（天体物理专业论文）dbi拓扑缺陷的研究.pdf

论文题目：d b i 拓扑缺陷的研究 学科专业：天体物理 学位申请人：章颖理 指导老师：刘道军 摘要 根据高温相变理论，早期宇宙在经历相变过程中会产生拓扑缺陷，按照其维 数可划分为畴壁、宇宙弦、单极子及纹理等，其中整体拓扑缺陷是指在整体变化 下保持拉氏密度不变的拓扑缺陷。另一方面，在膜暴涨中，d 膜间的吸引会产生 宇宙弦，而d 膜的横向运动应由d b i 作用量来描述，故将正则形式的拓扑缺陷 的作用量推广至d b i 形式是有意义的。 我们根据拓扑缺陷的维数，分别建立了d b i 形式的整体宇宙弦与单极子， 并对其引力效应分别进行了数值求解。对于d b i 整体宇宙弦，我们利用线性近 似，计算了其单位长度质量，并发现在远离弦核处，其单位长度质量与弦半径更 大的正则整体弦相似。同时，对经过其周围的测试粒子的研究表明，当测试粒子 的瞄准距离远大于弦核时，难以判断该宇宙弦是d b i 形式的还是正则形式的； 只有当瞄准距离接近弦核时，二者才有显著的差别。 对于d b i 整体单极子，我们对度规进行了渐近展开，并利用球对称度规的 形式解，具体计算了其核半径大小，发现若卷曲因子足够小，则其有效质量与势 垒高度无关；而卷曲因子如果很大，则退化为正则整体单极子的情况。对其渐近 质量的计算同样揭示了类似的结论：当卷曲因子很小时，d b i 整体单极子的渐近 质量与势垒高度无关；而当卷曲因子很大时，情况退化为正则整体单极子的情况， 即有效质量依赖于势垒高度。 关键词：拓扑缺陷，d b i 作用量，整体宇宙弦，整体单极子 论文类型：理论研究 t i t l e ：t h er e s e a r c ho fd b it o p o l o g i c a ld e f e c t s m a j o r ：a s t r o p h y s i c s a p p l i c a n t ：z h a n gy i n g - l i s u p e r v i s o r ：l i ud a o - j u n a b s t r a c t f r o mt h et h e o r yo fp h a s et r a n s i t i o na th i g ht e m p r e t u r e ，t o p o l o g i c a ld e f e c t sc o u l d b ef o r m e di nt h ee a r l yu n i v e r s ed u r i n gp h a s et r a n s i t i o n a c c o r d i n gt ot h e i rr e s p e c t i v e d i m e n s i o n s ，t h e y 啪b ed i v i d e di n t od o m a i nw a l l ，c o s m i cs t r i n g , m o n o p o l ea n d t e x t u r e p a r t i c u l a r l y , b yt h ew o r d 什# o b a lt o p o l o g i c a ld e f e c t 竹，w em o a n t h o s e t o p o l o g i c a ld e f e c t so fw h i c ht h el a n g r a n g i a nd e n s i t yd o e sn o tc h a n g eu n d e r # o b a l u - a n s f o r m a t i o n o nt h eo t h e rl m d , i nt h et h e o r yo fb r a ei n f l a t i o n , c o s m i cs 位i n g s c o u l db ef o r m e dd u et o 也ea t t r a c t i o nb e t w e e nd - b r a n e s , w h i l et h et r a n s v e r s em o t i o n o fd - b r a n e si sd e s c r i b e db yd b ia c t i o n t h u s ，i tm a k e ss e n s et og e n e r a l i z et h e c a n o n i c a la c t i o nt od b if o r m i nt h i st h e s i s ，w ee s t a b l i s h e dd b ig l o b a lc o s m i cs t x i n g s a n dm o n o p o l e s r e s p e c t i v e l yb yt h e i rd i m e n s i o n s ，a n dn u m e r i c a l l ya n a l y z e dt h e i rg r a v i t a t i o n a le f f e c t s f o rd b ig l o b a lc o s m i cs t i n g , w ec a l c u l a t e dt h e i rm a s so fu n i tl e n g t hb yl i n e a r a p p r o x i m a t i o n , f i n d i n gt h a ti nt h er e g i o nf a ra w a yf r o mt h ec o r eo f t h es t r i n g , i t sm a s s o fu n i tl e n g t hi s $ i m i l a rw i t ht h a to fac a n o n i c a lg l o b a ls t r i n gw i t hl a r g e rc o r er a d i u s m e a n w h i l e , b ya n a l y z i n gt h em o t i o no f t e s tp a r t i c l e sa r o u n dt h ed b ig l o b a lc o s m i c s t r i n g , i ts h o w st h a tw h e n t h ea i m i n gd i s t a n c ei sm u c hl a r g e rt h a nt h ec o r er a d i u s ，i ti s v e r yd i f f i c u l tt od i s t i n g u i s had b ig l o b a lc o s m i cs t r i n gf t o mac a n o n i c a l o n e h o w e v e r , w h e na i m i n gd i s t a n c ei sc l o s et ot h ec o r er a d i u s ，t h e r ew i l lb es i g n i f i c a n t d i f f e r e n c eb e t w e e nt h e m f o rd b ig l o b a lm o n o p o l e ，w ea s y m p t o t i c a l l ye x p a n d e dt h em e t r i ca n dc a l c u l a t e d i t sc o r er a d i u sb yf o r m a ls o l u t i o n so fs p h e r i c a lm e t r i c w ef o u n dt h a tw h e nt h ew r a p i l f a c t o ri ss m a l le n o u g h ，i t se f f e c t i v em a s si si n d e p e n d e n to ft h eh e i g h to ft h ep o t e n t i a l ， w h i l ei nt h ec a s eo fal a r g ew r a pf a c t o r , t h es i t u a t i o nw i l lr e d u c et ot h a to fac a n o n i c a l m o n o p o l e m e a n w h i l e ，t h ec a l c u l a t i o no fi t sa s y m p t o t i c a lm a s ss h o w st h es i m i l a r c o n c l u s i o n ：w h e nt h ew r a pf a c t o ri sv e r ys m a l l ，t h ea s y m p t o t i c a lm a s so fd b ig l o b a l m o n o p o l e i si n d e p e n d e n to ft h eh e i g h to ft h ep o t e n t i a l ，w h i l ef o rl a r g ew r a pf a c t o r i t r e d u c e st oac a n o n i c a lm o n o p o l c , i e t h ee f f e c t i v ei sd e p e n d a n tt ot h eh e i g h to fi t s k e yw o r d s ：t o p o l o g i c a ld e f e c t , d b ia c t i o n , g l o b a lc o s m i cs t r i n g , g l o b a lm o n o p o l e 1 1 1 上海师范大学硕士学位论文学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特 别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成 果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示 了谢意。 论文作者签名： 审掘 日期。叩钳月，卯 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其它手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 论文作 日期： 导师签名： 醐卅年f 月秽日 日期：j 年v 月v 日 4 9 上海师范大学硕士学位论文第一章拓扑缺陷 第一章拓扑缺陷 1 1 引言 早期宇宙会产生各种拓扑缺陷【1 】。根据大爆炸理论，宇宙从初期极高温状 态经历一系列相变逐渐冷却至今，这与凝聚态物理的情形很相似，这些相变会导 致各种拓扑缺陷的形成，按照维数可将这些拓扑缺陷划分为：畴壁、宇宙弦、单 极子及纹理 2 】。由于拓扑缺陷在多数情况下都很稳定，故在现在的宇宙中仍能 观测到其效应。因此，有必要对拓扑缺陷进行研究。 另一方面，虽然暴涨模型在解释宇宙加速膨胀的机制方面已经取得了极大的 成功【3 5 】，但该理论主要处理的是在势附近滚动的弱耦合场。若要实现慢滚暴 涨，则会导致原初的密度扰动分布呈现出高度的高斯性，这与观测结果不符 【6 8 】。由于一般我们认为暴涨发生于高能时期，因此近年来，从弦论出发构造 暴涨模型成为了趋势之一，其中膜暴涨被认为是最有希望的工作框架之- - 9 1 ， 由此对宇宙微波背景辐射( c m b ) 的功率谱给出了不同的预言，其中就包括可观测 的非高斯性，其中d b i ( d i r a c , - b o m i n f e l d ) 暴涨理论更是引起了极大的关注 1 0 1 。 本文中主要介绍了拓扑缺陷的形成原因及相关理论，着重研究了d b i 形式 的整体宇宙弦及单极子的引力效应，并对相关物理量进行了解析及数值计算。 1 2 宇宙学相变 相是指物理性质均匀的系统的一部分。若该相因为某物理参量的变化，使得 该相的某物理性质发生突变，则称该相发生了相变。 第一章拓扑缺陷上海师范大学硕士学位论文 在热力学中，根据艾伦菲斯特( e h r e n f e s t ) 相变理论 1 l 】，一级相变是指两个相 的化学势在相变点处的一阶偏导数不相等，即相变过程中化学势发生突变。对于 均匀系统，化学势为单位摩尔的吉布斯( g i b b s ) 自由能，故两个相的吉布斯函数在 一级相变点处的一阶偏导数不相等。对于p v 系统，摩尔熵和摩尔体积为吉布斯 函数的一阶偏导数，即 江剖， ( 1 2 1 ) y = 割o pr m 2 埘 l r 丁g 为吉布斯函数。故一级相变前后熵发生突变，因而产生潜热。 二级相焚是指栗系统在相燹趣程丽后内相的化学秀发兵一彤偏导数相等，而 二阶偏导数相关的物理量发生突变。对于均匀p v 系统，吉布斯函数在二级相 夏处的一阶偏导数相等，二阶偏导数不相等。这些发生突变的物理量为定压比 1 ，膨胀系数口以及压缩系数r ，即 q 川割 ( 1 2 - 3 ) 口= 吉刮r c 删口= 一刊 i l - z 珥l y 劫2l 、7 壮三急(1-21v - 5 )r = 一 i - z 一， a t a p 、。 二级相变不再伴随有能量的变化。 宇宙早期处于高温状态，为考虑对称性自发破缺的宇宙学效果，就必须讨论 高温介质中的希格斯场。在下面的讨论中需要用到高温有效势( ，r ) 来代替经 j t - 势v ( 矽) ，其特点是：( 矽) 为温度r 的函数。初始时温度极高，高温有效势 p ，丁) 的最小值处于例= o 处。随着温度的下降，当温度低于某一临界值互时， 2 上海师范大学硕士学位论文第一章拓扑缺陷 ( 矽，t ) 的最小值不再位于例= o 处，即出现了非零的真空态，系统发生相变。 按照热力学的划分，可根据不同模型所给出的表达式，将相变划分为一级相变和 二级相变。 1 2 1 一级相变 考虑带有一级辐射修正1 的a b e i i a n - h i g g s 模型，其高温有效势为： 咖卅耐例2 + 渤 其中 研2 ( t ) - - - p 0 2 + 丢打2 4 为温度o k 时希格斯粒子的质量，盯表示重整化尺度。 a 夕 - o 功 汐 图i - i 一级相变 ( 1 2 _ 6 ) ( 1 - 2 - 7 ) 1 之前的讨论用到的是经典势y ( ) ，实际上，是与自身或其他场相耦合的量子场，故需 要对矿( ) 进行辐射修正： k 矿( 矽) = 矿( 矽) + 巧( 矽) + k ( 矽) 其中y ( ) 为经典势，k ( ) 为含n 个闭合圈的舞曼e y 玎i i n 锄) 图贡献。 3 第一章拓扑缺陷 上海师范大学硕士学位论文 在极高温时，t e t r ，( ，t ) 中起主导作用的项是e 2 t 2i 1 2 ，故势场有单 个极小值，位于例= o 处；随着温度的降低，出现了异于例= o 处的极小值点； 当温度低于临界密度i e o 时，势场出现了比例= o 处更小的极小值，即发生所 谓的对称性破缺，例= o 处成为伪真空态，而例o 处的极小值点成为真真空。 如图所示，r 乏= 砀，有效质量平方项聊2 ( r ) o ， 此时( 矽，丁) 在例= o 处取得最小值，故矽的真空期望值为零，保持对称性。随 着宇宙的膨胀，温度逐渐降低，当t 乏时，m 2 ( r ) 0 ，矽出现非零的真空期望 值，发生相变。对( 矽，d 求极小值，可以得出r 0 ，则真空期望值吮为仃，而实际上只能取其中的一个值 作为真空期望值，这样，以这两个真空态之一为基态所构造的拉氏密度就破坏了 z 2 对称性，即在作平移歹= 一九后，拉氏密度在歹哼彳变换下会发生改变，因 此发生了自发对称性破缺。 由上述拉氏密度，可得到实标量场的运动方程： 窘叫( 产仃2 ) = o ( 1 - 3 - 2 ) 为确定上述方程的解，还需要知道边界条件。首先，工专时，应该趋向于真 空解。另一个边界条件来自于以下的考虑：考虑两个无因果律连接2 的区域a 和 2 所谓“无因果律连接”是指两个间隔大于相干长度f 的区域。根据定义，相干长度孝应小 于粒子视界，即孝 0 。 图l _ 6 墨西哥草帽势4 该拉氏量密度具有u ( 1 ) 整体对称性，即在变换 矽专矽扩( 1 3 1 0 ) 下，拉氏量密度保持不变。当2 o 时，系统的真空期望值( 丸) = o ，保持对称 性；若仃2 o ，则真空期望值( 丸) = 仃，口为相位角。此时真空流形为复平面 上的圆周：例= 仃。令歹= 一仃矿，代入拉氏量密度，其在变换( 1 3 - 1 0 ) 下会发生 改变，故以此为真空态为基态的拉氏量密度不再具有整体u ( 1 ) 对称性，因而发 生对称十牛破缺。 4 图l - 6 摘自文献【2 】 9 第一章拓扑缺陷 上海师范大学硕士学位论文 考虑盯2 0 情况，对于复标量场= 1 + 矽2 ，可以把它等价地看作两个实标 量场矽1 ，妒2 ，则真空流形可由下述方程所描述： ( 盯+ ( 硝= 仃2 ( 1 - 3 - 1 1 ) 和畴壁的情况一样，假定有两个无因果性连接的区域a 和b ，且在a 处，标量 场期望值矿1 o ，矽2 0 ，并满足上式。由于a ，b 间无联系，故标量场在b 处有去的几率分别取j 0 ，则真空期望值死。= 盯，其 中x a x 4m r 2 ，舳( 3 ) 遭到破坏成为【，( 1 ) 对称性，发生对称性破缺。 l o o o o 第一章拓扑缺陷上海师范大学硕士学位论文 和之前一样，考虑两个无因果性连接的区域a 和b ，则由于场连续性的要 求，存在三个二维曲面，分别对应于矽= o ，矽2 = o ，矿- 0 。一般来说，这三 个曲面相交形成一点，该点处对应于伪真空态，x i , 工2 ，) = o ，由此形成单极 子，如图所示： 其中 单极子的a n s i i ：t z 可写成： 烀盯什) 等 ( 4 = o , r - - 兰 1 3 4 纹理 ( 1 3 1 8 ) ( 1 3 - 1 9 ) 若考虑四分量标量场的对称性破缺，即把真空流形的维数扩充至三维球面， 则会产生纹理，由于本文并未涉及，因而不作赘述。 1 4 同伦群与拓扑缺陷 以下分别引入同伦、单连通和同伦等价的概念，然后在此基础上引入同伦群， 再将其与不同维数的拓扑缺陷相联系。 对于两个给定的拓扑空间五，五，考虑两个五专x 2 的连续映射口，。 如果存在连续映射f ：五【o ，1 卜t ，使得下面关系成立： 诋五，( x ，o ) = 口( x ) ，f ( x ，1 ) = ( x ) ( 1 4 1 ) 则称口，在五上同伦。也就是说，若口，在置上同伦，则比五，函数f 1 2 上海师范大学硕士学位论文第一章拓扑缺陷 定义了一条从口x ) 到( x ) 的路径。 例如，若取五= 【o ，i 】，五= c ( 复平面) ，口( x ) = 栅，( 石) = o ，则函数 口( 石) 与( x ) 通过函数f ( z ，f ) = e 陀搬( 1 - t ) 同伦。该例中，这几个函数的几何意 义分别是：口( z ) 描述以原点为圆心的单位圆，( x ) 表示原点处，f ( x , t ) 表示以 原点为圆心，半径为( 1 一f ) 的圆。 由函数同伦的概念，取上述五= s 1 ，五= 】，若存在连续映射f ： s 1 x o ，1 】_ y ，使得： v xe s 1 ，e ( x ，o ) = 口( 工) ，( 而1 ) = ( 石) = y y( 1 4 2 ) 则称空间】r 是单连通的。 再引入同伦等价的概念。 设虬为拓扑空间五= y 的一个定点，一条连续道路为口：【o ，l 】一】，则以 为基点的环路定义为口( o ) = 口( 1 ) = 蜘的连续道路。 对于2 条以为基点的环路口，若存在连续函数f ：【o ，1 x o ，1 】， 使得： 帆【o ，1 】，f ( x ，o ) = 口( x ) ，f ( x , 1 ) = f l ( x )( 1 4 3 ) v t 【o ，1 】，r ( o ，t ) - - f ( 1 ，t ) = y o( 1 4 q 则称口与同伦等价。可证明这一关系为等价关系，则某一环路的等价类也称作 同伦类。 这样，如果再引入环路口的逆： 口1 ( x ) = a ( 1 - x )( 1 4 5 ) 以及乘法关系： 1 3 4 j j 哇n 恒 一 一 x x ， l 哪 、x， 一 2 x 口 以 = 启 口 第一章拓扑缺陷上海师范大学硕士学位论文 且把恒等映射( 即静止于点的映射) 的同伦类作为单位元，那么所有以甄为 基点的同伦类的集合构成群，称作第一同伦群，记为乃( y ，蜘) ，或简记为乃( y ) 。 若拓扑空间l ，非单连通，则该空间具有非平庸的同伦群乃( y ) ，。 等价地，可以用参数空间s 1 到拓扑空间】，的映射来定义第一同伦群： 巧( 】，) ：s 1 专y( 1 4 7 ) 并由此推广至第刀同伦群： 瓦( y ) ：s 一专y( 1 4 8 ) 及第0 同伦群： 刀o ( y ) ：s o = 一1 ，1 ) y( 1 4 9 ) 对应于之前按所叙述的几种不同维数拓扑缺陷的情况，拓扑空间y 对应于所 使用模型的真空流形膨。具体地说，有双阱势的g o l d s t o n e 实标量场( 1 - 3 一1 ) 的真 空流形膨= 妒，畴壁对应于( = z 2 ，；在“墨西哥草帽”势的g o l d s t o n o 复标量场模型( 1 - 3 - 9 ) 中，真空流形膨= s 1 ，宇宙弦对应于巩( s 1 ) = z j ；若选 用带有阳( 3 ) 群指标的三分量标量场( 1 - 3 - 1 7 ) ，则真空流形m = s 2 ，所产生的单 极子对应于万2 ( s 2 ) = z ，；而纹理则对应于乃( s 3 ) j 1 4 上海师范大学硕士学位论文第二章正则整体拓扑缺陷周围的引力场 第二章正则整体拓扑缺陷周围的引力场 正如之前所述，早期宇宙学相变会导致对称性自发破缺。根据真空流形的维 数n ，可产生不同种类的拓扑缺陷。这里我们主要对r = 1 及刀= 2 ，即整体宇宙 弦与整体单极子感兴趣。由于我们的工作部分地沿用了正则情况的处理方法，因 此下面就正则整体宇宙弦与单极子的情况进行简要的回顾。在下面的计算分析 中，为方便起见，如无特别说明，都采用自然单位制c = a = 1 。 2 1 正则整体宇宙弦的引力场 正则情况f ，考虑含“墨西哥草帽”势的g o l d s t o n e 复标量场模型，其拉氏 量密度为： 么= 互1 苦z v a 矽叫一号( 矽痧- 0 2 ) 2 ( 2 - 1 1 ) 场位形 矽= 吖( ，) ( 2 1 - 2 ) 其中厂( ，) 如1 - 8 所示该模型描述了u ( 1 ) 对称性破缺，且式( 2 1 - 2 ) 中参数口不依 赖于半径，因而产生整体宇宙弦。1 9 8 8 年，d i e g oh a r a r i 与ps i l d v i e 对正则整 体弦的引力效应进行了研究，其主要内容如下 1 2 】： 考察宇宙弦周围的引力场，自然的选择是采用静态柱对称度规： d s 2 = 彳( ，) ( 一班2 + d z 2 ) + 办2 + r 2 召( ，) d 0 2 ( 2 - 1 3 ) 其中爿( ，) ，b ( ，) 待定。 由于所考虑的引力场一般都在弦核心以外，万= ，故可取以下近似： c r y 以 1 5 第二章正则整体拓扑缺陷周围的引力场 上海师范大学硕士学位论文 f ( r 万) = 1 ( 2 - 1 - 4 ) 当l n ；l 时，取线性近似： 彳( ，) = l + 口( ，) ，b ( ，) = 1 + ( ，) ( 2 - i 5 ) 其中口( ，) i ，( ，) 1 ，z g o 2 ，g 为牛顿引力常数。 将相应的爱因斯坦场方程近似到口( ，) 、( ，) 及其导数的一次项，由此可得 出： 班( 1 - 4 灿吾) ( 础2 形) 彬+ 卟一跏( h 刊p 啕 从上式可看出，整体弦的一大特点是欠缺角= 即( 1 n 詈+ 1 ) ，这一角度随着离弦 核心距离，的增加而呈对数式增长。 整体弦的另一特点是，核外会产生排斥的引力势，经过弦核附近的测试粒子 偏转角为： ， 口= 4 掣( h 詈+ 1 n 2 + 2 - 2 - ) 乃 2 2 正则整体单极子的引力场 1 9 8 9 年，m a n u e lb a r r i o l a 与a l e x a n d e rv f l 吼k i n 指出，整体单极子的引力效 应相当于在度规中加入欠缺角以及一个小质量【1 3 】。1 9 9 0 年，d i e g oh a r a r i 与 c a r l o sl o u s t 6 及史新、李新洲等对其进行了数值分析，并指出其有效质量为负， 因而与整体宇宙弦一样，会产生排斥的引力势【1 4 】【1 5 】。正则整体单极子的拉格 朗日密度： 么弓彬4 州4 一号( 删。) 2 ( 2 - 2 - 1 ) 其中口= l ，2 ，3 为内禀d ( 3 ) 指标，单极子的锄s 犯为： 1 6 上海师范大学硕士学位论文第二章正则整体拓扑缺陷周围的引力场 痧4 = 吖( ，) ! ( 2 - 2 2 ) ， 其中位形函数厂( ，) 哼 主要，万= 了2 荔表征单极子的核半径。由于单极子周 围的度规是静态及球对称的，故可采用球对称度规： d s 2 = 一b ( ，) d r 2 + 4 ( ，) d r 2 + r 2 ( d 秒2 + s i n 2o d c p 2 ) ( 2 - 2 3 ) 在文献【1 4 】中，利用形式解，得到了场方程的解： 以) = 1 - 一删 q 曰( ，) - 1 - 一掣 ( 2 - 2 - 5 ) 其中工兰劢，a e 8 无 g o 2 ，而m 彳o ) 与也( x ) 则在远处进行级数展开，得到： 厂( z ) - i - ：- ( 2 3 - 一) 工4 + 。( 工6 ) 伫乏6 ) m ( 力= m + 会r l + o ( x - 3 ) ( 2 - 2 - 7 ) 心( 工) = 帆( z ) ( 一今) + 丛，+ 。( ，) ( 2 丢8 ) m 一定义为：帆= 觋帆( 工) ，利用数值解，可得到： 膨一_ 0 7 5 = 一勖云( 2 - 2 - 9 ) 由于m 0 。注意到这里参数k 是无量纲化的： 石= 8 刀g 仃2 ，其中o r 为自发对称性破缺尺度。场位形为： 妒= 厂( ，) 矿，妒+ = 厂( ，) p 一( 4 - 1 5 ) 对应于宇宙弦的情况，自然的选择是利用柱对称度规： 凼2 = b ( ，) ( 西2 一出2 ) 一咖2 一，2 彳( ，) d 9 2 ( 4 - 1 6 ) 其中o 矽 0 。 4 1 2 方程求解 d b i 整体弦的引力化可通过方程( 4 - i 7 ) - ( 4 - i l1 ) 来进行描述，但对其进行求 解却极端困难，至今未找到精确解。为求出近似解，我们在求解过程中利用到两 个假设： l 、，万处， 厂( 厂) 1 2 、假定弦所产生的引力场很弱，因而可对e i n s t e i n 方程进行线性近似求解。 根据假定l ，即可求得核外的能动张量： 上海师范大学硕士学位论文第四章d i r a c b o r n i n f e l d 型拓扑缺陷的引力效应 霹= 石1 = 霉= 彳= ( 4 - 1 1 7 ) ( 4 1 1 8 ) 这样，弦的单位长度能量可表述为： 小心万卜忙) 地( 牢h 厅州1 ， 其中有效核大小万定义为： 牡( 华( 厨峭) 图4 - 1 ：距离弦核r 处，d b i 整体弦的单位长度弦质量与正则整体弦的比较。实线描述核半 径艿= 0 1 的d b i 整体弦的( 厂) 函数，两条虚线代表了核半径分别为万= o 1 ，万o 3 7 6 的正则弦。显然，在远离弦核处d b i 整体弦的单位长度弦质量函数与弦核大小不同的另一 正则弦相似。 图4 1 中给出了d b i 整体弦及正则弦的单位长度弦质量函数a ( r ) 与，的关 系，从图中可看出，在远离弦核处，d b i 整体弦的单位长度弦质量函数( 厂) 与 第四章d i r a c b o r n i n f e l d 型拓扑缺陷的引力效应 上海师范大学硕士学位论文 弦核大小不同的另一正则弦相似。这点也可从式( 4 1 1 9 ) 中看出：对于，万， 方程( 4 - 1 - 1 9 f ) 白勺主导项为l n ( 万- ) ，其他项可忽略，故其表达式正是核大小为艿的正则 整体弦的单位长度弦质量函数，这就退化到了正则弦的情况 1 2 】 为求出引力场方程的近似解，利用假设2 ，取线性引力近似，可将度规函数 么( ，) 与曰( ，) 表述为： 彳( ，) = l + 口( 一，曰( ，) = l + ( ，)o - 1 - 2 1 ) 其中口( ，) l ，夕( ，) 1 。同时利用到f ( r 艿) 1 ，e i n s t e i n 方程可写成： 口型= 一r ， p n + 芝：一k ， 丹一赤 丹谤2 上述方程的解为： ( ，) = - 4 g 仃2 ( ，) 口c ，) = 一8 g 盯2 c ，- ，+ r | 2 ( ( 1 + ，2 严一) 一c 其中c = 喜( 1 广 4 1 3 经过d b i 整体弦附近的测试粒子轨迹的偏转角 ( 4 - 1 - 2 2 ) ( 4 - 1 - 2 3 ) ( 4 - 1 - 2 4 ) ( 4 - 1 2 5 ) 我们现在考虑一个以接近光速的速度，( 即1 ，一1 ) 围绕d b i 整体弦运动的 测试粒子。假定测试粒子的运动轨迹位于垂直于z 轴的平面内。从测地线方程， 可得出粒子的运动轨迹【1 9 】： 上海师范大学硕士学位论文 第四章d i r a c b o r n h f e l d 型拓扑缺陷的引力效应 肾= 争南 ，一掣+ 虹一卜啪， 上式精确到口和的一阶。其中表示粒子离弦核最近的距离，- 与, a o 分别为 处口与的值。相应的折射角为占= 万一a 8 ，其中 a e - 2 a ( ，) 咖( 4 - 1 2 7 ) 这样，j a 方程( 4 - 1 2 6 ) 、( 4 - 1 - 2 7 ) ，可得出： 一詈( - n 抄一三+ l a 2 - 嘉v 2 吲) ) ( 4 - 1 - 2 8 ， 其中z ( ) 是半径为万的d b i 整体弦与核半径为艿的正则整体弦所得出的测试 粒子轨迹的偏转角之差，其表达式为： 础印垮南剀吲小南 ( 1 - 专) h ( 揣一心+ 扣鲍h 舐训肛 其中函数乎( ，) 定义为： 善( ，) 量正一1( 4 - 1 - 3 0 ) 第四章d i r a c - b o m i n f c l d 型拓扑缺陷的引力效应上海师范大学硕士学位论文 图铊：对于不同速度1 ，函数z 与的数值关系图。 图4 - 2 中对于不同速度，画出了函数z 与的数值关系图。对于万处， 其主要贡献来自于l n ( 景 ，而正则整体弦亦有这相同的性质。因此，在远离 弦核处，难以区别测试粒子正在接近的- 9 宙弦属于哪种类型，即难以区别是d b i 整体弦还是正则整体弦。不过，当与有效弦核万相近时，方程睁1 - 2 8 ) 中的z ( r o ) 的效应就会显现出来。 上海师范大学硕士学位论文第四章d i r a c - b o r n i n f e l d 型拓扑缺陷的引力效应 4 2d b i 整体单极子的引力场 4 2 1 模型的建立 卷曲背景中，d 3 膜的d b i 作用量为【1 0 】： s = - ，z 厅 ，( ) 一1 ( 1 一以i 耶驴硼一y ( 妒) ( 4 - 2 1 ) 其中厂( j i 为卷曲因子，度规的号差取为【+ - - - 。我们首先要将上述作用量 推广至3 分量标量场。 对应于单极子的情况，考虑整体d ( 3 ) 对称性自发破缺至【厂( 1 ) 对称性时，与 爱因斯坦引力耦合的d b l 3 分量标量场，系统的作用量可写成： s = ，扩z 可( 素黠+ c d b ，) ( 4 2 2 ) 其中g 为牛顿引力常数，冗为里奇( 砌c c i ) 标量，d b i 标量场的拉氏密度为： 。且j = m 4 ( 1 一、仨= = - 孕) 一( 妒扩一o o2 ( 舢2 3 ) 其中矽4 为带有内禀d ( 3 ) 指标口= 1 ，2 ，3 的d b i 标量场，卷曲因子m 与自发对称性 破缺尺度吼为常数，其量纲为质量量纲，为无量纲常数。上式中，若1 ，妒2 ， 3 对应于五维卷曲的瓶颈几何( t h r o a t ) 中的三个方向，则势对应于相应方位处d 3 膜的势。 描述整体单极子的“刺猬 形相位为： 妒= a r 0 ，( p ) 警 其中x , a x 4 = p 2 ， m ) = 【0 l ，, p 专专。o ( 4 2 - 4 ) ( 4 2 5 ) 第四章d i r a c b o r n i n f e l d 型拓扑缺陷的引力效应上海师范大学硕士学位论文 对于孤立的静态单极子，度规是球对称的，因此司采用静态球对称厦规： d s 2 = b ( p ) d t 2 一a ( p ) d p 2 一p 2 ( d 0 2 + s i n 2o d q 0 2 ) ( 4 2 6 ) f p s i n o c o s c p , a = l 其中p ，0 ，伊为球坐标，= p s i n o s i n p , a = 2 。云j i a , 无量纲参数，= c r o p ，由 【p c o s o ，铲3 方程( 4 - 2 - 3 ) - ( 4 - 2 - 6 ) ，可得到厂( 广) 的运动方程： 三( t ) t + r 么f l 2 + 三( 詈一筹) = 丁2 r f + 4 厂( 厂2 一- ) ( 化- 7 ) 其中( ) 量杀，洛仑兹因子7 为： y = ( 4 2 - s ) 拈孚 件2 - 9 ) a 式( 4 - 2 8 ) ，可看出当卷曲因子m j 时，洛仑兹因子厂专1 ，此时方程( 牝7 ) 退化为正则整体单极子的运动方程【1 4 】。 利用爱因斯坦方程q ，= 8 万g 乙y ，可得出d b i 整体单极子的场方程，其0 0 分量及1 1 分量分别为： 吉一去( 吉一吾竺a ) = 占2 口。 件2 ，2 4 l ，2 ，j o r w 专一三( 专+ 吾詈) = 8 2 五1 4 - 2 - 1 1 ， 7 一i 【7 + 7 百j = 矿2 ： ( ) 上式中相应的d b i 整体单极子位形的能动张量分量分别为： 口= 去( 多一，) + k ( 厂2 一1 ) 2 ( 4 - 2 - 1 2 ) 耻一了y f a + 彤一h 川2 ) 上海师范大学硕士学位论文第四章d i r a c b o r n i n f e l d 型拓扑缺陷的引力效应 其中无量纲常数s 2 兰8 n - g o - 0 2 。由于球对称爱因斯坦方程存在形式解( 附录a ) ， 故原则上可以给出上述方程的形式解，但却很难直接进行具体的物理分析，因此 在进行具体分析时仍需要使用其他手段进行近似分析。 4 2 2 定量分析 方程( 4 - 2 - 7 ) - ( 4 _ 2 - 1 3 ) ，在，1 处对函数厂( ，) ，彳( ，) ，曰( ，) 渐近展开，可得： 巾) = ：i 一托) 2 + 警盼。( ，弓) q ) 击+ 警常e 2 ( 1 ( 1 - + 2 旯叫v 0 2 ) + 箫归叫，- 3 ) ( 4 - 2 - 1 5 ) 召( ，) = i - s 2 - 2 g o 0 m 。- i r 一垒二三最挚上( 吾) 2 + 。( ，刁) c 禾2 6 ， 其中收将在下面进行讨论。a k 式( 4 - 2 1 4 ) 可以看出，与正则整体单极子【1 4 】相同， 参数对厂( ，) 的渐近展开式的作用远远超过了参数g ，a 。 对于，1 处，亦可对厂( ，) ，彳( ，) ，b ( ，) 渐近展开： 厂(，)=石，+乏石：if：三：薪89224名 一8 s 2 厮( 卜x v o ) + x , 2 4 3 s - 1 4 4 v o 一2 2 s 2 、1 + 3 x f 1 2 ( 1 一九k ) + 3 旯2 开( 1 9 e 2 - 7 2 2 v o ) r 3 + d ( ，5 ) ( 4 - 2 _ 1 7 ) 彳( ，) = 1 + f 7 一l +) (4218)_ + 3 i , f 1 2 无v o ) r 2 + o ( r 4 ， 3 l 第四章d i r a c b o r n i n f e l d 型拓扑缺陷的引力效应上海师范大学硕士学位论文 朴岳卜一南一厮 ，2 + o p ) ( 化- 1 9 ) 其中参数彳待定。 与施瓦西外部真空解相类比，在核外度规系数可写为： 彳( ，) q = 1 - s 2 一2 g t r o m _ a 一( r ) ( 化2 0 ) 召( 厂) - l - 厶掣 1 ) 由式( 4 - 2 - 1 4 ) ，在，1 处，函数厂( ，) 趋向于l ，质量函数心( ，) ，( ，) 也趋近 于有限值。将方程( 4 - 2 - 1 5 ) ，( 4 - 2 1 6 ) 与( 4 - 2 - 2 0 ) ，( 4 - 2 2 1 ) 1 七较，可得到其在远处的 渐近展开式： 叫m + 砜卜舻孚陋乎冰) 3 _ + d ( 厂- 4 ) ( 4 - 2 - 2 2 ) 嘶m + 砜卜班孙名+ 轷铡 其中虬定义为： + d ( ，- 4 ) 也- - - - l ，i m m a ( ，)r 哪 。 ( 4 - 2 2 3 ) ( 铊- 2 4 ) 上海师范大学硕士学位论文 第四章d i r a c b o r n i n f e l d 型拓扑缺陷的引力效应 迂 f 图4 - 3m 一( ，) 吼与，的关系图，图中选定圪- - 1 ，6 = 0 0 0 1 。图中四条曲线分别对应于 五= 0 ( 该情况对应于m 哼，即正则整体单极子情况) ，a = 0 1 ，见= l ，a = 1 0 图4 3 中选定圪- - - 1 ，e - - o 0 0 l ，利用打靶法给出了m , l ( ，) 的数值结果。 从图中可看出，专时，d b i 整体单极子的质量函数的值会趋近于某个负值 眠，且虬的绝对值随着参数力的增加而增长。这就意味着，在相同的势垒高 度及对称性破缺尺度的条件下，d b i 整体单极子的负质量效应比正则整体 单极子更显著。 第四章d i r a c b o r n i n f e l d 型拓扑缺陷的引力效应上海师范大学硕士学位论文 图“对于不同a 的取值，厂( ，) 的函数关系图。图中取定= 1 ，s - o 0 0 1 四条曲线 分别对应于名= 0 ( 该情况对应于肘专，即正则整体单极子情况) ，五= 0 1 ，名= l ， 名= 1 0 。 从图4 - 4 可看出参数旯的直观含义：名取值越大，则函数，( ，) 越快地趋向于 渐近值1 ，因此a 越大，则取近似件2 - 5 ) 就越精确。 上海师范大学硕士学位论文第四章d i r a c b o r n i n f e l d 型拓扑缺陷的引力效应 图4 - 5 虬关于五的函数关系图。图中选定占= 0 0 0 1 ，图中的三条曲线分别对应于 = 1 ，圪- 2 ，v o = 1 0 的情况 只要函数厂( ，) 能很快地趋近于1 ，则可对( ，) 作如下近似： ( 4 - 2 - 2 5 ) 其中万表示无量纲化的d b i 整体单极子核半径。上述近似的物理含义是：在 单极子核内为伪真空，而在其外部是真真空。因此，其外部解可写成如下形式： 凼2 = ( ，一占2 2 g c r o m ( r ) 卜石弼1 非砌q 2 ( 4 - 2 2 6 ) 其中m ( ，) 为d b i 整体单极子的有效质量函数。将上式与式( a - 6 ) 相比较，可得： 占艿 r r 仉b rj、【 = 、- - 、 r 、 ， 第四章d i r a c b o r n i n f e l d 型拓扑缺陷的引力效应上海师范大学硕士学位论文 笔等= 一，一+ 三万3 一击( ，3 一万3 ) + 击( 2 + ，2 ) ；一击( 2 + 万2 ) 主 由度规的一阶导数连续性条件，即可得到核半径表达式：