（基础数学专业论文）李代数so2n和gmsc的性质.pdf

摘要 贮甜忙m n ，卜彰一c 仁咖圳一。) ， 0 ：三三， + ， 主参主 l b = 一b 7 ，c = 一c 7 ，尸= ，= 7 ，肌m = 。 q ，h z _ 0 ， ，吃 - 哦， e ，e 口】= 也， 驴k ， 对v ，h 2 h 对任一根口 对任一根口 若口+ 不是根 若口+ 腥根 关键词：李代数s o 木( 2 n ) ；李代数g 木( m ，s ，c ) ；中心；换位子代数；k i l l i n g 型；c a r t a n 子代数；结构公式；根系 i a bs t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt w ok i n d so f t y p i c a ll i ea l g e b r aw h i c h i sl i ea l g e b r as o * ( 2 n ) a n dl i ea l g e b r ag ( m ，s ，c ) i nt h ef i r s ti th a sb e e ni n t r o d u c e dt h a ts o m eb a s i c k n o w l e d g eo fl i ea l g e b r aa n dt h es t r u c t u r eo ft h et w ot y p i c a lt y p e so fl i ea l g e b r a s t h e n w es t u d yt h et y p i c a lp r o p e r t yo ft h e i r sf o r mt h es t a r t i n go fn a t u r ea n dc o n s t i t u t eo ft h e t w ot y p e so fl i ea l g e b r a ( i e ，b a s e ) ，a n dw ec a l c u l a t e ds e p a r a t e l yt h e i rd i m e n s i o n ，c e n t e r ， c o m m u t a t o ra l g e b r a ，k i l l i n gt y p e ，c a f t a ns u b a l g e b r a ，s t r u c t u r ef o r m u l a ，r o o ts y s t e m ，a n d s oo n i nt h i sp a p e r , t h ef o l l o w i n gt h e o r e m sh a v e b e e nm a i n l yp r o v e d ： t h e o r e ma ：t h ec e m e ro fs o 木( 2 n ) i s0 ，a n dt h ec e n t e ro fg 木( 聊，s ，c ) i s 口玎二i 口r t h e o r e mb ：b o t hs o 木( 2 ，z ) a n dg 术( 聊，s ，c ) a r en o ts i m p l el i ea l g e b r a t h e o r e mc ：t h ec o m m u t a t o ra l g e b r ao fs o 木( 2 n ) i si t so w n ，a n dt h ec o m m u t a t o r a l g e b r ao fg 木( 2 n ，s ，c ) i s 贮甜忙m n ，卜彤一c ，加，刎= 。 ， a n dt h ec o m m u t a t o ra l g e b r ao fg 木( 2 n + 1 ，s ，c ) i s 0 ：三三， + ， 量蓥妻， l b = 一曰7 ，c = 一c ，尸= ，= ，矶m = 。 t h e o r e md ：t h ec a r t a ns u b a l g e b r ao fs o 木( 2 n ) a n dg 水( 2 n ，s ，c ) i s 日= d i a g ( x l ，而，毛，- x a ，- x 2 ，- x ) l x , r ，1 尼，z ， a n d t h ec a f t a ns u b a l g e b r a o fg 木( 2 n + 1 ，s ，c ) i s 日= d i a g ( o ，五，砭，一五，一恐，一x ) l x k r ，1 七，z t h e o r e me ：t h es t r u c t u r a lf o r m u l ao fs o 宰( 2 n ) a n dg 木( 聊，s ，c ) i s i l h l ，h 2 】= 0 ， 以五，b - 噶， & ，e 口 _ 以， 驴k ， 加内h i ，h 2 h f o ra n yr o o to 。f o ra n yr o o t 仅 i f 仪+ 8l sn o t 口r o o t 一 ， i fa + p 括a r o o t k e y w o r d s ：l i ea l g e b r as o 木( 2 n ) ；l i ea l g e b r ag 串( m ，s ，c ) ；c e n t e r ；c o m m u t a t o ra l g e b r a ； k i l l i n gt y p e ；c a r t a ns u b a l g e b r a ；s t r u c t u r a lf o r m u l a ；r o o ts y s t e m i i i 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所 取得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：至塑日期： 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇 编本学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：至望 日 期：鱼z ：兰 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名： 日期： 电话： 邮编： 拦 东北师范大学硕士学位论文 己i吉 丁i 口 挪威数学家李( m a r i u ss h o p h u sl i e ，1 8 4 2 - 1 8 9 9 ) 将微积分与群论结合起来，长 期从事连续变换群及其不变量的研究，是连续变换的创始人，这种理论称为“李群理论 ， 后来还称为“李群 ，“李代数理论”，“李理论 近代数学研讨的基本手法是先将所要研讨的事物，择其精要，加以适度的抽象化， 然后再将如此抽象所得的体系，赋以自然的结构，组织成一个数理模式这样构造的模 型，通常还会有相当的“自同构”或“对称性”，那就是保持该数理模型本身结构的变 换群李群，也称可微群，就是把这种变换群推广到几何或分析领域里去的产物，它同 时具有群和可微结构，而且群的运算对于其可微结构来说是可微的 李群其实就是可微分的群微分的基本想法就是在无穷小的层面上线性化因此可 以自然地想到李群的结构应该具有它的线性化所得的一种“无穷小群的结构，这也就 是m a r i u ss h o p h u sl i e 在可微分的群的结构理论上的重大成就我们将这种线性的“无穷 小群”的结构叫做李代数，把可微分的群改称为李群 李代数是现代数学前沿领域中具有重要地位的学科之一在李代数经典理论方面有 重要贡献者，除m a r i u ss h o p h u sl i e 本人外，当推w k i l l i n g ，e c a r t a n 和h w e y l 等人 李代数具有悠久的历史，现在仍在蓬勃地发展，而且催生了k a c m o o d y 代数，顶点算 子代数，量子群、共型代数等新兴分支的出现和发展，它又是现代数学的重要基础，和 群论，拓扑，微分几何以及理论物理都有密切的联系，并在上述领域中有许多的应用 李代数及李群与现在数学的许多分支密切相关，在现代物理学等其他学科中的应用 也愈益广泛而深刻，比如它们对约束力学系统有重要的应用，用李群可以研究各类约束 系统的n e t h e r 对称性与l i e 对称性，可建立对称性( 对称性在物理学、化学等科学研究 中至关重要) 与守恒量之间的关系由动力学对称性，我们可以用李代数方法处理分子 “振动一振动耦合 、“振动一转动耦合”h a m i l t o n i a n 一些李代数方法在分子光谱中( 例 如局域模，多原子分子的振转光谱研究) 也有重要的应用，它可以研究一些分子( s 0 2 分 子，乙炔分子等) 的振动激发态能谱可见，李代数己在现代数学物理学中占据着不可 或缺的位置，那么研究李代数也就有着它跨时代的意义 本文所研究的这两类典型的李代数，即李代数s o * ( 2 n ) 和g 宰( m ，s ，o ，它们的良好的 性质希望能够引起各界学者的关注，使其能够很好地应用于数学或物理的某些方面，为 科学的发展作出贡献 东北师范大学硕士学位论文 一、预备知识 定义1 1 设g 是域f 上的线性空间，且g 中有二元运算( 工，j ，) - - - i x ，y 】( 通常称为 换位运算或括积) 满足下列三个条件： 1 ) 此二元运算是双线性的： 2 ) 【x ，x 】= o ，b k g ； 3 ) 【x ， y ，z 】+ 少， z ，x + z ，i x ，少 = o ，v x ，y ，z g 则称g 为域f 上的李代数 定义1 2 若域f 上的李代数g 中元素x ，y 满足 z ，y = 0 ， 则称x ，y 是交换的若g 中任意二元素均是交换的，则称g 为交换李代数或a b e l 李代数 定义1 3 n 3若李代数g 的子空间h 对换位运算封闭，即 厅，h i 量h ，则称向为g 的( 李) 子代数若g 的子空间h 满足 g ，h h ，则称h 为g 的理想显然，g 与 0 ) 自然是g 的理 想，称为平凡理想 定义1 4 n 3 设m 是李代数g 的一个非空子集称 c g ( m ) = x eg l x ，m 】- o ，v m 研 为m 在g 中的中心化子特别，c g ( g ) 为g 的中心，简记为c ( g ) 定义1 5 n 1 设咒是李代数g 的一个子空间，称 g ( 胛) = g l x ， 玎，v 行) 为n 在g 中的正规化子 引理1 1 设g 是李代数，则g ( 1 = g ，g 是g 的理想，称为g 的导代数或换位子代 数 定义1 6 n 1 若李代数g 无非零的交换理想，则称g 为半单的又若半单李代数g 还无 非平凡的理想，则称g 为单李代数 2 东北师范大学硕士学位论文 引理1 2 n 1设m 是域f 上的n 阶方阵，则 g ( n ，m ，) = x g l ( n ，f ) i x m +7 = o 】是域f 上的李代数 证 显然，g ( n ，m ，f ) 是( 甩，) 的子空间又设x ，l ，g ( n ，m ，f ) ，于是由 ，y m + m x ，y 7 = ( x y - y x ) m + m ( y x 7 - x 7 ) = x ( y m + m y ) - y ( x m + m x ) = 0 知 x ，y 1 g ( n ，m ，f ) ，故g ( n ，m ，f ) 是，上的线性李代数口 引理1 3 n 1 设m 是一个，l 阶复矩阵，则 g 宰( ，2 ，m ，c ) = x ( ，z ，) i x 竹+ 朋- = o ) ( 这里x 7 ，x 分别表示x 的转置，共轭) 是r 上的李代数 证 设x ，】，g 木( ，z ，m ，c ) ，口，6 r ，贝0 ( 现y + 6 】，) o 彳+ m 忑5 厕 = a ( x m + m x ) + b ( y m + m y ) = 0 ， 故g 木( 以，m ，c ) 是r 上的线性空间又 x ，y 7 m + m x ，y = ( y x 7 - x 7 7 ) m + m ( x 】，一】厂x ) = y 7 ( y 竹+ a 露) 一x 7 ( 】，竹+ m y ) = 0 故i x ，y 1 g 水( 玎，m ，c ) 因而g 木( ，z ，m ，c ) 是r 上的李代数口 定义1 7 n 1 s o ( n ，c ) = g ( n ，l ，c ) 称为复正交李代数， 当n = 2 m 时愚啦邮m 令以= ( 三钟 s o 宰( 2 n ) = s o ( 2 n ，c ) n g 奉( ，? ，以，c ) 称为李代数s o * ( 2 n ) 定义1 8 n 1 设g 是域f 上的李代数g 中理想序列 g o = g ，9 1 = g ，g o ，g “。1 = g ，g 】， 称为g 的降中心序列若有k en ，使得 g x = 0 ， 东北师范大学硕士学位论文 则称g 为幂零李代数 定义1 9 设日是( y ) 的子代数缈日宰称为h 的权，若 秒v ，秒0 ，使得 h u = 缈( 办) u ，v 办h 此时称秒为对应于妒的权向量 定义1 1 0 n 1设g 是域f 上的n 维李代数g 上的二元函数 ( x ，y ) = t r ( a d x ，臼砂) ， x ，y g 称为g 的k i l l i n g 型 定义1 1 1 若李代数g 的幂零子代数日满足日= g ( h ) ，则日为g c a r t a n 亏r 数 g 对a d h 的权子空间分解为g = g 口，为权集其中g 薅 ia d h 的非零权称为g 口e 对于h 的根，对应的权子空间称为根子空间，所有根的集合称为g 对于日的根系，简称 为日的根系 定义1 1 2 嘲 若日为gc a r t a n 子代数，用表示李代数g 的根系，任一口都 唯一地确定一个根子空间也h ，使( 而，以) = 口( h ) ，对一切办h 给了口，确定也的 手续我们简称将根口嵌入日 4 东北9 币范大学硕士学位论文 二、李代数s o 木( 2 n ) 的性质 定理2 1 8 0 木( 2 刀) 的基底为以= 一e “枞1 1 后，歹刀) ， = f ( 乓肿，一弓卅。) j 1 j | 歹刀) ，c o = f ( e 帆，- e “。) i l 后 ， = f ( 色卅厂易卅。) l l 尼 ，z ) ，q = f ( 色砘厂e 。) 1 1 尼 刀 口 定理2 2s o * ( 2 n ) 的维数是2 n 2 1 1 个 证设州2 小令x = 曙甜芝抄瞪孙 其中m ，m ，r ，q ，鸠，2 ，r 2 ，q 2 为r 上的矩阵则由定理2 1 我们可知 m = 一q 1 7 ，墨= o ，l = o ；鸩= o ，2 ，= 一2 ，q 2 = o ，巧= 一是 先对x 的实部讨论基的个数： 对m 和q 。，取矩阵一e 吨枞( 1 i 刀) ，有刀个， 再加上所有一e “枞( 1 尼刀) ，共刀2 一珂个， 则x 的实部基的总数为n 2 个 再对x 的虚部讨论基的个数： 对2 ，取矩阵f ( 乓肿，- g 肿。) ( 1 后 刀) 则基的个数为i 1 刀( 胛一1 ) 个； 对恐，取矩阵f ( e 吨，一e “t ) ( 1 i 刀) ，有寺行( 玎一1 ) 个； 则x 的虚部基的总数为n 2 一n 个 所以x 的基元素总数为2 n 2 一刀个 故李代数s o * ( 2 n ) 的维数是2 n 2 一玎个口 定理2 3s o * ( 2 n ) 的中心是0 证讨论n ：2 的情况，设x c ( s o 术( 4 ) ) ，由定理2 1 我们可设 6 东北师范大学硕士学位论文 x=ll哆alll。哆a122：0二乏+，一岛：。 x 2 l 哆1 。哆2 ：二乏j + l - 岛： 其中，r ，1 后，j 4 则由中心的定义1 4 ，有x 与s o 幸( 4 ) 的基底作括 于是 有a 1 2 此时， 再有 x ， 1 。一，。= f = 0 2 l = o ，岛4 = o ，6 3 2 = 0 r q 。 x ：l a 2 z i l 0 ( 有0 1 i = a 2 2 ， 一q 2 o o 。 ， 一q - l 一呸2 x ， 。三二。 卜口 o 此时，x - - i “ i i o 1 - l lq l 又有 。一1 01 o 一口2 o f ，o 口l l 一口2 2 1 0 = l l 1 0 ( 一6 l 6 3 z o 0 i i l = 0 ， 0 l i 口2 2 一q lo ：，r 。 = o ， l 。 。 。 j 有2 a l l = 0 ，因为口l l r ，所以a i l = 0 故x = 0 ，即c ( s o 木( 4 ) ) = o 7 4 ：。 j 2以 o 东北师范大学硕士学位论文 同样的讨论对门= 3 ，4 ，所以s o 串( 2 以) 的中心是0 口 定理2 4s o * ( 2 n ) 不是单李代数 证先讨论n = 2 的情况， 设，为s o 木( 4 ) 的任一理想，对锻i ， 由定理2 1 我们可设 aq2220一a1-a12。-一0呸22。+，一吃：。 1 1 一电ji 一岛2614 则由理想的定义1 3 ，x 与s o * ( 4 ) 的基底作括积属于， 于是 = f x ，卜。 l o o l 。a 1 2 o o 、， 0 i1 0 h 一呸l ii 6 3 2 0 jl 一岛： x _ 。 =0 a 1 2 0 寸l x ， o1 0 一吃l 口l l a 2 2 0 0 0 2 l o 0 2 1 q 2 一a j l 4j 6 l 。 l ：五“ 0 i ) 一6 l 。 o = 五i ， o 4 1 2良 q 吃 ，。l o 、lliij o 一 ， 墨 8 = 一、， 0 吃 一 再有， 东北师范大学硕士学位论文 r x ， ? 。0 - 1 1 = 。乙一；2 - a 。l e q0i 。? ： = a 。j ， l 口2 2 一q q 2 i 。， l 。 。? 2 j 。一1 01 =一吃2。一632岛：。吃：+，。一q10一呸2。ah+。a22=a毛， x，一。 =lb40一岛。+zq。：够挖o_q。i够拉。=a气j， 卜 卜 卜 卜 卜 卜 _ 1 0 。卅 _ 1 0 。 _ 1 0 。 c呸：一q。，。三二。j， c吃：一q。，：。0_1j， 一c吃：+口，。，。一101， 9 东北师范大学硕士学位论文 a，6，1。一。i h 一 一c922+q。，一。， = l - b 1 40包。=一岛。1。l一。一。=五， 引卜。 一614。一岛4岛。6。=一岛。1。1一。一。=局， 11 一。一。 ， 。三二。 ， ? 。0 1 1 ，z 一。0 ， o - o 0 我们任取x s o * ( 线性生成了s o 水( 4 ) 的一个理想 g q 2 2 2 0 一a l l - - 。1 2 。g 2 2h 也。 i 1 一 飞t li 一 l 一岛2 则由以上的计算我们可知 l o 钆 就 一lkrl 令 0 q 0 4 、 一 2岛 q 吃 ，。l 东北师范大学硕士学位论文 又有 x 。t o1 0 o o o 厶， = 2 i 一吃： o o 10 o一1 o o o 一岛。 6 1 。 岛z 0 厶， x ，f 故s o 木( 4 ) 有一个非平凡理想厶 同样的讨论我们可知s o * ( 2 n ) 也存在一个非平凡理想j ，其基底为 如： e k j e “枞1 1 后甩 ，= 窆e 艟一2 n ) ， k = l j = n + l o o 0 岛= i ( e k 卅厂弓肿。) 1 1 尼 刀) ，= f ( e 眠- e “。) 1 1 七 刀) 由定义1 6 可知s o * ( 2 n ) 不是单李代数口 定理2 5s o * ( 2 n ) 的换位子代数就是其本身 证 先讨论n = 2 的情况， 对任意墨，x 2 s o 木( 4 ) ，由定理2 1 我们可设 则 五= 五= q lq 2 0 a 2 1a 2 2 r 、 一a l ia 2 1 u 一口1 2一a 2 z ， q la i 2 0 ， a 2 1口2 2 ， 0 一口l l a z l ， 一q 2 一a 2 2 6 3 ： o 一6 l 。 反， 2 0 6 3 ： o 6 l 7 _ b 、： 6 3 2 7 o o 吵o 0 o o o 0 其中 x 。，x 2 】- 东北师范大学硕士学位论文 - - c i l。二c21-q2 c 2 2h 喝。 一 li 一 l d 3 2叱， ，如( 1 尼，4 ) 是关于，7 ( 1 后，歹4 ) 的代数式 当n = 3 时，对任意五，置s o 木( 6 ) ， 则 其中 【五，五】 e 1 1q 2 c 2 1c 2 2 c 3 1c 3 2 o o + f o 一如 一九 ，如( 1 七，6 ) 是关于，7 ( 1 后，6 ) 的代数式 同样的讨论可知对于任意的x i ，置s o 宰( 2 胛) 时， c 墨，五，具有形式( 吾一0 彳，) + ，( 兰言) ，其中b = - b , c = - c ， 故s o 木( 2 n ) 的换位子代数就是其本身n 下面我们求一下s o 宰( 2 n ) 的m l l i n g 型，对任一x s o * ( 2 n ) ，由定理2 1 我们可设 则 x = ( 苫一：， + z ( 吴苫 ，其中n = - n ，r = 一r x 2 = ( ( 苫一：，) + z ( 吴0 1 1 ( ( o m 0 ，) + ，( 曼苫 f ，m 2 一n r 0 、f ，0n m m 、 2 【 o m 佗一懈j “【删一m 欠 o j t r x 2 = 2 t r ( m 2 一n r 、 1 2 0 44 2以 2 2气乞 0 q 乞 ，。_ 叱丸。 丸。喝 o o 研4 一 一 3 3 以噍0 o 如。咆 3 3 3q 乞巳 仍彩岛 一 一 一 砌励砌白西白 一 一 一 东北师范大学硕士学位论文 一 _ 对实部基：当1 屯j n 时， 绷( ( a d x ) 2 以) = e n t 杉( ( a d x ) 2 ( 一e “枞) ) = e n t 白( x 2 ( 一e “枞) 一2 x ( g - e “枞) x + ( 一e 枞) 石2 ) = e n t n x 2 2 ( e n t a x ) ( e n t x ) + 2 ( e n t k ，。+ x ) ( e n t 瑚x ) + e n t 坷x 2 对虚部基：当1 k j n 时， e n t k 肿几刎) 2 ) = i e n t k j ( ( a d x ) 2 ( 色州一t 卅。) ) = i e n t k 肘j ( x 2 ( 毛卅，一易，。+ 七) 一2 x ( g 肿- ，一哆。肿。) x + ( 乓, n + j e j ，肿。) x 2 ) = i ( e n t a x 2 2 ( e n t a x ) ( e n t , “肿x ) + 2 ( p 行t k j x ) ( e n t 心肿，x ) + e n t n “斛x 2 ) 当1 k j n 时， e n t + ( ( 口扰) 2 ) = i e n t , 眠几口研) 2 ( e 托厂乜“。) ) = i e n t 眠，( x 2 ( e 吨j e “。) 一2 x ( e , 眠，- e “。) x + ( e + k , j - - e n “。) x 2 ) = i ( e n t 峨。+ t x 2 2 ( e n t 帆。+ 。x ) ( e n t j j x ) + 2 ( e n t 砘，x ) ( 册x ) + 绷o x 2 ) 综合有 ( ，x ) = 乏绷( ( 删) 2 如) + 芝e n t k y ( ( a d x ) 2 ( + q ) 矗，j=i缸(i = 玎t r x 2 2 ( t r m ) 2 2 t r n r + i ( ( 咒一1 ) t r x 2 + 2 ( t r m ) 2 4 刎2 ) 易证( x ，】，) = 丢( ( x + 】，x + 】，) 一( x ，x ) 一( 】，y ) ) ，锻，】，g ，所以我们可求得s 。掌( 2 刀) 的 k r a n g 型口 引理2 1 若h 是域，上李代数g 的子代数，且h 为对角方阵设g 的基底为 如，满足 办，气】- 而如， 办，饬 _ 艺，其中x 。, x 2 ，v h eh 则日是李代数g 东北师范大学硕士学位论文 的c a r t a n 子代数 证 因为日为对角方阵，则【日，h i = 0 ，由定义1 8 知h 是幂零的 下证日= g ( 日) 因为日是g 的子代数，由定义1 3 有 日，h c _ h ，所以日g ( 日) 只须证日2 以( h ) 即可v x e g ( 日) ，设x = 鸭+ 峨+ ，其中口，b e f v h e h ，则有 乃，x - a x i 如+ 咄+ h ，所以嘶呜+ 毛+ 应为对角方阵， p j f 以x = 鸭+ 峨+ 也应为对角方阵，故x h ，即h2 以( 日) 所以h = g ( 日) 由定义1 1 l 知，h 是李代数g 的c a r t a n 子代数口 定理2 6s o * ( 2 n ) 的c a r t a n 子代数是 h = 抛( ，x 2 ，一五，一屯，i i i ，i ) i 黾r ，i k 刀 证 我们已知s d 牛( 2 以) 的基底为气= 一e “枞i 尼，玎 ， = f ( 乓肿，一乓一。) 1 1 七 歹，z ) ，c 村= f ( e 峨，i e 。) l l - - k j - ， 令日= 疣昭( 五，x 2 ，_ ，一五，一x 2 ，- x ) l x , r ，1 尼咒) ，又设五h 宰，定义为 以( 办) = ，v h eh 贝0 有，v h eh ，【j l z ，如】= 0 ， 1 尼= j n ； 办，如 = ( 一) 如= ( 五一乃) ( 厅) 气， 1 后j n ； j l z ，】= ( + ) 毛= ( 乃+ 乃) ( 办) ， 1 k 歹n ； j f l ，c 村】= 一( 魂+ ) q = 一( 友+ 乃) ( 办) c 0 ， 1 足 歹n 由引理2 1 可知，h 即为s o * ( 2 n ) 的c a r t a n 子代数，日的根系 a = 以一名，( 五+ a j ) 1 1 t ，2 ，1 尼 ，? ) ， 而4 ，其中1 f ；el ，z ，1 尼 刀，为对应根子空间的基口 下面我们令 1 4 东北师范大学硕士学位论文 邑矗= o 则所有的也厶的集合即为h ，再令 - 4 - = r 一鲰0 ) = ，( 三引 e _ 4 + a d = i 心。0 ) - & _ 乃- - - - ( 孑毛一：) = 一母0 岛 0 一以 1 k 歹i t 1 尼 歹拧 1 尼 j 刀 1 七j 刀 1 k j 刀 设乩一乃= & 一乃1 1 后- ，玎) ，g 五+ 乃= + 乃l l - k j ， g 一( 五一乃) = e ( 五+ 乃) 1 1 尼 ，z ， 则日和一乃，g 士( 五+ 乃) 的线性组合就是s o * ( 2 行) ，于是我们就得到s o * ( 2 刀) 的结构公式 定理2 7s o 木( 2 以) 的结构公式是 耳，吼 - 0 ， 吼 ，色 _ 喊， r ，正口】= 以， 驴已， 对v h i ，h 2 h 对任一根口 对任一根口 口 若a + s 不是根 若口+ 是根 引理2 2 嗍日是李代数g 的r 砌子代数，设x ，】，日，则 ( x ，】，) = 纵x ) 矽( 】，) ， ( 1 ) 徙 其中a 是日的根系，是根子空间g 尹的维数 证设缈是g 的权，由x eh ，则a d x 在子空间g 口中的特征根都等于烈x ) ，因 1 气 东北师范大学硕士学位论文 此( 口趔) 2 在子空间g 口中的特征根都等于缈( x ) 2 于是 吒( a d x ) 2 = 纵x ) 2 因为 ( x ，x ) = ( 日锻) 2 = 烈x ) 2 设x ，】，h ，贝0 ( x + 】厂，x + 】厂) - z 缈( x + 】，) 2 徙a = 烈x ) 2 + 2 纵x ) 认】，) + 似】，) 2 非挥非 = ( x ，x ) + 2 z 烈x ) 伊( 】，) + ( y ，】，) 徙 ( 2 ) 另一方面， ( x + y ，x + y ) = ( x ，x ) + 2 ( x ，y ) + ( 】，i - ) ( 3 ) 比较( 2 ) ，( 3 ) 两式即得( 1 ) 式口 我们已经知道若x s o 木( 2 阳) ，则 x = ( 苫一二，_ 十，( 三2 ) ，其中m 7 = 一m ，恐7 = 一是 一以2 心十= 苫甜z 仨n 2 ) 0s o * ( 2 n ) 懈。) 则s s o * ( 2 n ) 是s o * ( 2 n ) 的子代数下面我们来求一下s s o 母( 2 ，z ) 的根系 易知 h =h ”k = 是s s o * ( 2 n 1 的c a r t a n 子代数， 下面我们计算 ( 甄五，嘴) o 一丑 1 6 o 一无 五= o 七= 1 东北师范大学硕士学位论文 特别地， = 2 ( 五敝一友以一乃从+ 乃一十以从+ 乃从+ 以以十乃以) k j k ，= l = 4 ( ，z 一1 ) 五版 ( 以 ，毛厶) = 4 ( 刀一1 ) 以2 k = l 我们要将根乃一名，( 1 f ，2 ) 及( 五+ 乃) ( 1 k ，z ) 嵌入日，由定义1 1 2 知我们首 先要在日中寻求一元素以，使得 ( 吼矗，心鸭) = 五一乃 对任意日小 h ，即对任意丑，丸适合条件五= o k = l 由( 1 ) 及( 2 ) 得 4 ( n - 1 ) z 乃鸬= 五一乃， 对任意五，无适合条件以= o 这时一定有 从= c + l j ：后+ j = 尼 4 n 4 1 c 一s2 j 4 n 4 c s 季k ，j 1 7 ( 2 ) 心以 + 版+ 一 心乃 + 五 “ 。踽 + 纷 一 段k 乃 一 五 。踽 = ， + 以k 乃 + 五 。 2+ 一 从k 乃 一 五 。蹄 + 一 版x 乃 一 以 。镍 = 纷 + 版x 乃 + 磊 。 2+ 一 版x 乃 一 五 。踽 2 = 纷乃 + 以五 。踽 4 = 东北师范大学硕士学位论文 而c 为某一常数，又因以= o ，i 故c = 0 因此 从= l j ：七 4 n 一4 4 n 4 o s2j s k j 这样，如将h 木与h 视为同一，并记 e = r 一纠 就有 同理 根的长度平方 五一以= 去( 也一q ) ， 1 尼，z 幺+ 乃= 去( 峨+ h i ) ， 1 - 后 以 一九一乃= 去( 一巩一h i ) ，l 岔 歹挖 ( & 一乃，五一乃) = ( 去) 2 c 域一h j ，峨- h i ， l k j 终 = 雨( 4 刀_ 4 ) 2 = 丽1 ( ( 五+ 乃) ，( 以+ 乃) ) 1 尼 歹玎 = ( 石与) 2 ( ( 吼+ h i ) ，( 也+ q ) ) = 雨( 4 胛- 4 ) 2 = 孬1 如以咯= 石与域( 1 尼行) 作为胛维欧式空间的一组正交基，则( 吃，气) = 上4 n - 4 ， 于是日由一切向量z k e k ( 从r ，版= o ) 组成于是我们有下面的定理， k = l 1 8 东北师范大学硕士学位论文 定理2 8s o 木( 2 n ) 的子代数s s o 木( 2 刀) 的根系为 = 岛一e j , ( + 巳) 1 1 f ，以，l k 歹聆 1 3 1 9 东北师范大学硕士学位论文 三、李代数g 木( 朋，s ，c ) 的性质 定理3 1 g 掌( 2 n ，s ，c ) 的基底为 呜= 一e 椭j l 尼，j - 刀) ，= f ( + k 伽+ 。) 1 1 尼，刀) ， = 毛肿，一e 肿。1 1 尼j 刀) ，= f ( 色卅，+ 易卅。) i l 尼，门) ， = e 峨，一乜“。1 1 尼，刀) ，弓= f ( e 眠，+ e “。) 1 1 尼咒 ， g 宰( 2 n + 1 ，s ，c ) 的基底为q = e l l ， = 巨+ 。 l e i , n + l + k 1 1 尼刀) ，吃= f ( 巨+ t ，。+ 巨，。+ ，+ 。) 1 1 七，z ) ， 圪= 巨1 + 。一乞小1 1 尼，? ，峨= f ( 巨1 + 。+ 乜小) l l _ k - 刀) 以= 一e “椭1 1 后，n ，= f ( + e “枞) 1 1 尼，z ， 毛= b 肿一乃卅女1 1 j | 珂 ，= f ( 晟一+ 易卅i ) 1 1 尼，z ， = e 吨i ，一e 1 1 1 后j 玎) ，弓= f ( e 峨，+ e “t ) 1 1 尼，z ， 证 当m = 2 n 时，设x = r 1 + 退g 木( 2 n ，s ，c ) ，其中 r = ( 三三) ，恐= ( 譬苫 ， 其中a ，b ，c ，d ，m ，n ，p ，q 均为n x n 阶实矩阵 由定理1 3 有 x s + s x ：0 ( ：三：) ( 台) + ，( ； ( l 0 ) + ( 台 ( 三三 一，e 础护 有 a = 一d 7 ，b = 一b 7 ，c = 一c 7 ，p = 尸，m = q 7 ，n = n 7 则 东北师范大学硕士学位论文 x = 孙忙甜其中b = - b ，c “一加旷 故g 枣( 2 玎，s ，c ) 的基底为 如= 一e “枞 1 s k ，js ，1 ) ， = 佤肿厂易卅。 1 sksjs 以) ， c o = e + t ，厂e + ，t 1 sksj s ，z ) ， = f ( + e “枞) 1 1 sk ，js 玎) ， = i ( e k 卅，+ 弓肘女) 1s ksjs ，z ) ， 弓= f ( e 峨+ e “t ) 1s ksjs ，z ) ， 同样的方法当m = 2 n + l 时，设x = 石+ i t z g 宰( 2 n + 1 ，s ，c ) ，其中 互= 善兰兰 ，互= 手参量 ， 其中矿，形，日，r 均为n x l 阶实矩阵，e ，f ，均为l x n 阶实矩阵，u ，g 均为实数， a ，b ，c ，d ，m ，n ，尸，q ：k i j f r on n 阶实矩阵 10 珊z 甜 则g 宰( 2 n + l ，s ，c ) 的基底为q = w l 。 ， 吸= 巨眠。- - e l 肿。+ 。 1s k s ，z ， 圪= 巨1 + 。- l 小 1s k s n ， 如= 一e “枞 1 sk ，js ，z ， b q = 饵k ，。j e j ? n h k 1s ksjs 吣， c b = r eh k j - e + j ? k 1s ksjs 哦， r = f ( e + 。，。+ 巨，肿。+ t ) 1 1 后刀， k = f ( 巨，。+ 。+ 色+ ，+ ) 1 1 尼，z ， = f ( + 己+ ，。+ 。) 1 1 尼，咒) ， 0 = f ( 乓，。+ j + 髟，。“) 1 1 尼歹”) ， 弓= f ( e + 。，+ e + ，。) 1 1 j | 刀) 口 由于m 为偶数和奇数时，g 木( 聊，s ，c ) 的基底不同，故下面对于g 木( 聊，s ，c ) 的性质的讨论， 我们只给出当m 为偶数时的详细证明，对于m 为奇数时的情况，证明方法与m 为偶数时 的完全一样，所以我们直接给出结论 2 1 东北师范大学硕士学位论文 定理3 2 g 木( 聊，s ，c ) 的维数是m 2 个 证 当m = 2 n 时，由定理3 1 的证明可知，若 f ，彳b 、( s t 小l c j “l p 其中b = 一b 7 ，c = 一c 7 ，p = 尸，n = n 7 ， 先对x 的实部讨论基的个数： 对么和d ，取矩阵一e “枞( 1 后，刀) ，：f i n 2 个； 对b ，取矩阵e 肿，一e 肿。( 1 | j ，z ) ，则基的个数为三2 ，z ( 刀一1 ) 个； 对c ，取矩阵e 峨，一e “。( 1 后 _ ，胛) ，有委刀( 胛一1 ) 个； 则x 的实部基的总数为2 n 2 一刀个 再对x 的虚部讨论基的个数： 对m 和q ，取矩阵f ( + 色“枞) ( 1 后，力) ，有，1 2 个； 对，取矩阵暖肿i ( 1 k ，z ) ，有n 个， 再加上所有的f ( 色肿，+ 乞卅。) ( 1 k j ，z ) 共有丢n ( ，z 一1 ) 个； 对p ，取矩阵i f 帆t ( 1 k 玎) ，有n 个， 再加上所有的f ( e 托，+ e “t ) ( 1 k j 刀) ，有去1 玎( 珂一1 ) 个。 则x 的虚部基的总数为2 咒2 + n 个 所以x 的基元素总数为4 玎2 个 故g 宰( 2 n ，s ，c ) 的维数是( 2 ，z ) 2 个 同样的方法可求得g 木( 2 n + 1 ，s ，c ) 的维数是( 2 n + 1 ) 2 个 综上有g 枣，s ，c ) 的维数是m 2 个口 定理3 3g 宰( 聊，s ，c ) 的中心为和i l m i a er ，因而g 木( 聊，s ，c ) 不是单李代数 证 当m = 2 n 时，先讨论刀= 2 的情况，设x c ( g 木( 4 ，s ，c ) ) ，由定理3 1 我们可 设 x = a l la 1 2 0 6 1 4 la 2 2一岛4 0 0 e 3 2 一q l - a 2 l e 3 2 0 一a 1 2 一口2 2 4 。4 ： 吃。畋： 9 3 i9 3 2 9 3 29 4 2 2 2 彳，z 。 凡4 磕 4 。畋。 4 ：吐： 东北师范大学硕士学位论文 其中q 畸p q ，c 1 5 i ，d 1 5 i ，氏，g 畸r ，l k ，j 4 则由中心的定义1 4 ，有x 与g 宰( 4 ，s ，c ) 的基底作括积等于0 于是 x，1。一，。 _ 6 1 4 、1f ，o 鸣0 。h2 如g a 。 0 jl 岛： 一2