（基础数学专业论文）仿射kahler流形的一类变分问题.pdf

仿射k i i l h e r 流形的一类变分问题 基础数学专业 研究生杨宝莹指导教师李安民赵国松 摘要设( m ，g ) 为紧致仿射k i i h l e r 流形，仿射k i i h l e r 度量g = f i j d x i d x j ， 若，满足l o g ( d e t ( 五j ) ) = 0 及r i c c i 曲率半正定时，则彤形如r ”r ，其中 r 为即上离散等距子群，它在彤上自由、逆紧、不连续地作用进一步，对 光滑函数h ，我们考虑m 上的更一般的变分问题，其e u l e r l a g r a n g e 方程为 a l o g ( d e t ( ) ) = h ( d e t ( f o - ) ) ，通过解这个四阶方程的一类边界问题，可以构造 满足这个二阶方程组的定义在整个彤上的欧氏完备仿射k d h l e r 流形 关键字仿射k k l h e r 流形，欧氏完备 t h ev a r i a f i o n a lp r o b l e mf o ra f f i n ek s h l e rm a n i f o l d m a j o r ：m a t h e m a t i c s m s ，c a n d i d a t e ：b a o y i n gy a r t g s u p e r v i s o r ：a n m i nl ig u o s o n gz h a o a b s t r a c t l e t ( m ，g ) b eand i m e n i o n a lc o m p a c ta f f i n ek d h l e rm a n i f o l d ，i t s k i i h l e rm e t r i ci sg = f f i j d x i d x j i fa ( 1 0 9 ( d e t ( f i j ) ) 1 = 0a n di t sr i c c ic u r v a t u r e r j20 ，w ep r o v et h a tm m u s tb er n 心w h e r efb eas u b g r o u po fi s o m e t r i co fr 1 w h i c ha c t sf r e e l ya n dp r o p e r l yd i s c o n t i n u o u s l yo nr ”m o r e o v e r , f o ras m o o t hf u n c t i o nh ，w ec o n s i d e rm o r eg e n e r a lv o l u m ev a r i a t i o n a lp r o b l e mo nm ，w eg e tt h ee u l e r l a g r a n g ee q u a t i o n a l o g d e t ( f l j ) = h ( d e t ( 矗m 一，b ys o l v i n gs o m e b o u n d a r y p r o b l e m o ft h e4 - o r d e re q u a t i o n ，w ec o n s t r u c tm a n ye u c l i d e a nc o m p l e t ea f f i n ek i ￥h l e rm a n i f o l ds a t i s f y i n gt h e4 - o r d e re q u a t i o n k e y w o r d s a f f i n ek i i h l e rm a n i f o l d ，e u c l i d e a nc o m p l e t e n e s s 致谢 首先感谢我的两位导师李安民和赵国松老师，正是由于 他们三年以来的悉心指导和大力帮助，才是我能够顺利完成 学业。感谢他们他们指引我进入一个崭新的富有挑战性的研 究方向，感谢他们在我遇到困难时给予的指导和鼓励。感谢 他们在生活上给予我的关心与帮助。两位老师的敏锐的科学 洞察力，严谨的治学态度和崇高的敬业精神对我产生的影响 必将使我受益终身，很荣幸能成为他们的学生并得到他们三 年的指导。 其次，王宝富老师在我的学习上给了我极大关心和帮助 的，对他给予我的指点和教诲致以衷心的感谢。 最后，我要感谢所有关心、支持和帮助我顺利完成学业 的老师、讨论班的同学和朋友。也感谢我的家人多年来对我 的理解和支持。 第一章引言 近年来，对光滑函数h ，关于形如d e t ( 向) = h 的m o n g e a m p b r e 方程的研 究引起了人们极大的关注，也取得了不少重要的成果我们知道许多的几何问 题通过分析计算都可以归结到某一类偏微分方程问题然而在仿射几何的研究 中，人们最多碰到的是四阶非线性偏微分方程，目前对这类方程的研究还很少 本文主要研究仿射k i i l h e r 流形上形如a l o g ( d e t ( f i j ) ) = h 的四阶方程 设仿射k d l h e r 流形( m ，占) ，在局部仿射坐标系缸i x 2 ，如) 下，可以由一 严格凸函数，表示，即 m = ( x l ，x n ，x n + 1 ) 1x n + 1 = f ( x l ，x 2 ，一南) ) ，( x i ，x 2 ，x n ) q c a “ 其仿射k i l h e r 度量g 可表示为 g = 翻喇x 引础x i 由，的严格凸性推出( 蕊0 2 两f ) 的正定性 在 c - y 中仿射k d h l e r 度量首次被c h e n g 和y a u 提出来近来，李安民在 ( “ 中研究了光滑仿射流形上几何问题，并得到了一些在k ? i h l e r 流形上的结论 特别的，记d v 为关于仿射k i i h l e r 度量g 的体积元， d v = ( d 甜( 向) ) 出ia d x 2 a d x , 。， m 的体积为a ( ，) = 厶d v = 厶( d 甜( 局) ) 出1 a d x 2 通过考虑单参数体积变分问题，李安民在i l l 中导出了e u l e r l a g r a n g e 方程 形如 a ( 1 0 9 ( d e t ( f i j ) ) ) = 0 ， ( 1 1 ) 1 第一章引言第2 页 其中为关于仿射k ? i h l e r 度量的l a p l a c i a n 算子，他在i l l 中提出了如下的问 题 问题：设m 为紧致仿射k i i h l e r 流形，使得a ( 1 0 9 ( d e t ( f i j ) ) ) = 0 ，m 是否形 如彤r ? 在这篇文章里，我们首先对这个问题给出部分解答，即证明了如下定理 定理1 1 设m 为紧仿射k d l h e r 流形，满足r i j 0 及 a ( 1 0 9 ( d e t ( f i j ) ) ) = 0 则流形m 形如r “r 进一步，我们将研究更一般的体积变分问题， a ( ，) = a ( ，) 一h f d x l d h ，( 1 2 ) 其中q 是具有光滑边界的凸域，h r ( q ) 证得体积变分问题( 1 2 ) 的e u l e r l a g r a n g e 方程为 a l o g d e t ( f i j ) = h ( d e t ( f i j ) ) ( 1 3 ) 我们感兴趣的是如何构造欧氏完备的仿射k ? i h t e r 流形为扛，( z ) ) 的图，使得， 满足( 1 3 ) 为此，我们考虑，的l e g e n d r e 变换， 芎f - _ a f ，( 1 4 ) o x i “( e l 毛。) = z f i f ( 1 5 ) 在坐标系 t 1 ，) 下，( 1 3 ) 可以写作 a l o g d e t ( u i j ) = 一h ( d e t ( u i j ) 将这个四阶的非线性偏微分方程转换为如下的二阶的偏微分方程组 d 忿蛰 第一章引言第3 页 设q + 为具有光滑边界的凸域，考虑如下的边界问题： “牡卿- ： i n 4 ，( 1 6 ) h = t p o n a q + d e t ( u i j ) = ( 0 2 i n q + ( 0 = vo i l a 甜， 其中h c ”( q + ) ，h 0 为常数n s t r u d i n g e r 和x j w a n g 在【t - w 】中曾对类似的边界问题 进行过研究利用他们的方法我们得到 命题1 2 边界问题( 1 6 ) 一( 1 1 0 ) 存在唯一的解u c “( q ) o c o ( n ) 特别的，令v = f 0 ，对任意的t ( 0 ，1 ，存在一簇解地c “( q ) n c o ( q ) 。当 r 斗0 ，我们将证明存在唯一极限解“c “( q ) n c o ( q ) 满足( 1 6 ) 一( 1 8 ) ，及在a q 上= 0 ，即证明： 定理1 3 存在唯一的解u c “( q ) n c o ( f i ) 满足如下p d e 方程组 令 u 。- t ( o u = h i n ， ( 11 i ) “= 平彻a 甜， d e t ( u i j l = 0 3 2 i nq + 0 ) = 0o n a q + a “ 墨2 爵 ，= 笔台一“ ( 】1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 7 8 9 o，；1 第一章引言第4 页 m = ( j ，) ( 1 1 7 ) 我们有 定理1 4 设“为满足边界问题( 1 1 1 ) 一( 1 1 4 ) 的解，厂为“的l e g e n d r e 变换，则 仿射k i i h l e r 流形m = ( x ，f ) 为欧氏完备的 注从命题1 2 知，对于给定的( ( p ，、i r ) ，可以得到满足( 1 6 ) 一( 1 1 0 ) 的解“，由( 1 5 ) ( 1 7 ) 可得到满足( 1 3 ) 的图m 进一步利用定理1 4 ，可得到满足( 1 3 ) 的定义在 整个r ”上的欧氏完备仿射k d h l e r 流形 第二章预备知识 定义1 ：设 彳是一个n 维的拓扑流形若在m 上给定一族坐标卡 ( 研，( p m 使得 ) 构成m 的开覆盖，每一个吼是从到f 。的一个开集上面的同胚， 并且满足对任意的研，【，若研n u ，o 转移函数 ( p i o 町1 ：( 轨n ) cj r ，l - - - + ( p i ( u i n 叻) c 彤 是仿射变换，即叩f o 币i 1 g l ( n ，肜) 则称m 是仿射流形 相应的局部坐标系称为仿射局部坐标系，坐标之间的变换称为仿射变换 特别的若中f o 町1 s l ( n ，) ，则称m 是整的仿射流形 设m 为仿射流形，缸l ，x 2 ，h ) 为局部仿射坐标系考虑其上的切丛t m ， 相应的自然基底为局部仿射坐标系 未，未) 那么每一个切矢量可以表为y 吾 从而t m 局部坐标系为 工1 ，x 2 ，x n ，y l ，y 2 ，y n ) 定义z j = x j + i y j ，n z , t m 的局 部复坐标系为 z 1 ，z 2 ，z n ) ，易验证复坐标系是全纯的，这样切丛上有很好的复结 构显然，m 可以看作是t m 的全实子流形 定义2 ：设m 为仿射流形在局部仿射坐标系扛1 ，x 2 ，粕) 下，对于m 上 的黎曼度量g ，若存在势函数u 满足 a 2 “ 8 “2 磊磊 则称度量g 为仿射k i i l h e r 度量或者h e s s i a n 度量 或者h e s s i a n 流形 例2 1 ：a ”上的严格凸函数“的图m = ( x l ，x 2 仿射崩z 加r 流形自然地定义即兰五3 鬲u 。 ( m ，g ) 称为仿射k i i l h e r 流形 x n + 1 ) i x n + 1 = u ( x l ，x 2 ，) ) 为 例2 2 ：欧氏空间( r ”， ) ，其度量为标准度量r 为r “上离散等距子群，其作 用在r ”上面为自由，逆紧，不连续的则r ”r 为仿射k i i l h e r 流形取其局部 势函数为二次函数，= ( 茸+ + + ) 设，g ) 为仿射k i i l h e r 流形，选取局部仿射坐标系( x 1 ，x t 。) ，存在势函 5 第二章预备知识第6 页 数，( 孔，丙) ，使舶= 嘉南= 向选取相对法矢为_ = ( o ，o ，1 ) ，设耐为 诱导联络，g o ? 为关于度量( 向) 的l e v i c i v i t a 联络设m 为严格凸函数，的图 选取如下的么模仿射标架场 x n + l = f ( x l ，x 2 ，h ) 。1 ：( 1 ，o ，o ，望) o x i e 2 ：( o ，卜一，o ，芸) c ，x ， 轳( 0 】0 j ，l ，差) “+ l = ( 0 ，0 ，- 一，0 ，1 ) 而d e ? = z e j + c o ? + 1 岛+ l 简单计算知叫= 0 相应于度量局，l e v i c i v i t a 联络 略= ；，五雎 其中 ，沪蒜， 由耐= f a k d x * 以及群= 。矗t 舻 得相对f 曲抽卜尸i c k 形式 a i = 一；，j 。血 由d y = 0 知b i j = 0 及l l = 0 相对p i c k 不变量 ，：2 ：南，“f j ”1 广“五j t 五一n n 相对t c h e b y c h e v 向量场 t = i 1 乙| i 译i a i j k o l 、 ( 21 ) ( 22 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 第二章预备知识第7 页 在正交标架场 e i ，) 下，即g i j = 6 f j 叫+ 叫= 2 e a i j k o a k 两边同时微分并整理，得( d a j i k e a i f l o j k e a i t k a ) l j 一a f i k c 0 1 ) a o 驴= 0 利用叫= 耐+ e a u k o 矿， 得e ( d a “k e a , j f 0 2 一e a 肌巧一a f 女面；) = 0 即a u k i ( o i a t = 0 显然a u k ，_ a i j l ，女 由于对称性与坐标的选取无关，对一般的仿射坐标系，仍有a i j k ，i = a i j l ， 曲率形式 q 7 = 唰一磷a 叫= 一百1 r 州心八d 因为曲率张量与坐标系选取无关，故选正交标架场 e l ，e 2 ，p ”) ， 使对任意固定的p m ，我们可要求础l ，= 0 ，从而在p 点 q ? = d 耐= 磷 一e d a i j t a o j 一a 叫舻 d 而 因此 从而 d a f j f a ( 0 t 三e a i j l ，n a 0 1 = 0 越= e a l k 。扩 e a i j l a l k ，：d 1 = 0 q ；= 衅 ，耐= e a , _ ，k o y q ；= e a i k ，儿aa k j ! t o t = a m ，。a l ，1 f f j “ d 第二章预备知识第8 页 即 一；孙。” = a 慨a k j l o ) ” d = l ( a i k m a k j r a m ，a 劬。d ” f 从而 r i j k l = a 觚a j ，l k - - a i ，n k a j m ， 于是，在一般的仿射坐标系下，g a u s s 方程和c o d a z z i 方程分别为 及 r i j k t = 尸6 江删- a i k ；a h j t ) a i j k ，= a i j l ，t ， r = n ( n 一1 ) ，一n 2 i i r l l 2 ， 尺陆= ，岫，f ( a i ，。i a h j k a i n 。k a h l j ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 27 ) ( 2 8 ) 其中r 为标量曲率，尺瞎为r i c c i 曲率，尼，t f 为曲率张量 注意到相对t c h e b y c h e v 向量场丁，相对p i c k 不变量，以及r i j k l 等为整体定义 的，与坐标系的选取无关 此外，若在局部坐标域1 上仿射k ? i l h e r 度量为向，在局部坐标域场上仿 射k a l h e r 度量为g i j ，则在u 1n 巩上，鲫= e n i d j f ，其中( a i ) 为常数矩阵 从而相对t c h e b y c h e v 向量场t ，相对p i c k 不变量，以及r i j k l 等为整体定义的， 与坐标系的选取无关 第三章定理1 1 的证明 设m 为紧致的仿射k i i l h e r 流形，满足 r i j 0 ( 3 1 ) a ( 1 0 9 ( d e t ( f i ) ) ) = 0 ( 32 ) 选取仿射坐标系 x l ，x 2 ，h ，由( 2 4 ) 得到 r = 广。a i j k = 一j 1 厶一，i j ， 。向女= 一；卢f ( 1 0 9 ( d 甜( 而) ) ) t ， 耳7 = ( 一j l f 材( 1 0 9 ( d e t ( f i j ) ) ) 女) f - 一； 1 0 9 ( d 吡疗) ) ) 肌 特别的，选取m 上局部正交标架场( 。i ，e 2 e n + 1 ) ，使得g ，= 6 ，结合( 3 1 ) 得到， t， 巧。= 乃，= 一；( 1 0 9 ( d 甜( 正) ) ) f f = 一；( 1 0 9 ( d 甜( 而) ) ) = o ( 3 3 ) 利用b o c h e r l i c h n e r o w i c z 公式 ；a ( i t 2 ) = ；a ( - t 2 ) = ( 码+ r u 乃7 ：+ 矸( 砍，) i ， ( 3 4 ) 以及( 3 1 ) 和( 3 - 3 ) ，有 ， ；a ( i r l 2 ) 芝7 ；j ：0 ( 3 5 ) 从而，i r l 2 为m 上的上调和函数由于m 为紧致的，有t t l 2 - e a j k , l + ：n 志一 而r = n ( n 一1 ) j 坐，a 孙+ n ( n 1 ) ( 料1 ) 户 两边同时积分有 o _ 厂掣- - z a i j k , l + 1 2 ( 川m + 1 ) 赴出- 1 ) ( 州炉 得到j 三0 ，此时势函数只能为二次函数，从而m 形如r n 工1 定理1 1 得证 第四章仿射k a l h e r 流形的一类变分问题 仿射k i i l h e r 流形( m ，g ) ，在局部仿射坐标系( x 1 ，x 2 ，x n ) 下，仿射k i i l h e r 度量局部可以表示为 g = = e f i j d x i d x j 其中，( 矾x 2 ，h ) 是定义在q c a “上r 严格凸函数由，的严格凸性知( 菇为) 正定 首先验证在仿射k ? i l h e r 流形_ l ：a ( 1 0 9 ( d e t ( f i j ) ) ) = o 实质上等价于f u w i j = 0 为简便起见，设f = d e t ( f q ) ，w = f o = ( d e t f i j ) ) 。，( 其中a 为待定常数) 一方面，首先在直角坐标系下，即角= 勤时， f = 撕( 五a l 。g f = 1 0 9 ( d 盯( 向) ) ，( 1 。g f ) l _ 箬 撕f ) - ( 1 0 们“= ( 一篙+ 譬) = o 从而有 壁一生 f 2f w = f a ，m = o 旷a 一1 最， a w = 0 c ( d 1 ) ，a 一2 f i z + o 【f 叫厅- 仪2 f a _ ，乎 更一般的，在仿射坐标系下 a w = 玉f “一2 f k f t f k 7 另一方面，在仿射坐标系0 l ，x 2 ，) 下， 鲥刊未，未嘲， ( 4 1 ) 第四章仿射k d l h e r 流形的一类变分问题第1 2 页 w = f 。；w i2 0 c f “f i ；w i j2w i j + w k a i 与= w i j + w k f k l a i j l ( 其中，7 f t 。= 6 ；。) a w e ：u w 俨户w 旷；o c 产1 f k f k 7 f f i ( 42 ) 令( 4 1 ) = ( 4 2 ) 知， ，o 峋一；c t f ”2 f k f t f k = 铲f ”2 f k f _ f f k 7 若f j w i j = 0 ，得出a = 一 ， 即就是当w = f 一 = d p r ( 而) 一 时，有w i j = 0 ， 两边同时乘以d e t ( f i j ) 后得到f 。3 w i j = 0 ，其中f i j 为矩阵( 向) 的代数余子式 郎得出a l o g ( d e t ( f , j ) ) = 0 等价于f 。w i j = 0 我们可以考虑a ( 1 0 9 ( d e t ( f l j ) ) ) = 0 第二边值问题 l o g 甜答u 肾。罴懋 其中q 为光滑凸域，( p 为光滑函数0 0 ， u i j 】为矩阵( u i j ) 的余子式矩阵，他们证明存在唯一一致凸解“ r ( q ) n c o ( 壶) 利用他们的结果，我们可以得到如下结论： 结论第二边值问题( 4 3 ) 一( 4 5 ) 存在唯一的一致凸解f r ( q ) n o ( f i ) g 泡峨拉 m 扣 ， = 嘶审w v 帆一州忙 第四章仿射k ? i l h e r 流形的一类变分问题第1 3 页 注意到( 11 ) 不依赖于坐标系的选取事实上，若在局部坐标域弘上仿 射k i i l h e r 度量为 ，在局部坐标域魄上仿射k i i l h e r 度量为鲥，则在u ln 觇 上，g i j = a i k a j 7 五，其中( a u + ) 为常数矩阵 z m o g ( d e t ( g i j ) ) = a l o g ( d e t ( a 披d 。五) ) = a l o g ( d e t ( f q ) ) + l o g a = a l o g ( d e t ( f i j ) ) = o 其中a 为一常数，也就是说整体定义在仿射k i i l h e r 流形上 从而我们可以看出满足a ( 1 0 9 ( d e t ( f i j ) ) ) = 0 的解f 象, - 5r n r 外还有很多，如 下面几个例子 例4 1 ：考虑q s 1 上的势函数若s 1 由，硷覆盖而成设在q x 以及q u 上，坐标分别为( 五y ) ，( j ，) 且坐标变换为 ，象， 如果q 上的势函数f 满足( 1 1 ) ，不妨设h 上的势函数为 y 2 亦满足( i j ) ， 则q v t 的势函数h ，其h e s s i a n 阵h i j 满足 ( 0 ；) 从而有 ( 1 0 9 ( d 田( 矗u ) ) ) = a ( 1 0 9 ( d e t ( f i j ) ) ) = 0 对于q 娩同理从而q s 1 上面的势函数满足( 1 i ) 类似地qxt ”上面的势函数满足( 1 1 ) ，其中t ”= s 1 s s 1 。 例4 2 ：若q 1 上面的势函数的k i i l h e r 度量南满足( 1 1 ) ，在q 2 上面的势函数 的k i i l h e r 度量g i j 亦满足( 1 1 ) ，则q 1 x 2 2 上面的势函数h ，其h e s s i a n 阵h l j 满 足 ( 0 ) 显然也满足( 11 ) 第四章仿射k i i l h e r 流形的一类变分问题第1 4 页 积为 迸一步，我们记d v 为相应于膨上的仿射k z i l h e r 度量g 的体积元，掰的体 a ( 厂) = 厶如= 上( d 酬向) ) ：1 出t 啦 幽， 我们考虑更一般的体积变分问题 a h ( f ) = a ( f ) 一h f d x la 瓴，( 4 6 ) js 其中h r ( 壹) 注当h = 0 时，度量占和体积a ( ，) 在么模仿射变换下保持不变，即就是在剧 中的线性变换下保体积和定向不变( 参见 c a l ) ； 同样地，当h = l 时，么模仿射变换保( a ( f ) 一如f d v ) 和g 不变；当h = l 时， 么模仿射变换保( a ( ，) + 如f d v ) 和g 不变 命题4 1 体积变分问题( 4 ，6 ) 的e u l e r - l a g r a n g e 方程满足 a l o g d e t ( f i j ) = h ( d e t ( f i j ) ) 一 ( 4 7 ) 证明考虑g 的单参数变分 | i i = f i i + t q t i ，f = f + t t p ， a ( ，) = 五( d 州向+ 懈m 5 如i d 如一h ( f + r ( p ) 出1 以。 利用s t o k e s 定理有 丢b 。a ( 刃= 厶丢k 。( d 呱向+ r ) ) ：1 出， 一上丢k 。 ( 厂+ 出， = 厶( d 州五m5 ( p f j 出t a - d h 一厶 ( p 出1 出。 = i j d v l h g ( d 哪j ) _ d v = 五( f d 础慨) ) 眇一五州础( 川嘞v 由再di , = 0 a h ( f ) = 0 知 a l o g d e t ( f i ) = h ( d e t ( f i ) ) 一，( 4 7 ) 第四章仿射k i i l h e r 流形的一类变分问题第1 5 页 命题4 i 得证 考虑f 的l e g e n d r e 变换， f 磊a f ， “( t 1 岛) = e x i 号i - - f 记q + 为f 的l e g e n d r e 变换域，即就是 q + = ( 1 ( 工) ，一，t 。( x ) ) i z q ) ， 则“为q + 上一致凸函数在坐标系( h r ， 。) 下，仿射k 6 h l e r 度量为 g = “u 媳d e ， 其中( u o ) 为( 向) 的逆矩阵l a p l a c i a n 算子为 忙勰1 l 葛a d e t ( u k t ) ) 。- 坝拙( 训5 毫 ， fd q 。 d 与。 记p = ( a e t ( u u ) ) ，由( 4 7 ) 知 a l o g p 2 = 一h p 通过直接的计算得到 。s p 2 = - 毒2 u u p i p jq - 了2 u u 卧 记( 1 ) = p 。，其中0 为待定常数，故 i = 0 c ( 0 【一1 ) p “一2 p i p j + 。c p “一1 p i j ， 将上式代入到( 4 9 ) ，得 龇g p 2 - ( - 毒一掣2 ( c - ) u u p i p j + 等啪 令o c = 一1 ，利用( 4 8 ) ，我们有 = 争 ( 4 8 ) ( 4 9 ) 第四章仿射k g l h e r 流形的一类变分问题第1 6 页 我们得到以下命题： 命题4 2 设仿射k s h l e r 流形( m ，g ) 为严格凸函数，的图，记“为f 的l e g e n d r e 变换那么在变分问题( 4 6 ) 的稳定点处，我们得到以下方程组 d 忿誊 形 同榉的，利用【t - w 中方法我们证得命题1 2 我们感兴趣的是、l ，= 0 的情 第五章一类欧氏完备超曲面 下面我们来研究边值问题 m u 蛳= 2 i h 抽虻( 5 1 ) m = ( po n a 饼， ( 5 2 ) d e t ( u i ) ) = 一2 i ng ) + ， ( 5 3 ) 0 ) = fo na q + ， ( 5 4 ) 其中h 0 利用命题15 ，对任意的r ( 0 ，1 】，存在( 1 1 1 ) - ( 1 1 4 ) 的一簇解( 蜥，蛐) ，令f 一0 ， 我们将证明存在一个极限解( “，) o f ( 嘶，o ) t ) 满足( 1 11 ) 一( 1 1 4 ) 我们首先给出几个重要的估计 引理5 1 对于任意的t ( 0 ，l 】，存在常数c l 0 ，使得解蛐满足 0 3 t c l ，( 5 5 ) 其中c l 仅依赖于n ，d i a m ( f ! + ) ，h 证明从方程( 5 1 ) ，以及h 0 ，显然知蛐在q + 的某内点达到最 大值为了记法方便我们用“，( o 代替蜥：蛐考虑函数 j f = l o 9 0 3 + a e 其中a 为一待定常数 若，在a q + 上达到最大值，则易知有一个一致的上界 到最大值，那么在p 点，有 o = 厅= 等+ 姆， 以及矩阵 。狐= 警一警一1 - 2 a 8 护 1 7 ( 56 ) 若f 在某一内点p 达 ( 57 ) ( 5 8 ) 第五章一类欧氏完备超曲面第1 8 页 将( 5 7 ) 代八( 5 8 ) ，硐 。“慨= 面h 一4 a 2 u i j 号走+ 2 a e u i i 6 驴 不失一般性，在p 点假设u i j 对角化，则有 三一“2 “鲁+ 2 a o 记d ：= d i a m ( 1 2 8 ) ，当a 充分小时，不妨令 4 a 2 “旨曼4 a 2 “d 2sa “ 得出 a 去 令a = 硪i ，则 皇+ “7 o ， 石+ a “l j 0 ， i e a “ 一h 由 “：一1 ：三：砌；， ”i l ( i - u i i ) j( d e t ( u i j ) ) , 和h r ( 龠) ，h 0 ，使得 c i - 1 1h i 拟( “? ) d e t ( u 1 ) ， “( ) f a q = “( 2 i a n = 嘶i a n = 9 由极值原理知， “( 2 ) “( 1 ) 撕， i n 甜 ( 5 1 0 ) 记 1 7 i ：岛+ t = “( 2 ) ( 勃) + d u ( 2 ) ( 号o ) ( 1 一勤) ， 不失一般性，进行仿射坐标变换使得n ：岛+ 1 = 九，其中九为一常数而p 在仿 射坐标变换下保持不变由( 5 1 0 ) ，对充分小常数 0 使得截面 s ( o ，九一) = 号q + i 蜥( ) j ( 九一) )( 5 1 1 ) 为紧致的 记f = 九一，考虑函数 h = e x p ( 一南) p 舢( 一) ， 其中m 为待定常数 显然，h 在s ( g o ，1 ) 某一内点q 达到最大值在q 点处选取关于b l a s c h k e 度量的 局部正交标架场 e l ，e 2 ，t “) 记”，”为关于l e v i c i v i t a 联络的协变微商那么 在q 点，有 一尚u t , i + 百o , i 扎一丽百2 u 第五章一类欧氏完备超曲面第2 0 页 一丽2 m “j ，一南“l + 警一菩 0 利用拉酱拉斯算子的定义，知 龇：；一； ， pp 。 及 出唧2 c 警一黔“。， 有 南觚= 若一) 一- - 1p , _ u r , i 一2 m 碍= 若一丽2 m 2 “i ， 故 一研2 m 2 一研m 2 “高两一扣 2 ( t u f ) m = 2 1 利用c i l jh j 0 ，利用( 5 1 ) ，有 “+ t 嘶) u = n 十扣 0 令k = 百2 n 0 ，我们有 利用极值原理，有 如+ u l j 。( 蛐u t + ：k 妒o ) + t ) i 灯j 0 。 u ， 一蛐 o r q + 由引理5 1 中的( 5 5 ) 式，可得到 m - - c l 记c 3 = m o x ( c t ，m a x , ，从( 5 1 3 ) ，( 5 1 4 ) 知 引理5 3 得证 u f i 冬c 3 加q 4 o n a q + 引理5 4 对任意r ( 0 ，1 ，u ，满足 d u t 去南 ( 5 1 3 ) ( 5 1 4 ) 第五章一类欧氏完备超曲面第2 2 页 证明对任意r 0 ，记 卜南一南m a x 蛐， 掀fn ffn f 有 川t j 2 一r li n q ， v f = 赢晶蛐= r o 。n a 啦 2 丽蛐2 1 u o n 州 v a q + ，利用( l s - c 】或 w - l 的方法，存在仿射变换 e = 地+ 6 i 岛+ d ， 其中b i ，d 为常数，依赖于n + ，吼使得 巧( ；) = 一t ，只( 号) - t ，l a q + ) ( 5 1 5 ) ( 5 1 6 ) ( 5 1 7 ) 为方便起见，用蜥代替奸易知u 在仿射变换下是保持不变的，并且i v ( e 一嘶) 1 一致有界故若j v 地l - - - + 一，仍有i v ei _ * 由( 5 1 5 ) 一( 5 1 7 ) ，有 “yu f + v f ) “0 i n q + ， ( 5 1 8 ) u t + v t 0 不失一般性，我们选取 号= ( 0 ，0 ，o ) ， 在 点处，a 姘的单位外法矢为y = ( o ，0 ，一1 ) 而q + 为具有光滑边界的凸域 存在域 ，l 一1 b = 矧r 岛 c 5 岛c q + ， j = 1 第五章一类欧氏完备超曲面第2 3 页 其中c 5 0 为一个仅依赖于甜的一致常函数，r 0 为待定常数 若在点 处，id u ，i = 。o ，这正是我们想得到的结果 否则记a ：= f d “( ) f o 口，由u l 的凸性以及( 5 2 1 ) ，有 tn ( ) l f “，( ) m + t o n 彦 在b 上构造如下凸函数 = ( t 。一c 5 ；) f n ( 1 。+ 丁) 一 。i n ( r + t ) 一t 若令r + t 1 ，则l n ( r + t ) 0 ，我f f 可以得到 n ( 芎) = 一t ， 鑫( 劬2 一t ， 其中独： e i b ：，) u l 岛：。5 n 厶- i b ，2 ) ， 扣= i l n t - l n ( m 2 t + 岛+ 钙笼1 髻 ( f e f ( d ) = ( - - 2 c 5 ) ”一1 【f n ( e n + 丁) 】“一2 i l ：。：；：。亍i 。；曼【f n ( n + 丁) + 2 丁+ 岛+ c 5 芝1 蟹 茎c 6 1 t 编删一面而 其中c 6 = ( 2 c 5 ) “一1 为常数 令r ：r s 4 ，由( 5 2 5 ) 有 当丁充分小时，得到 扣= i 扣 扣击m r ( 5 2 2 ) ( 52 3 ) ( 5 2 4 ) ( 5 ，2 5 ) 2c 5 芝1 鲁 i = l 2 丁+ 岛+ c 5 ( 52 7 ) 第五章一类欧氏完备超曲面第2 4 页 同时，由于在b 上0 t ，肠( 岛，+ 丁) 4 c 6i 抽( 岛+ r ) r 一2r 一 ， 只需 c 7 r ；l l n t r l ， 其中c 7 0 为依赖于，c 6 的常数当r 充分小时，( 5 3 1 ) 恒成立 从而有 d e t ( ( u , ) i j ) d e t ( a i j ) 由( 5 1 6 ) ，( 52 1 ) ( 52 4 ) ，( 5 3 2 ) 以及极值原理，得 蜥 和c r y 口y ( 53 1 ) ( 5 3 2 ) 第五章一类欧氏完备超曲面第2 5 页 由( 5 2 7 ) 知这与d 0 ，截面 s ( ；o ，f) = q + i 地( 号) “( 2 ) ( e o ) + d “( 2 ) ( o ) ( e 一 o ) 一) ) 为紧致的由引理5 1 ，5 2 ，5 3 得到d e t ( d 2 f ) 有一致的上界和下界，利用c a f f a r e l l i g u a t i e r r e z 定理和c a f f a r e l l i - s c h a u d e r 估计知u 为s ( e o ，f ) 上的光滑函数，并且满 足方程( 5 i ) - ( 5 3 ) 而当f 斗0 时，序列地连同它的各阶导数收敛到u ，并且t , t 为( 5 1 ) 一( 5 3 ) 的解另一方面，在引理5 4 的证明中，我们有( 5 2 ) ，这意味着对任 意r ( 0 ，1 ，有 v li ；u l1 ， 从而极限解u ，0 ) 也满足 i 点( o 蚓“i 1 丽“l 利用引理5 4 中的仿射变换， u t ( 劬= - - t 0 = h ( t ) 从而有( o ( ) = 0 我们知道0 1 在引理5 4 中的仿射变换下保持不变 a q + 任意点，故在a n + 上有= 0 定理1 3 得证 定理1 4 的证明记 * 2 磊， ，( 卸粕) = e x i 号i - - h 并且l 为 ( 5 3 3 ) ( 5 3 4 ) 由引理5 4 ，知id u ，l a 甜志il n ti ，而“为嘶的极限解，并且“f 连同各阶导数 收敛到“，我们有 d u l 斗o 。 a s t a q + 由( 5 3 3 ) 知，是定义在整个彤上的，这也就意味着图m = ( 工，( 工) ) 为欧氏完 备的 参考文献 l i 】a - m l i ，a f f i n ec o m p l e t e n e s sa n de u c l i d e a nc o m p l e t e n e s s ，l e c t u r en o t ei nm a t h 1 4 3 i ( 1 9 9 1 ) ，11 6 1 2 6 【l j - 1 】a - m l i ，e j i a ，a f f i n eb e m s t e i np r o b l e mo na f f i n es u r f a c