（基础数学专业论文）非线性fourier原子的研究.pdf

中文摘要 摘要 非s r 稳信号的主要特征是其频率是时间的函数经典f o u r i e r 分析4 i 能揭示 非平稳信号的时变特征。这丰要是由于f o u r i e r 分析是将一个周期函数分解为无 穷多个最和谐的函数，即频率为其基本频率整数( 包括零) 倍的正弦波的加权和 然而，这些正弦波的频率是固定不变的f o u r i e r 分析只是适用于分析信号的组 成分量的频率不随时间变化的平稳信号，分析结果也仅仅能够昭示一个信号是 由多个正弦波叠加而成理想的时频分析方法为将复杂信号分解为某些简单信 号的叠加，且对这些简单信号能定义有意义的瞬时频率和构造其时频分布瞬 时频率是定义在解析信号的相位求导上的，是一种新的频率描述方法，使得对 非平稳信号同样可以进行频谱分析n eh u a n g 研究的h i l b e r t h u a n g 变换提供了 一种算法将一个复杂的瞬变信号分解为有限数目的固有模态函数的和其实验 表明经验模态分解方法中每一阶固有模态函数与h i l b e r t 变换有着密切联系，每 一阶固有模态函数为满足解析条件的解析信号的实部，可视为单分量信号解 析信号理论在h i l b e r t h u a n g 变换起到重要作用经典f o u r i e r 分析r t , f o u r i e r 原子 为具有线性相位的单位解析信号，是否存在具有非线性相位的解析信号? 已经 证明了非线性f o u r i e r 原子为具有非线性相位的单位圆解析信号进一步地得到 由b l a s c h k e 乘积构造的广义非线性f o u r i e r 原子亦为单位网解析信号但是，广义非 线性f o u r i e r 原子不具有正交性问题的关键在于如何构造一组标准正交基函数， 使得其为具有瞬时幅度和瞬时频率的解析信号 本论文的主要研究t 作是围绕着非线性f o u r i e r 原子来展开的首先，针对解 析信号的有关知识进行了研究给出了分数阶f o u r i e r 域上的b e d r o s i a n 定理，并进 一步讨论线性正则变换域上解析信号的有关性质和b e d r o s i a n 定理其次，主要证 明了存在一组标准正交基函数，其为具有瞬时幅度和瞬时相位的解析信号，并讨 论了其构成f o u r i e r 级数的c e s 打。平均求和法本文的主要创新之处体现在以下几 个方面： ( 1 ) 瞬时频率分析与解析信号密不可分，而b e d r o s i a n 定理在解析信号的构造 中起到重要的作用分数阶f o u r i e r 变换和线性正则变换为f o u r i e r 变换的推广首 先，证明了分数阶f o u r i e r 域上的b e d r o s i a n 定理其次，进一步讨论线性正则变换域 上解析信号的有关性质和b e d r o s i a n 定理 ( 2 ) 非线。l 牛f o u r i e r 原子为单位圆解析信号，其瞬时频率为正的由b l a s c h k e 乘 湖北大学博士学位论文 积得到的广义非线性f o u r i e r 原子为非线性f o u r i e r 原子的推广，其仍为单位圆解析 信号然而，其不具有正交性本文通过对b l a s c h k e 乘积进行g r a m s c h m i d t 正交化 得到一组标准正交基函数，并给出了此类基函数的幅度和相位的具体表达式，证 明了其为具有非负瞬时频率的圆解析信号从而，任何复杂的信号就可被分解为 不i 司的具有瞬时幅度和瞬时相位的解析信号的组合这为利用非线性f o u r i e r 原子 来分析非平稳信号提供理论基础 ( 3 ) 类似于经典的f o u r i e r 级数中的有关结论，有必要研究发散级数的求和法， 以便我们能按某种意义给出一些发散级数的和本文主要研究标准正交基函数构 成f o u r i e r 级数的c e s 打。平均求和法在一定条件下，给出了b l o c k c e s a l i o 平均求和 的核函数f e j d r 核的具体表达式，解决了一般的c e s t t r o 平均求和情形下的收敛性 问题 ( 4 ) 基于已经构造的一种阶梯型滤波器，着重讨论在分数阶f o u r i e r 域中利用阶 梯型滤波器来处理采样信号，从而得到与非线性f o u r i e r 原子相关的重构公式此 外，利用非线性f o u r i e r 原子定义了一种广义z a k 变换，并讨论其有关性质，证明了 广义b a l i a n l o w 定理 关键词：非线性f o u r i e r 原子；解析信号；瞬时频率；b e d r o s i a n 定理；分数 阶f o u r i e r 变换；线性正则变换；c e s t t r o 平均；广义z a k 变换 一 英文摘要 a b s t r a c t t h ef r e q u e n c yo fn o n s t a t i o n a r ys i g n a l sv a r i e sw i t ht i m e t h et r a d i t i o n a lf o u r i e r a n a l y s i s ，h o w e v e r c a nn o te x p o s et h et i m e v a r y i n gp r o p e r t yo ff r e q u e n c yo fn o n s t a t i o n a r ys i g n a l s t h i si sd u et ot h eb a s i cf a c tt h a ti nf o u r i e ra n a l y s i sag e n e r a ls i g - n a li ss u p e r p o s i t i o no fh a r m o n i cw a v e so fw h i c he a c hh a sac o n s t a n tf r e q u e n c y t h e i d e a lm e t h o do ft i m e f r e q u e n c ya n a l y s i sf o rn o n - s t a t i o n a r ys i g n a l sw o u l db et oa d a p - t i v e l yd e c o m p o s eas i g n a li n t oas u mo fs i m p l es i g n a l sw h i c ha r em o n o - c o m p o n e n t s f o rt h o s ec o m p o n e n t s ，o n ec a nd e f i n em e a n i n g f u li n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c ya n df u r t h e r - m o r ec o n s t r u c tt i m e f r e q u e n c yd i s t r i b u t i o n t h en o t i o no fi n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c yi s an e wd e s c r i p t i o nf o rt i m e v a r y i n gf r e q u e n c y , d e f i n e da st h ed e r i v a t i v eo ft h ep h a s e o fa n a l y t i cs i g n a l s r e c e n t l y , n e h u a n gp r e s e n t e dan e wt i m e f r e q u e n c ya l g o r i t h m , h i l b e r t - h u a n gt r a n s f o r m ，d e s i g n e df o rd e c o m p o s i n gac o m p l i c a t e dt r a n s i e n ts i g n a li n t o as u mo fi n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n s e x p e r i m e n t ss h o wt h a ti n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n sb e - h a v en i c e l yw i t hh i l b e r tt r a n s f o r mi nt h es e n s et h a te a c ht e r mo ft h ei n t r i n s i cm o d e f u n c t i o n si nt h ee m p i r i c a lm o d ec o m p o s i t i o nm e t h o d ，r e g a r d e da sm o n o - c o m p o n e n to f t h es i g n a l ，i st h er e a lp a r to fa na n a l y t i cs i g n a l i th a sb e e np r o v e dt h a tf o u r i e ra t o mi s a l lu n i ta n a l y t i cs i g n a lw i t hl i n e a rp h a s e f u r t h e r m o r e ，a l lu n i ta n a l y t i cs i g n a lw i t hn o n - l i n e a rp h a s ei sp r o v i d e d ，c a l l e dn o n l i n e a rf o u r i e ra t o m g e n e r a l i z e dn o n l i n e a rf o u r i e r a t o mc o n s t r u c t e db yb l a s c h k ep r o d u c ti sa l s ou n i ta n a l y t i cs i g n a l ，h o w e v e r , t h er e s t r i c t i o ni si m p o s e dt oo b t a i nt h es i m p l es i g n a l sa sa l lo r t h o n o r m a ls y s t e m t h ek e yi s s u ei s t h a th o wt od e r i v eak i n do fo r t h o n o r m a lb a s e ss u c ht h a tt h e ya r ea n a l y t i cs i g n a l sa n d h a v em e a n i n g f u li n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c y i nt h i sp a p e r , o u rc o n c e r nm a i n l yc e n t r eo nt h en o n l i n e a rf o u r i e ra t o m o nt h eo n e h a n d ，t h eg e n e r a l i z e db e d r o s i a nt h e o r e mi sp r o v i d e di nt h ef r a c t i o n a lf o u r i e rd o m a i n a n di nt h el i n e a rc a n o n i c a lt r a n s f o r md o m a i n ，r e s p e c t i v e l y o nt h eo t h e rh a n d ，ab n d o fn o n t r i v i a lo r t h o n o r m a lb a s e sa r ed e r i v e db ya p p l y i n gt h eg r a m s c h m i d tp r o c e d u r e t ot h eb l a s c h k ep r o d u c t s w es h o wt h eo r t h o n o r m a lb a s e ss a t i s f ya n a l y t i cc o n d i t i o n a n dh a v ep o s i t i v ei n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c y f u r t h e r m o r e ，w ed e a lw i t ht h ec o n v e r g e n c e o ft h ec e s b x om e a nf o rt h eo r t h o n o r m a lb a s e s t h em a i nc o n t e n t sa n dc o n t r i b u t i o n so f t h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) t h ed e f i n i t i o no fi n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c yi st i g h t l ya s s o c i a t e dw i t ha n a l y t i c s i g n a l ，a n db e d r o s i a nt h e o r e mp l a y sak e yr o l ei nd i s c u s s i n gw h e t h e r o rn o tt h ep r o d u c t o ff u n c t i o n sa r ea n a l y t i cs i g n a l s s i n c et h el i n e a rc a n o n i c a lt r a n s f o r ma n df r a c t i o n a l f o u r i e rt r a n s f o r ma r et h eg e n e r a l i z a t i o no fc l a s s i c a lf o u r i e rt r a n s f o r m ，t h eg e n e r a l i z e d 湖北大学博士学位论文 b e d r o s i a nt h e o r e mi sp r o v i d e di nt h ef r a c t i o n a lf o u r i e rd o m a i na n dt h e nw ed e v e l o p s o m er e s u l t so ng e n e r a l i z e da n a l y t i cs i g n a li nl i n e a rc a n o n i c a lt r a n s f o r md o m a i n ( 2 ) n o n l i n e a rf o u r i e ra t o mi sa nu n i ta n a l y t i cs i g n a lw i t hn o n l i n e a rp h a s e ，h a s s t r i c t l yi n c r e a s i n gt i m e - v a r y i n gp h a s e g e n e r a l i z e dn o n l i n e a rf o u r i e ra t o mc o n s t r u c t e d b yb l a s c h k ep r o d u c ti sa l s oa nu n i ta n a l y t i cs i g n a l ，h o w e v e r , t h er e s t r i c t i o ni si m p o s e d t oo b t a i nt h es i m p l es i g n a l sa sa no r t h o n o r m a ls y s t e m t h eg r a m s c h m i d tp r o c e d u r e o ft h eb l a s c h k ep r o d u c t sl e a d st oo r t h o n o r m a lb a s e s f u r t h e r m o r e ，w eg i v ei t se x p l i e re x p r e s s i o ni nt h ep o l a rf o r mw i t ha m p l i t u d ea n dp h a s ea n ds h o wt h eo r t h o n o r m a l b a s e ss a t i s f yt h ea n a l y t i cc o n d i t i o na n dh a v ep o s i t i v ei n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c y a sa c o n s e q u e n c e ，a n yc o m p l i c a t e ds i g n a lc a l lb ee x p a n d e di n t od i f f e r e n tc o m p o n e n t sw i t h t i m e v a r y i n ga m p l i t u d ea n dp h a s e ( 3 ) p r o v i d e dt h es e to fz e r o e so fo r t h o n o r m a lb a s e si sf o r m e db yap e r i o d i cr e p e t i t i o no ft h es a m ef in i t es e q u e n c e ，t h e e x p l i c i te x p r e s s i o no fs o c a l l e db l o c k f e j 6 rk e r n e l i sa v a i l a b l e ，a n ds o m ep r o p e r t i e so ft h eb l o c k f e j 6 rk e r n e la r ed i s c u s s e d b a s e do n t h ec o n v e r g e n c eo ft h eb l o c k c e s b x om e a n ，t h ec o n v e r g e n c eo fc e s 打om e a ni sa l s o p r o v i d e d ( 4 ) b a s e do nt h ed e f i n i t i o no ft h eg e n e r a l i z e ds i n ef u n c t i o na n dt h el a d d e r - s h a p e f i l t e r , w ee s t a b l i s has h a n n o nt y p es a m p l i n gt h e o r e mf o rn o n - b a n d l i m i t e ds i g n a l sa s s o c i a t e dw i t ht h ef r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m o nt h eo t h e rh a n d ，w ed e v e l o pan e w e x t e n s i o no ft h ez a kt r a n s f o r i l lb a s e do ns o m er e s u l t so nt h en o n l i n e a rf o u r i e ra t o m t h en o v e l t yo fo u ra p p r o a c hi st h a tw es u b s t i t u t et h en o n l i n e a rf o u r i e ra t o mf o rt h e c l a s s i c a lf o u r i e ra t o ma p p e a r i n gi nt h ez a kt r a n s f o r m w es h o wt h a tt h eg e n e r a l i z e d z a kt r a n s f o r mi sa nu n i t a r ym a pf r o ml 2 ( r ) t ol 2 ( o ，l 】2 ) f u r t h e r m o r e ，w ee s t a b l i s h a g e n e r a l i z e db a l i a n l o wt h e o r e m k e yw o r d s ： n o n l i n e a rf o u r i e ra t o m ；a n a l y t i cs i g n a l ；i n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c y ； b e d r o s i a nt 1 1 e o r e m ；f r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m ；l i n e a rc a n o n i c a lt r a n s f o r m ；c e s 打o m e a n ；g e n e r a l i z e dz a kt r a n s f o r m 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得 的研究成果。除了文中特另l j j n 以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承 担。 作者签名： 签名日期： 学位论文使用授权说明 仫绎 9 瓣s 只l 龟 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学 校可以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢 利为目的的前提f ，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在 解密后遵守此规定) 作者签名： 导师签名： 彩印 栅庠 e l 觌：c 7 i 器年s 日| 培觌：秒苓年只| 培 日期：酣年劝聪日 第一一章绪论 1 1 问题的提出 第一章绪论 人们笃信和向往世界的稳定性，规则性，和谐性，因果性以及本质上的简单 性历史上，f o u r i e r 频谱分析方法占了信号分析领域的主导地位，以至于“频谱”一 词成为了f o u r i e r 变换的同义词【1 1 1 f o u r i e r 变换在一般的条件都是有效的，但它 也受到严格的限制：首先被分析的系统必须是线性的；其次是信号必须是周期 的或平稳的不满足这两个条件，用f o u r i e r 变换所得到的结果将缺乏物理意义 f o u r i e r 分析体现这样一种信念【2 】：它将一个周期函数分解为无穷多个最和谐的函 数，即频率为其基本频率整数( 包括零) 倍的正弦波的加权和由于这些正弦函数 的频率是固定不变的，并且波形是无始无终的，因此不难看出，f o u r i e r 分析只是适 用于分析信号的组成分量的频率不随时间变化的平稳信号，分析结果也仪仪能够 昭示一个信号是由多个正弦波叠加而成 然而，许多天然的和人工的信号，譬如语音，生物医学信号，音乐，雷达和声纳 信号，机械振动和动物叫声等就是典型的非平稳信号，非，r 稳信号的主要特征是 其频率是时问的函数f o u r i e r 变换只能用米处理确定性的平稳信号，对于时变的 非平稳信号则无能为力因此，随着科学的发展，非平稳信号的处理逐渐引人注 目，f o u r i e r 分析的局限性也愈发显得突出针对这一问题，自2 0 世纪4 0 年代以来， 人们不断地对f o u r i e r 分析的理论进行推广和改进，提出并发展了一系列新的信号 分析理论与方法，如短时f o u r i e r 变换f 3 一，w i g n e r - l l e 分布【t - 1 0 ，小波变换【1 1 】等 但研究表明：这些时频分析法的最终理论依据都是f o u r i e r 变换，因而不可避免地 会受至1 f o u r i e r 变换分析非平稳信号的缺陷的影响针对此问题，n e h u a n g 等人 提出的一种新的处理非线性非平稳信号的时频分析方法一h i l b e r t h u a n g 变换从根 本上突破了f o u r i e r 变换理论的限制1 1 2 i 理想的时频分析的方法为将信号分解为某些被称为单分量信号的简单信号 的叠加对这些单分量信号，能够定义有意义的瞬时频率并进一步构造其时频分 布在f o u r i e r 变换中一个基本概念是频率，而频率就代表着信号的周期性，也就 是平稳性要求，非平稳信号的特点之一就是没有周期性，这样按f o u r i e r 变换的方 法定义频率，进行频谱分析将缺乏物理基础，为了解决这个问题，有必要定义一 种新的频率描述方法，使得对非3 f 稳信号同样可以进行频谱分析，而且与f o u r i e r 湖北大学博士学位论文 变换的频谱分析是兼容的，正是出于这种需求，一种称为瞬时频率的概念被提出 来【1 3 ，1 4 1 瞬时频率的定义有多种描述方式，其中以h i l b e r t 变换为基础，对信号进 行h i l b e r t 变换，求出解析信号再对其相位求导，从而得到一个具有频率量纲的参 量，在满足单值性的条件下，这个参量可以定义为瞬时频率，并且与f o u r i e r 变换 的频率定义是相容的瞬时频率是定义在解析信号的相位求导上的，并不是任 意信号都可以通过h i l b e r t 变换得到瞬时频谱，严格意义上讲只有满足窄带条件 的一类信号定义瞬时频率才有意义，那么对于非平稳信号又如何进行基于瞬时 频率的频谱分析呢? 这就需要对非平稳信号进行分解，把原始信号分解成一系 列满足窄带条件信号的组合，然后进行h i l b e r t 变换，求解每一分解分量的瞬时频 谱，从而得到原始信号的时频谱如何进行分解，n eh u a n g 等人进行了研究，并 在文献【1 2 】中详细论述此方法，这种对非线性非平稳信号进行分析的新方法被称 为h i l b e r t - h u a n g 变换h i l b e r t h u a n g 变换是一种两步骤信号处理方法首先用经 验模态分解方法获得有限数目的固有模态函数，然后再利用h i l b e r t 变换和瞬时 频率方法获得信号的时频谱h i l b e r t 谱由于瞬时频率方法不能对任意信号都适 用，它只能对单分量信号才有意义，对于自然界和工程应用领域，我们所获取的 信号一般都不能满足单分量信号的要求，因此必须对信号进行适当的处理经验 模态分解方法就是通过对信号进行分解，使之能够表示为许多单分量信号之和 在h i l b e r t h u a n g 变换中，为了把复杂的信号分解为简单的单分量信号的组合，在 进行经验模态分解方法时，所获得的固有模态函数必须满足下列两个条件：1 ) 在整个信号长度上，一个固有模态函数的极值点和过零点数目必须相等或至多只 相差一点2 ) 在任意时刻，由极大值点定义的上包络线和由极小值点定义的下 包络线的平均值为零，也就是说固有模态函数的上下包络线对称于时间轴满 足上述条件的固有模态函数就是一个单分量信号通过经验模态分解方法对信号 的一次次的筛分过程，就可以获得信号的多个固有模态函数分量和一个逼近分 量k ，从而信号可由下式表示 m ) = c t + 如， i = 1 其中，c i 为第i 阶固有模态函数分量上面的分解过程可以解释为尺度滤波过程， 每一个固有模态函数分量都反映特征尺度，代表着信号的非线性非平稳信号的内 在模态特征获得了信号的固有模态函数分量以后，就可以对每一阶固有模态函 数作h i l b e r t 变换，从而得到相应的解析信号【7 1 根据瞬时频率的定义，就可求出相 2 一 第一章绪论 应的解析信号的幅值谱和瞬时频率。从而原始信号可以表示为 m ) = 。k ( t ) d 删出+ 如， k = l 其中( ) 为第k 阶固有模态函数的瞬时频率其数学表达式反映t h i l b e r t h u a n g 变换是f o u r i e r 变换的一种扩展形式 实验表明每一阶固有模态函数与h i l b e r t 变换有着密切联系，经验模态分解方 法中的每一阶固有模态函数为满足解析条件的解析信号的实部，可以视为单分量 信号可见，解析信号理论在h i l b e r t - h u a n g 变换起到重要作用此外，在边缘检测， 滤波器的设计等领域应用解析信号的性质也可得到较好的处理效果最近，众多 学者关注解析信号的推广工作【1 5 - 2 3 1 文献【1 7 】从分数阶f o u r i e r 变换的角度来修 正经典h i l b e r t 变换的定义，从而得到广义解析信号定义和性质阻一2 7 1 文献【2 8 中 将时限信号，( t ) ，t 【一7 r ，7 r l l j 勺h i l b e r t 变换称为圆h i l b e r t 变换，其定义为 冗。m ) ：= - js g n ( n ) c 仇( f ) e j m ， n = = 一0 0 由圆h i l b e r t 变换的定义易知 对正整数几，则有 咒c e j 眦= 一js g n ( n ) e j m ， 7 - 1 c ( c o sn t ) = s i n n t 7 - 1 c ( s i nn t ) = 一c o s n t 这意味着圆h i l b e r t 变换咒。不改变波形疵的形状，而只是把波形的耐相位平移吾 信号一m 为平凡的单位圆解析信号，其相位为线性函数，由瞬时频率定义可知其瞬 时频率为常数是否存在具有非线性相位的圆解析信号? 文献【2 8 1 e p 证明了具有 非线性相位的单位圆解析信号 eoa(虹兰杀，i二i 1 _ j、 一 j一 一 j 构) 2 j ：l 2 ( 一7 r ，7 r 】) 的一组正交基因为有关系式 e j 优= c o s n t + 歹s i n n t ， 所以复型的函数系e j 舭，n z ，在内积 9 ) _ 去仁m ) 一g ( t ) d t 下也构f i t 2 l 2 ( 【- 7 r ，7 r 】) 的一组标准正交基本文中称e j 叭为f o u d e r 原子 5 一 湖北大学博士学位论文 称级数 百a o + ( a k c o s k t + b k s i n k t ) ( 1 - 2 1 ) 七= 1 为实型的三角级数，其中0 0 ，a 七，b k ，k = 1 ，2 ，是实数列又称级数 吼一n k = - o o ( 1 2 2 ) 为复型三角级数，其中，k = 0 ，4 - 1 ，4 - 2 ，是复数列 a o ，a k ，b k ，k = 1 ，2 ，与c k ，k = 0 ，4 - 1 ，4 - 2 ，为相应的三角级数的系数若给定，( t ) l 2 ( 【一7 r ，丌】) ，三角级数( 1 2 1 ) 的系数由以下公式给定 。七= 妻 m 炳扣0 7 1 ，2 ， k = 昙仁m ) s i 删蚶- 1 2 ， 则称该三角级数为，( t ) 的( 实型) f o u r i e r 级数，记为 巾) “i a o + 喜c o s 姚蛳矾啦 同样地，若三角级数( 1 2 2 ) 的系数由公式 c k = c k ( f ) = 去 m ) e _ 圳砒 给定，则称该三角级数为，( ) 的( 复型) f o u r i e r 级数，记为 一般的f o u r i e r 展开的定义可以关于正交函数系给出设e 是实轴上具有正测度的 6 一 ，j 第一章绪论 子集( 复值) 函数饥l 2 ( e ) ( k = 1 ，2 ，) ，如果有以下等式成立 c 讥，吻，= 上饥西如= 支，：兰；： 就称函数系 仇) 为e 卜的正交系任给( 复值) 函数，l 2 ( e ) ，称 = 瓦i 上，( z ) 万丽如 为，关于 仇) 的系数级数 c k c k ( t ) k = l 称为，关于 仇) 的f o 面e r 级数，记作 m ) 一玖仇( ) k = l 1 2 2f o u r i e r 级数的收敛与发散 l 2 ( 【一7 r ，丌】) 是h i l b e r t 空间，它是l ( 【- 7 r ，丌】) 的子空间设，( t ) l 2 ( 【一7 r ，丌】) ， m ) 一c k d 舭， 七= 一0 0 将右端的级数记成s ( ，) ，它的部分和为 & ( t ) 2 三j 1 _ 一他) k = - n 1 7 1 。叶 n 霄 n 七= 一n ，丌 = f ( x ) d n ( t x ) d x 7 湖北大学博士学位论文 记 d n ( u ) 1s i n ( n + u 2 7 r s i n 量 称d n ( u ) ：为d i r i c h l e t 核它是u 的周期函数与偶函数因为在f ( t ) 三1 时，有& ( t ) = 1 ，n = 0 ，1 ，2 ，所以得 & ( z ) 又可以写为 其中 1 = 晰) 如= 2 晰m & ( t ) = f f ( 一u ) 风( 札) 砒 = i f f ( + 缸) + ，( 一“) 】队( 乱) d 乱 = 2 小洲咖， 妒。( u ) = 丢【，( + t 上) + ，( 一让) 】 我们知道，连续函数的f o u r i e r 级数也不一定几乎处处收敛这与l e b e s g u e 常数 的性质有直接的关系 定理1 1 ：以下估计式成立 其中0 ( 1 ) 表示有界量 如 帅) 1 d u ， l n 莽4 l nn + d ( 1 ) ( n _ ) ， 8 ( 1 2 3 ) 竿1 丽 = h n 1 一打 第章绪论 定理1 2 ：存在周期连续函数厂c ( 【一7 r ，丌】) ，使得部分和& ( ) 在某点发散 对l 2 ( 【一丌，7 r 】) 中的函数的f o 嘶e r 级数部分和按l 2 范数收敛于函数自身，并且 有p a r s e v a l 等式成立 定理1 3 ：设，l 2 ( 【一7 r ，丌】) ，则有 一l i m i l l ( ) 一& ( 圳1 22 熙( 上霄i ，( ) 一& ( 驯2 出) 5 = o ， ，r n _ n 一+ ，一 并且有以下p a r s e v a l 等式成立 去加圳2 拈塞岍 1 2 3f o u r i e r 级数c e s h r o 平均求和法 我们曾指出连续函数，的f o u r i e r 级数可能在某些点发散，并且知道存在可积 函数，其f o u r i e r 级数处处发散于是，就有必要研究发散级数的求和法，以便能按 某种意义给出一些发散级数的和本节只介绍对f o u r i e r 级数特别有意义的算术平 均求和法设给定序列岛，研，& ，考虑其算术平均 = 而1 ( 岛+ 研+ + & ) = 而薹n 鼠，n = 。，1 ，2 ， 如果_ s ( n 一。o ) ，s 是有限数，就称序列 & ) 可算术平均求和于s 设& 是级 数墨。札七的部分和，若_ s ( n _ o o ) ，就称此级数 & ) 可算术平均求和于s 这时记& = 甚o k ，就有 = 而1 ( 岛+ + + 晶) = 而1 壹( 儿+ 1 一七) 牡七 k = 0 = 喜”熹h 9 湖北大学博士学位论文 & 一= 熹砉 n 十l ， 易知当岛一s 时，必有_ s 但逆命题一般不成立下面考虑f 0 u e r 级数的算 术平均求和法由于f e j r 对这个问题做了有成效的研究，所以算术平均求和法称 为f e j r 求和法，有时也称为c e s 狗平均求和法下文中称为c e s 狐平均求和法 设，( ) l ( 【- 7 r ，7 r 】) ，其f o u r i e r 级数的部分和是& ( t ) = e n 七：一nc 七一舭，其c e s 扪平 均求和为 其中 ( z ) = ( t ) 2 而1 k = o 瓯( t ) 妻( 一墨彬七t = ，( 一z ) k ( z ) d z ， ( 1 2 4 ) ：jsin学分)12刀-(n 1s i n = = - - 一 + ) i 为f e j r 核( 1 2 4 ) 式右端的积分称之为函数，的f e j 6 r 积分( z ) 是以2 丌为周期的 偶函数，满足下述性质 ( 1 ) l ( z ) 如= 1 ， ( 2 ) k 。( z ) 20 ， ( 3 ) 对任意取定的5 ( 0 ，7 r ) ，令( 6 ) = s u p ( z ) ，有l i m ( 6 ) = 0 6 s l 圳墨 “。 根据珞扛) 的性质可以推导出以下定理 定理1 4 ：设，( ) l ( 【- 7 r ，7 r 】) ，则在，( ) 的连续点披匕，( ) 的f o u r i e r 级数可c e s a r 0 平均求和于，( z ) ，即 盯n ( t ) _ f ( t ) ( n _ o o ) ； 1 0 警 芴 n 脚 击 = 功蹦 n 脚 南 第。章绪论 在厂( ) 的第一类问断点坎b ( ) _ 丢【，( z + o ) + ，( z o ) 】( n _ ) 1 3 非线性f o u r i e r 原子 1 3 1 定义 上节中介绍与f o u r i e r 级数密切相关的f o u r i e r 原子州的相位为线性函 数( t ) = n t 下面着重介绍具有非线性相位的函数，它是f o 嘶e r 原子一n 。的 推广，我们称之为非线性f o u r i e r 原子非线性f o u r i e r 原子一以( 。) 可定义为m 6 b i u s 变换【鹞，叫 m n ( z ) ；篙 在单位圆周上的边界值 e j o ( o _ 舄，1 0 i i - t r ， i f 令a = l a l e 记a ，i a l 。，( 1 3 2 ) 一= 一= 一= z 7 r t ，一i r1) i -i _，| - 一2 i o i一口) + i 2 i 一瓦e j 。1 2 ，口r 7 u v 。7 其中( ) 为a 点的p o i s s o n 核易知 以( + 2 丌) = 以( t ) + 2 7 r ( 1 3 3 ) 这样可以将相位先( ) 定义在r 上于是相位o a ( t ) ：r r 是严格增的函数 由1 一l a i 1 1 一- a e j 。i 1 1 + l o i ，可得 1 一i n i d o 。( t ) 1 + i o i 可丽11 厂! 二丽 若存在常数0 7 1 使得i o l 7 ，则 生 型 三 2 一 出一1 一，y 。 引理1 1 ：相位o o ( t ) 满足下面关系式 c 酬峥等肖黯拦蔫产 咖o o ( t ) = 等等怒拦嚣产 ( 1 3 4 ) 证明：m s b i u s 变换 m 口z ) = 第一章绪论 z a ( z n ) ( 1 一。乏) 1 一砒 ( 1 一砒) ( 1 一。乏) z a a 历+ a 2 乏 z a ( 1 + f z l 2 ) + a 2 乏 1 一砒一露+ 西z a z 1 2 r e ( 瓦z ) + i o l 2 i z l 2 令a = i a i d k ，z = e j 。，则有 证毕 e 0 ( t ) ： e j t n z 一2 l a l e 。上 q 1 2 e