（基础数学专业论文）第四类hua结构上的einsteinkahler度量.pdf

摘要 在本文中，我们研究第四类h u a 结构的e i n s t e i n - k 茜h l e r 度量令 i 帕1 2 k h c i v ：2 z e r j y ( f 1 ) ，e c ，q c ：万：篆而+ i 1 2 o ，p o ) 其中卢( 互z ) = 1 2 z 穷+ i z 1 2 ，r j y ( n ) 为h u a 意义下的第四类c a r t a n 域，穿 表示z 的共轭转置，n 为自然数莫毅明，丘成桐证明了c ，i 中的任意有界拟凸域 存在唯一完备的e i n s t e i n - k i h l e r 度量伍洪熙指出四类经典的不变度量中，由于完 备e i n s t e i n - k a h l e r 度量存在的证明是复杂的非构造性的，所以在有界齐性对称域 中，b e r g r a a n 度量就是完备的e i n s t e i n - k h l e r 度量对于一般的有界拟凸域，求 出其完备的e i n s t e i n - k i i h l e r 度量的显表达式是非常困难的 第四类h u a 结构日o y 的b e r g m a n 核函数已知，且易知它是穷竭的，所以 日o y 为有界拟凸域，因此存在唯一完备的e i n s t e i n - k i i h l e r 度量本文根据构造出 的解析不变量x = x ( z ，f ，q ) 将非线性的复m o n g e a m 砖r e 方程化为一常微分 方程，从而得到了度量的生成函数进而得到了日臼y 的e i n s t e i n k i h l e r 度量 并进一步给出了在特殊情况下h o y 完备e i n s t e i n - k i i h l e r 度量的显表达式，并由 此得到完备e i n s t e i n k i h l e r 度量下的全纯截曲率，而此时h c f v 为一非齐性域 关键词；e i n s t e i n - k f i h l e r 度量，h u a 结构。全纯截曲率 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ef o u r t hh u ac o n s t r u c t i o nw h i c hi si n t r o d u c e db y y i nw e i p i n g l e t 日= z e r i v ( 咄 e c , q e c ：茄眯队1 ，k 帅 。) w h e r ez ( z ，z ) 一1 2 z - 2 + i z z j 2 ，r y ( t 1 ) i st h ef o u r t hc a f t a nd o m a i ni nt h e s e l l 8 eo fh u a 君i n d i c a t e st h ec o n j u g a t ea n dt r a n s p o s eo fz ni sap o s i t i v ei n t e g e r n u m b e r ，ka n dpa r ep o s i t i v er e a ln u m b e r s m o ka n dy a uh a v ep r o v e dt h a ta n y b o u n d e dp s e u d o - c o n v e xd o m a i ni nc “h a sau n i q u ec o m p l e t ee i n s t e i n k i h l e rm e t r i c w up o i n t e dt h a ta m o n gt h ef o u rc l a s s i c a li n v a r i a a tm e t r i c s ，t h ee i n s t e i n k g h l e r m e t r i ci st h eh a r d e s tt oc o m p u t eb e c a u s ei t se x i s t e n c ei sp r o v e db yc o m p l i c a t e d n o n c o n s t r u c t i v em e t h o d s i ti sv e r yd i f f i c u l tt ow r i t ed o w nt h em e t r i ce x c e p to n h o m o g e n e o u sd o m a i n s ，w h e r et h em e t r i ci sd e t e r m i n e db yt h ei n v a r i a n tv o l u m e f o r mw h i c hi su n i q u eu pt oam u l t i p l i e a t i v ec o n s t a n t t h eb e r g m a nk e r n df u n c t i o n so nt h ef o u r t hh u ac o n s t r u c t i o nh c wa r eo h - t a i n e di ne x p l i c i tf o r m u l a s a n dw ek n o wt h eb e r g m a nk e r n e lo ft h ed o m a i n s8 f e e x h a u s t i v e 8 0 日c wi sab o u n d e dp s e u d o - c o n v e xd o m a i n t h u si th a sau n i q u e c o m p l e t ee i n s t e i n - k i i h l e rm e t r i c i nt h i sp a p e r ，w er e d u c et h eh i g h e rd i m e n s i o n a l n o n - l i n e a rc o m p l e xm o n g e - a m p 6 r ee q u a t i o nf o rt h em e t r i ct oa no r d i n a r yd i f f e r e m t i a le q u a t i o ni nt h ea u x i l i a r yx = x ( z ，f ， ) w eg i v et h eg e n e r a t i n gf u n c t i o no ft h e e i n s t e i n - k i i h l e rm e t r i co nh c l v t h e nw eg i v et h ee x p l i c i tf o r m so ft h ec o m p l e t e e i n s t e i n - k i i h l e rm e t r i cw h e ni ns o m es p e c i a lc a s e so fka n dp i nt h e s ec a s e 8 ，w e g e tt h eh o l o m o r p h i cs e c t i o n a lc u r v a t u r eo ft h ee i n s t e i n k h l e rm e t r i c k e yw o r d s ：e i n s t e i n k i h l e rm e t r i c h u ac o n s t r u c t i o n h o l o m o r p h i es e c t i o n a l 首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：孔鲥馘 日期：加7 年，月f g h 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的 学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：砘蜒埘 日期：) 扩。1 年孓月f f 口 序言 若复流形m 上的k h h l e r 形式o = ，= i f g i 3 d z io 五，是闭微分式，则称m 灯 上的h e r m i t i a n 度量9 i j d z 圆面为k g h l e r 度量又若k a h l e r 度量的r i e e i 形 甜 式是k i h l e r 形式的常数倍，则称该k i h l e r 度量为e i n s t e i n - k i h l e r 度量 二十世纪初e i n s t e i n 提出了狭义相对论和广义相对论，由于相对论受到的广泛 关注，负常曲率空问及其度量也引起了数学家们的兴趣1 9 8 0 年郑绍远，丘成桐在 文献【1 】中证明了c ”中的俨有界拟凸域存在完备的e i n s t e i n k i h l e r 度量 1 9 8 3 年，莫毅明和丘成桐将此结果推广到c ”中的任意有界拟凸域【2 j 众所周知，b e r g m a n 度量，c a r a t h 6 0 d o r y 度量，k o b a y a s h i 度量以及e i n s t e i n - k ；i h l e r 度量被称为复分析中的四类经典的不变度量1 9 9 3 年，伍洪熙在文献【4 】中 指出在四类经典的不变度量中，由于e i n s t e i n k i h t e r 度量的证明是复杂的非构造性 的，在齐性域中，由于b e r g m a n 度量下的r i c c i 曲率是负常数，因此b e r g m a n 度量 就是e i n s t e i n - k a h l e r 度量对于一般的有界拟凸域，莫毅明和丘成桐在文献【2 】2 中 给出的完备e i n s t e i n k i h l e r 度量的证明是存在牲的，而不是构造性的由于完备的 e i n s t e i n k i h l e r 度量在各类几何中应用广泛，如在强拟凸域问的常态全纯映射群的 紧性方面 3 1 而且任何e i n s t e i n k h h l e r 度量的不变量都给出了复结构的内蕴不变 量，所以e i n s t e i n - k i h l e r 度量提供了研究复流形的解析工具，如e i n s t e i n - k h l e r 度量产生的l a p l a c e 算子作用在流形的各种自然丛上。以及这些l a p l a c e 算子的特 征值相关的z e t a 函数应该具有和复结构关联的有趣性质 因此求出一般有界拟 凸域中的完备e i n s t e i n k i h l e r 度量的显表达式是很有意义的 1 9 9 8 年殷慰萍与g r o o s 引进了四类c a r t a n - h a r t o g s 域，在文献【6 - 1 2 中， 殷慰萍、王安等人计算出四类c a r t a n h a r t o g s 域的完备e i n s t e i n k i h l e r 度量，并 且在参数k 取特殊值时给出完备的e i n s t e i n - k i i h l e r 度量的显表达式在文献【1 3 】 中，王安，殷慰萍给出了第一类h u a 结构的完备e i n s t e i n k g h l e r 度量的显表达式 在本文中，我们研究第四类h u a 结构的e i n s t e i n - k i h l e r 度量令 h c i v ：= z e r w fe c , 0e c ：茄+ 1 f 1 2 0 , p 0 ) 其中z ( z ，z ) = 1 2 z 穷+ i z z 1 2 ，r ，v ( n ) 为h u a 意义下的第四类c a x t a n 域，旁 表示z 的共轭转臣n 为自然数 令z = ( z 1 ，z j ，z 。，f ，) ，即n = n + 2 ，z n l = f ，z = 叩 由文献1 2 j 知，若设h c , v 上的e i n s t e i n - k a h l e r 度量为 班堇袅d 厩 幽2 = 最d - r ， 则g ( z ) 是复m o n g e a m 砖r p 方程的下列d i r i e h l e t 边界问题的唯一解： ja e t 阮0 2 瓦g ) = e ( n + d g 。日。y lg ( 。) = o oz o ( h c w ) 我们称g ( 。) 是h c l v 上的e i n s t e i n k i i h l e r 度量的生成函数显然，若求出g ( ；) 的 显表达式，则完备e i n s t e i n k i i h l e r 度量也可以显式表达因此如果我们要求h o y 的完备e i n s t e i n k i h l e r 度量的显表达式，就只需要求出g ( z ) 的显表达式我i f 通 过域h c , v 的全纯自同构群以及一些全纯不变量将m o n g e a m 瞳r e 方程化为一 个常微分方程，再由方程的隐式解构造出生成函数，从而得到第四类h u a 结构的 完备e i n s t e i n - k i h l e r 度量并求出了当k = 下n + 2 ，p = ；时日o y 上完备的 e i n s t e i n k i h l e r 度量的显表达式进一步，我们求出了此时在完备度量下的全纯截 曲率 本文第一章给出了日c i y 的全纯自同构群以及一些全纯不变量，第二章给出了 一些主要的结论，第三章我们给出了这些结论的证明过程 第一章预备知识 蝣= 絮等，舻= i 壹j = l 絮筹如瓦一痂， 卜柏z - i + z z t ，竿) 叫。 1p = ( f 一矗) ( 1 一k ) 。 i 矿= e o o , q b 一蚤( 1 一1 2 ) 去( 1 一磊f ) 一毒 b = ( 竿，竿) 呻， 一南旧：并篙， a a t = ( 卜一碥) ，d d = ( ，一瑶) ， z o = ( 翔h z 0 2 ，一，) r t v ( n ) ，z = ( 。l ，砘，一，) r w ( n ) ，f ，q c 如r 证明映射，将( 磊，如，i ) 映为( 0 ，0 f ) 显然 4 第一章预备知识 删硐= i - 2 z 蹦翻2 , e ( 耻( 竿，竿) 一弼则蚊 献【1 2 】知 p ( z + ，z ) = i b i 一2 p ( z ，z ) ( 1 ) 而 即 所以 1 一医+ 1 2 = 1 k f o l 2 1 1 一矗f l 一2 j 1 一己f 1 2 k 一如1 2 1 一1 2 1 + i 岛1 2 2 一2 一i 如 2 1 1 f o f l 2 州k 叫掣 老舞删2 一， = 正黼( - 一| 2 ) i ，一磊l 一一竖二 掣 = 器【茄珊一t 。 即 劣皂+ l f 1 2 1 麒z 。，驴) p “。 所以( z + ，矿) h 西y 而全纯显然所以f a u t ( h c x v ) 证毕 命题2 令x = x ( z ，f ，q ) = 2 p ( z z ) 一i ( i 一蚓2 ) 一壶，则 l o x 在a u t ( h c v ) 下不变，即v f a u t ( h o y ) ，有x ( z + ，p ，矿) = x ( z ，f ，目) 其中( z ( 矿) = f ( z ，q ；z o ，岛，) ； 2 0 对任意( z ，q ) o v ，有0 曼x 1 证明i o 由( 1 ) ，( 2 ) 式知 x ( z ，r ，矿) = l 矿1 2 p ( z ，z ) 一嚣( 1 一i p l 2 ) 一- k = l q l 2 i b i 一鲁( 1 一i 岛1 2 ) 矗1 1 一己f l j i b i 等声一蚤 ( 1 一i 如1 2 ) 一毒( 1 一i f l 2 ) 一矗1 1 一己引毒 = i 1 2 口( z ，z ) 一蚤( 1 一i f l 2 ) 一毒 = x ( z ，q ) 2 0 ，由爿篓+ 2 l 知，l q l 2 ( 互z ) 一番( 1 一蚓。) 一毒 1 ，即。x 1 加( ：o z * 9 7 1 i ， 型o z = 赤p z 军酵卜 乱蜊= 0 制) - l ； 玺l 如一邮，矿射舶( 彦z t 固们埘净； 乳名扣；= 邸，刁- 2 - e i e , o o r l ( 1 州一i ； 6 第一章预备知识 筹l 如玎坝那) - 最e 8 0 ( 州一 所以 a e t 地一= ( 1 e t ( 等) 簧筹k 渊 = 一d e t d z a e t | 一。军鬻】 i - 蚤p ( z ，z ) 一景e 咖( 1 悸1 2 ) 一击( 1 一i 1 2 ) 一1 一# 笔旆d e 岈一量+ 哪能矿嵫瑚以h 铲) - i 击+ 1 ) 因而 d e t j p l 2 z o ；z 。e o = d e t j r z o ：z 。e o 。i 而z o ；z 如 = 褊d e t d z d p ( z ，z ) 。嚣+ 哪( 1 一k 1 2 ) 叫壶+ 2 ) d e t d z d = 鬻， 所以jd e tj f i k ：孙= z ( z ，z ) 一嚣+ ”f 1 一”) 一毒+ ”， 其中d z = d i 历：z ，i = e 争证毕 为了以后计算方便，我们在这里给出解析不变量x 的二阶偏导在点( 0 ，0 ，q ) 的 值： 首先引进记号： 记。= ( z ，叩) = ( z l ，z 2 ，。 r ) ，即2 _ 一l = f ，钳= 叶，n = n + 2 由命题2 知： 1 口s n 一2 时， 篆= 一警邸，玎 痃吲2 ( 1 制一 = 一警x 孵，z ) - 1 ( 知痃一磷 蔓= 塞塑鱼墅塑 7 所以飘蚋，一。 疗= n 一1 时。 腿2 。 筹= 警= 纠1 邸 z ) 一蚤( 1 制一手= ( 1 制) _ l 零 所以豢l 们一。同理杀l ，一o o r = 时， 坚oz一筹一坠=秽(五矿蛋(1咄n一壶=普，oo va z 口 “。、一一7 、。 目 又删o ，o 瑚州知，飘删哂同理飘n 。) 邓 筹l 徊。棚。 ：三二! 一。，；丢f 徊，。翮。 ：，r = ，n s 一，( 3 ) 进一步，我们有 1s 盯，r n 一2 时， 篆一翟瓦o x 配种知彦吲一警删础厂( 2 辐氓) + i 4 p x 芦( z ，z ) 一2 ( z z 磊一z r ) 痃一磊) ； 篆一等o 蜒x # z 刃吲； 蒜一2 k p 筹即( 靠宠锄 器= 刍筹( 制广享； 簇可1 面o x ( 1 制广乏+ 喜( 1 删) - 2 ； 蒜= 耳1 筹( 1 州一己 8 曼二塞塑鱼塑墨一 伊x 1a x i h i 扼fq 铌t 萨x1a x 8 n 8 q 8 i 伊x1 卸研q 由1 0 知， 8 xx 酉2 研 器l ( 0 ，0 。，= 等m ，簇l ( 0 0 神可x 器i ( 0 o 啪。z 豢l 【0 0 埘= 器l 神= 器l ( 0 ，0 神= 篆l 们= 箍0 0 0 - ；i ( o t 0 ，帕 以。瑟h o ，1 ) a 如两l ( o ，o ，神厌h o ，_ ) 哭淅i l o o 们 r | ( o t o ，帕 = 簇b - 0 其幅2 1 0 - 2 7 ， 综上所述， 黑l ：其中胁： a 知掘t ，1 ) 口，7 | = 1 ，2 ，j 、r 0 2 p k x k 1 盯r x 口= r 且1 口，r n 盯= r = 竹+ 1 口= r = 礼+ 2 ( 4 ) 第二章主要结论 在这一部分中，我们给出本文的主要结果t 林萍，殷慰萍在文献f 1 5 | 中绘出了第四类h l l a 结构的b e r g m a n 核函数，且易 知它是穷竭的，所以h c t v 为有界拟凸域，由文献1 2 】知存在唯一的完备e i n s t e i n - k i i h l e r 度量t 定理1 设9 是l - i c r v 的完套e i n s t e i n k i i h l e r 度量的生成函数，则有 g 。丙备l o g ( 2 p ) - 2 k 1 - y 肛2 ( 1 ，+ 口) y ( z ，z ) 嘶脚一m 一】， 其中y 是下列常微分方程的唯一解 卜肛2 ( y 十q ) 儿y m + 型半y 十耥y 饥c 卜，= 鼎 【 ，( 1 ) = o 。； 这里 【鼎j - 1 【鼎+ 唑产鼎+ 端纠； a = 昙棚q = 尚( 。+ i 1 一；) i _ 己h c 。v 为h 。y 中取p = ；，= 丁n + 2 ，即 日嘞= z r t v 艇c 雕c ：蒜州 1 下面定理给出了非齐性域日e 的完备e i n s t e i n - k a h l e r 度量的显表达式： 定理2 域h c 的完备e i n s t e i n k i i h l e r 的生成函数为 9 = l o g 击( 纠错k 错口( z ，z 一( 1 一2 ) 一击 ， 其完奋的e i n s t e i n k i i h l e r 度量的显表达式为 d s 2 ：( d z ，必，d 町) t 面瓦歪j 布 1 0 其中 第二章主要结沧 纠蹦= ( 袅) a , r = 1 , 2 , - - , n 设g 为定理2 中给出的域h c 中完备e i n s t e i n k i i h l e r 度量的生成函效， 日c 中e i n s t e i n - k & h l e r 度量下的全纯截曲率可定义为下面的形式 ”【cz，e，们，dcz，e，”，1=兰垡量曼!苌云；i；i丢笔琶铲 其中a = 粪岳否= 粪去佤，t = c 胁，是度量矩阵叩乩z ， 由于全纯截曲率在全纯自同构群下具有不变性，而对任意( z ，f ，q ) h ( ，都 存在f o 将点( 么， ，q ) 映为点( o ，0 ，矿) ，而由文献1 18 】知 叫i ( z ，f ，叩) ，d ( z ，f 叩) 】= 埘【( o ，0 矿) ，d ( z + ，。，矿) 】， 因此我们只需计算w 在( 0 ，0 q ) 点的值即可 下面我们给出c 在( o ，0 q ) 点的全纯截曲率： 定理3h c 在( o ，0 ， ) 点的全纯截曲率 u 【( z ，f ，q ) ，d ( z ，训( 。，m q ) “ 叫+ ( 磊凇i1 2 + 莉2y j d s l 2 + y u i d , 7 | 1 2 ) 。2 篱争啦1 4 + 瓣1 6 ny 嘲i d o l 一南嫩1 4 + 南y 3 i d o l 2 俐2 + 燕y d z d z 个 其中y 同定理1 第三章定理的证明 f d e t ( 袅) “州一一r l 9 ( ：) = 。o ( h c f v ) d 。( 舅。( z ，f ，口) ) 矗= d z ( 9 。( z f ，矿) ) 万罗( 6 ) 瞄= 筹幽+ 簧蝌+ 蒜螈 - ( d 钆锄，础) ( 蔷，甏，蒜- l z ， d z = ( d z l ，d z 2 ，d z n ) 代入( 6 ) 式即得 即 ： 以l 以： c 9 2 2 a 露 a o a 。 o z i a 靖 o z 2 a 确 a z n ( i 如f ( z ， ， ) ) = j ，( g o ( z ，f + ，叶) ) 了 = d z j f d e t ( 9 。f ( z ，q ) ) = l d e t 矗 2 d e t ( g o t ( z * , p ，矿) ) ，( 8 ) 两堕 第鼍章定理的证明 则由( 5 ) 式知， 两边取对数得 e ( n + 1 ) 9 ”) = id e t 厶1 2 e ( n + 1 ) g ( z t 矿) g ( z a 砌= 志】o g | d e 剧2 + g ( z 。，c , r f ) ( 9 ) 仕葸【z ，哪爿u j y ，在f ( z ，( ，”；z o ，o ，o o ) 甲取拳双么o2z ，o2 ，o o 。 一a r g ( m 一嚣) ，记为f o ，则f 0 将点( z ，q ) 映为点( o ，0 ，矿) ，且矿= i = x ； 由( 9 ) 式知， 9 ( 硪， ) = 志l o g i d e t 如1 2 + g ( o ，o ) ( 1 0 ) 令 ) = g ( o ，0 ，x ) = g ( o ，0 ，矿) ，则由( 1 0 ) 式及命题3 知 “z ， ，叩) = 矗( x ) + 丙 了l o g i d e t j r ( , 1 2 = ( x ) + 志l 。g ( z ，z ) 一嚣川( 卜m 一抑】 叫x ) 一篇l o g f l ( z , 矿揣l o g ( 1 球门 = h ( x ) 一志l o g f l ( 邪) 一篇l o g ( 1 冰门 其中a = 昙机 所以 骞纠( x ) 差一丙2 a i 9 ( z , z ) 。( 知影一砒 瓦o g 纠c x 爱+ 篇南； - - 叫= , ( o 叨x 口= 1 ，2 ，一2 进一步有 鑫州( x ) 筹筹州( x ) 器一2 al f l ( z 纠2 编也) 一尚郎，矿2 协一z z ( 岛历f _ 引； 第鼍章定理的证明 袅= h n ( x ) o x 8 z 。8 o z 口 鑫圳c x ，筹- 袅甜c x ，鼍 簧圳柳瓣0 2 x 筹州( x ) 蒜 筹“( x ) 罴 袅川x ，箦- 筹删x ，簇+ 耪c - 珊) - 2 ； 翥列c x ，箦筹“c 删纛； 袅列( 剐筹瓦o x “( x ) 箍； 簇州c x ，筹篆川c 剐簇； 器圳( 剐面o x 丽o x 川( x ) 器 - 1 2 ， - 2 由( 3 ) ，( 4 ) 知， 令 袅l 川挣x + 刹慨= 蠢 袅k ，= 和m 指1 必壤h m q ) k ”。+ 器| ( 0 ，0 神= 硼玳 ，( x ) 旦f ；鱼f ：堕l ：塑i 丽k ，) 。砀| ( 0 0 神2 丽| ( o t o 神2 瓦历j ( 0 ，0 神 ：皂i ：塑l 姐 2 砺| ( o o 神。丽乱帅，到 ) = 剐m 揣 ( 1 1 ) 第i 章定理的证明 则 d e t ( g 口( 0 ，0 q ) ) = d e t 其中口= 而k ( z + 瓦1 一；) 所以由( 5 ) 式知 两边求对数得 叩0y ：， ， 去( y + q ) oj n 2 ) 0j 三k ( 警y ) 一2 ( y + q ) y = e ( “m “ l o gy n - 2 ( y + q ) y + l o g ( 2 p ) 。一2 一l o gk 。v 一1 = ( n + 1 ) h ( x ) 两边对x 求导得 筹黼= ( + 1 ) 郴) ，y 一2 ( y + 0 ) y r 叫”r i ， 两边同乘x y n - 2 ( y + q ) y 7 并由( 1 1 ) 式得 x w n - 2 ( y + q ) y 7 ) 7 = ( n + 1 ) x h 7 ( x ) ( y n - 2 ( y + q ) y ，) ， 刈删卜鼎】y _ 2 c y 即 ( x y n - 2 ( y + q ) y ，) ， = ( n + 1 ) = ( n + 1 ) 卜鼎 y - 2 ( y + q ) y , + y n - 2 c y 圳 y 一鼎+ 志卜2 c y 堋 - ( + 1 ) y n y t + 学y n - i y + ( + 1 ) y n - i y , q + p - - p k a y n 。2 咖 口p = ( y n + 1 ) ，+ 等+ 等q ( + 揣( 乜 ( 1 3 ) 2一 f o o y 印瓦 第i 章定理的征明 两边同时积分得 x y n - 2 ( y + q ) y , = y n + lj r 型号笋塑y n + 揣产1 口+ c 其中e 为常数 取( z ，0 ) h c l y ，此时x = o ，y ( o ) = a p ( n + 1 1 ：一 丝墨 1 n ”一竺二丝苎丛生1 2 叟 【p ( n + 1 ) jp n p 揣( n1 【鼎 - l q一) 【p ( + 1 ) j = 一【鼎 - l 所以 k a 1 l 币再可j f ( n 斋+ 型燮p np 鼎( n1 + p 揣( n 1q j 【+ 1 ) 2 + ) 一) 咩j 设g 是m o n g e a m p e r e 方程( 5 ) 的一个解，则当x 一1 ，即：a ( h g v ) 时， g o 。，即h o o 而由( 1 3 ) 式知， 面( 2 p ) 可n - 2y “y = 啊1 。+ l m 所以y 一1 的导函数为正，且当x i 时趋于无穷因此y 是严格单调递增的， 且将【o 1 ) 映为f 丽等拿可 又由( 8 ) ，( 1 2 ) 式知， o 。1 9 ( z ，f ，q ) = j 而i l 。g ( d e t ( 跏( 互f ，q ) ) ) 2 志1 。g ( d e t ( 断( o ，o ，q ) ) ld e t 如f 2 ) ( 1 4 ) = 而1 - o s l 嚆笨鬻| 其中y 是下面常微分方程的唯一解 x y n - 2 ( y y ，一吵1 + 型号掣塑y n + 揣y n - i q + e y ( o ) = 鼎 y ( 1 ) = ( 3 0 ( 1 5 ) 证毕 注记1 由以剀我们有c x = e p ( ，其中 ) = 丘，两覃巫乒y n 硒- 2 ( y 百+ q 焉) 丽a y 矿是一个正常数，y 是x 的函数这是方程以彩带有边界问题的隐式解 为 定理2 的证明： 在日o y 中令p = ；，k = t n + 2 ，则有定理1 中的q = o ，e = o ，方程( 1 5 ) 化 x y = y ( y 一1 1 y ( o ) = 1 y ( 1 、= 解之得y = r 与，所以由( 1 4 ) 式可知 ( 1 6 ) 配删= 而1 l o g ( 2 p ) 艄k 1 一l ，y 7 e ( z ，矿”+ 脚一m 一棚】 乩g 【研1 ( 印) + l n 2 k in p ( z ，z ) 一景( 1 一i f l 2 ) 一素】 ( 1 7 ) 由命题2 ，上式即 9 ( z ，f ，q ) = l o g ( , 3 ( z ，z ) 量( 1 一i 1 2 ) 壶一l q l 2 ) 一1 ( 2 p ) 而n - 2 k 而l - n 】 ( 1 8 ) 下证g 是方程( 5 ) 的解 蔓三皇塞曼盟堡塑 1 7 对v ( z ，q ) 日c ，由( 1 7 ) 有 进一步有 鱼：去娑一挈p(z，z)一1(匆一嚣)o z o = i 1 = 了i 石i i p t 二五j 2 。正厶一。 a 9 1 8 x 1 瑟。f 珂瓦十瓦丽 却 1 o x 瓦。f i 面 生： !丛 a z ，晚， ( 1 一x ) 2o z o o x1铲x 瑟+ f 巧丽 一赛( z ，z ) 一2 【( 互z ) ( 2 乙一踮) + ( z 。乏孝一乙) ( 2 z z - r 一2 2 ，) 1 伊口1 a 次( 1 一x ) 2 伊口1 a 靠厕( 1 一x ) 2 。2 口1 厌旎，( 1 一x ) 2 0 2 9 1 碱2 丽 a 2 01 a 淅( 1 一x ) 2 0 2 9 1 却扼，( 1 一x ) 2 所以 8 x 8 z 。 a x 8 k 8 x 必 0 x a f 0 x 必 8 x = _ 一 哭 8 x 丽+ a x 砭+ 1铲x 1 一x 1 1 一x o z c , 发 a 2 x 8 z 。硒 1俨x 两两磊 a xl 瓦+ = x a x 1 拥。1 一x 8 x 8 x10 0 x 面瓦+ f 巧+ 石磊； 0 x0 x 10 2 x 8 q 痰i1 一xa q 廷? 筹筹+ 击，器一，。，n却8 i 1 一x 卸酾 。 袅k 1 _ i 2 p 击帆= 篙 t i | 一 一k + ， 坚谳堕撕 空一 = = 哟丽妁丽 袅l帆m，1研1i1 ；器k m = 尚哐( o ，o ，帕 k x 却淅i ( 吣) ( 1 一x ) 2 袅b = 鑫k 计一鑫l ，一怒ba 西j f o ，o 神出一铆i ( o _ o ，计厌以r | f n o f 神厌两i ( n n 计 。旦i 。塑i o a 钌i ( o ，o t 神a 口a ( n n 神 由( 8 ) 及命题3 知。 酬卯怎枷叫地t r 去善三 = 壶( 翟) “一2 。一1 x r 、n + l 口( z , z ) 一t n + 量，( 1 一悻f 2 ) 一c 壶十2 ) 由( 1 7 ) 知此即对任意( 五已r ) c 都有 d e t ( 鼬f ( z 口) ) = e ( 。+ 1 ) g ( 2 ，川 若点( 牙，f 日) 0 ( h c j y ) ，当( z ，q ) o v 且( 互f ，q ) 一( 2 ，i ) 时， 爿参+ 2 1 0 + ，由( 1 8 ) 知，9 一o o 所以9 ( 2 怎。) = + o o ， 综上所述。g ( z ，f ，口) 是方程( 5 ) 的解由文献【1 】及文献【2 知，g 是唯一的 所以h c 的完备e i n s t e i n k i h l e r 度量的显表达式为 其中 ds2：(dz，埏，drl)t“(dz,d,dry) 州捌= ( 袅) 乩z ， 笙三童塞堡鲤垂婴 1 9 具体地。 寸彳去 又结合命题3 可得知 o 0 l ( 1 一x ) 2 耻志阳，叫华雾卜啦f ，一。 z 乏一z 1 一 z + 志3 ( z , 巧嗤+ 2 w ( 1 _ i 铲) 1 1 【- - 么么t z t _ 魂砑z z ) 瓦：= 一j 志臼( 互z ) 叫l + 纠川2 ( 1 一蚓2 ) 叫击+ 1 搬乏穷一旁) ； = 币b ( t 2 3 = 志 乃l = 元3 如= 吃 p ( z ，z ) 一( 1 + 嚣( 1 一障1 2 ) 一壶叼( 露z 一君) 1 一i f l 2 ) 一2 + 志卢( z ，z ) 一嚣l q l 2 ( 1 l f l 2 ) 一( 奇+ 2 i f l 2 ； 卢( z ，z ) 一嚣( 1 一k f 2 ) 一( 嘉+ 1 享叩 = 杀嘉邸，矿即咪1 2 ) 矗 证毕 一尸 等 百秃 一一 i i 民 翰 第i t定理的_ 芷明 定理3 的证明 由 及命题3 可得 其中 下_ 汁 ，噩。孔。孔。 i 丁= lt 2 l 踢殇 i i 马lt 3 2 噩t=警ycz，z，一1，一。墨雩：；静。z。，一z塑1-izzt2 j 1 + 篙即( 邪) - ( 神惭( 1 咄一一x ( 一z zz 一魂勿牙一戤 丑2 = 一雨2 p y 7 肥1 + 锄2 ( 1 一m 一( ( 勿z 一方) 7 1 3 = 2 n 旱p y p ( 五z ) 一( 1 + 量( 1 一2 ) 一蠢卵( 乏z z t 一旁) ； 疋l = 置2 ； 踢= k ( 1 一m 一2 + 万1y 卢( z ，z ) 一锄2 ( 1 一i ( f 2 ) 一( 杀+ 2 惭； t 2 3 霄1y 7 ( z ，z ) 一嚣( 1 一l f l 2 ) 一( 功； t 3 。= z 。；如：兑； t 3 3 ：y ，序( z ，z 1 一嚣( 1 一l e l 2 1 1 第i 章定理的证明 于是有 f i t , l l ( 。o 神= 2 k p y i - # ，r m ，i ( n - 2 ) ，a 砀i ( o ，o t t f ) 一去y 砌；0 9 t 3 1 l ( m o ，) = i 2 p f , 面据 | ( 0 n 圹去l ，锨；甄) = ，； o 船n l ( o , o ，_ ) = 船1 3 1 ( o , 0 1 ) 。t ：舰r 2 1 i ( o ，o ，_ ) = f ( o 冉”) 一0 又由x ( o ，0 ，q ) 一2 ，所以 百观- | 1 0 ，0 朋= 筹( x y + 菩y ) l d z l 2 1 ( n - 2 ) + 雨2 p x y ，i 蚓2 q ) 百帆。k 帕= 否a t , 3 1 ( o ，o q ) = 石犯t f ( 0 0 神= 百a t = i o ，。q ) = 百矾s 神= 百喝l i o t 帅】= 百强2 l o t 呐】= - 0 0 t 3 3 1 ( o ，o ，q ) = 令 + 万2 p 唧”+ y ，) l d 删肌。l8 - - 罢y d z 弦+ 篙x y 7 - 乏f d z ； 雨2 px y 埏万； 餮( 删+ y ，) d 耐； 雨2 p f , - 吣5 d z ； 丽2 p x y 懈1 2 + 丢【k y + x y ，】l 蚓2 + i ( x y ”十y ，) 泐r i ( x y ”+ y 7 ) 砸却； i 2 p ( x y ，十y 7 ) - 而d z ； 去( x y ”+ y ，) 武而； i 2 p ( x y ”十y ) l d z l 2 + k ( x y ”+ y ) 蝌+ ( x y 州+ 圳讲 一玎r j卯一1夏尹l。，。，=：(三j兰兰 而 第i 章定理的证明 所以 f ，刍帅。1 t - l l ( o , o , w ，) i 。0 引 卯隹蒌 研= 睢蒌) 一 刍蠲- 玩t + 等蠲z 瓦。+ 刍髑。玩s 百明t l ( 0 帅， 一4 p 2i x y ，+ 菩y l d z 2 ln - 2 ) - 景删i d o l 2 删 + 等f 掣竽- x y - y l d w l 2 1 ( n - 2 ) + 耳8 p y 彪砺一第x y 万担 = 参观t 或- + 等蠲。巩+ 刍帆。玩。一观z ( 0 1 = 一雨2 px y 武寤； = 参观t 玩t + 等帆。碗+ 刍船s 喊一观s 虬帅， ：凳 竽- x y - y 卜万； 整三主壅星鲤亚盟23 兄- = 刍仍t 硝t + 等玩：+ 刍喝s 玩。一现- 】l ( 0 。神 一瓦2 ； 如= 【刍奶t 覆t + 等巩+ 刍犯s 瓦一溉】1 1 0 1 一一面2 p 删l a z l 2 一扣y + 硼奸一去【平- x y - y i 哪i 一【刍奶t o t 3 一+ 可k 叫南洲岛+ 刍嘁一- 0 0 1 2 。 f ( o m ， 一妻f 竽- x y - y 面, l ”； 风t 一 刍矾，蜀- + 等玩。+ 1o t a a 一0 t l 。一溉z 儿舯， = - - “t 1 3 i 如= 刍船- 瓦t + 等隅：瓦+ 刍死一溉虬神 = 砭； 如= 刍隅- 一0 t 3 - + 可k 洲”洲- - 。t z + 刍弼。巩一舀隅。】l 。叭m = 警 竿- x r - y f d z l 2 + 去 竿- x r - y i , 埏1 2 + 竽一”一y 忡2 由( 1 6 ) 式知，x y 7 = y 2 一y ，而y = r 兰可，所以 ，7 = y 2 ，”= 2 y a ，胛= 6 y 4 且 + y ，- 2 y 3 - y 2 ，平一- y ，= ，竿一x y - y = - 2 y 4 第j 章定理的证明 由此可得 = 一南( y 2 + ；y ) l d z l 2 ) 一两4 n 矿( y 2 - y ) i d o l 2 p ) 一燕垌却1