（基础数学专业论文）奇异积分算子及euler方程中若干问题的研究.pdf

中文摘要 第一章中我们考虑r ”上强极大算子的可积性对舻上局部可积的函数，它的 h l 极大函数定义为 m ( ，) ( z ) = 娑i i q f ( y ) l d y z 0j 其中q 表示方体而它的强极大函数如下定义 螈【，) ( z ) = 娑p 高二i m ) mz i lj p 其中p 表示边平行于坐标轴的矩形此外，定义多重极大算子 m + ( ，) ( z ) = 矗帆( ，) ( z ) 其中屿表示第j 个坐标轴方向的一维h l 极大算子。 当，有紧支集时，关于它的极大函数的可积性s t e i n 在f 6 6 】有个著名的结果：对任意 有限测度集e ，m ( f ) l 1 ( e ) 当且仅当f l i n + l ( r n ) 另外j e s s e n - m a r c i n k i e w i c z z y g m u n d 在【3 8 】中证明了：对任意有限测度集e ，m + ( f ) l ( e ) 当且仅当，l ( 1 n + l ) ”( r “) 这个结果也可参看f a v a - c a t t o g u t i 4 r e z 【3 1 】因为 如( ，) m + ( ，) ，所以当f z ( 1 n + l ) “( 胛) 时对任意有限测度集e ，m s ( ，) l 1 ( e ) 。 在文献【3 1 j 中他们猜测：如果对任意有限测度集e ，m s ( f ) l 1 ( e ) ，那么f l ( 1 n + l ) ”( 冗“) 在【1 】和【3 5 】中他们分别证明了存在许多函数，l i n + l ( r 2 ) 使得对 任意有限测度集e ，m s ( f ) l 1 ( f ) 在第一章中我们用更简单的方法证明了他们的结果，更主要的是这里的方法适用于 所有维数，而f l 】和f 3 5 】很难应用到高维欧氏空间。有趣的是高维空间对函数的要求和两 维是一样的，我们主要证明了以下定理。 定理1 _ 1 1 对任意紧支集函数f l i n + l ( r “) ，必存在函数9 l i n + l ( r n ) 使得 ( a ) g 和，有相同的分布函数； ( b ) 对任意有限测度集e ，m s ( g ) l 1 ( e ) 这个结果公开发表之后，我们被告知在o n i a n i 的文章 5 2 】中包含了这里的结果，他 的结果强一些，不过证明要复杂的多 第二章中我们考虑一类日- 粗糙核极大奇异积分算子的弱( 1 ，1 ) 有界性对于， 酬月4 ) 及n l 1 ( s “1 ) 满足屈一z n ( 。) 如= 0 ，定义 t l2 ( ，) = 。嘛l 堕俨m 刊蛳 在文献 8 j 中，c a j d e r 6 a 和z y g m u n d 证明了如果n 三i n + l ( s “1 ) ，即 i n ( z 川l n ( 2 + l n ( z 引) 副 。， 那么对1 p o o 算子五z 是驴有界的在文章【5 9 】和【2 2 】中，r i c c i - w e i s s 和c o n n e t t 分别证明了如果n 日1 ( s 8 1 ) 那么对1 划c a ( ：a 。) a 。1 其中常数c 和，a 及n 无关 在第二章第三节中证明了 定理21 3 如果p 。( o ，1 ) 且。肌 a ) l g p 。h 1 1 1 1 1 其中c 是和，a 及n 无关的常数 根据上面的定理我们有 推论2 1 1 对任意单调递增函数妒：f 0 ，o o ) 一 o 。) 满足_ p ( o + ) = 0 ，如果有 l i m 业： + t 那么存在n h 1 一妒( l ) 使得丑t 是弱型l 1 有界的，其中 v ( l ) = n ：上。妒( 阳) 问 1 使得h ( c t ) 2 h ( t ) ( v t ( 0 ，o 。) ) ， 其中h ( t ) = 竹，( f ) 一7 ( ) ( b ) 1 是偶函数，则存在一个正常数c l 使得1 ，( c t ) 2 7 似) ( v t ( 0 ，o o ) ) 这个定理可参看文献【5 1 】，需要注意这里的条件蕴涵7 ，( 0 ) = 0 。以及条件”1 7 ( 删 2 1 俅) ”可推出”h ( a ) 2 h ( t ) ”。 定理3 1 2 如果西( 。，t ) = ( t ( z 1 ) 7 ( t ) ) ，其中= p 是实多项式， ( n ) 7 c 3 ( 兄1 ) 是奇函数或者偶函数，在( o ，0 0 ) 上是凸的且7 ( o ) = 7 ，( 0 ) = 0 ， ( 6 ) a ( ) = 等等单调递减且在( o ，o 。) 上有正的下界 那么 b 是l 2 有界的而且l i h m l i l ：一口和多项式p 的系数无关。 这个定理具体可参阅 5 ，其中特殊情形( z - ) = z 也可参阅文献【1 2 】 在第三章中我们主要建立以下两个定理 定理3 13 当西( z ，t ) = ( t ，咖( z 1 ) 1 ( t ) ) 时，存在c ”( r 1 ) 以及7 ( 奇或偶) 满足( 3 1 2 ) 一 ( 3 13 ) ，但是嘞，( = e b ) 不是l 2 ( r 2 ) 有界的事实上这里的可以是性质相当好的解 析函数 定理3 14 当圣( z ，) = ( t ，( z 1 ) 1 ( ) ) 时，如果= p 是r 1 上的实多项式，7 c 2 ( r 1 ) 且 7 ( o ) = 7 ，( 0 ) = 0 ，- r ( t ) o ( t ( 0 ，o 。) ) 7 是奇或偶函数， 另外如果再存在正数a 和m 使得 鬻一籍尚t 篙) u ， s ，7 似) 7 如) 20 + + ”一7 那么我们有l f 地，u ) 1 1 2sc f i 州2 ( v ，s ( r 2 ) ) ，其中e 只依赖于a ，m 和多项式p 的次 数 这里的结果表明如果7 ( ) 替换成( z 1 ) 7 ( ) ，那么即使和7 都有相当好的性质以 前的定理也未必成立 这里的定理在比定理31 2 更弱的条件下证明了这类算子的有界性，证明的主要想法 来源于c a r b e r y w a i n g e r - w r i g h t 1 2 】及b e n r t e t t 5 】，但是我们在后面的式子( 3 , 3 1 9 ) 中通过 处理吼。心而不是兄：。吼从而大大简化了文献 5 j 中的证明，而且减弱了条件 第四章主要研究了一般非倍测度下极大奇异积分算子作用在l 。和r b m o 上的性 给定r d 上一非负r a d o n 测度肛，满足线性增长型条件 p ( 日扛，r ) ) 1 r ”，z 月4 ，r2 - 0 这里n 是一个不大于d 的固定正数 ( z ) 是r 4x r 8 ( z ，y ) ：z = 订上的局部可积函数且满足 一 f 后( z 一可) f + l 七( 可，$ ) i f ；= 三j i i 给定上的局部可积函数，定义几个算子如下 疋，n f ( x ) = ( z ，y ) ，( g ) 咖( ”) o e 1 ) 时解的适定性。 另外当初值属于b e s o v 空间时关于e u l e r 方程解的性质也有许多工作，例如b a h o u r i 和c h e m i n 2 】，v i s h i k 8 3 ，8 4 ，8 5 】。给定初速“o b ；。，现在已经知道当s ：+ 1 时方程的解 和古典解类似，其光滑性并不随着时间增长而减弱然而当s ；+ 1 时在文章中【2 】他们发 现涡量的光滑性将随着时间增长呈指数衰减对于临界情形s = ：+ 1 ，q = 1 ，1 p 1 ，p c o ) w 8 + ；，9 cc 8cs 1 1 w n ；，c 牟尊c b p l + l ；c b 毛， 因此我1 1 3 的结论补充改进了已知结果b 毛1 是c 1 的真子空间，而且关于乘法运算封闭。 对于初始涡量在l p ( i 1 ) 的涡量u o = j o e o 满足( a ) l u 8 l c r ( x ) ；( b ) u o 有一紧支集那么e u l e r 系统存在以u o 为初始速度的全局轴对称 无漩解。 在【5 7 】中r a y m o n d 得到了更强一些的结果。关于光滑解的存在性他证明了如下命题 命题6 12 如果散度为零的轴对称无漩向量u o c 3 n 口( s 1 ，l p ) 而且它的 涡量u o 满足 i u o l + l “o ( = 詈) i l 9 n l 。佃 1 ) ，且l u o ( z ) i c r ( z ) 其中c 是个与z 无关的常数，那么不可压缩e u l e r 方程存在唯一的光滑解 u ( z ，t ) e ( 【o ，o 。) ；c 。) nl t p ( i 0 ，o 。) ；l 2 ) 注：由于当r ( z ) = 0 即z = ( 0 ，0 ，z 3 ) 时u o ( z ) = 0 ，根据这个定理可以知道当u o c 2 e l l 2 时e u l e r 方程存在唯一的光滑解 当u o 不具有足够光滑性时，c h a e k i m 在文章【15 】中获得了一些关于无漩轴对称弱 解存在性的结果，细节可参阅相应文章r a y m o n d ( j 5 7 】，定理3 3 ) 得到了一个y u d o v i c h 型( 8 6 】弱解的全局存在性和唯一性结果，他的结果可叙述为 命题61 3 假设u o l 2 是散度为零的轴对称无漩向量而且吣a o = 半l q nl o 。对 某一个q 2a ni n t e r e s t i n gt h i n gi st h a tw ed on o tn e e d ，l ( 1 n + l ) 一1 ( r ”) p r e c i s e l y ，w ep r o v e d t h e o r e m1 1 1f o ra n y ，li n + l ( r ”) w i t hc o m p a c ts u p p o r t ，t h e r ee x i s t saf u n c t i o n g 工i n + 工( 酽) s u c ht h a t ( a ) ga n d ，h a v et h es a m ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ； ( b ) m s ( g ) 工1 ( e ) f o ra n ym e a s u r a b l es e te o ff i n i t em e a s u r e a f t e rt h i sr e s u l ti sp u b l i s h e d w ew e r et o l db y0 n i a n it h a to u rt h e o r e mi sc o n t a i n e di nt h e w o r k 【5 2 】，b u th i sp r o o fi sm o r ec o m p l i c a t e d i nc h a p t e r2w ec o n s i d e rt h eb o u n d e d n e s so fw e a k ( 1 ，1 ) o fac l a s so fm a x i m a ls i n g u l a r i n t e g r a lo p e r a t o rw i t hh 1r o u g hk e r n e l f o r ，s ( n 4 ) a n dn l 1 ( s 8 1 ) ，f s , 一ln ( z 7 ) d z = 0 ， d e f t n e 础= 。嘛l ! 。掣m 刊由- i nmc a l d e r 6 na n dz y g m u n dp r o v e dt h a ti fn l l n + l ( s 8 1 ) ，i e 上。1 n ( z 川l n ( 2 + i n ( z ) 1 ) d x o 。， t h e n 正ji sp b o u n d e df o r1 p ( 3 0 i n1 5 9 】a n d 【2 2 】，r i c c i w e i s sa n di n d e p e n d e n t l yc o n n e t t p r o v e dt h a ti fn h 1 ( 6 t d - 1 ) ，正1i sl f b o u n d e df o r1 0a n d i sa r ih 1 ( s 1 ) 一a t o m o ns 1s a t i s f y i n gs u p p ( a 。) c 厶，i i 。【j 。兰2 “a n db a n ( o ) d o = 0 t h e n ，l | 正l 忆z 。w l l c ( 袅1 ，。) w h e r eci si n d e p e n d e n to fna n d ! h e r ew es h a l lp r o v et h a tt h e r ea r eac l a s so ff u n c t i o n si n 日1 ( s 1 ) 一l l n + l ( s 1 ) s u c ht h a t 正li sw e a kt y p el 1 _ b o u n d e dw eh a v e t h e o r e m2 1 2l e tkd e n o t et h ea r ci ns 1 w i t hc e n t e re na n dl e n g t h2 p n ，d i s j o i n t m u t u a l l y , a n d 肚o s u p e s a 。聂l _ w 尚e i 锄 n ：p 厶i 口一 2 l e tn = pa n n nw h e r e fj a n l 0 w eh a v e ：陬( 州z ) l 划蔓g a ( a 。) a - 1 i i ：l h n w h e r eci si n d e p e n d e n to f ， a n dn t h e o r e m2 1 3 s u p p o s ep n ( 0 1 ) a n d n p n a ) jsc n 。a 。9 删i nn f o ra l l ，s ( n 2 ) a n da 0 ，w h e r e c i s i n d e p e n d e n to f ，aa n d n f r o m t h e o r e m2 l3 w eh a v e c o r o l l a r y2 1 - 1f o ra n yi n c r e a s i n gf u n c t i o n 妒：【0 ，o o ) 一【0 ，) w i t h 妒( o + ) = 0 ，i f l i m 盟：o 。 t h e n ，t h e r em u s tb ea nq h 1 一妒( 三) s u c ht h a t 砚zi sw e a kt y p el 1 _ b o u n d a d w h e r e 妒( l ) = n 。止，妒( i q p ) i ) d 目 0 ( t ( 0 ，。) ) ，7i so d do re v e n ， a n dt h e r ea r ep o s i t i v en u m b e r saa n dms u c ht h a t 型一型， 7 ”)7 如) 一 0 0 w h e r en i sa f i x e dn u m b e rw i t h0 n 兰d l e tk ( 2 7 ，y ) b eal o c a l l yi n t e g r a b l ef u n c t i o no nr 4 r 4 ( z y ) ：z = ) a n d ( m ，p ) l + l ( ，z ) l i ；：备 g i v e nal o c a l l yi n t e g r a b l ef u n c t i o n ，o n 兄。，s e t 正，( z ) = ( z ，v ) ，( ，) d , u ( y ) j e l 一v i ( n 罡n f ( z ) = s u p 陬r f ( x ) l ； e ：+ 1t h es o l u t i o n sb e h a v e s a sac l a s s i c a ls o l u t i o n ，i np a r t i c u l a ri td o e s n tl o s es m o o t h n e s si nt i m e h o w e v e r f o rt h ec a s e s ；+ 1 i t i sd i s c o v e r e di af 2 】t h a tt h es m o o t h n e s so fv o r t i c i t ym a yd e c a ye x p o n e n t i a l l yi nt i m e f o r t h ec r i t i c a lc a s es = ；十l ，q = 1 ，1 p ( 3 0 v i s h i k ( 8 3 】h a sp r o v e d t h a t t h es o l u t i o ns t a y s i n t h ec r i t i c a ls p a c eb ；lg l o b a l l yi nt i m e i n 5 4 t h e yh a v es h o w nt h a tw h e np = o 。，q = 1s =1 t h es o l u t i o ns t a y si nb 品ll o c a l l yi nt i m ei ns e c t i o n5 , 2w ew i l ls 1 1 0 wt h a tt h es o l u t i o nw i l ls t a y i nb 品lg l o b a l l yi nt i m ew i t hi n i t i a lv e l o c i t yi nb 品1 n o t et h a tw h e np 1w eh a v e w 5 + ；9 cc s cb b l w s + ；吒蟠 砖；c 砖， s oo u rt h e o r e mi sac o m p l e m e n ta n di m p r o v e m e n to ft h e s er e s u l t s f o rt h ei n i t i a lv o r t i c i t yi nl p ( 1 1 1 p 0 0 1 a n d i t 0 0 l + i o o ( = 粤) l l 9v il o 。( q 1 ) ，i “o ( z ) i c r ( z ) w h e r eci sac o n s t a n ti n d e p e n d e n to fz t h e nt h e r ee x i s t sau n i q u e u ( x ，t ) g ( 【0 ，o 。) ；c 5 ) nl i p ( o ，) ；l 2 ) t h a ts o l v e st h ei n c o m p r e s s i b l ee u l e re q u a t i o n r e m a r k ：s i n c ew 0 ( x ) = 0w h e nr ( x ) = 0 ，ie z = ( 0 ，0 ，蜘) ，b yv i r t u eo ft h i st h e o r e mw e k n o wt h a ti ft t 0 c 2f ql 2t h e nt h e r ee x i s t sas o l u t i o ng l o b m l yi nt i m e w h e na 0i s n tas m o o t hd a t a ，c h a e k i m 【1 5 】h a sg o t t e ns o m er e s u l t sa b o u tt h ee x i s t e n c e o fa x i s y m m e t r i cw e a ks o l u t i o n s d e t a i l sc a nr e f e r e e dt or e l a t e dp a p e rr a y m o n d ( 【5 7 】_ t h e o r e m 3 3 ) g o t8g l o b a le x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fq u a s i l i p s c h i t z i a ns o l u t i o ns i m i l a rt ot h e2 dc a n eo f y u d o v i c h 8 6 1h i sr e s u l tg n ub es t a t e da sf o