（基础数学专业论文）关于期权定价的几个模型.pdf

摘要 期权是2 0 世纪金融衍生市场创新的成功典范。期权市场已经成为国际金融 市场的一个重要部分。本文介绍了期权定价理论的发展历程，并且详细介绍了 几种重要的模型，包括b l a c k s c h o l e s 模型，二叉树模型，跳跃扩散模型和随机 波动率模型，和l e v y 过程模型，我们还介绍了倒向随机微分方程在期权定价中 的应用。对各种模型做了客观的评价，并展望了未来期权定价理论的发展方向。 关键词：期权定价；b l a c k - s c h o l e s 模型；二叉树模型；跳跃扩散模型；随 机波动率模型；倒向随机微分方程 a b s t r a c t o p t i o nw a st h es u c c e s s f u li n n o v a t i v ee x a m p l eo ft h ef i n a n c i a ld e r i v a t i v em a r k e t i nt h e2 0 血c e n t u r y a n do p t i o n sm a r k e ti sa ni m p o r t a n tp a r to ft h eg l o b a lf i n a n c i a l m a r k e t i nt h i sp a p e r , w ei n t r o d u c e dt h ed e v e l o p m e n to fo p t i o n sp r i c i n gt h e o r y , a n d s o m em a i nm o d e l si nd e t a i l ，i n c l u d i n gb l a c k - s c h o l e sm o d e l ，b o p m ，j u m pd i f f u s i o n m o d e l s t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e l ，a n dl e v yp r o c e s sm o d e l w | ea l s oi n t r o d u c e dt h e a p p l i c a t i o no ft h eb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si no p t i o n sp r i c i n g w e e v a l u a t e dt h ea b o v em o d e l so b j e c t i v e l y , a n de n v i s a g e dt h ef u t u r eo fo p t i o n sp r i c i n g k e y w o r d s o p t i o n sp r i c i n g ；b l a c k - s c h o l e sm o d e l ；b o p m ；j u m pd i f f u s i o n m o d e l ；s t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e l ；b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ； h 第一章绪论 期权是一种特殊的金融衍生品，它赋予期权的持有者一种权利，而不承担 必须履行的义务。在金融市场中，它有着广泛的应用。期权的标的资产也是多 种多样，由股票、指数、期货、外汇、商品增加到利率、掉期和期权本身等。 期权已经是各种金融机构和企业用来套期保值和风险管理的工具。当然天下没 有免费的午餐，期权既然赋予持有者一种权利，它也不是免费的，这就产生了 期权定价的问题。期权定价需要考虑多方面的因素，要运用精确地数学模型来 估计期权的价格。 期权定价的思想早在公元前1 8 0 0 年的汉穆拉比法典就有阐述。而第一 次正式提出期权定价理论的是法国数学家l o u i sb a c h e l i e r 。1 9 0 0 年，l o u i s b a c h e l i e r 在其博士论文( ( t h et h e o r yo fs p e c u l a t i o n ) ) 中首次给出了欧式卖权期权 的定价公式。为后人研究期权定价奠定了基础。但是他的模型有着明显的缺陷。 例如他假设股票价格服从正态分布，意味着股票价格可为负，这在实际中是不 可能的。 1 9 6 1 年，s p r e n k 在l o u i sb a c h e l i e r 定价模型的基础上做了一些修改，即假设 股票价格服从对数分布，且该分布允许股票价格有正向漂移，并由此得到了看 涨期权的定价公式。1 9 6 5 年，s a m u e l s o n 将前人的工作统一在一个模型中。这些 公式与后来出现的b l a c k - - s c h o l e s 公式有很多相似的地方。但是由于这些公式中 都有一个或多个主观参数依赖于投资者对风险或收益率的偏好等，所以这些模 型几乎不具备任何实用的价值。 直到1 9 7 3 年，芝加哥委员会期权交易所创建了第一个用上市股票进行看涨 期权交易的集中市场，首次在有组织的交易所内进行股票期权交易，而也恰好 在同一年，b l a c k 和s c h o l e s 发表了关于期权定价理论的开创性论文( ( t h ep r i c i n go f o p t i o n sa n dc o r p o r a t el i a b i l i t i e s ) ) 【lj 提出了经典的b l a c k - s c h o l e s 模型。同年， m e r t o n 3 教授又对b l a c k - s c h o l e s 模型进行了推广，以使之更加符合实际情况，便 于应用。值得一提的是，由于b l a c k ，s c h o l e s 和m e r t o n 对期权定价理论做出的杰 出的贡献，他们在1 9 9 7 年被授予n o b e l 经济学奖，遗憾的是b l a c k 已经去世。之后， 学者们又对期权定价理论的一些细节进行了深入的研究主要有，比较主要的几 个模型是二叉树定价模型，跳跃扩散模型和随机波动率模型。 近2 0 年来，期权理论的发展日新月异，期权应用研究也紧随其后，从金融 期权研究得出的基本原理和方法被广泛应用于宏观、微观的经济和管理问题的 分析和决策，期权理论远远不止于证券投资领域，其中在财务方面的应用最为 集中，以及在投资决策等中的应用，耶鲁大学的著名教授斯蒂芬罗斯曾说过：“期 权定价理论不仅在金融领域，而且是在整个经济学中最成功的理论”。而且在金 融证券市场中，期权定价理论为投资者提供了合理的期权价格以及最佳实施期， 从而达到以最少的投资得到最多的利润。 本文的结构如下：第一章介绍期权定价研究的背景与现状，第二章介绍期 权定价理论中的基本概念及基本理论：第三章介绍经典的b l a c k s c h o l e s 模型其推 导和求解方法。第四章主要介绍二叉树模型，它可以看做是b l a c k s c h o l e s 的离散 化，并且在实际中有着广泛应用。第五章介绍了跳跃扩散模型，假设标的资产 的价格运动过程有p o i s s o n 夥g 跃的行为。并且介绍了l e v y 过程驱动下的欧式期权 定价，假设股票价格服从更一般的跳跃过程。第六章主要介绍了随机波动率模 型。第七章介绍了倒向随机微分方程在期权定价中的应用。第八章对期权定价 方法做了总结及展望。 2 第二章金融衍生品市场 第一节背景 假设金融市场包含以下几种金融工具：无风险资产b ( 包括银行存款，债 券等) ，它们的价值以连续复利来进行计算；s ，s ：，s 。为，2 种股票的价格， v ( s ，f ) 是以s 为标的资产的衍生品。 下面我们介绍看涨期权和看跌期权的概念。 期权是一种权利，而没有义务，所以取得这种权利需要付出成本，那么这 个成本即是期权的价格。下面我们介绍几种常见的期权： 欧式看涨期权( e u r o p e a nc a l l ) 是这样一种合约：期权的购买者或持有者 可以在未来一个确定的时间丁以确定的价格k 从期权的出售方购买一定数量 股票的权利。 当然，如果发现在到期日执行这个期权没有利润，期权的持有者可以选择 不执行。 欧式看跌期权( e u r o p e a np u t ) 是这样一种合约：期权的购买者或持有者 可以在未来一个确定的时间r 以确定的价格k 出售给期权的出售方一定数量 股票的权利。 美式看涨期权( a m e r i c a nc a l l ) 和欧式看涨期权类似，但可以在现在与未 来到期时刻丁之间的任意时刻执行期权合同。由于美式期权对于购买者来说具 有更大的灵活性，直觉上美式期权的价格应该高于欧式期权的价格。然而我们 将在下面看到，对于不支付红利的股票来说，欧式看涨期权的价格和美式看涨 期权的价格是相同的。 美式看跌期权( a m e r i c a np u t ) 和欧式看跌期权类似，但可以在现在与未 来到期时刻丁之间的任意时刻执行期权合同。 我们s r 用代表股票在未来时刻丁的价格，则s r k 时，看涨期权被执行， 此时看涨期权的价格为品一k ；而当s r k 时，执行看涨期权没有利润，所 以期权的持有者不执行看涨期权，此时期权的价格为0 ，所以我们有 欧式看涨期权的收益= m a x ( s r k ，0 ) 欧式看跌期权的收益= m a x ( k s r ，o ) 无论是看跌期权还是看涨期权，一方要付给另一方一个期权费用来购买期 权，我们称这个费用为期权本金，其价格与该期权的执行价k ，存续期r ，市 场的无风险利率，和人们对股票未来波动率的预期有关。所以我们在计算期权 本金时，要涉及到以上个因素。 为了方便分析，对于金融市场，我们还有以下广泛的假设： ( 1 ) 股票的交易没有任何成本。 ( 2 ) 股票允许卖空( 先借来股票在市场上卖出，然后将来从市场买回将其 还上) ，而且卖空不需要费用。 ( 3 ) 借出货币和借入货币的利息是相同的。 ( 4 ) 交易者之间没有任何信用风险。 第二节自融资和复制策略 我们首先将金融市场建立离散的时间模型。设q 为一概率空间，它代表了 所有金融资产随着时间变化的路径和状况。而其中的任一个元素则是金融资产 价格随时间变化而产生的一条独特的路径。同时我们建立q 上的仃代数粤，并 且对v t 0 如果在一个自融资交易策略的集合中不存在任何套利机会，我们就说市场 4 m = 岱，) 是无套利的。 定义2 5 任意一个z 可测的随机变量称为交割时间为r 的欧式未定权益x 。 定义2 6 如果一个自融资交易策略满足珞( 矽) = x ，我们则称为关于交割时 间t 的欧式未定权益x 的复制策略( r e p l i c a t i n gs t r a t e g y ) 。且称财富过程k ( 矽) 是 m = ( s ，) 中z 的复制过程。 定义2 7 如果x 在m = ( s ，) 中只有唯一的复制过程，即任意的矽，妒为x 的复制 策略，对任意的f t 形( 矽) = _ ( 力 则称x 在m = ( s ，) 中是被唯一复制的。 第三节看涨、看跌期权的性质 由无套利原理，我们可以得到看涨、看跌期权的很多性质，从这些性质中我 们可以更加深入地了解它们。现将看涨看跌期权平价原理及其性质引述如下， 内容均参见文献【3 l 】。 2 3 1 看涨、看跌期权的平价原理 在无股票红利( d i v i d e n d ) 条件下，看涨期权和看跌期权有如下公式 c + k e 一“= p + s 证明：考虑如下两个投资组合 f i ：买入执行价为k 的看涨期权和本金为k 的债券。 1 7 ，：买入执行价为k 的看跌期权和其标的资产。 这两个组合在到期日t 的收益为 m a x ( s r k ，o ) + k = m a x ( s r ，k ) = m a x ( k s r ，0 ) + s r 由无套利原理，则有 c + k e = p + s 口 这个公式的重要性在于其说明了对同一个执行价格和同一个到期日的看 涨期权和看跌期权来说，只要知道其中任何一个期权价格，就可以依据此式推 出另一个期权的价格。 2 3 2 看涨期权的性质 性质2 1 设基础证券在时间( o ，丁) 内不发放红利，那么 c m a x ( s k e 一门，0 ) m a x ( s k ，o ) 其中m a x ( s k ，0 ) 常被称为看涨期权的内涵价值。 性质2 2 对于欧式看涨期权有 c s 性质2 3 若( 0 ，t ) 内基础证券无红利，有 c = c 性质2 4 如果两个执行价格k ， k ：，那么无论是否发放红利，对于欧式看涨 期权，总有 c ( k 1 ，丁) c ( k 2 ，丁) c ( k l ，t ) c ( k 2 ，r ) 2 3 3 看跌期权的性质 我们可以利用平价原理和看涨期权的性质来推导出看跌期权的一些性质。 性质2 5 设股票在( 0 ，丁) 内没有股票红利，那么 p m a x ( k e ”1 一s ，0 ) 性质2 6 如果两个执行价格k k ，那么无论是否有股票红利，都有 p ( k l ，t ) p ( k 2 ，丁) p ( k l ，r ) p ( k 2 ，d 性质2 7 对于欧式看跌期权来说，有 p k e 一疗 而对于美式看跌期权，则有 p k 性质2 8 对于两个到期时间的美式看跌期权来讲，设互 互，有 p ( k ，互) p ( k ，正) 以上就是看涨期权和看跌期权的性质，这些性质可以让我们对看涨期权和 看跌期权有更加深入的认识。在后面的讨论中也会用到以上这些性质。 6 第三章b l a c k s c h o l e s 模型 第一节基本假设 1 9 7 3 年f i s c h e rb l a c k 和m y r o ns c h o l e s 1 】发表了划时代意义的文章( ( t h e p r i c i n go f o p t i o n sa n dc o r p o r a t el i a b i l i t i e s ) ) 。这篇文章的一个重要假设就是假设股 票的价格走势服从几何布朗运动，并在此基础上建立了b l a c k s c h o l e s 方程，且 对其进行求解，得出了b l a c k - s c h o l e s 公式。这篇文章和r o b e r tm e r t o n 【3 1 的有关 文章一起颠覆了计量金融学。最终m y r o ns c h o l e s 和r o b e r tm e r t o n 获得了1 9 9 7 年的诺贝尔经济学奖。 我们在推导b l a c k s c h o l e s 模型时有如下基本假设： ( 1 ) 资产价格服从几何布朗运动 d s t = _ u s t d t 七o s t d w , 其中s ，为t 时刻股票价格，为股票的期望收益率，仃为股票的波动率。形 为标准布朗运动。 ( 2 ) ，仃在( 0 ，丁) 内为关于s ，和t 的已知函数。 ( 3 ) 市场是无套利的。 ( 4 ) 市场无交易费用。 ( 5 ) 证券买卖可以连续进行。 ( 6 ) 资产是任意可分的，交易者可以买卖任意数量的证券。 在如上假设下，欧式看涨期权的价格应该是s 和f 的函数，记为v ( s ，t ) 。 且v ( s t , 丁) = m a x ( s r k ，o ) 我们的问题是如何求解v ( s ，t ) ，特别是期权本金的价格v ( s o , o ) 。 第二节b l a c k s c h o l e 方程的推导 f i s c h e rb l a c k 和m y r o ns c h o l e s q 在( ( t h ep r i c i n go fo p t i o n sa n dc o r p o r a t e l i a b i l i t i e s ) ) 提出了b l a c k s c h o l e s 模型，现将b s 方程主要推导思路整理如下。 考虑在t 时刻如下的投资组合 n ：一个期权和一，个标的资产 n 在t 时刻的价值为 r l ，= v ( s ，t ) 一a ，墨 ( 2 1 ) 而，在历时间内为固定的，则在疵时间内该投资组合价值的变化为 d l - i 。= d v a d s , ( 2 2 ) 而v = v ( s t , f ) ，且s ，服从几伺布朗运动，由i t o 定理知 肌呱等d 彬懈，尝+ 丢戒2 萨0 2 v + 争衍 ( 2 3 ) 代入式( 2 2 ) ，得 棚，= 砖( 豢一) d 彬+ ( 砖西o v + 三仃2 墨2 警+ 警一脚脚( 2 4 ) 我们发现，可以取：i o v ( s ，f ) 从而消除其不确定性。 此时我们由( 2 4 ) 式得到 铘，= 哇拥，2 矿c 3 v + 争疵 ( 2 5 ) 这说明在( 0 ，d t ) 内n ，是无风险的投资组合，由无套利原理 棚，= m ，出= 哇仃2 s 2 萨0 2 v + - 警t v ) a t ( 2 6 ) 最后将( 2 1 ) ，( 2 4 ) 和( 2 6 ) 结合得到 竺o t + 三2 栅2 祟o s + 心等卅 ( 2 7 ) 1 a s 这就是b l a c k - s c h o l e s 方程，它在衍生品定价理论中有着极其重要的作用。 很名模犁都帚存此基础e 律寺起来的。 第三节b l a c k - s c h o l e s 方程的求解 我们在上一节已经利用无套利原理推导出了b l a c k s c h o l e s 方程 肛扣2 等+ 心善= r f 。， a2瓠2豁 ( 3 1 ) 【s ( 0 ，+ o o ) ，f ( 0 ，丁) f i s c h e rb l a c k 【l 】和m y r o ns c h o l e s 1 1 在其文章中也给出了求解方法。在此，我 们引用其推导方法，假设无风险利率r 和波动率盯为常数，来求出其闭形式解。 首先作如下换元 f ( s ，t ) = e - r ( t - t ) v ( s ，t ) ( 3 2 ) 则有 再设 则有 ( 3 3 ) 警+ ，o - 譬m 一昙0 2 一) 要：o ( 3 4 ) 百+ 2 矿+ 【卜j ) i 2o ( 3 4 ) 这是一个常系数抛物型方程，现在设 x = j + ( ，- - 三o - 2 ) ( 丁一f ) f = ( 丁一f ) 将上两式代入( 3 4 ) ，则y 作为x 和f 的函数满足以下方程 i 2 一盯：了 ( 3 5 ) a f2 苏2 “7 若给定初始条件 v ( x ，0 ) = h ( x ) 则其解可表示为积分形式 v ( r ，z ) = i 材( 工一少，r ) h ( y ) d y ( 3 6 ) d - - a o 其中函数材( x ，f ) 被称为热核，我们可以对方程( 3 6 ) 使用傅里叶变换得到热核 的闭的表达式 u ( x ，f ) = 丧p 2 0 r 2 7 ( 3 7 ) 回到最初的问题( 3 1 ) 的求解，此时我们有 f ( s ，丁) = h ( s ) 则 v ( x ，0 ) = h ( e 。) ，将代入方程( 3 6 ) 得到 邢力：南脚一竺一帅恸 8 ， 至此，我们在形式上给出了b l a c k s c h o l e s 方程的解。 作为一个特例，对于欧式看涨期权和看跌期权，我们应用( 3 8 ) 式来求出 其闭形式解。 由于对于看涨期权的收益函数为 办( s ) = m a x ( s k ，0 ) 9 o f f 业 8 心 + 塑酽：虿 铲 婷 盯 ，一2 + 里西 则 其中 看跌期权的收益函数为h ( s ) = m a x ( k - s ，0 ) 。 啦只耻赢脚一竺一q m p - r ( ) 一( t n s + o 一号) 仃一f ) 一y ) 2 2 荔霉萧上足唧 - 谤长r 咖 一赢e 朴竺一渺 = s 去f ：e 出一e 叫，k 去e p t x 2 出 o n ( s k ) + ( 厂+ 冬) ( 丁一f ) 小刁乒争一仃“一力 ( 1 n ( s k ) + ( ，一冬) ( 丁一f ) 咖习乒t 争一 仃，“一 至此，我们得出了欧式看涨期权的定价公式。由期权的平价定理可得欧式 看跌期权的定价公式。 所以 c ( k ，f ；s ) = s n ( d 1 ) 一e 一7 k n ( d 2 ) p ( k ，f ；s ) = e - r ( t - t ) k n ( 一d 2 ) 一s n ( 一d 1 ) 这就是欧式看涨、看跌期权的闭形式解。 l o ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 第四节相关的风险系数 在介绍了b s 模型之后，我们再来看看b s 模型下期权价格与各个因素的 关系，姜礼尚【3 4 1 在期权定价的数学模型和方法一书中做了详尽的描述。我 们下面介绍这些风险系数。 3 4 1d e l t a 期权的d e l t a 表示期权对标的资产价格变动的敏感性，有时它也叫做套期保 值率，它的定义如下： ：竺 8 s 我们看看对于欧式看涨期权，其d e l t a 是什么。 由于欧式看涨期权：c ( k ，；s ) = s ( 4 ) 一e - r ( t - t ) k n ( d 2 ) ( h a ( s k ) + ( ，+ 要) ( 丁一f ) 其中d l = = = 三一 o - 4 ( r f ) o n ( s k ) + ( ，一a - - - 享) ( t 一，) d ，= 芦：兰 一 盯( r f ) 则 西a c = c 引+ 去芸p 萼一羞i 等p 。( 卜了d 2 2 - ( m + 丽洁q 萼一吉唧( - 譬一下c r 2 ( t - t ) “仃厉川叫) ) - ( 引+ 赤e 萼一丁s e - r ( t - t ) = ( 盔) 而2 r e 一，( 这意味着资产当前价格越高，其相应的看涨期权价格就越高。 利用期权平价公式c + k e 一= p + s ，我们得到看跌期权的d e l t a 为 黑= n ( d 。) 一1 u r o 可知看跌期权的d e l t a 为负，所以资产的当前价格越高，其相应的看涨期权 价格就越低。 3 4 2g a m m a g a m m a 是d e l t a 的一阶导数，它表示d e l t a 对资产价格变动的敏感性。其定 义为： r ：堡 a s 。 分析欧式看涨期权的g a m m a ： 粤：型绺：一三一e 粤 o 2o = ；= = 7 = = = u 8 s 1a s 一2 兀s 6 0 t t 所以看涨期权的价格是关于标的资产价格s 的凸函数。 由平价原理可知，欧式看跌期权的g a m m a 与欧式看涨期权是一致的。 3 4 3t h e t a t h e t a 是期权价格随时间的变化率 o ：翌 a 对于看涨期权来说，其t h e t a 为 害：一熹一rke-r()n(de e a ：)一= 一芦= 7 了= = 一 、7 ， 研 2 2 万丁一t 川 所以看涨期权价格随时间增长而下降。这意味着，离到期日越近，看涨期 权的价格越小。直观上理解，在无红利支付的情况下，欧式看涨期权价格和美 式看涨期权价格是相同的，那么到期日越近，就说明给予的权利越小，那么成 本也就越小。 而对于欧式看跌期权 望：丝+ r 鬣k e - r ( ) l = 一+ ”7 8 ta t s 口 一2 2 r k e 一，( r 训n ( d 2 ) + r k e 一，r _ r ) ：一氅萼+ r k e - ( r - ) n ( d e r k e - a ：) = 一；= ；= = ，j 2 4 2 x q r t 。 可知此值不恒为正。也就是说，我们无法判断欧式看跌期权的价格与到期 日之间的关系。 1 2 3 4 4 v e g a v e g a 是期权价格对波动率的敏感度，其定义为： v e g a ：婴 。仃 对欧式看涨期权来说 a cs 盯j 乓 一= _ ：= = = - e 0 0 r 一2 趸 上式说明当波动率升高时，期权价格也升高。这是因为由于未来的不确定 性升高，导致期权的风险增大。 对于欧式看跌期权，我们有着与欧式看涨期权类似的性质。 3 4 5r h o r h o 是期权价值对于b l a c k - s c h o l e s 公式中无风险利率的敏感度。其定义为： a y p 2 石 对于欧式看涨，欧式看跌期权，我们有 _ a c = k ( t - t ) e - r ( t - t ) n ( d 2 ) 6 7 字= 一k ( t - t ) e - , ( r - t ) n ( 一d 2 ) u r 即当无风险利率升高时，看涨期权的价格升高，而看跌期权的价格降低。 3 4 6 波动率偏态 我们至此已经给出了b l a c k - s c h o l e s 公式，可以利用厂，仃，t ，k 来计算 看涨期权或看跌期权的价格，而且在b l a c k s c h o l e s 看涨，看跌公式中，我们假 定仃为常数。那么现在反过来，对于固定的每一个到期日和执行价格来说，我 们由期权的市场价格也可以反求出波动率仃。我们称这种反求出的波动率为隐 含波动率( i m p l i e dv o l a t i l i t y ) 。那么现在就有一个问题，如果我们的b l a c k s c h o l e s 模型是正确的话，算出的隐含波动率是唯一的吗? 在实际情况中，我们发现这 个隐含波动率并不是唯一的。实际上，我们算出的隐含波动率会随着到期日和 执行价格的不同而出现差异。我们称这种现象为波动率偏态( v o l a t i l i t ys k e w ) 或者波动率微笑( v o l a t i l i t ys m i l e ) 。对于波动率偏态这个问题，学者们有着不同 的解释，有的认为在b l a c k s c h o l e s 模型中，我们的假设过于简单，不符合实际 情况，还有解释说在多数市场，如果我们用有平值期权的隐含波动率来给虚值 期权来定价时，算得的价格几乎是o ，而这在现实中是绝对不可能的。还有一些 解释将原因归结于期权的供给和需求。 波动率偏态给我们的启示是b l a c k s c h o l e s 模型并没有较好的反映实际情 况，以后的学者们都在不断地试图去改进b l a c k - s c h o l e s 模型，来更合理地计算 期权的价格。在后来的研究中，比较主要的模型有r o b e am e r t o n 9 的跳跃扩散模 型和h e s t o n 2 6 】的随机波动率模型。 1 4 第四章二叉树模型 c o x ，r o s s & r u b i n s t e i n 2 j 在1 9 7 9 年的文章( ( o p t i o n sp r i c i n g ：as i m p l i f i e d a p p r o a c h ) ) 里提出了b o p m ( b i n o m i a lo p t i o np r i c i n gm o d e l ) 定价模型。这个模 型一开始只是为了提供一种推导b l a c k - s c h o l e s 公式的简单方法，但是后来却发 现其在建立复杂期权定价模型时具有极大的优势。我们下面首先介绍最简单的 单时间段二叉树模型，然后再将目光转向一般的多时间段二叉树模型。 第一节单时间段二叉树模型 二叉树是对股票价格的有限离散化。假设现在有一个价格为s 的股票，我们 考虑其在丁时刻可能具有的价格，为了讨论简单起见，我们先假定未来的结果只 有两种的情况。股票价格或者从s 向上运动到一个新的水平鼬，或者s 向下运 动到一个新的水平饼( 其中甜 l ，d 1 ) 。当股票价格向上运动到勋时，我们 还假设此时基于该股票的衍生证券收益为v ”；如果股票价格向下运动到跗时， 我们假设此时基于该股票的衍生证券收益为y d 。如下图所示。 、一& 。、跗 图1 衍生品在丁时刻的收益为 巧：jy | ： 当品= 鼬 ( 4 1 ) 。 i 矿d当s r = s d 我们在此假设股票价格上升至砌的概率为p ，股票价格下降至跗的概率为 l p 。即p ( s r = s u ) = p ，p ( s r = s d ) - 1 一p 。 首先算出收益的期望，再用无风险利率来贴现。 因此 r o = e - r r ( p v 。+ ( 1 一p ) 矿d ) ( 4 2 ) 而p 在此为自由参数，所以期权价格会随着p 的变化而变化。 我们考虑如下投资组合：。股股票s 和：数量的银行存款。 则此投资组合在时间丁的收益为： = 【a ，t s 尉u + + a 矽2 e r ，当s 品r = ：s 跗u 比较一下( 4 1 ) 和( 4 3 ) 式，可得 a l s u + a 2 p 盯= v ” 跗+ a ，p “= v d 此时得到 ：兰：二芝 1 s ( u 一们 u v d d v “ a = = 一 e 一 一d ) 由此可算出 = 面v i tm 丽v ds + 而u v a - d v ：e 一，r ( e r - dv ”+ 1 4 - - e r ty d ) u du d 7 比较一下( 4 2 ) 和( 4 4 ) ，我们可以发现 盟矿“+ 丛y j ：p y ”+ ( 1 一p ) y d 甜一du d 、 即 p “一d p2 l p ：竺兰 ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) 第二节风险中性估值 衍生证券定价公式中，( 4 4 ) 式没有用到股票上升或下降的概率。这一点会 让人想不通，它看起来跟我们的直觉有矛盾。因为人们很自然地想如果股票价 格上升的概率增大的话，那么以该股票作为标的资产的看涨期权的价格应该会 减少才对。但是这个公式否定了我们的看法。 为什么会出现这种情况呢，原因就在于我们并不是在完全化的条件下来为 期权估值。我们只是根据标的股票的价格来估计期权的价值，未来上升和下降 1 6 的概率其实已经包含在股票的价格之中了。 如果我们将( 4 6 ) 中的p 解释为股票价格上升的概率。那么1 一p 就是股票 价格下降的概率。表达式p v ”+ ( 1 一p ) v d 则是衍生证券的预期收益。按照这种对 p 的解释，于是方程式( 4 4 ) 可以表述为：今天衍生证券的价值是其未来预期 收益值按无风险利率贴现的值。 当上升运动的概率假设为p 时，我们考察一下股票的期望收益，则 e v 】= e 一一( p v ”+ ( 1 一p ) v 4 ) ( 4 7 ) 该式说明平均来说，股票价格以无风险利率增长。 我们将把每一个人是风险中性的世界称为风险中性世界：在这样的世界中， 投资者对所承担的风险不要求补偿，任何证券的预期收益都是无风险利率收益。 式( 4 7 ) 说明，当我们假定上升的概率是p 时，我们就在假设一个风险中性世 界。 第三节多步二叉树模型 此节点( f ，) 的期权价格为s i ，= s u 7 d 卜7 。其中j = o ，1 ，2 ，i 。记期权价格为c ， s 涮 二 跗2 1 7 我们下面对到期时间为丁的期权进行估价。因为其收益已经确定。例如，对 执行价格为k 的欧式看涨期权 e ，= m a x ( s 刈一k ，0 ) 然后我们沿着树折现反求回去 c i ，= e - r a t ( p c i + l ，p l + ( 1 一p ) c j + l ，j ) 这样一直到c 0 。 我们看到c 0 ，。是由c 的线性组合组成。而这些线性组合的系数不依赖于 c ，的值。如果我们将这些系数都算出来，那么就不用一次次地递归来求了。 a r r o w d e b r e u 树给出了求解系数的方法，我们在此直接给出其结果 d o o = l d f ，= d i - i , j ( 1 - p ) e 一心+ d “，一l p e 一心0 聊，则有 唧却删圳= 篙筹 性质5 3 尸( ( f ) 一( s ) ：七) = e - 2 ( t - s ) ( 2 ( _ t - s ) ) k ke n + 性质5 4 对p o i s s o n 过程，我们有其增量是独立的； 即对任意的0 t o t l t 2 口) = 0 2 l 定义5 2 ( p o i s s o n 随机测度) 设( q ，z ，即是一完备的概率空间，( z ，) 脚是z 的单增的仃域流，x = ( x ( f ) ) 渤 是( q ，重，即上的一个( z ，) 脚适应l e v y 过程。任意的给定的实数集上的b o r e l 开区 间彳，定义 n ( t ，么) = j i o s t ；a x ( s ) 彳) 其中a x ( t ) = x ( f ) 一x ( t 一) ，# 表示集中的点的个数。 对给定的w q 和t 0 ，n ( t ，- ) 是( r ，b ( r ”上的测度，称n ( t ，) 为与l e v y 过 程x = ( x ( f ) ) 伽相联系的泊松随机测度。 对任意给定的a b ( r ) ，( ( f ，4 ) ，t o ) 是一个泊松随机过程。令 v ( a ) = e ( n ( 1 ，彳) ) ，则v ( ) 是( r ，b ( r ) ) 上的测度，称1 ，为过程x = ( x ( f ) ) 伽的l e v y 测度。 记n ( t ，a ) = n ( t ，4 ) 一t v ( a ) ，称n ( t ，) 为校正的泊松随机测度。由于n ( t ，a ) 关 于是( 粤，) 晓。是鞅，故( ( f ，) ) 是鞅值随机测度 设x 是- - l e v y 过程则存在b r ，仃0 使得任意的t = f f x ( t ) = b t + a b ( t ) + l x n ( t ，出) 其中b = ( x ( 1 ) ) ，b = ( b ( f ) ，t 0 ) 为标准布朗运动，n ( t ，) 为与x 相联系的泊松 随机测度且与占相互独立。 5 2 2 l e v y 过程驱动的带随机波动率的期权定价模型 上节中介绍了当跳跃过程是p o i s s o n 过程时期权的定价方法，一些学者将其 跳跃过程推广到一般化，其中c h 加的l e v y 过程模型，和j a nk a l l s e n 1 9 】的指数 l e v y 过程模型最具有突出性。我们下面主要介绍c h a n t ”】的l e v y 过程模型。 风险资产价格的波动主要有两方面的原因： ( 1 ) 市场内在的波动性，它使风险资产价格有一个长期连续的波动，其大小 由波动率来决定； ( 2 ) 突发事件的影响，它使风险资产价格产生跳跃性波动，这个波动是短期 的间息的，可用一个复合泊松过程来描述，其大小由l e v y 测度来，( ) 决定。由于 上述原因，用l e v y 模型来描述风险资产的价格过程更为合理。 设市场上有两种资产，一种为风险资产，它在时刻t 的价格s ( f ) 满足方程 d s ( t ) = s o 一) o ) 衍+ c r ( y o ) ) c 扭o ) + lx n ( d t ，) ，0 t t ( 5 1 ) 其中t 0 为常数，b ( t ) 是一标准布朗运动，且b ( t ) 与n ( t ，) 独立，c 一l 为 常数，y ( t ) 满足如下方程 d y ( t ) = c t ( m - y ( t ) ) d t + f l d b ( t ) ，0 t t( 5 2 ) 厂一 d b ( t ) 2 p 招( f ) + l p 2 d w ( t ) ，o t t ( 5 3 ) 其中w ( t ) 是与b ( t ) 相互独立的另一个标准布朗运动，口，夕，p ，m 均为常数， p “0 ，l 】表示过程b ( t ) 与过程8 ( t ) 之间的相关系数。 另一种资产是无风险资产，它在时刻t 的价格为 么( f ) = e x p 厂( 甜) 如 ， o t o ，有y ( f ) ：( e r 哪胁l e ) 第六章随机波动率模型 在期权定价的众多因素中，波动率是非常重要的因素，也是最难以了解的 因素。波动率主要分为历史波动率，实际波动率，预期波动率，隐含波动率。 在b l a c k s c h o l e s 模型中假设波动率为常数，但实证分析数据表明波动率常常会依 赖于时间t 和资产价格s ( ，) 等因素，因此根据b l a c k s c h o l e s 模型得到的期权价格 与其真实价格相差比较大。一般来说，用来获得期权的较精确价格的方法可分 为两类：一类是仍依据b l a c k - s c h o l e s 模型来对期权进行定价，但要对其中的波动 率做一些修正，根据市场上收集到的有关数据资料对波动率做出估计，以此估 计值作为标的资产价格模型中的常数波动率。估计波动率的方法主要有历史波 动率法和隐含波动率法等。另一类是将波动率看作一个随机过程，称之为随机 波动率，直接置于标的资产价格模型中，然后根据该模型推导出期权的价格。 处理随机波动率的方法主要有下面几种：一，将波动率看作是时间f 和标的资产 价格s ( o 的一个己知函数；二，将波动率看作是一个时间序列过程；三，将波 动率看作是另一随机过程y ( t ) 的己知函数。由于资产的波动率不一定是常数，而 是具有随机性，那么模拟这个随机性的模型就是随机波动率模型，这类模型的 代表是h e s t o n 2 6 的随机波动率模型，我们在此引用其模型，并简明介绍。 h e s t o n 2 6 在1 9 8 9 年的论文中提出了下面的标准扩散模型，股票价格s 服从 下面的随机方程 矗 一 羔= a d t + 1 ，d r y , 1 ( 6 1 ) 置 资产的随机过程具有非常数的瞬时方差1 ：t = a t 2 ，而且方差可用如下形式来求出 以= k ( 秒一u ) 西+ 盯丹彬2 ( 6 2 ) 假设两个布朗运动形。和形2 是相互关联的 d w , 1 d w , 2 = , o a t 我们研究在这些参数假定下的偏微分方程。现在考虑两个衍生产品y 1 和矿2 。构 建投资组合 n = v 1 一a v 2 8 s 其中和万是套期保值率，对上述资产组合进行求导，可得 d h = d v l 一d 矿2 6 d s = ( l v i - 缸昀出+ 一等棚嬲+ 筹以c a 却v 2 ， d v “3 ) 其中 肌警+ 三话2 孑c 3 2 v + j 1 以窘+ 舢急 瓶4 ， 只需令 ：丝丝 万：丝一丝 o s园s 我们即可消去无风险项d 彬1 和d 形2 此时式( 6 3 ) 变成 扣= 似矿1 一a z , v 2 ) d t 而由无套利原理，无风险投资组合只能获得无风险利率的回报，于是 l v l 一z k l v 2 ：r h 整理得 l v l - r v l + r s a 签v 1 = l v 2 - r v 2 + r s o 签v z a 矿1 a 矿2 加 加 上式说明了对于所有的衍生品，有独立于这些资产的一个参数名， 衍生品矿，都有 l v 一，v + r 8 翌 a 矿 加 即 a s= 名 ( 6 5 ) ( 6 6 ) ( 6 7 ) 使得对任意的 ( 6 8 ) l v 一，y + 心豢：五娑 ( 6 9 ) 所以衍生品y 满足的偏微分方程为 詈+ 吉话2 崇+ 圭盯2 v 罟+ 夕硝蒜+ 心芸+ 名詈= r y c 6 加， 参数名是多少要依赖市场是否完备，如果市场是完备的，那么可以证明 允= 茁( p - v )( 6 i i ) 事实上，如果有一种资产是完全依赖于瞬时方差的话，那么这种资产就可以用 来作为v 。又因为v 是不依赖与s 的，所以在风险中性测度下，应该有 警+ 三o ：v - - 等- t - 州阳) 娑钏v (612)12 + 一 一 + k i 一v l 一= ， f 6、 国 倒 一” 吖加 一一 只需比较一下( 6 1 0 ) 和( 6 1 2 ) ，就可以发现( 6 1 1 ) 成