（基础数学专业论文）复矩阵空间上保持k幂等的算子.pdf

中文摘要 中文摘要 设c 是复数域，n 是任意的正整数，记 磊和& 分别是c 上的7 1xn 全矩 阵空间和n 1 , 对称矩阵空间设正整数k 2 ，k 螈，& ) ，x k ，如果 x 七= x ，则称x 为k 中的七一幂等矩阵，本文主要刻画了k 到，上保持七一 幂等的映射所谓保持七一幂等，即是满足，对于任意的a ，b k ，以及任意的 入c ，a 一, k b 是k 中的k 一幂等阵，意味着( a ) 一( b ) 是中的七一幂等 阵 在第章，我们对保持问题做了简要介绍，给出了乘法，加法，线性以及a 一入b 型这四种保持问题的定义，并且基于不变量的差别而将保持问题分为四类，即保持 函数，性质，子集和变换 我们在第二章的主要结论是，当k = 死时，如果：k _ 螈是保持七一 幂等的映射，贝! l 存在 靠中的可逆阵p 和满足沙= c 的复数c ，使得对于任意的 x k ，或者有妒( x ) = c p x 尸- 1 成立，或者有妒( x ) = c p x 2 p _ 1 成立，其中 是x 的转置 在第三章，我们证明了，当= 岛，佗= 2 时，如果：k 一螈是保持七一 幂等的映射，则存在中的可逆阵p 和满足扩= c 的复数c ，使得对于任意的 x k ，有( x ) = c p x p - 1 成立 关键词：保持；k 一幂等；对称矩阵；特征值 黑龙江大学硕士学位论文 英文摘要 l e tcb et h ec o m p l e xf i e l d ，礼b ea na r b i t r a r yp o s i t i v ei n t e g e r ，w ed e n o t eb y a n d & t h es p a c ec o n s i s t i n go fa l ln 礼m a t r i c e so v e rc a n dt h es p a c ec o n s i s t i n go f a l ln 竹s y m m e t r ym a t r i c e so v e rc l e tp o s i t i v ei n t e g e rk 2 ，k 靠，瓯) ，xi s c a l l e dak - p o t e n tm a t r i xi fx 2 = x ，t h em a i nr e s u l to ft h ep a p e ri st oc h a r a c t e r i z e t h ek - p o t e n c ep r e s e r v i n gm a p 砂：k _ 坛，i e ，a a bi sak - p o t e n tm a t r i xi n k ，i m p l i e s 妒( a ) 一入咖( b ) i sak - p o t e n tm a t r i x i n ，w h e r ea ，b k ，入c i nc h a p t e r1 ，w ep r e s e n t e dab r i e fi n t r o d u c t i o nt ot h ep r e s e r v i n gp r o b l e m s ， d e f i n e dm u l t i p l i c a t i v e ，a d d i t i v e ，l i n e a ra n d “a a b ”p r e s e r v i n gp r o b l e m s ，d i v i d e d p r e s e r v i n gp r o b l e m si n t of o u rp a t t e r n sa sf u n c t i o n s ，p r o p e r t i e s ，s u b s e t sa n dt r a n w f o r m a t i o n sa c c o r d i n gt ot h ep r o p e r t yo fi n v a r i a n t s t h em a i nr e s u l to fc h a p t e r2i s ，i f 多：螈一螈i sak - p o t e n c ep r e s e r v i n g m a p ，t h e nt h e r ee x i ta ni n v e r t i b l em a t r i xp a n dc cw i t h 沙= c ，s u c ht h a t ( x ) = c p x p - 1o r ( x ) = c p x p - 1f o ra n yx 厶，w h e r ex 。i st h et r a n s p o s e o fx i nc h a p t e r3 ，w ep r o v e dt h a ti f 竹= 2 ，：& _ i sak - p o t e n c ep r e s e r v i n g m a p ，t h e nt h e r ee x i ta ni n v e r t i b l em a t r i xp 地a n dc cw i t h 矿= c ，s u c ht h a t ( x ) = c p x p - 1f o ra n yx 晶 k e y w o r d s ：p r e s e r v e r ；k - p o t e n c e ；s y m m e t r ym a t r i x ；c h a r a c t e r i s t i cv a l u e n 一 黑龙江大学硕士学位论文 符号说明 设c 是复数域，c = c o ，并且设 厶是c 上所有n 礼矩阵构成的空 间，其中n 是任意的正整数p 1 表示c 上所有n l 矩阵构成的空间我们用 & 表示朋k 中所有对称矩阵构成的子集，用瓦表示 磊中所有上三角矩阵构成的 子集k 表示 磊中所有七一幂等矩阵构成的集合( 如果a 七= a ，则称a 厶 为七一幂等) 记y r n = knf n ，k ，& ，r ) 当k = & 时，s f n = v r n 设g l n 是 靠中所有可逆阵构成的一般线性群a 表示所有满足沙- 1 = 1 的复 数c 的集合，而= hu o 】记号 表示 1 ，2 ，竹) 设是( ，歹) 为 1 ，其他位置为0 的矩阵，厶为螈中的单位阵对于任意的a ，表示a 的转置咒0z j 表示五坛和置m j 的直和圣饨表示满足如下条件的所 有映射：k m 。的集合，a 一入b v r 意味着妒( a ) 一( b ) f n ，其中 a 。b k 。入c 独创性声明 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得黑龙江大学或其他教育机构的学 位或证书而使用过的材料 学一储繇。弱伊签字嗍。月7 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解黑龙江大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人 授权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编本学位论文 学燃名3 琢瞢伊 签字啉叫年r 月 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： y 7 日 导师签名：嘞龟乞 签字醐5 刁引月7 日 电话； 邮编： 第1 章绪论 1 1 保持问题简介 第1 章绪论 设g 1 和g 2 是两个半群如果对于任意的a ，b g l ，映射西：g 1 - g 2 满 足( a b ) = ( a ) ( b ) ，则称保持乘法，即是一个保持乘法的映射所谓的乘 法保持问题就是刻画那些保持乘法的映射，而这些映射同时还保持一定的性质，函 数，子集或者关系等不变量类似地，我们可以定义加法保持问题 般地，线性保持问题是在线性闭集上讨论的设a 是个交换环或半环，则 a 上的个线性闭集y 是满足如下条件的集合 ( 1 ) 对于y 中任意的口和，在y 中只有唯一的元素q + p ； ( 2 ) 对于y 中任意的口和a 中任意的c ，在y 中只有唯一的元素c 口； ( 3 ) y 是个加法半群，其加法就是( 1 ) 中的“+ ” 例如，域f 上的一个线性空间就是一个线性闭集设和是a 上的两 个线性闭集如果从到k 的映射妒满足如下条件：对于任意的a ，b a 和 x ，y k ，都有( 口x + b y ) = 口庐( x ) + m ( y ) ，则称是个线性映射类似地， 线性保持问题就是刻画那些保持线性的同时还保持一定性质，函数，子集或者关系 等不变量的映射 1 8 9 7 年，f r o b e n i u s 的【1 】1 和k a n t o r 的f 2 】是关于线性保持问题的最早文章，随 后，研究线性保持问题的文章陆续出现。在f 3 ，4 ，5 】中，m a r c u s 和g r o n e 分别对 此类问题作了综述 根据不变量的不同性质，l i 在【6 】中将线性保持问题概括为四个主要类型，即 保持函数，保持子集，保持关系及保持变换 设和k 是两个加法半群( 乘法半群，交换环或半环上的线性闭集) 保持函数的问题就是指，刻画加法( 乘法，线性) 映射：_ ，其中，对于 任意的a ，都满足厶( 咖( a ) ) = s i ( a ) ，这里 ( i = 1 ，2 ) 是上给定的函 数( 数量值函数，向量值函数或者集值函数) 相关文章有【1 ，1 3 】等 保持子集的问题就是指，刻画加法( 乘法，线性) 映射：一，其中， 满足痧( & ) 岛，这里& ( = 1 ，2 ) 是k 中具有一定性质的子集相关的文章有 【1 4 ，1 5 ：1 6 ，1 7 】等 保持关系的问题就是指，刻画加法( 乘法，线性) 映射西：一k ，其中，对于 黑龙江大学硕士学位论文 中任意满足a r l b 的a 和j e j ，都有( 以) r 2 ( b ) ，这里飓( = 1 ，2 ) 是k k 上给定的关系p i e r c e 和w a t k i n s 在【1 8 】中刻划了任意域上保交换的非退化线性算 子，之后c h o i 等在1 19 】中又去掉“非退化的条件进行研究另外c h a r t 和l i m 在 【2 0 】中研究了实对称空间及复h e r m i t e 空间上保交换的线性算子 保持变换的问题就是指，刻画加法( 乘法，线性) 映射：k k ，其中，对于 任意的a ，都满足，2 ( ( a ) ) = f l ( a ) ，这里五( = 1 ，2 ) 是k 上给定的变 换c h a r t 等分别在 2 l 】和【2 2 】中研究了线性算子保幂及保矩阵伴随的问题 近三十年，由于在众多领域的应用背景，线性保持问题已经在国际上成为矩阵 理论领域中的热门课题之一许多学者做了大量的研究工作，并且得到了许多相关 的结果，在【6 ，7 ，8 ，9 】中，l i ，d o k o v i c 和o u t e r m a n 分别做出了综述 1 9 8 9 年，曹重光在黑龙江大学自然科学学报上发表的“局部环上矩阵模的保幂 等自同态【1 0 】 ，是国内研究线性保持问题的开始 1 9 9 1 年，m o m l a d i 芒和p s e m r l 在f 2 3 】中，用加法算刁9 代替“线性算子， 开始了“加法保持问题的研究，并于1 9 9 3 年在【2 4 】中得到了复矩阵秩1 保持的结 果之后，曹重光和张显于1 9 9 6 年在【2 5 】中，将“加法保持问题的研究引向更一 般的矩阵近几年来，这个领域的研究也取得了一些成果，主要包括幂等保持，逆 及广义逆保持，秩l 保持等相关结果可见 2 6 n 3 2 】 许多研究者对不同矩阵集合上的线性或加法保持问题感兴趣，( 见文献【3 0 一【3 8 】) 在【3 0 ，3 1 】中，学者们已将最基本的不变量( 一般是指秩l 和幂等) 的保持映 射推广到不同矩阵集合之间的加法保持自然地，我们就会想到考虑不同矩阵集合 之间的其他不变量的保持( 包括线性和加法) 在【2 8 1 一 3 0 】及 3 7 1 一 4 4 1 中，学者们研究了广义逆的保持问题而【4 2 n 4 4 则全面地刻画了 靠( f ) 到 靠( f ) 的保矩阵m 一户逆的线性映射的形式【2 8 】和 【2 9 】分别考虑了r ( f ) 到& ( f ) 和 厶( f ) 到m ，( f ) 的保矩阵m p 逆的加法映 射虽然【3 0 ，3 7 ，3 8 】已经在其他广义逆保持问题研究中考虑了不同矩阵集合，然 而那里的方法是将算子归结为保幂等算子，而这对于仅在c h f 2 条件下保矩阵 m p 逆的研究不太奏效 1 2 a 一入b 型保持问题 保持问题是矩阵理论中经典的研究领域除了第一节中的乘法保持，加法保持 以及线性保持问题之外，近些年来，人们还较多地关注一种所谓的a 一入b 型保持 第1 章绪论 问题举个例子，拿保持幂等来说明就是，如果映射：m 一螈满足，对于任意 的a ，b ，以及任意的入c 都有，a 一入b 是中的平方幂等阵当且仅当 ( a ) 一w ( b ) 是 靠中的平方幂等阵，则称砂是个保持幂等的映射，而刻画 的具体形式，就是个a a b 型保持问题 莒e m r l 在【5 3 1 中刻画了当住3 时， 靠上保持幂等的连续双射，证明了如下定 理 定理1 1 ( 【删，t h e o r e m 只彳) 设n 3 ，：_ 螈是个连续的双射如 果妒还满足，对于任意的a 。b 坛，以及任意的入c ，都有下面的条件成立 a a b 是个平方幂等阵当且仅当妒( a ) 一( b ) 是个平方幂等阵 则存在t g l n ，使得对于任意的x 靠，或者( x ) = 姒t ，或者多( x ) = t a 。t d o l i n a r 在【5 4 】中改进了上面的结果，去掉了n 3 和连续的条件，并且将双 射的条件降低为满射进一步地，d o l i n a r 还指出，满射的条件在n = 1 和n = 2 的 情形下是可以去掉的 张显在【5 5 】中在两个方面改进了d o l i n a r 的结果，去掉了满射的条件，以及将复 数域扩展到了任意特征不是2 的域，证明了如下定理 定理1 2 设f 是任意的特征不为2 的域，并且映射咖： 磊( f ) - 靠( f ) 满 足，对于任意的a ，b m ，( f ) ，以及任意的a f ，a a b 是螈( f ) 中的平方幂 等阵当且仅当( a ) 一a ( b ) 也是螈( f ) 中的平方幂等阵，则存在 磊( f ) 中的可逆 阵t ，使得对于任意的x 靠( f ) ，或者( x ) = t a t 一，或者( x ) = t a t 游宏等在【5 7 中刻画了 红上保持忌一幂等的映射，证明了如下定理 定理1 3 ( 5 刁，t h e o r e mj ) 设映射： 靠_ 尬。满足，对于任意的月，b a 靠，以及任意的入c ，都有下面的条件成立 a a b f n 售( a ) 一a ( b ) f n 则存在p g l n ，和满足萨- 1 = 1 的复数c ，使得对于任意的x m ，或者 ( x ) = c 尸x p ，或者( x ) = c p x p 一 事实上，在上面定理的证明过程中，我们还可以得到下面的命题 命题1 4 设： 靠_ 靠是个单射，并且满足，对任意的a ，b 靠，以 及a c ，都有 一3 一 黑龙江大学硕士学位论文 a 一入b f n = 令( a ) 一, k d p ( b ) f 竹 则存在p g l n 和满足= a 的复数c ，使得对于任意的x ，或者妒( x ) = c p x p ，或者咖( x ) = c p p 在第二章，本文的作者去掉了上面命题中的单射条件，对其结论做出了改进在 第三章，我们主要讨论了岛到 靠上保持k 一幂等的映射，并且完整刻画了n = 2 的情形 对称矩阵空间上和上三角矩阵空间上的a - ) b 型保持后一幂等的问题，在 5 6 】 和【5 9 】中有较详细的论述 一4 一 第2 章全矩阵空间上保持k 一幂等的映射 第2 章全矩阵空间上保持k 一幂等的映射 本章的主要结论为下面的定理 定理2 1 设映射：螈一螈满足，对任意的a ，b 磊，以及a c ，都有 a a b r = 今( a ) 一a ( b ) l 则存在p g l 竹和满足= c 的复数c ，使得对于任意的x 尬，或者( x ) = c p x p ，或者( x ) = c p x p 2 1 引理 为了证明定理2 1 ，我们需要下面的这些引理 引理2 2 ( 【5 明) 设x ，y r n ，并且对于任意的e h ，都有x + e y f n 成 立，则x 和y 正交( 即x y = y x = 0 ) 引理2 3 ( 【明，引理1 ) 设a l ，a 2 ，a n 是两两正交的nx 礼非零七一幂 等阵，则存在p g l n ，使得对于每个i ，都有p a p = c i 最t 成立，并且 这里的q c 满足砖= 1 引理2 4 ( 【5 刁，引理4 ) 设a ，b 是正交的k 一幂等阵，并且圣竹， 则( a ) 和( b ) 正交 引理2 5 ( 5 刁，引理5 ( 1 ) ) 设圣。，则是齐次的，意即，对于任意的 a 螈和入c ，都有西( 入a ) = ( a ) 成立 引理2 6 设x 是一个非对角化的矩阵，则存在一个可对角化的矩阵 y 螈，以及非零复数q ，使得丢( x + y ) r n 而吉y 隹f n 证明：对于每一个xe 靠，都存在t g l n 使得t _ 1 x t = ，其中x o = a 1 0 a 2o 0a 。是x 的j o r d a n 标准型，并且对每个i ，a 眠，r i z + ， 以及：lr i = n 进一步地，我们知道，对于满足= 1 的t ，a i c 是x 的个特征 黑龙江大学硕士学位论文 值；除此之外，a 有如下形状 a t = 九 1 0 沁 0o 0o 0 0 1 0 0 。 1 0 ( 2 1 ) 其中i 满足r i 2 ，并且九是x 的特征值既然x 是个非对角化的矩 阵，那么总是存在 使得n 2 ，意即，在x 的j o r d a n 标准型中，总是有 形如( 2 1 ) 的j o r d a n 块 对于上面的( 2 1 ) ，显然存在q g l n ，使得下面的等式成立 q f l a t q t = 丸筑l 戤l z 1 0 九z t 2 鼢2 ； 00 0 。一。 000 九 ( 2 2 ) 这里r i 2 ，并且对于每个岛矿和歹e ，z 如c 都不等于0 并且， 我们可以限定，对于每个满足n 2 的i ，都有富= z 0 ，以及 = 瓤。当且仅当面= i l 固定上面( 2 2 ) 中的q i ，z ，则存在最m r , 使得下面的式子成立 qf。鼠q；：厂_z三；0-。芝：。；可九、 。2 3 ， 一6 一 第2 章全矩阵空间上保持七一幂等的映射 i 巧q f l c a t + 最，q t 2；百l(享xi享xix萼xiz；萼xixj r n c 2 4 ， 2 2 定理2 1 的证明 定理的证明将在下面的四步完成 第一步：或者对于任意的 ，有砂( 玩) = 0 ，或者对于任意的i ， 有妒( 最i ) 0 设( 风) = 0 对于某个i 胗成立，下面证明，对任意满足歹i 的歹 胗， 都有( e j j ) = 0 成立 首先，对于任意的复数z ，显然有下面的式子成立 ( z 十1 ) 最i z ( 岛i + 嘞) = 最t z 奶1 - n 然后我们可得，对于任意的z c ，下面的式子成立 ( ( z + 1 ) b i , ) 一z ( e i i + ) r n 由引理2 5 和砂( 风) = 0 ，我们有( ( z + 1 ) e i i ) = 0 进步地，由一z ( 最 + e 玎) r n 对于任意的复数z 成立可得( 既+ 互0 ) = 0 ，其中歹 满足j i 注意到 ( 1 2 ) ( 风+ ) + ( 1 2 ) ( e j , + 勘) r 几， 经过的作用后可得 ( 1 2 ) 庐( 最i + ) + ( 1 2 ) 咖( 易i + ) r n 由咖( 风+ ) = 0 ，( e j , + e z ) r n ，而1 2 隹人，可得( 易 + 易j ) = 0 对任意 满足歹i 的j 胗成立 既然对于任意的z c ，下面的式子成立 一7 一 黑龙江大学硕士学位论文 ( z + 1 ) e 易一z ( 马i + e j j ) r n 经过咖的作用可得 ( z + 1 ) 西( e z ) 一正币( e j + 局j ) r n 进一步地，经过和上面的类似地讨论可得，对于任意满足歹i 的歹 ，都有 , x , ( e j j ) = 0 成立 第一步的证明完毕 第二步：若满足，对于任意的l ，都有多( 最 ) = 0 ，则对于任意的 x 螈，都有( x ) = 0 成立 当m = 1 ，由假设可得( 晶1 ) = 0 假设当2 m n 时，对于任意的x n 一1 m n 一1 ，都有( 五珏一1o0 ) = 0 成 立下面证明，对于任意的五n ，都有( 五no0 ) = 0 成立 首先，对于任意的x n 一1 一1 ，下面的式子成立 ( x n 一1o0 + 日帆) 一x n 一1o0 r n 用作用上面的矩阵，由归纳假设可得下面的式子 砂( x 仇一1o0 + e z m m ) r n( 2 5 ) 既然对于任意的平方幂等阵a m l 和任意的们c ，下面的式子都成立 ( a m 一1o0 + 加层肌) 一 上马帆i 、n 由( e 0 吼) = 0 ，可得妒( 月m 一1o0 + 伽e k m ) r n 进一步地，由的齐次性，伽的 任意性以及( 2 5 ) 式，我们可得，对于任意的复数a 和任意的平方幂等阵k l ，都 有下面的式子成立 妒( o a m lo0 + w 上磊啪) = 0( 2 6 ) 类似地，对于任意的平方幂等阵后m 一，a m 一，和任意的复数口，w ，都有下面的 式子成立 ( ( b m 一1 + a a m 一1 ) o0 + 上1 m m ) 一( a a m 一1o0 + 叫e 帆) r n 然后有下面的式子， ( ( 6 b m 一1 + a a m 一1 ) o0 + w e 竹m ) = 0 ，( 2 7 ) 其中6 是任意的复数注意到一1 中的每个一1 都可以写成一1 = 0 lg 。巩 的形式，这里p g + ，并且a u c ，王乙厶一1 通过对p 进行归纳，可以得到下 面的等式 妒( 一10 0 + 伽日啪) = 0( 2 8 ) 一8 一 第2 章全矩阵空间上保持七一幂等的映射 我们省略具体的归纳法过程，因为这完全可以从得到( 2 7 ) 的过程中看出 既然对于任意的x n 一1 m m 一1 ，夕m 1 ) 1 和伽c ，下面的等式成立， (x,：-1w 三三0 ) 一ix m l 伽三1 兰) = ( 三三三) r n ( 麓一1 弓三) 一妒( 麓一1 伽三1 三) r n 由( 2 8 ) 式和五n 一1 ，夕以及叫的任意性，下面的等式成立 0j l 0l = 0 l 0 ( 2 9 ) 类似地，对于任意的五n 一1 一1 ，h ，夕m m 一1 ) i 和w c ，下面的式子 成立 ( i 1 吾兰) 一( 麓一l 伽三1 兰) i ( 罾三三) r n 妒( 专1 吾三) = 。， 意即，对于任意的x n ，都有( x 。) = 0 第二步的证明完毕 第三步；若满足，对于任意t ，都有( 风) 0 成立，则 n 咖( 0 t 既) = o t 咖( 风) i - - - - i i = 1 对任意的口 c ，t 成立 一9 一 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) g 硼 0 以 o o ，。一 痧 黑龙江大学硕士学位论文 首先，对每一个i ，由的齐次性可得，( 啦玩) = 啦( 最i ) 对于任意的 a i c 都成立 假设咖( ；：。幻) = ；：l ( & 如) 对于任意的c 和满足1 s n 一1 的8 z + 都成立，其中i j ，歹 下面证明， 砂( 审) = 妒( 魄白) ( 2 1 2 ) 如果存在某个歹 使得a i ，= 0 成立，则根据归纳假设，( 2 1 2 ) 已经成 立不失一般性，可以假设，对任意的j ，都有啦。0 下面分两种情形 讨论 情形1 ；对于每个歹 ，都有a 首先，下面的结论是显然的， 澄j = 悠l 急l 埘 i 芏：毛如+ e 玩r n 一7 其中e a ，并且对任意的歹 ，f 都满足z 巧同时还有， ! e 厶歹s ：+ ：1 最j 弓一啦一最一“h ( 2 1 4 ) i 蜀兰：蜀，幻一( 最以一e 最腑) r n 、7 其中e a ，h 注意到( 2 1 3 ) 意味着( 筹；o 旬毛白) + e o ( e u ) r n 根据引理2 2 可得，对 任意满足；略，歹 的le ，( 差：a i j e i j 幻) 和o ( e u ) 正交因此， 由咖( 励) = c t e u 可得，( 甚：白) 的第f 行和第l 列为0 通过的作用，从( 2 1 4 ) 中可得( 吕兰：a i j e i ，t ，) 一( 晟 ) r n 进一步， 由的齐次性可得( 甚：e 锄) 一( ( z i 。一e ) 妒( 邑胁) r n 类似于同上一段的讨 论，可有咖( 芸：巧) 一咖( 最。“) 和( 最。i 。) 正交，意即对每个h ， 都有咖( 譬；o a j 毛勺) 一a i 痧( 易蕊) 的第h 行和第h 列为0 通过上面两段的讨论，可知( 2 1 2 ) 成立 情形2 ：至少存在一个歹 使得譬a 成立，并且当a i 隹a 对于所 有的h 都成立时，不存在o c 使得警a 对所有的h 都 成立 考虑到的齐次性，不妨设= 1 和盛a 注意到， ( 如巧白+ “- ) 一如略r n ( 2 1 5 ) i ( ；：1 毛岛+ 最小“。) 一( ；：1 最j 幻) + e ( ；：1 岛) r n 、7 第2 章全矩阵空间上保持七一幂等的映射 其中e a ，t 通过的作用，( 2 1 5 ) 变为 j妒( ；：1a i j 白+ 晟州。) 一( 吕；1n 白幻) r n i 币( 蜀：1 a 9 如+ 毋州讥。) 一多( ；：1 幻一e ；：1 毛幻) r n 根据归纳假设和西的齐次性，可得下面的事实 ( 2 1 6 ) ( 蜀：1 白+ 最小i + 1 ) 一；：1 ( 如) + e 吕：l ( 毛白) r n 因此，根据引理2 2 可得( ；：1 毛白+ 最小州) 一；：1 ( 毛白) 和；：，( 毛白) 正交，即对每个歹 ，都有声( ；：1 勺+ 最小“。) 一；：1 ( e j i j ) 的 第i j 行和第如列为零 类似地，我们可以从( 2 1 6 ) 得到，对每个t ，都有口三1 ( ；：1n - i j 弓+ 最州“+ 。) 一吒1 【；：1 j t ( 岛) + ( 最小i 川) 】和e 厶j s + ：1 l j 。( 毛白) 正交 根据上面的讨论，令 摹8 妒( 。幻勺+ 易州t j + 。) = 妒( i j ) + 妒( 五。+ l i m + 1 ) + u ( 2 1 7 ) j = l j = l 其中u 则u 和鐾：( 乜审) 正交进一步地，( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 意味着 u r n 和吒1 u f n 然而茌a ，因此u = 0 ，即砂( ；：1 毛弓+ 最州“+ 。) = ；1 ( 白) + ( 易州讥。) 第三步的证明完成 第四步：若满足，对于任意的i ，都有( 魄) 0 成立，则是单射 根据上一步的结论，咖在 靠中所有对角阵构成的子集上的作用是单的事实 上满足下面条件的也仍然是圣n 中的映射 也：x 一( t x t - 1 )( 2 1 8 ) 其中t g l n ，x 靠 如果满足，对于任意的i ，都有( b ) 0 成立，则也( 既) 0 对 任意的i 成立，否则由第二步的结论可知，2 ( x ) = 0 对任意的x 螈成 立，意即，妒( x ) = 0 对任意的x m 。因此在 靠中所有可对角化的矩阵构成 毋 毋 + + ，最 匠 一 一 一 一 日 最k + + 最 最 啦 蚺嘏 畸产 。尸札吐噼，n 暖蹀 1 r _ 1 f 盯谚托 ，、l 黑龙江大学硕士学位论文 的子集上的作用是单的，意即， 妒( 丁( 啦既) t 一1 ) = a i 砂( t e i i r l ) ( 2 1 9 ) = 1i = l 对任意的t g l n ，a i c 以及i 成立 如果存在某个非对角化的矩阵x o 坛；，使得( x o ) = 0 成立，由引理2 6 可 知，存在可对角化的矩阵y o j i 厶，以及z ，y c 使得下面的式子成立 11 南( + 玢) r n ，南k 隹k ( 2 伽) 这由( 2 2 0 ) 式得到了个矛盾，即再1 v ，、1 6 , o ) r 因此在 靠中所有非对角化 的矩阵构成的子集上的作用是单的 由命题1 4 可知，如果圣n 满足毋( 风) 0 对任意的 成立，则对 于任意的x 厶，我们有下面的等式 ( x ) = c t - 1 x to r 妒( x ) = c t - 1 x t( 2 2 1 ) 其中t g l n ，c a 第3 章对称矩阵空间上保持k 幂等的映射 第3 章对称矩阵空间上保持k 一幂等的映射 本章对晶到 靠上保持七一幂等的映射进行了初步的研究，将在3 1 节中给 出阶段性的结果，在3 2 节中对于竹= 2 的情形给出完整刻画 3 1 引理及阶段性结果 对于对称矩阵空间的情况，引理2 2 和2 3 仍然是适用的，而引理2 4 和2 5 也 有相同的结论，只需将证明过程稍加修改即可 结论一；假设( 忍 ) 0 对于每个i 都成立，则存在p g l n ，和满足 - 1 = l 的c ，使得对于每个i ，以及任意的a i c ，都有( ：1a _ i e i i ) = c p ( ：1a i e i i ) p 一 1 - 存在p g l n ，使得对于每个i ，都有( 玩) = 龟p 毋i p - 1 成立，这 里的e a a 首先，由的定义容易得到( 蜀i ) h 然后我们可以根据引理2 2 和引理 2 3 推出，存在p g l n ，使得p _ 1 ( 风) p = 龟既对于每个i 都成立，并 且这里的白a 于是，我们得到( ) = q p 玩p 一 2 对任意的复数吼，都有妒( ：1 啦昆) = ：1a i g d ( e ) 成立 这个结论的证明已经在第二章第二节的第三步中完成 3 对每个i ，都有c i = c a 成立 首先，我们要证明，对任意的o ，b 和d a ，下面的等式成立 o ( a e + 6 + b e j i + d e j j ) = p ( a e , i + p + r e j i + , ，e j j ) p 一1 ( 3 1 ) 其中o t ，p ，7 ，6 c 显然，对任意的a e + 6 + 6 易 + d e j j & ，总是存在 e e + f e j j 使得下面成为事实 ( n + e ) 最i + 6 + u 马 + ( d + ，) e j j s f n 整理一下，也就是 ( a e + 6 + 6 易t + d 易j ) + ( e e + ，易j ) s f n( 3 2 ) 另一方面，对每个e 人，都有 ( a 玩+ 6 如+ 6 易 + d 马j ) + ( e 最t + ，易j ) + e e l l s f n ( 3 3 ) l 和j 一1 3 黑龙江大学硕士学位论文 通过咖的作用，( 3 2 ) 和( 3 3 ) 变为 ( o 砍+ b e q + b e j + d e z ) + 妒( e 风+ ，勘) r( 3 4 ) i 妒( a e i i + 6 + 6 历+ d e j j ) + 妒( ( e 易i + ，) + e 冬i je u ) n 、。 进一步地，根据砂的齐次性以及( 墨l 吼) = 墨1a i 妒( e i i ) ，我们可以得到 i 毋( a 魄+ 6 如+ b e j + d 局j ) + e ( ) + f 多( e j j ) r n 妒( 口魄+ 6 岛+ 嗡 + d ) + e ( 玩) + ( 勘) ( 3 5 ) l+ e ( 玩) r n 由e 的任意性和引理2 2 。可得咖( o 民+ 6 晟j + b e j , + c e j j ) + e 妒( 既) + f 咖( e z ) 和 冬i j ( e z z ) 正交注意到妒( 玩) = c i p e i i p ，可得( 3 1 ) 式 注意到 ( ：1 二p ) ，s r n c 3 6 ， 其中p ，q c 满足9 2 = p ( 1 一p ) 事实上，0 和1 是上面矩阵的特征值 令( + e j i ) = p ( a o e i i + 风e q + y o e j t + 晶e j j ) p 一自然地，g ( + 马t ) + 囟毋+ ( 1 一p ) e z 】= p e t i + q e 巧4 - g 马i4 - ( 1 一p ) 马j s f n 成立，然后通过毋的作 用，我们可以得到日白) = q ( a o e + 岛+ 加易 4 - 如) + p q e + ( 1 一p ) c j e j j = 0 c i + q a o ) 最 + g 届d + q 7 0 e i i + ( ( 1 一p ) 勺+ q j o ) e z r n 对于确定的k ，h ( p ) 的全部特征值包含在有限集中，则存在w = c + d l c ，d ) 中的某个叫，使得对于无限多个p 满足，日) 的迹等于w ，即存在无限多对满 足p l p 2 的p l ，p 2 ) ，使得h ( p i ) 和日慨) 的迹都等于叫，于是我们可得到 q l o e o - - p l c 4 + q x s o + ( 1 一p 1 ) c i = q 2 0 e o + 耽c t + 9 2 而+ ( 1 一p 2 ) c ， ( 3 7 ) 经过整理后，上式等价于 ( q l 一口2 ) ( 咖+ 5 0 ) = 慨一p 1 ) ( q 一勺)( 3 8 ) 其中西= 仇( 1 - p 。) ，s = 1 ，2 特别地，对于固定的p l ，存在无限多个p 2 使得( 3 8 ) 式成立如果必p - p x 等于个固定的值o c ，其中q 2 = p ( 1 一p ) ，p p l ，而p l 和 q l 是固定的，则我们可以从下面的等式推出，至多存在有限个p 使得衄p - p 1 = 口，而 这与p 的无限性矛盾! ( a 2 + 1 ) p 2 一( 2 a q l + 2 a 2 p 1 + 1 ) p + ( q 1 + a p l ) 2 = 0( 3 9 ) 一1 4 一 第3 章对称矩阵空间上保持k 幂等的映射 注意到，对于固定的，o r 0 + 6 0 和c i c j 都是确定的如果伽+ 晶0 ，则从 ( 3 8 ) 式可推出，至少存在两个不同的值使得c 一勺= 等等( 咖+ 如) 对于固定的p l 和无限多的仡都成立，矛盾! 因此，有q o + 如= 0 成立，并且还有q = 勺类似 地，我们可以得到，对每个i 痧，都有c i = c a 结论二t 假设对每个i 都有( 既) = 0 成立，则对任意的x 晶，都有 ( x ) = 0 1 对任意的啦c ，( ：l 啦玩) = 0 由假设，首先有( 既) = 0 对每个i 都成立 假设( 凳1 毛白) = 0 ，其中me ，i j 和c 由妒的齐 次性，我们通过证明( 銎。白+ 最m + l + 。) = 0 以完成归纳法 如果凳1a i j ；，s r n ，则存在ze 使得a i 。芒a 成立于是可得下面 的事实 ， i ( 凳1 e i j i j + “。+ 。) 一銎1 最j i j 卯n 町1 ( 凳1 毛弓+ + 。k + 。) 一 ( 3 1 0 ) 【( e j m = l , j l 口t j e i j 勺+ 最m + l + 。) 】= 最而s r n 由归纳假设，通过的作用，我们可以从( 3 1 0 ) 得到 注意到a i 。譬，于是吒1 薯a ，然后有( 凳1 白+ “。+ 。) = 0 成立 如果凳1a i j 幻s i - n ，则下面是显然的 i 凳l e i j 幻+ 易。“州卯n 孙1 厶闰r r t a i j 民幻+ + 。+ 。) ( 3 1 2 ) i 一( 一3 蜀m + 凳1 口弓白+ 易。“。+ 。) 】= 易m s t n 注意到一3 最。i 。+ 凳1 弓+ e 。i 。+ 。= ( c q , - 3 ) e i 。+ 凳2 e i 鸡+ e i 。+ 。i r a + 。聋 盯n 和 盛，类似地，我们可以得到( 凳1 口。毛勺+ 最。+ 。h + 。) = 0 2 咖( x ) = 0 对任意的x 晶成立 假设( oa n m ) = 0 ，其中m ，岛，0oa n m = ：m + 1a i e i i ，锄c 下面证明( x 蚪1oa n m 一1 ) = 0 一1 5 一 眦 咄小乏 一籀箍 ( 之+ 1 a n 二一。) = i x , n g + - a n 三一。) c 3 1 3 ， ( q 之9 9 o 。) = ( 二，) ( 础。矿1 ) c 3 “， 并且，对于固定的g ，存在无限多个o + 1 使得上面的矩阵是秩1 的因此，我们可 以得到下面的事实 x a m h 0 0 0 a n - - 夕t+ 1l + m 一1 ， 破l g g 一 o 0 o l + l a m + l 0 、( 3 1 5 ) 0 l 0l s t n a n f n 一1 其中，7 = ( o 意1 9 2 9 + + 1 ) 通过的作用，由归纳假设，我们可以从( 3 1 5 ) 得 到丁( x m + loa n m 一1 ) f 竹于是可得砂( x m + 1oa n m 一1 ) = 0 ，这是因为，对于 固定的五时1oa n m 一1 ，存在无限多的r 使得( 3 1 5 ) 成立 由归纳，可知对于任意的x 晶有( x ) = 0 成立 结论三：( 风) = 0 当且仅当( 马j ) = 0 ，其中i ，歹 满足t 歹 假设存在不相等的i 和j ，使得( 魄) = 0 ，( 马j ) 0 下面证明对任 意的a c ，( 口最 + e j j ) = ( 易j ) 成立当n = 0 时，等式显然成立，因此在下面 的证明过程中设a 0 首先，我们有 n 叫。慨+ 驯一：坚( a 盖e i i 冀- t - e i j ) 三- 裂a e i 茎e 未s f c 3 耶， 第3 章对称矩阵空间上保持k - 幂等的映射 通过西的作用，从上面的矩阵可得 进一步地，由假设和引理2