（基础数学专业论文）相对k1k2和代数整数环的k2.pdf

2 0 0 0 年中国科学技术大学博士学位论文 筹i 。页 代数k 一理论是从1 9 5 7 年a g r o t h e n d i e c k 证明广义r i e m a n n r o c h 定理开始的7 0 年代以后，它逐渐成为一门独立的数学分 支，并获得了长足的发展，在代数几何，代数拓扑，c 。一代数，代 数数论，典型群论，表示论和分析领域里都有着深刻的应用，许多 f i e l d s 奖得主，如a g r o t h e n d e c k 、j ，p 、s e r r e ，、i m i l n o r ，d q u i h e n 等 人都在代数k 一理论方面做出了重要的工作 本博士论文主要研究相对k ，群，相对，( 。群和代数整数环的 配群，首先，对稳定秩为l 的环r 及其理想，证明了- ( r ，) = u ( r ，o n ( r ，) ，其中n ( r ，) 为u ( r ，) 中由 ( 1 + 曲+ a d + c d + b c d ) ( 1 + d c + d d + b n + d c 6 。) 一1 ：a ，6 r ，c ，d ，1 + a b + a d + c d + a b c d u ( r ，) ) 生成的子群，进一步，对半完全环和v b n 环的相 对，t _ ，群给出了更具体的结果其次，考虑的是相对“2 群k 。( r ，) 证明了当环r 及其理想，满足条件u s r 2 ( r ，) ( 即对a ，b ，且 。r + ( 1 + 6 ) r = r ，一定存在t u ( r ，) 使得+ ( 1 + 6 ) t u ( r ，川 时的情况，k 2 ( r ，) 可由d ( r ，) 和c ( r ，) 生成最后，考虑的是 代数整数环的k z 群我们给出了一种方法，可以找到比较小的m 使得k 2 0 f = k e r ( o 。：k ；”f +u自4 ( u ) ) ，从而可以简化计 u s 吼s 。 算利用这种方法，我们进一步计算证明了k 2 z 址牛塑1 和k 2 z 1 是平凡群 2 0 0 0 年 中国科学技术大学博士学位论文 第i i 页 = ；= # = = 口= = = = = = ；= = = = = = = = = = = = = = = = = = = ；= = = = = 一 a b s t r a c t a l g e b r a i ck ，t h e o r ys t a r t e df r o mg r o t h e n d i e c k s p r o o f o fh i sg e n er a l i z e d r i e m a n n r o c ht h e o r e mi n i _ 9 3 7t h eb e g i n n i n g so fg e n e r a lc o n s tr u c t i o n sa n d m a t h e m a t i c a ls y n t h e s i so fa l g e b r a i cf o g l 。( r ) ? 0 0 0 年中国科学拄术大学博士学位论文 第2 页 设e 。( r ) 是( i ，j ) 位置为r ，对角元都为i ，其他位置都为0 的n 阶初等方阵，b ( 尺) 为由它们生成的子群则在i 。的作用下，既( r ) 可自然的嵌入到晶+ t ( j r ) 中- 从而e 。( 咒) 可看作是最+ t ( r 7 的子群，令 e ( r ) = u 。 o e 。( 兄) 记 c l ( r ) ，g l ( r ) 】为g l ( r ) 的换位子群，则由w h i t e h e a d 引理( 参见 3 9 】) 可知， 【g l ( r ) ，g l ( r ) = e ( r ) 环r 的盯l 群定义为 k 1 ( r ) = 篙 这两个函子娲和k l 都比较具体下面的虬函子是由j m i l n o r 给出的， 通常称为m i l n o rk 2 群 定义1 3 ( m i l n o r sk 2 ( r ) ) 设r 为环，对n23 ，s 如( r ) 是由生成元z 。( r ) ，l i j n ，r 兄和以下定义关系( 称为s t e i n b e r g 关系) 确定的阿贝尔群， ( i )$ ”( r ) z ”( s ) = z v ( r + s ) ， ( i i ) z i j ( r ) ，蚴( s ) 】- 1如果j 且i f ， ( i i i )p ”( r ) ，。州( s ) 】_ 。；f ( r s )如果j = 且i f ， ( i v )p 。3 ( r ) ，。“( s ) 1 = 。，( 一s r )如果j 且i = l ， 容易看出初等方阵e ，( r ) 也满足上面的s t e i n b e r g 关系所以存在映射 靠： s t 。( r ) 晶( r ) ，z ，( r ) _ e ”( r ) 因为对n + 1 的s t e i n b e r g 关系自然包含了n 时的s t e i n b e r g 关系，所以有一个明 显的嵌入s t 。( r ) s t 。+ l ( r ) 这样s 。( 尺) 可看作是s k “( r ) 的子群，令 s t ( r ) = u 。 l s t 。( r ) e ( r ) 如前所叙则前面的映射加诱导出满射 曲： s t ( r ) e ( r ) ，z ”( r ) he ：j ( r ) 则场( 兄) 定义为k e r 瓴即有下面的正合列 1 _ k 2 ( 月) 一s t ( r ) _ e ( n ) _ 1 2 0 0 0 年中雹科学技术大学博士学位论文 第3 页 第一章概逮 k 2 ( r ) 实质上反映了e ( r ) 中非平凡的性质( 即不能由s t e i n b e r g 关系刻画的 性质) 其余k 函子不能用这样直接的方法来定义 代数理论的中心问题是描述，f 群的性质直至完全决定耳群环r 的k 群髓够反映出r 的许多不平凡的性质例如当r 是代数整数环时，k o ( r ) 反映 了r 的理想类群，k l ( r ) 反映了r 的单位群( 参见 3 9 】) ，而k 2 ( 兄) 则与d e d e k i n d ( 函数的取值有关( 2 7 ) 各阶r 群之间是有联系的，这体现在正合序列 叫“+ l ( r ，) 一k ( r ，) 一( r ) _ “( r ，) 一 1 1 式 _ r 0 ( r ，) 叫凰( r ) _ k o ( n 1 ) 中，其中，是环r 的一个理想，联接不同阶k 群的( r ，) 称为相对k 群 它是代数k 理论中一个非常重要的概念近年来发现对它的研究有助于解决 著名的q u i l l e n l i c h t e n b a u m 猜测( 参见 2 4 ) ，定义如下 设，是环r 的一个双边理想，定义 d ( r ，j ) = ( a ，b ) 8 兰6 ( r o o dj ) ) ， 它是r xr 的子环令p 1 ：d ( r ，f ) + r 和p 2 ：d ( a ，f ) r 是下面的投射 p l ( a ，6 ) = 口，p 2 ( a ，6 ) = 6 定义1 4 ( f ( o ( r ，nk t ( r ，) ) 设r 为环，j 是环r 的双边理想上面定义 的p l 诱导出同态 p 1 ：r r t ( d ( r ，川一凰( r ) ，i = 0 ，1 这样就导出相对风群的定义， k ，( r ，) ：= k e r p l 。，i = 0 ，1 在1 1 式中的同态k i ( r ，) + 托( r ) ，i = 0 ，l 就是诱导同态p 2 。在k i ( r ，) 上的限制很早就知道了上述相对f ( 0 群和相对k 1 群的定义用同样的方式也 可以定义相对如群( r ，) ( 这里加7 以表示其与下面所说的q u i l l e n 定义的 k 2 ( r ，j ) 不同) ，而且可以证明有下面的正合序列， 2 0 0 0 年中罾科学技术大学博士学位论文 第4 页 砭( 尺，) - - - + k 2 ( r ) _ k s ( r i ) _ k 1 ( 兄，7 ) 。l ( r ) _ k 1 ( r 门 l2 萱 _ 凰( r ，) _ ( r ) _ k o ( r i ) 但是s w a n 在【4 7 中证明了不可能定义任何形式的k 。函子，使其能够接在上长 面正合列的左边这个问题一度困扰了很多著名的数学家直到q u i l l e n 用同伦 群的方法才解决了这个问题( 【3 8 ) 我们下面简要介绍一下q u i l l e n 的定义 对任意结合环r ，给a l ( r ) 赋予离散拓扑使其成为一拓扑群g l ( r ) 的分 类空间b g l ( r ) 是一c w 复形，满足下面的性质： f l ( b g l ( r ) ) 2g l ( r ) ， 。( b a l ( r ) ) = 0 ，n 2 ， 其中h ，n 1 表示b g l ( r ) 的各阶同伦群而且在同伦等价意义下，满足上述 性质的c w 一复形是唯一的给b g l ( r ) 添加适当的2 胞腔( c e l l s ) 和3 一胞腔后 可以得到c w 一复形b g l ( r ) + ，使得自然嵌入i ：b g l ( r ) b g l ( r ) + 满足下 面的性质 ( 1 ) “7 r 1 ( b g l ( r ) ) 7 t i ( b g l ( r ) + ) 就是自然的商映射 g l ( r ) _ g l ( r ) e ( r ) ( 2 ) 对b g l ( r ) + 上任意的局部系数系三， i ，：风( b g 三( r ) ，i 。l ) - - - + f ( b g l ( r ) + ，l ) 对任意的n 0 都是同构 其中i 。表示由i 诱导的同伦群，同调群之间的同态，而i 。可以看作是l 在 b o l ( r ) 上的限制在同伦等价意义下，上面的两个性质完全确定了b g l ( r ) + 令k ( r ) = b g l ( r ) + xk o ( 兄) ，其中r r 0 ( r ) 赋予离散拓扑，则”。( b g l ( r ) + ) = ”。( b g l ( r ) + x ( r ) ) ，即它们的各阶同伦群是相同的 定义1 5 ( 风( r ) ，1 q ( r ，川q u i l l e n 的群和相对k 群定义为 r 。( r ) = 。( r ，( r ) ) ，n 0 ， 可以验证当0 n 2 时。这样定义的( 尺) 与前面的定义l1 ，1 2 ，1 3 一致 2 0 0 0 年中国科举技术大学博士学位论文 第5 页 第一章概逑 自然的商映射，：r r i 诱导出映射，i ：k ( r ) ，k ( a ) ，其中k ( r ，) 为 映射 ，_ ：f ( 兄) _ ，- ( k ( r ) ) ck ( r i ) 的同伦纤维( 参见 4 0 】，c hl l ；( 5 1 ) 则定义 ( r ，) = ”。( k ( 尺、，) ) ，n2 0 当n = 0 ，l 时，( r ，) 与定义l4 一致( 参见 3 9 ， 4 4 】) q u i l l e n 所定义的相对r 2 群k 2 ( r ，) 可以使长正合列自然的接起来实际 上，k 2 ( r ，j ) 要比r ；( r ，f ) 更“小”一些后来，fk e u n e 用纯代数的方法也导 出了正确的定义( 参见 1 8 ) 这些，我们将在下面做详细的介绍 本文第二章是关于相对k l 群k 。( r ，) 这方面最早的结果是b a s s 在【1 1 中 证明的下面的定理我们用j ( r ) 表示r 的j a c o b s o n 根( 即环r 的所有极大理想 的交) u ( r ) 表示r 的乘法单位群，u ( r ) 则表示u ( a ) 中模，余l 的元素形成 的子群，称理想，为根理想如果它包含在j ( r ) 中 定理a ( 1 c h 5 t h9 6 ) 设，是环r 的双边理想r 是半局部环 或，cj ( r ) ( 环兄的j a c o b s o n 根) ，则f ：u ( r ，) + l ( r ，) 是满射设e 是 c _ ( r ，) 中由 ，( r ) u ( r ，) 】和所有的形如( 1 + s ) ( 1 + s t ) s ，t ，1 + s teu ( r ，) 生成的子群，则eck e r ，假设r 看作r 的中心c e n t e r ( r ) 上的代数是由“r ) 生成，且，cj ( r ) ，则e = k e r ， 后来s w a n 证明了 定理b ( 1 4 7 ) 设，是环r 的根理想，则虬( r ，) = ( 1 + ，) y ( r ，n 这里v ( r ，) 是f ( r ) 中由所有形如( 1 + i r ) ( 1 + r 矿r r ，i ，的元素生成的子群 这两个结果都需要，是根理想，这是一个非常强的条件b a s s 在中就 提到希望能将，是根理想的条件去掉在第二章的第一节中，我们考虑了，不是 根理想时的情形记p ( a ，b ，c ，d ) = l 十a b + a d + c d + a b c d ，n ( r ，) 为“r ，) 中由 p ( a b ，c ，d ) p ( d c ，b ，) “：，ber ，c ，d ，p ( 。，6 c ，d ) e r ，) ) 生成的 子群，本节证明了下面的定理 定理21 1 4 设，是环r 的理想，r 满足稳定秩l 的条件( 即对任意n6 r 存在e r 使得口+ b c u ( r n 则 i q ( r ，) ：u ( r ，) ( r ，) 2 0 0 0 年中国科学技术大学博士学位论文 6 页 第一事概逑 在第二章的第二节中。我们应用上面的定理进一步计算了半完全环的相对 k 。群环r 称为半完全环如果r 是半局部环且r j ( r ) 的幂等元可提升 对半完全环兄，因r j ( r ) 半单，由w e d d e r b u r n a r t i n 定理，r j ( r ) 同构于 有限多个除环上的全矩阵环的直和，即有 r j ( r ) 2 m j 、( d 1 ) 0 - 0 慨。( d t ) 其中螈。( d t ) 为除环皿上的n 。阶全矩阵环相应有幂等元分解：t = 百+ + 爵， 其中( 瓦l ist ) 是n j ( n ) 中两两正交的中心幂等元集因r 是半完全环， t 瓦lsi ) 可提升为r 中幂等元集 e 。，1si c ) 命题2 2 1 ( 2 3 】命题2 1 2 5 ) 设r 是含幺环，gj ( r ) 是r 的理想，且 瓦= r t 中幂等元可提升为r 的幂等元则对任意页中两两正交的可数( 可能 有限) 幂等元集 钆) ，存在r 中两两正交的幂等元集 e 2 ，) 使得对 所有i ，瓦= 由该命题可知，经过适当选择使得正交幂等元集的提升仍是正交幂等元 集故不妨设似，1 is ) 两两正交设e l + + e fl + 。，其中。j ( n ) 则 l + z 是r 中的幂等单位，故必为单位元l ，于是l = el + 斗e 令r ，= e ，r e ，则 r = 0 名l r i + 洲e i r e j ，其中直和是由 e i 的正交性保证的设妒：屁_ r j ( r ) 是r 到r j ( r ) 的自然投射，则由 爵，1 is ) 的中心正交性知c 2 ( e i r e j ) = e i r e j = 一0 ，故e i r e jcj ( r ) 于是上式可改写为 r = o k l 盈+ j ( r ) 以下，e 。，e ：，e 。如上所叙，将是固定的，不再另外解释 在本节中我们将通过对u ( r ，) 和n ( r ，) 的计算对k 1 ( r ，) 的结构作更细 致的分析记v ( n ，i ) 为u ( r ，) 中由“1 + a b ) ( t + h a ) _ 1 i ：a ，b r ，l + a b u ( r ，) ) 生成的子群，我们证明了下面的定理 定理2 2 7 设r 是半完全环，是其理想，r j ( r ) 2m n 。( d 1 ) o m n 。( d ) ， 其中嘛。( d t ) 是除环破上的n 。阶全矩阵环设1 = e 1 + e t 是r 中相应 的正交幂等元分解使得r i j ( r i ) 2m n 。( d i ) ，其中r i = e i r e l ，i i = e ，i e ：若 e t ，l i o ) 还满足任取i j ，e 1 _ j ( r ) e j j ( r ) e i = 0 ， 则 k 1 ( r ，) = o 名1 u ( r ， ) y ( r ， ) 在第二章的第三节中。讨论了v b n 环j r ( 即存在m n ，使得有左r 一模同构 2 0 0 0 年中国科学技术大学博4 - 学位论文第7 页 ! 三兰堡苎 r ”= 舻) 的相对k 1 群记v ( r ，) 为u ( n ，f ) 中由 ( 1 + 曲) p ( 1 + 6 a ) 。 ：o ，b r ，1 + a b u ( r ，) ) 生成的予群。本节的主要结果是 定理2 3 1 设r 是含么环，是r 的理想，若对某个m 2 ，有左r 一模同 构r 2r “，贝 k l ( r ，) = u ( r ，i ) v ( r ，) 第三章讨论了相对如群k 2 ( r ，) 给定一个含么环r 及其一个理想，可 以定义另一个环ro ，其元素为( r ，。) ，r r ，z ，元素之间的乘法定义为 ( r ，z ) ( s ，y ) = ( r s ，r + 2 8 + 。g ) ，元素之间的加法定义为( r ，z ) + ( s ，y ) = ( r + s ，。+ ) 易知该环的么元为( 1 ，0 ) ，零元为( 0 ，0 ) 除非特别指明，本章中的记号与 5 0 一致令s t ( 只，) 代表s t ( r0 ，) 中由 所有的。( o ”) ，”，生成的正规子群，显然从( r ，) 到g l ( ro ，) 的子群 e ( r 0 ，0 0 ，) 有一个同态相对s t e i n b e r g 群s t ( r ，j ) 定义为s t ( r ，) 模掉由 所有交叉换位子( c f o s sc o m m u t a t o r ) ：p ”( 0 ，) ，x k i ( v ，一”) j ，“i ，”，生成的正规 子群之后形成的商群显然同态s t ( ro ，) 竺s t ( r ) 将所有的交叉换位子映为 1 此处a d d 表示将s t ( r 0 ，) 中任意m ，( r ，。) 映为n ，( r + z ) 因此它诱导出同态 s t ( r ，) 骂s t ( n ) 这个同态的像是由所有的z ，( ”) ，u i 生成的正规子群由 e ( n ，) 的定义可知，s t ( ro ，) 三萼s t ( r ) 复合s t ( r ) + e ( n ) 将s t ( n ，) 映满 e ( r ，) k 2 ( r ，) 定义为映射s t ( r ，) + e ( a ，) 的核本文所用的定义直接 来自于 5 0 】 我们先介绍几种符号的定义和它们之间的关系设n ，b r ，l a b u ( r 1 ， d e n n i s - s t e i n 符号( a ，b ) 定义为 ( 口，6 ) = x 2 1 ( 一b ( 1 一a b ) 一1 ) z 1 2 ( 一a ) 2 2 l ( b ) zl 2 n ( 1 口6 ) 一1 ) h 1 2 ( 1 一。圹。 d e n n i s - s t e i n 符号是s t e i n b e r g 符号的一种推广令 v ( r ) = ( 8 ，b ，c ) 舻f 1 一a c + a b c = o ) 对( n ，6 ，c ) y ( r ) ，i ，j 满足1si ，jsn ，i j ，定义( 。一，c i j 为s 。( r ) 中以下元 素： 。0 2 2 。z i n s 采i a 帆。( 1 ) 这种符号又是d e n n i s s t e i n 符号的一种推广当，是根理想时，在 t o 中，d e n n i s 和s t e i n 计算了j 匝常”的相对，f 2 群( r ，) 给出了其生成元游宏在 5 3 】中，更 2 0 0 0 年中国科学技术大学博士学位论文 第8 页 把这个结果推广至r 满足相对于理想，的单位稳定秩1 条件的情况至于q u i l l e n 的相对r 2 群k 2 ( r ，) 1k 2 ( r ，) k e u n e 于1 9 7 8 年证明了下面的定理 定理c ( 1 8 】，t h 1 5 ) 设r 是含么交换环，是r 的根理想，k 2 ( r ，) 同构 于下列生成元和关系定义的阿贝尔群 生成元：( a ，6 ) ，a i 或者b ， 定义关系式为： ( d 1 ) ( b ，口) = ( a ，b ) ， ( d 2 ) 缸，b ) ( 8 ，c ) = ，b + c a b c ) ， ( d 3 ) ( a 6 ，c ) = ( 口，b c ) 8 踞，则 瓯：k ；f k f 是同构即m l ，完全类似可证 引理2 32 说明存在同态 妒2 k ：g l 2 e ( r ，1 ) 岛k ( r ，) _ u ( r 1 ) v f 尺，) ，万 3 k a 0 k 对一般的m 0 ，设2 一1 m 0 有妒。= 妒。，其中i 。是 的自然映射 证明 因为k l ( r ，) 是正向系 g l 。( r ，) 晶( r ，ni 。：0 m n 的正 向极限，所以如果能证明对任取的0 0 的定义容易得证， 口 定理2 3 4 设r 是一个v b n 环，j 是它的一个理想，则引理2 33 中的 妒：“l ( r ，) _ l ( 兄t ) v ( r ，) 是个同构，即k l ( r ，) = u ( j r ，r ) v ( r ，) 证明 我们先来验证妒是个单射令 川c 引，一m ，) 一叫删郴，n u 一( “。) 其中五表示a g l ( r ，) 在k l ( r ，) 中的像由引理2l 5 可知，v ( r ，) k e r f 这样就有映射 ，：u ( r ，1 ) v ( r ，) _ k l ( r ，) = g l ( r ，) e ( r ，) 再由引理2 3 3 的证明步骤( 2 ) 知对任取的“u ( r ) 一 。、 妒，( 百) = 口1 ij n l = 面 、l 一( “。) 即7 = l 所以妒是单射 再证p 满对任取u ( r ，n 令a = n i p l ，则妒( 万) = 面，故p 满 综述之即知妒是同构，定理得证口 第三章相对虬群 给定一个含么环r 及其一个理想，可以定义另一个环r o ，其元素为( 一z ) r r ，3 2 ，元素之间的乘法定义为( r ，z ) ( s ，g ) = ( r s ，r y + x s + x g ) ，元素之间的加 法定义为( r 。) + ( s ，g ) = ( r + s ，z + y ) 易知该环的么元为( 1 ，0 ) 零元为( 0 0 ) 除非特别指明，本章中的记号与 5 0 一致令s ( r ，) 代表5 ( re ，) 中由 所有的l ，( 0 ，u ) ，u ，生成的正规子群，显然从s t ( 兄，) 到g l ( ro ，) 的子群 j ( ro ，0o ，) 有一个同态相对s t e i n b e r g 群s t ( r ，) 定义为s ( r ，) 模掉由 所有交叉换位子( e r o s sc o m m u t a t o r ) ： x i ，( 0 ，u ) ，。k 如，一u 儿“，u ，生成的正规 子群之后形成的商群显然同态3 t ( re ，) 兰笃s t ( r ) 将所有的交叉换位子映为 1 此处a d d 表示将s t ( r o ，) 中任意。，( r ，。) 映为z ：，( r + 。) 因此它诱导出同态 t f 月，) 兰写s t ( r ) 这个同态的像是由所有的z ：，( ) ，u ，生成的正规子群由 1 2 ( 只，) 的定义可知，s t ( ro ，) 旦骂s t ( r ) 复合s t ( r ) e ( r ) 将s c ( 兄，) 映满 e ( r ，j ) k 2 ( r ，j ) 定义为映射s t ( r ，) e ( r ，f ) 的核 以上相对r z 群的定义的导出经历了一个逐步探索的过程最初， s t e i n m i l n o r ( 4 5 2 s ) 等人用定义相对k o 群，相对k - 群的方法定义了相对。群 ；( r ，) ( 这里加7 以表示其与下面所说的q u i l l e n 定义不同) ，并且证明了下面序 列的正合性 k 2 ( r ，) _ 2 ( r ) _ k 2 ( r i ) - - - - - + k l ( r ，) _ k l ( r ) - - - + k i ( r i ) 叫( r ，) _ k o ( r ) _ k o ( r ，) 但是s w a n ( 4 7 ) 在七十年代初证明了无法定义一个从环范畴到阿贝尔群范畴的函 子虬使得t ( 3 ( r ) 能够接在上面长正合列的左面 j m i l n o r 在 28 1 中由此断定 这个k ；( r ，) 的定义没有多大用处 后来q u i l l e n 用同伦群的方法给出了高阶群的定义，同时也给出了高阶相 对“群的定义( 参见第一章) 但是这样定义的k 2 ( r ，) 是一个2 阶同伦群，没有 给出虬( r ，) 的具体的代数刻画后来f k e u n e ( i s ) 和jl o d a y ( 2 6 ) 才给出了 具体的代数定义本文所用的相关记号直接来自于 5 0 1 当，是根理想时，在 1 0 中，d e n n i s 和s t e i n 计算了“通常”的相对k 。群 凡。( ，? ，n 给出了其生成元游宏在 5 3 中，更把这个结果推广至r 满足相对于