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z y g m u n d 函数的调和拟共形形变延拓 摘要 在本文中，我们主要讨论实轴上的z y g m u n d 函数在上半平面有调和拟共形形变 延拓的条件，并讨论与上半平面的调和拟共形映射之间的关系 关键词：z y g m u n d 函数；拟共形形变；调和函数；拟共形映射 作者：王丽君 指导老师。沈玉良教授 z y g m u n d 函数的调和拟共形形变延拓 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ew i l lg i v eac h a r a c t e r i z a t i o no ft h ez y g m u n df u n c t i o n so nt h e r e a la x i sw h i c hh a v eh a r m o n i cq u a s i c o n f o r m a ld e f o r m a t i o ne x t e n s i o n st ot h eu p p e r - h a l f p l a n e ，a n dd i s c u s st h er e l a t i o nb e t w e e nt h o s ef u n c t i o n sa n dh a r m o n i cq u a s i c o n f o r m a l m a p p i n g so i lt h eu p p e r - h a l fp l a n e ， k e y w o r d s ： z y 口n u n df i a n c t i o n ；q u a s i c o n f o r m a ! d e f o r m a t i o n ；h a r m o n i cf u n c t i o n ； q u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g i i w r i t t e nb yw a n gl i j u n ；e db yp r o f 。s h e ny u l i a n g 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律 责任。 研究生签名：兰函震 e l期： 鲨翌： 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： 垒两霆 e t期： 翌! ：皇 导师签名： 期： 中牛 z y g m u n d 函数的调和拟共形形变延拓 引言 引言 调和函数是经典复分析的重要内容，并且在许多问题中有着重要的应用本文 将讨论调和函数和拟共形形变以及拟共形映射之间的关系我们主要讨论实轴上的 z y g m u n d 函数在上半平面有调和拟共形形变延拓的条件，并讨论与上半平面的调和拟 共形映射之间的关系 实轴r 上的一个连续函数妒属于z y g m u n d 类( 见【z y l ，【z y 2 ) ，记为a 。( r ) ，如果对 于所有实数z 和h 0 ， i 妒( z + h ) 一2 妒( z ) + 妒( z 一 ) i = d ( ) z y g m u n d z y l 】在研究实分析和三角级数理论时，引入了z y g m u n d 函数的概念他得到 了这类函数许多重要的性质，并证明了单位圆周上的z y g m u n d 函数在h i l b e r t 变换作 用下的不变性z y g m u n d 函数在复分析的研究中同样有着十分重要的作用( 见【d u 】， 【c a r ，【p o ，【z y 2 】) ，尤其在t e i c h m i l l e r 理论研究中的应用( 见【gh 】，【c l ，【c s ，【n a 2 】，i n v 】， 【酬， r c i ， e 呛i l ，【t e l ，【t w l ) 拟共形映射理论已有八十多年的历史了它的创始人l a v r e n t i e v 与a h l f o r s 分别 在研究空气动力学问题与n e v a n l i n n a 值分布时推广了共形映射的概念，开始探讨拟 共形映射理论拟共形映射的研究本身具有重要的理论意义，并且有着重要的应用 t e i e h m f i l l e r 就应用拟共形映射研究了经典的p d e m a n n 模问题后来在a h l f o r s 与b e r s 等人的影响下，拟共形映射和t e i c h m i l l e r 空间被广泛深入地进行研究( 见【g a 】，【g l ， 【l e 】，f n a l 】) ，并在其它数学分支的研究中起着重要的作用例如，t h u r s t o n t h 】在研究 三维流形的几何和拓扑以及s u l l i v a n 与m c m u l l e n ( 见【m s 】，【s u ) 在研究复动力系统中都 非常本质地应用拟共形映射和t e i c h m i i l l e r 空间 拟共形映射的边界问题始终是拟共形映射理论中的基本问题b e u r l i n g - a h l f o r sf b a 证明了上半平面h 到自身的拟共形映射的边界值是实轴r 上的一个拟对称函数，并 l z y g m u n d 函数的调和拟共形形变延拓 、 引言 且对于实轴上的一个拟对称函数，通过熟知的b e u r l i n g - a h l f o r s 扩张给出了上半平面的 一个拟共形延拓后来，d o u a d y e a r l e 【d e 】给出了单位圆周s 1 上的一个拟对称函数 到单位圆的一个拟共形延拓该延拓具有某种共形不变性，因而在t e i c h m f i l l e r 空间 中有着重要的应用 由于z y g m u n d 函数和t e i c h m f i l l e r 理论之间的密切关系，近年来很多学者对z y g - r o u n d 函数和拟共形形变之间的关系进行了深入的研究根据a h l f o r st a b l 的定义，区域 d 上的个复值函数，称为拟共形形变，是指，在d 内有广义导数5 ，且5 ，工，o 。( d ) r e i c h c h e n r c j 证明了对于单位圆周上的一个连续函数，当f ( e 徊) a 。( r ) 时，在 单位圆上存在拟共形形变延拓反之，如果，在单位圆上存在拟共形形变延拓，并且 满足规范条件m 【- ，( 名) 】= 0 ，则，( ) a 。( r ) 在研究z y g m u n d 函数的f o u r i e r 系数 时，沈玉良【s h 】给出了单位圆周上的一个连续函数是z y g m u n d 函数的充分必要条件是 存在全平面上的拟共形形变延拓类似地，g a r d i n e r - s u l l i v a n 【g s l 证明了实轴上一个 实值z y g m u n d 函数，可以延拓为上半平面的拟共形形变后来，r e i c h r 卅通过其他 方式给出了，在上半平面上的一个拟共形形变延拓 众所周知，对于单位圆周s 1 上的一个拟对称函数，它的p o i s s o n 积分p ，是一 个微分同胚一个很自然的问题是p ，是否是拟共形映射m a r t i o m a j 最先考虑了 这个问题，并给出了p ，是拟共形映射的一个充分条件之后，有不少学者开始研究 这个问题，并且说明了p ，并不总是一个拟共形映射( 见【p s i ) 最后，p a v l o v i d 【p a 】给 出了p ，是拟共形映射的一个完整刻画：p ，是拟共形映射的充分必要条件是，满足 b i l i p s c h i t z 条件，且，7 的( 在单位圆周上的) h i l b e r t 变换有界后来，k a i a j p a v l o v i d 【k p 】对于实轴上的一个拟对称函数，证明了类似的结果： ，在上半平面存在调和拟 共形延拓的充分必要条件是，满足b i - l i p s c h i t z 条件，且，7 的( 在实轴上的) h i l b e r t 变 换有界 于是，一个很基本的问题是；对于一个z y g m u n d 函数，是否存在调和拟共形形变 延拓? 对于单位圆周的情形，蔡永茂 c a 给出了这个问题的完整解答本文将考虑实 轴上的情形由于上半平面的调和函数并不一定有其边界值完全决定，因而这种情形 2 z y g m u n d 函数的调和拟共形形变延拓 引言 要比单位圆周的情形复杂我们需要重新定义h i l b e r t 变换，并将单位圆上的关于解析 函数的若干经典结果推广到上半平面我们将得到实轴上一个z y g m u n d 函数存在调和 拟共形形变延拓的完整刻画，并讨论与上半平面的调和拟共形欧射之闽的关系 3 z y g m u n d 函数的调和拟共形形变延拓一z y g m u n d 函数的h i l b e r t 变换 第一节z y g m u n d 函数的h i l b e r t 变换 在本节中，我们将讨论实轴上z y g m u n d 函数的h i l b e r t 变换，为后面的定理证明做 准备 首先我们给出一些基本概念及记号a = z ：m 0 ， i 妒( z + h ) 一2 妒( z ) + 妒( z 一九) i = d ( h ) z y g m u n d z y l 】得到了这类函数许多重要的性质，并证明了z y g m u n d 函数在( 单位圆周 上的) h i l b e r t 变换作用下的不变性 我们先简单回顾在通常意义下实轴上扩- 可积函数的h i l b e r t 变换( 见【g 盯】) 对于 ，妒( r ) ，1 p ，考虑p o i s s o n 积分 州加妻e 南弛) d t 名= 州剪 当1 p 0 ，使得对任意的石h ，i ( z ) i m 从而对任意名1 ，z 2 ， i 妒( 以) 一妒( 勿) l m i z ：一钇i 取z o r 由柯西准则容易看到，l i m ：韧妒( 名) 存在由z o 的任意性， 妒可连续延拓 到r 上，延拓后仍记为故妒在噩噩u r 上连续 任取z o ，南r 在皿上取两点列 气) ， 磊1 ) ，使得l j l 。磊= 幻，l i m o o 磊= 三d 对不等式 i 妒( ) 一妒( 磊) ism l 一磊i 网边取做限得m 翔) 一妒渤) lsn i i z o 一纫卜所以， 妒l r a 1 下面证必要性由于妒i r a 1 故二o o ( r ) 于是， 毗名) = 妻e 伽( 函1 肌) 出 ：熹厂佃( 士一忑1 ) ( t ) 出t t = 一 ii - 田llj u 2 7 r t ，一、一z 一互”、7 = 点( 再i 一函1 i + ：一熹e ( 吉一函1 帅皿 = 一点e - 南+ 南出 = 丽1e 南一南蹴2 丽上【研一研j 叭u = 熹e 耕m ( 1 1 ) 2 丽上飞j 飘可妒咿l 叫 卜回1 卞，鼻 熹+ 一o o 耕m 2 仉 一 一2 ) 2 ( t 一三) ? “。 令c 是由【一r ，矧和r 一 z l z = r e i o , 0 0 7 r ) 一起构成的围线，其中r 足够大，使 c 包围了z 令 ”) = 耕地t h u r z y g m u n d 函数的调和拟共形形变延拓 二 关于z y g m u n d 函数的调和拟共形形变延拓 由留数定理， 令月一o o ，则 显然， r e s t 一：，( ) = 互1 ) 砒= 丽1 上r 冗，( t ) 出+ 熹z ，( ) 出 j ：沈s t = z 邢) = 堕攀爷螋 ，i t = 名训z ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) 觑s 豳m ) = 葡1 一0 0 ，( t ) j l i m 土f o 霄，( m 埘) t r e 谚硼 ( 1 4 ) j , i r a ! f o 霄f ( r e 卯) t m 坩瑚 = 恕熹z 万函驾勰郴即彬抬 由于妒( z ) = o ( i z l 2 ) ，z _ 0 0 ，由控制收敛定理，上式变为 - 1 o 霄般 函攀高等她t 叫硼- o ， 从而由( 1 3 ) ，( 1 4 ) ，( 1 5 ) 得， 土2 7 r i 厂佃o o 耕胁互lf f 一。o 弛胁雠洲亡) - m ( 1 6 ) 所以由( 1 1 ) ，( 1 6 ) 得到p 妒= 由引理2 可知在噩噩上有界 现在我们可以证明本文主要结果 定理1 若，a 聿( r ) ，则，存在上半平面的调和拟共形形变延拓f ，使得当名一时， f c z ) = o ( i z l 2 ) 的充分必要条件是f i h f a 1 证明先证必要性设，存在上半平面的调和拟共形形变延拓f ，使得当名一o 。时， f ( z ) = o ( i z l 2 ) 于是，f = 妒+ 多，其中妒，妒均为解析函数由于f 是拟共形形变，而 5 f = 一1 ，所以 m = 1 秒i = i 和l m 其中m 为常数 1 1 z y g m u n d 函数的调和拟共形形变延拓 二 关于z y g m u n d 函数的调和拟共形形变延拓 由引理3 可知，妒在h u r 上连续，且妒l r a 1 。又由于，a 。( r ) ，从而妒在t _ j r 上连续，妒i r 九 ) ，且当名_ o o 时，妒( z ) = o ( i z l 2 ) 于是，由推论1 可以得到， 施) 一i h f ( z ) = 比) + 两一i p 出) + h d 2 ( x ) = 妒( z ) 一i h 妒( x ) + 妒( z ) 一i h ! b ( x ) = 妒( i ) 一妇妒( t ) + 2 妒( z ) 一妒( t ) 一i z 妒( i ) = 2 可两一i x f ( i ) + 妒( t ) 一万两 由于妒a 1 所以，一t 日，a 1 再证充分性由于 2 ，= ，一i h f - t - ，+ 1 日，2 ( ，+ 1 日，) + ，+ i h f , ，一 - 、 所以 ，= 三网- f f - b i l l f ) 因为，a 。，故，a 雌于是，a f 和a ，是分别是以，+ i h f 和7 + i h - 为边界值的 解析函数记 f = 丢万+ 知 则f 是一个以，为边界值的调和函数由假设可知， ，+ i h f 一= f 面a 1 由于a 厂在皿上解析，在u r 上连续，且以，+ 1 日，为边界，由引理3 可知，( a 厂) 7 有 界，从而卵= ( a 力7 2 有界容易看出，当z _ o o 时，a y ( z ) = o ( i z l 2 ) ，a f ( z ) = o ( i z l 2 ) ， 从而f ( z ) = o ( i z l 2 ) 所以，f 是，在上的调和拟共形形变延拓，且当z _ 啼i x ) 时， f ( z ) = o ( i z l 2 ) 定理2 若，a 是r 上的实值函数，则，有调和拟共形形变延拓f ，使得z _ 时，f ( z ) = o ( n 2 ) 的充分必要条件是，a 1 ，h f a 1 证明充分性显然，只需证必要性由定理1 知，一t 日，a 1 ，所以 了词= + 毫h i a 1 】2 z y g m u n d 函数的调和拟共形形变延拓 二 关于z y g m u n d 函数的调和拟共形形变延拓 又，是实值函数，所以 故 且p ，a 1 ，从而日，h i | + t h | = | + t h | a 1 2 l = u t h f 、- i - u + t h n a 1 ， 1 3 z y g m u n d 函数的调和拟共形形变延拓 三 z y g m u n d 函数与调和拟共形映射 第三节z y g m u n d 函数与调和拟共形映射 实轴r 上严格递增的同胚妒称为拟对称函数，如果对某一常数m 1 和任意z r 以及任意t 0 ， 一1 ! ! 犁型j 蝉 0 时，对任意z ，y r ， 1 一i t l m 瞥1 邯i m 因而五( z ) = z + t f ( x ) ，一击 t 击满足b i l i p s c h i t z 条件 由于，a 1 ，a i 在上解析，在皿ur 上连续，且以，+ t 日，为边界又由于 日，a 1 ，由引理3 可知，( a y ) 7 有界，并且( ，+ i 日，) 7 是上的有界解析函数( a y ) 7 的边界值于是& ( a ，) 7 是皿上的有界调和函数，且有边界值，易知m ( a ，) ，= p 厂7 另一方面，s ，7 在上解析，且以，+ i h o y 为边界易知r e ( s y ) = p ，7 ，因而 r e ( a y ) = ( s ，7 ) = p ，注意到j 仇s ，协) = 0 ，所以s f = ( a y ) 一i j m ( a ，) 俅) 由 z y g m u n d 函数的调和拟共形形变延拓 三 z y g r n u n d 函数与调和拟共形映射 子( a f ) 7 在皿上有界，故s f 在上有界，而，+ i h o f 7 是7 的边界，所以凰，7 在r 上有界从而日0 f l = h o ( 1 + t f 7 ) = t h o f 7 在r 上有界所以拟对称函数曲线 ( z ) = z + t f ( x ) ，一击 t - h ，有调和拟共形映射延拓 注一个很自然的问题是定理3 的逆是否成立r 对于r 上实值z y g m u n d 函数，若 存在一条光滑的拟对称函数曲线 ( z ) = z + t f ( x ) + d ( t ) ，使得五有调和拟共形映射延 拓，是否在聊上有调和拟共形形变延拓? 1 6 z y g m u n d 函数的调和拟共形形变延拓 参考文献 参考文献 【a h 】a h l f o r s ，l v ，q u a s i c o n f o r m a ld e f o r m a t i o n sa n dm a p p i n g si nr n ，j a n a l m a t h 3 0 ( 1 9 7 6 ) 7 4 9 7 b a 】b e u r l i n g ，a ，a n da h l f o r s ，l v ，t h eb o u n d a r yc o r r e s p o n d e n c eu n d e rq u a s i c o n f o r m a l m a p p i n g s ，a c t am a t h 9 6 ( 1 9 5 6 ) ，1 2 5 - 1 4 2 【c a 】c a iy o n g m a o ，p o i s s o ne x t e n s i o n so fz y g m u n df u n c t i o n s ，j s o o c h o wu n i v e r s i t y , 2 1 ( 2 0 0 5 ) ，1 7 - 1 9 d e 、d o u a d y , a a n de a r l e ic j ￥c o n f o r m a l l yn a t u r a le x t e n s i o n0 1h o m e o m o r p h i s m so t h ec i r c l e ，a c t am a t h 1 5 7 ( 1 9 8 6 ) ，2 3 - 4 8 【d u 】d u r e n ，p l ，t h e o r y 吖h ps p a c e s ，a c a d e m i cp r e s s ，1 9 7 0 【g8 】g a r d i n e r ，f p ，t e i c h m i i l l e rt h e o r ya n dq u a d r a t i cd i f f e r e n t i a l s ，w i l e y - i n t e r s c i e n c e ， n e wy o r k ，1 9 8 7 g a r 】g a r n e t t ，j b ，b o u n d e da n a l y t i cf u n c t i o n s ，a c a d e m i cp r e s s ，1 9 8 1 c h g a r d i n e r ，f p a n dh a r v e y , j ，u n i v e r s a l t e i c h m f i l l e r 8 p a c e ，i nh a n d b o o ko f c o m p l e xa n a l y s i s ：g e o m e t r i cf u n c t i o nt h e o r y ，n o r t h h o l l a n d ，a m s t e r d a m ，v 0 1 1 ( 2 0 0 2 ) ，4 5 7 - 4 9 2 【c l g a r d i n e r ，f p a n dl a k i c ，n ，q u a s i c o n f o r m a l t e i c h m i i l l e rt h e o r y ，m a t h s u r v e y s m o n o g r 7 6 ，a m e r m a t h s o c ，p r o v i d e n c e ，r i ，2 0 0 0 【g s jg a r d i n e r ，f p a n ds u l l i v a n ，d p ，s y m m e t r i cs t r u c t u r e so n ac l o s e d 比r t ，e ，a m e r j m a t h 1 1 4 ( 1 9 9 2 ) ，6 8 3 - 7 3 6 【k p 】k a l a j ，d a n dp a v l o v i t ! ，m ，b o u n d a r yc o r r e s p o n 应n c e u n d e r q u a s i c o n f o r m a l h a r m o n i cd i f f e o m o r p h i s m so fah a l f p l a n e ，a n n a e a d s c i f e n n m a t h 3 0 ( 2 0 0 5 ) ，1 5 9 - 1 6 5 【l e 】l e h t o ，0 ，u n i v a l e n tf u n c t i o n sa n dt e i e h m f l l l e r8 p a c e s ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ， 1 7 z y g m u n d 函数的调和拟共形形变延拓 参考文献 1 9 8 6 眦a 】m a r t i o ，o ，o nh a r m o n i cq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g s ，a n n a c a d s c i f e n n m a t h 1 9 6 8 ，3 - 1 0 【m s 】m c m u l l e n ，c t a n ds u l l i v a n ，d ，q u a s i c o n f o r m a lh o m e o m o r p h i s m sa n dd y n a m i c s ： t h et e i c h m 也l l e rs p a c eo fah o l o m o r p h i cd y n a m i c a ls y s t e m ，a d v m a t h 1 3 5 ( 1 9 9 8 ) ， 3 5 1 3 9 8 f n a l 】n a g ，s ：t h ec o m p l e xa n a l y t i ct h e o r y 巧t e i c h m f d l e rs p a c e s ，w i l e y - i n t e r s e i e n c e ， 1 9 8 8 【n a 2 】n a g ，s ，o nt h et a n g e n ts p a c et ot h eu n i v e r s a lt e i c h m i 2 1 1 e rs p a c e ，a n n a c a d s c i f e n n 1 8 ( 1 9 9 3 ) ，3 7 7 - 3 9 3 【n v 】n a g ，s a n dv e r j o v s k y , a ，d i f f ( s 1 ) a n dt h et e i c h m i i l l e rs p a c e ，c o m m u n m a t h p h y s ( 1 3 0 ) 1 9 9 0 ，1 2 3 - 1 3 8 【p a 】p a v l o v i 6 ，m ，b o u n d a r yc o r r e s p o n d e n c eu n d e rh a r m o n i cq u a s i c o n f o r m a lh o m e o m o r p h i s m s o ft h e u n i td i s k ，a n n a c a d s c i f e n n m a t h 2 7 ( 2 0 0 2 ) ，3 6 5 - 3 7 2 ， 【p o p o m m e r e n k e ，c h ，u n i v a l e n tf u n c t i o n s ，g o t t i n g e n ：v a n d e n h o e c ka n dr u p r e c h t ，1 9 7 5 p s 】p a r t y k a ，d a n ds a k a n ，k ，q u a s i c o n f o r m a l i t yo fh a r m o n i ce x t e n s i o n s ，j c o m p u t a p p l m a t h 1 0 5 ( 1 9 9 9 ) ，4 2 5 4 3 6 f r c 】r e i c h ，e a n dc h e nj i x i u ，e x t e n s i o n sw i t hb o u n d e d 否一d e r i v a t i v e ，a n n 。a c a d 。s c i f e n n m a t h 1 6 ( 1 9 9 1 ) ，3 7 7 - 3 8 9 陋】r e i c h ，e ，o n s o , t h er e l a t e de x t r e m a l p r o b l e m s ，r e v r o u m m a t h p u r e sa p p l 3 9 ( 1 9 9 4 ) ，6 1 3 - 6 2 6 r e i jr e i m a n n ，m ，o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g s ， i n v e n t m a t h 3 3 ( 1 9 7 6 ) ，2 4 7 - 2 7 0 s t r u c t u r a ls t a b i l i t yi m p l i e sh y p e r b o l i c i t y o rk l e i a n i a ng r o u p s ，a c t am a t h 1 5 0 ( 1 9 8 5 ) ，2 4 3 - 2 6 0 f s h s h e ny u l i a n g ，f o u m e rc o e f f i c i e n t so yz y g m u n df u n c t i o n sa n da n a l y t i c f u n c t i o n sw i t hq u a s i