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哈尔滨理t 大学理学硕t 学位论文 一种多小波的构造 摘要 小波的构造在小波分析中起着尤为重要的作用。特别是多小波不仅具有 单小波的良好性质，而且克服了单小波不能同时具有对称性、正交性、紧支 撑性的缺陷。多小波在进行完美重构的同时，可以保持能量，在边界具有良 好的性能，具有高阶逼近。因此，近年来多小波被广泛应用着。 本文将小波分析理论和再生核理论结合，利用它们的一些相关性质构造 了小波函数和多小波函数。这些小波函数和多小波函数具有许多良好的性 质，小波函数可以用来重构r ( 尺) 空间中的有界函数，而多小波函数可以对 h i l b e r t 空间叫( o ，1 ) 进行分解，这为更一般的空间分解提供了一种新方法。 具体地来说，本文完成的工作主要包括以下两个方面： 1 利用s o b o l e vh i l b e r t 空间h 1f r ；a ，b 1 的再生核，通过卷积计算，得 到s o b o l e vh i l b e r t 空间h ”( r ；a ，b ) 的再生核。然后，讨论了s o b o l e vh i l b e r t 空间h ”( r ；a ，b ) 再生核的相关性质，并得到由这类再生核构造的一类小波函 数，s o b o l e vh i l b e r t 空间h ”( r ；a ，b ) 的再生核是对称的且具有奇数阶消失 矩；而相应的小波函数是反对称的，具有偶数阶消失矩。最后，利用这类小 波重构r ( 尺) 中的有界函数。 2 利用函数构造两个尺度函数，一个是对称的，另一个是反对称 的。由这两个尺度函数构成的向量满足细分方程。所以，可以由这两个尺度 函数构造一类多小波函数，这类多小波函数不但在【- l ，l 】上具有紧支撑性， 而且一个小波函数具有对称性，另一个小波函数具有反对称性，因此这种紧 支撑多小波函数适用于区间 0 ，l 】。最后，利用这种多小波函数给出了 h i l b e r t 空间酬( o ，1 1 的一种分解方法。 关键词小波；再生核；多小波；夕函数 哈尔滨理- t 人学理学硕：卜学位论文 c o n s t r u c t i o no fac l a s so fm u l t i w a v e l e t s a b s t r a c t c o n s t r u c t i o no fw a v e l e tp l a y sa l li m p o r t a n tr o l e i nw a v e l e ta n a l y s i s i n p a r t i c u l a r ，m u l t i - w a v e l e t sn o to n l yh a v eg o o dp r o p e r t i e so fs i n g l ew a v e l e t ，b u t a l s oo v e r c o m et h ed e f e c tw h i c hs i n g l ew a v e l e tc a n ts i m u l t a n e o u s l yp o s s e s s s y m m e t r y , o r t h o g o n a l i t ya n dc o m p a c ts u p p o r t m u l t i - w a v e l e t sc a ns i m u l t a n - e o u s l yp r o v i d ep e r f e c tr e c o n s t r u c t i o n ，w h i l ep r e s e r v i n gl e n g t h ，g o o dp e r f o r m a n c e a tt h eb o u n d a r i e s ，a n dah i g ho r d e ro fa p p r o x i m a t i o n h e n c e ，m u l t i - w a v e l e t s r e c e n t l yw e r ew i d e l yu s e d i nt h i sp a p e r , w a v e l e tf u n c t i o na n dm u l t i w a v e l e t sf u n c t i o n sa r ec o n s t r u c t e d b yu s i n gs o m er e l a t e dp r o p e r t i e so f t h et h e o r yo fw a v e l e ta n a l y s i sa n dt h et h e o r y o ft h er e p r o d u c i n gk e r n e l t h ew a v e l e tf u n c t i o na n dt h em u l t i w a v e l e t sf u n c t i o n s h a v em a n yg o o dp r o p e r t i e s t h ew a v e l e tf u n c t i o nc a nb eu s e dt or e c o n s t r u c tt h e b o u n d e df u n c t i o n so f r ( r 1a n dt h em u l t i w a v e l e t sf u n c t i o n sc a nb eu s e dt o d e c o m p o s et h e h i l b e r t s p a c e 础( o ，1 ) ，w h i c h g i v e s an e wm e t h o do f d e c o m p o s i t i o no fg e n e r a ls p a c e c o n c r e t e l y , t w oa s p e c t sa r ef i n i s h e d i nt h i s t h e s i sa sf o l l o w s ： f i r s t l y , o nt h e b a s eo ft h er e p r o d u c i n gk e r n e lo fs o b o l e vh i l b e r t s p a c eh ( r ；a ，b ) ，t h er e p r o d u c i n gk e r n e lo fs o b o l e vh i l b e r ts p a c eh ”( r ；a ，b ) i sd e r i v e df r o m c o m p u t i n g t h ec o n v o l u t i o no ft h er e p r o d u c i n gk e r n e l f u r t h e r m o r e ，w ed i s c u s sr e l a t e dp r o p e r t i e so ft h er e p r o d u c i n gk e r n e lo fs o b o l e v h i l b e r ts p a c eh “( r ；a ，b ) a n dg i v eac l a s so fw a v e l e tf u n c t i o no nt h eb a s eo ft h e r e p r o d u c i n gk e r n e l s t h er e p r o d u c i n g k e r n e lo fs o b o l e vh i l b e r t s p a c e h “( r ；a ，6 ) i ss y m m e t r i ca n dh a so d do r d e rv a n i s h i n gm o m e n t ；t h ew a v e l e t f u n c t i o ni sa n t i s y m m e t r i ca n dh a se v e no r d e rv a n i s h i n gm o m e n t f i n a l l y , w et h e b o u n d e df u n c t i o n so f r ( r ) i sr e c o n s t r u c tb yu s i n gt h ec l a s so f w a v e l e t ， s e c o n d l y , t w os c a l i n gf u n c t i o n sa r ec o n s t r u c t e do nb a s e so fb e t af u n c t i o n s o n ef u n c t i o ni ss y m m e t r i c ，t h eo t h e ri sa n t i s y m m e t r i c t h ev e c t o rg e n e r a t e db y t h et w os c a l i n gf u n c t i o n ss a t i s t i e sr e f i n e m e n te q u a t i o n s oac l a s so fm u l t i - w a v e l e t sf u n c t i o n sc a nb ec o n s t r u c t e do nt h eb a s eo ft h et w os c a l i n gf u n c t i o n s i i - 哈尔滨理t 大学理学硕：仁学位论文 t h em u l t i w a v e l e t sf u n c t i o n sa r es u p p o r t e do n 【- l ，l 】，a n do n ew a v e l e tf u n c t i o n i ss y m m e t r i c ，t h eo t h e ri sa n t i s y m m e t r i c t h es u p p o r t e dm u l t i - w a v e l e t s f u n c t i o n sa r et h e na d a p t e dt ot h ei n t e r v a l 0 ，1 】f i n a l l y , w eu s et h em u l t i w a v e l e t sf u n c t i o n st od e c o m p o s et h eh i l b e r ts p a c e 硪( o ，1 ) k e y w o r d sw a v e l e t ，r e p r o d u c i n gk e r n e l ，m u l t i w a v e l e t s ，b e t af u n c t i o n i i i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文一种多小波的构造，是 本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作 所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或撰 写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以明 确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 名霜露y ，- 。， 同期：2 0 0 8 嘭穆日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 0 ) 。这时重构公式为 ( x ) = 专r e 厂( 口，6 ) 虬，。( x ) 如 事 ( 2 - 1 4 ) 其中q ：2 f 掣国。 2 4 多分辫率分析 如果有一个正交小波，它的二进尺度伸缩平移函数族 。( z ) ：2 y ( 2 - ；x - k ) 歹，七z 构成r ( 尺) 的正交规范基，即r ( 尺) 可由，。( x ) 线性张成 r ( 尺) = 咖f 蚧。( x ) ；歹，七z 进而任何函数厂( 石) r ( r ) 可以展开为二重求和的小波级数 哈尔滨理- t 人学理学硕：f ：学位论文 厂( x ) = 乃。( x ) ，；k = - - 其中嘭j - - ( i ，吩。) ，将上式改为 厂( x ) = 毋( x ) = 嘭。吩j ( x ) 其中毋( x ) = 乃，。吩。( 石) 。可以看出，g j ( 工) 是信号i ( x ) 中含有的以第级 小波的平移函数族为基的展开式，可简称为f ( x ) 的第_ ，级小波分量。于是 可以定义由 少肚，k z 线性张成的空间 = c l o s f t ( x ) ，k z j 为j 级小波空间。它是r ( 只) 的一个子空间，r ( r ) 空间可分解为各级小波 空间的和，即 ( r ) = + 矿i + w 0 + 彤+ ( 2 一1 5 ) 在沙( x ) 是正交小波的情况下，由于它们的基是相互j 下交的，所以各小 波空间也是相互正交的。因而，基于正交小波，r ( 尺) 可被分解为小波空间 的j 下交和，即 r ( r ) = o 矿。o o o ( 2 - 1 6 ) 虽然从理论上看，公式( 2 1 5 ) 和公式( 2 1 6 ) 的分解完美，但从信号 分析的实践来看，小波展开式的双重无限和是难以实现的，且对于实际信号 而言，其最高频率总可以认为是取有限值，所以在正整数域中取值的上限总 是有限的，而一个实际信号可以含有任意低的低频成分。因此为了获得 i ( x ) 中的低频信息，小波展开式中的j f 在负整数域中取值至，一硼是不可 避免的，除非能将f ( x 1 中的低频成分用另外一类基函数作展开。这样就引 入尺度函数，尺度空间及多分辨率分析等一系列概念。 定义2 2函数( f ) r ( r ) 为尺度函数( s c a l ef u n c t i o n ) ，若其整数平 移系列苁( t ) = ( f 一七) 满足 ( 九( f ) ，九( f ) ) = o - a ，k , k z 定义2 3 尺度函数矽( f ) 在平移的同时又进行尺度伸缩，得到一个尺度 和位移均可变化的函数集合 ， 办t ( f ) = 22 矽( 2 t 一后) = 纯( 2 。f ) 则称每个固定尺度j 上的平移系列咴2 - f ) 所张成的空间巧为尺度空间 = c l o s d 办，t ( f ) ，k z ，_ ，z 哈尔滨理t 大学理学硕i 二学位论文 定义2 4 多分辨率分析是指满足下述性质的一系列闭子空间 巧) ，e z 1 ) 一致单调性：c c 巧c c 眨ic 7 圪2 ； 2 ) 渐近完全性：n 匕= 0 ：u 巧= r ( r ) ； 3 ) 伸缩规则性：厂( f ) 巧营1 ( 2 t ) ，z ； 4 ) 平移不变性：i ( t ) jf ( t - n ) 虼，对所有咒z ； 5 ) 正交基存在性：存在缈，使得 缈( f n ) 以是的正交基，即 上妒( f 一力) r p ( t - m ) d t = 既及= s p a n 缈( t 一甩) 其中，j 下交基存在性条件可放宽为r i e z e 基存在性，因为r i e z e 基可构造出 一组正交基来。 由多分辨率分析概念知，矽( f ) ， f ，( f ) 分别为尺度空间v o 和小波空间w o 的 一个标准正交基。又由于r oc 矿，w oc 圪。，所以( f ) ，( f ) 也必然属于 圪，故痧( f ) ，v ( t ) - s m 圪。的正交基丸( f ) 线性展开 矽( f ) = ( ，z ) 正。，。( f ) = 2 ( ，z ) ( 2 f 一九) ( 2 - 1 7 ) ( f ) = 啊( 刀) 丸( f ) = 2 扛( 以) ( 2 f 一刀) ( 2 - 1 8 ) 其中( 咒) = ( f ) ，丸。( f ) ) ，啊( 以) = ( 沙( f ) ，丸。( f ) ) ， 1 8 ) 为二尺度方程。 2 5 正交多小波 称公式( 2 1 7 ) 和公式( 2 由于多小波具有更大的自由度和灵活性，因而也成为人们用以解决正交 单小波与同时具有正交性、对称性、紧支撑性等多种性质之间矛盾的一种方 法。 所谓正交多小波系统是指相应的多尺度分析不止由单个函数生成，即它 相应的尺度函数不止一个函数，而是由多个函数构成的函数向量，相应的小 波也是由多个函数构成的函数向量。首先给出，重多分辨率分析的概念。 定义2 5 如果 1 ) r l 巧= 0 ：u 巧= l 2 ( r ) ； 2 ) lc i ，w z ； 3 ) i ( t ) 巧f ( 2 t ) 巧+ l ，w z ； 4 ) 存在，个所谓的正交尺度函数丸( f ) ，确( f ) ，诈一。( t ) 使得 哈尔滨理丁大学理学硕十学位论文 谚( t - k ) ，k z ，i = o ，l ，r - 1 构成r o 的标准正交基， 称r ( 足) 中的闭子空间串 y ，) ，e z 为r ( r ) 的，重多分辨率分析。 设 巧) 膨为亭( r ) 的，重多分辨率分析，( f ) = ( 死( f ) ，磊( f ) ，秀一。( f ) ) 。 为相应的正交尺度函数，、l ，( f ) = ( ( f ) ，( f ) ，孵一( f ) ) 相应的正交小波函 数，相应的二尺度方程为、 o ( t ) = 2 h , o ( 2 t - k ) ，甲( f ) = 2 g 。v ( 2 t - k ) 其中巩= ( “，) 。s p 时i q = ( 乳舯，0 钆时- l k e z 均为，的数量阵。尺度 函数( f ) 和小波函数吵( f ) 在下面的意义下正交 i 工九( f ) 破，( 卜七) 出= q o o t 上( f ) 虮( f 一七) 出= ，o - o j i 工屯( f ) 虮( f - k ) d t = o 定! ； 如下正交投影算子 其中 ，：( f ) ：2 ；屯( 2 ，卜后) j c ，文f ) ：2 ；( 2 q - 七) 吃= ( 厂，蝶) ，d 氖= ( ，彬。) 相应的正交多小波的分解算法和重构算法为 1 ) 分解算法 2 ) 重构算法 吃：压r - i 蹦帅略。， p e z p = o 眼：压r - ig ， ( 脚) r + 芦略。， 雕z p = o 住 枷 矽。 出， 一脚 数脚醒一 h氍 女 缘扣 l 似 ，ir10 戥鼍泛一 残脚 一。产 卜寸 劲 q ，)a：、 刖，o ( 哈尔滨理_ t 人学理学硕一l ：学位论文 靠，j ：压r - i 吒，( h ，) r p + 压r - i 邑( h ，卜，p ( 2 - l9 ) p e zu - - op e z 1 = 0 2 6 本章小结 本章首先从傅立叶变换入手，讲述了傅立叶变换、窗口傅立叶变换及小 波变换在信号处理中的作用，突出了小波变换具有良好的时频分析能力的优 点。其次，介绍了连续小波变换、多分辨率分析和正交多小波的概念，通过 这些知识点的学习，使我们更清楚地了解小波、多小波的优点。这些内容是 下文的研究基础，对本文的进一步研究起着很重要的作用。 哈尔滨理工人学理学硕一 ：学位论文 第3 章基于再生核的小波函数 随着小波分析理论的兴起，再生核理论越来越引起社会各领域学者的关 注。因为再生核h i l b e r t 空间是连续小波变换的基础，对连续小波变换的重 建起着很重要的作用。但以往只是对小波的像空间是再生核空间进行研究， 而在本章中，一类基于再生核的小波函数将被构造，这类小波函数具有许多 良好的性质。 3 1 再生核的定义和i 生质 定义3 1 设x 为一抽象集，为h i l b e r t 空间，厂为定义在抽象集x 上 的函数，k ( x , y ) 为定义在x x x 上的函数，称k ( x ，y ) 为日的再生核，如果 七( y ) 满足以下两个条件 1 ) vx x ，k ( x , e ) h ； 2 ) v 工x ，f h ，( 厂( y ) ，k ( x ，y ) ) = 厂( x ) ( 再生性) 。 定理3 1 设x 为一抽象集，为h i l b e r t 空间，厂为定义在抽象集x 上 的函数，那么再生核k ( x ，y ) 存在当且仅当f ( y ) 为日上的有界线性泛函。 性质3 1 再生核具有惟一性。 性质3 2 设f 岛 是日的一组标准j 下交基，那么日的再生核为 七( 五y ) = e i ( x ) e i ( y ) ( 3 1 ) f 性质3 3 设k ( x ，y 1 是h i l b e r t 空间日的再生核，那么 0 k ( x , y ) l l ，= 扛( y ，y ) ( 3 - 2 ) 其中，范数是由内积引入的，即。= ( ，) ：2 性质3 4 设k ( x ，y ) 是h i l b e r t 空间日的再生核，则当z 专f ( 弱) 时， 必有z 专厂( 逐点) ：如果j | ( 而j ，) 在五cx 上有界，那么z _ f ( 在五上 一致) 。 性质3 5 再生核具有正定性，即对薯，艺，x 及复数a l ，口2 ，a n ， 总有 尼( 薯，而) 动，o ( 3 3 ) i ， 性质3 6 设k ( x ，y ) 是h i l b e r t 空间日的再生核，则有 哈尔滨理t 大学理学硕上学位论文 k ( x ，工) o ，七( 毛少) = 七( y ，工) l k i x , y ) 1 2 七( x ，x ) k ( y ，y ) 性质3 7 设q 是h i l b e r t 空间日的子空间，k ( x , y ) 是h i l b e r t 空间q 的 再生核，那么 ( y ) = ( 厂( x ) ，k ( x ，y ) ) h 给出了日在子空间q 上的投影。 定理3 2 设q ，皿是同一个集合x 上的两个h i l b e r t 空间，其范数分别 为i | | i ，i | | | ：，毛( x , y ) 和k 2 ( x , y ) 分别为q ，鸩的再生核， 那么 k l ( 五y ) + 也( x ，y ) 为所有形如厂= z + 五，z h i ，五h 2 的函数所形成的 h i l b e r t 空间h 的再生核，其范数为i i s l l 2 = m i n | l 石i | 2 + 0 五峨，直和 h = h io 鸩的再生核为 七( 五，恐，y l ，y 2 ) = k l ( 而，m ) + 如( x 2 ，y 2 ) 定理3 3 设日为x 上以k ( x , y ) 为再生核的h i l b e r t 空间，s ( x ) 为x 上的 非零复值函数，那么t ( 工，j ，) = s ( x ) j ( j ，弦( 工，y ) 为h i l b e r t 空间以的再生核， 其中 只= z ( x ) ：z ( x ) = ( 石) s ( x ) ，厂( 石) h ( 凰) 以2 ( 手，譬 3 2s o b o l e vh i l b e r t 空i 司h 1 ( r ；a ，b ) 的再生核 定义3 2 h ( r ；口，6 ) = 甜：材在r 上绝对连续，”，“c ( r ) ，q b o ，内积 为 ( 州- - 工( 口2 z n ，+ 6 2 wd x , u , v 日( 尺；口，6 ) s o b o l e vh i l b e r t 空间h 1 ( r ；a ，b ) 的再生核为 叫w ) 2 a b 加= 去工筹国 定理3 4 令毛( x ) = 去声，则其傅立叶变换( 缈) o 石( 国) = 毛( x ) e - l x d x ： 证明 上【p 扣出： 哈尔滨理工人学理学硕仁学位论文 去一舛出+ 少卜斗 3 3 基于再生核的小波函数 + 时 令 恕( x ) = ( 毛木毛) ( x ) = 工向( r ) 毛( 川涉= 去妒扣 那么有如下定理 定理3 5 令( x ) = 屯( 石) ，则( x ) 为t , 2 ( r ) 中的一个小波母函数。 证明由于如( 工) 在( 咱，佃) 上连续，且当i x l 一佃时，也( 工) 寸0 ，则由 傅立叶变换的微分性质有 = ，国= 弘2 丙j 两c o 所以有 气= 2 万e ( 弘) 2 一万亡与盟一万r 莓矛彩 设u = a 2 c 0 2 + 6 2 ，则上式可写为 4 万r 忡1 2 万 孬j 1 2 胪3 a 2 b 6 即( 工) 为p ( r ) 中的一个小波母函数。 1 9 帅 墙、i 0 h 1 一泐 o 1 一 - + 一 一 酗 j6一口 一泐 一泐 一+ 1 一+ 去口亡口 一6 6 一孙 一孙 一| 耋 生睁 上m 哈尔滨理- 丁大学理学硕。卜学位论文 推论3 1 令 吒( 工) = ( 毛幸吒一。) ( 石) = = ( 七。k l 幸墨) ( 工) ( 刀 1 ) ， l 不一 则吒( 工) 为r ( r ) 中的一个小波母函数。 定义3 3 h “( r ；口，6 ) = “：”，“，“( 卜1 在r 上绝对连续， ，“，“ 三2 ( r ) ，a ，b 0 ，内积为 ( 州) = 工秽出 其中，c ：= q 口2 i ”f ) 6 甜，( i = o ，l ，以) 。 足埋3 6 吒【x ，j ，j 2 吒i x y j 为h ”【尺；口，6 j 阴丹生核。 证明 ( 厂( x ) ，吒( ) ) 州晰) = 工窆i = og 气石) 吼工一y 胁= 窆i = og ( q x ) ，吼石一y ) ) 卿，2 喜罢( ( 国) ，印( 缈) e 一抑) 即，= 喜丢( ( 归) 7m 捌e ( 缈) p 一抑) 卿，= 上2 n r 。置，= 百去万b + a 2 0 ) 2 y ( 6 2 + 口2 国2 ) ” 7 | 1 。 ，工2 f 鼻l 去( 7 ( ) 御) 印，= 去7 ( 缈) e j d 国= m ) 故吒( y ) 为日”( 尺；口，b ) 的再生核。 性质3 8 吒( 石) 是对称的；当万 l 时，吒( x ) 是反对称的。 2 0 哈尔滨理r t 大学理学硕：l 学位论文 证明因为霸( z ) = 岛( 一石) ，而吒( 工) = ( 毛木毛毛) ( 工) ，所以 l 不一 鼬2 瓦研1 = 和) 即吒( x ) = 吒( 一石) 。同理可证吒7 ( 石) = 屯- - x ) 。 性质3 9 屯( x ) 具有奇数阶的消失矩，当n 1 时，乞( x ) 具有偶数消失 矩。 证明由性质3 8 易得 ，斛1 包( x = o 工2 ”吒( 工皿= o 坼) = 坼) 吲垆丽1e 书( 2 + 矿a 2 + 万3 ah + j 1x 2 ( 3 - 4 ) 当1 2 b 0 时，令 ( x ) = 乞( x ) ，( x ) = 毛( x ) 那么( 工) ，( x ) z ( r ) ，( 工) 可微，“( 工) r ( r ) ，v 3 ( x ) z ( r ) ， ( 0 ) = ( o ) = o ，且 = 2 万e 疚( 缈厩1 0 , ) 1 0 , i d o ) - 2 xf - r 一 一l i ( 口2 0 3 2 + 6 2 ) 2 ( 口2 0 3 2 + 6 2 ) 3 圳d 缈： -l 2 万e 器国= 锄r 高钾舻 4 万f 方缈= 三2 a 2 b 8 所以有如下定理 定理3 7 如果厂( 工) r ( 尺) 是有界的，。则 弛) = c - i 投 如砉肌鹾6 ) 蜡j 舭 证明可重写公式( 3 4 ) 等号右边的式子如下 2 1 哈尔滨理t 大学理学硕1 ：学位论文 厶x ) = 帕一 南吉ee 厂( y ) h ( 孚_ ( 等) 施批= 爿卅王 “ 。 。 7 i ：吮以( x - y ) ( y ) d y 其中 心“x ) 2 。1 如奇亡沙：( 孚p ( 孚 m ，如( x ) 的傅立叶变换为 a 蝴万) ；- i 如亩苡( 叫丽= 露( 纠一面( 纠 衍( 小( 2 万) ；1 k 玉南丽 因为口疚( 口) r ( 尺) ，且疚( 口) 有界，所以 3 c ，l 缈l - _ -l 又因为c k 帕 ，m 是有界的，所以 ， p ( 缈) | c o + 专 当缈o 时，西( 缈) 可微，所以 石dm a ( 彩) = ( 2 万) ；帕- i 南降) 丽+ 确丽 当删时， 丢衍( 彩) i 枷- o 故衍( 国) 可微。 由粥z ( r ) 得 防( 缈) | - 防( 缈) 一苡( o ) i c 工出l e - j x - l k ( 缈) i c h 工出i 粥( 国) | c h 所以老衍( 缈) r ( 尺) 。 2 2 如 0 一 口 ，m ，。l jpj 出 0 一 上盯，制 ， 廿 c 一 一： 一m 哈尔滨理+ t 人学理学硕士学位论文 工阻( 工) b 缸( + 工z ) 一1 出于 工( - + x z ) 陋( x ) 1 2 出 - i c 丘( i 砑c 彩，1 2 + i j 衍( 国，1 2 d 国 i 删= ( 2 万) ；哳1 岫鳓丽= ( 2 石) a p 上m ( j 胁= 1 因为 厶。如( z ) = i ：者m ( 寻少( y ) 砂一e 专m ( 寻p ( y ) 咖 所以当4 一o ，如果厂( x ) 有界，则第一项趋于厂( x ) ：第二项的界为 峙1m ( 寻灿荆爿咖皿m ) 1 2 咖卜 4 i i gl l 2i i f l l f - c a j 当以0 0 时，这一项就趋于0 。 3 4 本章小结 随着小波分析理论的兴起，再生核理论越来越引起社会各领域学者的 关注，因为再生核h i l b e r t 空间是连续小波变换的基础，对连续小波变换的 重建起着很重要的作用。但以往人们只是注意到小波变换像空间是再生核 h i l b e r t 空间。在本章中，一类基于再生核的小波函数被构造，这使得再生 核与小波的联系更加紧密。 哈尔滨理t 人学理学硕? 卜学位论文 第4 章基于函数的多小波的构造 本章将利用函数构造一种紧支撑的多小波，这种多小波不但在【- 1 ，1 】 上支撑，且一个小波对称，另一个小波反对称。在本章中，酬( o ，1 ) 表示由 【o ，l 】上所有绝对连续函数u ( x ) ，且”( o ) = “( 1 ) = o 构成的集合在n ( o ，1 ) 中的 闭集。其中，日( o ，1 ) 是由【o ，l 】上所有绝对连续函数构成的函数空间。 4 1 函数 函数是近几年来神经网络中经常用到的一种函数，由文献 4 5 】，【4 6 】 知，函数的定义如下 定义4 1 称如下的函数为函数， 胙舭) ：i f x x o ，( 蓑) 叫】 1 0其他 其中，p , q z ，x o 五，t = p x i + q x o 。 函数具有许多良好的性质，例如 ( 而) = ( ) = o ( 艺) = 1 坐d x x - - 瓣胙) 一：= - - - - - - - - - - - - - 二一，) i ri (而) ( 一工) 一7 4 2 由函数构造尺度函数 拍 = 0 上节给出了函数的定义及一些性质，这节将利用函数构造如下两个 尺度函数 办( x ) = ( x , l , l , - 1 , 1 ) = - x + 1 , j x 尺6 【- 一1 。, ，三 哈尔滨理t 大学理学硕：b 学位论文 噍( 工) = 4 f l ( 吼11 o 1 0 ) 一f l ( x , 1 l ，一1 ，o ) 1 = 一工2 + 而工( o ，1 x - 10 】 f 工2 + 毛 ，】 10 x r - i ，1 】 尺度函数办( x ) ，欢( 工) 的图像分别如下 图4 - 1 尺度函数办( x ) f 培4 - 1s c a l ef u n c t i o n 萌1 ( 工) 图4 - 2 尺度函数唬( 工) f i g 4 - 2s c a l ef u n c t i o n 2 ( x ) 2 5 哈尔滨理工大学理学硕一卜学位论文 显然，尺度函数磊( 工) ，欢( 工) 都是绝对连续函数，且 氟( 0 ) = l ，欢( 0 ) = o 因此，绝对连续函数( x ) 有如下插值公式 ”( x ) = 厂( _ ，) 识( z j f ) j e z i l l 即“( 七) = ( 后) ，k e z 。 设( x ) = ( 办( x ) ，欢( 工) ) 7 ，那么有如下定理 定理4 1 向量( z ) 满足如下的向量细分方程 i ( z ) = a ( j ) q j ( 2 x - j ) ，x er 其中，a ( - i ) = 一三o 8 1 ，、 一 u 1 6 r l ，口( o ) ：l 、7 10 l 口( 1 ) = 3 一一u 8 三o 1 6 因为矽( x ) 是可细分的，所以有如下定理 定理4 2 设墨= g ( 2 石) ：g ( z ) s ，s 是由秭( 工) ，欢( 工) 生成的平移不变 空间，即 r1 s = g ( 工) ：g ( x ) = h 破( x - - _ ，) + 6 2 唬( x 一歹) ，6 i ，岛为z 上的两个序列 t，5 2 j 那么sc s ，。 4 3 基于函数的多小波 在这节中，将寻找一个小波空间形使得s 是s 和形的直和， 两个函数( 石) 和( z ) ，使得它们的平移生成。l l 七j l , ，还要求 ( ( 工) ，九7 ( 工一_ ，) ) = ( ( 工) ，丸( 工一) ) = o ，所= l ，2 ，z 希望存在 ( 4 - 1 ) 少( 工) = 岛( 后) 办( 2 工一七) + 岛( 七) 欢( 2 石一后) ，x er 那么，对于w z 有 ( y 7 ( x ) ，办( 工一硝= 一缸8 6 l ( 2 _ ，一2 ) 一8 6 。( 2 川) 一s b 。( 2 j ) 一8 岛( 2 川) + 8 6 i ( 2 + 2 ) 一6 2 ( 2 j 一2 ) + 6 2 ( 2 + 2 ) 哈尔滨理- 丁大学理学硕十学位论文 ( 吵( 石) ，唬( x 一硝= 其中，( “7 ( x ) ，v ，( x ) ) = e “( x ) y ( x 皿。 那么 对于v z c o ，令 当且仅当 q l i ( z ) = b l ( 2 y + 1 ) z 2 j + , q 。：( z ) = 6 i j t zj e z q 2 , ( z ) = 6 2 ( 2 + 1 ) z 2 p 1 ，勤( z ) = 如 ，e z ( 2 j ) z 2 ， ( 2 j ) z 2 7 ( 缈( 工) ，九( 工一硝= o 朋= 1 2 ，! z 口( z ) ( 吼。( z ) ，q ，：( z ) ，9 2 。( z ) ，吼：( z ) ) r = o z c o ( 4 2 ) 其中，b ( z ) = - 8 z - 8 z - 8 2 2 2 z - ：一8 + 2 2 8 屯z - 2 三一z - ：z + 2 + z z - z 2 之 。 由公式( 4 2 ) 可得到如下两个无关解 批一善z 量=r一吉z辜吾z-i 由上面的两个无关解可得到如下两个多小波 2 7 芍旷研川姒 2 一 蹶 巧 卜，l 卜吃 l 2 ，卜 q 乞 昭 巧分也 一l ， ， 2 2 卜 州叶弘驰 哈尔滨理工人学理学硕j ：学位论文 ( x ) = 欢( 2 x + 1 ) 一九( 2 工一1 ) = 4 x 2 + 6 z + 2 ，工 一，一三 搿也石( 刊 4 x 2 + 2 x ，x m l2 j 4 x 2 6 x + 2 ， 工( 兰， 0 x r - 1 ，1 】 ( 石) = 否1 ( 2 石+ 1 ) 一i 1 办( 2 x 1 ) + 唬( 2 工) = 两个多小波的图像分别如下 一1 2 ，一三2 x ， ， 73 i r + 一2 而 2 73 一i r + j 五22 。 1 2 x 2 i 1 五22 。 o x 一- ，一丢 x ( 割 卟爿 x 钞 x c r - i ，1 】 图4 - 3 小波函数( 工) f i g 4 - 3w a v e l e tf u n c t i o nq l ( x ) 一2 8 哈尔滨理t 大学理学硕一 ：学位论文 图4 - 4 小波函数( 工) f i g 4 - 4w a v e l e tf u n c t i o n5 f ，2 ( x ) 由构造过程知，( x ) 和少：( 工) 多在【- 1 ，l 】上紧支撑，它们满足公式( 4 - 1 ) ，且它们的平移生成小波空间形使得s l 是s 和w 的直和。此外，( x ) 是 对称的，( x ) 是反对称的。 4 4 区间上的多小波及空间分解 在这一节中，将利用上节构造的多小波来构造h i l b e r t 空间础( o ，1 ) 的小 波基。 设圪是由函数1 ，组成的线性空间，其中，磁( o ，1 ) 且 飞舌等) 昱寺等) ，= o 1 ，2 ”- 1 这里最表示阶数不超过k 的多项式，k 为非负整数。那么圪的维数为2 肿1 ， 且 巧c 匕c ch o ( o , 1 ) ，c l o s f ( u 嚣。v ) - - o ( o ，1 ) 设 q ( 工) = 破( 2 “工一1 ) ：= l 2 ，2 i 1 ) u 唬( 2 x - j ) ：= 0 , 1 ，z , x e ( 0 1 ) 甲。( x ) = ( 2 ，l x - 1 ) ：，= l 2 ，? 一1 ) u ( ? 石- j ) ：j = o , 1 ，? ，z ( 0 ，1 ) 那么。( x ) 为圪的基，如果哌是由甲。( x ) 张成的，那么甲。( x ) 为呢的基， 且形的维数为2 叶1 。 定理4 3 空间圪+ 是圪和吃的直和，即 哈尔滨理- t 大学理学硕l ：学位论文 匕+ i2 圪彬 证明首先，证明下式成立 fw ，( x ) v 7 ( x ) 出= o w ( x ) 甲。( x ) ，y ( 工) 西。( z ) ( 4 - 3 ) 假设 w = 孵( 2 “x - - j ) , r e 1 ，2 ，1 州2 一，2 ”一l 那么炸( 2 ”工一j ) 在区间【o ，1 】上紧支撑。因此，对fs = l ，2 ，七z 有 f ( 2 “x 一_ ，) 以( 2 4 x 一七) 出= 【”( 2 4 x 一_ ，) 九2 x - k ) d x = o 其中，第二个式子可以由公式( 4 - 3 ) 得到。同理，当 v = 九( 2 ”x - k ) ，s 1 ，2 ，七 1 ，2 2 ，2 4 1 时，公式( 4 3 ) 成立。那么要证明公式( 4 3 ) 成立，就只剩下下面两种情 况 w = l f ，：( 2 “x 一吐歹 o ，2 4 ，z ( o ，1 ) v = 唬( 2 ”x - k ) ，j | o ，2 ” ，x ( o ，1 ) 如果 、 ，= 0 ，k = 2 “或= 2 ”，七= o 那么 v ，( x ) w ，( 石) = o ，x ( o ，1 ) 因此公式( 4 3 ) 在这种情况下成立。 假设j = 七= o ，因为( 工) ，：( z ) 都是反对称的，所以( x ) ，唬( x ) 都是 对称的。因此，( x ) 杉( x ) 是对称的。于是有 ( 工) 红( 工) 出= f ( x ) 晚( 石) 出 但由公式( 4 1 ) 知 f 1 ( x ) 欢( z 炒= 0 所以 f ( 石) 硝( 工= 0 f 7 ( 2 “工) 唬( 2 4 x ) 出= 2 一”f ( 工) 欢( 工) 出= o 因此，当 w = ( 2 4 x ) ，v = 吮( 2 4 x ) ，工( o ，1 ) 3 0 哈尔滨理t 大学理学硕l ：学位论文 时，公式( 4 - 3 ) 成立。类似的，司以证明当 w = ( 2 ”x - 2 ”) ，= 唬( 2 “x - 2 “) ，x ( o ，1 ) 时，公式( 4 3 ) 成立。 由公式( 4 3 ) 得 f ( z ) v 7 ( 工= 0 ，w ( x ) 呢，v ( 工) 匕 所以圪n 形= 0 。又因为 圪+ l2 圪+