（基础数学专业论文）关于低维leibniz代数的一些相关性质的研究.pdf

学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：日期：逊 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 学位论文作者签名：段和童 日期：司s 导师签名： 群众 日期：珥： 摘要 在本文中，我们将对低维的l e i b n i z 代数的相关性质做进一步的研究，通过利用 l e i b n i z 代数的基本性质分析了三维非l i e 代数的l e i b n i z 代数的k i l l i n g 型，得到 它的k i l l i n g 型是退化的，分析了它的一维不等价表示，一般结合型，不等价的一维 中心扩张以及中心扩张得到的1 4 类四维非l i e 代数的l e i b n i z 代数的同构问题 关键词：l e i b n i z 代数，一维中心扩张，一般结合型，一维表示 2 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ew i l lg i v er e s e a r c ha b o u tt h er e l a t e dp r o p e r t yo ft h el o wd i - m e n t i o n a ll e i b n i za l g e b r a s ，u s et h eb a s i cp r o p e r t yo ft h el e i b n i za l g e b r a ，w ea n a l y s e t h ek i l l i n gf o r m ，o n ed i m e n t i o n a lr e p r e s e n t a t i o n ，c o m m o na s s o c i a t i v ef o r m ，o n ed i m e n t i o n a lc e n t e re x t e n t i o no fl e i b n i za l g e b r ao ft h r e ed i m e n t i o n a ln o nl i ea l g e b r a k e yw o r d s ：l e i b n i za l g e b r a s ，o n ed i m e n t i o n a lc e n t e re x t e n t i o n ，c o m m o na s s o c i a - t i v ef o r m ，o n ed i m e n t i o n a lr e p r e s e n t a t i o n 4 1 引言 早在1 9 9 3 年，l o d a y 就研究了作为李代数的非交换情形的l e i b n i z 代数，作为代数， 它满足以下等式： b ，融，z 】= 【k ，引，z 】一l k ，z 】，们 事实上，首次研究这一代数的是b l o c h ，他称其为d - a l g e b r a s 在1 9 9 8 ，1 9 9 9 ，2 0 0 1 年，a y u p o v 和o m i r o v 对低维l e i b n i z 代数的幂零性以及它的 分类进行了研究，提出了有限维l e i b n i z 代数幂零可解的充要条件 i o a n n i sd o k a s 和j ll o d a y 对对结合代数以及限制l e i b n i z 代数进行了研究，提出 了对结合代数的的定义，并得到任一对结合代数，赋予方括号运算k ，暑d ：= z y y 卜z ，可得到一个l e i b n i z 代数2 0 0 5 年，s a l b e v e r i o ，s h a a y u p o v 和b a o r a i r o v 对 幂零和单l e i b n i z 代数做了迸一步的研究，证明了在特征为0 的域上，满足e n g e l 的n 阶条件的任- - l e i b n i z 代数是幂零的 二维非l i e 代数的l e i b n i z 代数的分类已被l o d a y 解决，二维非l i e 代数的l e i b n i z 代数只有两种不同构类受至l j l o d a y - ( 作的启发，上海交通大学的博士蒋启芬对三维 非l i e 代数的l e i b n i z 代数进行了分类，分为1 3 种不同构类，其中包括9 个l e i b n i z 代数 和4 个l e i b n i z 代数的一维参数簇 2 0 0 6 年，s a l b e v e r i o ，b a o m i r o v ，和i s r a k h i m o v 对四维幂零复l e i b n i z 代数进行了分类，从n u l f i l i f o r m ，f i l i f o r m ，a s s o c i a t e ，a b e l i a n 四种情形进行讨论，将四 维幂零复l e i b n i z 代数分为1 7 种不同构类，其中包括5 个单参数族和1 2 个维数为4 的幂 零l e i b n i z 代数的具体表示 受到上海交通大学的博士蒋启芬关于三维非l i 水数的l e i b n i z 代数的分类以及 s a l b e v e p j o ，b a o m i r o v 和i s r a k h i m o v 关于四维幂零复l e i b n i z 代数分类工 作的启发，我们研究了三维非l i e 代数的l e i b n i z 数的一些相关性质，即它的导予代数， 自同构群，k i l l i n g 型，一维表示，一般结合型，一维中心扩张以及中心扩张得到的部 分四维l e i b n i z 代数的同构问题 5 2 l e i b n i z 妖数及其一些基本裰念 本节我们憋介绍l e i b n i z 代数，l e i b n i z 代数的理憋，以及l e i b n i z 代数幂零性， 可解性的定义，本篇文章都是狂特征为0 的代数闭域f 上进行讨论的 定义2 1 一令l e i b n i z 代数g 是一个嘲量空闻，上瑟定义了一个括积： 满足l e i b n i z 等式： l ，一】： 露嚣雾， 睁，晦，雹】= 【睁，鲥，。l 一【p ，魂，硪，v 瓢y ，z 骖+ 恩然，如聚g 是一个l e i b n i z 代数，则我们有等式： 和 陋，i v ，胡】一0 ，v 篁，”g k ，b ，z j 】+ p ，忙，训j 一0 ，v z ，y ，# g 蠢l e i b n i z 季琶数静定义我稍懿遒，经簿l i e 代数爨一个l e i b n i z 锭羧事寞主， l i e 代数是乘积满足反交换律的l e i b n i z 代数 定义2 2 设g 是一今l e i b n i z 钱数，予空耨；cg 拣为g 转志( 右) 理想，弱栗 v o i 和善g ，k 杜1 i ( 叫，) 如果f 既是左理想又是有理想，称，是g 的 双边溪恕 定义2 3 对l e i b n i z 代数g ，我们定义以下的理想序列： ( a ) c 1 9 一承轳+ 1 9 = p g ，菇，托 0 显然有c ) c 2 9 3 # 。 ( b ) d 1 9 篇g ，d ”十1 驻= d ”g ，d “g l ，f l 0 ，贝4 有d 1 辱3d 2 9 ) d ”9 称一个l e i b n i z 找数g 是幂零的，舞鬃存在整羧靠 0 使褥g = o ；称g 霆解 的，如果存在憋数t r $ 0 使得d g = 0 满足上述两个等式的最小的整数n ，m 分别 6 称为g 的幂零次数和可解次数 定理【1 l 】任一个三维非l i e 代数的l e i b n i z 代数g 必同构于下面的一种： 1 d i m i = 1 ，i 是l e i b n i z 代数g 的非零真理想时，三维非l i e 代数的l e i b n i z 代数 g 必同构于下面几类： ( i ) 【e 2 e 2 】= e 3 ( i i ) 【e 2 ，e l 】= e 3 ( i i i ) 【e l ，e l 】；e 3 ， e 2 ，e 2 】= e 3 ( i v ) f e l ，e l 】；e 3 ，f e 2 ，e l 】= k e n ，k 2 ，e 2 】= e 3 ( 【e 3 ，e 2 】= e 3 ( ) e l ，e l 】= e 3 ，【e l ，e 2 】= e 2 ，f e 2 ，e l 】= 一e 2 ( v i i ) l e l ，e 2 】_ e 2 ，【e 2 ，e l 】= - - e 2 ，i e 3 ，e l 】- k e s ( v i i i ) 【e l ，e 2 】= e 2 ，【e 2 ，e l 】= 一e 2 ，【e 2 ，e 2 】= e 3 ，【e 3 ，e l 】= 一2 e 3 ( i x ) 【e 1 ，e 2 】= e l ，【e 3 ，e 2 】= e 3 ( x ) e l ，e 2 】= e l ， e 2 ，e 2 】= e 3 ( ) 【e 1 ，e 2 1 = e 1 + e 3 ，【e 3 ，e 2 1 = e 3 ( = 士1 ) ( x i i ) 陋l ，e 2 】- e 3 ，f e 2 ，e 2 】= e 1 2 ( f i m i = 2 ，且g 只含二维理想时，三维非l i e 代数的l e i b n i z 代数g 同构于下面一 类： ( x i i i ) 【e 2 ，e 3 】= e l + e 2 ， e l ，e 3 l = 自e 2 其中 e 1 ，e 2 ，e 3 ) 为g 的一组基，且基向量的其余括积均为o ，k 0 3 三维释l i e 代数的l e i b n i z 代数豹毒予健数与稳同稳 7 农这一繁，我们褥考虑三维非l i e 代数鳃i 碰b n i z 代数g 豹嚣子代数d e r g 及其 自同构群a u t g 斑子三维非l i e 代数的l e i b n i z 代数的每一类，我翻毒： ( i ) f e 2 ，e 2 】= 鳓 辩饪舞d e 嘧获设d ( e 1 ) = 铂e l + 钯龟+ a 3 e 3 ，d ( e 2 ) = b l e l + b 2 e 2 b 3 e 3 ，其 中n l ，0 2 ，n 3 ，6 1 ，6 2 ，b 3 f ，贝u d ( e a ) = d ( i e 2 ，e 2 】) 一【d e 2 ，e 2 1 + 【e 2 ，d e 2 】；【b l e l + b 2 e ：+ b a e 3 ，# 2 l e 2 ，b l e l 如如+ b s e s 】= 2 b 2 e a ；m d ( e l ，e 2 转一【d e l ，e 2 l = o a e a = 0 ，我嚣】 可得锄= 0 ，所以我们有： d 竺e l 三= 荔a l e l + a 3 e 3 毛龆 愆义g 的线性变换矗，如，如，矗如下：令颤：lhe 1 ，e 2 0 ，8 3h 0 如：e 1h 岛，如h0 ，e 3h0 。懿：8 l 0 ，包8 l ，岛h0 ，是：e 1h0 ，e 2h 如，铅h2 e s 。 则容易验证磊d e r g ，i 一1 ，2 ，3 ，4 西，南，如，以线性无关且d e r g = a d go 媛，巍，蠢，是，a d g = a d e 2 ) ，a 琏如( 盘) 一匦，包】 下面我们考虑这一类l e i b n i z 代数的矩阵形式 囊上我臻霹鳃：这一类l e i b n i z 代数豹导予艿在基e 3 ，8 l ，兜t 夔矩辫为： f2 如翘埝1 a = i o 0 16 l i i o 。如j 同对簿g 豹镊何线穗交换5 ，器5 在鏊8 3 ，8 l ，8 2 下酶矩薄为上述形式静矩阵气翔 易证d d e r o 8 因此 咖掣2 6 2 a 3 b 3 )啪 ) 我们记o r 为这一类l e i b n i z 代数的自同构，设 o e l = 盯e 2 = 则o e 3 = 州e 2 ，e 2 】= e r e ，a e 2 】= b l e l + b 2 e 2 + b s e 3 ，b a e l + b 2 e 2 + b s e s 】= 醒e 3 ，a e l ，e 2 】= p e l ，o e 2 】= 陋1 e l + 啦e 2 + a 3 e 3 ，b l e l + 6 2 e 2 + b s e 3 】= n 2 6 2 e 3 = 0 ， 我们可得0 2 = 0 则叮在基e 3 ，e 1 ，e 2 下的矩阵为： 因此 撕兰b ；2 a 3 b 3 )。，啦，a，幻，63f，。t。，。，。) 按照同样的方法，我们可得： ( i i ) e 2 崩】= e 3 d e r g = a d g o 仇，如，如) ，其中8 d g = ( a d e 0 ，6 1 ：e lh e l ，e 2h0 ，e 3 卜e 3 如 e 1h0 ，e 2 he 2 ，e 3 he 3 南：e l he 3 ，e 2 h0 ，e 3 h0 白 吼 毗 k 。警：亘 、1 如n 幻 m o 磋o o ，j-l_i、 转化为矩阵形式，我们有 lfa l + 6 2 d e r g 垒 i o lio 舭a 帕 1 n 1 ，n 3 ，6 2 ，6 3 f j 0 1 ，幻，6 2 ，b 3 f a l 0 ，b 2 0 ( i i i ) 【e l ，e l 】_ e 3 ，【e 2 ，e 2 】_ e 3 d e r g = a d g e ( 况，如) ，其中a d g = ( a d e l ，a d e n ) ，6 l ：e lhe 1 ，e 2he 2 , e 3h2 e 3 如 e 1 he 2 ，e 2 h - e i ，e 3 h0 转化为矩阵形式，我们有： 呦舱引 叫) 口1 ，n 2 ，0 3 ，6 3 f 口1 ，0 2 ，n 3 ，6 3 只a l 0 ( i v ) 【e l ，e l 】= e 3 ，【e 2 ，e l 】- k e 3 ，【e 2 ，e 2 】_ e 3 d e r g = a d go 仇，如) ，其中a d g = ( a d e l ，a d e 2 ) ，6 l ：e 1h e l ，e 2he 2 ，e 3h 2 e 3 如：e l hk e l e 2 ，e 2 he l ，e 3 卜后e 3 转化为矩阵形式我们有： 9 、 b o k 啦 毗o 。e r 。垒 ( 2 。1 j61后；i。三。) a u t g 垒 ( 6 2 n 1j 。2 6 1 三茎) 1 0 1 ，吩，b l ，b 3 f j 吼，啦，口3，6“62，63f，m。，62。，62m吐26) ( v ) 【e 3 ，e 2 】_ e 3 d e r g = a d go 吼，如) ，其中a d g = ( a d e 2 ) ，g l ：e lh e l ，e 2h0 ，e 3h0 而：e lh 0 ，e 2h _ e l ，e 3p _ 0 转化为矩阵形式，我们有： ff 口， d e r g 皇 1 0 f ，。，6 1 o1 a u t g 垒 1 010 i 【o o c 3 1 0 1 ，6 1 c 3 f j 。-，。，cs只。，。，c3。) ( v i ) f e l ，e l 】- e 3 ，【e l 总】_ e 2 ，i e 2 ，e l 】= 一e 2 d e r g = a d g o ( 6 ) ，其中a d g = ( a d e l ，a d e 2 ) ，6 ：e 1h0 ，e 2 he 2 ，e 3 h0 转化为矩阵形式，我们有： 、 o o q 以o 0 o 0 0 ：) 觚。皇l 0 a s ) 1 n 2 ，n 3 ，6 2 f j 1 幻，6 2 f 6 2 0 j ( v i i ) 【e l ，e 2 】_ e 2 ，【e 2 ，e l 】= - - e 2 ，e 3 ，e l j _ k e s d e r 0 = a d g o ( ，其中a d g = ( a d e l ，a d e 2 ) ，6 ：e 1 h0 ，e 2 ho ，：3 he 3 转化为矩阵形式，我们有： o o 。) 撕垒b 2 c 恐a 2 1 口2 ，6 2 ，c s f j a 2 , b ：, c a , c 3 f , b 2 # 0 , c 3 # o ( v i i i ) 陋l ，e 2 】= e 2 ，【e 2 ，e l 】= 一e 2 ，【e 2 ，e 2 】= e 3 ，【e 3 ，e l 】= 一2 e 3 d e r g = a d o ，其中a d g = ( a d e l ，a d e 2 ) 转化为矩阵形式我们有： 2 b 2 b s o ；) ) 1 1 f 卜 a u t g 望 1 0 1 n 2 ，6 2 f , b 2 0 j ( ) f e l ，e 2 】= e l ，【e 3 ，e 2 】= e 3 d e r g = a d g o ( 6 l ，如，如) ，其中a d g = ( a d e 2 ) ，以：e 1he l ，e 2h0 ，e 3 0 如 e 1he 3 ，e 2h0 ，e 3h0 如：e lh0 ，e 2h0 ，e 3he 1 转化为矩阵形式，我们有： 队。垒价 m 啦臼 舭a 垒1 0 0：) 1 n 1 ，0 3 ，c l ，c 3 f j o l ，a 3 ，c l ，c 3 f a z c 3 e l a 3 ( x ) 【e l ，e 2 l = e l ，【e 2 ，e 2 】一e 3 d e r g = a d g o ( 6 ) ，其中a d o ；( a d e 2 ) ，j ：e lhe l ，旬h0 ，e 3 h0 转化为矩阵形式，我们有： bo 、l d e r g 型 l 0 00 i 1 0 1 ，b s f j 、 o 眈l啦如。 fft 琵o1 a u t g 垒 l 010 l k oo 啦j 1 0 1 ，5 3 f , a l 0 j ) 玲l ，e 2 l 一8 i4 - 。瓤睡，e 2 j k e 3 ，一圭1 ) d e r 0 = a d g o ( 砷，芨中a d g = ( a d e 2 ) ，6 ：e l he 3 ，e 2 h0 ，e 3 h0 转讫为簌薄形式 我翻有： 或 。e r 。籍 ( 瑶l + 鼍f 一弼i 三) 旷 ff 趣k0 奶、 a u t g 铡 l o七o l lk 咱。啦j 1 a l ，a 3 f j 。，锄jt8；一+e亳一，钧。)， a l , a 3 e f , a ；k - a l a 3 ( 1 - k ) # o ( x i i ) 转l ，2 l e 3 ，鹣，e 2 】= d e r g = a d g o ( 文，如) ，其中a d 9 = ( a d e 2 ) ，曲：e l 2 e l ，e 2 ”艮，e 3h3 e 3 如 e l h0 ，e 2 h 铅，岛h0 转化为矩阵形式，戴们有： 1 4 o e r 炉3 6 2 b s bl。) a u t 。皇 ( 莒圣6 誊) 1 6 1 ，6 2 ，5 3 f j h ，6 2 ，6 3 f ，6 2 。 ( x i i i ) 【e 2 ，e 3 】= e l + e 2 ，【e 1 ，e 3 】= k e 2 d e r g = a d g o ( 6 ) ，其中a d g = ( a d e 3 ) ，矗：e l he 1 ，e 2 he 2 ，e 3 h0 转化为矩阵形式，我们有： 。e 码垒 ( 弓m 兰h ；) 蛐皇”莓幻 a 1 ，b l f h ，6 2 ，臼f ，c 3 。，6 2 a - 6 2 + 七砰) 通过以上研究，我们可知三维非l i e 代数的l e i b n i z 代数的导子代数除第( 9 ) 类外都 是可解的 、 o o 盘 “幻o 1 5 4 三壤菲l i e 代数的l e i b n i z 代数豹k i l l i n g 型 零节讨论三维非l i e 代数的l e i b n i z 代数的k i l l i n g 型问题 定义4 1 设g 楚任一l e i b n i z 代数，若算，y l ，定义： 托( 舅，y ；一器( a 敷赫巍 则蓐是孽上躯一个黠称双线性型，称为k i l l i n g 型+ 埒在下述意义下是结合的： 仡( p ，们，z ) = k ( z 洳，2 1 ) 取定g 的一组蒺 e l ，e 2 ，) ，则k 为非退化的当且仪当 第i 褥j 列盼元素是k ( 岛，e j ) 的矩阵鸯裴零行列式。 命题4 1 三维非l i e 代数的l e i b n i z 代数都是可解的 在三维非l i e 代数的l e i b n i z 代数的1 3 中不圈构类孛，其中( 1 ) ，( i i ) ，( 1 1 1 ) ，( i v x ( x n ) 是幂零的，其余的是可解的但不幂零，其中第( v ) ，( ) ，( v i i ) ，( i x ) ，( x ) ，( ) ( i ) ，( x a n ) 类 的可鳃次数为3 ，第( v i h ) 类的弼艇次数建4 。幂零的l e i b n i z 代数的k i l l i n g 型是遴他 的，且由幂零l e i b n i z 代数的e n g e l 定理可知，幂零的l e i b n i z 代数的k i l l i n g 型不仅 是退纯鲍，瑟鼹它的k i l l i n g 型健兔o ，艇以我们只震考虑嚣器零的壤形： ( v ) k 3 ，e 2 】= e 3 a d e l ( e l ，e 2 ，e 3 ) = e l ，e 3 ) a d e 2 ( e l ，e 2 ，e 3 ) = ( e l ，8 2 岛) a d e 3 话l ，如，勖) 一( e t ，龟，e 3 ) i t ( e l ，e 1 ) 一t r ( a d e l a d e l ) 一0 ，拧( 颤，龟) = t r ( a d e 2 a d e l ) = 0 ， n ( e l ，e 2 ) 一t r ( a d e l a d e 2 ) 一0 ，k ( e 2 ，# 3 2 ) = t r ( a d e 2 a d e ：) = 0 ， 摊l ，岛) 一t r ( a d e l a d e z ) 一0 ，( 9 2 ，e 3 = t r ( a d e 2 a d e z ) = 0 ， 一( e 3 ，e 1 ) 一n ( a d e 3 a d e l ) 一0 ，k ( e 3 ，e 2 ) = t r ( a d e 3 a d e 2 ) = 0 ， 0 0 1 o o o o o 0 o o o o o o o 0 o 0 0 o0 蛰o o e o 沙 ( | ；) ( ；) ( ；i ) ( x i i i ) f e 2 ，e 3 l ；e l + e 2 ，陋l ，e 3 1 = k e 2 它的k i l l i n g 登一在基8 l ，e 2 ，8 3t 豹度量斑阵为 由以上可知三维非l i e 代数的l e i b n i z 代数的k i l l i n g 型是退化的 1 7 l o o + 老 2 o o o o o o ，f， 1 8 5 三维非l i e 代数的l e i b n i z 代数的一维表示 本节我们讨论三维非l i e 代数的l e i b n i z 代数的一维表示 定义5 1 设g 是l e i b m z 代数，向量空间m 被赋予g 的两个作用： 卜，一】：gx m m 【一，一】：mxg m 如果满足以下关系，则被称为一个o 模： ( 1 ) 【m ，k ，鲥】= 【m ，z 】，胡一 阶，引，卅， ( 2 ) k ，f m ，胡】= 【b ，州，y 】一【p ，刎，m 】， ( 3 ) p ，b ，m i j = 【陋，们，m 】一【k ，叫，圳， 对v z ，口g 和m t 定义5 2 设k w 是口模，g 模同态是一个线性映射：v 一彬，使得妒( z u ) = z 妒( ) ， 当庐又是向量空间同构时，称为g 模同构，k 缈提供了g 的等价表示 下面我们来考虑三维非l i e 代数的l e i b m z 代数g 的一维表示，即m 的维数为 一维的情形 记m ：f c e 1 ，e 2 ，e 3 ) 是g 的一组基，定义双线性映射： gx m _ t 【e ，c 】= l i c ，l i f i = 1 ，2 ，3 m x g _ 尬【c ，e i 】= 觑c ，只i = 1 ，2 ，3 对于等式k 【y ，z 】| = 【陋，掣】，z l 一【陆，z 】，鲥，以下我们记作陋，玑刁 我们设【e ，c 】= ，( e ) c ，【c ，e j = 9 ( e ) c ， 对p ，c 】，由陋，i v ，c 】= 【陋，】c 】一【i x ，c 】，鲥，我们有f ( y ) f ( x ) c = ( ，( p ，胡) 一 ，( z ) 9 ( 可) ) c ，即f ( y ) f ( x ) = ，( 陋，掣1 ) 一，( 。) 9 ( ) ， 对i x ，c ，纠，由i x ，【c ，引】= 【k ，c 】叫一f 陋，y l ，c 】，我们有( z ) g ( y ) = f ( x ) g ( y ) 一 ，( k ，】) ，即，( 陋，引) = 0 ， 由以上两式可得，( 。) 【，( ) + g ( ) 】= 0 ，若，0 ，则有g = 一， 对【c ，z ，刎，由p ，陋，】j = 【i t , 卅，纠一【i c ，卅，z 】，我们有g ( 扛，】) = 9 ( z b ( y ) 一 9 ( 扫( z ) ，即9 ( 陋，引) = 0 ，g ( 陋，引) = ，( 陋，鲥) = 0 对于三维非l i e 代数的l e i b n i z 代数g 的1 3 种不同构类，我们有： ( i ) 【e 2 ，e 2 】_ e 3 ( 1 ) 若，= 0 ，贝0 有矗= 0 ，l = 1 ，2 ，3 ，k 3 = 0 ，即【c ，e l 】= k l c ，【c ，e 2 】= k 2 c ，贝口 它的一维表示所对应的向量空间为矿( 0 ，0 ，k l ，k 2 ) 若存在n = f c 是g 的另一个 一维表示，它满足 c i ，e ，】= k ：c ，【c ，e 2 】= k 2 c ，若存在线性映射p ：c 一，满足 p l c ，e 1 1 = k c d = 瞳，e l 】= t 蠡ic ，p 【c ，e 2 】= k a t c = t d ，e 2 】= t 硅c ，则g 的两个一维 表示等价的充要条件是七，如分别与磁，磁成倍数 ( 2 ) 若f 0 ，则有= 0 ，1 3 = 0 ，k l = 一f 1 ，k 2 = - 1 2 ，则它的一维表示所对应 的向量空间为v ( 1 1 ，f 2 ，- 1 1 ，- 1 2 ) 同上可以得到g 的两个一维表示等价的充要条件是 “，1 2 分别与f ：，砭成倍数 第( i i ) ，( i ) ，( ) ，( v ) 类的一维表示同第( i ) 类， ( ) 【e l ，e l 】= e 3 ，【e l ，e 2 j = e 2 ，【e 2 ，e l 】；一e 2 由，( 【厶纠) = g ( 肛，叫) = 0 ，我们得到= b 1 2 1 3 0 ，若，= 0 ，则2 1 = 0 ， 即【c ，e 1 】= h c ，则它的一维表示所对应的向量空间为v ( o ，后1 ) ，若存在n = f c 是g 的另一个一维表示，它满足【c e - 】= 瑶c ，若存在线性映射p ：c 一彬，满 足p 【c ，e l l = t d ；眵，e l j = t k , d ，则g 的两个一维表示等价的充要条件是k 1 与k ： 成倍数；若，0 ，则有i c ，e l 】= k l c ，k l ，c 】= z l c ，同上可以得到g 的两个一维表示等价 的充要条件是k 1 ，b 分别与后：，e 成倍数 第( v i i ) ，( v i i ) ，o x ) ，( ) ，( i ) ，( x i i i ) 类的一维表示同第( v i ) 类 巨净 畦甜 ( i i ) 【e 2 ，e l l = e 3 由( e l ，e 2 】，e 1 ) = ( e 1 ，【e 2 ，e l i ) ，我f 得至0 ( e 1 ，e 3 ) = 0 ，即n 1 3 = 0 ， 由妒( 【e 2 ，e l i ，e 3 ) = ( e 2 ，【e l ，e 3 】) ，我f f 】得到( e 3 ，e 3 ) = 0 ，即o = 0 ， 由( 【e 2 ，e l i ，e 1 ) = 妒( e 2 ，e l ，e 1 1 ) ，我f 】得到庐( e 3 ，e 1 ) = 0 ，即n 3 l ：= 0 ， 蠡议融，e 1 ，e 2 ) = 毋她，和l ，包1 ) ，我稻褥到( e 3 ，e 2 ) 一0 ，帮铂2 = 0 ， 幽毋( 【e 2 ，e 2 l ，e 1 ) = 毋( e 2 ，f e 2 ，e l 】) ，我f 得到咖( e 2 ，e 3 ) 一0 ，即a , 2 3 = 0 ， 掰瑷多在基e 1 ，e 2 ，e 3 下瀚发量矩酶为： 吐l l 妇哇2 d 2 l0 2 2 oo ( i i i ) 【e l ，e 1 】一e 3 ，【e 2 ，e 2 】_ e 3 凌妒( e l ，# l l ，e 1 ) 一( e l ，f e l ，e l 】) ，我们得到妒( 如，e 1 ) 一垂( e l ，e 3 ) ，即蛙3 l = 8 1 3 ， 内咖( e 1 ，e l 】，e 2 ) = 妒( e l ，忙1 ，e 2 】) ，我们得到毋( e 3 ，e 2 ) 一0 ，即n 3 2 = 0 ， 啦妒( 聱l ，e l l ，e 3 ) 一妒( e l ，晦l ，e 3 】) ，我彳f 】得至q ( # 3 e 3 ) 一0 ，印堪3 3 = o ， 由妒( 【e 1 ，e 2 j ，e 2 ) = 妒( e l ，k 2 ，e 2 】) ，我啊】得到西( e 1 ，e 3 ) 一0 ，即g 1 3 = 0 ， 受多( 眩，e l 】，e 1 ) 一毋( 龟，眩，e 1 1 ) 我 门褥到够e 2 ，e 3 ) 一0 ，即琏2 3 = 0 ， 由( 【e 2 ，e 2 】，e 1 ) 一咖( e 2 ，【e 2 ，e 1 】) ，我们得到咖( e 3 ，e 1 ) 一0 ，即a 3 1 = 0 ， 鳜以毋在纂8 l ，钇，8 3 下的度量矩晦为： 8 l l 窿1 2 a 2 1 a 2 2 oo f i v ) 静l ，l 】= # 3 ，融，e l = 蠢孳3 ，融，e 2 】；e 3 由( 【e l ，# 1 】，e 1 ) = 曲( e 1 ，【e 1 ，e 1 1 ) ，我们】得至0 ( e 3 ，e 1 ) 一毋( e l ，e 3 ) ，即d 3 l = ：a 1 3 ， 国联l ，# l l ，如) 一爹和l ，和l ，嘲) ，我翻簿妥联白，2 ) 一0 ，都a 3 2 = 0 ， 由( k l ，e l 】，e 3 ) 一曲( e 1 ，【e l ，8 3 】) ，我们得到曲( e 3 ，e 3 ) 一0 ，即0 , 3 3 = 0 ， 国母( 独i ，e 2 】，e 1 ) 一簪和l ，和2 ，e l ) ，我嚣】豢 至g 簪l ，e 3 ) 一0 ，帮糕1 3 = 0 ， 由妒( 【e 2 ，e 1 】，e 1 ) 一妒( e 2 ，陋l ，e 1 1 ) ，我们得到( e 2 ，e 3 ) 一0 ，即n 嚣= 0 ， 掰馥垂在筵龟，玩，e 3 下的滚量矩簿为： ( v ) 【e 3 ，e 2 卜e 3 巍妒鎏l ，蚀】 e 2 ) = 簪( e l ，也巍我誉j 褥到球1 3 ；0 ， 凼( 【e 2 ，e 3 】，e 2 ) = 毋( e 2 ，【e 3 ，e 2 1 ) ，我们得到她3 = 0 ， 巍簪( 融，e 3 氧嘲= 戳岛，融，e 2 】) ，我锯褥爨鼬= 0 ， 由庐( 【e 3 ，e 2 】，e 1 ) 一咖( e 3 ，【e 2 ，e 1 】) ，我们】得到a 3 1 = 0 ， 翻蔹离，e 2 ，如) 一牵( e 3 ，海，勖势，我翻得到鳓2 = 0 ， 所以西在基e 1 ，e 2 ，e 3 下的度量矩阵为： n l la 1 2 0 2 1o 2 2 oo 0 疆) 靶i ，e l 】一e 3 ，聱l ，e 2 】；e 2 ，融，e l l 一一e 2 由( 【e 1 ，e l 】，e 1 ) = 4 , ( e l ，陋1 ，e l j ) ，我竹】得到t 1 3 1 = 口1 3 ， 翻联靶l ，e l 毛e 2 ) 一簪( e l ，l ，e 2 】) ，我察褥羁多汹，句一垂 e l ，鳓) ，帮0 , 3 2 = 吐1 2 ， 由( e l ，e 1 1 e 3 ) 一驴( e l ，【e 1 ，岛1 ) ，我们得至0 ( 岛，e 3 ) 一0 ，即a 3 3 = 0 ， 滋妖l ，e 2 j ，e 1 ) 一事e l ，渤，j 巍我 f 】褥虱( e 2 ，e 1 ) = 一多8 l ，e 2 ) ，帮她1 = a 1 2 ， 由( 【e l ，e 2 1 ，e 2 ) 一毋( e 1 ，【e 2 ，e 2 】) ，我1 门得到毋( e 2 ，e 2 ) 一0 ，即a 2 2 = 0 ， 癫联随，e 2 ，e 3 ；一毋e t ，b ，嘲) ，我髓得到池，e 3 ) 一0 ，霹鼢= 0 ， 由妒( e 2 ，e l 】，e 1 ) = 西( e 2 ，陋l ，e 1 1 ) ，我们得到一毋( e 2 ，e 1 ) = 妒( e 2 ，e 3 ) ，即一8 2 l n 髂， 、tlii| o o o 毗 坳。 姐 眈o 由妒( 【e 1 ，e 2 】，e 1 ) = ( e l ，【e 2 ，e 1 】) ，我f 】得至u 庐( e 2 ，e 1 ) = 一砂( e 1 ，e 2 ) ，即0 2 l = 一口1 2 由妒( 【e 2 ，e l 】，e 2 ) = ( e 2 ，【e l ，e 2 】) ，我f 】得至0 一妒( e 2 ，e 2 ) = ( e 2 ，e 2 ) ，即a , n = 0 ， ) ( v i i i ) e l ，e 2 】= e 2 ，【e 2 ，e l 】= 一e 2 ，【e 2 ，e 2 j = e 3 ，【e 3 ，e l 】= 一2 e 3 由妒( 【e “e 1 】，e 2 ) = ( e 1 ，【e l ，e 2 】) ，我f 得至( e 1 ，e 2 ) = 0 ，即a 1 2 = 0 ， 由( 陋l ，e 2 】，e 1 ) = ( e l ，【e 2 ，e l 】) ，我们得到( e 2 ，e 1 ) = 一妒( e l ，e 2 ) ，即a 2 1 = 一0 1 2 ， 由( 【e 1 ，e 2 】，e 2 ) = ( e 1 ，【e 2 ，e 2 】) ，我们得到( e 2 ，e 2 ) = ( e l ，e 3 ) ，即a 船= n 1 3 ， 由( 【e 1 ，e 3 】，e 1 ) = 4 , ( e l ，【e 3 ，e 1 j ) ，我f f 】得至( e 1 ，e 3 ) ：= 0 ，即0 1 3 = 0 ， 由妒( 【e 2 ，e 1 】，e 1 ) = 妒( e 2 ，( e l ，e l 】) ，我f 】得到( e 2 ，e 1 ) = 0 ，即n 2 l = 0 ， 由( 【e 2 ，e l 】，e 2 ) = 庐( e 2 ，【e l ，e 。】) ，我f f 得至n 2 2 = 0 ， 毗o o 为 o 0 o 阵 o 卿 o 吣 量，一 度的i 白吃 基在 以 所 由妒( 【e 2 ，e 1 j ，e s ) ；庐( e 2 ，【e l ，e 3 】) ，我 】得到( e 2 ，e 3 ) = 0 ，即a 2 3 = 0 ， 由毋( 【e 2 ，e 2 】，e 1 ) = ( e 2 ，【e 2 ，e 1 】) ，我 f 得至0 ( e 3 ，e 1 ) = ( e 2 ，e 2 ) ，即a 3 l = 0 ， 由( 【e 2 ，e 2 】，e 2 ) = ( e 2 ，【c 2 ，e 1 】) ，我f 门得至0 妒( e 3 ，e 2 ) = 妒( e 2 ，e 3 ) ，即a s 2 = 0 ， 由庐( 【e 2 ，白j ，e 3 ) = ( e 2 ，【e 2 ，e 3 】) ，我们得到( e 3 ，e 3 ) = 0 ，即o , 3 3 = 0 ， 所以在基e 1 ，e 2 ，8 3 下的度量矩阵为： ( x ) e l ，e 2 】= e l ， e 2 ，e 2 】；e 3 由( 【e 1 ，e l 】，e 2 ) = ( e 1 ，【e 1 ，e 2 j ) ，我f f 】得到妒( e 1 ，e 1 ) = o ，即0 1 1 = 0 ， 由( 【e l ，e 2 】，e 2 ) = ( e 1 ，【e 2 ，e 2 】) ，我f 】得到( e l ，e 2 ) = 妒( e l ，e 3 ) ，即a 1 2 = a 1 3 由j l ( 【e 1 ，e 2 】，e 1 ) ；( e 1 ，【e 2 ，e 1 j ) ，我们得到a l l = 0 ， 畦甜 ) ( x i i ) 【e 1 ，e 2 】- e 3 ，【e 2 ，e 2 】_ e l 由妒( 【e 1 ，e 1 】，e 2 ) = ( e 1 ，【e 1 ，e 2 1 ) ，我f f ) 得到( e l ，e 3 ) = 0 ，即a 1 3 = 0 ， 由庐( 【e 1 ，e 2 】，e 1 ) = ( e 1 ，【e 2 ，e 1 】) ，我1 门得到妒( e 3 ，e 1 ) = 0 ，即a 3 l = 0 ， 由矿( f e l ，e 2 】，e 2 ) = b ( e l ，f e 2 ，e 2 】) ，我f 】得至0 ( e 3 ，e 2 ) = ( e 1 ，e 1 ) ，即a 3 2 = n 1 1 由( 【e 1 ，e 2 j ，e 3 ) = ( e 1 ，【e 2 ，e 3 】) ，我1 得到( e 3 ，e 3 ) = o l 即a 3 3 = 0 ， 由( 【e 2 ，e l 】，e 2 ) = 妒( e 2 ，【e l ，e 2 】) ，我啊 得到妒( e 2 ，e 3 ) = 0 ，即a , z 3 = 0 ， 由妒( 【e 2 ，e 2 】，e 1 ) = ( e 2 ，【e 2 ，e l 】) ，我们得到( e 1 ，e 1 ) = 0 ，即a 1 1 = 0 ， 由( f e 2 ，e 2 】，e 2 ) = ( e 2 ，【e 2 ，e 2 】) ，我们得到妒( e 1 ，e 2 ) = ( e 2 ，e 1 ) ，即a 1 2 = 眈l 所以在基e l ，e 2 ，e 3 下的度量矩阵为： 0 a 1 2 a 1 20 2 2 oo 睢) 7 三维非l i e 代数的l e i b n i z 代数的一维中心扩张 定义7 1l 是域f 上的李代数，l 上的双线性函数妒：l l f ，如果满足： ( i ) 妒( z ，z ) = 0 ( i i ) 妒0 ，b ，z 1 ) + v ( y ，k ，z 1 ) + 妒( z ，扛，”1 ) = 0 则称妒是l 的( f - 值) 2 - 上循环 记l 是域f 上的李代数，定义l i = l f c ，陋+ a c ，+ p c 】= 陋，y 】+ 妒( z ，! ，) c ， z ，y l ，a ，p f ，且【c ，l 】= 0 则工是工通过c 的中心扩张 定义7 2 l e i b n i z 代数g 的2 - 上循环是指双线性函数：妒：g g f ，其中妒满足 妒 ，阻，z 】) 一