（基础数学专业论文）三维minkowski空间中的平移weingarten曲面.pdf

a t h e s i s or，rlii， 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 二允 恧 学位论文作者签名：荔玖、诲当 日 期：7 ，了 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： 东北大学硕士学位论文 摘要 三维m m o w s k i 空间中的平移w - e i l l g a n e n 曲面 摘要 由于度量的定义不同，m i n k o w s l ( i 空间不同于欧氏空间在m i i l l ( o w s k i 空间中，人 们对曲线和曲面进行了广泛的研究，但这些研究基本上都是在正交标架下进行的高斯 曲率和平均曲率满足一个函数关系的曲面称为w r e i l l g a n e n 曲面由于曲面的性质是由其 高斯曲率和平均曲率决定的，所以研究w r e m g a n e n 曲面有着重要的意义f r 觚k id i l l e n 分别在1 9 9 9 年和2 0 0 6 年对直纹w e i n g a n e n 曲面进行了研究我的恩师，刘会立教授在 1 9 9 9 年对沿两个类空方向和一个类空一个类时方向平移的平移曲面进行了研究，并对常 平均曲率和常高斯曲率的平移曲面进行了分类 本文在伪正交标架下，对沿两个类光方向平移的平移w r e i i l g a n e n 曲面进行了研 究根据高斯曲率和平均曲率之间的线性关系和平方关系，对平移曲面进行了分类 关键词：m i r l l ( o w s k i 空间；平移曲面；w 色i n g 抓e n 曲面：伪正交标架 i i i 东北大学硕士学位论文目录 口三王 曰豕 独创性声明i 摘要 a b 蛐国c t v 第一章引言1 1 1 欧氏几何的起源一l 1 2 现代几何公理体系3 i 3 非欧几何的诞生与发展3 1 4 微分几何的产生和发展4 1 5 本文的主要内容，研究目的及意义6 第二章预备知识7 2 1 疗维m 诎o w s k i 空间( 伪欧氏空间) 7 2 1 1 ，z 维m i n l ( o w s k i 空间的定义7 2 1 2 刀维m i l l l ( o w s k i 空间中的向量7 2 1 3 ，2 维m 址o w s k i 空间中的标架8 2 2 三维m 砌k o w s k i 空间中的内积、外积8 2 3 三维m 址o w s k i 空间中的曲面1 0 2 4 曲面的分类l l 2 5w - e i n g a n e n 曲面l l 2 6 平移曲面1 2 第三章主要结论。1 3 3 1 高斯曲率与平均曲率满足线性关系，即旅+ 坍+ c = 0 1 5 3 1 1k = 0 的情况1 5 3 1 2k = c ( 常数) o 的情况1 5 3 1 3 日= 0 的情况1 6 3 1 4 日= c ( 常数) 的情况1 7 3 1 5 旅+ 坍= 0 的情况1 9 3 1 6 旅+ 懈+ c = o 的情况2 0 目录 东北大学硕士学位论文 3 2 高斯曲率与平均曲率满足平方关系日2 = k 2 2 第四章总结2 5 参考文献2 7 致谢。2 9 东北大学硕士学位论文 第一章引言 1 1 欧氏几何的起源 第一章引言 “几何”这个词在汉语里是“多少”的意思，但在数学里“几何”的涵义就完全不 同了“几何”这个词的词义来源于希腊文，原意是土地测量，或叫测地术 几何学和算术一样产生于实践，也就是说几何产生的历史和算术是相似的在远古 时代，人们在实践中积累了十分丰富的各种平面、直线、方、圆、长、短、宽、窄、厚、 薄等概念，并且逐步认识了这些概念，以及它们的位置跟数量之间的关系，这些后来就 成了几何学的基本概念 正是生产实践的需要，原始的几何概念便逐步形成了比较粗浅的几何知识古代中 国、古巴比伦、古埃及、古印度、古希腊都是几何学的重要发源地 大量出土文物证明，在我国的史前时期，人们已经掌握了许多几何的基本知识，看 一看远古时期人们使用过的物品中那些许许多多精巧的，对称的绘制，一些简单设计但 是讲究体积和容积比例的器皿，都足以证明当时人们掌握的几何知识是多么丰富了 几何之所以能成为一门系统的学科，希腊学者的工作曾起了十分关键的作用两千 多年前的古希腊商业繁荣，生产比较发达，一批学者热心追求科学知识，其中几何学是 大家最感兴趣的内容在这里应当提及的是哲学家、几何学家柏拉图和哲学家亚里士多 德对几何学发展所做的贡献 柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，使原始的几何知识受逻辑学的指导逐步趋 向于系统和严密的发展方向柏拉图在雅典给他的学生讲授几何学，已经运用逻辑的方 法对几何中的一些命题作了论证亚里士多德被公认是逻辑学的创始人，他所提出的“三 段论”的逻辑推理的方法，对于几何学发展的影响更是巨大的到今天，在初等几何学 中，仍是运用三段论的形式来进行推理 但是，尽管那时候已经有了十分丰富的几何知识，这些知识仍然是零散的，孤立的， 不系统的真正把几何总结成一门具有比较严密理论的学科的，是希腊杰出的数学家欧 几里得 欧几里得在公元前3 0 0 年左右，曾经到亚历山大城教学，是一位受人尊敬的，温良 敦厚的教育家他酷爱数学，深知柏拉图的一些几何原理他非常详尽的搜集了当时所 第一章引言 东北大学硕士学位论文 能知道的一切几何事实，按照柏拉图和亚里士多德提出的关于逻辑推理的方法，整理成 一门有着严谨系统的理论，写成了数学史上早期的巨著一几何原本 几何原本的伟大历史意义在于，它是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典 范在这部著作里，全部几何知识都是从最初的几个假设出发，运用逻辑推理的方法展 开和叙述的也就是说，从几何原本发表开始，几何才真正成为一个有着比较严密 的理论系统和科学方法的学科 目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在几何原本里了，因 此长期以来，人们都认为几何原本是两千多年来传播几何知识的标准教科书属于 几何原本内容的几何学，人们把它叫做欧几里得几何学，或简称为欧氏几何 由于欧氏几何具有鲜明的直观性和有着逻辑演绎方法相结合的特点，在长期的实践 中表明，它已经成为培养，提高青少年逻辑思维能力的好教材历史上不知有多少科学 家从学习几何中得到益处，从而作出了伟大的贡献 少年时代的牛顿在剑桥大学附近的书店里买了一本几何原本，开始他认为这本 书的内容没有超出常识的范围，因而并没有认真地去读它，而对笛卡尔的“坐标几何” 很感兴趣而专心攻读后来，牛顿于1 6 6 4 年4 月在参加特列台奖学金考试的时候遭到 落选，当时的考官巴罗博士对他说：“因为你的几何基础知识太贫乏，无论怎么样用功 都是不行的”这席话对牛顿的震动很大于是，牛顿又重新把几何原本从头到尾 反复进行了深入钻研，为以后的科学工作打下了坚实的数学基础 近代物理学的科学巨星爱因斯坦也是精通几何学，并且应用几何学的思想方法，开 创自己研究工作的一位科学家爱因斯坦在回忆自己曾走过的道路时，特别是提到在十 二岁的时候“几何学的这种明晰性和可靠性给我留下了一种难以形容的印象”后来， 几何学的思想方法对他的研究工作的确有很大的启示他多次提出在物理学研究工作中 也应该在逻辑上从少数几个所谓公理的基本假设开始在狭义相对论中，爱因斯坦就是 运用这种思想方法，把整个理论建立在两条公理上：相对原理和光速不变原理 在几何学发展的历史中，欧几里得的几何原本起了重大的历史作用但是，在 人类认识的长河中，无论怎么样高明的前辈和名家，都不可能把问题全部解决由于历 史条件的限制，欧几里得在几何原本中提出几何学的“根据”问题并没有得到彻底 的解决，他的理论体系并不是完美无缺的比如，对直线的定义实际上是用一个未知的 定义去解释另一个未知的定义，这样的定义不可能在逻辑推理中起什么作用又如，欧 2 东北大学硕士学位论文第一章引言 几里得在逻辑推理中使用了“连续”的概念，但是在几何原本中从未提到这个概念 1 2 现代几何公理体系 人们对几何原本中在逻辑结果方面存在的一些漏洞、破绽的发现，正是推动几 何学不断向前发展的契机最后德国数学家希尔伯特在总结前人工作的基础上，在他 1 8 9 9 年发表的几何基础一书中提出了一个比较完善的几何学的公理体系这个公理 体系就被叫做希尔伯特公理体系 希尔伯特不仅提出了一个完善的几何体系，并且还提出了建立一个公理系统的原 则就是在一个几何公理系统中，采取哪些公理，应该包含多少条公理，应当考虑如下 三个方面的问题： 第一，共存性( 和谐性) ，就是在一个公理系统中，各条公理应该是不矛盾的，它 们和谐而共同存在同一系统中 第二，独立性，公理体系中所包含的公理应该是各自独立而不依附的，没有一条公 理是可以从其它公理引申出来的 第三，完备性，公理体系中所包含的公理应该是足够能证明本学科的任何新命题的 这种用公理系统来定义几何学中的基本对象和它的关系的研究方法，成了数学中所 谓的“公理化方法”，而把欧几里得在几何原本提出的体系叫做古典公理法 1 3 非欧几何的诞生与发展 在非欧几何正式建立之前，它的技术性内容已经被大量地推导出来，最先认识到非 欧几何是一种逻辑上相容并且可以描述物质空间像欧氏几何一样正确的新几何学的是 高斯从高斯的遗稿中可以了解到，他从1 7 9 9 年开始意识到平行公设不能从其他的欧 几里得公理推导出来，并从1 8 1 3 年起发展了这种平行公设在其中不成立的新几何他 起先称之为“反欧几里得几何”，最后改称为“非欧几里得几何”，所以“非欧几何”这 个名称正是来自高斯但他除了在给朋友的一些信件中对其非欧几何的思想有所透露 外，高斯生前并没有发表过任何关于非欧几何的论著俄国的罗巴切夫斯基最早，最系 统地发表了有关此课题的研究成果，并在1 9 2 9 年正式发表了关于非欧几何的第一篇论 文几何学原理，因此他发展的几何现今常称作罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。 非欧几何从发现到获得普遍接受，经历了曲折的道路要达到这一目标，需要确实 第一章引言 东北大学硕士学位论文 地建立起非欧几何自身的无矛盾性和现实意义罗巴切夫斯基终其一生努力后并没有实 现这个目标在他之后非欧几何的发展正是朝着这样的方向前进的首先是德国数学家 黎曼在1 8 5 4 年发展了罗巴切夫斯基等人的思想而建立了一种更广泛的几何，即现在所 称的黎曼几何罗巴切夫斯基几何及欧氏几何都只不过是这种几何的特例黎曼可以说 是最先理解非欧几何全部意义的数学家他创立的黎曼几何不仅是对已经出现的非欧几 何的承认，而且显示了创造其他非欧几何的可能性 1 9 世纪7 0 年代以后，意大利数学家贝尔特拉米，德国数学家克莱因和法国数学家 庞加莱等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型这样一来，就使非欧几 何具有了至少与欧氏几何同等的真实性因为我们可以设想，如果罗氏几何中存在任何 矛盾的话，那么这种矛盾必然会在欧氏几何中表现出来，也就是说，只要欧氏几何没有 矛盾，那么罗氏几何也不会有矛盾至此，非欧几何才真正获得了广泛的理解，非欧几 何作为一种几何的合法地位可以说充分建立起来了 非欧几何的创立不只是解决了两千年来一直悬而未决的平行公设问题，更重要的是 它引起了关于几何观念和空间观念的最深刻的革命首先，非欧几何对于人们的空间观 念产生了极其深远的影响在1 9 世纪占统治地位的是欧几里得的绝对空间观念，非欧 几何的创始人无一例外地都对这种传统观念提出了挑战，从罗巴切夫斯基到黎曼，他们 都相信天文测量将能判断他们的新几何的真实性，认为欧氏公理可能只是物理空间的近 似写照他们的预言在2 0 世纪被爱因斯坦的相对论所证实正是黎曼几何为爱因斯坦 的广义相对论提供了最恰当的数学表述，而根据广义相对论所进行的一系列天文观测， 实验，也证实了宇宙流形的非欧几里得性其次，非欧几何的出现打破了长期以来只有 一种几何学即欧几里得几何学的局面引进了全新的空间观念，在现代物理学中获得了 广泛的应用，对于二十世纪初关于空间和时间的物理观念的变革起了重要的作用 1 4 微分几何的产生和发展 早期的微分几何是以微分学在几何方面的应用的面貌出现的微分几何学肇始于1 7 世纪微积分的创立到1 9 世纪后半期发展成为一门独立的学科古典微分几何是应用 微分学的方法研究三维欧氏空间的曲线和曲面在一点的性质的学科牛顿和莱布尼茨在 发明微积分的同时已经认识到函数的导数等同于曲线的曲率现代微分几何已发展成主 要应用分析的方法研究空间( 微分流形) 的几何性质的学科 4 东北大学硕士学位论文第一章引言 微分几何的创始人已经利用微积分研究曲线的曲率，拐点，渐伸线，渐缩线等而获 得了属于微分几何范畴的部分结果但微分几何成为独立的数学分支主要是在1 8 世 纪1 7 3 1 年十八岁的法国青年数学家克洛发表关于双重曲率的研究，开创了空间曲 线理论，这是建立微积分的重要一步1 8 世纪是微积分发展的关键时期，也是微分几何 的酝酿时期欧拉是微分几何的重要奠基人早在1 7 3 6 年人们就引进了平面曲线的内 在坐标公式概念，即以弧长作为曲线上的点的坐标，从而开始了曲线的内在几何学的研 究 在曲面论方面，他曾引入曲面上的法曲率，总曲率，关于法曲率的欧拉公式以及球 面映射等，成为微分几何学发展的一个里程碑 1 8 世纪蒙日发表的文章的特点是与微分方程的紧密结合，曲线与曲面的各种性质用 微分方程来表示，有共同几何性质或用同一种方法生成的一簇曲面应满足一个偏微分方 程 1 9 世纪上半期有关微分几何的内容已相当丰富其中包括挠率概念，梅尼埃定理， 罗得里格定理及弗雷内公式的证明，但是对微分几何作出实质性发展的是高斯内在几何 的思想 在高斯之前微分几何不仅没有脱离微积分应用的范畴，而几何曲面总是同外围三维 欧氏空间相联系高斯证明了曲面的第一基本形式就是完全确定了曲面的高斯曲率他 说：“如果一个弯曲的曲面可展开到任何另外的曲面上去，则每点的曲率是保持不变 的”他所阐述的内蕴几何的思想为微分几何的发展奠定了基础 对高斯内在几何思想作出重要发展的是黎曼1 8 5 4 年黎曼在题为关于几何基础的 假设的演讲中，将高斯关于欧氏空间中曲面的内蕴几何推广为任何空间的内蕴几何他 把门维空间称做一个流形，z 维流形中的一个点可以用以个参数鼍，而，毛的一组特定值 表示，这些参数叫做流形的坐标黎曼从定义两个邻近点的距离出发，假定这个微小距 离的平方是一个二次微分齐式凼2 = 岛如嘭，其中岛是坐标五，恐，的函数， 岛= 舒这个表达式后来以“黎曼度量”著称 历史跨入2 0 世纪，大科学家爱因斯坦建立了狭义相对论和广义相对论，得到了数 学家格罗斯曼的帮助，反过来又促进了微分几何的发展 数学的发展总是由低级向高级，由局部向整体进行大范围微分几何的崛起就是一 第一章引言东北大学硕士学位论文 个典型的例证当代微分几何的主要问题是整体性的，即研究空间或流形的整体性质的 关系我们所熟悉的欧几里得空间只是其中的一部分，大批数学家正在开垦的是非直观 的神秘空间，甚至是无穷维空间他们已经有了大量新成果，但同时又流行更多的新问 题这预示着大范围微分几何这一领域有着强大的生命力，是一座未来世纪的数学宝库 1 5 本文的主要内容，研究目的及意义 非欧几何首次提出了弯曲空间，它为更广泛的黎曼几何的产生创造了条件，而黎曼 几何后来又成了爱因斯坦广义相对论的数学工具爱因斯坦的相对论把新时代的几何推 到了科学的最前沿四维时空的狭义相对论产生了m i n k o w s k i 空间几何其实m i t l l ( o w s k i 空间最先是由俄国数学家m i l l l ( o w s k i 在2 0 世纪初提出来的1 9 0 5 年，爱因斯坦创立了 狭义相对论，所用的数学工具是l o r e n t z 坐标变换m i n l ( o w s k i 考虑到可以用非欧空间 的想法来理解l o r e n t z 和e i n s t e i i l 的工作，他认为时间和空间的概念可以被结合在一个 四维的时空结构中，这种结构后来被称为“m i n k o w s k iw b r l d ” 人们对欧氏空间中的曲线和曲面已经有了比较清楚的了解，最近十几年来，人们主 要针对伪欧氏空间的曲线和曲面进行研究高斯曲率和平均曲率是反映曲面性质的两个 比较重要的概念，所以对曲面的高斯曲率和平均曲率的研究有着重要的意义如果一个 曲面的高斯曲率和平均曲率满足一个函数关系式，那么这个曲面就称为w e 崦a n e n 型曲 面，或w 色i n g a n e n 曲面人们对w 色i 1 1 9 a n e n 型的旋转曲面，螺旋面，直纹面进行了一定 的研究若一个平移曲面的高斯曲率和平均曲率满足一个函数关系式，则我们称其为平 移w r e i i l g a r t e n 曲面由于平移曲面的复杂性，人们对它的研究很少平移曲面是沿两个 方向平移的平移曲面，我们根据其平移方向的不同，可以把平移曲面分为六类我的导 师，刘会立老师对沿两个类空方向和一个类空、一个类时方向平移的平移曲面进行了研 究由于其高斯曲率和平均曲率的复杂性，刘老师只对高斯曲率和平均曲率为常数的平 移曲面进行了研究 在m 址o w s 虹空间中，由于类光向量的出现，使得空间中的一些涉及类光向量的曲 线和曲面研究起来很困难但并不是所有的曲线与曲面都是如此本文选取一种新的度 量，在伪正交标架下，对沿两个类光方向平移的平移w r e i l l g a n e n 曲面进行了研究在此 度量下，其高斯曲率和平均曲率的形式简单多了，研究起来也方便多了因此得到了一 些比较好的结论 6 东北大学硕士学位论文 第二章预备知识 第二章预备知识 2 1 即维min k o w s ki 空间( 伪欧氏空间) 2 1 1 刀维min k o w s ki 空间的定义 假设y 是刀维向量空间，且在y 上定义一个对称的双线性函数 ( ，) ：y y 寸尺， 选取一组基底矗) g = 1 ，2 ，z ) ，使得 刊，= 忙，篓二二 即标准正交基底，则( ，) 称为向量空间矿上的内积 设岛的值为1 的数目为历，为一l 的数目为p ，则历+ p = ，z 若所和p 中任意一个为零，则此时的空间为力维欧氏空间，记为 若m 和p 均不为零，则此时的空间为刀维伪欧氏空间( 或l o r e n t z 空间) ，记为晖 特别地，当p = l 时，称向量空间矿为甩维m i l l l ( 0 w s l 【i 空间，记为曰 2 1 2 刀维m i n k o w s k i 空间中的向量 设耳是刀维m 址o w s l ( j 空间，任取向量口曰，口0 ，若 缸，口) o ，则称口为类空向量； 缸，口) = o ，则称口为类光向量； 缸，口) o ，则称口为类时向量， 我们规定零向量为类空向量 第二章预备知识 东北大学硕士学位论文 2 1 3 即维min k o w s ki 空间中的标架 由于m i n l ( o w s k i 空间中向量的特殊性，在m i i l k o w s k i 空间中有两种常用的标架：正 交标架和伪正交标架 取标架 q ，乞，巳) 满足 ( 岛，勺) = 岛= o f _ ， | 1 f = = l ，2 ，刀一1 ， 【一1 f = = 甩， 称 q ，吃，乞) 为正交标架； 取标架 虿，乏，瓦) 满足 ( 虿，虿) = 岛= 妻歹亏兰辱三 季一：三；，= 甩= ，l ，= 1 称 虿，弓，己) 为伪正交标架 2 2 三维min k o w s ki 空间中的内积、外积 定义2 2 1 日中的内积定义如下 取正交标架 q ，吃，白) ，任取口，曰，设口= k ，恐，而) ，= “，赐，弘) ，其中 誓，乃尺，f = l ，2 ，3 则 ( 口，动= 一五m + 恐兄+ 恐乃； 取伪正交标架 写，弓，亏) ，任取口，曰，设口= k ，砭，码) ，= 饥，奶，乃) ，其中一，乃r ， f = l ，2 ，3 则 仁，励= 而乃+ 恐儿+ 恐m 我们记 = 厕， 其中2 ：1 东北大学硕士学位论文 第二章预备知识 若向量口，的内积为零，则称口，夕垂直 性质l 8 1 日中不存在两两正交的类时向量 取正交标架 白，吃，巳 ，则 口= l 芰妻l ，j 羔i l ，l 妻要1 取伪正交标架筠，弓，亏) ，则 口= 羽要羔l ，l 羔要i ，l 羔羔i ) 若向量口，的外积为零向量，则称口，平行 注意无论取正交标架还是伪正交标架，设y = z 。，乞，z 。 ，都有 c 口，y ，= i i 蒌蒌1 这说明口与口，所生成平面中的任一向量旯口+ 川啾，腥任意实数) 都是正交 定理1 1 8 1 设口，是曰中的任意向量，则有 ( 口屈厂) = ( y ，口) = ( y 口，) = 一( 口，y ) = 一( y ，口) = 一( 口厂，) 9 第二章预备知识 东北大学硕士学位论文 定理2 【8 1 设口，y 是霹中的任意非类光向量，则有 q 夕) y = ( ，y ) 口一( 口，y ) 定理3 8 1 设口，万是曰中的任意非类光向量，则有 ( 口，y 万) = i ：； ：喜刘 特别地，当口= ，= 万时，有 ( 口，口) = ( 口，) 2 一( 口，口) ( ，) 2 3 三维m in k o w s ki 空间中的曲面 定义2 3 1 设，= ，( “，v ) 为日中c 2 类曲面，则有 毋2 = ( 毋，毋) = ( 气，气) 也2 + 2 ( 吒，) 如咖+ ( ，：，) 咖2 ， ( 2 1 ) 称( 2 1 ) 为曲面s 的第一基本形式用 ，= e 出2 + 2 凡缸咖+ g 咖2 表示 e = ( 吒，名) ；f = ( 吒，) ；g = ( ，o ) ( 2 2 ) 称为曲面s 的第一基本量 定义2 3 2 设，= ，_ ( “，v ) 为日中c 2 类曲面( 设，z 为单位法向量) ，则有 ( 刀，d 2 ，) = ( 刀，) 幽2 + 2 ( 刀，) 幽咖+ ( 即，) 咖2 ， ( 2 3 ) 称( 2 3 ) 式为曲面的第二基本形式用 = l 也2 + 2 z 觑咖+ 肋2 ( 2 4 ) 表示 = 占( 刀，) ；m = 占( ，2 ，) ；= 占( 刀，w ) ( 2 5 ) 称为曲面s 的第二基本量，其中l e g f 2 l = s ( 粥一f 2 ) 定义2 3 3 设，= ，( 甜，v ) 为曰中c 2 类曲面，它的第一，第二基本量分别为e ，f ，g 和 6 为退化矩阵时，曲面称为类光曲面，也称退化曲面 2 5w ein g a r t e n 曲面 定义2 5 若曲面s 的高斯曲率k 和平均曲率日满足一个函数关系式，即 第二章预备知识东北大学硕士学位论文 厂( ，k ) 一i - 。 则称曲面s 为w - e i l l g a r t e n 型曲面，或w e i l l g a n e n 曲面 2 6 平移曲面 设平移曲面的方程为 ，( 甜，v ) = ( “，1 ，厂0 ) + g ( v ) ) ， 其中厂g ) 和g ) 分别是“，v 的单参数函数 我们用垂直于第一个坐标轴的一系列平面去截这个平移曲面，得到的一系列曲线， 也是曲面的v 一曲线，是由一条曲线平移得到的同样的，我们用垂直于第二个坐标轴 的一系列平面去截这个平移曲面，得到的一系列曲线，也是曲面的甜一曲线，是由另外 一条曲线平移得到的所以此平移曲面是沿着第一个坐标轴方向和第二个坐标轴方向平 移的平移曲面 我们根据其平移时所沿坐标轴方向的不同，可将平移曲面分为六类： ( 1 ) 沿两个类空方向平移的平移曲面； ( 2 ) 沿两个类时方向平移的平移曲面； ( 3 ) 沿两个类光方向平移的平移曲面； ( 4 ) 沿类空和类时方向平移的平移曲面； ( 5 ) 沿类空和类光方向平移的平移曲面； ( 6 ) 沿类光和类时方向平移的平移曲面 本文所要研究的曲面就是第三类，即沿两个类光方向平移的平移曲面 东北大学硕士学位论文 第三章主要结论 第三章主要结论弟二早土茭三石y 匕 我们选取标架q = ( o ，l ，o ) ，乞= ( 1 ，o ，o ) ，巳= ( o ，o ，1 ) ，定义内积如下： ( 口，) = _ 见+ 恐m + 黾乃； 相应的外积定义如下： 口= l 妻要i ，l 羔羔i ，臣羔l ， 其中口= ( 五，兄，乇) 曰，= ( m ，耽，儿) 日 在上述内积的定义下， 巳，吃，岛) 为伪正交标架 由于 q q = 0 ， 乞吃= 0 ， 岛巳= 1 ， 所以岛，乞为类光方向，岛为类空方向 设x ：m 2 专日为三维m i n k o w s n 空间中的平移曲面，在伪正交标架 与，乞，巳) 下， 其参数方程设为 x ( 材，v ) = ( 甜，v ，厂( “) + g ( v ) ) ， ( 3 1 ) 其中( 就) ，g ( v ) 分别是关于参数“和1 ，的函数 由预备知识我们知道( 3 1 ) 式所表示的平移曲面是沿第一、第二个坐标轴方向平移的 平移曲面而第一、第二个坐标轴方向即l ，乞为类光方向，所以( 3 1 ) 式所表示的平移 曲面是沿两个类光方向平移的平移曲面，也正是本文要研究的平移曲面 通过计算 屯= ( 1 ，o ，厂7 ) ， = ( o ，1 ，) ， 第三章主要结论 东北大学硕士学位论文 第一基本形式为 设 法向量为 第二基本形式为 e = x 。x 。= f ”。 f = 吒毛= l + 他，2 吒毛。l + _ 广g ， g = 毛k = g “ i = 厂吃幽2 + 2 ( 1 + 危) 如咖+ g 陀咖2 彩= 忆圳2 = 占( 1 + 2 以) ， 肛尚2 素( - 9 7 ，卅) = ( o ，o ，厂”) ， = ( o ，o ，o ) ， = ( o ，o ，g ”) 三：肌：耸， 缈2 m = g 刀= 0 ， ：肌：珲 缈2 i i ：耸也：+ 珲矿 国2缈2 本文中只讨论嬲一f 2 0 的情况，e g f 2 = 0 的情况，即曲面是退化的时候不进 行讨论 高斯曲率为 k = 筹= 一等e g f 。2 1 4 东北大学硕士学位论文第三章主要结论 平均曲率为 h ：! 墨g 二兰丝妻丝：一垒! 箬z ： 2掰一f 2 2 彩； 下面我们按高斯曲率和平均曲率之间的关系对平移曲面进行分类 3 1 高斯曲率与平均曲率满足线性关系，即冰+ 6 h + c = o 3 1 1k ：o 的情况 即 则 或 当口0 ，6 = o ，c = 0 时，即k = 0 时，有 一兰牮：o ， 缈。 厂謦”= 0 ， f 1 = q ， g ”= 0 当厂”= o 时，= q “+ c 2 ，则x ( “，v ) = ( o ，v ，g ( v ) + 乞) + 甜( 1 ，o ，q ) ，这是柱面方程同理， 当g ”= o 时曲面也是柱面当厂”= o 且g 。= o 时，z ( “，v ) = ( 甜，o ，q 甜+ 乞) + ( o ，c 3 v + q ) ， 这是平面方程 我们将得到的方程代回到高斯曲率的式子中，直接计算可以得到k = o 后面定理 的充分性都是如此证明，所以我们只需证明定理的必要性 因此我们得到： 定理3 1 设s 为霹中平移曲面x ( 甜，v ) = ( “，v ，厂( ”) + g ( v ) ) ，其高斯曲率为零当且仅 当曲面为柱面或平面 3 1 2k = c f 常数1 o 的情况 当口o ，6 = o ，c o 时，即k = c ( 常数) o ，有 1 5 第三章主要结论东北大学硕士学位论文 一掣：c 彩。 整理得 厂謦”= 一g c ( 1 + 2 他) 2 ( 3 3 ) 式对v 求导得 厂留”= 4 占魄”( 1 + 2 以7 ) 由( 3 3 ) 与( 3 4 ) 式消厂”得 ( 4 9 ”2 2 9 窖”) 厂一g ”= o 这是关于厂( 甜) 的多项式，其系数只与v 有关 由( 3 2 ) 可知厂”o ，0 ，则厂o ，其系数和常数项为o ，即 1 4 9 ”一2 9 宫”= o ， 【 g ”= o 我们得到矿= o ，矛盾 于是我们得到： 定理3 2 日中不存在高斯曲率为非零常数的平移曲面 3 1 3h = 0 的情况 当口= 0 ，6 o ，c = o 时，即日= o ，有 一掣一o ， 2 即 厂謦比+ g 丁“= o 当厂= 0 或g = o 时，曲面为柱面 当厂0 ，g o 时，有 乒= 号= c 0 ( 常数) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 东北大学硕士学位论文 第三章主要结论 ( 1 ) 当c o = o 时，曲面为平面； ( 2 ) 当g 0 时， 一击+ c l ， g ：去1 1 1 v + c 2 g 2 百h l v “2 因此我们得到： 定理3 3 设s 为日中平移曲面x ( 甜，v ) = ( “，v ，厂( 甜) + g ( v ) ) ，它是极小的当且仅当它 是下面几种曲面之一 i ) 平面； i i ) 柱面： i i i ) 厂( 甜) ，g ( v ) 满足 确) = 一击h 针c 1 ， g ( v ) = 击m v + c 2 ， 其中c o ，c l ，c 2 尺，且c o 0 3 1 4h = c f 常数1 的t 青况 当口= o ，6 o ，c o 时，即日= c ( 常数) ，有 垒! ：墨z ! ：一2 c 0 整理得 3 厂营2 + g 丁“= 2 c 矿 ( 3 6 ) 式对v 求导，整理可得 1 2 厂謦宫”+ 厂2 9 ”= 6 占0 值” 由( 3 5 ) 式知0 ，g 0 由( 3 6 ) ，( 3 7 ) 式消厂”得 ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 第三章主要结论 东北大学硕士学位论文 两边平方得 - 2 占c g 营”( 2 + 俺7 ) = 厂垃g ( 2 矿2 一g 宫”) 4 占c 2 9 陀矿2 ( 2 + 他7 ) ( 1 + 2 危) = 厂7 4 9 2 ( 2 2 一g ，g ”) 2 这是关于厂7 的一个多项式，厂是“的函数，其系数只与v 有关系那么只能有两 种情况： 设 ( 1 ) 厂7 为常数，则厂”= 0 ，由( 3 5 ) 知，o 其中历o ，则 则 得到 厂= 历“+ c 1 ， g = c 2 p “一二二- 1 ，+ c 3 丝， 1 z 耽 ( 2 ) 厂不为常数，那么其各项系数为零我们观察厂眨的系数 当g ”= o 时，由( 3 5 ) 知，g 0 其中，z o ，代回( 3 5 ) 解方程得 8 f c 2 9 4 9 ”2 = o ， 旷= o g = 刀甜+ c 1 ， 巾) 咄一等“一去峨 厂( 甜) = c 2 p ”一去“+ c 3 于是我们得到： 定理3 4 设s 为辟中平移曲面x ( “，v ) = ( 甜，v ，厂( 掰) + g ( v ) ) ，如果其平均曲率为非零 常数c ，那么曲面为柱面，且厂( “) ，g ( v ) 只能是以下几种情况之一： i ) 厂( 掰) = 所“+ c l ， 东北大学硕士学位论文 第三章主要结论 g ( v ) 却等v 一去v + c 3 ； g ( v ) = e p ”一亡v + c 3 ； i i ) 他) 却等。一去甜+ c 3 ， g ( v ) = 甩乱+ c l ， 其中c 1 ，c 2 ，c 3 ，聊，胛r ，且聊o ，z 0 3 1 5 旅+ 坍= o 的情况 当口0 ，6 0 ，c = o 时，旅+ 6 = o ，代入整理得 ( 3 8 ) 式两端对v 求导得 ( 口g ”一宝g 眩缈；) 厂”= 兰厂心g ”o ( 3 8 ) ( 昭”o w 国一秒2 少= 抄咖+ 秒扩 9 ， 由( 3 8 ) ，( 3 9 ) 式消厂”得 悖2 产池砣) 彩 坩扩+ 三w 2 卜咧3 两边平方，可知占= l ，整理得 三6 2 9 2 ( 阿一2 9 ”2 ) 2 ( 1 + 2 舱7 ) 3 甜g ”6 厂“ ( 3 1 0 ) 这是厂的一个多项式，厂7 是“的函数，系数只与v 有关，那么有两种情况： ( 1 ) 厂= 常数 厂= o 时，由( 3 8 ) 式知曲面为柱面； 厂0 时，由( 3 9 ) 式知g 。= o ，则曲面为平面 ( 2 ) 厂常数，则其各项系数为零 由厂嵋的系数 2 6 2 9 5 ( g 宫”一2 矿2 ) 2 = o 1 9 第三章主要结论 东北大学硕士学位论文 知 口2 6 = o ， 即 矿= o ， 则曲面为柱面 所以我们得到： 定理3 5 设s 为日中平移曲面x ( “，v ) = ( “，v ，厂( “) + g ( v ) ) ，若其高斯曲率k 与平均 曲率h 满足旅+ 埘= 0 ，其中曲0 ，当且仅当它是平面或柱面 3 1 6 斌+ 6 h + c = o 的情况 当口0 ，6 0 ，c o 时，旅+ 坍+ c = 0 ，代入整理得 p ；卜渤2 一耖 我们假设g ”0 ，当g ”= o 时类似讨论 ( 3 1 1 ) 两端对v 求导，得 p 缈；+ w o + 三榭巾= 4 弛”彩；一耖2 国一秒扩川m ， 由( 3 1 1 ) ，( 3 1 2 ) 得 ”2 例【( 2 扩- g g ”) 厂，3 + g ，( 4 冰扩_ g ，g ”) 厂，2 + 4 口c ( 旷2 一g 宫”) 厂一口c g ”】2 = ( 2 6 小差) 广舶c g ，3 2 + 弦2 + 6 c g 童” 2 这是厂的一个多项式，厂是“的函数，系数只与v 有关，则厂= 常数，否则其各项 系数为零，考虑厂7 的常数项，1 次项和7 次项的系数 s 口2 c 2 9 ”2 = 6 2 c 2 9 2 9 忆，( 3 1 3 ) 1 0 占口2 c 2 9 童”2 8 s 口2 孑g ”2 9 ”= 9 6 2 ，g 3 9 “，( 3 1 4 ) 东北大学硕士学位论文 第三章主要结论 由( 3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) ，( 3 1 5 ) 得 则 与假设矛盾，故厂= 常数 三s 6 4 9 一( 2 9 ”2 一g 宫”) 2 = o 3 6 2 3 9 ”= 0 ， 矿= o ， ( 3 1 5 ) 由( 3 1 1 ) 式知厂0 得到 厂= 所“+ c l ， 其中聊o ，代回( 3 1 1 ) 式得 一赢一去v + q p = = 一1 ，叫一【 6 8 c 2 朋3f v + c 1 12 肌2 同理可得 g = 船“+ c 3 ， 户编一去嵋，一孬刃再孬一芴针c 其中刀0 由此我们得到： 定理3 6 设s 为曰中平移曲面x ( 甜，v ) = ( 甜，v ，厂( “) + g ( v ) ) ，若其高斯曲率k 与平均 曲率满足旅+ 拊+ c = o ，其中如c o ，则它只能是柱面，且厂( 甜) ，g ( v ) 满足如下 关系之一： i ) 厂( “) = 聊甜+ c l ， g ( v ) 一赢一去v 吗 i i ) g ( v ) = 疗甜+ c 3 ， 2 l 第三章主要结论 东北大学硕士学位论文 巾) 一编一去峨， 其中c l ，c 2 ，c 3 ，c 4 ，所，甩尺，且历0 ，刀0 3 2 高斯曲率与平均曲率满足平方关系日2 = k 当h 2 = k 时，即 整理得 令 则 令 则 丝! 掣l 一三牮 4 缈缈2 g “厂砣+ 2 ( 吨g 瞳g ”+ 2 9 ”+ 4 几鲁”) 厂”= 一厂g “ 4 = g ”， 蜀= 2 ( 厂吨g 比g ”+ 2 9 ”+ 4 垤夸”) ， r 1 = 一厂一g “， 4 厂砣+ 最厂”= r ， 假设g ”0 ，当厂”0 时类似讨论 ( 3 1 7 ) 两端对v 求导，整理得 2 9 乃g 丁一2 + ( 厂吨g 吨g ”+ 2 厂陀g 童砣+ 2 9 ”+ 4 厂鲁砣+ 4 砖夸”) 厂”= 一厂7 4 9 翟”， 4 = 2 9 嵋g ”， 垦= 厂比g 陀g ”+ 2 厂眨g 宫一2 + 2 9 ”+ 4 鲁砣+ 4 厂鲁鲁”， r ：= 一厂一g 弩” 4 厂砣+ 岛厂”= r ： ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 东北大学硕士学位论文 第三章主要结论 当4 嘎一4 尽= 0 时，整理得 g 吃( 2 9 “一g 童”) 厂吃+ 4 9 7 ( 3 9 “一g 童”) 厂+ 2 ( 4 9 “一g 童”) = o ， 则厂只能为常数，否则 得 矿= o ， 与假设矛盾 当4 忍一4 且o 时，由( 3 1 7 ) ，( 3 1 8 ) 式得 ( 4 r ：一4 r 。) 2 = ( 彳。岛一4 且) ( 色r 。一且r ：) 代入整理得 厂4 9 3 ( g 营”一2 9 ”2 ) 2 = g 佗( g 宫”一2 9 砣) 厂吃+ 4 9 ( g 童”一3 9 砣) 厂7 + 2 ( g 留”一4 9 砣) g ( g 宫”一2 9 砣) 厂比+ 4 ( g 夸”一g 一2 ) 厂7 + 2 9 ” 则厂为常数，否则 ( g 童”一2 9 一2 ) ( g 窖”一g 砣) + ( g 宫”一3 9 砣) ( g 宫”一2 9 砣) = o ， g 宫”( g 童”一2 9 砣) + ( g 宫”一2 9 砣) ( g 营”一4 9 一2 ) + 8 9 7 ( g 夸”一3 9 砣) ( g 宫”一g 砣) = o ， g 罾”( g 童”一3 9 一2 ) + ( g 夸”一g 一2 ) ( g 童”一4 9 一2 ) = o ， g ”( g 宫”一4 9 砣) = o ， 由g ”0 知g ”0 ，由( 3 2 0 ) 得 代到( 3 1 9 ) 得 则 g 童”= 4 矿2 ， g 童”= 3 9 “， ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) 仉仉m = = l i 肿 肿 肿 ，g ，g ，g g g g 一 一 一 砣 心 砣 g g g 2 3 4 ，(【 第三章主要结论 东北大学硕士学位论文 与g ”0 矛盾故厂”= o 此时曲面为柱面 g ”= o ， 当厂”= 0 ，且g ”= o 时，( 3 1 6 ) 满足，此时曲面为平面 故我们得到： 定理3 7 设s 为曰中平移曲面x ( “，v ) = ( “，v ，厂( 甜) + g ( v ) ) ，若其高斯曲率k 与平均 曲率h 满足2 = k ，当且仅当它为柱面或平面 东北大学硕士学位论文第四章总结 第四章总结 本文对三维m i n l ( o w s l ( i 空i 司中沿两个类光轴平移的半移曲回进行丁研究，根据商斯 曲面和平均曲率之间的关系对曲面