（工程热物理专业论文）多孔介质导热的分形理论研究.pdf

学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：墓蕉 e t 期：墨，望：夕 关于学位论文使用授权的说明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人 f 包子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包 括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 签名：批导师签名：芝乏兰互竺日期：j 醺 多孔介质导热的分形理论 多孔介质导热的分形理论研究 摘要 长期以来，多孔介质内部结构的准确描述和热物性的精确确定，一直是多孔介质传 热传质研究的一个难题。本文运用新兴的分形理论，对多孔介质内部的导热过程进行了 较系统研究。研究了多孔介质剖面的分形维数，编制了多孔介质内部温度场的计算程序， 提出了一个基于分形理论的多孔介质导热模型，探讨了影响多孔介质内部有效导热系数 的各主要因素。 本文首先讨论了分形理论的基本原理，分析了其在多孔介质传热中的应用途径。进 一步利用分形理论和计算机图像处理工具，对实际土壤图片的分形维数进行了理论计 算。该分形维数较好地反应了土壤内部颗粒和孔隙的分布和几何结构特征。同时，根据 计算结果引出了分形理论的适用前提，推导了对于多孔介质分形理论适用判据，从而解 释了计算结果的合理性。 为了能对多孔介质内部的导热过程有个比较清晰、直观的了解，本文运用有限差分 法，对多孔介质剖面进行了离散化处理，以能量守恒原理为基础，列出了网格点的控制 离散方程组。结合多孔介质的固有不均匀特性，综合考虑各网格界面上复杂的导热系数 的处理和选取，运用线性方程组的求解方法，获得了各网格点的温度值。使用数学工具 软件m a t l a b 编程，实现了温度分布曲面的可视化。经验证，这些温度值是符合物理规 律的。本文研究了多孔介质剖面内部的热流状况，计算了综合考虑分形维数和孔隙率时 各类多孔剖面的有效导热系数，证明有效导热系数和骨架占有率以及分形维数都有紧密 的联系。 由于多孔介质的结构非常复杂，即使孔隙率相同，不同粒径尺度和不同的粒径分布 使得多孔介质有着不同的有效导热系数。此外，颗粒和颗粒之间还存在着接触热阻，使 得多孔介质导热模型的建立和研究都十分困难。为此，本文考虑了多孔介质的微细结构、 孔隙大小分布的分形特征，采用分形理论提出了一个简化的分形导热模型，推导了多孔 介质的有效导热系数丸的分形表达式。该式是根据分形理论导出的。同时考虑多孔介质 内部结构特征的有效导热系数计算公式，由它计算出的导热系数数值比通常的容积平均 计算公式更接近实际情况。 关键词：多孔介质，导热，分形，有效导热系数 多孔介质导热的分形理论 s t u d y o nh e a tc o n d u c t i o ni np o r o u sm e d i ab y f r a c t a lm e t h o d a b s t r a c t d e t e r m i n i n gt h et h e r m a lp r o p e r t i e so fp o r o u sm e d i ai s av e r yi m p o r t a n ta n dd i f f i c u l t p r o j e c t t h ef u n d a m e n t a lt h e o r yo f f r a c t a la n dt h ea b r o a da p p l i c a t i o na r ei n t r o d u c e df i r s t l yi n t h i s w o r k b yu s i n gt h e f r a c t a lt h e o r y , m e c h a n i s mo fh e a tc o n d u c t i o ni np o r o u sm e d i ai s s t u d i e ds y s t e m a t i c a l l y t h ef r a c t a ld i m e n s i o no ft h es e c t i o no fp o r o u sm e d i ai sc a l c u l a t e da n d a p r o g r a m t oc o m p u t et h ei n t e r n a lt e m p e r a t u r ei np o r o u sm e d i ai sc o m p o s e d b e s i d e s ，ah e a t c o n d u c t i o nm o d e lo fp o r o u sm e d i ai sp r o p o s e d f i n a l l y , s o m ei m p o r t a n te l e m e n t sr e l a t i v et o t h ec m c i e n tc o n d u c t i v i t yr r ed i s c u s s e d b a s e do nt h ef r a c t a lt h e o r ya n dc o m p u t e ri m a g ep r o c e s s i n gt o o l ，t h ef r a c t a ld i m e n s i o no f t h er e a ls o l ls e c t i o n sa r ec o u n t e d t h i sf r a c t a ld i m e n s i o nr e f l e c t st h ep a r t i c l ed i s t r i b u t i o n sa n d v o i dd i s t r i b u t i o ni ns o i l a c c o r d i n gt ot h ec o u n t i n gr e s u l t s ，t h e a p p l y i n gp r e c o n d i t i o n i s d e d u c e d ，w h i c he x p l a i a st h em t i o n f l i t yo f t h ec o u n t i n gr e s u l t s i no r d c rt ou n d e r s t a n dt h ec o n d u c t i o ni nt h ep o r o u sm e d i a , b yu s i n gf i n i t ed i f f e r e n c e m e t h o do nac o n t r o lv o l u m e ，t h ep o r o u sm e d i as e c t i o ni sd i s c r e t i z e dc o m b i n e dw i t ht h e e n e r g ye q u a t i o n ，t h ed i s c r e t i z a d o ne q u a t i o n s a r ed e d u c e d o w i n gt ot h ei n h e r e n ta s y m m e t r i c p r o p e r t yo f t h ep o r o u sm e d i a t h ec o n d u c t i v i t yo ft h ei n t e f f a c e sa r ep r o c e s s e da n ds e l e c t e d t h et e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o n sa r ec o u n t e df i n a l l y t h ec o n d i t i o no fh e a tf l o wi nt h ep o r o u s m e d i as e c t i o ni ss t u d i e d t h ee f f e c t i v e e o n d u c f i v i d s c o u n t e dw i t hc o n s i d e r i n gt h ei n f l u e n c e o f t h ef r a c t a ld i m e n s i o na n d t h e v o i d a g e t e t h er e s u l t sp r o v e t h a tt h et w oi n f l u e n te l e m e n t sa r e o fg r e a ti m p o r t a n c e i no r d e rt oc o n s t r u c tas e to f p o r o u sm e d i a s e c t i o nw i t ht h es a m ef r a c t a l d i m e n s i o nt 0c o n t r o lt h eh e a tc o n d u c t i o ni np o r o u sm e d i a , i ti sn e c e s s a r yt os t u d yt h es p e c t r a l d i m e t m i o nf b r t h e r b e c a u s eo ft h e c o m p l i c a t e d i n t e r n a ls t r u c t u r eo fp o r o u sm e d i a t h e r ea r ed i f i e r e n t e f f i c i e n tc o n d u c t i v i t i e so fp o r o u sm e d i a 、“t 1 1d i f f e r e n t p a r t i c l e d i m e n s i o na n d p a r t i c l e d i s t r i b u t i o n ；e v e nt h e yh a v et h es a m e v o i dr a t e b e s i d e s , l c o n t a c t i l _ c o n d u c t i v i t y a t i se x i s t e da o ft h i sm a k e si td i f f i c u l tt ob u i l d 血er e a lh e a tc o n d u c t i o nr o o d e l c o m b i n e dw i t ht h ep r o p e r t y o fm i c r o s t r u c t u r ea n dt h ef r a e t a ls p e c i a l t yo ft h ed i f f e r e n td i m e n s i o nd i s t r i b u t i o no fv o i d a g e s i m p l i f i e dh e a tc o n d u c t i o nm o d e l i sp r o p o s e d a c c o r d i n gt ot h ei n t e r n a ls t r u c t u r eo f p o r o u s m e d i a , t h ef i a c t a le x p r e s s i o no f t h e e f f e c t i r ec o n d u c t i v 洳i sd e d u e e dw h i c hi sm o r e r e l a t i v et o r e a l i t yt h a nt h ec l a s s i cv o l u m ea v e m g em e t h o d k e yw o r d s ：p o r o u sm e d i a ，h e a tc o n d u c t i o n ，f r a e t a l ，e f f e c t i v ec o n d u c t i v i t y 2 多孔介质导热的分形理论 绪论 多孔介质的质量、动量和能量传递问题涉及到许多领域，是构成众多自然现象的基本过程。其 中包括核反应堆冷却、核燃料的地下储存、煤炭的储运和燃烧、高温元件的发散与烧蚀冷却、利用 多孔介质强化传热传质、地下冷热水勘探与开发、石油开采与清蜡降粘、土地盐碱化、建筑与保温 材料中的传热传湿、物品( 如农产品、小材、纺织与轻工产品等) 干燥、食品( 如蔬菜、水果等) 保鲜、植物体内与植物与土壤之阃的水分、养分传递，甚至动物或人体血液和组织液、水分、养分 的扩散与输送等等。上述众多过程不仅包括与人类生存息息相关的能量开发与利用，也关系到工农 业生产和人类生活的方方面面，关系到高科技发展甚至涉及生命科学。由此可见，多孔介质传递过 程对人类生存与发展有着不可忽视的重要影响。 人们对多孔介质传递现象的关注与研究由来已久。最初开发的领域是地下水勘探与预测，早在 1 8 5 6 年h d a r c y 曾经对法国d i j o n 城的地下水源进行了研究，提出了著名的适用于一定条件下多孔 介质中流体流动的d a r c y 定律【l 】。可以说多孔介质传递科学是开发较早的科学技术领域之一。但在 此以后的一个相当长的历史时期内，一直停留在土壤和岩层中水流动这一类单纯可实测的问题上。 直到本世纪3 0 年代以后，由于石油开采和运输业的迅速崛起，加速了多孔介质流动学科的发展，并 在5 0 年代后逐渐形成了多孔介质流体动力学这一学科分支。同时，在本世纪5 0 年代前后l u i k o v 等人对多孔物料的干燥原理与技术进行了较全面、系统、深入的研究，是人们对多孔介质传热传质 过程的认识和控制达到了一个新的高度例。随着化工、能源、原子能、航空与航天、热管、高温冷 却、强化传热等近代工程技术的发展，及近代工农业生产的垒面进步，提出了大量更为复杂的多孔 介质传递过程问题，从而更进一步促进了多孔介质传递科学的各种研究，使其成为当今世界科学技 术研究发展长河中令人瞩目的热点。无论从科技发展还是从实际需要来看，多孔介质传递科学的形 成是一个必然趋势。多孔介质传热传质的研究，是一项具有重大学术价值、对学科发展具有重要影 响的研究工作，已经成为国际工程热物理和地球、环境科学最活跃的前沿研究领域之一。 o 一1 多孔介质传热传质研究现状 多孔介质传热传质的理论研究已经有近百年的历史。在探求迁移机理方面已先后发展了能量理 论p j 、液体扩散理论【4 i 、毛细流动理论1 5 1 和蒸发凝节理论【6 1 等等。用来解释毛细多孔介质内的热质迁 移机理、迁移过程的数学描述。通过p h i l i p ”，l u i k o v i s j ，w h i t a k e r l 9 1 等人的研究工作，在一定的简化 假设下，已经形成了比较严密的理论体系。但是，由于多孔介质中的热质迁移是一个非常复杂的过 程，不仅和多孔介质本身的结构有关，而且受到众多因素的影响。上述迁移机理和理论方法的实用 性和适用性常常受到挑战。这主要体现在下列5 个方面i l o l ： ( 1 ) 多孔介质几何参量很难做出严格的描述。实际均匀一致的颗粒形状和孔隙分布几乎是不存 在的，固相界面存在着随机的不确定性因此研究者只能够引入“容积平均”的概念，把多孔介质 看成一种在大尺度上均匀分布的虚拟连续介质，这与许多实际情况存在较大的差异。 ( 2 ) 通常，假定多孔介质固体骨架和流体之间存在着局部的热力学平衡态。但是，在许多情况 下这种平衡态是很难达到或者是不可能达到的例如，湿物料的气流干燥、肌肉组织中血流和肌肉 组织之间的热质交换、核废料的冷却等等，需要考虑骨架与流体之间的热量交换。 ( 3 ) 多孔介质骨架有时不能假定为刚性的，工程上常遇到的固体骨架具有可塑性，或者骨架可 以胀缩甚至游移，因此相应的将固体骨架看成刚性的数学方法需要加以改造。 ( 4 ) 实际多孔介质传输过程中，存在着许多尚未深入研究的物理化学效应。例如不同迁移势之 间的耦合效应、毛细滞后效应、湿分迁移的非d a r c y 效应、热弥散效应、骨架与流体之间的化学反 应等。现有理论未能考虑这些问题。 ( 5 ) 由于缺乏测试温分的有效方法和手段以及缺乏众多的热湿迁移特性的基础数据使多孔介 4 多孔介质导热的分形理论 质热质迁移的深入研究遇到了极大的困难。 因此，结合具体的研究对象，寻求比较简单而且更符合实际的理论模型，进一步考虑在传递过 程中的各种物理化学效应以及发展湿分分布和热湿迁移特性的新测试方法和手段是当前多孔介质传 热传质研究的主要目标。 8 0 年代以来，由于新能源和新技术的发展，国际上在多孔介质传热传质领域内相继开辟了不少 具有重要应用背景的新研究领域，成为国际传递学术会议的主题，比较有代表性的有： ( 1 ) e c h i g o 发展的流动系统中多孔材料热绝缘层的理论和实践以及相应的多孔体对流辐射热量 转换元件的研究，已经对节能产生了显著的效果，i q ： ( 2 )对地热开发、石油热采和核反应堆正常工作具有重要意义的多孔介质中多相流动的传热传质 的研究、封闭空间多孔介质自然对流的研究和含油多孔岩层中蒸汽驱油的多相传递过程的研究 1 3 j ”， 形成了多孔介质传熟传质中最活跃的一个部分； ( 3 ) 高性能多孔强化传热表面，特别是多孔强化沸腾表面和热管的发展，反应堆安全性分析和核 废料地下安全储存的需要，促进了多孔介质中相应换热研究的发展 15 - 1 7 】； ( 4 ) 机械作用下的多孔介质中气体一水分的置换现象，发展了一类高效节能的干燥技术； ( 5 ) 将高集成的超大规模集成电路看成一种多孔介质，从而发展了一种研究细微复杂结构内传热 传质的新方法1 1 。 我i 虱多孔介质传热传质的研究始于5 0 年代，从对国产保温材料和建筑材料的热物性测试以及泥 煤的干燥开始，经历了几十年的历程，已取得了一批有价值的研究成果。近年来，多孔介质传热传 质被列为国家自然科学基金的重点课题之一，研究工作取得了重要进展。概括起来，可以分为5 个 方面： ( 1 ) 发展了多孔介质热湿迁移的综合理论 未饱和含湿多孔介质中传热传质过程，由于存在毛细滞后而变得十分复杂。给定量研究带来极 大的困难，是研究中的一大难题。虽然从3 0 年代起国内外就有许多学者从事毛细滞后的研究，但一 直停留在定性研究阶段。近年来，我国在这方面的研究已经取得了突破性的进展8 ”2 i 。导出了考虑 毛细滞后现象的未饱和多孔介质传热传质微分方程，揭示了传统理论中所包含的各种热湿迁移特性 具有多值性的物理基础。在传热传质模型方面，利用多相渗流理论和蒸汽在气相中的扩散迁移理论， 发展了同时考虑温度梯度下的导热和气、液两相流体对流和扩散迁移以及液体和蒸汽的相变热作用、 温度对毛细压力和物性的印象等多种复杂过程的多孔介质传热传质模型【“。 ( 2 ) 发展了多孔介质热湿迁移性质的测定方法和技术 由于多孔介质结构复杂和缺乏测试的有效手段和方法，热湿迁移性质十分匮乏。我国从8 0 年 代开始，就进行了多孔介质热湿迁移性质新方法和技术研究，发展了平面热源法，测量了国产泡沫 混凝土的当量导热系数丑和当量导温系数，并成功地分离出了真导热系数。“。利用动态热线法同 时测试了导热系数和导温系数，提出了在野外同时测定松散介质导热系数和导温系数的“加热一 冷却”法【”1 。 根据多孔介质热湿迁移的综合理论，探讨了刹用常功率平面热源法测定含湿材料的质扩散系数 d m 和热质扩散系数口。”，提出了一种动态、快速、同时测试含湿多孔体靠，t 2 。，以，口。的新的实 用方法和技术口8 】并正向实用化方向发展 发展了电容法测量平均和局部含湿量的测试技术口9 】和测定局部含湿量的脉冲电导法、局部含湿 量的测定。 ( 3 ) 在多孔介质对流传热传质和相变换熟方面，研究了竖环柱、水平环柱和斜环柱中多孔介质自然 对流规律，得出了存在斜角不影响传热的“临界形状比”彳，的结论1 3 0 - 3 2 1 。获得了充填多孔介质 5 多孔介质导热的分形理论 的通道进口段对流还热的湍流效应和热边界层发展的规律”1 ；在考虑弥散、变物性以及升浮力的影 响后，建立了充满多孔介质的竖直套管内受迫和混合对流的流动和传热模型【3 4 1 ：研究了两三个从彼 此密集到相互远离的发热固体大颗粒之间气体绕流流动和传热口q 以及具有煞内熟源的封闭多孔介质 内的混合对流p “。 对细微结构内流体流动和传热现象进行了试验研究口”，发现了一系列有别于传统规律特征和现 象。研究了饱和多孔介质颗粒床中池内泡状沸腾换热，提出了静止颗粒床和流化颗粒床沸腾换热强 化的机理 3 8 , 3 9 ；发现了静止颗粒床存在着沸腾强化的极限热流密度【4 0 j ；提出了多孔表面沸腾与凝结 的强化传热物理模型；发展了一种基于多孔介质体弥散效应的管内换热强化技术j 。 发展了一种饱和含湿多孔介质中固液相变换热的新的实验方法和模拟技术”h ；研究非饱和含湿 多孔介质中冻结和凝结的耦合传热效应：发展了外部加热条件下多孔介质冷冻干燥过程中的不可逆 热力学模型，并定量的分析了传热传质之间的交叉效应”。 通过实验研究和测定，已获得了某些典型国产物料( 谷物、煤炭、木材、瓜果) 的干燥脱水过 程的传热传质规律，对有关的工程设计有重要的参考价值。 ( 4 ) 高温条件下，多孔介质中的流动、扩散、燃烧和化学反应方面的传热传质研究工作也取得了重 要的有价值的成果。 o 一2 多孔介质的基本结构特征 多孔介质在自然界中分布极为广泛，如土壤、建筑与保温制品、化工填充床、煤炭与矿石堆、 热管多孔芯、核反应堆冷却棒、木材、谷物等等。多孔材料有个共同的特征是在固体物体中存在着 孔隙，可对多孔介质定义如下：多孔介质是由多相物质所占据的空间，也是耋蜩物质共存的一个组 合体；对其中任意一相来说，其他各相都弥散其中，故又称多孔材料为弥散材料。在多相物质中一 定有固体相，即固体骨架。没有固体骨架的那部分空间称作是孔隙。固体骨架分布于多孔介质占据 的整个空间内，多数孔隙是相互联通的，这些联通的孔隙称为是有效孔隙，那些不连通的或虽然连 通但是流体很难通过的称为是死端孔隙。 孔隙的大小以及分布是多孔介质的重要特征。而根据孔隙的大小，可以将其分为三类：当孔隙 空间甚小，以致使固体分子与流体分子之间的作用力不能忽略时，称之为分子孔隙；当孔隙足够大， 以致使流体流动取决于孔隙壁面时，则称为是洞穴；介于两者之间的空间称为是孔隙。 若从多孔介质固体骨架的分布特性去区别，又可分为是有序多孔介质( 如等径球体的规则排列 所形成的多孔颗粒层) 以及随机多孔物体( 如面包、土壤) 。 对多孔介质内的传热过程略加分析可知，它包括固体骨架( 颗粒) 之间相互接触以及孔隙中流 体的导热过程：孔隙中流体的对流换熟( 这种换熟可为强迫对流，又可为自然对流，还可以是二者 并存的混合对流，同时也包括液体蒸发、沸腾及气体凝节等相变换热) ；固体骨架( 颗粒) 或气体之 间的辐射换热。大量实验研究和理论分析结果表明，对颗粒直径不超过4 - 6 m m 的多孔介质，在 ( p r 1 0 3 时，其孔隙中流体的对流换热贡献可以忽略不计，而辐射换热贡献，只是在固体颗粒之 间温差较大，孔隙为真空或由气体占据时才比较明显。本文主要讨论多孔介质内部的导热特性。 0 3 研究多孔介质导热的几种模型 多孔介质的热工性能研究有两种途径h ”。第一种途径：以解决各种不同形状物体的导熟系数为 基础，用已知的方法对多孔介质的热物理性质进行实验研究。但是像观察其他现象一样，只凭经验 考察复杂结构的热交换问题显然是不够的。最常见的第二种途径，就是建立在对多相体系实际结构 的观察基础上( 组分数目、气孔率、微粒大小以及他们相互接触的方式等) 。将这些体系模型化，随 6 多孔介质导热的分形理论 后对于特定的实际情况，即对体系中的一定的气体压力，温度，机械荷载下，通过对流和辐射传热 等来计算其有效导热系数。 同时，颗粒形状和尺寸的不确定性、他们之间的不同接触方式，他们对于热流的不同反应，以 及存在着大量其他的不确定因素，使得在固体和颗粒多相结构中的热传递过程十分复杂。因此，在 这个领域中研究的进展和成果能够导致揭示不同种类多孔介质及复杂体系的有效导热系数的计算关 系式的建立。简化复杂但是必要的实验研究过程，最后用实验数据来修正所得到的基本理论关系式。 对于多相体系导热系数的理论研究，目前普遍采用的有效方法就是综合传导原理。该方法是在考虑 实际的材料结构以后，根据气孔率，小孔和颗粒的尺寸，估计传导、对流、辐射传热对有效导热系 数影响的最有效方法。 赫坦克尔m 1 提出了由两相的导热系数的几何平均值表示的有效导热系数模型。固体骨架平面层 和气体层互相交错形成的结构是最简单的多相系统。各层的位置和热流方向是相互垂直或是平行。 在第一种情况下，结构的有效导热系数将是最小值，第二种情况则是最大值。所有实际的多孔介质 的导热系数都在这两值之间。尽管所设想的模型方案还不是很清晰，但有不少研究者使用它。例如 w w o o d s i d e 和j h m e s s n e t t 4 6 | o 而l a n g t o n 和m a t h e w s l 4 7 1 利用该原理计算了氧化锌和橡胶的导热系数。 马克斯维尔1 4 ”应用综合传导原理计算了由各向同性介质组成的电场系统。在介质中掺入另外的 球形微粒。他将这些颗粒间的作用力忽略不计从而得到了相应有效导热系数关系式。而后格伦和乔 奇尔一1 将所有多相结构分成三类即：密实的，分散的和连续的双相材料。他们证明分散多相体系的 导热系数可以像对待球形和柱形一样，按照马克斯维尔公式来计算。 o a d b e e 和z i e g l e r ( s o l 将多相结构有效导热系数的大量理论解划分为两大类：一类为不包含任何温 度和热流假设的解，另一类为包含这些假设的解。前者与根据综合导熟基本原理所取得的值相符。 布鲁曼口”提出了扁平微粒、长的椭圆形微粒和球形微粒组成的混台体传导率计算公式。 r a y l e i g h l 5 2 提出了用于在立方体中全相同球形微粒的理论。用列然得函数表述的拉普拉斯方程式作 为基础，他研究了微粒和介质界面之间的边界条件。 多孔介质内部的传热过程是一个非常复杂的过程。前人已经发展了许多简化的多孔介质导热模 型。这些经典的导热模型基本上可以分成四大类。即：( 1 ) 容积平均模型( k a v i a n y ，1 9 9 1 ) 酬( 2 ) 局部节构模型( c a r b o n e l la n dw h i t a k e r 1 9 8 4 ) ”q ( 3 ) 统计模型( m i l l e r 1 9 6 9 ) 5 5 1 ( 4 ) 半经验模型( h a d l y ， 1 9 8 6 ) ”1 。根据这些模型得到的有效导热系数通常也只和多孔介质的一个特性尺度有关。显然与实际 导热系数相比一定会存在较大的误差。 如上所述，我们迫切需要建立一种合适的几何描述方法来描述多孔介质的几何参量，并进一步 来表述其物理性质。近年来p i t c h u m a n i 等5 8 】和t a o 等人p 9 1 将分形理论引入到有效导热系数的研究 中并分别获得了有效导热系数表达式。刘松玉 6 0 , 6 h 等人分析了土壤孔隙率分布的分形特性结果表 明土壤从统计意义上来说也具有分形结构。分形理论为确定复杂结构材料的热物性开辟了一条新路， 有望对多孔介质传热传质研究产生新的突破。但是，目前他们模型中确定多孔介质局部分形维数的 过程比较困难，采用特征尺度来确定多孔介质的局部结构的计算量比较大。总的说来，新兴的分形 理论为确定复杂结构材料的热物性开辟了一条新路。 0 4 本文的主要内容 综上所述，前人在多孔介质的热传导研究中已经取得了很大的进展。但是，由于多孔介质本身 传热特性的复杂性，目前的研究还存在着较多的不足和困难。本文针对几个问题和难题进行了系统 的研究，主要的研究内容为： ( 1 ) 计算多孔介质剖面的分形盒维数 本文结合土壤结构剖面图，采用计算机图像处理方法，获得了一种相对简单的盒维数的计算方 法。 7 多孔介质导热的分形理论 ( 2 )不均匀多孔介质剖面温度场的描述和计算 由于多孔介质内部结构比较复杂，导热系数在空间上很不规则，因而给研究多孔介质内部各点 上的温度分布带来了很大的不便。本文基于控制容积法，结合分形理论编写了不均匀剖面上备点的 温度计算程序，并进一步用数学工具m a t l a b 绘制了温度曲面图，直观清晰的表示了温度在剖面上的 分布情况。 ( 3 )从分形理论出发，提出简化的分形导热模型 本文从分形理论出发，导出了考虑多孔介质内部结构特征的有效导热系数计算公式，由它计算 出的导热系数数值比通常的容积平均计算公式更接近实际情况。利用分形理论，对有效导热系数和 分形维数的相互关系进行分析与计算。 ( 4 )编写有效导热系数的计算软件 本文从微观角度出发，运用经典的有限差分法以有规则分形s i e r p i n s k i 地毯和无规则分形土壤剖 面为例，编写了有效导热系数计算程序，给出了若干具有分形特征的多孔介质剖面以及构造图形的 有效导热系数a 第一章多孔介质分形维数研究 1 1 引言 分形( f r a c t a l ) 是由美国哈佛大学教授m a n d e l b r o t 于1 9 7 5 年首次提出来的1 6 2 j 其原意是“不规 则的、分数的、支离破碎的”物体。1 9 7 7 年，他出版了著作“f r a e t a l ：f o r m ，c h a n c ea n dd i m e n s i o n ：， 标志着分形理论的正式诞生。分形几何是- - i 以非规则几何形状为研究对象的几何学。分形几何图 形昂基本的特征就是自相似性和它的标度不变形。所谓自相似性是指某种结构或过程的特征从不同 的空间或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局部性质或局部结构与整体相类似；所谓 标度不变性就是指，分形上任选一个局部区域，对它进行放大，这时得到的放大图又会显示出与原 图相似的形态特性。因此对于分形，不论将其放大或缩小，它的形态、复杂程度、不规则性等各种 特性均不会发生变化，所以标度不变性又可称为伸缩对称性。表征这两种分形性质的定量参数为分 形维数。可以用分形几何来描述其几何特性的物体或介质就称为是分形物体或分形介质。 分形几何与传统的欧氏几何最大差别在于两种维数的值域。传统的欧氏几何认为空间的维数是 整数，它们的数值与决定几何形状的变量个数及自由度数是一致的，而图形的边界都是有规则( 能 用一定的解析式表示出来) 。可是，类似多孔介质( 如土壤) 这样的物质。其内部图形是如此的不规 则，以致它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述。分形几何的创立，使得定量描述多孔介 质的几何特征成为可能。 分形所涉及的领域极为广泛，多孔介质孔隙结构特征的定量评价在众多领域如石油，材料科学， 表面科学，地质，生命科学等都有着广泛的应用。 在石油井采的研究工作中，贾芬淑1 6 3 】等人对胜利，大庆，中原和吐哈油田部分岩样铸体薄片进 行了分形研究及相应的柱塞岩样水驱油试验。结果表明油藏岩石孔隙结构的分维越大，无水期采收 率越大。这说明分维在一定程度上较好地定量描述了岩石孔隙结构的非均质特性。它可作为评价砂 岩油藏孔隙结构及储集性能的一个性能指标。 分维在表面科学的研究中也取得了长足的发展。r e i c h 等人m 研究了各种煤样，其表面分维一 般在2 d 3 范围，并随着煤阶增加而减小。对澳大利亚v i c t o r i a n 褐煤在干燥过程中分维的变化研究 表明，湿煤由于吸收了较多的水分容积已被充满，因而煤的分形结构为体积分形：干煤由于脱除了水分 而显示面分形的特点。实验还表明，在干样和湿样中，都存在表面分维及质量分维，随加工过程都 发生了变化哗l 。 8 墨塾坌堕曼垫塑坌兰堡丝 一一 就损伤问题的研究，冯志刚”5 1 等进行了水泥沙浆的单轴压载试验，用扫描电镜观察了不同应力 廊变情况下的损伤形貌，并进行了损伤区域的分形维数计算，发现随着加载循环次数和应变量的增 加，损伤区域的分形维数不断增大。因而，分形维数可作为一个损伤变量，它可以用来描述材料的 损伤和演化。 此外，丹麦的植物学家l i n d e m e y e r t 6 ”从植物学观点出发，运用分形理论提出了一套描述植物数 目的l 系统；还有人运用分形理论来描述混沌信号【6 7 】，采用盒维数对语音信号进行描述，证明了分形 维数可以作为说话人识别，语音分割，语音识别的一个辅助特征。 刘松玉等人 6 0 , 6 1 1 分析了土壤粒度和孔隙分布的分形特征，结果表明多孔介质从统计意义上来说 可认为是一种分形结构。p i t c h u m a n i ，y a os c 5 7 s s l 和a d r i a n 和t a o i ”】则将分形理论引入到多孔介质 有效导热系数和渗透率的研究中，并分别取得了一定的成果。但是在他们的模型中确定多孔介质局 部分形维数的过程比较复杂，采用特征尺度来确定多孔介质的局部结构的计算工作量较大，在实用 上比较困难。 分形维数的定义基于“用尺度占进行量度”这样的概念”：忽略尺寸小于占时的不规律性，并 且观察当占专0 时，这些测量值的变化。数学上认为，对于任何一个有确定维数的几何体，若用与 它相同的维数的“尺”去度量，则可得到一个确定的数值，若用低于它维数的“尺”去量它，结 果就会为无穷大；若用高于它维数的“尺”去量它，结果为0 ，其数学表达式 p ) j 。 ( 1 1 ) 式中的d 就是分形维数，它可以是整数，也可以是非整数。 分形可分为两类。一类称为有规分形，它是指按一定的数学法则生成的、具有严格的自相似性， 比如经典的c a n t o r 集、k o c h 曲线以及s i e r p i n s k i 地毯等；另一类是无规分形，其自相似性不是严格 的，而是在统计意义下的自相似性。自然界中的分形体，例如：云层、海岸线、山脉等，大都属于 此类我们研究的多孔介质也属这一类。而且，对于多孔介质，其自相似性也只能在一定范围内才 能成立。对于这类统计意义上的、只在一定范围度量尺度内成立的分形，称之为局域分形，以区别 于经典分形。尺度选择的原则是：尺度的单位与分形存在层次的尺度单位相一致。 一般说来，多孔介质的有效热物理性质参数e ，除了与组成多孔介质的各相介质自身的物性有 关外，还取决于多孔介质的空间结构。根据局域分形理论，对于具有分形结构，局域尺度为l 的多 孔介质的有效热物性参数e 可以表示为 e = f 【：e ，d ，z ，s j ( 1 2 ) 式中e 是介质各相的热物性，d 为分形维数，占为多孔介质孔隙率，z 为其他影响因子。可以认为 式( 1 2 ) 是利用分形理论确定分形物体热物性的基本表达式。 1 2 盒维数的测定原理 自然界中分形的多样性决定了分形维数的形式亦是多种多样的，如h a u s d o r f f 维数信息维数， 关联维数，相似维数，容量维数，谱维数，填充维数，分配维数，l y a p 岫o v 维数，模糊维数，盒维 数等。至今人们尚未找到对任何事物都适用的分形维数的普适形式。由于测定维数的对象不同，就 某一分形维数的定义而言，对某些对象可以适用，而对于另一些就可能完全不适用。实际的测定分 形维数的方法，大致可以分成以下5 类【6 q ；( 1 ) 改变观察尺度求维数；( 2 ) 根据测度关系求维数： ( 3 ) 根据相关函数求维数；( 4 ) 根据分布函数求维数；( 5 ) 根据频谱求维数。 盒维数是应用展为广泛的维数之一，它的普遍应用主要是这种维数的数学计算和经验估计相对 9 多孔介质导热的分形理论 容易一些。设f 是r ”上任意非空的有界子集，n 。) 是直径最大为j 、可以覆盖f 的集的最少个 数，则f 的盒维数定义为【6 8 1 d i m b f ：l i m d r - - + o l o g _ n j ( _ f ) ( 1 2 ) 一l 0 9 0 为求出由式( 1 2 ) 定义的盒维数，可以取n 6 扩) 为与f 相交的下列两个数中的任一个：( 1 ) 覆盖f 的半径为j 的最少球数；( 2 ) 覆盖f 的边长为j 的最少的“盒子”数，即边长为占的立方体的个数。 盒维数的这个定义在实际中有广泛的应用。例如，为计算一个平面集f 的盒维数，可以构造一 些边长为占的正方形，然后计算不同艿值的正方形和f 相交的个数。这样，平面集f 的盒维数就可 以用当占一。时，由函数l o g j 伊) 相对于一l o g d 图的斜率值来计算。 由于盒维数是由相同形状集的覆盖确定的，它计算起来要比h a u s d o r f f 维数容易，因而被人们 广泛应用。 1 3 多孔介质剖面的盒维数计算模型 本文探讨的主要问题之一即是根据盒维数的原理，综合运用计算机图像处理工具，计算出多孔 介质剖面孔隙结构( 以土壤为例) 的分形维数，该分形维数可以作为孔隙结构复杂程度和空间填充 能力的量度。 从测度学的角度看，要测出一个面积，可以用边长为，的小正方形去覆盖( 或小圆去覆盖) ，所 得到小正方形的数目可表示为： c ( ，) ( 1 3 ) ，一 显然，r 越小，( r ) 就越大。根据上述推导，可以将p ) 与r 的关系推广到任意维的情况：对于一 个d 维的物体，设其测度为a ，则所需要的个数可用下式来表示： 一 ( ，) = 杀 ( 1 4 ) ， 对上式取对数，得 l o g n ( r ) = 一d l o g r + l o g ( a ) ( 1 5 ) 在式( 1 5 ) 中，若保证总测度a 不变，则式( i 5 ) 中右边第二项是常数。那么改变，就可以引起 p ) 的变化。在双对数坐标中绘出二者之间的关系，直线的斜率就是所要得到的分形维数。 根据前面叙述的分形维数定义，可以推广到二维图像的盒维数计算。首先将每幅黑白二值图像 读入到m a t l a b 中编写相应程序从已经存在的二值图片中切出一块( 取2 0 0 ) 0 。 将式( 1 1 7 ) 和式( 1 1 6 ) 相除得： 一- s ：o f d 2 - ( d + t 切；f ( a ) d a t - 。 式中，厂q ) td i 磕万魄+ ”为孔隙分布的概率密度函数，它应该满足归一化条件，即： 厂以m = 厂 协= 1 锄mh 上式的积分表明，该式成立的条件必须县”1 ： ( 封啪 ( 1 ，1 6 ) ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) ( 1 2 0 ) 1 4 多孔介质导热的分形理论 式( 1 2 0 ) 可咀看成是多孔介质能否用分形理论和方法处理的一个判据。在实践中，通常多孔介质 的兄。兄 1 0 ，网而式( 1 2 0 ) 是近似满足的，所以多孔介质孔隙可以用分形理论和方法来 处理：而固体骨架的颗粒大小不能满足上式判据，因而得出的分形维数超出了1 到2 的范围，不具 备分形的特征。当然，多孔介质能否用分形理论，还应该考察该多孔介质的孔隙大小分布是否存在 某个尺度范围，且在该尺度范围内是否具有标度不变性等因素。 在双对数坐标图中，对于该组黑自土壤图像，就孔隙分形维数来说，分形维数越大，孔隙越均 匀；反之，孔隙小并且不均匀，分形维数就越小。这说明对于固体颗粒分布比较均匀的土壤图像， 其分形维数也就较大。同时只有某种统一计算单位下，所讨论的维数才有真正的可比性。本文探讨 维数的求解是以象素值为基本计盒单位的，当然这里并不否认其他单位计算的可行性。 此外，本文中进行的分维计算还仅限于二维薄片图像的研究。我们知道对于二维图像，其分形 维数在1 2 之间，而对于三维孔隙的维数计算有待进一步的研究。 第二章导热过程中多孔介质剖面温度分布的研究 2 一l 引言 当多孔介质的固体颗粒相互紧密接触( 或连接) 且不移动，多孔介质的温度不太高时，无相变， 且其孔隙中的流体处于静止状态或流动甚微时，多孔介质内部的传热过程由热传导模式控制。其导 热过程按是否随时间变化可以分为稳态与非稳态两种。 即使是对多孔介质的纯导热过程，与单一均质物体中的导热过程相比也要复杂很多。一般说来， 它包括：( 1 ) 固体颗粒的导热过程；( 2 ) 多孔孔隙中流体之间及固体颗粒微孔隙层中流体之间的导 热；( 3 ) 固体颗粒之间存在接触熟阻时的导热过程。固体颗粒与流体性质的不同，固体颗粒与流体 对导热的贡献也不相同。影响多孔介质导熟过程的因素也是众多的。其中，既包括多孔材料固体颗 粒的物性、孔隙尺寸、形状及分布，所包括的流体种类、组分、形态和特性。此外，压力和温度对 多孔介质的导热过程也有影响。将这些因素按照影响大小及变化规律组合起来，以形成对现象的统 一描述和导出数学表达式并非易事。在分析求解多孔介质导热问题的过程中，曾采用了以下两种方 法：( 1 ) 以简化模型为前提的简化解析法；( 2 ) 有效导热系数的组合法。 简化模型解析法虽然推导严格、表述简明，但其限制条件比较苛刻，对于种类繁多而复杂的实 际多孔介质导热问题很难适应。而有效导热系数法则不同，它是在对多孔介质传熟机理进行分析的 基础上，以宏观方法加以归纳，将实际多孔介质导热问题归结为一般固体材料的相当导熟问题。也 就是说，用一般固体导热微分方程去描述该问题。它是在确定控制( 或影响) 过程的主要参变量后， 根据初步分析，将各参变量按一定规律关联起来，从而形成有效导热系数关系式。 本章结合多孔介质的分形原理，运用了经典的控制容积法，对均匀及具有分形特性的多孔介质 剖面温度分布，剖面各节点上的热流状况，以及有效导热系数进行了理论分析和求解