（基础数学专业论文）混合分式blackscholes模型下的欧式期权定价.pdf

摘要 本 文创建了 一个含有 赫斯特指数h e ( o , 1 ) 的混 合 “ 分式一 分式” 版本的b l a c k - s c h o l e s 模型， 并且推导出了 相应的i t 赫斯 特指数; 欧式看涨 跌) 期权. abs tract i n t h i s p a p e r a m i x e d f r a c t i o n a l - f r a c t i o n a l v e r s i o n o f b l a c k - s c h o l e s mo d e l w i t h h u r s t e x p o n e n t s v a r y i n g i n ( 0 , 1 ) i s e s t a b l i s h e d ， a n d t h e c o r r e s p o n d i n g i t o s f o r m u l a is o b t a i n e d t h e o p t i o n p r i c i n g f o r m u l a s w i t h h u r s t e x p o n e n t s b e i n g i n ( 盖 ， 1 ) a r e d e r i v e d . k e y w o r d s : f r a c t i o n a l b r o w n ia n m o t i o n , h u r s t e x p o n e n t , e u r o p e a n c a ll ( p u t ) o p , 士 i o n 】 1 第一章前言 自 从 1 9 世纪 7 0 年代b l a c k - s c h o l e s 期权定价 公式 1 出 现后， 因其是 在期权所 含资产的 价格行为 假定为随机游 走， 即 假定服从布朗 运动下推导出来的 ， 与现实中 绝 大部分 人对价 格行为过程设想 基本一致， 因此它 就成为期权定价 方面的 权威直至 现 今. 如果价格过程 服从布朗运动， 那么价 格时间序列前后 是相 互独立的， 即不相 关 然而， 现在已 经 有越来越多的历史数 据表明 价格时间 序列之间 是非独 立的， 即 存 在相关性 例如， b e r g 和l y h a g e n 2 , l o 3 , h s i e t h 4 ， 还有h u a n g 和y a n g 5 , 他们 验证了 一些价格收益率数据之间有短期或 长期相关性.l o 和m a c k i n l a y 同， e l t o n 和g r u b e r 7 ，f r e n n b e r g 和h a n s s o n 8 ，f a m a 和f r e n c h 9 ， 还有p o t e r b a 和 s u m m e r 1 0 ， 他们则 发现股票价格 时间 序列在短 期内 是正相关的， 而在长 期内 是负 相关的。 我们 设s ( t ) 表示股票 对数价格s ( t ) 是满足 赫斯特指数为h c ( 0 , 1 ) 的自 相似 随机 过程， 即 s ( a t ) , t 0 ) 和( a - s ( t ) ,t 0 ) 有 相同的 有限 维概率分布 分 式布朗运 动就是一个自相似随机过程. 从 1 4 ; 我们可 以了 解到 许多事实 表明 对于股 票价格收益率、 商品价格 或者各 种 各样的 交换利率等等， 他们的赫 斯特指数 h属于区 间( 0 , 1 ) : e v e r t z e 和b e r k n e r ， 还 有 v o s s 用 “ 重标级差 分析” 方法 ( r / s a n a l y s is ) 分析 了 一些从 1 9 8 6 年1 1 月3 日 至1 9 9 2 年9 月7 日 的股票 价格收 益数据， 得出了 这 些 股票价格收益的赫 斯特指数在0 . 4 5 至0 .6 之间; p e t e r 在研究 1 8 8 8 年2 月2 日 至1 9 9 1 年1 2 月3 1 日“ d o w j o n e s i n d u s t r i a ls ” 股 票 收 益数据、1 9 7 1 年至1 9 9 0 年 y e n / d o l l a r ， 交换利 率数据和1 9 8 9 年2 月 至1 9 9 2 年1 2 月“ s 当s x时 ， 期 权内 在价值为 零; 当s 。 。 用 公式表示为: v二m a x ( 0 , x一 s ) 相应的，空头卖权的内在价值为: v= m i n ( 0 , s 一 x ) 根据期 权合约持 有者在有效期内 行使权利自 由 度的大 小， 期 权可分为美 式期权 和 欧式期权 . 美式期 权可以 在到期日 之前任何一 天行使权利， 而 欧式期权 则只 能在 到 期日 那天 行使权利， 既不 能提前， 也不能推 迟. 目 前国际 上交易 所中 交易的 期权 多数为美式期权。 2 . 2 分 式布朗运动 及其相关 性质 分式布朗运动 是布朗 运动的一般化: 给定一个 概率空间 ( q , y , p ) ，9是一样 本空间，下是一。 一 代 数，p 是一概 率测度， 我们定义 一个随机过程 x ( t ) , t 0 到实空间r上的 映射x: 0 x 0 , 0 0 ) *r ， 那么 对任何。 s 2 ，t 、x ( w , t ) 称为。 的 样 本轨道。 含赫斯特指 数 x( x e ( 0 , 1 ) ) 的 标准 分式布朗运动就 是满足下列 条件 的随 机过程 x ( t ) , t _ 0 : ( a ) x ( t ) 依概率1 连续，x ( 0 ) = 0 依概 率 i 成立; ( b ) 对任意t ?。 ，a t 0 ， 增 量x ( t + o f ) 一 x ( t ) x ( 0 , a t 2 h ) 即 有p ( x ( t + ) 一 x (t ) 0 ，e b h (s ) b fa (t ) 二 告 p h + s 2h 一 * 一 。 12 11 1 设: ( 、 ) 二 e b h ( 1 ) ( b h ( n + 1 ) 一 b h ( n ) ) 1 ， 那么从 1 7 1 我们 得到下列性质 : (1) 如 果h: (0 , z ) ， 那 么艺 co n = 0 : (。 ) _ 1 都 有r (n ) i 都 有r ( n ) 0 , 即 称 为 正 相 关 性 质又 蒸 0 r () 二 二常 被 称 为 长 期 相关性 由 于分 式布朗运动连半鞍都不 是， 所以关 于它的随 机积分就有其特殊 性 至 今 关于 标准 分式布朗 运动的 随机积 分已 经有 许多种 定义， 下面介绍 一种在“ 均方 收敛， 意义下的 关于标准分式布朗运 动 b h二 b h ( t ) 的随 机积分。 定 义1 . 1 4 已 知概 率空间( n , j - , 玛上 的标准 分式布朗 运动b h = b h ( t ) 设f 是乘 积空间l a , b x s 2 上的 实值函 数， 它满 足以 下条 件: ( 1 ) f 是二阶 随机函 数，即e . f 2 0 0 ; ( 1 1 ) f 是ti a , b x t一 可测的 如 果了 ( ) 二 艺 m - 1i= d f ix ti,tt i ) (t ) 是 一 随 机 阶 梯 函 数 ， 我 们 定 义: r6 f ( 二 ) d b h ( t ) 二又f i b h (t i+ 1 ) 一 b h ( ti ) 一 般的 ， 设 : s 二t o i =0 t i m a x o i 。 一 i t i + ， 一 小 令f 二 f (t i) ， t m =t 是区间 i- ( f , w ) 二e m -g .r i - d 中亡; 。 t i, ti + i 如 果当 、。 时 ，f m ( f ,w ) 在 “ 均 方 ” r ( f , w ) ， 即e i m ( f 、 ) 一 i ( f , w ) 2 、0 ， 那我们 就定义 : a , b ) 的一个划分， 二 f ib h ( ti+ 1 ) 一 (ti ) ， 其 意义下收敛于一随机变量 j b f (x)db h (t， 一 (。 ， 我 们 用e (h ) 表 示 随 机 积 分井 f (x ) d b h (t ) 存 在 的 所 有 函 数f (x ) 的 集 合 。 定理1 . 1 4 1 设f ( t , w ) 是定义 在乘积空间a , b x 5 2 上的实值函 数， 并且满足: ( c . 1 .) 定义 1 中的 条件 ( i ) 和( 1 1 ) 都满 足; (c .2 ) 对 任意 的。 。 。 ， f (t , w ) 在 区 间a , b l 上 绝 对 连 续 且君 e f t (t ,o ) 2 d t + o c ， 其中 介是 了 关于 t 的偏导数; (c .3 ) 随 机 过 程f = wt, - ) )t e a ,h l 和b h = ( b h (t ) )t e (a ,bj 相 互 独 立 。 那么 f e e ( h) . 注意定理1 中， 对任 意的t e a , b , f ( - , w ) 和b h ( , - ) 都 是t一 可测的。 如果 了 是关于时间 t 的确定性函数， 那么条 件 ( c . 3 ) 自 然成立. 这在下章中讨 论期 权定 价时要用到。 貂. 3 i t o公式的 推导 这一 节我们将在创 建的 混合 “ 分 式一 分式”b l a c k - s c h o l e s 模型下 来推导相 应的 i t 4 公式。 定理 2 . 设 a ( t , 司 和 a l ( t , w ) 都是 b a , b x f 一 可测的， 且对几乎所有的 。都有 君la ( t, w ) z d t + o o ，。 ( 。 ，。 ) 满 足 定 理1 中 的 条件(c .1 ) 一(c .3 ) ， 其 相 对 应的 h二 h i ( t =1 , 2 ) ， 我们 令: (，)一 () 一 ,tj a4 (一 )“ + f 一 (一 )“、 ，()+ jm一 (一 )db h 2 (r) (2.3.1) 设映射f : a , b x r *r， 且f x i 和f j t ( i = 0， 二 ， n ) 都连续。 这里 f x j 二 a i f / a x i ， f , t = a f , l a t ， 令 1 = f ( t , x ( o ) ， 设 1 / n h l 1 / ( 。 一 1 ) 且h 1 h 2 1 ， 那么 对于任意给定的。 ! 2 ， 我们有 下列等式 依概率成立: y ( t ) 一 y ( s ) 一 ;、 。二 ，二 。二 ) + 。 。二 )、 、二 二 、二 ):、 十 i1m 岁岁典 、 (。 ，二 (ti) ( a l (ti) (b h 3 (ti+ 3) 一 8 h , ( t i ) ) +a 2 ( t i ) ( b h 2 ( t i + 1 ) 一b h a ( t i ) ) i 的 飞 一1伦_1 1jr (t , x (- ) + a (- )f (t , x (t)l d- 十 ，lim4 t- 0 买耳 f ai (ti，二 “ ， 艺tr p a p (t t) a z ( t,) 二 二 i (t q+ 1 ) 一 二 。 i (t i) l 二 二 : (， ，+ *) 一 : h 2 (ti)1 p h l + ( 7 - p ) h 2 经 i 其中! s , t c a , 司 证明: 见 附录 a 由 泰勒 公式和 定理 2 ， 我们进 一步得到; 推 论 1 . ( i t o 公式) 所有条件与 定理2 相同 ， 则有: y ( t + a t ) 一y ( t ) 一 m t, - (t)，二 t) f (t, .(t)一 n-i 1) fx (t, (t) 艺 c j o ( t) a 2 - (t ) 户 咒 0 p h i 十 (7 一 p ) h 2 - 1 x i b h , ( t +a t ) 一b x 1 ( t ) p b r , ( t +a t ) 一b h 2 ( t ) 7 - y +o ( a t ) 现在我们把定理 2 一般化: 定理 3 设 a 仕。 ) 和 a t ( t , w ) 都是 b 协 ， b 君 la (t ,w ) ld t + 二，a t (t , w ) 满足 定 理 h=h i ( t 二1 ， 二， k ) 我们令 厂 一 可测的， 且对儿乎所有的 。都有 中的条件 c a )一 c . 3 ) ， 其相对 应的 (， 一 ( ， 一 f (r , w ) d 7 + 又f 一 (一 ，db h , (t) 设映 射f : a , b x r*r， 且 f . ， 和f a s t ( .7 = 。 ， , n ) 都连续 令y=f ( t , - ( t ) ) ， 设i / n 从 i / ( 。 一 i ) 且h i h 2 生热 场，( 3 . 1 . 2 ) 其中a ( t ) 和a l ( t ) ( l 二1 , 2 ) 是 关于时间t 的确定 性函 数， 且满足定 理 2 中的 条件; ( b . 4 ) 令c ( t , s ) 、p ( t , s ) 分 别代表标的 物为 股票i 的欧式买 权和欧 式卖权在， 时 刻的价 格，并且 此欧式 买权和欧 式卖 权到期日 是t、 执行价格是x 根据期 权的 定义， 我们可以 设 c ( t , s ) 和p ( t , s ) 满足 边值条 件 c ( t , s r ) =m a x ( , s t 一 x , 0 ) , c ( t , - 0 0 ) = 0 , h m 从 斗+ co - r ( t - t ) c ( t , s t ) ( 3 . 1 . 3 ) p ( t , s t ) = m a x ( e s t 一 x , 0 ) , p ( t ， - 00 ) 二 x e l i m s-+- 尸( t . s t ) 一乙 =0 ( 3 . 1 注) 己 。 亡 3 .2 赫 斯 特h。 ( 2 , 1 ) 时 欧 式 期 权 定 价 在 一 h 节 假 设 的 前 提 下 ， 我 们 先 来 讨 论 如(3 .1 .2 ) 所 示 但h 1 任 c 2 , 1 ) 条 件 下 的 欧 式 买权 c ( t , s ) 定价。由推论 1 ，我们有: e , 二 。 s a (t ) t + e 8 ( a l (t ) 如, -f a 2 ( t) 召 从 ) 十 。 * ) a c ct, s ) 一 ( 盟 + (，)豁 ) : + a ca s (一 (。) : 、 ， + 一 (，) 、 ) + ( ，) ( 3 .2 . 1 ) ( 3 . 2 .2 ) 既 然在上节 假设( b .1 ) 条件下我们 知 道对市 场内任意的 有价证券都存在某 个投 资 组合来 对冲 它的风险， 且从上面两等 式可以 看出 e s 和 c ( t , s ) 都受同样的眺 噪 声” ii b x ， 和 b -h a 控制， 那么我们 可以 像在b l a c k - s c h o l 。模型下一 徉来处理 我们 可以 假设 无风险证 券 d ( t ) 能被只涉 及 到股票工 和标的物 是股 票1 的欧式买 权的“ 自 融 资” 投资组合 复制， 也可以说当 标的 物 是股票 1 的 欧式买权的份 额为一时 “ 自 融 资 ， 投资组合策略如下: w o d ( t ) 二 c ( t , s ) +w 。 ， ( 3 .2 . 3 ) 即有 饥a d ( t ) 二 c ( t , s ) +w d e s + o ( a t ) ( 3 . 2 . 4 ) 其中w o 二w o ( t ) 和w二w ( t ) 表示 无风险 证券 额 接下来我 们推导 相应的 欧式期权定 价公 式 ( 3 . 2 .3 ) 和 ( 3 .2 . 4 ) 我们得到; d ( t ) 和股票 z 在时刻 t 时各p的份 跟据式( 3 . 1 . 1 ) 、( 3 . 2 . 1 ) 、( 3 . 2 : 2 ) 、 二 ， ) ( 。 (， ， : ) + w e 、 l 1 。 一 擎十 。 ， ) 鬓+ w e s a (t ) ) ) t 、，、口l口乃 / 一 (- (t)纂 + 、 “ 一 (t) a b , , + a 2 (t) a s + ， “ 、 、。) 、+ )(3 .2 .5 ) 在 式(3 .2 .5 ) 两 边 依 次 同 时 除 以 ( a t )h 、 to g ( lo g a t e ， ( 约 二 lo g 丁 lo g at! 和 且令a t - t 0 ， 那么由 命题1 我们 依次 得到: + we s a l ( t 卜 0 + w e s a 2 (t ) 二 0 r (t)(c + w “) 一 a ce t + a ( t) a s + w e s a (t ) ( 3 . 2 .6 ) ( 3 . 2 . 7 ) ( 3 .2 . 8 ) 联立解( 3 . 2 .6 ) 和( 3 . 2 . 7 ) 式可得: ，、49 c v v已= 一 二 ， 二 d b ( 3 .2 .9 ) 再将( 3 . 2 . 9 ) 代入 ( 3 . 2 . 8 ) 式， 我们 得到关于标的 物为股 票 t 的欧 式买权价格 c ( t , s ) 的微分方程: , (t) 一 _a ca t 十 r (t) as ( 3 .2 . 1 0 ) 通过 用特征值线 法解 ( 3 . 2 . 1 0 ) 式， 且由 边值条件 ( 3 . 1 .3 ) 可解得欧 式买 权价 格: c (t , s ) 二 n l a s ( e s 一 x , - (t)(? 一 ) ， 0 ,( 3 . 2 . 1 1 ) 其中 、 一 1t - t 户 (r)dt 3 . 3 赫 斯 特万: ( i 13 1 2 ) 时 欧 式期 权 定 价 同 样在本章第一节假设 的前提下， 我们现在来讨 论如 ( 3 . 1 . 2 ) 所示但h 1 任 条件下的欧式买权 c( t , s ) 定价。下面分下列三种情形来讨论: h 2 12 二 12 二 : 12 a n d h1 十h2 i a n d hi +几 1 a n d h1 十场 三7 (l)卿(3) 对 于情形 川 ，由 推论1 我们 得到: a e g 二 。 s a ( t) a t + e s (a i ( t) a b h l + a 2 ( t )a b h 2 + 告 e 5 a i (t ) ( a b h , ) 2 + o ( a t ) ( 3 .3 . 1 ) a c (t, s ) 一 ( 臀 + (，)豁 ) 。 + 豁 (一 、t)a b h , + a 2 (t)a b h z + 2 a i(t) 0 2c2 (a b , , )2 + 、 ( 3 . 3 .2 ) 从 上 面 两 等式 我 们 可 以 看 到 e s 和 c ( t , s ) 都 受“ 噪 音 ，a b h ; 及 两 个 相 关 的 “ 噪 音”a b h : 和 ( a b h , ) “ 的控 制， 所以 无法通过只 涉及股票 1 和标的 物是 股 票 工 的欧 式买权的 “ 自 融资” 投资 组合策略 来构造无 风险 有价证券，也就 是说这 样的 投资 组合的 风险不能用 “ d e l t a 中 性” 策略 来对冲 掉。 但是在本章第一节 假设( b . i ) 条 件下我们 知道对市场内 任意的有 价证 券都存在 某个投资组合 来对冲 它的风险 ， 因 此我们 可以假 设存在这么一个 投资组 合，它 涉及股票i 、 股票i i 、 股票i i i 和标 的 物为 股票i 的欧 式买权， 且它是 无风险 的。 换句话说。 这个投资 组合构成的有 价证 券是无风险的当且仅当它是 “ d e l t a 申净 和 “ g a m ma 中性”的。 我们可以假设无 风险 证券d 娜能被只涉 及到股 票 i 、 股票i i 、 股票i i i 和标的 物为股票i 的欧 式买 权的 “ 自 融 资” 投资组合复制， 也可以 说当 标的物 是股票 i 的欧 式买 权的 份额为 一 时 “ 自 融资” 投资 组合策略如下: vv , d (t ) 二 (t , s ) + w e s + w i e s , + w 2 , s 2 (3 .3 .3 ) 即有 w , o d (t ) = o c (t , s ) + w o e s + w a e s l + w 2 a e s 2 + 。 ( ， )(3 .3 .4 ) 其中 s i =s i ( t , c, , ) ( f = 1 ,2 ) 分别表示股票 i i 和 股票 川 在时刻 t 时的对数价格， w二w( t ) 和玛 = 毗( t ) ( j = 0 , 1 ,2 ) 分别 表示股 票 i 、 无风险证 券 d ( t ) 、 股票ii 和股 票i i i 在时 刻亡 时的 份额。 同 时我们 也假设股票i i 和股票i i i 在时 刻， 时的 对数价格行为满足 d s i =b ( t ) d t +b i ( t ) d b h , +b 2 仁 ) 汪 刀 2 几 3 .3 . 5 ) d b f f z d s 2 “c ( t ) d t + c 1 ( t ) d b h , + c 2 ( t ) d b h 2 ( 3 .3 . 6 ) 其中 关于时间t 的 确定性函 数 b ( t ) 、c ( t ) 和b i ( t ) 、e i ( t ) ( 2 =1 , 2 ) 都 满足定 理 2 中 的条件 我们要求 股票i i 和股票i i i 的选 择满足 对任意的: e 0 , t ) j( l,(t )a t tu ( 3 .3 . 7 ) 其中 a (t) = a 2 (t) (r (t) - a (t) a (t) 业(t) - b (t) b (t) -i- 妙 ) - c (t)c (t) a i k t ) hl t ) +b , 又 艺 ) 万v ) +c , ( t ) m a ( t ) =b 1 ( t ) e 2 ( t ) 一b 2 ( t ) c i ( t ) b( t ) =e 1 ( t ) a 2 ( t ) 一 c 2 ( t ) a l ( t ) c ( t ) =a , ( t ) b 2 ( t ) 一a 2 ( t ) b( t ) 我们 将在下一 节讨论 ( 3 . 3 .7 ) 式 在上面 这些假设下我们 现在来推导 相应的欧 式买权定价公 式. 对 e s 和 e s 2 运用 推论1 ， 再跟据 ( 3 . 1 . 1 ) 、( 3 .3 . 1 ) 一( 3 . 3 . 8 ) 我们 得到: r (t) ( c (t, s ) + w e s + 二 。 si + w 21 s2) a t 一 ( a ca t + a (t) t s + 、 “ () + 二 “1“、， + w 2ess c(t) a t 一 ( 一 (，)器 + * “ 一 (，) + 二 s b 1 (t) + w 2es 2一 “ ) a b , + ( 一 (，)a ct) 5 s + 、 一(。) + 二 s i b 2 (t) 十 、 es 2e 2(t) a b -, , 1 /。 ， 、 a 2 c + 畏 ( a ( t )+w e s a 2 ( t ) + w l e s b 2 ( t ) + w e s 2 c 2 ( t ) ) ( a b h ， ) 2 + o ( a t ) ( 3 . 3 .8 ) 2犷1 一 j a 泞 2-一 1 、 一 /” 1 - 一 上 “ 一 ，” - 一 1 / j、 一 力 i 、 卜 才 、 u 仲 ) 在 式 ( 3 .3 .8 ) 两 边依 次 同 时除 以( a t ) h = 斌 lo 引 lo g a t i ， (a t )h a 沪 菇汗 丽 可， (at)2h, lo g i lo g o t i 和 ， ( 或 者 依 次除 以( a t) lo g i lo g a t ， ( a t ) 2 h , lo g i lo g a t e ， ( a t ) - 2 丫 lo g lo g 4 月 和 ， ) ， 且 令 ， *+ 。 ， 那 么 由 命 题 1 我 们 都 可 得 到 : + w e s a 1 (t ) + w i e s b r (t ) + w 2 e 2 i (t ) = 0 + w e s a 2 (t 卜 讯e s b 2 (t 卜叭户c 2 ( t ) = 0 肥丽韶丽 a , ( t ) a 2 ( t ) ( 3 .3 . 9 ) ( 3 . 3 . 1 0 ) : (，8 2ca2 l (t) -5 s 2 十 w : (:卜 二 一 。:(，) + 二 “ 、 *) 一 。 r(t) ( c (t, s ) + w es + w l es i + 二 s 2) 一 鲁 + (，)豁 + w 一 (，) 十 二 s , b(t) 、 二 5 2o (t) ( 3 . 3 . 1 1 ) ( 3 . 3 . 1 2 ) 联立 解 ( 3 . 3 .9 ) 、 ( 3 . 3 . 1 0 ) 和( 3 .3 . 1 1 ) 式可 得: we ，二一, 92c 丽 o s - as ) (bi(t)b (t) + ci(t)c (t)编 ( 3 . 3 . 1 3 ) we s i 二 - 一 8a ai (t)b (t) b ( t ) ( a l ( t) b l (t ) 一 b i (t) ) + c (t ) (i叔 不可几孙 乃 ( 3 . 3 . 1 4 ) w2 e s 2 ( 8 c 一 aa ) a i (t)c (t) b ( t ) ( a 7 (t ) b l ( t) 一 b 1 ( t) ) + c (t ) ( a 而不厂c 1 而 ( 3 .3 . 1 5 ) 再将( 3 . 3 . 1 3 ) , ( 3 . 3 . 1 4 ) 和( 3 . 3 几 5 ) 代入( 3 . 3 . 1 2 ) 式， 我们 得y i i 关于 标的物为股 票 丁 的 欧式买 权价格c ( t , s ) 的微 分方程 、*)。 一 a ca t + ( (，) 一 * (t) 5s + a (t) s ( 3 .3 . 1 6 ) 其中a ( t ) 如( 3 . 3 . 7 ) 式所定 义. 用 类似f e y n in a n - k a e 定 理解俘3 . 1 6 ) 式， 且由 边值 条件 归1 句可解 得欧式买 权 价格: c (t , s ) = e s n (d l ) 一 。 - r (t f t)n ( d 2 ) ( 3 .3 . 1 7 ) 其中 d 1 = ( s 一 i n x+ t ( t 一 约 十 d / 2 ) / 汽d 2 二 d l 一 而， 二 _ 1 产 j 、 ，_ _ f t 、 一 t 巧 z一 a / a (t ) a -r ,1 z n 0是 一维标准正态 分布分布函 数。 下面说明 一下欧式买权价格 ( 3 . 3 . 1 7 ) 与股 票 i i 和股票 i i i 的 选择无关 假设存 在 另 外 两 个 股 票 ， 股 票ii 和 股 票示， 欧 式 买 权 的 收 益 能 被 只 涉 及 到 股 票i 、 股 票 n 、 股 票示和 无 风 险 证 券d (t ) 的“ 自 融 资 。 投 资 组 合 复 制 。 我 们 也 假 设 股 票丘 和 股票示 在时刻， 时的 对数价格s 1 、s 2 满足: d s l =d ( t ) d t +d l ( t ) d b h , +d 2 ( t ) d b h 2 d s 2 =e ( t ) d t 十e l ( t ) d b h 】 十e 2 ( t ) d b h a 还 假 设股 票丘 和 股 票亩的 选 择 满 足 对 任 意的亡 0 , t ) 1 t “ (t )d t 0 其中 入( t ) =a 2 ( t ) j ( r (t ) - a ( t) ) a ( t ) + (r (t ) - d ( t ) d (t ) + (， (* ) 一 e (t) ) 二 (t ) a i ( t ) a ( t ) 十 a i ( t ) d ( t ) + e 2l ( t ) e ( t ) a ( t ) 二dl(t)62(t) 一 。 2 ( t ) e l ( t ) d( t ) =e l ( t ) a 2 ( t ) 一e 2 ( t ) a l ( t ) e ( t ) =a l ( t ) d 2 ( t ) 一 。 2 ( t ) d l ( t ) 同理我们可得到: r (t)c 一 a c5 t + ( (，卜 ; () 纂 + * (，) 2,(t) as + a (t) as 联立上式与 ( 3 .3 . 1 6 ) 式可得到: (“ ， 一 “ ，) ( a c a s 一 a 2 c ) h 1 h i ， 类 似上面考虑 1 / 3 h i 1 / 2 一 样， 只 不过 我们需 要分 。 ( 二 一 1 ) / 2 种 情形来 讨论 并且相应的要 分别额外附 加二 一 1 ， 。 十 1 ， ，( ( 、 一1 ) ( n + 2 ) / 2 ) 一 1 种股票构 成投资组合策 略来对冲有价 证券 的风险。 5 . 当股票对数价格行为 s ( t ) 满足 d s 一 a (t ) d t + 又a t (t )d b h , , h i : ( o , ) ，h 1 h z 二 h k 类似的我们可以通过定理 3 推导出欧式期权的定价公式。 6 . 显 然当h i = h z =， 一 h k =告 时 ， 可 以 知 道 从 定 理3 推 导出 的it s 公 式 与 在 b l a c k - s c h o le s 模型下推导出的i 七 6 公式 正好统一了 . 第四章总结 在这篇文章里， 通过在建立的 混合 “ 分 式一 分式” 版本的b l a c k - s c h o le s 模 型下 来 研 究 了 欧 式 期 权 定 价 间 题 ， 得出 了 当 赫 斯 特 指 数h e 去 , 1 ) 时 的 欧 式 期 权 定 价 公 式。同时，我们也可以看到: i . 当 赫 斯 特 指 数h i 。 ( 2 , 1 ) 时 ， 就 像 在b la c k - s c h o le s 模 型 下 一 样 ，“ d e lt。 中 性 ， 策 略 就 是 有 价 证 券 风 险 完 美 的 对冲 策 略; 但当h i 。 ( 告 ， 2 1 ， 仅 仅 用 “ d e l ta 中 性 ” 策略 不能对冲 有价证券的 风险， 只 有同 时用 “ d e l t a 中 性” 策略和 “ g a m m a 中 性， 策略才能对冲有价证券的风险， i i . 在b l a c k - s c h o l e 。 模型下， 股票价格的波 动率和无风险 利率不能 直接得知 而 在混 合 “ 分 式一 分 式” 模型 下 ， 当凡e ( 2 , 1 ) 时 我 们 只 需 要 估 计 平 均 无 风 险 利 率r ( t) ; 当h i 。 ( 13 2 j1 时 ， 如 果 用 历 史 波 动 率 来 进 行 欧 式 期 权 定 价、 那么 还 需 要 估 计 更 多 的 参数。 然而， 如果用估计隐含 波动率和无 风险利率的 技术， 那么 在混合 暇 分式一 分 式” 模型下， 对于公式 ( 3 . 3 . 1 7 ) 我们仅需 要估计 、 厉/ ( t - t ) 和t ( t ) 。 i i i . 经 验研究 分析表明， 用估 计隐 含波动率 和无风险 利率的 技术比 用 估计历史 波动 率和无风险 利率方法来进行 期权定价要好. 虽然在公式 ( 3 . 3 . 1 7 ) 是通 过额外附 加的 股票1 1 和 股票i i i 推导出 来的， 但当 我们用估 计隐 含波动率和 无风险 利率的 技术时 我们根本不必知道股票 i i 和股票 i i i 是哪些股票. i v . 众 所周 知， 经验研究分析 表明 隐含 波动 率不适 合在 b l a c k - s c h o l 。模型下的 期权 定价。而在混合 “ 分式一 分式”模型下，标的物为同一 股票的不同欧式期权可能对 应的 隐 含波动 率不一 样， 其中 原因可能 就是标的 物为这个 股票的 不同 欧 式期权 在定 价时 选择了 不同的额外附加 股票来做 对冲 风险策略 附录 定理 2 的证明 证 明 : 设 a: s =to t i 二 t , =， 是区 间 卜 川的 一 个 划 分 。 】 1 1 日 x o ci m -1风 十 1 一 t i l ，由 泰 勒公 式我们得 到: y ( t ) 一 y ( a ) 一 艺 (f (ti + i ,x (ti+ i ) ) 一 了 (， :，二 ( “ ) ) 蓉 “ 一 “ ， :、 蓄 翼 贵 、 j、 ，亡、)。 (:福一 卜 (ti) 叫艺间 艺间 + 一 九 乐 + 针共 f x n (t i 茬石了 “ ; f j ( t i，二 (、 ) (二 、+ ， 一 二 、:; ) m - 1(7-i, co (x (ti+l=0， 一 、 .) ” “ =v 0 ( w ) + v i ( w ) +v 2 枷 ) + v 3 ( - ) + v 4 ( w ) 其 中+一 一 ，db 一 ， pe;+db g , (t) + fjac 一 一 ，db h, (-) m -1 1。(“ 、。 ) ( 厂 “ (一 )d t * t.+d t, 一 (一 )“ b hi (卜t.+d b h , (7) + j 一 (一 )d b x , it) n 价 b 一 场 b +a m b 一 翰 (al x 为 1-钊 祠艺问 艺1=0 一- + 1 “ id (t ) + ai (t ) (b h (tt、一 ) - b h t (r ) + a 2(t )ib h a (。 一 ) - 二 * (t )d- )a + 艺素 f .- (4 1 t:i) (a , ( ti) (b h , (ti-f 1 ) 一 b lh (ti ) + a 2 (ti ) ( b fi, ( t、十 1 ) 一 。 二 : (。 ) i = 0 。一 e r,a(t) + a ,(t)(b h ,(t一 ) 一 。 h ,(t) + a 2(t )(b h , (t、一 ) - 二 。 ( )、 ) ” 我们先来估计 v s 叫 +v 4 ( w ) 。假设 ll ( w) 一 m a x ， ，ib h , (-)i, i b h , (- )i, if j (a ,- (v )i, i、 一 、- , - m ) i, 。一 、- ) i, 一 。 。， 关 ” la(t) + ;( )(。 ( (t )j - b h ,(t ) + az(t j(b h ,( (t) 。 ( )、 l 2 ( w ) 。 m axo i*n- 7 一刃 *, la(t ) + al (t) (b h , (ti+ 1) - b h , (7-) + a 2 (t ) (b h , (t!一 ) - b h , (t)dt 卜 1厂 “ a(t)dt ii: (!、一 ) 一 ，i b u , (ti+ l) - : :(“ )，、 (!:一 j - : :、) 其中 当， 三 。 ， 、 ， 时0 ( t) 一 ， 1+ 1 。 因 为 对 几 乎 所有 的、 ，君 a (t )d t ，b h , (t ) 、 刀 a , (t ) b h , ( t ) d - ( ! 二1 . 2 和 (t ) 在 区 间!a , 6 都 是 一 致 连 续的 ， 所以 我 们 易 知当 *。 时， l i ( 司对几乎 所有的。 都是 有限的， 而场( 司a s . 。 因 此对玲 ( 劝 f v 4 ( 叫 估计，当 a i 一。 时，我们有: iv3(w) v4(w)i : m-1 rz i ll)lz(w)=o j=1 . 一 l i (w ) ( p z 2 ( ) 一 1 ) (。 一 。 ) 装 。 ( a .2 ) 为了 方便处理， 我们把v ( w ) 十 v 2 ( 甸写成: v i p) +妈( 。 ) 幻, - 1 ，二 (ti ) ( a l (t i) b h , (t :十 t ) 一 b h y (t i) + 、 ( ;) ( 、(: + : ) 一 甄(。! ) a (t + a , (二 )($ h , (ti+ l ) 一 b h , (t ) + a 2 (二 ) (b h a (ti+ 1 ) 一 、 a ( t ) )tt - - 1 -1 + 艺 e =c 少 =2 i f v (ti, x (ti) )(一 (、)(、 :一 卜 b h 1(ti) + 一 (:、)(二 、 (一 卜 、 (，*) m-1 r 0 ， 存 在a ) 0 ， 当 6 且t e ( t i , t i + 1 ) 时 ， 满 足 ib h , ( t i + l 卜b h , ( t ) i 和叽( t i ， 二 ( t i ) ) 一 几( t , - ( t ) ) i ( i =1 , 2 ) 。因 此就得 到: 、 。 气 (孟、)刃 ix (ti) i+ f, (si(-r)(b h ,(