（基础数学专业论文）紧支集上lp无条件基的迭代生成.pdf

中文摘要 本文麴悫器镪蕤鞋下几个方藤： 首先，利用我们构造的护( n ，p ) 到l v ( f l ，p ) 的等距同构算予产生了 妒，p ) 上的多尺度分辑，这蹩p 1 ；隧睡也褥到了其砖媛空阉铲辫，p ) ( q 一芒t ) 上的多尺度分析 其二，利用简单鞅的性质构造了扩( n ，p 1 及裁对偶空间上的光条件基， 势盈证锈了该无蘩镩基是一个单谰基，舅井，我们还绘出了一静生成无条 件基的算法 矮基剥翅擒造憋冕条薛基系数寒刻划了b a n a c h 窒瓣三，f q ，p ) _ 稻其对 偶空间伊m ，p ) 中的两数 关键词：无条件基，小波，多尺度分析，简单鞅 a b s t r a c t t h em a i nc o n t e n to ft h i sp a p e ri sb e l o w ： f i r s t ，w ec o n s t r u c tt h ei s o m e t r yo p e r a t o r sf r o ml 9 ( n ，p ) t o 口( n ，p ) 【p 1 ) ，t h e nu s et h eo p e r a t o r st og e n e r a t em r ao n 护( n ，p ) w i t ht h e s a m em e t h o d ，w ea l s og e n e r a t em r ao nl q ( 9 ，p ) ( q = 占) s e c o n d l y ，w ec o n s t r u c tt h eu n c o n d i t i o n a lb a s i so fl , ( f l ，p ) a n dl q ( t ，p ) b ym a r t i n g a l e sp r o p e r t y a n da l s op r o v et h eu n c o n d i t i o n a lb a s i si sam o n o t o n eb a s i sw e g i v et h ea l g o r i t h mo fg e n e r a t i n gu n c o n d i t i o n a lb a s i s f i n a l l y , w eg i v et h ec h a r a c t e r i z a t i o no f 。l 9 ( n ，p ) a n dl o ( n ，p ) b yu s i n g t h eu n e o n d i t i o n a lb a s i sc o e f f i d e n t s k e y w o r d s ： u n c o n d i t i o n a lb a s i s 7w a v e l e t s ，m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s 、s i r e p i em a r t i n g a l e 致谢 短暂的硕士研究生生涯就要结束了，在此篇毕业论文完成之即， 心中感慨万千。此刻我最应该感谢的是我的导师李秉政副教授，正是 在李老师的悉心指导之下，本文才得以顺利完成。在两年半的研究生 学习期问，导师李秉政教授的谆谆教导和无微不至的关怀使我深受其 益，在此致以衷心的感谢! 同时也向那些在学习和生活上关心、支持和帮助过我的同学和朋 友们表示深深的感谢! 第1 章 背景介绍和本文结果 “小波分析”是八十年代后期逐渐发展起来的一种新的数学方法，它的 出现不仅为分析数学的研究提供了有力工具，而且为信号分析与处理提供 了突破性进展小波分析不仅已经应用到与信号处理有关的大部分工程领 域，而且在调和分析、微分方程、积分方程数值解、量子场论、声学等学 科有着重要的应用 历史已经证明，传统的f o u r i e r 分析是纯粹数学与应用数学的一个重要 工具，它几乎渗透到了数学的各个分支传统的f o u r i e r 分析从函数e ”出 发成功地构造了l 2 空间的一种正交展开，但因为函数e w 不是局部性 的，即传统的f o u r i e r 分析不能傲局部分析，而且它甚至不能提供l p 空间 ( p 2 ) 的无条件基小波分析既保留了f o u r i e r 分析的优点，又弥补了它 的上述不足它通过有限个具有正则性、局部性与振动性的小波函数，通 过平移和伸缩为l 2 空间提供了一种新的正交基，即小波正交基这类小波 基使用调和分析中最常见的一类算子( c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子) ，在其上 的表现几乎是对角化了的矩阵，因而使得它构成了已知。一些常用b a n a c h 空间的无条件基故小波分析为多个空间的分析提供了较传统f o u r i e r 分 析更有力的工具 因此构造出铲( r “) 中的一组小波基是生成其他b a n a e h 卒问( 如 l p ( t - ) ) 中无条件基的关键之一我们知道m a l l a tf l l l 的多尺度分析在构 造铲假) 中的正交小波基方面起着决定性的作用多尺度分析( y - 称多分 第1 章背景介绍和本文结果 2 辨分辑) 麴器想采源子诗雾枫视觉理论，扶规器褪觉敬焦发鞭富，荤鲍簌 获度薷惑理解一凝潮像中懿秘俸是缀霸滚静，更重要酶是图像审获度酶局 部变化m a l l a t 受到计算机视觉中多分辩分析思想的启发，出现了在不同 分辨率下对信号的邋近可以通过对驴( 酞n ) 中一稠密空间序列的投影来实 现，而且得到的信号细节正好是按小波熬的展开他与m e y e r 1 2 卜起建 立了小波构造的一个统一框架，为此我们络出上2 啤) 中的多尺成分析定义 ( m r a ) 翻： 定义1 , 1 我翻豫2 簿) 中熬一蔟溺子空瀚 辑 ，互秘或了个m r a ，鲡 果满足如下几个条件： ( i ) 嵋c 嵋一l ，u z ) ； ( i i ) u 巧= 驴( 瓞) ：n 巧= o ) ； j zj z ( i i i ) v ( x ) l 2 ( ) ，这里# er ，成立 ，( ) 毽f ( 2 j x ) 玛，j 墨 ，( o ) v o 亭，( 。n ) w ，v n z ( i v ) 妒( 。) 为尺度函数：则 妒0 一k ) ：z ) 构成了v o 的个r i e s z 基 即存在常数c 1 0 和c 2 n 4 这里f 舢为目中第k 个大的分量，定义最大重构误差磅( e ) = s u pc n ( 目) 举例来说，对于一幅5 1 2 x 5 1 2 的数字图像，如果用小波系数来表示这该图 像的话，那么我只要取n = 5 0 0 0 就可以很好地重构出原始图像了，而不是 原先应该存储的5 1 2 x 5 1 2 = 2 6 2 ，1 4 4 在该文中，作者对上述三类问题分别给出了在h a a r 系数下和在f o u r i e r 系数下的估计阶，如表1 1 ，可阻看出当e ，6 _ 0 和n _ 。时，h a a r 系的 估计阶的收敛速度要比f o u r i e r 系的估计阶来得快 、 统计估计最佳恢复数据压缩 4 6 n 一1h a a r 系e3 f o m i e r 系 占礼2 表ll 本文的内容包括以下几个方面： 首先，利用我们构造的妒( n ，p ) 到l p ( n ，p ) 的等距同构算子产生了 口( n ，p ) 上的多尺度分析，这里p 1 同时也得到了其对偶空间l q ( 9 ，p ) 上的多尺度分析其二，利用简单鞅的性质构造了扩( n ，p ) 及其对偶空 间上的无条件基，并且证明了该无条件基是一个单调基另外，我们还给 出了一种生成无条件基的算法最后利用构造的无条件基系数来刻划了 b a n a c h 空间l p ( a ，p ) 和其对偶空间口( n ，p ) 中的函数 第2 章 矽中无条件基的构造 2 1 记号和定义 设n 为n 维空间r “中的一个紧子集，( n ，p ) 是一个具有概率测度p 的完备的测度空间，其中为n l 的一个o - 代数，测废p 关于n 上勒贝 穆测度笺对连续扩( q ，p ) 中螽数戆蕊数定义掘下： 孙= 盯 | p 内：2 ( z 呱蚓”和) ； 。，s l p ( n 我们将n 分解成有限个可测的予榘吼，使得 且 m e 。s ( n ；n n j ) 一0 ，i j ，z ，嚣。， 这里m s a s ( a ) 记作子集a 豫”的勒风格测度，e 。：一 o ，1 ，m 1 ) 设够跫p 裂建”上的双_ 霪搴： 妒 ：n 一_ n t ， e 5 q u | | 如 第2 章l 尸中无条件基的构造 定义有界线性算子： ( 只，) 0 ) 这里 h ：= 如( 。) ， t j r j n 。 由变量替换町1 ( z ) = y 及雅克比变换可知【1 6 6 i ， ( 2 11 ) 麦厶m 圳如( 叫= 上m ) 州破f e l i ( n 埘( 2 1 2 ) 对于不变集的特殊情形，参考【9 ，1 3 我们可以证明算子只是从口( n ，p ) 到口( n ，p ) 的等距线性算子， 引理2 1 1算子只：汐( n ，p ) 一l p ( f l ，p ) 是等距线性算子，i 日。 证明v f 口( n ，p ) ， | | 只刘；= fi p j ( z ) 1 9 却( z ) = 麦上，i f ( 妒i 1 ( z ) ) 1 9 d p ( z ) =1 l i f ( z ) p ”i d p ( z ) = 加z ) l p d p = i i f l ； 证毕 为了构造妒( n ，p ) 上的无条件基，我们需要口( n ，p ) 的对偶空间，即 ( 护( n ，p ) ) + ，我们知道( p ，p ) ) + 与 ( n ，p ) 具有等距同构关系，因此我们 可以借助于g l q ( f 2 ，p ) ，定义扩( n ，p ) 上的有界线性泛函，+ ： 默n = = j 、f 9 d p 如果 = 0 ，我们就说f 妒( n ) 与g l q ( v 2 ) 正交这里的q 为p n c ： 圣 z z 一l 妒， 赤吼 ，jt， 第2 章l p 中无条件基的构造 7 的相伴指数，即满足p 一1 + q 一1 = 1 设a = 卯，g l ，g n 一1 ) 酽( n ，p ) ， 舀= h o ，h i ，h n 一1 ) l 。( n ，p ) ，如果 = ，i ，j e n ，那么 我们称和8 是双正交集类似地我们定义从l q ( f 2 ，p ) 到口( n ，p ) 上的 等距线性算子： c 哳，= 旁“扛”篡 眨坞， 这里魄如( 2 1 1 ) 中的定义，t e m 下面我们定义l q ( a ，p ) 到 ( n ，p ) 的算子百 和l p ( f i ，p ) 到l p ( n ，p ) 的 算予g 。： 百。g ：= 佤g 。忱，i e 。：9 l 4 ( n ，p )( 2 14 ) 和 g t ，：= 奇佤，0 忱，i 昂。，fe 妒( q ，p )( 2 1 5 ) 这里( f 。g ) ( 。) = ，( g ( z ) ) ，。n 我们将在下一节证明g 。和g ，是只和 只的伴随算子 设k 是一个正整数，对于每个e o ，q 一1 日。，记e k ：= ( e k 一1 ，- ，e o ) 砩设= e k ，1 ，e k e 譬) 对于e k e ，定义n 中的子集 q e = 妒e k ( n ) ：= ( 【p k lo 妒e k 一2 。妒e 1 。妒e 。) ( n ) 注意到集合是m 叉树，它有根结点为岛：= e o ：e o = e o 日。 如：= e r ：e ke 砩 ( 1 ) 是它的第k 代我们用m 进制数e 一l e 一2 e o ：= 譬e 。m 。定义中的序对于e k = ( 一1 ，e o ) ，e k ，= ( 矗，_ 一，砀) ，我 们说e k i k ，当且仅当一1 ，e 1 e o v + ，女 v vu vv q+吒 u v v + u vuv v l 十 k n 站 2 | +， o | | ， u +$ k n 呵 u 郸 v 0 容易验证f n w o d p ( z ) = 如峦o d p ( x ) = 0 并且 = 1 1 8 步骤2 如果8 a o 2 ，这里l a o 表示集合a o 中的元素个数选择 l f 1 2 ，将山分解为a o ：= a 2 u 4 3 = n o ，nc 。一l u 啦 ，n f ) 置 一击b i - - 1 r ，o 一击萎只，。 这里 。= ( 跞) ，b l = ( 瓶) 一， 和 奶= 击l 萎l - - 1 啡击曩赫 这卑 l - 1 ( 镢) 。1 i = l l 此处a 1 = c l a l l l + b l d l ( 1 一1 1 ) ，如果1 4 l 2 ，则重复步骤2 ，如果4 4 l = 1 则停止 步骤3 重复步骤2 直到a 分解成单元素集的并：a ：一u 1 q 。 1 = 0 因此我们可以构造出2 ( m 一1 ) 个初始小波函数 w 1 ，w 。一1 和 面i ，面。一1 ) r 加 r 一：l 鱼何 如r ! l 旦何 = 西 和 沥 瓶 ：l = 印 里这 溉 瑚 | | c 第2 章五p 中无条俘基的秘造 1 9 由引煺2 2 ，5 的证明我们知邋构造初始小波的关键襁于构造矩阵和 巧我们以m = 6 为例可以将“和霸表示为 这晕 “2 = 劳： 嚣t 乜蛩np 2“3o ”s 蒜黄穗一舞一法援 惫箍一器 o00 00o 黄一洗一范 蠢一兹；0 0 o0 0000 茳撬 影屹 址 r i t e 舸i 0 0 0 1 ，b l = ( 母厩) - ， n 2 一( 移历) - 1 ，幻 影嚣 一血 皿i 0 c 上 瓶i 0 影地 一罴 0 一生 ， 2 0 巧 一焘 o 一血 婀i o o 薏一焘 c 2 = r f i r ) 一1 矗l = ( 踬) o a 3 一( 瓶) ，b 3 = ( 镢) ，c 3 = ( 瓶) ，d 3 一( 瓶) 。 瓤一( 瓶) ，b 4 = ( 镢) ，c 4 = ( 顾) 一，d 4 一( 镢) 一1 尚3 a o c o + 3 b o 南，a t 然2 8 l c l + b l d l ，a 2 拦a 2 c 2 + 2 6 2 d 2 辑播嚣。氇。 瓤蒜嚣。撩。 广溉 。；l | 渤 以 沥 。铷 = 印 。 瓶 。：l = 一 。：l i | 印 撅 ， | e 蹶 ，：l i | 沥 。僦 | 如 一 瓶 。瑚 第2 章l 9 中无条件基的构造 a 3 = a 3 c 3 + b s d 3 ，a 4 = 0 4 c 4 + b 4 d 4 可以验证“。牙= 厉“= i 且有( f o ， 1 ，w 5 ) = 撕( r 。f o ) ，( 元，西1 留( 只。五) 类似地，我们构造了另外的一对矩阵m 和蟊如下： 这里 癣= 4 - i q = ( 镢) a 。= ( 5 一i ) a i c l + 6 t 函，i e 4 容易验证 “ 丽：丽m ：， 且有( ，0 ，w l ， ，”5 ) = u f ( p 。，0 ) ，( 元，面1 ， 我们需要引进下面的b u r k h o l d e r 不等式 定理a ( b u r k h o l d e r ) 。) 。n 是的 助 石 ，去 0 o 0 o 讽) = 嘶( p e 。，0 ) 个子口一代数序列，且1 互乎。瓶惫击。 瓶活惫去。瓶指糟惫击。 婀器嚣轾糟击 翌盟。 铲 艇 翌篓呼。 却烁 瓶查篓母 一忙 何指活惫螽琉 师溉嚣撬拙指 师范舞舞舞茳 “ | o 第2 章l 9 中无条件基的构造 2 1 2 ，如果 ) n 是简单鞅，那么 ) 。n 相应的鞅差序列 也) 讵n 满 足 烩n 嘲一怪血忆 nn = ( 龟+ 1 ) c i d i ，k = ( e t 一1 ) 盘也 i = i o = 1 容易知道x 。和k 都是简单鞅，这是因为 类似地可以证明k 是简单鞅，再定义v ：琏2 一魏 那么 即 ”( 训) = i 半卜( p + 一1 ) p l 宁1 9 慨) ：b 甜吨+ l i = 1 妒1 妻甜 l t = l e c ”c z 。，= l l 娄q c ；a ；i l p 、，- ，l l j ! n ；c 。a 。1 1 9 这里e 表示在n 上积分，那么问题就变为需要证明e ( 。( 磊) ) 0 即可 我们可以找到一个双凹函数“：r 2 一r ，使得”u ，并且当x y = 0 时u ( z ，y ) 0 该函数的存在性可见于【5 】中引理现在我们只需证明 矗 e o + o 血 + = k 血 也 ， 盘 q + + 。m，沁。沁，啦。=：l = = = xe 第2 章l 中无条件基的构造 e ( u ( z 蠢) ) 0 即可 注意到对于磊，满足：k 一蜀一1 = 0 或k k 一1 = 0 ，这可以由 五、碥以及日的定义可知，所以磊= ( 墨。，k 一1 ) 或磊= ( 五。一1 ，) ，不 妨取磊= ( j “，k 一1 ) 由条件期望的j e n s e n 不等式【1 0 1 以及h 为简单鞅的性质，得到 e ( “( 互。) l 。一1 ) = e ( u ( 弱，碥) i 。一1 ) u ( j 毛i 。1 ) ，1 ) = “( j 岛1 ，k 一1 ) = u ( z n 1 ) 对两边同时作用e ，由条件期望的性质( d ) 知 e ( u ( k ) ) = e ( e m ( z 。) i 。一1 ) ) e m ( 互。一1 ) ) 所以不难得到e ( u ( z 札) ) e ( 让( 磊一1 ) ) e ( 札( z 1 ) ) ，而e ( u ( z 1 ) ) 0 ， 这是因为x 1y i = 0 ，由“的定义即知对于无条件常数取p 4 1 的原因可 以参考f 3 , 4 ，6 1 定理得证证毕 为了记述的方便，定义= 0 ) u ，w 0 ：= f o ，西o ：= ，0 ，所以皿= ： a ) 和面= ( 面 ： 引理2 3 1 选取任意一个固定的可数子集( k ) 罂1 ，使 知) 罂l 满 足这样的序： l a 2 k o ) ，d ，： z ：叫 ；( z ) o ) 证明 因为w 。在口 。，d 。，n ( b 。u d ，) 上都是常规从而w ：是 。一可测的，所以( i ) 得证另一方面，。的一个原子a ( cn ) 具有以下形 第2 章上9 中无条件基的构造 式 由算法2 31 ，我们可知如果a h l g ，那只有两种情况：b 。ns u p p 。= 0 或者口 。3s u p p t 十1 ，故屈、w 却= 0 ，类似地d 。或者n ( b 、u d 。) 因此如果a 1 占，则e ( ：+ ，i 。) = 0 ，所以( i i ) 得证因此引理得证证 毕 定理2 3 2算法2 3 1 中的小波集= ， ，和= 氓，a ，分别构成了l 9 ( n ，p ) 和l q ( f i ，p ) 中的无条件基 证明由定理2 27 知，妒( n ，p ) 中的小波函数集田和 ( n ，p ) 中 的小波函数集满足了无条件基定义中的条件f 1 1 所以我们只需证 明和皿满足定义2 1 1 中的条件( 2 ) 即町正如引理231 ，我们设 0 鐾l ，并且按照本章第一节中的排序规则对 a ；) 墨1 排序使得 a 1 a 2 - h 设 几) 瞿l ， 。) 罂1 如引理2 3l 所述，由定 理a 我们只须证明k ) 罄1 = u ，) 罂1 是一个简单鞅事实上，引理 2 3l 告诉我们每个g 。是。一可测的，由条件期望的性质( a ) 和( c ) 得到 肌= e ( g 。1 。) 由条件期望的线性性和引理23 1 ，我们有 e ( 9 + l l t ) 一e ( 吼l t ) = e ( 肌+ l 一甄l i ) = e ( 训 ，+ 。i t ) = 0 因此e ( g i + l l e i ) = 吼，这意味着 目。) 鐾1 是鞅序列 对于矗 一l ，1 ) 以及任意的矗肫，由定理a ，我们可以得到 善n e t 岛c 吼一。t 一，| | ，c ，+ 一- ，l l 喜c 。c ，；一，。一，l l ， 巩 m n = a b du b b c ： d b 吕 ( ；u 赳 r 处 此 第2 章l 9 中无条件基的构造 这就是说，对于g 中的任意- 个有限子集r ，我们都有 p m 峥”，峥w 忆 即满足了定义2 1 1 中的条件( 2 ) 所以我们证明了皿构成了口( n ，p ) 中 的无条件基同理我们可以证明皿构成了l q ( f t ，p ) 中的无条件基因此定 理得证证毕 推论2 3 3 小波集皿= w a ) 和皿= 氓，a ) 分别构成了驴, a 6 和l q 的单调基 证明 我们给排序，使得= m ) 罂l 满足：7 1 1 2 设n n 和 q ) 搿为r 中的一个有限子集由定义2 l2 知，需要证明 ol l c i w , r z | | i = 1 忆 n 如引理2 31 中考虑予o - 一代数。= 口( 码1 1 j n ) ) ，己知岛“h 是 o = l 。一可测且_ e ( h + ，l 。) = 0 ，因此 c i w 。=e ( c 4 w 。i 。) p 叫 q 。 l p p 埘ce 。：l 口 b n e t ue + 岛+n n e 咖 咖 q q 嚣 日 e | | | | 第2 章p 中无条件基的构造 由条件期姐的性质( b ) 知 娄龟k = l l e e 薹q ，k | l 喜龟鲰睦蚤龟陵2lle 蚤q e 。l 。l l 薹龟鲰| l ， 这就迸鞠了圣是l v 上的单调蕊同理，可证莓是五q 。t 的单调基证毕 第3 章 用小波函数来刻划妒( q ，p ) 和 三窖( q ，p ) 从上一章可知，母和茁是双藏交的，且分别是( q p ) 和l q ( s q ，p ) 上的 无条件耩因此若，妒和g l q ，那么 于= 南+ 榭 ( 3 + 1 ) 和 g = 五+ 亩 ， ( 32 ) 燕娃收敛瞧是无条薛戆。 我 f j 蠢下磁关予护帮护瓣特征定理， 定理3 1如果l p ，那么 。e 。c 。w a e l p ( 薹l 。i z i ：。e z ，l 。4 sl ” 第3 章用小波函数来刻划l p ( n ，p ) 和l q ( n ，p ) 类似地，对于1 g o 。和p 一1 + 口一1 = 1 ， 薹i j i i xe 。e ，( 薹l 黾1 2 i i i - c z ，1 2 ) 5 e 工。 2 7 证明 我们引用 1 2 】中的方法考虑乘积集c - - z 一1 ，1 ) 5 ，我们赋予 集合c 个贝努里概率测度d 肛( u ) 剥每个u c ，定义连续线性算子死： php ( ” ) = u ( a ) w 对于中的有限集r ，考虑函数g 妒： 如果u c 且z n ，那么 g = c a o a r ( 死g ) ( z ) = u ( a ) c 删 ( 。) r 由无条件基定义中的条件( 2 ) 几暂1 i l g l i # 1 1 g l i ；屿l l g l l ；， ( 3 3 ) 这晕n 知= ( p + 一1 ) 9 由f u b i n i 定理 加酬跏= 正庭心h w 心，卜州如， t ， k h i n c h i n 不等式( 【1 8 】) 告诉我们存在严格正常数c p 和，使得对每个实 数序列( 。 ) r 唧l l t 。- ，。( zl 蕃。x wc a ，1 a “c w ，) ；c ；l i c n x ，：c s s ， 第3 章用小波函数来刻划己尸( q ，p ) 和l q ( q ，p ) 由( 3 4 ) 和( 3 5 ) 我们有 2 8 晖上b 胛汗卜蟋加圳冲c 吣q 丘b 斤妒卜z ， ( 3 6 ) 对不等式( 3 3 ) 两边在c 上积分，由( 3 6 ) q - f 导 c ：p 4 f ；i i ( 薹l c 1 2 l 叫a 1 2 ) 。i l p 1 1 9 i | p ( ；a 4 荸l i ( 薹1 c a l 2 i 训a 1 2 ) 5ilp ( 3 7 ) 考虑皿中的任意序 叫仇) 墨l ，我们可以将f l p 写成，= 钸伽叶这里 c 叼。= ，设 = w 吼，那么由( 3 7 ) ，可得 旧制铀一2 ) l | p i胁， ( 3 8 ) 因为 仙啡) 罂l 是妒中的无条件基，所以( 厶) 依汐范数收敛于，注意到 n 序列 l c 讹1 2 i 叫讯( z ) 1 2 n n 在l p 中是p - 几乎处处递增序列，因此在( 3 8 ) t = 1 式两边同取极限，就得到了定理的第一个结论同理可以得到第二个结论， 故定理得证证毕 参考文献 1 b k a l p e r t ，ac l a s so fb a s e si nl 2f o rs p a r s er e p r e s s e n t a t i o no fi n t e g r a l o p e r a t o r s ，j m a t h a n a l 2 4 ( 1 9 9 3 ) ，2 4 6 2 6 2 2 gb e y l k i n ，rc o i f m a na n dvr o k h l i n ，f a s tw a v e l e tt r a n s f o r m sa n d n u m e r i c a la l g o r i t h m si ，c o m mp u r ea p p l im a t h ，v o lx l i v ( 1 9 9 1 ) ， 1 4 1 1 8 3 3 】dlb u r k h o l d e r ，an o n n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dt h e u n c o d i t i o n a lc o n s t a n to ft h eh a a rs y s t e mi n1 2 ) b u l la m e rm a t h s o c ( n s ) 7 ( 1 9 8 2 ) ，5 9 1 5 9 5 4 1dlb u r k h o l d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m se n ds h a r pi n e q u a l i t i e sf o r m a r t i n g a l et r a n s f o r m sa n np r o b a b1 2 ( 1 9 8 4 ) ，6 4 7 7 0 2 5 】dl b u r k h o l d e r ，a ne l e n l e n t a r yp r o o fo fa ni n e q u a l i t yo freac p a l e y b u l ll o n d o nm a t hs o c1 7 ( 1 9 8 5 ) 4 7 4 _ 4 7 8 6 】d l b u r k h o l d e r ，e x p l o r a t i o n si nm a r t i n g a l et h e o r ya n di t sa p p l i c a - t i o n si ne c o l ed e t 6d ep r o b a b i l i t 4 sd es a i n t f l