（基础数学专业论文）关于poisson几何里的dirac约化.pdf

摘要 p o i s s o n 几何中的个非常重要的结果和应用即通过利用矩映射等进行p o i s s o n 结构和辛结构的约化进而得到对称力学系统的约化这些约化方法在其可应用的系 统类型上有一定的局限性，比如其不能应用于不完整约束系统等，而d i r a c 结构 恰可以用于分析此类以及其它一些微分与代数方程等系统的相关问题另外，关 于d i r a c 结构的讨论在引入了特征对和对偶特征对等概念以后变得更加清晰、简洁 因为引入d i r a c 结构的个基本目的即应用于一些力学系统的约化，本文详细地讨 论了d i r a c 结构的约化问题，包括其在p o i s s o n 流形以及j a c o b i 流形等的约化中的 重要应恳重点利用了d i r a c 结构的特征对以及对偶特征对的工具从而避开了讨 论矩映射的存在性以及容许函数等一些复杂概念的介入 本文在李双代数胚上，引入了d i r a c 结构的特征对并给出对偶特征对的概念。 利用对偶特征对，给出李双代数胚d o u b l e 的极大迷向子丛是d i r a c 结构的充要条 件；其次。分别利用特征对与对偶特征对，将可约d i r a c 结构分为第一类可约与第 二类可约在此基础上，建立p o i s s o n 流形的两类对应约化定理这些约化理论绕 开了传统的借助于矩映射等复杂工具进行p o i s s o n 作用与p o i s s o n 流形、预辛流形 等的约化，并且明确指出约化p o i s s o n 流形以及预辛流形上的约化p o i s s o n 结构以 及预辛结构与原流形上的对应结构之间的关系，使得约化问题解决的更加简洁、直 观同时给出了对应的应用和例子 关于j m o b i 双代数胚，类似地引入了j a c o b i - d i r a c 结构及其特征对和对偶特征 对的概念利用对偶特征对，给出j a c o b i 双代数胚d o u b l e 的极大迷向子丛是j a c o b i d i r a c 结构的充要条件；再利用特征对与对偶特征对，将可约j a c o b i - d i r a c 结构分为 第一类与第二类可约在此基础上，建立j a c o b i 流形的两类对应约化定理，并且给出 了约化j a c o b i 流形上的约化j a c o b i 结构的具体形式以及其与原流形上的j a c o b i 结 构之间的对应关系这些约化过程绕开了利用容许函数或其它代数工具进行j a c o b i 流形等的约化 关键词：p o i s s o n 流形 j a c o b i 流形李双代数胚 j a c o b i 双代数胚d i r a c 结 构特征对约化 a b s t r a c t i np o i s s o ng e o m e t r y , o i l eo ft h em o s ti m p o r t a n tr e s u l t si st h er e d u c t i o no f m e c h a n i c a ls y s t e m sw i t hs y m m e t r yb yr e d u c i n gp o i s s o ns t r u c t u r e sa n ds y m p l e c t i cs t r u c t u r e st h r o u g ht h eu s eo ft h em o m e n t u mm a p p i n g s t h e r ea r er e s t r i c t i o n s o nw h a tt y p eo fs y s t e m st h e s et e c h n i q u e sc a l lb ea p p l i e dt o ，e g ，t h e s er e d u c t i o n t e c h n i q u e sd on o ta p p l yt os y s t e m st h a ta r en o n h o l o n o m i c a l l yc o n s t r a i n e d d i r a c s t r u c t u r ew e r ei n t r o d u c e da sa l la t t e m p t e dt od e a lw i t ht h e s es y s t e m sa n do t h e r s y s t e m so fd i f f e r e n t i a la n da l g e b r a i ce q u a t i o n s m o r e o v e r ，t h ed i s c u s s i o no fd i r a c s t r u c t u r e si sm o r ec l e a ra n ds i m p l ea f t e rt h ei n t r o d u c i n go ft h en o t i o n so fc h a r a c - t e r i s t i cp a i r sa n dd u a lc h a r a c t e r i s t i cp a i r s s i n c eap r o p o s e da p p l i c a t i o no fd i r a c s t r u c t u r e si st ot h er e d u c t i o no fs o m em e c h a n i c a ls y s t e m s ，t h er e d u c t i o no fd i r a c s t r u c t u r e si sc o n s i d e r e di nd e t a i li nt h i sp a p e r ，w i t h o u tu s i n gt h ee x i s t e n c eo fm o - m e n t u mm a p p i n g so rt h ei n t r o d u c i n go ft h en o t i o no fa d m i s s i b l ef u n c t i o n ，e t c w ei n t r o d u c et h en o t i o no fc h a r a c t e r i s t i cp a i r sa n dg i v et h ed e f i n i t i o no fd u a l c h a r a c t e r i s t i cp a i r so fd i r a cs t r u c t u r e so nl i eb i a l g e b r o i d s u s i n gt h ed u a lc h a r a c - t e r i s t i cp a i r s ，w eg i v et h ei fa n do n l yi fc o n d i t i o n sf o rw h i c ham a x i m a l l yi s o t r o p i c s u b b u n d l eo ft h ed o u b l eo fal i eb i a l g e b r o i di s8d i r a cs t r u c t u r e b yt h ec h a r a c - t e r i s t i cp a i r sa n dd u a lc h a r a c t e r i s t i cp a i r so fd i r a cs t r u c t u r e s ，w ec l a s s i f yr e d u c i b l e d i r a cs t r u e t r r e si n t ot w oc l a s s e s ，i e ，r e d u c i b l ed i r a cs t r u c t u r e so fc l a s sia n dc l a s s i i ，o nt h eb a s i so fw h i c h ，w eg i v et w ok i n d so fr e d u c t i o nr e l a t i n gp o i s s o nm a n i f o l d s r e s p e c t i v e l y ，w i t h o u tu s i n gt h ee x i s t e n c eo fm o m e n t u mm a p p i n g s a 8ar e s u l t w e 百v et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h er e d u c e dp o i s s o ns t r u c t u r e so rp r e s y m p l e c t i cs t r u c - t u r e sw i t ht h ec o r r e s p o n d i n gs t r u c t u r e so nt h eo r i g i n a lm a n i f o l d s ，m e a n w h i l ew e p r e s e n ts o m ee x a m p l e sa n da p p l i c a t i o n s f o rj a c o h ib i m g e b r o i d s ，w ei n t r o d u c et h en o t i o n so fj a c o b i - d i r a cs t r u c t u r e s a n di t sc h a r a c t e r i s t i cp a i r sa n dd u a lc h a r a c t e r i s t i cp a i r si nt h es i n 1 i l a rw a y s u s i n g t h ed u a lc h a r a c t e r i s t i cp a i r s ，w e 百v et h ei fa n do n l yi fc o n d i t i o n sf o rw h i c hal a l 8 x - i m a h yi s o t r o p i cs u b b u n d l eo ft h ed o u b l eo faj a c o b ih i u l g e b r o i di saj a c o h i - d i r a c s t r u c t u r e a l s ob yt h ec h a r a c t e r i s t i cp a i r sa n dd u a lc h a r a c t e r i s t i cp a i r so fj a c o b i - d i r a cs t r u c t u r e s ，w ec l a s s i f yr e d u c i b l ej a c o b i d i r a ci n t ot w oc l a s s e s ，i e r e d u c i b l e j a c o b i - d i r a cs t r u c t u r e so fc l a s sia n dc l a s si i ，o nt h eb a s i so fw h i c h ，w eg i v et w o k i n d so fr e d u c t i o nr e l a t i n gj a c o b im a n i f o l d sr e s p e c t i v e l y , w i t h o u tt h ei n t r o d u c i n g o fa d m i s s i b l ef u n c t i o n s ，e t c a s8r e s u l t ，w eg i v et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h er e - d u c e dj a c o b is t r u c t u r e sw i t ht h ec o r r e s p o n d i n gs t r u c t u r e so nt h eo d g i n mm a n i f o l d s m e a n w h i l ew ea l s op r e s e n ts o m ee x a m p l e sa n da p p l i c a t i o n s k e y w o r d s ：p o i s s o nm a n i f o l d j 扯o b im a n i f o l dl i eb i a l g e b r o i dj 8 c o b ib i a l - g e b r o i d d i r a cs t r u c t u r ec h a r a c t e r i s t i cp a i r r e d u c t i o n 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果除文申已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体 巳经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体。均已在 文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 ) 人 学位论文作者签名t 纠i 亨匆 j o 日期t2 0 0 6 年4 月1 5 日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定。学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 学校图书馆被查阅有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的 学位论文在解密后适用本规定 、 学位论文作者签名：砌7 10 j 日期：2 0 0 6 年4 月1 5 日 第一章引言 p o i s s o n 流形的概念由l i c h n e r o w i c z 在【1 1 中引入流形m 上的一个p o i s s o n 结构是m 上的- 实值函数空间的李代效括号，使得其关于每一函数因子是一 个徽分引入此概念的主要动机之是p o i s s o n 流形在经典力学中有莺要作甩事实 上。p o l s s o n 括号在某些力学系统的研究中出现得很自然特别是在对称系统的限制 或约化系统中另外。p o i s s o n 几何与量子力学中的一些代数以及一般的非交换代数 也有关事实上，k o n t s e v i c h ( ( 3 9 ) 已证明任意流形m 的代数俨( m r ) 通常形变 的分类等价于m 上p o i s s o n 结构的般族的分类 几何地，p o i s s o n 括号 ，) 诱导了m 上的2 _ 向量场7 r ，满足 ，9 = ”( d ， d g ) ，”，g c 。( m ，r ) 因此， ，) 的j a c i b i 恒等式可以解释为条件i 丌 州= o ( 1 1 1 ) p o i s s o n 流形的两个典型例子是辛流形与李代数对偶上的l i e - p o i s s o n 结构事 实上，个p o i s s o n 流形由辛叶片组成，即其带有广义叶层结构一辛叶层结构，其 叶子是辛流形 与p o i s s o n 几何紧密联系的另一概念是李代数胚的相关理论流形m 上的李 代数题是m 上的个向量丛a ，其截面空间r ( a ) 带有李代数括号【，】，且存在丛 映射o ：a t m ，使其对应的c 。( f ，r ) - 模态射，也记为o ：r ( a ) 一影( m ) ，满 足l e i b n i z 关系，即 x ，y i = n ( x ) ( ，) y + ，f x ，y 】，v x ，y r ( a ) ，c 。( j l t r ) ( 【3 4 】) 李代数胚是切丛与有限维实李代数的自然推广另外，也有许多其它有用的 蜘子比如，一个p o i s s o n 流形m 的c 。- 实值函数空间上的李代数结构使得我们 可以在1 一形式空间上定义李括号使得余切丛r m 带有自然的李代数胚结构( f 2 2 1 ) 个李双代数胚口，a ) 是李代数胚a 且其对偶向量丛a 4 上也带有李代数胚结 构，并在某种方式下与a 上的李代数胚结构相容( 1 3 5 1 ) 李双代数胚推广了d r i n f e l d 的李双代数( 【4 6 】) 的概念李双代数胚的另一重要例子是对应于p o i s s o n 结构的具 体地说若m 是p o l s s o n 流形，带有p o i s s o n2 - 张量”，且在t m 上取标准的李代 数胚结构，p m 上取对应于7 r 的余切李代数胚结构，则对( 丁m ，p m ) 是个李双 代数胚，称为p o i s s o n 流形( m ，7 r ) 的切李双代数胚 2 第一章引言 尽管辛结构与l i e - p o i s s o n 结构是p o i s s o n 的，在经典力学中仍有许多有用的 结构，如接触结构，不是p o i s s o n 的p o i s s o n 流形的推广，连同接触流形的推广， 是j a c o b i 流形流形m 上的j a c o b i 结构是m 上的2 向量场a 与向量场r ，满 足 a ，a 】= 一2 r a 且( r ia 】一o ( 2 】) 若( 肛a ，r ) 是j a c o b i 流形，可定义函效 括号，即j a c o b i 括号，使得空间g 。( m ，r ) 上带有j a c o b i 括号，在k i r i l l o v 意义 下即局部李代数( 2 9 】) 反之，个沪( mr ) 上的局部李代数结构可诱导m 上 的j a c o b i 结构( 1 3 ，2 9 j ) j a c o b i 流形的典型例子。除p o i s s o n 流形、接触流形外， 还有局部共形辛流形( 1 c s ) 事实上，j a c o b i 流形带有广义叶层结构，也称为特征 叶层结构，其叶子是接触流形或h c _ s 流形( 1 3 ，2 9 】) j a c o b i 流形与李代数胚之问也有关系事实上，若m 是任意流形，则向量 丛t m r m 带有自然的李代数胚结构；若 彳是j a c o b i 流形，则i - j e t 丛p m r m 带有李代数胚结构( 【4 7 1 ) ( 对j a c o b i 流形m ，p m 一般不是李代数胚) 但 是对( t m r ，t m r ) 一般不是李双代数胚 向量丛上的j a c o b i 代数胚是李代数胚结构加上个1 闭链在发展了j a c o b i 代数胚的微分计算后，还可给出j a c o b i 双代数胚的概念( 是李双代数胚概念的推 广) ：j a c o b i 流形对应个标准的j a c o b i 双代数胚反之，在j a c o b i 双代数胚的底空 间上可自然地诱导出一个j a c o b i 结构另外，还可由j a c o b i 双代数胚构造出李双 代数胚，并且有对偶的结论 在物理学中，p o i s s o n 括号扮演着非常基本的角色从个流形m 得到p o i s s o n 代数的两个很自然的方式便是通过m 上的p o i s s o n 结构和预辛结构( 闭2 形式) ， 这两个结构都是c o 砒a n t - w e i n s t e i n 意义下d i r a c 结构的例子( 4 2 ，4 3 】) 流形m 上 的d i r a c 结构是w h i t n e y 和t m o t m 的子丛厶在t m o t + m 上自然的对称 配对下是极大迷向的，且l 的截面空间r ( l ) 在r ( t m o p m ) 望舅( m ) o q l ( m ) 上的c o u r a n t 括号( 即大括号) 下是封闭的若l 是m 上的d i r a c 结构，则l 带 有m 上的李代数胚结构且m 上诱导李代数胚的特征叶层兕的叶子是预辛流形 特别地，若d i r a c 结构由m 上的p o i s s o n 结构7 r 而来，则l 同构于对应于p o i s s o n 结构7 f 的余切李代数胚并且睨恰为m 的辛叶层结构( f 4 3 1 ) ， d o r f m e m 在f 2 l 】中利用李代数上复形的概念进行了d i r a c 结构的代数研究此 方法在般的h a m i l t o n 结构及可积性的研究中有广泛的应用其后，l i u ，w e i n s t e i n 以及x u 系统地给出了c o u r a n t 括号的性质并将其用于向量丛e m 上c o u r a n t 代数胚的定义中( 【5 2 ”一个自然的c o u r a n t 代数胚的例子是w h i t n e y 和e ： ao a ，其中对( a ，4 + ) 是m 上的李双代数胚另一方面，还可引入c o u r e m t 代数 3 胚上的d i r a c 结构，作为c o u r a n t 意义下d i r a c 结构的推广其后f 5 1 中建立了李 双代数胚与c o u r a n t 代数胚上横截的d i r a c 结构对之问的1 - 1 对应并且在【5 2 】中 还给出了d i r a c 理论在p o i s s o n 约化和p o i s s o n 群胚的齐性空间中的应用 p o i s s o n 结构与辛群胚之问的对应在p o i s s o n 几何中有着非常重要的角色特 别地，它给出了h a m i l t o n 与p o i s s o n 作甩的统一在 1 6 】中，作者将这种对应推广 到了通过个闭3 形式扭d i r a c 结构的对应研究中 具体地说，对p o i s s o n 流形( p 7 r ) 和预辛流形( p ，n ) 来说，其上的p o i s s o n 结 构”和疆辛结构n 的图像g r a p h ( t r ) 及9 r a p h ( f 2 ) 对于t p o p p 上的自然的对称 配对运算都是极大迷向的，且分别满足 丌，叫= 0 和d n = 0 于是对任意流形p ， v x + u ，y + p t p o pp 令 1 ( x + u ，y + p ) 士= 言( ( u ，y ) 士似，x ) ) 若lct p o rp 使l 在( ，) + 下是极大迷向的，则l 称为p 上的似d i r a c 结 构若l 还满足可积条件，即l 在f ( t p o p p ) 的括号运算【， o 下是封闭的，则 称l 为p 上的d i r a c 结构，( p ，l ) 称为d i r a c 流形其中 ， 0 定义为( 4 3 】) ： x + w ，y + p o = ，y 】+ 工x p l y u + d ( x + u ，y + p ) 一，v x + w ，y + p f ( t p $ t p ) 对于p o i s s o n 流形和预辛流形的情形，可积条件分别为阿，7 r = 0 和d n = 0 定义了d i r a c 结构以后。p o i s s o n 流形及预辛流形均成为d i r a c 流形的特例，从 而： ( 1 ) d i r a c 流形的所有性质都是p o i s s o n 流形和预辛流形所共有的性质； ( 2 ) p o i s s o n 流形的约化以及预辛流形的约化利用d i r a c 结构的理论可以得到 比较科学和清晰的概述 设( a ，小) 是任意的李双代数胚，在其上亦可以定义d i r a c 结构l 使得lc a o 小在对称配对运算( ，) + 下是极大迷向的，且在f ( a o 小) 的括号运算下是封 闭的，或称l 是可积的其中r ( a o a ) 的括号运算定义为( 【5 2 】) ：v x + u ，y + 芦 r ( m o a + ) ， x + u ，y + 川= ( i x ，y + 工。y l p x d 。( x + u ，y + p ) 一) + ( 知，纠+ l x # 一l y w + d ( x + u ，y + p ) 一) ， 这是流形上d i r a c 结构的推广事实上，d i r a c 流形也即a 中取平凡李代数胚结构 时的特殊情形 4 第一章引言 d i r a c 结构的概念最初由t j c o u r a n t 及a w e i n s t e i n 引入( 1 4 2 】) ；其后，c o u r a n t 对d i r a c 流形进行了比较彻底的研究( 4 3 ) d o r f m u 等人将d i r a c 结构的理论运用 到偏微分方程的完全可积系统的运算和研究中( 2 1 ) ；d i r a c 结构在李双代数胚上的 推广由z j l i u ，a w e i n s t e i n ，p x u 等人完成并进行了深入的探讨，给出了d i r a c 结 构与p o i s s o n 约化的关系，指出可约d i r a c 结构与商流形上的p o i s s o n 结构一、对 应，并进一步研究了不变d i r a c 结构，d i z a c 结构的拉回以及d i r a c 结构与p o i s s o n 齐性空间的关系等等( 【5 1 ，5 2 1 ) d i r a c 结构的特征对( d ， ) 的概念主要是由z j l i u 给出的利甩特征对定 义d i r a c 结构，并给出个极大迷向子丛l 是d i r a c 结构的充要条件，使得d i r a e 理论更加直观，进而可以更加简涪、清晰地描述p o i s s o n 约化( 【5 3 】) 在【l7 1 中，l g h e 与l “u 引入了d i r a e 结构的对偶特征对( d ，n ) 的概念，利 用对偶特征对定义d i r a e 结构并给出极大述向予丛lc o 岔是d i r a c 结构的充要 条件，并由此研究了预辛流形的约化问题，使得预辛约化更加直观和简化另外还 利用特征对以及对偶特征对研究了特殊子代数胚上的限制d i r a c 结构，以及d i r a e 流形的子流形，并给出了比c o u r a n t 文( f 4 3 ) 中更般的结论 p o i s s o n 约化以及预辛约化在数学物理中有着非常重要的应用，通过约化将对 复杂的高维空间的研究转化得更加简单、明确事实上也有许多其它的方法可以达 到约化的目的，侈! i 如m a x s d e n ，l h t i u 定理( 1 2 5 】) 以及w d m s t d n 等给出的余迷向计 算的方法( 3 8 1 ) 等等 p o i s s o n 流形以及接触流形的进一步推广得到j a c o b i 流形，c o u r a a t 代数胚以 及李双代数胚均平行地推广为j a c o b i c o u r a n t 代数胚( 广义c o u r a n t 代数胚) 以 及j a c o b i 双代数胚( 广义李双代数胚) 因此，有关李双代数胚的d i r a c 结构的理 论亦可推广到j a c o b i 双代数胚上，称为j a c o b i - d i r a c 结构，也简称为d i r a c 结构 同时还可以引入j a c o b i 双代数胚d i r a c 结构的特征对、对偶特征对等前者是jm n u n e sd ac o s t a 与jc l e m e n t e - g a l l a r d o 于近期完成的( 2 6 1 ) 而本文引入了j a c o b i 双代数胚d i r a c 结构的对偶特征对，并给出了一个j a c o b i c o u r a n t 代数胚的极大迷 向子丛是j a c o b i - d i r a c 结构的充要条件( 3 3 ) 具体地说，j a c o b i 情形下的d i r a c ( 也称为1 ( m ) 一d i r a c ) 理论是由a ，w a d e 在 3 】 中引入的即在向量丛e i ( m ) = ( t m r ) o ( p m r ) 上定义d i r a c 结构一 个占1 ( m ) 一d i r a c 结构是占1 ( m ) 的向量子丛l ，在e 1 ( m ) 的自然的对称配对下极大 迷向并且空问r ( l ) 在r ( s 1 ( m ) ) 上的对应括号下封闭除了由m 上的d i r a c 结构 或j a c o b i 结构而得的1 ( m ) 一d i r a c 结构外，还有由m 上的恰当p o i s s o n 结构、m 5 上的1 ，形式( 或称p r e c o n t a c t 结构) 以及局部共形预辛结构( 1 c p 即对( q ，u ) ，其 中n 是m 上的2 形式，是朝1 一形式使得m = u q ) 等结构得到l ( m ) - d i r a c 结构( 3 0 若l 是1 ( m ) d i r a c 结构，【，】l 是扩展c o u r a n t 括号在f ( l ) r ( l ) 上的限 制并且儿是标准投影p ：1 ( m ) 一t m 在l 上的限制，则三元组( l ， ，】工 几) 是m 上的李代数胚( 3 】) 注意到由钆( e ) 一，e = ( x ，) + ( p ，g ) r ( l ) 定义的 对偶丛p 的截面札是李代数胚( 工i l ，k 儿) 的1 一上闭链，因此可由任意1 ( m ) 一 d i r a c 结构得到j a c o b i 代数胚结构( 厶( 【，】l ，儿) ，札) 总之，因为1 ( m ) - d i r a c 结 构与j a c o b i 结构紧密联系，此理论中出现j a c o b i 代数胚也是很自然的1 ( m ) d i r a c 结构的理论由w a d e 在【3 】中详细地进行了讨论在 8 中作者讨论了e 1 ( m ) 一d i r a c 结构的特征叶层结构叶子上的诱导结构的性质 另外，最近由g r a b o w s k i 和m a r m o 引入了j a c o b i - c o u r a n t 代数胚( c o u r a n t 代数胚的j a c o b i 版) 的概念( 【2 3 ) 此结构恰为【驯中描述的纯代数结构的特例利 用【5 0 】中的结论，g r a b o w s k i 与m a r m o 证明了每一j a c o b i 双代数胚( ( a ，曲) ，( a + ，) ) 诱导了a0 小上的j a c o b i - c o u r a n t 结构并带有j a c o b i - d i r a c 结构的横截对 正如p o i s s o n 理论的情形，也可将j a c o b i d i r a c 结构的理论应用到j a c o b i 约化 上鉴于利用李双代数胚以及j a c o b i 双代数胚的d i r a c 结构及以它们的特征对和对 偶特征对可以进行p o i s s o n 流形与j a c o b i 流形的约化。并且使得约化问题更加直 观和简洁，本文详细深入地研究了这两种流形的对应两种约化同时也与利用矩映 射等进行流形和作用的约化进行了比较本文将利用李双代数胚上d i r a c 结构的特 征对和对偶特征对进行p o i s s o n 流形和预辛流形的约化分别称为第一类和第二类约 化，给出这两类约化的定义并给出约化流形上p i s s o n 结构和预辛结构的具体形式， 指出其与原有结构的关系等( 第二章) 具体地说，若( ，小) 是流形p 上的李双代数胚，d i r a c 子丛lca o a + ，带 有特征对( d ，7 r ) ，对偶特征对( d ，n ) 若o ( d ) ( 或以( 西) ) 可积成p 上的正则叶层结 构j _ ( 或巩) ，使得商p 舅( 或p 。绲) 仍是光滑流形，并且投影p ，：p p 。蜀 ( 或p 2 ：p p 玩) 是浸没，则称l 是第一类( 或第二类) 可约的( 定义2 6 1 ) 设工是第一类可约的d i r a c 结构，带有特征对( d ，7 r ) ，则在约化流形p 舅上有自然 诱导的约化p o i s s o n 张量”l = 0 1 ) ( 0 丌十a ) 其中a 为p 上自然诱导的p o i s s o n 张 量( 定理2 6 1 ) 设lca o a + 是第二类可约d i r a c 结构，带有对偶特征对，n ) ， 则在约化流形p 。纪上有约化p o i s s o n 张量仉= ( m ) ( a 一口q ) 其中a 为p 上自 然诱导的p o i s s o n 张量( 定理2 6 3 ) 这些均绕开了矩映射以及作用等的复杂概念 6 第一章引言 关于j a c o b i 流形，利用j a c o b i - d i r a c 结构的特征对和对偶特征对。也有两种约 化，并绕开了容许函数等工具的介入，使得约化更加的明确( 第三章) 具体地说，若( ( ，曲) ，( a + ，) ) 是j a c o b i 双代数胚，lca o a + 是d i r a c 子 丛，带有特征对( d ，7 r ) 和对偶特征对( d ，n ) ， ( 1 ) 若a ( d ) 是t m 上自旷好的”分布( 即d ( d ) 确定m 上正则的叶层结构舅， 使得m 5 p 1 仍是微分流形并且投影p ：m m 舅是浸没) ，且币r ( d 上) ，则 称l 是第一类可约的； ( 2 ) 若口( d ) 是t m 上的”好的”分布，且w r ( d 1 ) ，则称l 是第二类可约 的( 定义3 4 1 ) 设( ( a ，钟，( a + ，) ) 是j a c o b i 双代数胚，lc a o a 。是第类可约的d i r a c 子 丛，带有特征对( d ， ) ，则在商流形州舅上有自然诱导的约化j a c o h i 结构( a 十 n 亿r + o ( 7 妨) 其中( a ，r ) 是m 上自然诱导的j a c o b i 结构( 省略了妇1 ) ) ( 定 理3 4 1 ) 设( ( a ，庐) ，( a ，w ) ) 是j a c o b i 双代数胚，lc o 小是第二类可约d k s c 子丛，带有对偶特征对( d ，n ) ，则在商流形m 。绲上有自然诱导的约化j a c o b i 结 构( a o n ，r n ( q w ) ) 其中( a ，r ) 是m 上自然诱导的j a c o b i 结构( 省略 了( 仇) ) ( 定理3 4 9 ) 类似地。利用d n ( d i r a c - n i j e n h u i s ) 结构的特征对以及对偶特征对等也可进 行d n 流形的约化，在一系列的复杂计算后得到比较对称的结果这是l g h e 与b ：k l i u 等人近年的工作( 【1 8 1 ) ( 第四章) 近来，有关p r o t o 双代效以及p r o t o 双代数胚( 李双代数胚等的推广) 的理论 亦被进行了广瑟的研究对应地，d i r a c 理论也可进行推广和应用于这些研究中包 括d i r a c 结构的特征对、对偶特征对以及利用相关理论进行某些特殊流形的约化 等其中y b y i n 已进行了部分工作( i s 6 1 ) ，比如利用特征对给出了p r o m 双代数 胚d o u b l e 的极大迷向子丛是d i r a c 结构的充要条件等事实上，还有许多的后续工 作可俄这里我们只是罗列这些工作的基础知识和轮廓( 第五尊盼 符号说明：本文中。m 或p 是个有限维c 。一微分流形t m ( 或? p ) 与t m ( 或p p ) 分别表示m ( 或p ) 上的切丛与余切丛渺( m ) 是m 上的徽分肛形式空间，a ( m ) 是m 上的k 一向量场空间( m ) 是m 上所有c * 一向量场的空间向量 丛( 以，卜】，n ) 及其对偶丛( 小，卜】。，以) 是m 上的李代数胚d ( r e s p 以) 表示a ( r e s p a ) 7 的微分，j 表示流形m 的通常的d er h 8 m 微分r ( a ) ( r e 印w r ( a ) ) 是 李代数胚上同调复形( a ，卜】，n ) ( r e 印、( 小，( ，a ) ) 中的1 一闭链c 。( 肘，皿) 是m 上g * 实值函效的代数 第二章李双代数胚的d i r a c 结构及其约化 2 1 李代数胚、李双代数胚及c o u r a n t 代数胚 本节主要复习李代数胚、李双代数胚以及c o u r a n t 代数胚等的定义及相关结 论 李代数胚是与p o i s s o n 几何与j a c o b i 几何紧密联系的一个几何概念李代散 胚是由p r a d i n e s 在文献1 2 7 中提出来的它是李代数的推广，也是李群胚的无穷 小逼近有关李群胚的许多问题在李代数胚中会看的更清楚关于李群、李群胚， m a c k e n z i e 在【2 8 】中有深入的研究 定义2 1 1 流形p 上的李代数胚是p 上的向量丛 ，满足以下条件t ( 1 ) 整体截面空间f ( a ) 上带有李括号【，l ； ( 2 ) 存在丛映射口：a t p ，使得f ( a ) 上的括号为导子，即t ，p ，哪= ，4 p ，q l 一( d ( 曰) ( ，) ) p ，v e 。( p ；r ) ，p ，q r ( a ) ( 3 ) 由映射n 诱导的映射：r ( 以) 一彤( p ) ，仍记为口，是g ”( p ，r ) 模态射其 中a 称为锚映射( a n c h o rm a p ) 三元组，i ，j ，口) 称为是p 上的李代数胚 注2 1 1 若，l ，l ，a ) 是尸上的李代数胚，则丛映射o ：r ( a ) 一x ( p ) 是李代 数( r ( ) ，i ，1 ) 与( 。彩( p ) ，【，】) 之间的态射 例2 1 1 有限维实李代数g 可以看成一点上的李代数胚其中= 0 ，李括号即为g 中的括号 侧2 1 2 p 为流形，切丛为r p r ( t p ) = x ( p ) 是李代数b ：t p t p 是恒同 映射i d t p ，自然满足： f x ，= f i x ，y 】一( y f ) x ，v x ，y 芏( p ) 所以( tp 1 ( ，】，t 妨户) 是流形p 上的李代数胚 铡2 1 3 ( 1 5 2 ) 设( a ，a ) 是李代数胚，7 r r ( a 2 a ) ，在r ( a ) 中有诱导的括号t n ，卢 。= k 。p 一三，d q d t r ( a ，) ，v h ，卢r ( a ) ( 2 1 ) 8 董2 i 李代数胚、李双代数胚及c o u r a n t 代数胚 9 丛映射d 。= ao ：a + 一t p 则小带有括号f ，h 及镭映射构成尸上的李代 数胚当且仅当 l x 陬，】= 0 ，v x r ( a ) 例2 1 4 设( p a ) 是p o i s s o n 流形且 a # ：t p t p ( a 4 ( a ) ，国= a ( 口，p ) ，a ，卢p p 是对应于p o i s s o n 张量a 的丛映射，也可看成c ”( m ) 一同态，a l ：n 1 ( p ) 一彤( p ) 则( pp i ，】a ) 是p 上的李代数胚其中f ，1 a 由( 2 1 ) 定义 例2 1 5 彳是微分流形，则( t mx r ，【，】，7 r ) 是m 上的李代数胚其中7 r t mx r 一? m 是向第一个元素的标准投影括号 ，l 定义为( 【6 】) ： f ( x ，) ，( y ，9 ) 1 = ( i x ， ，x ( g ) 一y ( ，) ) 其中( x ，) ，( 9 ) f ( t mx r ) 兰2 ( m ) g 。( m ，r ) 若，i ，i ，a ) 是李代数胚，则r c a ) 上的李括号可扩展为a 的多重截面空 间r ( h a ) = o k r ( m a ) 上的所谓s c h o u t e n 括号i ，l ( 有时也记为l ，1 ) ，以使 得( 0 kr ( a 啊) ，a ，i ，1 ) 是分级李代数( g e r s t e m h a b e r 一代数) ( 【鲳 ) 事实上，s c h o u t e n 括号满足以下性质( 【2 2 ”：对x r ) ，f