程，并和试验 结果做了对比。i r v i n e 系统总结和发展了前人对拉索振动的研究成果，在文献 2 1 中， 他详细研究了小垂度拉索的线性振动问题，建立并求解了其振动方程，得到了许多重要 的结论，为进一步研究斜拉索的振动问题奠定了基础。此外，他还建立了张紧拉索的非 线性方程，但没有给出其解。m e i r o v i t c h 2 2 的研究表明，对于张紧索，无阻尼时的面内稳 态响应由d u f f m g 方程的解给出。越来越多的研究也表明田】必须在非线性力学框架内研 究拉索的振动问题。 早期的研究工作主要集中在线性理论和直线索方面，但是，随着桥梁技术的进步， 斜拉桥拉索的长度越来越大，几何非线性问题变得特别突出，尤其是对于特大跨径的斜 拉桥，其自重产生的垂度较大，忽略非线性的影响将使分析与工程实际不符。1 9 8 0 年， h a g e d o r n 和s c h a f o u l 研究了三维斜拉索的非线性自由振动问题，考虑了方程中二次和 三次非线性项对拉索固有频率的影响。1 9 8 4 年，l u o n g o 等人脚垤导了拉索在平衡位置 附近振动的动力方程，利用c r a l e r k i n 法将偏微分方程转化为常微分方程，采用 - 4 - 大连理工大学硕士学位论文 l i n d s t e d t - p o i n c a r e 法求解了保留四次摄动项的方程，得到了闭合形式的频率一振幅关系， 结果表明：方程中的高次项在拉索大幅振动时，对拉索的振动特性有很大影响。r e g a 等口q 研究了张紧以及松弛的悬索在平面内的运动，讨论了面内对称及反对成模态的频率 一振幅关系，并发现悬索几何非线性的硬化或软化特性依赖于索本身的参数及其振幅大 小。1 9 8 5 年，a i - n o u r y 等1 2 7 研究了抛物线悬索面内面外的非线性耦合问题，主要讨论 了在变化的横向及竖向谐振激励作用下由内共振引起的谐波响应。1 9 8 6 年，b e n e d e t t i n i 等 2 8 1 也对拉索的面内面外的耦合振动进行了研究，结果显示两种模态问的能量转移以 “拍”的形式进行。1 9 8 7 年，b e n e d e t t i n i 等阴在考虑了拉索控制方程中由于静力平衡状 态时的曲率引起的二次非线性项和拉索伸长引起的三次非线性项的前提下，对一个单自 由度模型利用多尺度法进行了研究，得到了拉索在谐振激励下的面内响应。l u o n g o 等1 2 9 详细研究了三维弹性斜拉索的几何非线性问题，发现面外运动对面内运动有参数激励的 作用，他们之间存在非线性共振的情况。t a k a h a s h i 等 3 0 - 3 l 】建立了倾斜拉索的三维非线 性振动模型，并利用谐波平衡法分析了耦合的h i l l 方程，研究结果表明：拉索的几何非 线性可能表现为硬化或软化现象，主要依赖于拉索的垂跨比。1 9 9 1 年，r a o 等 3 2 1 研究了4 周期激励作用下斜拉索的内共振和非线性响应，结果显示当面内振动固有频率是面外振 动固有频率的两倍时，方程中的二次非线性项会显著影响斜拉索的振动特性。1 9 9 2 年， p e r k i n s 3 3 】研究了强迫激励和参数激励联合作用下弹性斜拉索多模态相互作用的非线性 动力响应，重点研究了2 ：l 共振，通过理论和试验指出t 支座的激励会引起面内及面外 的参数振动，同时还会引起面内对称模态的谐振。l e e 和p e r k i n s l 3 4 】进一步考虑了在简谐 激励作用下拉索发生多种形式内共振的可能性。1 9 9 4 年，l i l i e n 等l l 】研究了斜拉索的参 数振动，指出拉索可能在低频激励下发生大幅振动。1 9 9 5 年，b e n e d e t t i n i 和鼬g a 等p 习 研究了水平悬索在外载和支座运动联合作用下的动力响应，建立了一个四自由度的模 型，利用一阶摄动法讨论了多种内共振条件下悬索的非线性振动。p a k d e m i r l i 和n a y f e h 等1 3 6 讨论了l ：1 内共振条件下小垂度拉索的非线性振动，并用两种方法求解了控制方程： 直接利用多尺度法求解和将控制方程离散后再求解，最后对两种结果做了比较。 w a m i t c h a i 和f u j i n o 等 3 7 1 在考虑拉索有限运动和支座运动影响的前提下，通过l a g r a n g e 方程得到了拉索面内和面外非线性振动的控制方程，在此基础上建立了悬索结构系统的 非线性模型。1 9 9 6 年，p i n t od ac o s t a 等i i l 】用解析法和数值法分别研究了斜拉索的非线 性动力响应，并通过试验进行了验证。1 9 9 8 年，亢战和钟万勰【1 7 1 首次基于集中质量块 模型建立了拉索和桥面耦合的非线性振动方程，数值积分的结果揭示了拉索参数振动的 机理，同时还给出了拉索发生参数共振的区间及影响拉索最大振幅的因素。2 0 0 2 年， n i e l s e n 和k i r k e g a a r d 3 8 l 针对一简化模型，分别采用解析法和数值法研究了斜拉索的组合 斜拉桥拉索非线性振动的数值研究 共振问题。汪至刚和孙炳楠【1 8 1 ，陈水生和孙炳楠【1 9 】分别建立了标准弦及考虑垂度的索一 桥耦合振动方程，分析了拉索在轴向激励下的参数振动，得到了与文献0 7 相似的结论。 z h a o 等【3 9 j 研究了在谐波激励作用下斜拉索的非线性动力学行为，利用约化方法和 g a l e r k i n 法得到了斜拉索的控制方程，并利用多尺度法对控制方程进行了求解。g a t m l h 等 4 0 4 2 通过对一简化的索一梁结构分别用解析法、有限元法和试验法的研究指出：能量 可以通过参数共振从低频振动转移到高频振动。2 0 0 3 年，s r i n i l 等【4 3 】对斜拉索的三维自 由振动做了研究，导出了其振动方程，同时利用数值方法进行了求解，得到了跨中点的 位移响应，在此基础上讨论了模态间的耦合效应。最近，b e r l i o z 等删建立了斜拉索的 非线性模型，用多尺度法进行了求解，分析了倾角、初始静拉力等条件对拉索振动的影 响，并和试验结果做了比较。g e o r g a k i s 等 4 5 4 6 研究了斜拉索在正弦及随机激励下的运 动，通过h a m i l t o n 原理建立了斜拉索的运动方程，并用有限元法进行了求解，讨论了斜 拉索在不同初始条件下的运动特点。但是，应该指出，以上的工作均未同时考虑拉索面 内和面外振动与桥面振动的耦合作用，因而未能揭示拉索面内和面外振动与桥面振动之 间的耦合非线性振动特征( 如不同振动模式之间的能量转换等) 对斜拉索风雨激振的研究始于2 0 世纪8 0 年代，自h i k a m i 首次观测和报道了该现 象后，由于其危害性比较大，很快引起了各国学者的广泛关注。由于影响风雨激振的因 素较多，如降雨量、风速、风向以及斜拉索的自振特性、质量、阻尼等，因此对风雨 激振研究的主要手段仍然是风洞试验【5 , 4 7 - 4 8 ，虽然也有相应的理论分析 6 , 4 9 - 5 1 1 ，但精确的 理论分析模型的建立尚在探索中。 1 3 本文的研究工作 本文对斜拉桥拉索的非线性振动问题进行了研究，通过数值分析，分别讨论了斜拉 索的l ：2 参数共振和l ：l 谐波共振，并考虑了阻尼对斜拉索振动的影响。本文的理论推导 和数值计算为进一步理解斜拉索的非线性行为，抑制斜拉索的大幅振动提供了依据。 本文完成的工作主要包括： ( 1 ) 斜拉桥拉索与桥面耦合非线性振动方程的推导 将斜拉桥桥面作为单独的自由度，在考虑斜拉索垂度和面外振动的基础上，建立了 斜拉桥系统的非线性振动方程组，然后利用g a l e r k i n 法将该方程组离散，得到了关于拉 索振幅的常微分方程组。 ( 2 ) 1 ：2 参数共振和1 ：1 谐波共振的数值研究 一6 一 大连理工大学硕士学位论文 利用四阶龙格一库塔法对离散后的方程组进行数值求解，得到了此两种频率比下斜 拉索的振幅随时间的变化历程，讨论了斜拉索面内振动、面外振动和桥面振动固有频率 的匹配关系以及拉索和桥面初始扰动值对斜拉索最大振幅的影响。 ( 3 ) 阻尼对斜拉索振动的影响 讨论了斜拉索处阻尼对振动的抑制作用，数值计算结果表明斜拉索处阻尼对l ：2 参 数共振抑制作用明显，而对1 ：l 谐波共振则影响不明显。同时还可以从计算结果看出， 拉索振幅衰减的速率和拉索处阻尼的大小有关。 斜拉桥拉索非线性振动的数值研究 2 斜拉桥拉索一桥面耦合的非线性振动方程 本章简单介绍了非线性振动的基本概念及理论，对单根斜拉索建立了简化的力学模 型，研究了斜拉桥拉索与桥面耦合系统相对于斜拉索静平衡位置时的振动，并得到了斜 拉索一桥面的耦合振动方程。 2 1 非线性振动的基本理论 根据描述振动的数学模型不同，振动理论可以区分为线性振动理论和非线性振动理 论。线性振动理论适用于线性系统，即质量不变、弹性力和阻尼力与运动参数成线性关 系的系统，其数学描述为线性常系数常微分方程。非线性指的是两个量之间的依赖关系 不能用一条直线的图像来表示。在系统的运动方程中，如果回复力与位移不成正比或者 阻尼力不与速度的一次方成正比，则振动就是非线性振动。在振动理论发展的过程中， 开始只局限于对线性振动系统的研究，由于线性微分方程的理论早已发展的比较完善， 而且简单明了，所以线性振动理论也很快达到了完善的地步。线性振动理论是对振动现 象的近似描述，在振幅足够小的大多数情况下，线性振动理论可以足够精确的反映振动 的客观规律，对于解决许多工程问题，能给出满意的结果。因此，虽然工程实际中的振 动系统绝大多数都是非线性系统，由于非线性微分方程尚无普遍有效的精确求解方法， 常将非线性系统以线性系统代替，舍弃一些非线性项，使系统便于计算并能满足一定的 精度要求。但是，对于斜拉桥结构、塔桅结构这类柔性的、具有大位移的、非线性因素 较强的系统，用线性理论得出的结果不仅误差过大，有时还会导致根本性质上的错误， 这就促使人们研究这类结构的非线性振动。 与线性系统相比，非线性系统具有以下几个主要特点。 ( 1 ) 线性系统中的叠加原理对非线性系统是不适用的，如作用在非线性系统上有可 以展成傅氏级数的周期干扰力，其受迫振动的解不等于每个谐波单独作用时解的叠加。 ( 2 ) 在非线性系统中，对应于平衡状态和周期振动的定常解一般有数个，必须研究 解的稳定性问题，才能决定哪一个解在实际中能实现。 ( 3 ) 线性系统中，由于有阻尼存在，自由振动总是被衰减掉，只有在干扰力作用下， 才能有定常周期解。而在非线性系统中，如自激振动系统，在有阻尼而无干扰力时，也 有定常的周期振动。 ( 4 ) 在线性系统中，受迫振动的频率和干扰频率相同，而对于非线性系统，在单频 干扰力作用下，其定常受追振动的解中，除存在和干扰力同频成分外，还有成倍数和分 数的频率成分存在。 一8 一 大连理工大学硕士学位论文 ( 5 ) 在线性系统中，固有频率和起始条件、振幅无关，而在非线性系统中，固有频 率则和振幅有关，同时非线性系统中振动的振幅、频率和相位也和起始条件有关。 非线性振动系统的数学模型为非线性微分方程，与线性微分方程不同，非线性微分 方程还没有普遍有效的求解方法，很难得到精确的解析解。因此，非线性振动问题常用 的研究方法主要包括相平面法、解析法和数值方法。 相平面法是研究非线性振动的有效方法之一，它是一种几何方法，也称定性方法。 相平面法可将系统一切可能的运动都表示在相平面上，这样，对一个非线性振动系统， 用相平面法研究其运动规律的问题，就是根据由振动方程变换得到的方向场求出积分曲 线，并求出相点沿此曲线族的运动规律。了解系统运动性质的关键在于积分曲线的性状 ( 拓扑结构) ，至于它们的定量变化是不重要的。同样，相点沿相迹运动的定量规律也是 不重要的，关键是其运动方向和特性。所以相平面法属于定性方法，它能给出系统运动 性质的一个全局的“图像”。但是，相平面法不能得到非线性振动的定量规律，而且难 以推广到高维时变系统。 解析法是研究非线性振动的定量分析方法，即通过精确的或近似的寻求非线性微分 方程的解析解，得到非线性系统的运动规律，以及对系统参数和初始条件的依赖关系。 但能够得到精确解的非线性系统数量极其有限，更常用的解析方法是近似解析方法。近 似解析方法主要适用于弱非线性系统，通常是以线性振动理论中得到的精确解为基础， 将非线性因素作为一种摄动，求出近似的解析解。近似解析方法主要包括小参数法、渐 进法、谐波平衡法以及多尺度法等。这些近似解析方法原则上也可应用于特殊的强非线 性系统。解析方法的优点是不仅能确定非线性系统的运动随时间变化的规律，而且能得 到运动特性和系统参数之间的依赖关系。但也应该指出，任何一种近似解析方法所得到 的结果都是近似的结果，必须与其他方法互相印证。同时，解析方法的应用范围十分有 限，仅用于讨论可积和接近可积系统的平衡和周期运动，而且解析方法得到的解未必具 有稳定性，因此可能不是实际问题中能出现的运动。 数值方法是研究非线性振动系统的数值计算方法。数值方法通过数值求解非线性微 分方程，得到非线性系统在特定的参数条件和初始条件下的运动规律。数值方法既可以 计算特定非线性系统的各种运动的时间历程，包括平衡、周期运动和非周期运动等，也 可以通过数值计算确定参数和初始条件对系统运动的影响。由于处理非线性振动问题的 数学工具还不完备，数值方法起着重要甚至是不可替代的作用。数值方法在非线性振动 研究中的突出作用是发现新现象，同时，还可以补充理论研究结果，使一些理论结果定 量化，或揭示有关条件不成立时可能发生的情况。数值方法还具有检验理论结果的作用， 它往往是理论分析的最终检验。但是，数值研究只能在有限精度下进行，即使不考虑建 斜拉桥拉索非线性振动的数值研究 立模型本身的误差，数值方法在应用过程中也不可避免的存在截断误差和舍入误差，因 此对数值计算结果的真实性必须仔细分析。 斜拉桥结构的非线性动力特性，主要表现为斜拉索的参数振动，振动过程中的跳跃 及混沌现象等。斜拉桥的桥面或桥塔沿索长方向作周期性运动时，拉索的索力就会发生 周期性的变化，由此引起的斜拉索的横向振动就是一种参数振动。在外部激励的作用下， 当斜拉索的固有频率与桥面或桥塔等其他部分对拉索的激励频率比为l ：2 时，就会产生 参数共振；当频率比为1 ：l 时，就会产生谐波共振。这两种共振理论上都会使斜拉索的 振幅无限放大，但实际上由于阻尼及非线性的影响，振幅达到一定程度就不会增加了。 这两种共振都会诱发斜拉索的大幅振动，影响斜拉桥的安全性和耐久性，因而有必要对 这两种形式的共振进行研究。 2 2 拉索与桥面耦合的非线性振动方程 为便于研究并把握拉索与桥面耦合振动的本质，本章将建立单根斜拉索的简化力学 模型。 首先为分析方便，将桥面简化为一质量块，并利用弹簧模拟桥面作为一水平梁在该 点处具有的弯曲刚度，其目的是便于研究拉索振动对桥面振动的影响。另外，为使研究 简化并能体现问题本质，作出如下假定： ( 1 ) 斜拉索的抗弯刚度足够小，以至于可以忽略【2 1 1 ； ( 2 ) 斜拉索的重力垂度曲线是抛物线【2 1 1 ； ( 3 ) 斜拉索在振动过程中的轴向应变足够小； ( 4 ) 斜拉索的变形本构关系满足虎克定理且各点受力均匀； 基于以上简化和假设，可以将拉索的振动问题表示为蟊图2 1 所示的非线性振动系 统，并以斜拉索静平衡时的轴线为x 轴、所在平面为x y 平面，建立坐标系。在这一 坐标系下，拉索的面内振动发生在；c o y 平面，而面外振动发生在加z 平面。在该模型中， 设重力加速度为g ，斜拉索的跨度为三，倾角( 斜拉索轴线方向与水平方向夹角) 为中， 单位长度的质量为嘲，轴向刚度为点，初始静拉力为瓦。桥面质量用质量块鸺模拟， 用刚度为茁的弹簧模拟桥面的等效弯曲刚度。与已有文献e 4 4 等假定桥面具有指定简谐 振动模式的做法不同的是，本模型采用一个独立的自由度来描述桥面在拉索连接点处振 动。 大连理工大学硕士学位论文 x 图2 1 桥面与拉索的耦合非线性振动模型 f i g 2 1p r c - n tc o u p l e dn o n l i n e a rv i b r a t i o nm o d e lf o rt h eb r i d g ed e c ka n dc a b l es y s t e m 在该坐标系下，拉索的静态平衡方程为口1 】： 石d ( 如i d x + 铂g 咖= o 罢佤参+ 鲫s 舢 其中，西为静平衡时微元的长度。 桥面的静态平衡方程为： 写s i n o + k x , 一m 2 9 = 0 其中，j 0 为静平衡时桥面的位移。 根据假定( 2 ) ，斜拉索的重力垂度曲线方程为叫： y ；玛g c o s ：l 善一鸟 2 日 工7 其中，日为x 向静拉力，在小垂度下，, - - f 取h * 写。 对耦合振动系统中的斜拉索，其运动方程：；j 2 1 1 ： ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 斜拉桥拉索非线性振动的数值研究 丽ou 唔d x + = 害+ q 警一豫g 如妒 石oq 【_ d y + 和= 现睾+ 乞詈唧删 ( 2 4 ) 丢f 争= 确等十巳警 其中，t 为斜拉索内总的切向拉力，u 、v 和矿分别代表斜拉索在x 、y 和z 方向 相对于静平衡位置的动位移分量，即分别代表斜拉索的轴向动位移、竖直平面内动位移 及竖直平面外动位移( 摆振位移) ，c l 、c 2 和c 3 分别为斜拉索处的阻尼系数。 描述桥面振动自由度的方程为： 鸭置+ t s i n + k ( x 2 + 以) 一g = o ( 2 5 ) 其中，五为桥面的振动位移。 斜拉素的切向总拉力t 由三部分组成；( 1 ) 斜拉索的静拉力瓦；( 2 ) 斜拉索振动引 起的附加动拉力五；( 3 ) 桥面振动引起的附加动拉力五；拉力五与互可分别表示为： 五= 觑毛= 觑磅警+ 警警+ 丢c 昏2 + 学2 + ( 争2 鹏 g 。 五= e 1 4 毛= f _ 翻x 2s i n 妒，上 ( 2 7 ) 其中，毛与乞分别为拉索和桥面的动应变 忽略斜拉索的x 向变形，并将斜拉索和桥面的静平衡方程( 2 1 ) 和( 2 2 ) 分别带入方程 组( 2 4 ) 和方程( 2 5 ) ，化简后可得： 瓦o ( 爿石o y + ( z + 五蟮+ 和= m 警+ 乞罾 昙( 儡+ z + 五) 争= 秭等+ c 3 百o w ( 2 8 ) 鸭也十( 五十五) s i n 妒+ 点o ，2 ；o 同时，式( 2 6 ) 也可表示为： 五= 尉毛= e a ：、d 出 o 知v + i 1 【咳o v _ ) 2 + ( 予2 】) 出 ( 2 9 ) 大连理工大学硕士学位论文 方程组( 2 7 ) 、( 2 8 ) 和( 2 9 ) 以及相应的初始条件构成了描述本文提出的斜拉桥拉索与 桥面耦合非线性振动模型的控制方程。 应该指出，在这一模型中，拉索的拉力对其面内振动提供了回复力，而拉力本身又 随桥面振动位移变化。因此，拉索与桥面耦合系统本质上构成一个参数激振系统( 对于 拉索来说，由于桥面振动引起的拉力变化可看作是一个周期性变化的参数) ，从而引发 了复杂的非线性动力学行为。根据非线性动力学中的参数振动理论，当桥面振动的固有 频率与拉索面内振动的固有频率成倍数关系时，桥面振动将会激发拉索的大幅度的面内 振动【1 1 。本文的研究也将指出，如果考虑拉索具有垂度时的面外振动( 摆振) ，在当垂 度大小使得面外振动和面内振动具有相同的固有频率时，拉索的参数振动效应还可能与 拉索的面外振动发生耦合，导致能量在拉索不同振动模式间的转移。 2 3 本章小节 本章简单介绍了非线性振动的基本