（基础数学专业论文）流形上分析的若干问题.pdf

摘要 本人在博士后期间的研究工作主要集中于流形上的分析。包括三个部分 第一章，讨论完备常负曲率流形上正调和函数的面积积分 s n ) ( ) 一 v f 2 d v j t g ( f 】 关于无穷远边界上的调和测度几乎处处有限的性质。其中t g ( ) 为非切向锥。从而把 s t e i n 1 1 在欧式上的结果推广到流形上 第二章，在满足 v ( x ，2 r ) d o v ( x ，r ) ，v x m ，r 0 脚，州) 茎痞，e m t 。 的完备流形上，得到s o b o l e v 不等式 1 1 1 1 q c k ，d 。舶口( | | v ，l l p + | | ，1 1 p ) ，2s p o ， ：i 1c ；1 其中v ( x ，r ) 是中心在x m 半径为r 0 的测地球的体积，h ( x ，y ，t ) 是m 上的热核 从而改进了l if 4 j 4 的结果。具体的说明参见第二章r e m a r k2 1 1 第三章和第四章在不同的初始值条件下考虑完备非紧流形上热流 l丝：，(。)，ojt ” l ”( o ) = ( 。) 的长时间解存在性。在第三章中当l i v u 0 1 1 。充分小时，利用k a t o 【1 5 1 处理n - s 方程临界 情形的方法，改进了l i 【1 4 1 中的结果。具体的说明参见第三章。第四章中要求目标流形 具有非正截面曲率，同时盯( u o ) 1 1 l 9 ( m ) ，p 1 在l i 【1 6 】的基础上用更精细的估 计，去掉了 1 嘲中对a m ) 0 的要求。其中f ( ) 是的t e n s i o n f i e l d a ( m ) 为m 的第 一特征值。具体说明参见第四章。 a b s t r a c t m y r e s u l t sc o n t a i nt h r e ep a r t s i nc h a p t e ri ，w es h o wt h a tt h ea r e ai n t e g r a l s ( ) ( ) = 1 v 1 2 d v 1 i 【 ) o fp o s i t i v eh a r l n o l f i ef u n c t i o n so nac o n s t a n tn e g a t i v ec u r v a t u r es p a c ef o r mi sa l m o s te v e r y w h e r ef i n i t ew i t hr e s p e c tt oah a r n l o n i cl n e o s u r eo ns ( o o ) i nc h a p t e ri i ，w el e tmb ea nnd i m e n s i o n a lc o m p l e t er i e m a n n i a nm a n i f o l ds a t i s f y i n g t h ed o u b l i n gv o l u m ep r o p e r t y y 扛，2 r ) 蔓d o v ( x ，r ) ， v x m ，r 0 a n da no n - d i a g o n a lh e a tk e r n e le s t i m a t e 一 日仕，x l t ) 0 、7 一y 陋，、t ) 4 t h e nw e g e tt h en e c e s s a r y s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h es o b o l e vi n e q u a l i t y f l l 。，口( 1 l v f i i p + l 刑p ) ( 2 p q l ，a n do b t a i nt h ee x i s t e n c eo fag l o b a ls o l u t i o n ，w h i c h i m p r o v e st h er e s u l ti n 【l s l 茁 l 如 小卜 = 一 塑挑吣 ，j-【 致谢 在两年的博士后期间，我得以完成我的博士后工作，我 要表示感谢的人有很多 感谢李嘉禹老师在学习，工作和生活等各方面对我的指 导和帮助还要感谢洪家兴教授和李大潜教授的帮助和教 诲感谢我的博士导师王斯雷老师，陈杰诚老师的帮助和支 持 我也感谢复旦大学数学系和数学所的各位老师及资料 室陆吉林等老师给我提供的帮助。 最后，我感谢楼红卫和刘晓风在学习和生活上给予的帮 助。 对其他帮助支持过我的人一并表示感谢! 当然还有小猫 白眉，感谢她带给我的快乐。 c h a p t e r l t h ea r e ai n t e g r a lo n n e g a t i v ec u r v a t u r e s p a c ef o r m 1 1i n t r o d u c t i o n i nt h es t u d yo fh a r m o n i cf u n c t i o n si n 珉寸1 ，t h ea r e ai n t e g r a l 【1 ( 护) = ( r 删) i v o “l s y l - n d y d x ) 1 2 ， p l a y sa n e s s e n t i a lr u l e ，w h e r e l v 刊2 = l 争耋i 帮 v o “i st h eg r a d i e n tw i t hr e s p e c tt ot h ee u c l i d e a nm e t r i c ，a n d r ：( z o ) = ( z ，g ) 】r 军+ 1 ：i x 一。o l a ，0 y 。) i n 毗4 1 ，t h ev o l u m ee l e m e n ti sd 儿1 = y - n - 1 d x l d x “d y ，a n di v1 1 2 = y s i v 0 n 1 2 ，w h e r e v 一1i st h eg r a d i e n tw i t hr e s p e c tt ot h ep o i n c a r 4m e t r i c s o ，o n eg e t s i v 一1 u 1 2 d v _ 1 = i v 0 u 1 2 y 1 d y d x i n ( r ：+ 1 ，d k l ) ，1 = ( 茁，可) ：茁= 。o ) i sag e o d e s i c ，s oi x x o i i se q u i v a l e n t t o d 一1 ( ( 。，g ) ，1 ) a t h e r e f o r e r 。( 。o ) = ( 茹，可) r 葺+ 1 ：d 一1 ( ( z ，掣) ，1 ) a ) ， 跏) ( 护) = ( 0 ) i v - l u l 2 帆) “2 c o n s e q u e n t l yw eg e t ac l e a re x p r e s s i o na n de x p l a n a t i o no ft h ea r e ai n t e g r a lu s i n gp o i n c a r 4 m e t r i co i lb 寸1 ab a s i cf a c ts a y s i fui sah a r m o n i cf u n c t i o ni nr 寸1w i t hr e s p e c tt o t h ee u c l i d e a n m e t r i c ，t h e ns ( u ) ( z ) i sf i n i t ef o ra l m o s ta l l i ti sc e r t a i n l yi n t e r e s t i n g t os e ew h e t h e r i ti sf i n i t ea i m o s te v e r y w h e r ei f “i sah a r m o n i cf u n c t i o nw i t hr e s p e c tt ot h e p o i n c a r 4m e t r i c 2 i fn = 2 ，i ti s c e x t a i n l yr i g h tb e c a u s eh a r m o n i cf u n e t i o n sa r ec o n f o r m a li i 】v a r i a n t i nt h i s p a p e rw ew i l ls h o wi t i si ng e n e r a lt r u e i f a c t ，w ec a ud e f i n et h ed 。r e ai n t e g r a lo n m l ys i m p l yc o n n e c t e dc o m p l e t em a n i f o l d zw i t 】1 “o n - p o s i t i v e8 e e t i o n a ic u r w t u r e r e c m lt h a ta d e r s o n s c h o e nf 2 d e f i n e dt h en o n t a n g e n “a j c o n e i n m d e f i n i t i o n1 1 1l e t1 ：r + _ m b eng e o d e s i cr a yi nm a s y m p t o t i ct oq s ( ) w i t h7 ( o ) = 0 t h e n 。n o n t a n g e n t i a l c a g n et da t0i s d o m a i no ft h ef o ”n t d = 硝( q ) = x m ：p ( x ，1 ) 0 玎ui s 。p o s i t i 8 h a r m o n i cf u n c h o no nm ，t h e ns ( u ) ( ) + c of o ra l m o s t a l l s ( 。) w i t hr e s p e c tt 。 h a r m o n i cm e a s u mo ns ( 。) w e c o n j e c t u r et h a tt h ea b o v er e s u l th o l d sf o ra n ym a n i f o l dw i t hn o n p o s i t i v e l ys e c t i o n a l c u r v a t u r e 1 2b a s i cf a c t s k 6 鼠圹扣：川2 毒 b e a b a i i i n 配l e t d 8 2 = 褊，t h e n ( 取，d s 2 ) 她 s p a c ef o r mo fn e g a t i v ec o n s t a n tc u r v a t u r e k 2 t h ed i s t a n c eo ft h i sm e t r i cw i l lb ed e n o t e d b yp ( x i ，x 2 ) f o r 茁1 ，x 2 巩，t h u s ，i ff 茁f = r 2 七， 加，扣：”南拈l s 厕1 + k r 2 ( 1 z ) i ti sk n o w nt h a tt h e h y p e r b o l i c l a p l a c i a n ( l a p l a c eo p e r a t o rw i t h r e s p e c tt ot h ep o i n c a r 6 m e t r i cd s 2 ) i s = ( 1 一l x l 2 ) 2 a 0 + 2 ( n 一2 ) ( 1l 。1 2 ) 。v o ， w h e r ea 0a n dv oa r et h el a p l a c i a na n dg r a d i e n tw i t hr e s p e c tt ot h ee u c l i d e a nn l e t r i e p o i s s o nk e r n e lt h a ts o l v e st h ed i r i e h l e tp r o b l e mf o r i sd e f i n e df o rx 惕a n d s “1b y 眦= ( 习毒 s oi ti sn o th a r dt os e et h a tt i l ep o i s s o nk e r n e lf o r 取w i t hd s 2i s r 如f ) = ( 丌丽而丽蕊2 e 研k p ( x 可) 了厕) “ b y ( 1 3 ) jw ec a no b t a i nt h a tt h eh a r m o n i cn l e a s l l r e d w o = d a h e r ed ai st t l el e b e s g u em e a s u r eo ns ”_ 1 1 3t h e p r o o f o ft h et h e o r e m f i r s tw ep r o v et h r e el e m m a s ( 1 3 ) ( 1 4 ) l e m m a1 3 1 s u p p o s et h a tm i sac o m p l e t em a n 吣0 1 do ln e g a t i v e l ys e c t i o n a lc u b a - t u r ef o re v e r ym 吖，t h e r ee x i s t sac l o s es e t 日ncs ( o 。) a n dac o n s t a n tl m ，s u c ht h a t 俐0 2 。( ) 鬲1 ， 5 i ) u + ( ) = s u p l u ( x ) 1 ：z 霸( ) l m p r o o f ：i tf o l l o w sf r o mt h e o r e m 7 3a n dp r o p o s i t i o n 7 5i n 【2 w i t ht h i sl e m m a ，i fw eh a v e t h e nt h et h e o r e mi sp r o v e d l e t s i m i l a rt ol e m m a i n 1 ，p 2 0 6 ， i v “ 2 d v d w 。( f ) 0 ，w i t ht h ef o i l o w i n gp t y p e r r i e s ： 畴。c m m ，蝴c m ：2 ，矿屹 q ( i i ) m i n 一埘ma 8e 一0 5 i i ) o 螈i ss m o o t h w ei d e n t i f ys ( c i o ) w i t hs o ( 1 ) ，t h eu n i ts p h e r ei nt o ( m ) l e m m a1 3 3t h e r ee x i s t s 岛s ( o o ) ，s u c ht h a t f 。哪舶d a ：o ( ) g ( f 面砥驴2 而e k p ( z 可) 而面丽= r 如如) f o rz 州m p r o o f b y as i m p l ec o m p u t a t i o n ，w eh a v e 妊z 巧( 讲c 代s ( o 。) ：吣，。) 。两熹可) ( 1 6 ) s ob y ( 4 ) 】w ec a r l t a k e 如蟛l ，s u c h t l m t 7 x e t 2 ( ；) 州。2 昧) )。野 c d ( 两丽丽嵩瓮两丽莉) ”1 p r o o fo ft h e o r e m ：b yl e m m a3 ，w eo b t a i n f ：四(。ivu阳y山吣)fem：四( 剞山。( 副乳阳矿z 刀( ) m z l i g 乙。( 酉丽丽嵩等不而丽r 例v u 2 a y w e c a d _ r e p l a c em mb yt h ea p p r o x i m a t i n gr e g i o n sm 赢a n d ( 1 7 ) i s e q u i v a l e n tt o ，r k ( z ，o ) i v u p d y , 埘斋 s oi ts u f f i c e st os h o wt h a t ， r k ， o ) i v u l 2 d v 4 + 。 蠊 f 1 7 、 ( 1 8 ) w i t ha i n d e p e n d e n to fe t op r o v e ( 18 ) ，w eu s eg r e e n sf o r m u l a 【3 】： ：( ，塞一a 篙) = 么。( 庐，一，却) ， f o r t h er e g i o n 嗡w i t h s m o o t h b o u n d a r y n o w l e t ，= 譬a n d g = r ，( 岛) ，u s i n g g r a d i e n t e s t i m a t e sf o rp o s i t i v eh a r m o n i cf u n c t i o n sa n dn o t i n gt h a t 知，w eo b t a i n - 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