（应用数学专业论文）bci代数的广义fuzzy理想.pdf

青岛科技大学研究生学位论文 b 0i 一代数的广义f u z z y 理想 摘要 本文将f u z z y 集理论应用于b c i 一代数中，引入了b c i 代数的广义f u z z y 子代 数，广义f u z z y 理想、广义f u z z y 闭理想、广义f u z z y 关联理想、广义f u z z y 交换 理想和广义f u z z yp 一理想的概念，并讨论了它们的一些性质，拓广了f u z z yb c i 代数已有的理论，进一步丰富和发展了f u z z y 代数系统的基本理论本文主要取 得了以下结果： 1 引入了b c i - 代数的广义f u z z y 子代数、广义f u z z y 理想和广义f u z z y 闭理 想的概念；讨论了b c i 一代数的广义f u z z y 子代数和广义f u z z y 理想( 闭理想) 之 间的关系：给出了b c i 一代数的f u z z y 子集是广义f u z z y 理想( 闭理想) 的充要条 件；证明了b c i 一代数的两个广义f u z z y 理想的交和直积是广义f u z z y 理想 2 引入了b c i 一代数的广义f u z z y 关联理想，广义f u z z y 可换理想和广f u z z y p 理想的概念，讨论了它们各自的一些性质 关键词：b c i 代数广义f u z z y 子代数广义f u z z y 理想广义f u z z y 闭理想广义 f u z z y 关联理想广义f u z z y 可换理想广义f u z z yp 理想 b c i 一代数的广义f u z z y 理想 青岛科技大学研究生学位论文 t h eg e n e r a l i z e df u z z yi d e a l so nb c i a l g e b r a s a b s t r a ct i nt h i sd i p l o m a r b e i t ，w ea p p l yt h et h e o r i e so ff u z z ys e tt ob c i a l g e b r a s ，i n t r o d u c e t h ec o n c e p t so fg e n e r a l i z e df u z z ys u b a l g e b r a 、g e n e r a l i z e df u z z yi d e a l 、g e n e r a l i z e d f u z z y c l o s e d i d e a l 、g e n e r a l i z e df u z z yi m p l i c a t i v ei d e a l 、g e n e r a l i z e df u z z y c o m m u t a t i v ei d e a la n dg e n e r a l i z e df u z z yp - i d e a lo nb c i - a l g e b r aa n dd i s c u s ss o m e p r o p e r t i e so ft h e m t h i sd i p l o m a r b e i te n r i c h e sa n dd e v e l o p st h et h e o r i e so ff u z z yb c i - a l g e b r a sa n df u z z ya l g e b r as y s t e mw h i c hh a v eb e e ne x i s t e d t h em a i nr e s u l t so ft h i s d i p l o m a r b e i ta lel i s t e da sf o l l o w s ： 1 i n t r o d u c i n gt h ec o n c e p t so fg e n e r a l i z e df u z z ys u b a l g e b r a 、g e n e r a l i z e df u z z y i d e a la n dg e n e r a l i z e df u z z yc l o s e di d e a lo nb c i a l g e b r a ；d i s c u s s i n gt h er e l a t i o n s b e t w e e ng e n e r a l i z e df u z z ys u b a l g e b r ao nb c i a l g e b r aa n dg e n e r a l i z e df u z z y ( c l o s e d ) i d e a lo nb c i a l g e b r a ；g i v i n gt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa b o u tt h a tf u z z y s u b s e to nb c i - a l g e b r ai s g e n e r a l i z e df u z z y ( c l o s e d ) i d e a lo ni t ；p r o v i n gt h a tt h e i n t e r s e c t i o na n dd i r e c tp r o d u c to fg e n e r a l i z e df u z z yi d e a l so nb c i a l g e b r ai ss t i l la g e n e r a l i z e df u z z yi d e a lo f i t 2 g i v i n gt h ed e f i n i t i o n so fg e n e r a l i z e df u z z yi m p l i c a t i v ei d e a l 、g e n e r a l i z e d f u z z yc o m m u t a t i v ei d e a la n dg e n e r a l i z e df u z z yp i d e a lo nb c i - a l g e b r aa n dd i s c u s s i n g s o m ep r o p e r t i e so ft h e m k e yw o r d s ：b c i a l g e b r a ，g e n e r a l i z e df u z z ys u b a l g e b r a ，g e n e r a l i z e d f u z z yi d e a l ，g e n e r a l i z e df u z z yc l o s e di d e a l ，g e n e r a l i z e df u z z yi m p l i c a t i v ei d e a l ， g e n e r a l i z e df u z z yc o m m u t a t i v ei d e a l ，g e n e r a l i z e df u z z yp - i d e a l 舢9洲5 204眦7 川川-舯y b c i 一代数的广义f u z z y 理想 青岛科技大学研究生学位论文 目录 摘! 要i a b s t r a c t i i i 1 绪论1 1 1 研究背景及发展现状1 1 2 本文工作的意义和主要研究内容3 2b c i 代数的广义f u z z y 理想5 2 1b c i 代数的基本理论5 2 2b c i 代数的f u z z y 理想6 2 3b c i 代数的广义f u z z y 理想7 3b c i 代数的几类广义f u z z y 理想。1 5 3 1b c i 代数的广义f u z z y 关联理想1 5 3 2b c i 代数的广义f u z z y 可换理想2 0 3 3b c i 代数的广义f u z z yp 一理想2 6 总结与展望3 3 参考文献3 5 致谢。3 9 攻读学位期间完成的学术论文目录4 l 独创性声明4 3 关于论文使用授权的说明。4 3 v b c i 一代数的广义f u z z y 理想 v l 青岛科技人学研究生学位论文 1 1 研究背景及发展现状 1 绪论 b c i b c k 代数是2 0 世纪6 0 年代日本数学家k i s e k i 1 ，2 】提出的两类重要的 逻辑代数，它们是组合逻辑中b c k - 系统和b c i 系统的代数表示从此以后，众 多学者对b c i b c k 代数进行了广泛的研究，取得了许多有意义的结果，并引起 了国际学术界的高度重视b c i b c k - 代数的内容丰富，它与数理逻辑学、拓扑 学和模糊数学等有广泛联系经过很多数学家对多种逻辑代数的研究发现， b c i b c k 代数是处理逻辑代数的一个统一框架 迄今为止，对有关于b c i b c k 代数的研究已经取得了许多成果，主要有结 合b c i b c k 代数【3 ，4 】、可换b c u b c k - 代数 3 6 ，3 7 、p 半单b c i b c k 一代数 4 4 ， 4 6 】、正定关联b c i b c k 代数 3 0 】、关联b c u b c k 一代数 2 9 】、具有条件( s ) 的 b c i b c k 代数 4 9 和拟可换b c i b c k - 代数 3 9 】等，并且主要集中在对它们的原 子、分支、理想、同态和同构的研究上，其中对b c i b c k 理想 1 2 ，1 3 ，1 6 ，2 2 ，3 5 ， 3 8 的研究最为系统，如引入并研究了结合理想、拟结合理想，p 一理想、正定关 联理想、关联理想、可换理想、闭理想和h 理想等而中国学者们对b c i b c k 代数的发展也做出了突出的贡献，先后出版了多部有关于b c i b c k 一代数的专著 5 2 ，5 3 ，5 4 模糊集理论是由美困控制论专家l a z a d e h 提出的刻画模糊现象或模糊概念 的数学理论他于1 9 6 5 年发表了题为( ( f u z z ys e t s ) ) 【5 的论文，宣告了模糊数 学的诞生，从此模糊数学作为一门新的数学分支逐步发展起来由于模糊数学 拓广了经典数学的数学基础，因而它的适应性也就比传统数学广泛得多，应用 的触角伸向了科学、技术、管理等许多领域，如机器智能、自动控制、系统理 论、信息检索、意志决策、语言识别、计算机科学等 f u z z y 代数作为模糊数学的一个重要分支，它是一门研究各种模糊代数结构 b c i - 代数的广义f u z z y 理想 的学科自1 9 7 1 年a r o s e n f e l d 6 】首次定义f u z z y 子群以来，人们便试图用代数结 构来更细致地刻划勉z 媒，同时这也标志着对f u z z y 4 数研究的开始1 9 8 0 年， n k u r o k i 【7 ，8 ，1 0 】正式开始了对f u z z y - 子半群的研究 1 4 ，1 7 ，2 5 ，这是f u z z y 4 - 数 研究开始以来模糊数学领域最活跃的研究领域之一1 9 8 2 年，j w l i u 1 1 进一步 引入了群i 拘f u z z y 不变子群，环的f u z z y 理想等概念，促使f u z z y 4 - 数研究进一步深 入到各代数分支的方方面面 1 9 9 1 年，o g x i 1 5 首次将允z z y 集理论应用到b c k 一代数上，引入了b c k - 代 数的f u z z y 子代数和f u z z y 理想这两个概念1 9 9 4 年，j m e n g 【2 0 】也将缸z 媒理论应 用至u b c l 代数中从那时起，f u z z yb c i b c k 代数得到了广泛的研究在b c k 代 数方面，y b j u n 等 2 1 ，4 0 弓i a t b c k 代数的f u z z y 结合理想、f u z z y i e 定关联理想 ；g l f u z z y 交换理想，朱荣坤 4 2 弓i a t b c k 一代数的觎z y 可换理想，赵立军 2 6 】引入 t b c k 代数的l f u z z y 理想j m e n g 等 3 3 弓 a t b c k - 代数的f u z z y 关联理想在 b c i 代数方面，y b j u n 等 1 8 ，4 1 ，4 5 弓 a t b c i 一代数的闭舰z y 理想、f u z z y 结合理 想、f u z z yp 理想和f u z z y 交换理想，h m k h a l i d 4 8 弓 a t b c i - 代数 f u z z yh 一理 想，刘用麟等 2 3 ，2 4 ，2 7 ，3 4 弓l a t b c i 代数的f u z z yq - 理想、f u z z ya - 理想、f u z z y 亚交换理想、f u z z y 亚关联理想和f u z z y 正定关联理想，吴培炯等 2 8 ，4 9 引入了 b c i 代数的f u z z y f - 义结合理想以及f u z z y 半单理想与此同时，国内学者们也将 f u z z y 集理论应用至t j b c h 代数中，对f u z z yb c h 代数也展丌了广泛的研究 为了进一步拓展b c i 代数的应用范围，陈露和蒲义书 5 0 ，5 1 从广群的角度研 究b c i 代数，引入了亚b c i 代数的相关理论，并得出了一些有意义的结果，进一 步丰富和发展t b c i 代数系统的基本理论 到目前为止虽然在有关b c i 一代数的理论以及应用方面的研究工作已经有 了很大进展，并取得了一些应用成果但就其基本理论体系而言，仍显得薄弱和 不完善，尤其在与数学各个分支问的相互渗透和联系上，还缺乏相应的理论上的 依据 青岛科技人学研究生学位论文 1 2 本文工作的意义和主要研究内容 本文将f u z z y 集理论应用于b c i 代数中，引入了b c i 代数的广义f u z z y 子代 数、广义f u z z y 理想、广义f u z z y 闭理想、广义f u z z y 关联理想、广义f u z z y 交换 理想和广义f u z z yp 理想的概念，并讨论了它们的一些性质，拓广了f u z z yb c i 一代 数已有的理论，进一步丰富和发展了f u z z y 代数系统的基本理论本文主要取得 了以下结果： 1 引入了b c i - 代数的广义f u z z y 子代数、广义f u z z y 理想和广义f u z z y 闭 理想的概念：讨论了b c i 一代数的广义f u z z y 子代数和广义f u z z y 理想( 闭理想) 之间的关系：给出了b c i 一代数的f u z z y 子集是广义f u z z y 理想( 闭理想) 的充要 条件；证明了b c i 代数的两个广义f u z z y 理想的交和直积是广义f u z z y 理想， 2 引入了b c i 代数的广义f u z z y 关联理想、广义f u z z y 可换理想和广义 f u z z y p 理想的概念，讨论了它们各自的一些性质 。 b c i 一代数的广义f u z z y 理想 4 青岛科技大学研究生学位论文 2b c 卜代数的广义f u z z y 理想 2 1b c 卜代数的基本理论 定义2 1 i ( k i s e k i 2 9 一个( 2 ，o ) 型代数 叫做b c i 一代数，如果对 协，y ，z x ，下面条件成立， b c i 一1 ( ( x 幸y ) 木( x 宰z ) ) 幸( z 幸y ) = 0 ； b c i 一2 ( z 幸( 工奉少) ) 宰y = 0 ； b c i 3 x 拳x = 0 ； b c i 4 x * y = o 和y * x = o 蕴含x = y 如果它还满足条件0 * x = 0 ，则称它是一个b c k 代数 如果规定x y 当且仅当x * y = 0 ，上述定义也可写为 ( 石木y ) 宰( 石幸z ) ( z 宰y ) ； x 宰( x 枣y ) y ； xsx ； x y 和y x 蕴涵x = y 定理2 1 2 ( 孟杰，刘用麟 5 3 1 ) 设 是一个b c i 一代数，则对任意的 石，y ，z x ，下列结论成立， ( 1 ) ( x 宰z ) 木( y 宰z ) x 木y ； ( 2 ) x 宰( 工木( x 牛j ，) ) = x * y ； ( 3 ) o 木( x * y ) = ( 0 牛x ) 木( o 木y ) ； ( 4 ) 石枣0 = x ： ( 5 ) ( x * y ) 宰z = ( x 宰z ) 枣y ； ( 6 ) x 少蕴拒自x * z y 宰z 和z 木j ，z 木x ； ( 7 ) 若石y 和y z ，贝0 x z ； ( 8 ) o 木( x * y ) y 木x ； b c i 一代数的广义f u z z y 理想 ( 9 ) ( ( 石事y ) 掌( z 枣少) ) 木( x 宰z ) = 0 定义2 1 3 ( 孟杰，刘用麟【5 3 】) 设 是一个b c i - 代数，s 是x 的任 一非空子集如果v x ，y s 恒有x * y s ，则称 是 的一个子 代数显然它也是一个b c i 一代数且0 s 设 是一个b c i - 代数，则 0 ) 和x 是它的两个子代数，称为平凡子 代数 令b ( x ) = 缸x ：0 x ) ，经验证召( x ) 也是b c i 代数x 的一个子代数 定义2 1 4 ( j m e n ga n dx l x i n 【2 9 ) b c i 代数 叫做关联的，如果 对v x ，y x ，有 ( x 木( x 唪y ) ) 木( y 掌x ) = y 宰( y 木x ) 定义2 1 s ( j m e n ga n dx l x i n 【3 6 ) b c i - 代数 叫做可换的，如果 对v x ，y x ，有 工y 蕴含x = y 木( y 宰功 定义2 1 6 ( t d l e ia n dc c x i 4 3 ) b c i - 代数 叫做p - 半单的，如 果b ( x ) = 0 ) 定义2 1 8 ( k i s e k i 2 】) b c i 代数 的子集，叫做它的一个理想， 如果对v x ，y x ，有 一 。 ( ，1 ) 0 i ； ( 1 2 ) x 宰y i ，y i 蕴含x i 一个理想j 叫做闭的，如果x i 蕴含0 木x i 显然 0 ) 与x 均是b c i 一代数x 的理想 2 2b ci - 代数的f u z z y 理想 定义2 2 i ( l a z a d e h 【5 ) 从集合s 到闭区间 o ，1 】的一个映射a 称为集合s 的个f u z z y 子集 定义2 2 2 ( p s d o s 9 】) 设a 是集合s 的一个f u z z y 子集，对，e 0 ，1 ，集合 6 青岛科技大学研究生学位论文 4 = 缸s ：么( 力f ) 叫做a 的一个水平子集 定义2 2 3 ( y b j u n 1 9 】) 设 是一个b c i 一代数，a 是它的一个 f u z z y 子集，如果对v x , y x ，有 a ( x * y ) 彳( x ) a 么( y ) ， 则称a 是工的f u z z y 子代数 定义2 2 4 ( 0 g x i 【1 5 】) b c i 一代数 的一个f u z z y 子集a 叫做它的 一个f u z z y 理想，如果对v x ，y x ，有 ( 互) 彳( 0 ) 么( x ) ； ( 互) 彳( 工) 彳( x 奉y ) a 彳( y ) 定义2 2 5 ( y b j u n 【1 8 】)设 是一个b c i - 代数，a 是x 的f u z z y 理想，若对坛x ，有a ( o * x ) a ( x ) ，则称a 是x 的一个闭f u z z y 理想 定理2 2 6 c y b j u n , s m h o n ga n dj m e n g 【21 】) 任一b c i - 代数x 的f u z z y 理 想么是反序的 定理2 2 7 ( j m e n ga n dy b j u n 3 3 ) 设a 是b c i 代数x 的一个f u z z y 理想， 对v x ，y ，z x ，若x 幸y z ，则有 彳( x ) 彳( 少) a 彳( z ) 2 3b c 卜代数的广义f u z z y 理想 定义2 3 1 设力，a t ( 0 ，1 】且五 a t b c i 代数 的一个f u z z y 子集a 称为x 的一个广义f u z z y 子代数，如果对v x ，y x ，有 a ( x 宰少) v 五彳( x ) x 爿( y ) k 定义2 3 2 设五，( 0 ，1 】且允 b c i 代数 的一个非空f u z z y 子集a 叫做它的一个广义f u z z y 理想，如果v x ，y x ，有 ( g 巧)a ( 0 ) v 五a ( x ) ； ( g 哎)a ( x ) v 力a ( x * y ) a ( y ) 定义2 3 3 设名，1 ( 0 ，1 r2 b c i 一代数 的一个广义f u z z y b c i - 代数的广义f u z z y 理想 理想彳叫做它的一个广义f u z z y 闭理想，若对v xex ，有 么( 0 事劝v 五4 ( x ) a t 定理2 3 4 设彳为b c i 代数x 的一个广义f u z z y 理想对v x , y x ，若 x y ，贝0 有 a ( x ) v ；t a ( y ) a 1 t 证明对v x ，y x ，若石y ，则有x * y = 0 由定义2 3 2 ( g f z ) 知 a ( x ) v 五a ( x * y ) a 彳( y ) = 彳( o ) a 彳( y ) a 1 t 因为a ( x ) v 2 a ，所以 a ( x ) v 名( a ( o ) a a ( y ) a 1 t ) v 五 = ( a ( 0 ) v 五) a ( a ( y ) v 力) 八( v 兄) ( 彳( j ，) a ) a 彳( y ) a 1 t = 4 ( y ) 定理2 3 5 设a 为b c i 代数x 的一个广义f u z z y 理想对v x ，y ，z x ，若 x * y z ，则有 a ( x ) v 五彳( y ) a a ( z ) a 1 t 证明 对v x ，y ，z x ，若x * y z ，由定理2 3 4 知， 彳( x 宰y ) v 五a ( z ) ， 则有 a ( x ) v 2 = ( 彳( x ) v 五) v 五 ( 彳( x 木j ，) 彳( 少) ) v 五 = ( 爿( 石宰少) v a ) ( a ( y ) v 旯) a ( v 兄) 彳( y ) a a ( z ) a , u 定理2 3 6 设是一个b c k - 代数，则x 的任一广义f u z z y 理想a 必是x 的 一个广义f u z z y 子代数 证明 因为v x ，y x ，x * y x ，所以由定理2 3 4 知， a ( x 串y ) v 五a ( x ) a i t ， 8 青岛科技大学研究生学位论文 由定理2 3 5 知， 彳( x ) v 五彳( x ) a 彳( y ) a ， 即 a ( x * y ) v 名= ( 彳( 石事y ) v a ) v 兄 ( 么( x ) a 9 ) v a = ( 彳( 石) v 五) ( v 允) ( 彳( 功a 么( y ) 人) a g = 彳( x ) a 彳( y ) a 因此a 是b c k 代数x 的一个广义f u z z y 子代数 定理2 3 7 设x 是一个b c k - 代数，则x 的一个广义f u z z y 子代数彳是它的 一个广义f u z z y 理想当且仅当对v x ，y ，z x ，若x * y z ，则有 彳( x ) v 名彳( y ) a a ( z ) a 证明必要性：由定理2 3 6 可得； 充分性：假设4 是b c k 代数x 的一个广义f u z z y 子代数并且满足 x * y z ，贝l j 令z = 0 ，y = z = 工有 a ( o ) v 五彳( x ) a 彳( x ) a i r = 么( x ) a g 因为x 幸( x 宰y ) y ，贝0 ， a ( x ) v 兄a ( x * y ) a 么( y ) 由定义2 3 2 知，4 是b c k 代数x 的一个广义f u z z y 理想 定理2 3 8 设彳是b c i 代数x 的一个f u z z y 子集，那么彳是x 的一个广义 f u z z y 理想当且仅当对任意t ( 五，】，4 要么是空集，要么是x 的一个理想 证明假设彳是x 的一个广义f u z z y 理想，而且对任意t ( 五， ，4 o 显 然0 4 f kx * y 4 且y 4 ，则有彳( x 水y ) f 且彳( y ) t 由定义2 3 2 ( 呸) ，得 彳( 工) v 旯a ( x 木y ) a 彳( y ) a t ， 也就是彳( x ) 2t ，即x 4 由定义2 1 7 ，4 是b c i 一代数x 的一个理想 相反地，假设对任意t ( 见，】，4 要么是一个空集，要么是彳的一个理想 9 b c i - 代数的广义f u z z y 理想 则对任意c ( 彳，】，假设存在x x ，使得 彳( 0 ) v 五 c = 彳( 功 a ， 则有x 4 ，即彳( o ) c 因为4 是x 的一个理想，所以0 4 且彳( 0 ) c 这又与 a ( o ) c 矛盾因此对v x x ，有 a ( 0 ) v 五彳( x ) 现在我们只需证明a 满足定义2 3 2 ( g f 2 ) 臣p - 7 假设对任意c ( 力，】，存在 x ，y x ，使得 a ( x ) v 力 c = 彳( 石幸y ) 人彳( y ) a ! a ， 于是有x * y 4 ，y 4 且彳( x ) c 因为4 是x 的一个理想，所以有x 4 ，即 a ( x ) c ，这与彳( 功 c 矛盾所以对任意x ，y x ，有 彳( 力v 五a ( x * y ) 人彳( j ，) a 9 因此，彳是b c i 代数x 的一个广义f u z z y 理想 定理2 3 9设a 是b c i 代数x 的一个f u z z y 子集，那么彳是它的一个广义 f u z z y 闭理想当且仅当对任意t ( 旯，】，4 要么是空集，要么是x 的一个闭理想 证明假设a 是b c i 代数x 的一个广义f u z z y 闭理想，由定义2 3 3 知，a 也是x 的一个广义f u z z y 理想由定理2 3 8 知，对任意t ( 五，】，4 是x 的一个 理想下面我们只需证明4 是x 的一个闭理想即可 设x 4 ，则有a ( x ) t 由定义2 3 3 ，得 a ( 0 木x ) v 五彳( x ) t 也就是a ( o * x ) f ，即o * xe4 因此，4 是b c i - 代数x 的一个闭理想 相反地，假设对任意t ( 允，】，4 要么是一个空集，要么是b c i 一代数x 的一 个闭理想若4 o ，则由定义2 3 3 知4 是b c i 代数的一个理想由定理 2 3 8 知a 是x 的一个广义f u z z y 理想，下面我们只需证a 是x 的一个广义f u z z y 闭理想即可 假设对v c ( 五， ，存在x x ，使得 a ( 0 术x ) v 旯 c = a ( x ) ， 则彳( 0 x ) c 因为4 是b c i 一代数x 的一个理想，所以0 * x 4 ，即彳( 0 宰x ) c 1 0 青岛科技大学研究生学位论文 这与a ( o * x ) c 矛盾因此对v x x ，有 彳( o 宰x ) v 名彳( 功a , u 由定义2 3 3 知，彳是b c i 代数x 的一个广义f u z z y 闭理想 定理2 3 1 0 设么是b c i 一代数x 的一个广义f u z z y 理想，则么为x 的广义 f u z z y 闭理想当且仅当a 为x 的一个广义f u z z y 子代数 证明必要性：因为彳为z 一个广义f u z z y 闭理想，则对v x ，y x ， 彳( ( x 宰y ) 幸x ) v 名= 彳( ( x 幸石) 宰y ) v 五 = a ( 0 * y ) v 五 彳( y ) a t 又因为彳为x 的一个广义f u z z y 理想，所以 a ( x * y ) v 名( 彳( ( x 幸y ) 奉x ) a a ( x ) a t ) v 五 = ( 么( ( 石y ) , x ) v 2 ) a ( a ( x ) v 力) a ( v 允) 彳( x ) a 彳( y ) a j u 因此，彳为b c i 一代数x 的一个广义f u z z y 子代数 充分性：若a 为x 的一个广义f u z z y 子代数，则对v x x ，有 a ( o * x ) v 五( 彳( o ) a a ( x ) a , u ) v 允 = ( a ( 0 ) v a ) a ( a ( x ) v 五) a ( v 旯) 彳( z ) a 1 t 因为a 是b c i - 代数x 的一个广义f u z z y 理想，所以由定义2 3 3 知，a 为b c i 一代 数x 的一个广义f u z z y 闭理想 定理2 3 1 1 设 是一个b c i 代数，k 为x 的一个子代数如果a 是x 的一个广义f u z z y 理想，则k n a 是k 的一个广义f u z z y 闭理想 证明对v x ，y k ，有 ( k n 彳) ( x 木y ) v 彳a ( x * y ) v 五 a ( x ) a 么( y ) a = ( k n 月) ( x ) a ( k n 彳) ( 夕) a 因此 b c i 一代数的广义f u z z y 理想 ( k n a ) ( o ) v 2 = ( kr 、彳) ( x 幸x ) v 2 ( k n 彳) ( x ) h i t 因为么是x 的一个广义f u z z y 理想，x j v x ，y k ， ( k n a ) ( x ) v 2 = 彳( 功v 2 , a ( x * y ) h a ( y ) i t = ( k n 么) ( z 奉y ) h ( k n 彳) ( y ) h l t 所以，k n a 是k 的一个广义f u z z y 理想因此，由定理2 3 1 0 知，k n a 是k 的 一个广义f u z z y 闭理想 定理2 3 1 2 设a 和b 都是b c i 代数x 的广义f u z z y 理想，则an b 也是它 的广义f u z z y 理想 证明对v x , y x ，有 ( 彳n 口) ( o ) v a = ( 彳( o ) 人曰( 0 ) ) v 允 = ( a ( o ) v a ) h ( 口( o ) v 五) ( 彳( x ) h i t ) h ( 曰( x ) ) = ( 么( x ) 曰( 石) ) h i t = ( 么r 、b ) ( x ) h i t 且 ( a n b ) ( x ) v 兄= ( 彳( x ) h 曰( x ) ) v 见 = ( a ( x ) v ；t ) ( b ( x ) v 五) ( a ( x * y ) a ( y ) h i t ) h ( b ( x * y ) 人b ( y ) h i t ) = ( a ( x 掌少) 八b ( x 宰y ) ) h ( a ( y ) b ( j ，) ) h i t = ( a 厂、b ) ( 石毒y ) h ( 1 4 r 、b ) ( j ，) h i t 因此，an b 也是b c i 代数石的一个广义f u z z y 理想 定义2 3 1 3 设a 和b 分别是集合x 的f u z z y 子集，则a 和b 的笛卡尔乘积 a b 是x x 的一个f u z z y 子集，定义如下：对v x ，y x ，有 a b ( x ，少) = 么( x ) b ( y ) 定理2 3 1 4设a 和b 分别是b c i 代数x 的广义f u z z y 理想，则a b 是 1 2 青岛科技大学研究生学位论文 b c i 一代数xxx 的一个广义f u z z y 理想 证明对v ( x ，y ) x x ，由定义2 3 1 3 得， a x b ( o ，0 ) v 五= ( 彳( o ) a b ( 0 ) ) v 名 = ( 么( o ) v a ) ( 易( 0 ) v ；d ( 彳( 工) ) ( b ( x ) a 1 t ) = a x 口k 曲 i t ， 对v ( 五，t ) ，( 舅，儿) ，( 乙，乞) x 工，有 a x b ( ，恐) v 名= ( 么( 五) 召( 乇) ) v 力 = ( 彳( 五) v 力) a ( b ( x 2 ) v 兄) 彳( 五奉乃) a a ( z 1 ) a b ( x 2 幸少2 ) h b ( z 2 ) = 彳( 五* y 1 ) b ( 恐奉j ，2 ) a a ( z 1 ) a b ( z 2 ) a , u = a x 口( 五y 1 ) 而儿) a a x b ( z i ，z 2 ) a k t = a x b ( ( 五，x z ) 奉( 咒，y 2 ) ) a a x 占( 互，z 2 ) a 1 t 因此，a x b 是x x 的一个广义f u z z y 理想 定理2 3 1 5 设么和b 分别是b c i 代数x 的f u z z y 集若a x b 是x x x 的一 个广义f u z z y 理想，则 ( 1 ) v x x ，a ( o ) v 五么( 石) 或b ( o ) va b ( x ) ； ( 2 ) v x x ，b ( o ) v 彳a ( x ) a i t 或b ( 0 ) v 五b ( x ) 八； ( 3 ) v x x ，a ( o ) v 名a ( x ) 1 1 或a ( o ) va b ( x ) ； 证明( 1 ) 假设3 x ，y x ， a ( o ) v 旯 a x b ( 0 , 0 ) v 3 这与a x b ：是x x x 的广义f u z z y 理想矛盾故对v x x a ( o ) v 3 彳( 力a , u 或b ( 0 ) v 元b ( x ) a i t ( 2 ) 假设z t x ，y x ， b ( 0 ) v 3 a x b ( 0 ，o ) v 兄 青岛科技人学研究生学位论文 3b o | - 代数的几类广义f u z z y 理想 3 1b c 卜代数的广义f u z z y 关联理想 定义3 1 1 ( i ! i f l 庆平 5 2 】) 设，是b c i - 代数x 的一个非空子集，则j 叫做 x 的一个关联理想，如果对v x ，y ，z x ，有 ( ) 0 i ； ( 厶) ( ( ( 石宰y ) 幸y ) 幸( 0 牛y ) ) 幸z ，和z ，蕴涵 x 宰( ( y 木( y 掌x ) ) 宰( o 幸( o 木( x 宰y ) ) ) ) i 定义3 1 2 ( y l l i ua n dj m e n g 2 4 1 ) b c i - 代数x 的一个非空f u z z y 子集a 称 为x 的一个f u z z y 关联理想，如果对v x ，y ，z x ，有 ( 只)彳( 0 ) 爿( 工) ； ( e )彳( x 木( ( 少宰( y 木x ) ) 木( o 掌( 0 木( x 木y ) ) ) ) ) 彳( ( ( ( x y ) 幸y ) 木( 0 宰y ) ) 木z ) 彳( z ) 定义3 1 3 设v 2 ，( o ，1 】且五 b c i 一代数x 的一个非空f u z z y 子集彳 称为x 的一个广义f u z z y 关联理想，如果v x ，y ，z x ，有 ( g e ) a ( 0 ) v 五x ( x ) 人； ( g e )么( 工术( ( j ，幸( y 幸x ) ) 宰( o 幸( o 木( x 宰y ) ) ) ) ) v a 彳( ( ( ( x 奉y ) 毒j ，) 宰( 0 木y ) ) 宰z ) a ( z ) 八 定理3 1 4 b c i 代数x 的任一广义f u z z y 关联理想必是它的一个广义f u z z y 理想 证明设彳是b c i 代数x 的一个广义f u z z y 关联理想，由定义3 1 3 ( 啷) ， a ( 0 ) v 2 a ( x ) a p 在( 鸱) 中，令y = 0 ，z = y ，则 彳( x 宰( ( j ，木( y 宰x ) ) 木( o ( 0 木( x 木少) ) ) ) ) v 五 = a ( x 木( ( 0 枣( 0 宰x ) ) 木( 0 木( 0 木( x 木o ) ) ) ) ) v 2 = 彳( x 木( ( o 宰( o 木x ) ) ，l ( 0 ( 0 木x ) ) ) ) v 五 l s b c i 一代数的广义f u z z y 理想 = 爿( 石宰o ) v 名 = a ( x ) v 名 和 彳( ( ( ( x 木y ) 事y ) 木( o 宰y ) ) 事z ) = 彳( ( ( “母0 ) 木0 ) 宰( o 书o ) ) 幸y ) = 彳( ( ( 石十0 ) 乖o ) 宰y ) = 彳( 石| y ) 由定义3 1 3 ( 钙) ，a ( x ) v 2 a ( x * y ) a a ( y ) a l 所以a 是b c i 一代数x 的一个 广义f u z z y 理想 定理3 1 5 设彳是b c i 代数x 的一个f