（基础数学专业论文）纽结与jones多项式.pdf

摘要 内容摘要：在本文中，我们通过运用纽结的舡环变量和纽结多项式 的微分性质来研究一些纽结和多项式之间的关系首先我们研究环 链的j o n e s 多项式的基本性质，设三是具有n 个分支的定向环链，通过 拆接关系得到三个不同的纽结与环链l + ，l 一和l o ，这三个环链在某 个特定圆盘之外全部相同通过这种拆接关系，得到j o n e s 多项式的 性质，以及定向纽结与它的镜像的j o n e s 多项式之间的关系，并且通 l 血k a u f f m a n 多项式和它的性质得至u j o n e s 多项式的微分性质其次我 们通过j o n e s 多项式的微分性质，给出了当多项式的宽度小于5 时，整 系数的l a u r e n t 多项式是某一纽结的j o n e s 多项式的充分必要条件( 通 过对j o n e s 多项式求n 阶导数得到) 最后简单介绍了二元纽结多项 式( h o m f l y 多项式) 的基本性质 关键词：纽结；j o n e s 多项式；二元纽结多项式 a b s t r a c t c o n t e n t ：i nt h i sp a p e r ，w ed e a lw i t hs o m ec o r r e s p o n d i n gr e l a t i o n b e t w e e nk n o t sa n dp o l y n o m i a l sb ya r fi n v a r i a n ta n dd e r i v a t i v eo fk n o t f i r s to fa l l w es t u d i e dt h eb a s i cp r o p e r t i e so ft h ej o n e sp o l y n o m a l s o ft h el i n k s l e tlb ea no r i e n t e dl i n kw i t hnc o m p o n e n t s ，o n et a i l o b t a i nr e c u r s i v er e l a t i o nl + ，l a n d l 0 ，w h i c ha r es a m ee x c e p ti nt h e s a m ed i s k t h r o u g ht h i sr e c u r s i v er e l a t i o n ，w ec a l lh a v et h ep r o p e r t i e s o ft h ej o n e sp o l y n o m i 乩t h eo r i e n t e dk n o ta n di t sm i r r o ri m a g eo f j o n e sp o l y n o m i a l ，w eo b t a i nt h ep r o p e r t i e so fd e r i v a t i v eo ft h ej o n e s p o l y n o m i a lf r o mt h ek a u f f m a np o l y n o m i a la n dh p r o p e r t i e s i nt h e s e c o n dp l a c e ，w eg i v en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nt h 胄tal a u r e n t p o l y n o m i a lw i t hi n t e g e rc o e f f i c i e n t s ，w h o s eb r e a d t hi sl e s st h a nf i v ei s t h ej o n e sp o l y n o m i a lo fac e r t a i nk n o t ( t a k en t hd e r i v a t i v eo nb o t h s i d e s ) f i n a l l y , w eg e ts o m es i m p l ep r o p e r t i e so ft h et w o - v a r i a b l ek n o t p o l y n o m i a l ( h o m f l yp o l y n o m i a l ) k e yw o r d s ：k n o t s ；j o n e sp o l y n o m i a l ；t w o - v a r i a b l ek n o tp o l y n o m i a l 学位论文独创性声明 本人承诺：所旱交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文巾除特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人和其他机构已经撰，弓或发表过的研究成粜，其他同 志的研究成果对本人的启，j 和所提供的帮助，均已仵沦文巾做mj ，明确的卢明并袭，j ：谢意 学位论文作者签名： 口期：汐渺日弓阍 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交复印件和磁盘，允许论文被奁阅和借阅本人授权辽j 师 范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行榆索，可以采川影印、缩印 或其他复制手段保存、汇编学位论文保密的论义相：解密后使用小授权书 荆始斗；平燧甏要 纽结与j o n e s 多项式 1引言 纽结与j o n e s 多项式 1 1历史概述和研究背景 数学上的纽结理论，是上个1 迂纪以来作为拓扑学的一个重要部分而发展起来 的拓扑学是研究几何图形的连续变形的学科，纽结理论研究绳圈( 或多个绳圈) 在 连续变形下保持不变的特性 对于纽结与环链，我们总可以取适宜的投影方向，使得投影图上的重叠点是二 重点，即不会有三个点的影了叠在一起这样，再以线条的虚实表现重叠处的上下 两条线在空间中交叉的情景，一张投影图就足以确定纽结与环链如果两个环链有 相同的投影图，一定可以做沿投影方向的移动而把一个变成另一个我们要求投 影图达到以下标准【1 5 】：只有有限个重叠点；每个重叠点都是二重点：在每个二重点 处，上下两线的投影都是故乡穿越交叉的我们将得到由一组自身相交的闭曲线 构成的平面图形这样得来的线条图上，每个分叉点都是四岔的所以我们称之为 四岔地图每张投影图确定一张四岔地图反过来说，由四岔地图却不能确定投影 图，因为每个分叉点有两种可能的交义情况，如图1 所示 图1 所以，从有n 个分岔点的四岔地图一共可以得n 2 n 张不同的投影图当然，它们所带 变得纽结或环链却不一定互不相同 纽结与环链可以用投影图来确定，然而等价的环链可以有不同的投影图要利 用投影图来研究纽结性质，先决条件是必须弄清楚，绳豳在空问中的移位变形怎样 在投影图上反映出来我们当然应该允许投影图作平面变形 德国数学家r e i d e m e i s t e r 在上个世纪2 0 年代指出，纽结与环链的同痕本质上 是由投影图的三种基本变换( 初等变换) 来刻划的我们分别称它们为r l ( 消除或 1 纽结与j o n e s 多项式 添加一个卷) ，月2 ( 消除或添加一个叠置的二边形) ，r 3 ( 三角形变换) ，如图2 所_ 灼 r 1 ) 一 o ) 时，兄( u ，z ) = 一尸l ( 秒，z ) f i i j 36 3 1 ( 图1 1 ) 和它的镜像的二元多项式的关系 解由拆接关系口p ( d + ) 一v p ( d 一) = z p ( d o ) 得 p ( 秽，z ) = v - g z 一2 2 v 一6 z 一2 + v - 4 z 一2 3 v 一6 + 3 v 4 + 2 v 一4 2 2 + t ) - 2 2 2 ， p l ( v ，z ) = v s z 一2 2 v 6 z 一2 + y 4 z 一2 3 v 6 + 3 v 4 + 2 v 4 2 2 + v 2 2 2 ， 则兄( 秽，z ) = p l ( 旷1 ，z ) 推论3 1 2 设l 是两个有向纽结或链环k l ，的拼，k 是它的一个分支数，l 是l 的 镜像，则有引理3 3 成立 推论3 1 3 设l 是两个有向纽结或链环k 1 ，鲍的连通和k 1 l i k 2 ，k 是它的一个分 支数，口是l 的镜像，则有引理3 3 成立 推论3 1 4 交错纽结或交错环链满足引理3 3 猜测3 非交错纽结或非交错环链也满足引理3 3 推论3 1 5 交叉点小于等于8 的非交错纽结的琼斯多项式是交错的 推论3 1 6 交叉点小于等于8 的两个分支的非交错环链的琼斯多项式是交错 的 1 6 参考文献 f 1