（基础数学专业论文）积分函数Ⅰ（n）的均值.pdf

山东师范大学硕士学位论文 ( z ) ，( z ) 9 ( z ) c 、u ，n n o e 以( 礼) ：= 1 n = n 1 t i 七 d ( n l ，“2 ，n s ；n ) ：= 1 竹= n ? 1n ；2 n ：8 符号说明付丐说明 表示正整数 表示素数( 不可约数) 表示实数z 的整数部分 对不超过实数z 的正整数扎求和 对礼的所有正除数求和 对所有的素数p 求积 表示除数函数 表d i r i c h l e t 除数问题的余项 即，( z ) = o ( 夕( z ) ) 固定正常数 充分小的固定正常数 除数函数 除数函数 7 0 n 佗 孤p m昀加n p 姒 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如 没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文作者签名：王殄泠 翮繇7 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权堂撞可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在 解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：王砼裣 导师签字： - r ” 啵彳 签字目期：2 0 03 年月哆日签字日期：2 0 09 年f 月垆 山东师范大学硕士学位论文 积分函数跏) 的均值 摘要 本文第一部分研究了与数论函数，( 咒) 相关的均值问题 设正整数n 的标准分解式为：礼= p 芋1 p ；2 霹r ，则积分函数，( 几) 的定义如下： 们口+ 1 ，( 1 ) = 1 ，j ( 矿) = ：三_ 亍，( 礼) = ，( 砰) ，( 砖2 ) ，( p 笋) q+l 1。 显然j ( 佗) 为可乘函数 王晓瑛在她的博士学位论文【1 6 】中证明了 ，( m ) 跏) = n o + o ( z 呐， m n s z 其中口。为常数但她未能给出，( 孔) 的渐近公式 n 5 0 本文主要利用d i r i c h l e t 卷积方法得到了，( 咒) 的渐近公式且改进了王晓瑛关 于，( m ) j ( n ) 的结果，并进一步得到了，( m ) ，( 扎) 在小区间上的渐近公式 m s zm n s z 本文证明了三个主要结果： 定理1 1 设舶( 1 ) 为一固定的正整数，我们有 n 跏) = z 3 l 。g z ( q l 。g z + 。( 1 。g 一o _ l z ) ) ， n s z；= 1 其中白( i 1 ) 为可计算的常数 定理1 2 设( 2 ) 为任一固定的正整数，我们有 j ( m ) ，( 礼) = 口o z 3 + 勺z l o g 一；一jz + o ( z l 。g 一譬一；z ) ， t n n s z ，= l 其中n o = 譬】，u o ) 为可计算的常数 定理1 3 当z + & sz 时，有 ，( m ) 川) = n o 扛+ s ，) 3 一n o z 3 + d ( 剪z 2 一) ， z m f s z + 矿 其中口。常数 1 山东师范大学硕士学位论文 论文第二部分讨论了c u b e - f u u 数集中的除数问题数论中的一个著名问题就 是研究除数函数。) 的均值估计 d ( 扎) = z l o g z + ( 2 1 1 ) z + ( z ) ： n s 丁 p g l d i r i 叫e t 【1 5 】首先得到了余项的估计( z ) z 1 2 ( 1 8 4 9 ) 为了纪念他，人们把 该问题叫做d i r i c h l e t 除数问题后来，人们不断改进而得到了下面的结果： ( z ) z 1 3 ( 。) z 2 7 8 2 ( z ) z 3 4 6 1 0 6 7 ( z ) z 3 5 1 0 8l 0 9 2z ( z ) z 2 3 7 3l 0 9 3 1 5 1 4 6z ( z ) z 1 3 1 4 1 6l 0 9 2 6 9 5 7 8 3 2 0z g 、k ) r o n o i 【1 3 】( 1 9 0 3 ) j g v a nd e rc o r p u t 【l l i 】( 1 9 2 8 ) g k o l e s l l i k l 2 】( 1 9 7 3 ) g k o l e s n i k 8 】( 1 9 8 2 ) m n h 1 1 ) ( 1 e y 6 】( 1 9 9 3 ) m n h u 妯e y 【7 ( 2 0 0 3 ) 虽然这些结果越来越好，但离预期还有一段距离一一猜想( 未解决) 对任意小的正 数j 有 ( z ) z 1 4 + 6 同样的，人们也考虑在特定条件下的除数问题。例如h e a t h - b r o w n 【5 ，1 w a n i e e 研究 了算数序列( 等差数列) 中的d i r i c h l e t 除数问题： 本文研究c u b 争“l 数集中的除数问题一个正整数n 是k - f u u 数是指：p 是n 的素因子，则矿h 即它的素因子分解式必有形式 竹= p ；1 p 呈2 p 7 ，( n 12 后，q 2 之七，q r 后) 令以( 扎) 表示l c - 砌i 数的特征函数，d ( 咒) 为扎的所有除数的个数 定义 瓯( z ) ：= 如( 扎) d ( 扎) 。 n z 对于k = 2 的情况，r a m a i a h ，v 和s u r y a n a r a y a n a ，d 【1 2 证明了渐近公式 ) = z 主( a l 0 9 2 z + b l o g z + c ) + 0 ；l 0 9 5 z ) 张德瑜，翟文广【1 8 】将其作了进一步改进，得到 岛( z ) = z ( 恳( 1 0 9z ) ) + z ( b ( i o gz ) ) + d ( z 而+ ) ， 2 口 nze +z g 口c+z g oz g dc i i nd 篇 i | n 山东师范大学硕士学位论文 其中南= 器罄= o 2 5 2 r ( u ) 表示詹次多项式，e 为任意小的正数 本文利用复变积分法对k = 3 时进行了讨论，得到了 定理2 1 鼠( z ) = z ( b ( 1 0 9 z ) ) + z j ( 只( 1 0 9 z ) ) + z ( r ( 1 0 9 z ) ) + d ( z 南+ e ) ， 其中南= 舞絮器= o 1 9 3 6 2 6 1 ，兄( u ) 表示七次多项式，为任意小的正数 关键词：d i r i c h l e t 卷积方法积分函数均值估计渐近公式 c u b 卜f 【1 1 l 数 分类号：0 1 5 6 3 山东师范大学硕士学位论文 t h em e a nv a 】u eo f ，( n ) a b s t r a c t i nc h a p t e r1 ，w es t u d yt h em e a nv 出u ea b o u taa r i t h m e t i cf u n c t i o n ，( n ) s u p p o s ec a n o n i c a lr e p r e s e n t a t i o no fap o s i t i v ei n t e g e rni s ：n = p 芋1 p 呈2 p 笋， t h e d e f l n i t i o no fi r l t e g r a lf 血c t i o n ，( n ) ： m ) = 1 ，m 口) 2 知砌) = 坳跏( p 孔) m a + l o b v i o u s b ，( 礼) i sn m l t i p l i c a t i v e i nt h ed i s s e r t a t i o nf 6 rd o c t o r a ld e g r e e 1 6 】o f 、) v i i n gx i a o y i n g ，w a n gp r a v e d ，( m ) 跏) = n 。z 3 + d ( z ， m n s o w h e r eg oi sac o n s t a n t b u ts h ed i dn o tg i v et h em e a n 、融u eo f ，( 珏) n s i nt h i sp a p e r ，u s i n gt h ec o n v o l u t i o nm e t h o d 飘伦p r o v e dt h ea s y m p t o t i cf b r h l m a o f ，( 佗) a n df u r t h e ri m p r c l v e dt h e r e s u l t0 f 竹 t h a tt h ef o l l o w i n gr e s u l to ns h o r ti n t e n ，“ ( m ) ( 建) ，h o 戳rw ec a np r o v e m n z t l l e r ea r et h r e em a i nr e s u l t si nt h i sp a p e r ： t h e o r e m1 1l e t o ( 1 ) b ea x e di n t e g e r ，eh a e 坳) = l 。g z 竹s o溪 c t 。g lz + 。c 。g 一 b lz ，) ， w h e r ec t ( i 1 ) a r ec o m p u t a b l ec o n s t a n t s t h e o r e m1 2 l e t ( 2 ) i sa na r b i t r a r yb u t 觳e di n t e g e r ，w eh a e ，( m ) m ) = o 。z 3 + 竹l 礼 z n d 哆z 21 。g 一扣z + d ( z 1 0 9 一譬一 j = 1 w h e r en o = 譬 ，0 o ) 缸ec o m p u t a b l ec o n s t a n t s t h e o r e m1 3l e tz + 3 可z ，t h e n w h e r en oi sac o i l s t a n t 4 ，( m ) ( f ) = n o ( z + y ) 3 一n o z 3 + 0 ( 可z 2 一主) ， +峥 山东师范大学硕士学位论文 i nc h a p t e r2 7w es t u d yt h ed i v i s o rp r o b l e mo 、伧rt h es e to fc u b e - f u l ln u m b e r s i nn u m b e rt h e o r ) jt h e r ei saf a m o u sp r o b l e mw h i c hi sa b o u tt h ee s t i m a t i o no f ( z ) ， t h ee r r o rt e mi nt h ea l s m p t o t i cf o r m u l af o r d ( 扎) ，w h e r ed ( n ) i st h en u m b e ro f n s z 9 矿a y snc a nb ew r i t t e na sap r o l u c to ft w df a c t o r s d ( n ) = z l 。gz + ( 2 ，y 一1 ) t + ( z ) ， n z t h ee s t i m a t i o no f 七( z ) i sk n ma st h ed i r i c h l e t ( h v i s o rp r o b l e mi nh o n o ro f p g l d i r i c h l e t 1 5 】，w h os h 弧r e di nt h em i d d l eo ft h e1 9 t hc e n t u r vb 、re l e m e n t a r v a r g u m e n t st h a t ( z ) z 1 2 u pt on o w p e o p l eh a eg o tm a i l yg o o dr e s u l t s ， ( z )z 1 3 ( z ) z 2 7 8 2 ( z ) z 3 4 6 1 0 6 7 ( z ) z 3 5 1 0 8l 0 9 2z ( z ) z 2 3 7 3l 0 9 3 1 5 1 4 6z ( z )z 1 3 1 4 1 61 0 9 2 6 9 5 7 8 3 2 0z g v o r o n o 删( 1 9 0 3 ) j g v a nd e rc o r p u t 【1 9 】( 1 9 2 8 ) g k o l e s n i k 【2 】( 1 9 7 3 ) g k o l e s i l i k 【8 j ( 1 9 8 2 ) m n h u 姐e y 【6 】( 1 9 9 3 ) m n h u 丸e y 7 】( 2 0 0 3 ) b u tt h e r ei ss o m ed i s t a i l c et oo u re x p e c t e dg o a l m a n yp e o p l eb e l i e v et h a tf o ra 町r s m a l lp o s i t i v er e a ln u m b e r ，r eh a v e ( z ) z 1 4 + 5 s i m i l a r l y ，p e o p l eh f n r ec o n s i d e r e dt h ed i 、，i s o rp r o b l e r i l so nc e r t a i nc o n d i t i o n s f b re x a n l p l eh e a l t h b r o w n l 5 】，1 w a n i c es t d u d i e dt h ep r o b l e mu n d e rt h ec o n d i t i o no f a r i t h m e t i cp r o g r e s s i o n ： d ( n ) = c l ( 口，g ) zl o gz + c 2 ( n ，g ) z + e ( z ：n ，g ) n s 2 n = o ( m o 由) r es t u d yt h e 出v i s o rp r o b l e m ( ) 、悒rt h es e to fc u b e - f h l ln u m b e r s a p o s i t i v e i n t e g e r 扎i sak - f u un u m b e r ： pi sap r i m ef a c t o ro fn ， t h e np 七i n i no t h e rw o r d s ， t h en u 埘【b e r sw h o s ec a n o n i c a l r e p r e s e n t a t i o ni s 扎= p ? 1 p ；2 p ；：( a 1尾，q 2 七，口，忍) l e t 以( 扎) d e n o t et h ec h a r a u c t e r i s t i cf u n c t i o no fk - f u un u m b e r 5 山东师范大学硕士学位论文 v 、，n t e 鼠( z ) ：= 以( 州( n ) 竹s 丁 t h ec a s eo f 七= 2 ，r 锄a i a h ，va n ds u r y a n a r a v a n a d 【1 2 p r a v e dt h a t ( z ) = z ( a 1 0 9 2 z + b 1 0 9 z + c ) + 0 ( z l 0 9 5 z ) z h a n g ，z h a i 【1 8 】b ef u r t h e ri m p r o 、r e dt ot h ef o l l o w i n g ( z ) = z ( p 2 ( 1 0 9 z ) ) + z ( p 3 ( 1 0 9z ) ) + 0 ( z 6 。+ e ) ， w h e r e = 船= o 2 5 2 r ( u ) i sap o l y n o m i a lo fd e g r e e 血，ea l w a y sd e n o t e sa s u m c i e n t l ys m a l lp o s i t i v ec o n s t a n t i nt h i sp a ，p e rw es t u d ya b o u tt h ec a s eo f 七= 3 ： t h e o r e m 2 1 & ( z ) = z ( p 3 ( 1 0 9z ) ) + z ( 只( 1 0 9z ) ) + z ( r ( 1 0 9z ) ) + d ( z 南+ ) ， w h e r e 南= 蓑；墨慧= o 1 9 3 6 2 6 1 ，r ( u ) i sap o l y n o m i a lo fd e 铲e e 七，e 出w a y s d e n o t e sas u m c i e n t 坶s m a l lp o s i t i v ec o n s t a m 1 c e y w o r d s ：c o n v o l u t i o nm e t h o d ，i n t e g r a lf u n c t i o n m e a nv a l u e ， a s y m d t o t i cf 6 r m u l a c u b e f h un u l b e r 6 c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 5 6 山东师范大学硕士学位论文 第一章积分函数j ( n ) 的均值 1 1引言与主要结果 1 1 引言及主要结果 数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫整数论后来整数论又进一步 发展，就叫做数论了确切地说，数论就是一门研究整数性质的学科数论和几何 学一样，是古老的数学分支当自变量n 在某个整数集合中取值时，因变量y 取 复数值的函数秒= 厂( 几) 称为数论函数或算术函数由于许多数论或组合数学中的 问题均可化为一些数论函数来讨论，所以数论函数是一类非常重要的函数，是数论 中的一个重要研究课题，是研究各种数论问题中不可缺少的工具而数论研究的一 个重要内容是数论函数的性质，如函数的均值问题，我们知道有许多数论函数的取 值是很不规则的，例如西( n ) ，d ( n ) ，p ( n ) 等等，但是这些数论函数的均值；，( 扎) n s z 往往具有良好的性质 微分和积分是很重要的两种运算，利用微分不仅可以研究平面上函数的图像， 而且还可以解决许许多多其它的问题，利用积分不仅可以求平面上图形的面积、 光滑曲线的弧长，而且也可以解决许多体积问题将微分与积分运算应用到正整数 上，得到两个新的数论函数d ( n ) 和，( 扎) 本章将研究一个特殊的数论函数积分函 数，( 佗) 的均值，得到一些较强的渐近公式 设正整数n 的标准分解式为：礼= 衍1 p 呈2 p 笋，则积分函数，( 礼) 的定义如 下： 口+ l ，( 1 ) = 1 ，j 扩) = 百：，( 礼) = ，( 钟1 ) ，( p 呈2 ) ，( 霹) u 中上 显然，( 几) 为可乘函数 王晓瑛在她的博士学位论文【1 6 】中证明了 j ( m ) 砌) = 知z 3 + d ( z 扣) ， ( 1 ) m 3 9 z 一2 zd + zz 珊同 +z = 凡仇 一 山东师范大学硕士学位论文 显然，( 礼) 为可乘函数，我们有 1 0 f ( s ) ： ： ( s 一2 ) 一；( 2 s 一4 ) ( 一 ( 3 s 一6 ) 3 根据e u l e r 乘积得 即) ：( 1 + 壹等) = 耳c + 等+ 等+ 等+ 等+ 等+ 等川 = 黔嘉+ 嘉+ 南+ 南+ 嘉+ 击 131】128 7 3 6 7 ，4 8 63 p 5 s 一63 0 p j 5 7 】7 p 6 s 一7 2 4 0 7 ) 6 s 一8 7 一j 。一一4 一一i 一一；1 训纠，p 南一嘉+ 嘉一击一去 251l 1 1 3 + 矛一百庐一矿+ 驴一百庐一百萨 + 嘉+ 嘉一击+ ) 劢一7 2 4 一83 印0 8 9 一7 训川) ( - 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料巩 订2 s z 扛1 其中伽= 【譬 ，b ，玩( i 1 - ) 为可计算的常数 1 1 一 些奎堕蔓盔堂堡主堂垡丝奎 _ _ 一一 是吐2 丢d f ，墓1 + 善。薹；q “) - 丢d 删毒1 m f 2 of 可 m 三齑m 三盘z f 上l 皇 巴f 二 = d 一删孙d i ( z ) d 一 ( f ) f s m 三毒f ( 三) 女 。 2 s o = 军+ 辜一莩， = d 一驯素 = d 一删丢+ o ( ( f ) 1 ) 2 掣 f s 可 卸z + 嘉蔷q ( f ) 一2 zz 。0 札。若d 掣f ) d u + 。( 若l d - i ( f m - 6 舛参q - 2 c - ( 一狰o g - 5 掣 + ( 2 c 。( 一丢) 丢一2 c 。( 一差) ) 考l 。g 一譬剪 一( 2 c 。( 一兰) 丢芸一2 c z ( 一兰) 竽+ 2 c s ( 一兰) ) 号，。g 一譬芗 + ( 2 c 。( 一罢) 丢芸萼一2 饧( 一三) 芸萼+ 2 c s ( 一差) 萼一2 c 4 ( 一差) ) 考。g 一譬y + ( 一1 ) ( 2 c ，( 一差) 丢芸萼( 一去) 一2 q ( 一丢) 芸萼( 一去) + 2 c 3 ( 一 十0 f 兰l 、可 一丢) 一( 一1 ) + 1 2 c ( 一差) ) 考1 。g 一 一y y ) + d ( ( f ) 1 ) z 掣 = d 一沁 2 m 妻f s ( 景) 圭 ：( 壹小差) ( 鞘l o g ( 和手，+ o ( ( 私1 0 9 ( 和手肛1 ) ) m s 考j 。1 。 一 坫i 文唱 + m = l 小瓣嵇( 1 0 9 卜+ 0 ( ( 珈1 0 9 ( 和+ 。1 ) ) m s 壶m s 壶 小瓣十砩l o g 手“等( 2 l 哪户l 2 1 0 9 _ 和z ( 川2 卅1 ( 知( 沁“) ( 知+ m - 1 ) ( 扣剥十一 + 0 毒扣o g 护1 = 妻鸦c 秘”薹一c 舢知m 1 ， 洳矿；- 卜m 一( 妒钠o g - 卜“薹( _ 1 ) 肼1 2 呐+ ( 知 ( 罢+ 歹+ 1 ) ( 耋+ 歹+ m 一1 ) z l 。g i j mz + ( 一1 ) + 1 2 | i v + i ( 差+ j ) ( 罢+ 歹+ 1 ) ( 主+ 歹+ 人r ) z 乒一 ( 1 。g 詈) 一i 一，一 r 一1 d f 一( 三) 一；一，z 序龟1 0 9 妒枷) ) + 。( 三( 珈。g 州) 莓2 争若 3 口 f 0 是一非常小的固定的常数 证明：见w 色ng u a n gz h a i 【1 7 】中的引理5 引理1 2 5 设6 ( n ) 可z 时，我们有： 1 4 = 竹= n l n ；n ；n n 2d 一；( 死2 ) d 一 ( n 3 ) d 击( 几4 ) d 一蠢( n 5 ) ， 酬= 留+ d ( y z 一主) $ 竹+ 掣 当z 托 。 一 ： + 。 山东师范大学硕士学位论文 其中c 为可计算常数 证明： = d 一扣) d 一灿) d 矗( 饥) d 一蠢( n s ) 。 钉s z + f 丁 t 1 1 n ；n ；n j n 2 s z + 暑， = d 一洳) d 一加) d 叠( 礼4 ) d 一蠢( ) 1 n 2 ，1 3 ，r 上4 n 5 s 丁 + 0 (麦。，。?；。+， 赢锄- s 燕 d一；c几z，d一；cns，d妾c扎4，d一素cns，j) = d 一她) d 一加) d 岳( 扎4 ) d 一蠢( n s ) l n 2 ，n 3 n 4 n 5 s = d 一洳) d 一知) d 击( 礼4 ) d 一蠢( n s ) ，1 2 n 3 n 4 n 5 s = 耖 + 0 n 2 ，n 3 n 4 ，n 5 s l 赢q u s 燕 ( 最删，) d 一；( n z ) d j ( n 。) d 未( n a ) d 一素( 扎s ) 磊；元量笔磊毒 f ( n 2 几3 n 4 n 5 = y n 2 s z d 刮d 叫嘲吲m ) d 刮f ) 掣+ 冉4 e ) 礼g 、 = 秒( ( 一；( 2 ) + ( ) ( t 一l 。g iz ) ) ( 一 ( 3 ) + o ( z 一2 l 。g 一；z ) ) ( ( 磊( 4 ) + 。( z 一3 l 。g 一器z ) ) ( ( 一蠢( 5 ) + d ( z 一4 l 。g 一器z ) ) + d ( z 4 f 3 + 4 ) = y ( 一i ( 2 ) ( 一j ( 3 ) ( 盖( 4 ) ( 一蠢( 5 ) + 0 ( 可z 一l o g 一；z ) + 0 ( z 4 e 3 + 4 e ) 根据引理1 2 4 及也( 礼) 钆。，d ( 0 1 ，口2 ，n 。；礼) 2 ，我们有 5 = i d - 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